Ableitung von ln ( x² )
Jan Schwarz
Ich habe ein großes Problem. In einer guten Woche soll ich mein Abi
schreiben, bin aber noch unsicher mit dem Logarithmus:
Meine Frage, auf die ich noch nirgends eine Antwort fand:
Ist die Ableitung von ln (X²) = 2x / x² ???
Wenn ja, ist alles gut, wenn nicht wäre es nett, wenn ihr / du noch einige
begleitende Wörter hinzufügen könntest.
Mit vielem Dank im Voraus
Jan
Ulrich Fahrenberg
>
> Hallo zusammen!
> Ich habe ein großes Problem. In einer guten Woche soll ich mein Abi
> schreiben, bin aber noch unsicher mit dem Logarithmus:
>
> Meine Frage, auf die ich noch nirgends eine Antwort fand:
>
> Ist die Ableitung von ln (X²) = 2x / x² ???
>
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Ulrich Fahrenberg (u...@math.auc.dk http://www.math.auc.dk/~uli)
NVNC EST BIBENDVM!
Barbara Emmert
>Ist die Ableitung von ln (X²) = 2x / x² ???
>Wenn ja, ist alles gut, wenn nicht wäre es nett, wenn ihr / du noch einige
>begleitende Wörter hinzufügen könntest.
Nach der Kettenregel ist u(v(x))' = u'(v(x))*v'(x). (oder so ähnlich, ich hab
jetzt keine Formelsammlung bei mir)
Im Klartext für dein Problem:
Du differenzierst zuerst die ln-Funktion, erhälst also 1/x².
Dann musst du das Argument des ln nachdifferenzieren, das ja selber eine
Funktion ist, und bekommst 2x.
Schließlich nimmst du beides miteinander mal und kriegst 2x/x² (oder 2/x)
als Ableitung.
Barbara
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Sören Köhl
>
> >Ist die Ableitung von ln (X²) = 2x / x² ???
> Ja.
>
> >Wenn ja, ist alles gut, wenn nicht wäre es nett, wenn ihr / du noch einige
> >begleitende Wörter hinzufügen könntest.
>
> Nach der Kettenregel ist u(v(x))' = u'(v(x))*v'(x). (oder so ähnlich, ich hab
> jetzt keine Formelsammlung bei mir)
> Im Klartext für dein Problem:
> Du differenzierst zuerst die ln-Funktion, erhälst also 1/x².
> Dann musst du das Argument des ln nachdifferenzieren, das ja selber eine
> Funktion ist, und bekommst 2x.
> Schließlich nimmst du beides miteinander mal und kriegst 2x/x² (oder 2/x)
> als Ableitung.
Und in Kurzform: Innere Ableitung mal äußere Ableitung
HSteih
schreibt:
>
>Hallo zusammen!
>Ich habe ein großes Problem. In einer guten Woche soll ich mein Abi
>schreiben, bin aber noch unsicher mit dem Logarithmus:
>
>Meine Frage, auf die ich noch nirgends eine Antwort fand:
>
>Ist die Ableitung von ln (X²) = 2x / x² ???
>
>
Hallo,
ich verkneife mir eventuell demotivierende Bemerkungen zum Stand deiner
Vorbereitungen !
1) Beim Umgehen mit der ln-Funktion ist es meistens guenstig, wenn man sich an
Logarithmensaetze erinnern kann:
ln(a*b) = lna + lnb; ln(a^k) = k*lna;
(Folgerungen: ln(a/b) = lna - lnb; ln(n-te Wurzel(a)) = (1/n)*lna)
Und damit braeuchte man beim Ableiten deiner Funktion keine Kettenregel:
(ln(x^2))' = (2*lnx)' = 2*(lnx)' = 2*(1/x) = 2/x .
2) Deine Ableitung hast du mit der Kettenregel erhalten, die sich manchmal auch
nicht vermeiden laesst, z.B. bei
(ln(1 + x^2))' = (ln(u) nach u abgeleitet)*((1 + x^2)') (mit u:=1 + x^2)
= (1/u)*(2x) = (1/(1 + x^2))*(2x) = (2x)/(1 + x^2)
Randbemerkungen:
a) Fuer "ln(u) nach u abgeleitet" kann man auch ln(u)/du schreiben, aber ich
bin mir nicht sicher, ob du mit der Schreibweise vertraut bist.
b) Manche haben Schwierigkeiten, die Kettenregel innerhalb einer
Gleichungskette als Termumformung anzuwenden. Deswegen lohnt sich manchmal
eine schematische Herleitung:
ln(1 + x^2) =: f(g(x))
g(x) = 1 + x^2 =:u => g'(x) = 2x
f(u) = ln(u) => f'(u) = 1/u
___________________________
f'(u)*g'(x) = (1/u)*(2x)
= (1/(1+x^2))*(2x) =....
HTH
Viel Glueck !
Hans
______________________________
Hans Steih || HSt...@aol.com
D-47533 Kleve, Germany
"Ich hoffe, es wird niemanden befremden, dass ich den Homer und Virgil zu
Asymptoten gemacht habe" (Lichtenberg, Vom Nutzen der Mathematik)
Andre Kriner
<einiges rausgeworfen>
> Randbemerkungen:
> a) Fuer "ln(u) nach u abgeleitet" kann man auch ln(u)/du schreiben, aber ich
> bin mir nicht sicher, ob du mit der Schreibweise vertraut bist.
ich glaube nicht, denn die richtige schreibweise lautet
d(ln(u))/ du, wie in df(x)/dx
<noch was weggeschnitten>
> HTH
> Viel Glueck !
>
> Hans
>
da schliesse ich mich doch mal an,
viel glueck
cu
andre
Joerg Plate
> Und in Kurzform: Innere Ableitung mal äußere Ableitung
(ansonsten kommt nach meiner Erfahrung bei den Schülern nur v'*(x) * u'(x) raus...)
--
"I'm working on it." "There should be more math. This could be mathier."
HSteih
<ly...@kawo2.rwth-aachen.de> schreibt:
>> bin mir nicht sicher, ob du mit der Schreibweise vertraut bist.
>
>ich glaube nicht, denn die richtige schreibweise lautet
>
> d(ln(u))/ du, wie in df(x)/dx
>
Hallo,
du hast recht !
Ich habe das eine d verschlampt !