Neue Erkenntnisse aus Augsburg: Die reellen Zahlen sind nicht geordnet!
Franz Fritsche
"...um nun einmal Klartext zu schreiben, [man] kann nicht überabz. viele
reelle Zahlen in eine Ordnung bringen, selbst wenn so viele existieren
würden. Jede Ordnungszahl ist ein Etikett. Und für jede reelle Zahl
bräuchte man eine Ordnungszahl ein PIN. Das nicht erkannt zu haben,
ist Zermelos Fehler."
(Prof. Dr. Wolfgang Mückenheim, FH Augsburg)
Franz Fritsche
In Bezug auf die Existenz einer Wohlordung der reellen Zahlen heißt das:
"Sie ist unmöglich, wenn es mehr Zahlen als endliche Wörter gibt.
Denn was würde man wohl ordnen, wenn nicht die Namen der Zahlen?"
(Prof. Dr. Wolfgang Mückenheim, FH Augsburg)
Ähhh... die Zahlen? :-?
Thomas Plehn
schwer vorstellen kann: die natürliche Anordnung von R ist keine
Wohlordnung, jedoch habe ich mal gelernt, dass jede Menge wohlgeordnet
werden kann, es muss also eine Wohlordnung für R existieren, jedoch hat
wohl noch niemand geschafft, eine anzugeben
denn: bei der natürlichen Anordnung hat eine offene Teilmenge natürlich
nie ein kleinstes Element und es gibt auch unendlich absteigende Ketten
man muss also irgend eine andere Ordnungsrelation finden, diese setzt
jedoch nicht notwendigerweise voraus, dass man jeder Zahl aus R eine
Ordnungszahl zuordnet, denn sonst könnten ja nur abzählbare Mengen
wohlgeordnet werden. Relationen kann man natürlich auch anders definieren.
Karl Heinz
>> (Prof. Dr. Wolfgang Mückenheim, FH Augsburg)
> ich muss zugeben, dass ich mir die Wohlordnung von R auch nur sehr
> schwer vorstellen kann
Es ist eben leider nicht jeder ein Prof. Dr. der Mathematik.
Franz Fritsche
>> "...um nun einmal Klartext zu schreiben, [man] kann nicht überabz. viele
>> reelle Zahlen in eine Ordnung bringen, selbst wenn so viele existieren
>> würden. Jede Ordnungszahl ist ein Etikett. Und für jede reelle Zahl
>> bräuchte man eine Ordnungszahl ein PIN. Das nicht erkannt zu haben,
>> ist Zermelos Fehler."
>>
>> (Prof. Dr. Wolfgang Mückenheim, FH Augsburg)
>>
> ich muss zugeben, dass ich mir die Wohlordnung von R [usw.]
Wo liest Du in obigem Zitat etwas von Wohlordnung? Bloß weil auch Zermelo
im Zusammenhang mit dem Begriff "Ordnung" erwähnt wird? :-o
Die AUSSAGE/BEHAUPTUNG war und ist:
"[man] kann nicht überabz. viele reelle Zahlen in eine Ordnung bringen,
Mit der ANMERKUNG:
"selbst wenn so viele existieren würden."
Die ähhh BEGRÜNDUNG dafür ist:
"Jede Ordnungszahl ist ein Etikett. Und für jede reelle Zahl
bräuchte man eine Ordnungszahl ein PIN."
Mit der ANMERKUNG:
"Das nicht erkannt zu haben, ist Zermelos Fehler."
Deinen Einwand (den ich zu hören glaube), d a s s doch die reellen Zahlen
eine "natürliche Ordnung" besitzen würden, richte bitte an Herrn Prof. Dr.
Mückenheim.
_Nun zur Wohlordnung_
Klarerweise kann es natürlich auch keine Wohlordnung der reellen Zahlen
geben, wenn es grundsätzlich nicht möglich ist, die reellen Zahlen zu
ordnen. Tatsächlich schreibt Herr Prof. Dr. Mückenheim später dann auch:
"Sie [die Wohlordnung --FF] ist unmöglich, wenn es mehr Zahlen
als endliche Wörter gibt. Denn was würde man wohl ordnen, wenn
nicht die Namen der Zahlen?"
(Prof. Dr. Wolfgang Mückenheim, FH Augsburg)
Ja, w a s würde man wohl ordnen, wenn nicht die _Namen_ der Zahlen...?
MfG,
FF
Thomas Plehn
ich kann mich leider nicht entsinnen, wann ich mich an dich persönlich
per eMail gewandt habe. Und wenn ich mich trotzdem verklickt haben
sollte, wäre die Antwort doch sicher an Franz Fritsche gegangen, oder
nicht. Trotzdem aber vielen Dank für die freundliche eMail. Ich werde
mal versuchen, dazu Stellung zu nehmen:
> Hallo Thomas,
>
> ich freue mich, dass Du per Mail Deine Gedanken darlegst. Noch mehr würde es mich natürlich freuen, wenn ich Dir in Deinen Zweifeln behilflich sein könnte.
>
> So genau habe ich aber Deine Gedanken nicht verstanden. Speziell dieser Satz macht mir Probleme:
>
> man muss also irgend eine andere Ordnungsrelation
> finden, diese setzt jedoch nicht notwendigerweise voraus,
> dass man jeder Zahl aus R eine Ordnungszahl zuordnet,
> denn sonst könnten ja nur abzählbare Mengen wohlgeordnet werden.
ich kritisiere hiermit nur, das WM nicht die Zahlen selbst ordnen will,
sondern die _Namen_ der Zahlen, er spricht auch von Etiketten. WM sagt,
wenn es nicht möglich ist Etiketten mit Ordnungszahlen zuzuordnen, und
das geht bei einer überabzählbaren Menge nicht, so kann man diese auch
nicht ordnen. Außerdem spricht er als Folgerung davon von der
Schlussfolgerung, wenn es keine Ordnung geben kann, dann erst recht
keine Wohlordnung. Eine Ordnungsrelation für die reellen Zahlen ist nun
schon auf natürliche Weise gegeben, obwohl wir nicht alle reellen Zahlen
durchnumerieren können, was WM dafür für nötig hält. Eine Wohlordung ist
nun eine spezielle Ordnungsrelation, bei der jede Teilmenge ein
kleinstes Element besitzt, denn dann greift auch das Axiom of Choice,
was zur Wohlordnung äquivalent ist. Diese Ordnungsrelation, die eine
Wohlordnung von R zulässt, muss es nun notwendigerweise geben, wenn man
vom Axiom of Choice ausgeht.
Da das Axiom of Choice jedoch auch nur eine Existenz-Aussage ist, kann
man die durch die Auswahlfunktion induzierte Wohlordnung natürlich nicht
angeben.
>
> Mit der Idee der "Wohlordnung" hat Cantor einen weiteren Geniestreich getan. Er rettet damit soviel an linearer Ordnung ins Unendliche, wie noch möglich ist: jedes Element hat genau einen Nachfolger.
>
> Naivlinge wie WM machen anscheinend das Gleiche: sie greifen sich immer noch ein weiteres Element aus R und meinen, auf diese Weise müsse R ja mal ausgeschöpft sein. Ihr Versuch scheitert beweisbar, und das wollen sie einfach nicht wahr haben.
>
> Dabei sollte ihnen der Ansatz von Cantor eigentlich sympathisch sein.
> Er sagt: es wird schon gehen, die reellen Zahlen in eine Reihenfolge zu bringen.
>
> Soviel mal als erste Reaktion von mir auf Deine Mail. Gerne mehr.
>
> Gruß,
> Rainer
>
>
>
> Thomas Plehn schrieb:
Franz Fritsche
Hallo Thomas!
> sollte, wäre die Antwort doch sicher an Franz Fritsche gegangen ...
Ne, ich war auch nicht gemeint.
> ich kritisiere hiermit nur, das WM nicht die Zahlen selbst ordnen will,
> sondern die _Namen_ der Zahlen, er spricht auch von Etiketten. [...]
Musst Du diesen absurden Quatsch auch noch wiederholen? ;-)
> Außerdem spricht er als Folgerung davon von der Schlussfolgerung, wenn
> es keine Ordnung geben kann, dann erst recht keine Wohlordnung. Eine
> Ordnungsrelation für die reellen Zahlen ist nun schon auf natürliche
> Weise gegeben, ...
Jep.
> ...obwohl wir nicht alle reellen Zahlen durchnumerieren können,
> was WM dafür für nötig hält.
Offenbar. Aber er ist ja auch der Meinung, dass es GAR KEINE unendlichen
Mengen gibt (noch nicht mal die Menge der nat. Zahlen) ... und eine
"transfinite Mengenlehre" grundsätzlich an inneren Widersprüchen scheitern
müsse. Für ZFC hat er das -nach eigener Aussage- MEHRFACH bewiesen!!! :-P
> Eine Wohlordung ist nun eine spezielle Ordnungsrelation, bei der jede
> Teilmenge ein kleinstes Element besitzt ...
Ja.
> [Eine] Wohlordnung von R [...], muss es nun notwendigerweise geben,
> wenn man vom Axiom of Choice ausgeht.
Ja.
> Da das Axiom of Choice jedoch auch nur eine Existenz-Aussage ist, kann
> man die durch die Auswahlfunktion induzierte Wohlordnung natürlich nicht
> [explizit] angeben.
Ja.
Simple as that.
MfG,
FF
WM
> Am 18.07.2010 10:31, schrieb Franz Fritsche:
>
> > "...um nun einmal Klartext zu schreiben, [man] kann nicht überabz. viele
> > reelle Zahlen in eine Ordnung bringen, selbst wenn so viele existieren
> > würden. Jede Ordnungszahl ist ein Etikett. Und für jede reelle Zahl
> > bräuchte man eine Ordnungszahl ein PIN. Das nicht erkannt zu haben,
> > ist Zermelos Fehler."
>
> > (Prof. Dr. Wolfgang Mückenheim, FH Augsburg)
>
> ich muss zugeben, dass ich mir die Wohlordnung von R auch nur sehr
> schwer vorstellen kann: die natürliche Anordnung von R ist keine
> Wohlordnung,
und auch keine Anordnung von überabzählbar vielen Zahlen, denn Zahlen
benötigen eine Bezeichnung. Es gibt aber nur abz. viele Bezeichnungen.
Um überabz. viele Zahlen zu bezeichnen, müsste man vollendet
unendliche Ziffernfolgen, die keine endliche Definition besitzen,
vollständig kennen, was offenbar Unfug ist.
Bedenke: Auch alle (potentiell unendlich vielen) endlichen Untermengen
der natürlichen Zahlen bilden eine abzählbare Menge.
> jedoch habe ich mal gelernt, dass jede Menge wohlgeordnet
> werden kann, es muss also eine Wohlordnung für R existieren,
Ja, das haben viele gelernt und geglaubt.
> jedoch hat
> wohl noch niemand geschafft, eine anzugeben
Aber es haben schon mehrere geschafft, zu beweisen, dass man keine WO
angeben kann.
>
> denn: bei der natürlichen Anordnung hat eine offene Teilmenge natürlich
> nie ein kleinstes Element und es gibt auch unendlich absteigende Ketten
>
> man muss also irgend eine andere Ordnungsrelation finden, diese setzt
> jedoch nicht notwendigerweise voraus, dass man jeder Zahl aus R eine
> Ordnungszahl zuordnet, denn sonst könnten ja nur abzählbare Mengen
> wohlgeordnet werden.
Doch, jede Zahl muss eine Ordnungszahl besitzen. Cantor nennt das
Abzählen in verallgemeinertem Sinne. Aber er wusste noch nicht, dass
es zu wenige endliche Definitionen gibt.
> Relationen kann man natürlich auch anders definieren.
Man muss zumindest jedes Element in einer Ordnung nennen / bezeichnen
können.
Und das kann niemand bei überabz. vielen Elementen.
Gruß, WM
WM
> Hallo Rainer,
>
> ich kann mich leider nicht entsinnen, wann ich mich an dich persönlich
> per eMail gewandt habe. Und wenn ich mich trotzdem verklickt haben
> sollte, wäre die Antwort doch sicher an Franz Fritsche gegangen, oder
> nicht. Trotzdem aber vielen Dank für die freundliche eMail. Ich werde
> mal versuchen, dazu Stellung zu nehmen:
>
> > Hallo Thomas,
>
> > ich freue mich, dass Du per Mail Deine Gedanken darlegst. Noch mehr würde es mich natürlich freuen, wenn ich Dir in Deinen Zweifeln behilflich sein könnte.
>
> > So genau habe ich aber Deine Gedanken nicht verstanden. Speziell dieser Satz macht mir Probleme:
>
> > man muss also irgend eine andere Ordnungsrelation
> > finden, diese setzt jedoch nicht notwendigerweise voraus,
> > dass man jeder Zahl aus R eine Ordnungszahl zuordnet,
> > denn sonst könnten ja nur abzählbare Mengen wohlgeordnet werden.
>
> ich kritisiere hiermit nur, das WM nicht die Zahlen selbst ordnen will,
Was sind denn die Zahlen selbst? Man kann nicht das Ding an sich
erkennen und ordnen, sondern allenfaklls die Bezeichnung.
> sondern die _Namen_ der Zahlen, er spricht auch von Etiketten. WM sagt,
> wenn es nicht möglich ist Etiketten mit Ordnungszahlen zuzuordnen, und
> das geht bei einer überabzählbaren Menge nicht, so kann man diese auch
> nicht ordnen. Außerdem spricht er als Folgerung davon von der
> Schlussfolgerung, wenn es keine Ordnung geben kann, dann erst recht
> keine Wohlordnung. Eine Ordnungsrelation für die reellen Zahlen ist nun
> schon auf natürliche Weise gegeben, obwohl wir nicht alle reellen Zahlen
> durchnumerieren können, was WM dafür für nötig hält. Eine Wohlordung ist
> nun eine spezielle Ordnungsrelation, bei der jede Teilmenge ein
> kleinstes Element besitzt, denn dann greift auch das Axiom of Choice,
> was zur Wohlordnung äquivalent ist. Diese Ordnungsrelation, die eine
> Wohlordnung von R zulässt, muss es nun notwendigerweise geben, wenn man
> vom Axiom of Choice ausgeht.
> Da das Axiom of Choice jedoch auch nur eine Existenz-Aussage ist, kann
> man die durch die Auswahlfunktion induzierte Wohlordnung natürlich nicht
> angeben.
Wenn man ehrlicher wäre, so würde man axiomatisch fordern, dass jede
Menge eine Wohlordnung besitzt. Dann fiel aber der Hokuspokus mit dem
"Beweis" fort und es träte zutage, was doch am Ende von jedem
Matheologen gefordert wird: Der Glaube an das Unglaubwürdige.
>
>
>
>
>
> > Mit der Idee der "Wohlordnung" hat Cantor einen weiteren Geniestreich getan.
Fraekel zeigt, dass das naiv ist.
> Er rettet damit soviel an linearer Ordnung ins Unendliche, wie noch möglich ist: jedes Element hat genau einen Nachfolger.
>
> > Naivlinge wie WM machen anscheinend das Gleiche: sie greifen sich immer noch ein weiteres Element aus R und meinen, auf diese Weise müsse R ja mal ausgeschöpft sein. Ihr Versuch scheitert beweisbar, und das wollen sie einfach nicht wahr haben.
Genau das hat Cantor getan und damit seine Wohlordnungsidee
"bewiesen". Naivlinge wie der Schreiber jener Zeilen haben das aber
immer noch nicht verstanden, obwohl das schon oft im Kalenderblatt
berichtet wurde:
[...] In Rücksicht auf einen derartigen Gedankengang hat Cantor den
Wohlordnungssatz als ein "grundlegendes und folgenreiches, durch
seine
Allgemeingültigkeit besonders merkwürdiges Denkgesetz" bezeichnet. Er
hat an der festen Überzeugung der Wohlordnungsfähigkeit jeder Menge
selbst dann fetstgehalten, als (1904) die entgegengesetzte Behauptung
vor der breiten mathematischen Öffentlichkeit [...] erwiesen schien.
[...] Einen Beweis des Wohlordnungssatzes hat er dagegen nicht
gegeben. Der obige Gedankengang ist nicht als eigentlicher - auch nur
halbwegs strenger - Beweis anzusehen {{das könnte allenfalls eine
halbwegs schwangere Frau meinen}}, vor allem deshalb, weil in keiner
Weise gezeigt wird, daß durch das angegebene Verfahren [...] die
gegebene Menge wirklich erschöpft werden kann. Die Unzulässigkeit des
angegebene Gedankengangs als Beweisverfahren erhellt besonders
deutlich aus folgendem: er scheint nicht nur die Möglichkeit der
Wohlordnung zu erweisen, sondern darüber hinaus zu jeder beliebigen
Menge ein wirkliches Verfahren zur Ausführung der Wohlordnung
anzugeben; dem steht die [...] Tatsache gegenüber, daß die wirkliche
Ausführung der Wohlordnung bis heute noch nicht einmal bei gewissen
einfachsten nichtabzählbaren Mengen gelungen ist.
>
> > Dabei sollte ihnen der Ansatz von Cantor eigentlich sympathisch sein.
> > Er sagt: es wird schon gehen, die reellen Zahlen in eine Reihenfolge zu bringen.
Und Fraenkel nennt das mit Recht naiv.
Gruß, WM
Karl Heinz
> Was sind denn die Zahlen selbst? Man kann nicht das Ding an sich
> erkennen und ordnen
Mann, das ist aber schade.
Hast du heute schon gearbeitet Professor? Oder voriges Jahr?
Rainer Rosenthal
>
> Wenn man ehrlicher wäre, so würde man axiomatisch fordern, dass jede
> Menge eine Wohlordnung besitzt.
Ja, das tut man doch auch: Axiom of Choice ist äquivalent dazu.
Damit ist doch klipp und klar gesagt, dass "jede Menge besitzt
eine Wohlordnung" ein Axiom ist.
Deine Attacken sind mir immer mysteriöser, denn wenn Du Dich tagein
tagaus mit diesem Quark befasst, dann sollte das doch zu Deinem Basis-
wissen gehören.
Gruß,
RR
Karl Heinz
> Deine Attacken sind mir immer mysteriöser
Und was glaubst du wo das am Ende hinführt?
Ralf Bader
Lies mal Halmos' Naive Set Theory oder ein ähnliches Büchlein. Das ist kein
wirklicher großer Akt und könnte Dir helfen, Deine Unkenntnis gewisser
Grundlagen nicht ganz so peinlich zur Schau zu stellen.
Ralf
--
Forschungsergebnisse deutscher Spitzenhochschulen. Heute von Prof. Dr.
Wolfgang Mückenheim, Mathematikkoryphäe, FH Augsburg: "Funktionen sind
Beschreibungen. Verschieden [sic] Beschreibungen können zu gleichen
Funktionen führen."
Karl Heinz
> Lies mal Halmos' Naive Set Theory oder ein ähnliches Büchlein. Das ist kein
> wirklicher großer Akt und könnte Dir helfen, Deine Unkenntnis gewisser
> Grundlagen nicht ganz so peinlich zur Schau zu stellen.
Sind das Grundlagen?
Mengenlehre ist natürlich für viele ein interessantes Buzzwort
und andern ist das ein wirklich interessanter (Denk-) Sport,
und für die innere Integrität und das Erscheinungsbild der
Mathematik ist das natürlich unverzichtbar und so lockt sie auch
die grossen Geister wie WM an.
Aber solange das Differenzieren weiter funktionieren sollte
hängen doch wohl keine praktischen Auswirkungen daran, wie man
sich dieses Kontinuum ausmalt, oder...
Thomas Plehn
> Thomas Plehn wrote:
>
>> Am 18.07.2010 10:31, schrieb Franz Fritsche:
>>>
>>> "...um nun einmal Klartext zu schreiben, [man] kann nicht überabz. viele
>>> reelle Zahlen in eine Ordnung bringen, selbst wenn so viele existieren
>>> würden. Jede Ordnungszahl ist ein Etikett. Und für jede reelle Zahl
>>> bräuchte man eine Ordnungszahl ein PIN. Das nicht erkannt zu haben,
>>> ist Zermelos Fehler."
>>>
>>> (Prof. Dr. Wolfgang Mückenheim, FH Augsburg)
>> ich muss zugeben, dass ich mir die Wohlordnung von R auch nur sehr
>> schwer vorstellen kann: die natürliche Anordnung von R ist keine
>> Wohlordnung, jedoch habe ich mal gelernt, dass jede Menge wohlgeordnet
>> werden kann, es muss also eine Wohlordnung für R existieren, jedoch hat
>> wohl noch niemand geschafft, eine anzugeben
>>
>> denn: bei der natürlichen Anordnung hat eine offene Teilmenge natürlich
>> nie ein kleinstes Element und es gibt auch unendlich absteigende Ketten
>>
>> man muss also irgend eine andere Ordnungsrelation finden, diese setzt
>> jedoch nicht notwendigerweise voraus, dass man jeder Zahl aus R eine
>> Ordnungszahl zuordnet, denn sonst könnten ja nur abzählbare Mengen
>> wohlgeordnet werden. Relationen kann man natürlich auch anders definieren.
>
> Lies mal Halmos' Naive Set Theory oder ein ähnliches Büchlein. Das ist kein
> wirklicher großer Akt und könnte Dir helfen, Deine Unkenntnis gewisser
> Grundlagen nicht ganz so peinlich zur Schau zu stellen.
>
>
sag mir doch bitte, was hier eine falsche Behauptung ist
Albrecht
> WM schrieb:
>
>
>
> > Wenn man ehrlicher wäre, so würde man axiomatisch fordern, dass jede
> > Menge eine Wohlordnung besitzt.
>
> Ja, das tut man doch auch: Axiom of Choice ist äquivalent dazu.
> Damit ist doch klipp und klar gesagt, dass "jede Menge besitzt
> eine Wohlordnung" ein Axiom ist.
Na, es wird ja immer spannender. Vielleicht sollte man die Sache
anderst herum angehen: was ist denn dann kein Axiom in der ML?
Gruß
Albrecht
Carsten Schultz
> On Jul 19, 4:10 pm, Rainer Rosenthal <r.rosent...@web.de> wrote:
>> WM schrieb:
>>
>>
>>
>>> Wenn man ehrlicher wäre, so würde man axiomatisch fordern, dass jede
>>> Menge eine Wohlordnung besitzt.
>>
>> Ja, das tut man doch auch: Axiom of Choice ist äquivalent dazu.
>> Damit ist doch klipp und klar gesagt, dass "jede Menge besitzt
>> eine Wohlordnung" ein Axiom ist.
>
> Na, es wird ja immer spannender. Vielleicht sollte man die Sache
> anderst herum angehen: was ist denn dann kein Axiom in der ML?
>
Schwätzer! Das gebräuchlichste Axiomensystem ist ZFC, das kannst Du an
verschiedenen Stellen in verschieden exakter Form nachlesen.
Gruß
Carsten
--
Carsten Schultz (2:38, 33:47)
http://carsten.codimi.de/
PGP/GPG key on the pgp.net key servers,
fingerprint on my home page.
Franz Fritsche
Unser Gruppen-Crank schrieb:
>> Wenn man ehrlicher wäre, so würde man axiomatisch fordern, dass jede
>> Menge eine Wohlordnung besitzt.
*gähn*
> Ja, das tut man doch auch: [...]
Nein, das tut man - zumindest in ZFC - nicht.
> Axiom of Choice ist äquivalent dazu.
Ja. Aber das heißt nicht, dass das AC und der Wohlordnungssatz identisch
sind, oder dass der Wohlordnungssatz (in ZFC) ein Axiom ist... *sigh*.
> Damit ist doch klipp und klar gesagt, dass "jede Menge besitzt
> eine Wohlordnung" ein Axiom ist.
Äh, nein. MANCHMAL redest Du aber auch wirklich einen SCHMARREN zusammen.
In ZFC ist "jede Menge besitzt eine Wohlordnung" ein SATZ; der zu beweisen
übrigens alles andere als einfach/trivial ist. (!)
Hint: Dass man aber statt AC auch den Wohlordnungssatz als Axiom zu ZF
hinzunehmen könnte, ist eine ANDERE Sache! (Dann wäre eben "die Existenz
einer Auswahlfunktion" (z. B.) ein eines Beweises bedürftiger Satz - aber
dann wiederum auch kein Axiom!)
> Deine Attacken sind mir immer mysteriöser, denn wenn Du Dich tagein
> tagaus mit diesem Quark befasst, dann sollte das doch zu Deinem Basis-
> wissen gehören.
Falsches sollte aber zu niemandes "Basiswissen" gehören; auch nicht zu
Deinem.
MfG,
FF
P.S. Ich kann es nicht oft genug wiederholen: Diskussionen mit WM scheinen
den Effekt zu haben, dass man dabei merklich verblödet - be warned! (Du
glaubst es ja ohnehin nicht. *sigh*)
Franz Fritsche
Was meinst Du mit
"...dass man jeder Zahl aus R eine Ordnungszahl zuordnet..."
? Was ist eine "Ordnungszahl" (in diesem Zusammenhang)? :-o
http://de.wikipedia.org/wiki/Ordnungszahl
Was eine Ordinalzahl ist, weiß ich; aber ich habe (im Kontext der
Mengenlehre) noch nie von einer Ordnungszahl gehört; und ich weiß auch
nicht, was Du oben damit meinst. (Hint: Diskussionen mit WM sind
_gefährlich_; man kann innerhalb kürzester Zeit total-verblöden! KEIN
SCHERZ!)
Vielleicht spielt Bader ja auf diesen Zusammenhang an?
MfG,
FF
Albrecht
> Am 19.07.10 21:00, schrieb Albrecht:
>
> > On Jul 19, 4:10 pm, Rainer Rosenthal <r.rosent...@web.de> wrote:
> >> WM schrieb:
>
> >>> Wenn man ehrlicher wäre, so würde man axiomatisch fordern, dass jede
> >>> Menge eine Wohlordnung besitzt.
>
> >> Ja, das tut man doch auch: Axiom of Choice ist äquivalent dazu.
> >> Damit ist doch klipp und klar gesagt, dass "jede Menge besitzt
> >> eine Wohlordnung" ein Axiom ist.
>
> > Na, es wird ja immer spannender. Vielleicht sollte man die Sache
> > anderst herum angehen: was ist denn dann kein Axiom in der ML?
>
> Schwätzer! Das gebräuchlichste Axiomensystem ist ZFC, das kannst Du an
> verschiedenen Stellen in verschieden exakter Form nachlesen.
>
>
Du bist also auch der Ansicht, dass "jede Menge besitzt eine
Wohlordnung" ein Axiom in der ML, insbesondere in ZFC ist? Komisch.
Ich habe dieses "Axiom" noch nie in einer Aufstellung von Axiomen zu
einer speziellen ML gelesen. Oder wie soll ich Deine Eruption sonst
deuten?
Da jeder Satz, der aus Axiomen stringent hergeleitet wird, eine
Tautologie ist, ist jeder Satz ein Axiom?
Gruß
Albrecht
Karl Heinz
>> Schwätzer! Das gebräuchlichste Axiomensystem ist ZFC, das kannst Du an
>> verschiedenen Stellen in verschieden exakter Form nachlesen.
>
> Du bist also auch der Ansicht, dass "jede Menge besitzt eine
> Wohlordnung" ein Axiom in der ML, insbesondere in ZFC ist?
> Komisch.
???
> Ich habe dieses "Axiom" noch nie in einer Aufstellung
> von Axiomen zu einer speziellen ML gelesen.
Achso, siehe unten 10. Auswahlaxiom in
http://de.wikipedia.org/wiki/Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre#Die_Axiome_von_ZF_und_ZFC
"ZF hat unendlich viele Axiome, da zwei Axiomenschemata (8. und 9.)
verwendet werden, die zu jedem Prädikat mit bestimmten Eigenschaften je ein
Axiom angeben. Als logische Grundlage dient die Prädikatenlogik der ersten
Stufe mit Identität und dem undefinierten Elementprädikat .
1. Extensionalitätsaxiom oder Axiom der Bestimmtheit: Zwei Mengen sind
genau dann gleich, wenn sie die selben Elemente enthalten.
...
2. Leermengenaxiom oder Nullmengenaxiom: Es gibt eine Menge ohne Elemente.
...
3. Paarmengenaxiom: Für alle A und B gibt es eine Menge C, die genau A und
B als Elemente hat.
...
4. Vereinigungsaxiom: Für jede Menge A gibt es eine Menge B, deren Elemente
genau die Elemente der Elemente von A sind.
...
5. Unendlichkeitsaxiom: Es gibt eine Menge A, die die leere Menge und mit
jedem Element x auch die Menge x U {x} enthält (vgl. Induktive Menge).
...
6. Potenzmengenaxiom: Für jede Menge A gibt es eine Menge P, deren Elemente
genau die Teilmengen von A sind.
...
7. Fundierungsaxiom oder Regularitätsaxiom: Jede nichtleere Menge A enthält
ein Element B, so dass A und B disjunkt sind.
...
8. Aussonderungsaxiom: Hier handelt es sich um ein Axiomenschema mit je
einem Axiom zu jedem einstelligen Prädikat P: Zu jeder Menge A existiert
eine Teilmenge von A, die genau die Elemente C von A enthält, für die P(C)
wahr ist.
...
9. Ersetzungsaxiom (Fraenkel): Ist A eine Menge und wird jedes Element von
A eindeutig durch eine beliebige Menge ersetzt, so geht A in eine Menge
über.[2] Die Ersetzung wird präzisiert durch zweistellige Prädikate mit
ähnlichen Eigenschaften wie eine Funktion, und zwar als Axiomenschema für
jedes zweistellige Prädikat F: ...
...
10. Auswahlaxiom:
Ist A eine Menge von paarweise disjunkten nichtleeren Mengen, dann gibt es
eine Menge, die genau ein Element aus jedem Element von A enthält. Dieses
Axiom hat eine komplizierte Formel, die mit dem Eindeutigkeitsquantor
etwas vereinfacht werden kann:...
Eine andere übliche verbale Formulierung des Auswahlaxioms lautet: Ist A
eine Menge nichtleerer Mengen, dann gibt es eine Funktion f (von A in
seine Vereinigung), die jedem Element B von A ein Element von B zuordnet
(„ein Element von B auswählt“). Mit den ZF-Axiomen kann man die Äquivalenz
des Auswahlaxioms mit dem Wohlordnungssatz und dem Lemma von Zorn ableiten.
...
as ZF-Axiomensystem ist redundant, das heißt, es hat überflüssige Axiome,
die aus anderen ableitbar sind. Die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre ZF wird
schon durch die Axiome 1, 4–7 und 9 vollständig beschrieben, aufgrund
folgender Punkte:
Das Aussonderungsaxiom ist mit dem Ersetzungsaxiom beweisbar
(Zermelo).[3][4][5]
Das Leermengenaxiom folgt aus dem Unendlichkeitsaxiom per Aussonderung
(Fraenkel).[6]
Das Paarmengenaxiom folgt aus dem Ersetzungsaxiom, dem Leermengenaxiom und
dem Potenzmengenaxiom (Zermelo).[3][5]
...
"
Carsten Schultz
Nein, nicht nur ist in ZFC der Wohlordnungssatz beweisbar (Zermelo),
sondern in ZF+Wohlordnungssats ist das Auswahlaxiom beweisbar. Man
könnte also, ohne etwas zu ändern, das Auswahlaxiom durch den
Wohlordnungssatz ersetzen. Das weiß auch jeder, deshalb ist Mückenheims
Behauptung, das wäre ehrlicher, auch Unfug. Die Axiome sind nun einmal
für Experten da.
Rainer Rosenthal
> Da jeder Satz, der aus Axiomen stringent hergeleitet wird, eine
> Tautologie ist, ist jeder Satz ein Axiom?
Du hast ein auf dem Axiomensystem A aufgebautes System S. Die ersten
und am einfachsten zu beweisenden Sätze in S sind dann die Axiome selbst,
logischerweise.
Du kannst nun ohne weiteres ein Axiomensystem B gewinnen, indem Du zu A
noch solche Sätze hinzunimmst, die sich aus A ableiten lassen. Das Axiomen-
system B ist dann aber nicht minimal, und das ist nicht so schön.
Wenn Du nun aber aus B Axiome enfernst und damit ein von A verschiedenes
minimales Axiomensystem gewinnen kannst, das zum selben System S führt,
dann hast Du was Interessantes gemacht.
Nochmal zurück zur Ausgangsfrage: ist jeder Satz ein Axiom?
Bezogen auf ein gegebenes Axiomensystem ist diese Aussage falsch, denn dann
sind ja klar, was die Axiome sind: nämlich genau die in diesem Axiomensystem
genannten Sätze.
Andererseits ist die Aussage auch interpretierbar als: könnte jeder Satz
Axiom in einem Axiomensystem sein? Und dann ist sie mit "ja" zu beantworten.
Gruß,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
Franz Fritsche
>>>>>> Wenn man ehrlicher wäre, so würde man axiomatisch fordern, dass jede
>>>>>> Menge eine Wohlordnung besitzt.[WM]
>>>>>>
>>>>> Ja, das tut man doch auch: Axiom of Choice ist äquivalent dazu.
>>>>> Damit ist doch klipp und klar gesagt, dass "jede Menge besitzt
>>>>> eine Wohlordnung" ein Axiom ist. [RR]
Unsinn!
>>>> Na, es wird ja immer spannender. Vielleicht sollte man die Sache
>>>> anderst herum angehen: was ist denn dann kein Axiom in der ML?
Jep, der EINWAND ist absolut berechtigt. RR gibt manchmal wirklich Quark
von sich; das sollte man auch sehen/sagen, wenn es denn so ist!
>>> Schwätzer! Das gebräuchlichste Axiomensystem ist ZFC, das kannst Du an
>>> verschiedenen Stellen in verschieden exakter Form nachlesen.
Ja, ja... Schön und gut... DENNOCH ist in ZFC "jede Menge besitzt eine
Wohlordnung" ein SATZ (Theorem), und KEIN AXIOM. *sigh*
Und bittschön hier jetzt ned herum labern. Was ich sage ist: In ZCF ist
"jede Menge besitzt eine Wohlordnung" ein Satz/Theorem und kein Axiom.
Period. DAS IST SO. Da gibt's auch nix weiter dazu zu sagen. RR redet
Unsinn.
>> Du bist also auch der Ansicht, dass "jede Menge besitzt eine Wohl-
>> ordnung" ein Axiom in der ML, insbesondere in ZFC ist? Komisch. [AS]
Ja, finde ich auch!
>> Ich habe dieses "Axiom" noch nie in einer Aufstellung von Axiomen zu[r]
>> [ZFC] gesehen.
Ich auch noch nicht! ;-)
>> [Ist] jeder Satz, der aus Axiomen stringent hergeleitet wird [...]
>> ein Axiom?
>>
> Nein, nicht nur ist in ZFC der Wohlordnungssatz beweisbar (Zermelo),
> sondern in ZF+Wohlordnungssats ist das Auswahlaxiom beweisbar.
Ja, schön. Das wissen wir alle.
> Man könnte also, ohne etwas zu ändern, das Auswahlaxiom durch den
> Wohlordnungssatz ersetzen.
Nun ja, es würde sich schon ETWAS ändern, und zwar würden wir dann nicht
ZF+AC betrachten, sondern ZF+Wohlordnungssatz. ;-)
> Das weiß auch jeder, deshalb ist Mückenheims Behauptung, das wäre ehr-
> licher, auch Unfug.
Stimmt.
Aber auch RRs Entgegnung ist leider quatsch; da hat RS (ausnahmsweise) mal
Recht! (Und Dein zwischenzeitlicher Gefühlsausbruch war nicht gerechtfer-
tigt in diesem Fall.)
MfG,
FF
Franz Fritsche
> Nochmal zurück zur Ausgangsfrage: ist jeder Satz ein Axiom?
>
> Bezogen auf ein gegebenes Axiomensystem ist diese Aussage falsch, denn dann
> sind ja klar, was die Axiome sind: nämlich genau die in diesem Axiomensystem
> genannten Sätze.
So ist es [zumindest in Systemen, in denen nicht jedes Theorem auch Axiom
ist]. Und in den üblichen System von ZFC ist eben AC eines der Axiome, UND
NICHT der Wohlordnungssatz (sic!) - da hat Albrecht absolut Recht mit
seinem Einwand!
Wenn als WM in Bezug auf ZFC sagt:
"Wenn man ehrlicher wäre, so würde man axiomatisch fordern, dass jede Menge
eine Wohlordnung besitzt." ,
dann ist Deine Entgegnung
"Ja, das tut man doch auch: Axiom of Choice ist äquivalent dazu. Damit ist
doch klipp und klar gesagt, dass "jede Menge besitzt eine Wohlordnung" ein
Axiom ist."
sicher nicht korrekt. ZF+AC ist klarerweise der Wohlordnungssatz (sic!)
KEIN Axiom - Äquivalenz mit AC hin oder her.
Anmerkung: WM ist aber der Meinung, dass Zermelos Beweis des Wohlordnungs-
satzes auf der die Annahme "jede Menge besitzt eine Wohlordnung" _beruht_
(somit also zirkular ist), was natürlich nur in seinem kranken Hirn ein be-
stehender Sachverhalt ist...
> Andererseits ist die Aussage auch interpretierbar als: könnte jeder Satz
> Axiom in einem Axiomensystem sein? Und dann ist sie mit "ja" zu beantworten.
Ja, ... aber das war nicht das Thema.
MfG,
FF
Ralf Bader
Vielleicht habe ich Dich mißverstanden. Mir ist nicht klar, was hier
die "Ordnunsgzahlen" sein sollen. In der Mengenlehre gibt es die eigentlich
nicht, sondern Ordinalzahlen. Eine Wohlordnung einer Menge M ist äquivalent
zu einer Bijektion von M auf eine Ordinalzahl, und eine Ordinalzahl o ist
die Menge der Ordinalzahlen < o. Insofern bedeutet "eine Menge wohlordnen"
durchaus, jedem ihrer Elemente eine Ordinalzahl zuzuordnen. Der
Teilsatz "denn sonst könnten ja nur abzählbare Mengen wohlgeordnet werden"
könnte so zu verstehen sein, daß es von den "Ordnungszahlen" nur abzählbar
viele gäbe. Es könnte aber sein, daß mit "Ordnungszahl" endliche
Ordinalzahlen gemeint sein, in Übereinstimmung mit dem alltäglichen
Sprachgebrauch; und was Du eigentlich sagen wolltest, war nichts weiter als
der allerdings inzwischen geläufige Sachverhalt, daß die Menge der reellen
Zahlen nicht abzählbar ist.
OK, ich modifiziere meine Empfehlung: Möglicherweise solltest Du von Halmos
statt "Naive Set Theory" das nochmal sehr viel kürzere Büchlein "Wie
schreibt man mathematische Texte" lesen. Oder noch kürzer: Mathematische
Texte schreibt man nicht so, wie Mückenheim daherschwurbelt.
Ralf
--
Neueste Forschungsergebnisse aus deutschen Spitzenhochschulen. Heute von
Prof. Dr. Wolfgang Mückenheim, Mathematikkoryphäe der FH
Franz Fritsche
> Nochmal zurück zur Ausgangsfrage: ist jeder Satz ein Axiom?
>
> Bezogen auf ein gegebenes Axiomensystem ist diese Aussage falsch, denn dann
> sind ja klar, was die Axiome sind: nämlich genau die in diesem Axiomensystem
> genannten Sätze.
So ist es [zumindest in Systemen, in denen nicht jedes Theorem auch Axiom
ist]. Und in den üblichen System von ZFC ist eben AC eines der Axiome, UND
NICHT der Wohlordnungssatz (sic!) - da hat Albrecht absolut Recht mit
seinem Einwand!
Wenn als WM in Bezug auf ZFC sagt:
"Wenn man ehrlicher wäre, so würde man axiomatisch fordern, dass jede Menge
eine Wohlordnung besitzt." ,
dann ist Deine Entgegnung
"Ja, das tut man doch auch: Axiom of Choice ist äquivalent dazu. Damit ist
doch klipp und klar gesagt, dass "jede Menge besitzt eine Wohlordnung" ein
Axiom ist."
sicher nicht korrekt. In ZF+AC ist klarerweise der Wohlordnungssatz (sic!)
KEIN Axiom - Äquivalenz mit AC hin oder her.
Anmerkung: WM ist aber der Meinung, dass Zermelos Beweis des Wohlordnungs-
satzes auf der _Annahme_ "jede Menge besitzt eine Wohlordnung" _beruhe_
(somit also zirkular sei), was natürlich nur in seinem kranken Hirn ein be-
Albrecht
> Albrecht schrieb:
>
> >> Schwätzer! Das gebräuchlichste Axiomensystem ist ZFC, das kannst Du an
> >> verschiedenen Stellen in verschieden exakter Form nachlesen.
>
> > Du bist also auch der Ansicht, dass "jede Menge besitzt eine
> > Wohlordnung" ein Axiom in der ML, insbesondere in ZFC ist?
> > Komisch.
>
> ???
>
> > Ich habe dieses "Axiom" noch nie in einer Aufstellung
> > von Axiomen zu einer speziellen ML gelesen.
>
> Achso, siehe unten 10. Auswahlaxiom in
>
Ich lese hier immer noch, dass der Wohlordnungssatz ein Satz ist, und
kein Axiom. Dieses rumgenörgle an nachprüfbaren Tatsachen, nur weil
einer seinen offensichtlichen Irrtum nicht ertragen kann, ist so was
von lächerlich.
Gruß
Albrecht
Albrecht
> Albrecht schrieb:
>
> > Da jeder Satz, der aus Axiomen stringent hergeleitet wird, eine
> > Tautologie ist, ist jeder Satz ein Axiom?
>
> Du hast ein auf dem Axiomensystem A aufgebautes System S. Die ersten
> und am einfachsten zu beweisenden Sätze in S sind dann die Axiome selbst,
> logischerweise.
> Du kannst nun ohne weiteres ein Axiomensystem B gewinnen, indem Du zu A
> noch solche Sätze hinzunimmst, die sich aus A ableiten lassen. Das Axiomen-
> system B ist dann aber nicht minimal, und das ist nicht so schön.
Sag mal, jetzt sausst es aber solangsam in allen Gehirnen. Es gibt ja
wenig genug Forderungen an die Eigenschaften von Axiomensystemen. Aber
die Minimmalität ist ja wohl eine.
>
> Wenn Du nun aber aus B Axiome enfernst und damit ein von A verschiedenes
> minimales Axiomensystem gewinnen kannst, das zum selben System S führt,
> dann hast Du was Interessantes gemacht.
Laber, laber.
>
> Nochmal zurück zur Ausgangsfrage: ist jeder Satz ein Axiom?
> Bezogen auf ein gegebenes Axiomensystem ist diese Aussage falsch, denn dann
> sind ja klar, was die Axiome sind: nämlich genau die in diesem Axiomensystem
> genannten Sätze.
> Andererseits ist die Aussage auch interpretierbar als: könnte jeder Satz
> Axiom in einem Axiomensystem sein? Und dann ist sie mit "ja" zu beantworten.
>
Jetzt langts. Schwätzer.
AS
Carsten Schultz
> On 20 Jul., 00:23, Rainer Rosenthal <r.rosent...@web.de> wrote:
>> Albrecht schrieb:
>>
>>> Da jeder Satz, der aus Axiomen stringent hergeleitet wird, eine
>>> Tautologie ist, ist jeder Satz ein Axiom?
>>
>> Du hast ein auf dem Axiomensystem A aufgebautes System S. Die ersten
>> und am einfachsten zu beweisenden Sätze in S sind dann die Axiome selbst,
>> logischerweise.
>> Du kannst nun ohne weiteres ein Axiomensystem B gewinnen, indem Du zu A
>> noch solche Sätze hinzunimmst, die sich aus A ableiten lassen. Das Axiomen-
>> system B ist dann aber nicht minimal, und das ist nicht so schön.
>
>
> Sag mal, jetzt sausst es aber solangsam in allen Gehirnen. Es gibt ja
> wenig genug Forderungen an die Eigenschaften von Axiomensystemen. Aber
> die Minimmalität ist ja wohl eine.
>
Quatsch.
Thomas Plehn
_überabzählbar_ vielen "Ordinalzahlen" tatsächlich funktionieren soll,
und wahrscheinlich stört sich auch WM an dieser Frage
bitte entschuldige diese Naivität
Thomas Plehn
>>
>> OK, ich modifiziere meine Empfehlung: Möglicherweise solltest Du von Halmos
>> statt "Naive Set Theory" das nochmal sehr viel kürzere Büchlein "Wie
>> schreibt man mathematische Texte" lesen. Oder noch kürzer: Mathematische
>> Texte schreibt man nicht so, wie Mückenheim daherschwurbelt.
>>
>>
> dann habe ich wohl tatsächlich nicht verstanden, wie die Zuordnung von
> _überabzählbar_ vielen "Ordinalzahlen" tatsächlich funktionieren soll,
> und wahrscheinlich stört sich auch WM an dieser Frage
> bitte entschuldige diese Naivität
>
ok, habe mal bei Wikipedia den Artikel
http://de.wikipedia.org/wiki/Ordinalzahl
gelesen und weiß jetzt überhaupt erst, wie eine Ordinalzahl _allgemein_
definiert ist als
Eine Menge S heißt Ordinalzahl, wenn jedes Element von S auch
Teilmenge von S ist und S bezüglich der Mengeninklusion \subseteq
total geordnet ist.
Jede wohlgeordnete Menge X ist ordnungsisomorph zu genau einer
Ordinalzahl, die man meistens mit ord(X) oder X bezeichnet.
dann ist auch klar, wie diese "Verallgemeinerung" auf das Unendliche "so
ungefähr" funktioniert.
wobei ich einen "Ordnungsisomorphismus" verstehe als Abbildung f: A -> B
x <_{A} y <=> f(x) <_{B} f(y)
nun stellt sich nur noch die Frage: definiert die Abbildung f die
Relation auf B, oder die Relation auf B impliziert f ?
was klar ist: wenn A eine Ordinalzahl ist, also automatisch
wohlgeordnet, so ist B mit der Relation <_{B} auch wohlgeordnet
aber kann man "<_{B}" nun unabhängig definieren, oder ist diese Relation
indirekt definiert durch f ?
nun scheint der Ordnungsisomorphismus f genau das zu sein, was Prof.
Mückenheim mit Etikettierung meint, und ich muss zugeben dass ich auch
zunächst auf die Endlichkeit dieser "Etikettierung" hereingefallen bin.
Mir ist nämlich nicht klar: Erfüllt dann nicht jede Ordinalzahl die
Peano-Axiome, also ist isomorph zu |N ? Wie kann denn eine solche
Konstruktion überabzählbar sein?
Albrecht
> Am 20.07.10 07:38, schrieb Albrecht:
>
>
>
>
>
> > On 20 Jul., 00:23, Rainer Rosenthal <r.rosent...@web.de> wrote:
> >> Albrecht schrieb:
>
> >>> Da jeder Satz, der aus Axiomen stringent hergeleitet wird, eine
> >>> Tautologie ist, ist jeder Satz ein Axiom?
>
> >> Du hast ein auf dem Axiomensystem A aufgebautes System S. Die ersten
> >> und am einfachsten zu beweisenden Sätze in S sind dann die Axiome selbst,
> >> logischerweise.
> >> Du kannst nun ohne weiteres ein Axiomensystem B gewinnen, indem Du zu A
> >> noch solche Sätze hinzunimmst, die sich aus A ableiten lassen. Das Axiomen-
> >> system B ist dann aber nicht minimal, und das ist nicht so schön.
>
> > Sag mal, jetzt sausst es aber solangsam in allen Gehirnen. Es gibt ja
> > wenig genug Forderungen an die Eigenschaften von Axiomensystemen. Aber
> > die Minimmalität ist ja wohl eine.
>
> Quatsch.
>
Also spätestens jetzt steht Dein Peinlichkeitsindex auf Höchstmarke.
AS
Albrecht
> Am 20.07.2010 11:22, schrieb Thomas Plehn:
>
>
>
> >> OK, ich modifiziere meine Empfehlung: Möglicherweise solltest Du von Halmos
> >> statt "Naive Set Theory" das nochmal sehr viel kürzere Büchlein "Wie
> >> schreibt man mathematische Texte" lesen. Oder noch kürzer: Mathematische
> >> Texte schreibt man nicht so, wie Mückenheim daherschwurbelt.
>
> > dann habe ich wohl tatsächlich nicht verstanden, wie die Zuordnung von
> > _überabzählbar_ vielen "Ordinalzahlen" tatsächlich funktionieren soll,
> > und wahrscheinlich stört sich auch WM an dieser Frage
> > bitte entschuldige diese Naivität
>
>
> gelesen und weiß jetzt überhaupt erst, wie eine Ordinalzahl _allgemein_
> definiert ist als
>
> Eine Menge S heißt Ordinalzahl, wenn jedes Element von S auch
> Teilmenge von S ist und S bezüglich der Mengeninklusion \subseteq
> total geordnet ist.
>
> Jede wohlgeordnete Menge X ist ordnungsisomorph zu genau einer
> Ordinalzahl, die man meistens mit ord(X) oder X bezeichnet.
>
> dann ist auch klar, wie diese "Verallgemeinerung" auf das Unendliche "so
> ungefähr" funktioniert.
>
> wobei ich einen "Ordnungsisomorphismus" verstehe als Abbildung f: A -> B
> x <_{A} y <=> f(x) <_{B} f(y)
>
> nun stellt sich nur noch die Frage: definiert die Abbildung f die
> Relation auf B, oder die Relation auf B impliziert f ?
>
> was klar ist: wenn A eine Ordinalzahl ist, also automatisch
> wohlgeordnet, so ist B mit der Relation <_{B} auch wohlgeordnet
>
> aber kann man "<_{B}" nun unabhängig definieren, oder ist diese Relation
> indirekt definiert durch f ?
>
> nun scheint der Ordnungsisomorphismus f genau das zu sein, was Prof.
> Mückenheim mit Etikettierung meint, und ich muss zugeben dass ich auch
> zunächst auf die Endlichkeit dieser "Etikettierung" hereingefallen bin.
>
> Mir ist nämlich nicht klar: Erfüllt dann nicht jede Ordinalzahl die
> Peano-Axiome, also ist isomorph zu |N ? Wie kann denn eine solche
> Konstruktion überabzählbar sein?
ZFC ist genau so konstruiert, dass alles, was der gemeine
"Mengenlehrer" sich wünscht, formalisierbar ist. Darum beschränken
sich die Ordinalzahlen nicht auf das Endliche. Und für "Mengenlehrer"
ist eine transfinite Ordnungszahl nichts ungewöhnliches. Z.B. erhält
in der folgenden Ordnung der natürlichen Zahlen.
1, 3, 5, 7 ..., 2, 4, 6, 8, ...
die 2 eine transfinite Ordinalzahl. So ist das, z.B. in ZFC,
definiert. Übrigens sind wir damit noch lange nicht im
Überabzählbaren, sondern befinden uns "nur" im "einfachen
Unendlichen".
Gruß
Albrecht
Franz Fritsche
> Mir ist nämlich nicht klar: Erfüllt dann nicht jede Ordinalzahl die
> Peano-Axiome, also ist isomorph zu IN?
Das kann schon DESHALB nicht sein, weil es auch ENDLICHE Ordinalzahlen
gibt. ;-)))
MfG,
FF
Franz Fritsche
> dann habe ich wohl tatsächlich nicht verstanden, wie die Zuordnung von
> _überabzählbar_ vielen "Ordinalzahlen" tatsächlich funktionieren soll,
Davon war/ist aber bei WMs Geschwalle nicht die Rede: er _sprach_ von
"Ordnungszahlen" und nicht von "Ordinalzahlen"; und was er damit _gemeint_
hat, weiß vermutlich nicht mal er selbst. Du gehst von der irrigen Annahme
aus, dass WMs Äußerungen (im Kontext der Mengenlehre) _sinnvolle_ Aussagen
wären; dem ist in der Regel NICHT so.
MfG,
FF
Rainer Rosenthal
> Also spätestens jetzt steht Dein Peinlichkeitsindex auf Höchstmarke.
... sprach Albrecht in den Spiegel hinein.
Den "Schwätzer" nehme ich Dir übel :-)
Jetzt hattest Du die Chance, mal Ordnung in Deinen Begriffsbaukasten
zu bringen ohne ein schwieriges Lehrbuch zu bemühen, aber Du hast sie
leichtfertig und zum Schmunzeln von Alois Steindl vertan.
Gutmütig grüßend,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
Rainer Rosenthal
> Ich lese hier immer noch, dass der Wohlordnungssatz ein Satz ist,
> und kein Axiom.
Um den Wohlordnungssatz zu beweisen benötigt man das Auswahlaxiom.
Nimmt man den Wohlordnungssatz als Axiom (statt des Auswahlaxioms),
dann kann man den Satz beweisen, der vorher als Auswahlaxiom ins
Axiomensystem genommen wurde.
Gruß,
RR
Franz Fritsche
> Albrecht schrieb:
>>
>> Ich lese hier immer noch, dass der Wohlordnungssatz [in ZFC := ZF+AC]
>> ein Satz ist, und kein Axiom.
>>
> [Blubber]
Wo er Recht hat, hat er Recht. Ist es wirklich so schwer, das _einmal_
einzugestehen? :-o
MfG,
FF
Franz Fritsche
> Albrecht schrieb:
>>
>> Also spätestens jetzt steht Dein Peinlichkeitsindex auf Höchstmarke.
>>
> ... sprach Albrecht in den Spiegel hinein.
So ist's.
Natürlich gibt es das IDEAL, dass ein Axiomensystem
- widerspruchsfrei
- unabhängig
- vollständig
sein soll; siehe z. B.
http://de.wikipedia.org/wiki/Axiomensystem
Auf die Unabhängigkeit der Axiome wird aus _praktischen Gründen_ oft
verzichtet. So sind bekanntlich die Axiome von ZFC nicht unabhängig;
also das Axiomensystem nicht "minimal".
Insofern zeigt Albrecht doch wieder mal seine völlige Ahnungslosigkeit in
Bezug auf reale/konkrete mathematische Gegebenheiten, wenn er schreibt:
"...jetzt saust es aber so langsam in allen Gehirnen. Es gibt ja
wenig genug Forderungen an die Eigenschaften von Axiomensystemen.
Aber die Minimalität ist ja wohl eine."
Man merkt halt, dass er seine "Mathematik-Kenntnisse" lediglich aus der
Lektüre von populärwissenschaftlicher Literatur gewinnt. Ernsthafte Dis-
kussionen sind da natürlich nur wenig sinnvoll.
MfG,
FF
Albrecht
> Albrecht schrieb:
>
> > Also spätestens jetzt steht Dein Peinlichkeitsindex auf Höchstmarke.
>
> ... sprach Albrecht in den Spiegel hinein.
>
> Den "Schwätzer" nehme ich Dir übel :-)
> Jetzt hattest Du die Chance, mal Ordnung in Deinen Begriffsbaukasten
> zu bringen ohne ein schwieriges Lehrbuch zu bemühen, aber Du hast sie
> leichtfertig und zum Schmunzeln von Alois Steindl vertan.
>
Es ist immer wieder beglückend zu beobachten wie ihr zusammenhaltet
wie Pech und Schwefel. Rigth or wrong, my dsm. Yeah.
Wonniger Gruß zurück
Albrecht
Alois Steindl
Rainer und ich haben durchaus unterschiedliche Ansichten, speziell über
die Sinnhaftigkeit, Ihnen und Ihrem großen Vorbild
irgendeinen mathematischen Sachverhalt näherbringen zu wollen.
Alois Steindl
Franz Fritsche
> Rainer und ich haben durchaus unterschiedliche Ansichten, speziell
> über die Sinnhaftigkeit, Ihnen und Ihrem großen Vorbild
> irgendeinen mathematischen Sachverhalt näherbringen zu wollen.
*lol*
Als ob das möglich wäre! :-P
MfG,
FF
WM
> Mir ist nämlich nicht klar: Erfüllt dann nicht jede Ordinalzahl die
> Peano-Axiome, also ist isomorph zu |N ? Wie kann denn eine solche
> Konstruktion überabzählbar sein?
Nein, eine transfinite Ordinalzahl erfüllt nicht die Peano-Axiome.
Aber eine Ordinalzahl kann nur angegeben werden, wenn sie endlich
definiert ist. Und deswegen kann es nur abzählbar viele angebbare
Ordinalzahlen geben.
Und was von "unangebbaren Zahlen" zu halten ist, das fragt man besser
nicht gerade einen Matheologen.
Gruß. WM
WM
> Am 20.07.2010 02:51, schrieb Ralf Bader:
> >> werde ich gerne tun, wenn ich mal Zeit habe, aber für die Zwischenzeit
> >> sag mir doch bitte, was hier eine falsche Behauptung ist
>
> > Vielleicht habe ich Dich mißverstanden. Mir ist nicht klar, was hier
> > die "Ordnunsgzahlen" sein sollen. In der Mengenlehre gibt es die eigentlich
> > nicht, sondern Ordinalzahlen.
> > statt "Naive Set Theory" das nochmal sehr viel kürzere Büchlein "Wie
> > schreibt man mathematische Texte" lesen. Oder noch kürzer: Mathematische
> > Texte schreibt man nicht so, wie Mückenheim daherschwurbelt.
>
> dann habe ich wohl tatsächlich nicht verstanden, wie die Zuordnung von
> _überabzählbar_ vielen "Ordinalzahlen" tatsächlich funktionieren soll,
> und wahrscheinlich stört sich auch WM an dieser Frage
> bitte entschuldige diese Naivität-
Da ist nichts zu entschuldigen.
§ 14.
Die Ordnungszahlen wohlgeordneter Mengen.
Nach § 7 hat jede einfach geordnete Menge M einen bestimmten
Ordnungstyp M; es ist dies der Allgemeinbegriff, welcher sich aus M
ergibt, wenn unter Festhaltung der Rangordnung ihrer Elemente von der
Beschaffenheit der letzteren abstrahiert wird, so daß aus ihnen lauter
Einsen werden, die in einem bestimmten Rangverhältnis zueinander
stehen. Allen einander ähnlichen Mengen, und nur solchen, kommt ein
und derselbe Ordnungstypus zu.
Den Ordnungstypus einer wohlgeordneten Menge F nennen wir die ihr
zukommende "Ordnungszahl".
G. Cantor in der Arbeit, die jeder Kenner unter den Mengern kennt:
"Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre. [Math. Annalen
Bd. 46, S. 481-512 (1895); Bd. 49, S. 207-246 (1897).]"
Lass Dich nicht von Wortblasengewaltigen bluffen.
Gruß, WM
Albrecht
Ich vermute zwar nicht wirklich Ernsthaftigkeit in und zwischen Deinen
Zeilen, aber trotzdem: wenn Du mich fragst welche Vorbilder ich habe,
spontan fällt mir da Hoimar von Ditfurth ein, der in meiner Generation
durch die Sendung "Querschnitt" im ZDF bekannt wurde. HvD steht für
interdisziplinäres Denken, Offenheit für Neues, aber auch für
Wertkonservatismus zumindest in dem Sinne wie ich es verstehe, und,
sehr wichtig für Aufklärung und offensives Eintreten für das als wahr
erkannte. Weiteres lässt sich, bei Interesse, leicht im Netz
nachlesen.
So, und wie steht es mit Deinen Vorbildern?
Gruß
AS
Torn Rumero DeBrak
Da falle ich ja echt aus allen Wolken. So eine Scheinheiligkeit.
Der arme Hoimar würde in seinem Grab rotieren, wenn er
Deine Beiträge hier lesen würde.
Albrecht
>
Na, Du musst es ja wissen.
Albrecht
>
> Da falle ich ja echt aus allen Wolken. So eine Scheinheiligkeit
Vor lauter Scheinheiligkeit?
Torn Rumero DeBrak
2 Minuten Bedenkzeit, um sich dumm zu stellen? Du warst schon mal
besser. Oder brauchst Du den Volker, um Dich zu verArzten?
Christopher Creutzig
> wobei ich einen "Ordnungsisomorphismus" verstehe als Abbildung f: A -> B
> x <_{A} y <=> f(x) <_{B} f(y)
>
> nun stellt sich nur noch die Frage: definiert die Abbildung f die
> Relation auf B, oder die Relation auf B impliziert f ?
Wenn Du eines von beiden vorgibst, wie viel Auswahl hast Du dann noch
bei dem Anderen? Und wenn Du jetzt das Andere festhältst?
> was klar ist: wenn A eine Ordinalzahl ist, also automatisch
> wohlgeordnet, so ist B mit der Relation <_{B} auch wohlgeordnet
>
> aber kann man "<_{B}" nun unabhängig definieren, oder ist diese Relation
> indirekt definiert durch f ?
Wenn f schon vorgegeben ist, ist <_{B} dadurch eindeutig festgelegt.
Bei den meisten Wohlordnungen, etwa der von Albrecht zitierten solchen,
geben die meisten Autoren aber eher die Ordnung vor. Falls überhaupt die
Frage nach der Ordinalzahl aufkommt, wird die typischerweise erst danach
behandelt, und das f explizit anzugeben, ist, nun ja, meist weder
schwierig noch so richtig nützlich.
Aber ich glaube, das ist wirklich leichter aus einem Buch als aus einer
Newsgroup zu lernen.
> nun scheint der Ordnungsisomorphismus f genau das zu sein, was Prof.
> Mückenheim mit Etikettierung meint, und ich muss zugeben dass ich auch
> zunächst auf die Endlichkeit dieser "Etikettierung" hereingefallen bin.
>
> Mir ist nämlich nicht klar: Erfüllt dann nicht jede Ordinalzahl die
> Peano-Axiome, also ist isomorph zu |N ? Wie kann denn eine solche
> Konstruktion überabzählbar sein?
Eine Ordinalzahl braucht keine Vorgänger zu haben. Franz hat schon auf
endliche Ordinalzahlen hingewiesen, und transfinite Ordinalzahlen
erfüllen i.A. das fünfte Peano-Axiom nicht, also die vollständige
Induktion ist dort eben nicht vollständig.
--
Falsche Gruppe. Die Stabilität von Glashäusern unter Beschuss mit
aus dem Inneren abgefeuerten Steinen ist Thema von de.sci.architektur.
(Rainer Rosenthal)
WM
wrote:
> Aber ich glaube, das ist wirklich leichter aus einem Buch als aus einer
> Newsgroup zu lernen.
Das hängt wohl von dem Buch ab.
Gruß, WM
Albrecht
wrote:
> On 22 Jul., 07:37, Ivan Panchenko <panchenko.iv...@googlemail.com>
> wrote:
>
>
>
>
>
> > On 18 Jul., 10:31, Franz Fritsche <Franz.Frits...@FernUni-Hagen.de>
> > wrote:
>
> > > "...um nun einmal Klartext zu schreiben, [man] kann nicht überabz. viele
> > > reelle Zahlen in eine Ordnung bringen, selbst wenn so viele existieren
> > > würden. Jede Ordnungszahl ist ein Etikett. Und für jede reelle Zahl
> > > bräuchte man eine Ordnungszahl ein PIN. Das nicht erkannt zu haben,
> > > ist Zermelos Fehler."
>
> > > (Prof. Dr. Wolfgang Mückenheim, FH Augsburg)
>
> > der Menge der reellen Zahlen eine Wohlordnung existieren solle. So
> > glaubte denn auch 1904 Julius König, dies widerlegt zu haben; Felix
> > Hausdorff fand jedoch wenig später einen Fehler im Beweisversuch.
> > Ernst Zermelo führte das Auswahlaxiom als „unbedenkliches logisches
> > Prinzip“ ein, um den Wohlordnungssatz zu beweisen; dieses stellte sich
> > jedoch schnell als äquivalent zum Wohlordnungssatz heraus. Das
> > Auswahlaxiom und somit der Wohlordnungssatz sind unabhängig von der
> > Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre, d.h. sowohl der Satz als auch sein
> > Gegenteil lassen sich widerspruchsfrei voraussetzen, wenn man die
> > Widerspruchsfreiheit aller übrigen Axiome voraussetzt. Bis heute ist
> > keine explizite Konstruktion einer Wohlordnung auf der Menge der
> > reellen Zahlen bekannt, und tatsächlich lässt sich zeigen, dass
> > zumindest die Axiome der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre allein
> > (inklusive des Auswahlaxioms) die explizite Konstruktion einer solchen
> > Wohlordnung nicht zulassen."
>
> > Quelle: Wikipedia (Die Wikipedia gibt als Quelle das Buch "Einführung
> > in die Mengenlehre" von Oliver Deiser an)
>
> > Mit freundlichen Grüßen
> > Ivan Panchenko
>
> "Later it became clear that Zermelo's theorem [der Wohlordnungssatz]
> is equivalent to the axiom of choice"
> Quelle: ENCYCLOPAEDIA OF MATHEMATICS
>
Und was sagt uns das, in der Gesamtschau betrachtet? Dass jeder, der
das AC annimt, resp. nutzt, akzeptiert, dass auf R eine Wohlordnung
existieren muss die aber nicht anzugeben ist (und wohl auch nie
konstruiert werden kann).
Existente Einhörner, die man aber nicht sieht und auch sonst nicht
nachweisbar sind, sind von gleicher ontologischer Absurdität.
AS
Markus Sigg
So ist es wohl.
> Existente Einhörner, die man aber nicht sieht und auch sonst nicht
> nachweisbar sind, sind von gleicher ontologischer Absurdität.
>
> AS
Was verstehen Sie z.B. darunter, die Quadratwurzel von 2 anzugeben?
Und wo liegt der Unterschied zur Wohlordnungssache?
Gruß,
Markus Sigg
WM
Die Quadratwurzel kann man (jedenfalls im Prinzip) bis zu jeder
gewünschten Stelle approximieren.
> Und wo liegt der Unterschied zur Wohlordnungssache?
Die Wohlordnungssache wäre beweisbar falsch, wenn es überabzählbar
viele reelle Zahlen gäbe, weil es nicht möglich ist, überabzählbar
viele reelle Zahlen zu identifizieren. Man kann aber nur
identifizierte Dinge in irgendeine Ordnung bringen.
Gruß, WM
Carsten Schultz
Ich möchte nur noch einmal darauf hinweisen, dass es unsinnig ist, mit
Professor Mückenheim Feinheiten des Wohlordnungssatzes zu diskutieren.
Er bestreitet auch die Existenz der /natürlichen/ /Ordnung/ auf den
reellen Zahlen.
Gruß
Carsten
--
Carsten Schultz (2:38, 33:47)
http://carsten.codimi.de/
PGP/GPG key on the pgp.net key servers,
fingerprint on my home page.
Markus Sigg
Was Sie dabei angeben, sind irgendwelche anderen Zahlen,
aber nicht die Quadratwurzel von 2. Die Quadratwurzel von 2
können Sie nicht angeben, sehe ich das richtig?
>> Und wo liegt der Unterschied zur Wohlordnungssache?
>
> Die Wohlordnungssache wäre beweisbar falsch, wenn es überabzählbar
> viele reelle Zahlen gäbe, weil es nicht möglich ist, überabzählbar
> viele reelle Zahlen zu identifizieren. Man kann aber nur
> identifizierte Dinge in irgendeine Ordnung bringen.
Es fällt mir schwer, aus Ihren Sätzen eine mathematische
Aussage zu destillieren.
Mein Eindruck war, daß Sie zur Zeit versuchen, die axiomatische
Arbeitsweise zu verstehen. Die richtige Antwort wäre dann gewesen,
daß es in dieser Sicht kein Unterschied ist, ob Sie aus den
Axiomen eines ordnungsvollständigen archimedischen Körpers die
Existenz der Quadratwurzel von 2 beweisen oder ob Sie aus den
Axiomen von ZFC die Existenz einer Wohlordnung auf IR beweisen.
Mein Eindruck war aber offenbar falsch. Sie wollen weiterhin nicht
verstehen, wie man mit Axiomen arbeitet, sondern Sie stören sich an
gewissen Axiomen. AC hat es Ihnen besondern angetan.
Das ist insoweit kein Problem. Sie können auch sagen, daß die
Regeln des Schachspiels nichts taugen und nicht realistisch sind.
Welcher echte König läuft denn auf einem karierten Brett herum?
Sie können gewisse Regeln weglassen, z.B. die Rochade, und nach
den übrigen spielen. Das Mathematiker machen das auch. Sie lassen
z.B. gerne mal AC weg und schauen, was man ohne dieses Axiom beweisen
kann. In der Tat wird ein großer Teil der Mathematik ohne AC gemacht.
Wenn man AC doch benutzt, sollte man das klar ausdrücken. Achtung!
Hier benutzen wir AC! Schreckhafte Leute bitte zurückbleiben!
Auch Ihnen steht es frei, Mathematik ohne AC zu betreiben. Wieso tun
Sie das nicht?
Gruß,
Markus Sigg
WM
> >> Was verstehen Sie z.B. darunter, die Quadratwurzel von 2 anzugeben?
>
> > Die Quadratwurzel kann man (jedenfalls im Prinzip) bis zu jeder
> > gewünschten Stelle approximieren.
>
> Was Sie dabei angeben, sind irgendwelche anderen Zahlen,
> aber nicht die Quadratwurzel von 2. Die Quadratwurzel von 2
> können Sie nicht angeben, sehe ich das richtig?
Das ist ein Problem. Deshalb habe ich auch ernstlich erwogen,
irrationale Zahlen in meinem Buch
http://www.oldenbourg-wissenschaftsverlag.de/olb/de/1.c.1845646.de?hasjs=1279798984&submittedByForm=1&_lang=de&gsid=1.c.325875.de&id=1845646
nicht als Zahlen zu bezeichnen. Leider führt das zu sehr
schwerfälliger Ausdrucksweise. Nun schließe ich mich dem allgemeinen
Sprachgebrauch an und bezeichne - im Gegensatz zu Canbtor! - Wurzel(3)
als Zahl. Ich sehe die Rechtfertigung dafür darin, dass mit dem Namen
Wurzel(3) ein eindeutiger Sachverhalt kommunizierbar ist, und dass das
Quadrat die sicher als Zahl geltende 3 ergibt.
Eine Wohlordnung der reellen Zahlen wird durch WO(|R) nicht in dieser
eindeutigen Weise bestimmt.
>
> >> Und wo liegt der Unterschied zur Wohlordnungssache?
>
> > Die Wohlordnungssache wäre beweisbar falsch, wenn es überabzählbar
> > viele reelle Zahlen gäbe, weil es nicht möglich ist, überabzählbar
> > viele reelle Zahlen zu identifizieren. Man kann aber nur
> > identifizierte Dinge in irgendeine Ordnung bringen.
>
> Es fällt mir schwer, aus Ihren Sätzen eine mathematische
> Aussage zu destillieren.
Das glaube ich gern. Es fehlt die Übung in dieser Frage. Man lernt
gewöhnlich, die reellen Zahlen so zu unterscheiden: Ich betrachte die
Zahl x, z.B. als unendliche Ziffernfolge. Und für jede andere Zahl y
gibt es eine Stelle, in der sich x und y voneinander unterscheiden.
Das ist wohl richtig, aber diese Unterscheidung erfordert niemals
unendliche Ziffernfolgen, sondern nur Ziffernfolgen bis zu einer
endlich indizierten Stelle. das ist immer so. Nun weiß man aber, dass
alle diese Ziffernfolgen zu einer abzählbaren Menge gehören. (So wie
alle endliche Teilmengen der natürlichen Zahlen zu einer abz. Menge
gehören.) Man kann nicht mehr reelle Zahlen voneinander unterscheiden.
>
> Mein Eindruck war, daß Sie zur Zeit versuchen, die axiomatische
> Arbeitsweise zu verstehen. Die richtige Antwort wäre dann gewesen,
> daß es in dieser Sicht kein Unterschied ist, ob Sie aus den
> Axiomen eines ordnungsvollständigen archimedischen Körpers die
> Existenz der Quadratwurzel von 2 beweisen oder ob Sie aus den
> Axiomen von ZFC die Existenz einer Wohlordnung auf IR beweisen.
Diese Antwort ist deswegen falsch, weil die Mitteilung des Namens
Quadratwurzel(2) jedem Mathematiker erlaubt, das gedachte Objekt zu
identifizieren und (so genau er kann) zu approximieren. Die Mitteilung
der Namens Wohlordnung von |R erlaubt aber nichts dergleichen.
>
> Mein Eindruck war aber offenbar falsch. Sie wollen weiterhin nicht
> verstehen, wie man mit Axiomen arbeitet, sondern Sie stören sich an
> gewissen Axiomen. AC hat es Ihnen besondern angetan.
Ich störe mich an nachweisbar falschen Axiomen. Falsch bedeutet hier,
dass sie einen Widerspruch behaupten, so wie ein viereckiges Dreieck.
>
> Das ist insoweit kein Problem. Sie können auch sagen, daß die
> Regeln des Schachspiels nichts taugen und nicht realistisch sind.
> Welcher echte König läuft denn auf einem karierten Brett herum?
Das ist ein immer wieder gern gebrauchtes Beispiel, schon weil es so
lustig klingt. Die Mathematik auf einem Widerspruch aufzubauen, ist
dagegen eher traurig.
> Sie können gewisse Regeln weglassen, z.B. die Rochade, und nach
> den übrigen spielen. Das Mathematiker machen das auch. Sie lassen
> z.B. gerne mal AC weg und schauen, was man ohne dieses Axiom beweisen
> kann. In der Tat wird ein großer Teil der Mathematik ohne AC gemacht.
> Wenn man AC doch benutzt, sollte man das klar ausdrücken. Achtung!
> Hier benutzen wir AC! Schreckhafte Leute bitte zurückbleiben!
Das hat nichts mit schreckhaft zu tun. Es geht um die Toleranzschwelle
für Widersprüche.
>
> Auch Ihnen steht es frei, Mathematik ohne AC zu betreiben. Wieso tun
> Sie das nicht?
Ich tue es doch. Jeder tut es, muss es tun, denn AC ist nur ein Wort,
weiter nichts - allenfalls ein Placebo in Form eines Zauberspruchs
zur Autosuggestion des idealen Zustandes für Ängstliche.
Selbstverständlich gibt es keine Gamma-Menge und keine Wohlordnung
einer überabzählbaren Menge. Trotzdem funktioniert die Mathematik.
Ich halte es da ganz pragmatisch mit Robinson: Wir können so tun, als
gäbe es unendliche Mengen.
Gruß, WM
Karl Heinz
> Auch Ihnen steht es frei, Mathematik ohne AC zu betreiben. Wieso tun
> Sie das nicht?
Macht er doch:
http://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/
http://www.hs-augsburg.de/fakultaet/aw/person/lehrender/professor/mueckenheim_wolfgang/index.html
Michael Klemm
> Nun schließe ich mich dem allgemeinen
> Sprachgebrauch an und bezeichne - im Gegensatz zu Cantor! - Wurzel(3)
> als Zahl. Ich sehe die Rechtfertigung dafür darin, dass mit dem Namen
> Wurzel(3) ein eindeutiger Sachverhalt kommunizierbar ist, und dass das
> Quadrat die sicher als Zahl geltende 3 ergibt.
Im 19ten Jahrhundert wurden häufig in griechischer Tradition nur
ganzen Zahlen >= 2 als Zahlen bezeichnet. Die reelen Zahlen hießen
damals Größen. Die Zahl 3 ist ähnlich ungenau wie Wurzel 3,
sonst hätte man das Pariser Urmeter nicht umdefinieren müssen.
Gruß
Michael
WM
wrote:
>
> Ja, und weiter? Nimmt man das Axiom nicht an, so ist der Satz weder
> beweis- noch widerlegbar. Das besagen meine Quellen.
Sie sind falsch. Es ist ganz einfach zu sehen, dass eine überabz.
Menge nicht wie auch immer geordnet werden kann. Dann müsste man
nämlich Dinge ordnen, die man nicht bezeichnen kann (und die ohne
Bezeichnung nicht existieren).
> Es ist völlig sinnlos, etwas zu beweisen, indem man ein Axiom
> postuliert, das das zu Beweisende besagt, nicht wahr? Ansonsten könnte
> ich alle mathematischen Probleme, die vom heutigen Standpunkt aus als
> unbewiesen gelten, durch die Annahme, dass sie richtig sind, beweisen.
So ist es. Deswegen ist das Gütesiegel: "Mathematisch bewiesen" heute
nichts mehr wert.
Gruß, WM
Albrecht
Folgendes ist eine definite Angabe der Quadratwurzel von 2: Länge der
Diagonalen eines Quadrates mit der Seitenlänge 1.
Diese definite Angabe gibt z.B. Gewähr, eine beliebig genaue
Approximation in einem g-adischen Stellensystem anzugeben.
Der Unterschied zur "Wohlordnungssache" auf R ist offensichtlich der,
dass es keine definite Angabe einer solchen Wohlordnung gibt und dass
es wohl auch keine solche geben kann.
AS
WM
Da verwechselst Du Zahl und Einheit. Quantisierte Größen tragen keinen
Fehler (jedenfalls im Bereich des kleinen Einmaleins.)
Gruß, WM
Markus Sigg
weil meine Frage an ihn gerichtet war. Ich habe gar nicht
gemerkt, daß Sie, Herr Mückenheim, dazwischengequatscht haben.
Das ist ja witzig! Herr Storz denkt vielleicht noch immer
konzentriert über eine Antwort nach. Das spricht für ihn.
Am 22.07.10 14:03, schrieb WM:
> On 22 Jul., 13:37, Markus Sigg<n...@mail.invalid> wrote:
>
>>>> Was verstehen Sie z.B. darunter, die Quadratwurzel von 2 anzugeben?
>>
>>> Die Quadratwurzel kann man (jedenfalls im Prinzip) bis zu jeder
>>> gewünschten Stelle approximieren.
>>
>> Was Sie dabei angeben, sind irgendwelche anderen Zahlen,
>> aber nicht die Quadratwurzel von 2. Die Quadratwurzel von 2
>> können Sie nicht angeben, sehe ich das richtig?
>
> Das ist ein Problem. Deshalb habe ich auch ernstlich erwogen,
> irrationale Zahlen in meinem Buch
> http://www.oldenbourg-wissenschaftsverlag.de/olb/de/1.c.1845646.de?hasjs=1279798984&submittedByForm=1&_lang=de&gsid=1.c.325875.de&id=1845646
> nicht als Zahlen zu bezeichnen. Leider führt das zu sehr
> schwerfälliger Ausdrucksweise. Nun schließe ich mich dem allgemeinen
> Sprachgebrauch an und bezeichne - im Gegensatz zu Canbtor! - Wurzel(3)
> als Zahl. Ich sehe die Rechtfertigung dafür darin, dass mit dem Namen
> Wurzel(3) ein eindeutiger Sachverhalt kommunizierbar ist, und dass das
> Quadrat die sicher als Zahl geltende 3 ergibt.
Woher nehmen Sie in Ihrem Buch die Existenz des Dings, das
Sie nicht als Zahl bezeichnen wollten, dessen Quadrat 3
ergibt. Und was ist das, mathematisch gesehen, überhaupt
für ein Ding?
>>>> Und wo liegt der Unterschied zur Wohlordnungssache?
>>
>>> Die Wohlordnungssache wäre beweisbar falsch, wenn es überabzählbar
>>> viele reelle Zahlen gäbe, weil es nicht möglich ist, überabzählbar
>>> viele reelle Zahlen zu identifizieren. Man kann aber nur
>>> identifizierte Dinge in irgendeine Ordnung bringen.
>>
>> Es fällt mir schwer, aus Ihren Sätzen eine mathematische
>> Aussage zu destillieren.
Ist es nicht interessant, daß Sie als Mathematiklehrer
Sachen schrieben, die mir so unqualifiziert erschienen,
daß ich Herrn Storz für den Autor hielt?
Mit Ihrem übrigen Geschreib möchte ich gar mich nicht beschäftigen.
Es ist nur die wiederholte Demonstration Ihrer Unfähigkeit.
Da kann man wirklich von Herrn Storz, so trotzig und polemisch
er häufig ist, noch eher Fortschritte erwarten.
Gruß,
Markus Sigg
WM
> >>>> Was verstehen Sie z.B. darunter, die Quadratwurzel von 2 anzugeben?
>
> >>> Die Quadratwurzel kann man (jedenfalls im Prinzip) bis zu jeder
> >>> gewünschten Stelle approximieren.
>
> >> Was Sie dabei angeben, sind irgendwelche anderen Zahlen,
> >> aber nicht die Quadratwurzel von 2. Die Quadratwurzel von 2
> >> können Sie nicht angeben, sehe ich das richtig?
>
> > Das ist ein Problem. Deshalb habe ich auch ernstlich erwogen,
> > irrationale Zahlen in meinem Buch
> >http://www.oldenbourg-wissenschaftsverlag.de/olb/de/1.c.1845646.de?ha...
> > nicht als Zahlen zu bezeichnen. Leider führt das zu sehr
> > schwerfälliger Ausdrucksweise. Nun schließe ich mich dem allgemeinen
> > Sprachgebrauch an und bezeichne - im Gegensatz zu Canbtor! - Wurzel(3)
> > als Zahl. Ich sehe die Rechtfertigung dafür darin, dass mit dem Namen
> > Wurzel(3) ein eindeutiger Sachverhalt kommunizierbar ist, und dass das
> > Quadrat die sicher als Zahl geltende 3 ergibt.
>
> Woher nehmen Sie in Ihrem Buch die Existenz des Dings, das
> Sie nicht als Zahl bezeichnen wollten, dessen Quadrat 3
> ergibt. Und was ist das, mathematisch gesehen, überhaupt
> für ein Ding?
Es ist eine irrationale Zahl. Sagte ich das nicht schon einmal?
Und die rechtfertigung nehme ich aus der Tatsache, dass das Quadrat
eine natürliche Zahl ist.
>
> >>>> Und wo liegt der Unterschied zur Wohlordnungssache?
>
> >>> Die Wohlordnungssache wäre beweisbar falsch, wenn es überabzählbar
> >>> viele reelle Zahlen gäbe, weil es nicht möglich ist, überabzählbar
> >>> viele reelle Zahlen zu identifizieren. Man kann aber nur
> >>> identifizierte Dinge in irgendeine Ordnung bringen.
>
> >> Es fällt mir schwer, aus Ihren Sätzen eine mathematische
> >> Aussage zu destillieren.
>
> Ist es nicht interessant, daß Sie als Mathematiklehrer
> Sachen schrieben, die mir so unqualifiziert erschienen,
> daß ich Herrn Storz für den Autor hielt?
Wie etwas erscheint, hängt in der Regel von dem Lesenden ab.
>
> Mit Ihrem übrigen Geschreib möchte ich gar mich nicht beschäftigen.
Das kann ich gut verstehen. Ist mir auch egal. Aber es gibt sicher
Leute hier, die noch lernfähig sind.
> Es ist nur die wiederholte Demonstration Ihrer Unfähigkeit
den Block in Ihrem Kopf zu überwinden. Ich weiß es wohl.
> Da kann man wirklich von Herrn Storz, so trotzig und polemisch
> er häufig ist, noch eher Fortschritte erwarten.
In der Richtung auf die Wohlordnung der Matheologie wohl eher nicht.
Wer nicht in jungen Jahren schon infiziert wurde, erweist sich häufig
als immun dagegen.
Gruß, WM
Markus Sigg
Sie operieren hier mit Begriffen "Länge", "Diagonale", "Quadrat",
"Seitenlänge", "1", die Sie erklären müssen, ehe Sie sie benutzen.
Dann müssen Sie zeigen oder voraussetzen, daß jedes Quadrat eine
Diagonale hat, und daß diese Diagonale eine Länge hat. Können Sie
das? Kommen Sie ohne etwas einem Axiomensystem vergleichbares aus?
Wie rechnen Sie mit Längen? Finden Sie das einfacher als die heutigen
Verfahren, Zahlen mathematisch einzuführen?
> Diese definite Angabe gibt z.B. Gewähr, eine beliebig genaue
> Approximation in einem g-adischen Stellensystem anzugeben.
Können Sie das näher erläutern?
> Der Unterschied zur "Wohlordnungssache" auf R ist offensichtlich der,
> dass es keine definite Angabe einer solchen Wohlordnung gibt und dass
> es wohl auch keine solche geben kann.
Man kann so eine Wohlordnung nicht angeben. Ohne AC kann man auch nicht
beweisen, daß es eine gibt. Ohne Vollständigkeitsaxiom kann man nicht
beweisen, daß es eine Zahl mit dem Quadrat 2 gibt. Mit diesem Axiom
kann man es beweisen, aber Sie können diese Zahl nicht in
Dezimalschreibweise angeben. Sie möchten nun aus Verlegenheit
den Schauplatz zur Geometrie wechseln, richtig? Dann definieren Sie
bitte die Begriffe, die Sie oben benutzt haben.
Gruß,
Markus Sigg
Markus Sigg
> On 22 Jul., 14:32, Markus Sigg<n...@mail.invalid> wrote:
>
>>>>>> Was verstehen Sie z.B. darunter, die Quadratwurzel von 2 anzugeben?
>>
>>>>> Die Quadratwurzel kann man (jedenfalls im Prinzip) bis zu jeder
>>>>> gewünschten Stelle approximieren.
>>
>>>> Was Sie dabei angeben, sind irgendwelche anderen Zahlen,
>>>> aber nicht die Quadratwurzel von 2. Die Quadratwurzel von 2
>>>> können Sie nicht angeben, sehe ich das richtig?
>>
>>> Das ist ein Problem. Deshalb habe ich auch ernstlich erwogen,
>>> irrationale Zahlen in meinem Buch
>>> http://www.oldenbourg-wissenschaftsverlag.de/olb/de/1.c.1845646.de?ha...
>>> nicht als Zahlen zu bezeichnen. Leider führt das zu sehr
>>> schwerfälliger Ausdrucksweise. Nun schließe ich mich dem allgemeinen
>>> Sprachgebrauch an und bezeichne - im Gegensatz zu Canbtor! - Wurzel(3)
>>> als Zahl. Ich sehe die Rechtfertigung dafür darin, dass mit dem Namen
>>> Wurzel(3) ein eindeutiger Sachverhalt kommunizierbar ist, und dass das
>>> Quadrat die sicher als Zahl geltende 3 ergibt.
>>
>> Woher nehmen Sie in Ihrem Buch die Existenz des Dings, das
>> Sie nicht als Zahl bezeichnen wollten, dessen Quadrat 3
>> ergibt. Und was ist das, mathematisch gesehen, überhaupt
>> für ein Ding?
>
> Es ist eine irrationale Zahl. Sagte ich das nicht schon einmal?
> Und die rechtfertigung nehme ich aus der Tatsache, dass das Quadrat
> eine natürliche Zahl ist.
Sie drehen sich im Kreis.
Sie können mir nicht sagen, was es mathematisch ist, aber Sie wissen,
wie man es mit sich selbst multipliziert?
Gruß,
Markus Sigg
Thomas Plehn
ich versuche es jetzt mal ganz anders:
ist das eine Ordinalzahl:
{ A,{A},{A,{A}},{A,{A},{A,{A}}},B,{B},{B,{B}},{B,{B},{B,{B}}} } ?
erfüllt die Definition:
jedes Element der Ordinalzahl ist selbst Teilmenge der Ordinalzahl
angenommen A \subset B
dann ist doch das ganze bezüglich der Inklusion von Mengen total
geordnet oder nicht?
Karl Heinz
> Sie drehen sich im Kreis.
Ja, und du ebenfalls, und das ist genau das Spiel,
mit dem Professor Dr. WM euch allen seit 7 Jahren
am Nasenring durch seine Anwesen schleift.
Der Kreis ist das Ziel!
Karl Heinz
> Sie drehen sich im Kreis.
Ja, und du ebenfalls, und das ist genau das Spiel, mit
dem Professor Dr. WM euch alle seit 7 Jahren am Nasenring
durch seine Anwesen schleift. (Das Wohlergehen von weiteren
4 Personen hier hängt ebenfalls daran.)
Der Kreis ist das Ziel!
(Und allmählich gewöhne ich mich dran und langsam gefällts mir...)
Thomas Plehn
>
> ich versuche es jetzt mal ganz anders:
> ist das eine Ordinalzahl:
>
> { A,{A},{A,{A}},{A,{A},{A,{A}}},B,{B},{B,{B}},{B,{B},{B,{B}}} } ?
>
> erfüllt die Definition:
> jedes Element der Ordinalzahl ist selbst Teilmenge der Ordinalzahl
> angenommen A \subset B
> dann ist doch das ganze bezüglich der Inklusion von Mengen total
> geordnet oder nicht?
dann ist wahrscheinlich eher das eine Ordinalzahl
(ich schreibe jetzt o für "leere Menge")
{o, {o}, {o,{o}}, { o,{o},{o,{o}},{o,{o},{o,{o}}} } }
ich kann mir einfach nichts denken, was die Definition komplett erfüllt
jedes Element der Ordinalzahl ist selbst Teilmenge der Ordinalzahl
die Ordinalzahl ist bezüglich Mengeninklusion total geordnet
wenn ich mir so etwas denke, ende ich immer bei etwas, das isomorph zu
den natürlichen Zahlen ist
Karl Heinz
> Sie drehen sich im Kreis.
Ja, und du ebenfalls, und das ist genau das Spiel, mit
dem Professor Dr. WM euch alle seit 7 Jahren am Nasenring
durch seine Anwesen schleift. (Das Wohlergehen von weiteren
5 Personen hier hängt ebenfalls daran.)
Der Kreis ist das Ziel!
(Und allmählich gewöhne ich mich dran und langsam gefällts mir,
schade nur dass die Betäubungkraft, die in diesem hypnotisch
wirkenden Akt gemeinsamen Wahns steckt, dazu neigt auch ALLE
anderen Aktivitäten hier wegzuradieren - der maximal befriedigende
Zustand ist hier in den letzten Jahren immer der gewesen, wenn
tagelang niemand geschrieben hat, ausser WM, nämlioch "die" bis
zu seinem Ableben unvermeidlichen Kalenderblätter. WM hat, als
perfekt agierender Kriegsherr, diese NG perfekt besetzt und
getötet, denn er duldet eure Hottentottenmathematik nach Euklid nicht.)
Karl Heinz
> Sie drehen sich im Kreis.
Ja, und du ebenfalls, und das ist genau das Spiel, mit
dem Professor Dr. WM euch alle seit 7 Jahren am Nasenring
durch seine Anwesen schleift. (Das Wohlergehen von weiteren
5 Personen hier hängt ebenfalls daran.)
Der Kreis ist das Ziel!
(Und allmählich gewöhne ich mich dran und langsam gefällts mir,
schade nur dass die Betäubungkraft, die in diesem hypnotisch
wirkenden Akt gemeinsamen Wahns steckt, dazu neigt auch ALLE
anderen Aktivitäten hier wegzuradieren - der maximal befriedigende
Zustand ist hier in den letzten Jahren immer der gewesen, wenn
tagelang niemand geschrieben hat, ausser WM, nämlich "die" bis zu
seinem Ableben unvermeidlichen Kalenderblätter. WM hat, als perfekt
agierender Kriegsherr, diese NG perfekt besetzt und endlich abgetötet,
denn der Prof. Dr. duldet die Hottentottenmathematik nach Euklid nicht.)
http://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/
http://www.hs-augsburg.de/fakultaet/aw/person/lehrender/professor/mueckenheim_wolfgang/index.html
Hochschule Augsburg: http://www.hs-augsburg.de/
Folgende Ansprechpartner sind gerne für Sie da:
Pressesprecher/Pers. Referent des Präsidenten
Dr. Tobias Weismantel
Tel: 0821/5586-3414
Fax: 0821/5586-3516
E-Mail: tobias.w...@hs-augsburg.de
http://www.uni-augsburg.de/einrichtungen/leitung/
Präsident
Professor Dr. Wilfried Bottke
Telefon 0821/598-5100
Fax 0821/598-5116
E-Mail: praes...@praesidium.uni-augsburg.de
Öffentlichkeitsarbeit
Konstanze Frölich
Telefon 0821/598-4117, Telefax 0821/598-5116
Email: konstanze...@praesidium.uni-augsburg.de
Carsten Schultz
Die leere Menge ist eine Ordinalzahl.
Ist n eine Ordinalzahl, so ist n' := n u {n} eine Ordinalzahl.
Ist M eine Menge von Ordinalzahlen, so ist die Vereinigung aller
Elemente von M wieder eine Ordinalzahl.
Somit erhältst Du zunächst die endlichen Ordinalzahlen 0:={}, 0', 0'',
0''', ... Die Vereinigung all dieser nennen wir omega und ist
tatsächlich isomorph zur Menge der natürlichen Zahlen. In der Tat ist
es üblich, dies die Menge der natürlichen zu nennen. Dann ist omega'
eine weitere abzählbar-unendliche Ordinalzahl, und diese ist nicht
isomorph zu den bisher betrachteten. Eine überabzählbare Ordinalzahl
lässt sich in der Tat schwerer vorstellen.
Franz Fritsche
> jedes Element der Ordinalzahl ist selbst Teilmenge der Ordinalzahl
> die Ordinalzahl ist bezüglich Mengeninklusion total geordnet
>
> wenn ich mir so etwas denke, ende ich immer bei etwas, das isomorph zu
> den natürlichen Zahlen ist
Na dann probier's doch mal mit folgenden Orinalzahlen:
0 (bzw. {})
{0}
{0, {0}}
{0, {0}, {0, {0}}}
usw. :-)
MfG,
FF
Karl Heinz
> Eine überabzählbare Ordinalzahl lässt sich in der Tat schwerer vorstellen.
Wie denn?
Karl Heinz
> Sie drehen sich im Kreis.
Ja, und du ebenfalls, und das ist genau das Spiel, mit
Michael Klemm
Bei Euklid heißt die 1 Einheit im Unterschied zu den (Viel-)Zahlen.
So steht das jedenfalls in den deutschhen Ausgaben der Elemente
http://www.harri-deutsch.de/cgi-bin/start.cgi?9783817134137
Ein kleines Einmaleins habe ich dort nicht gesehen.
Wie groß ist denn Deiner Meinung nach die Kantenlänge
eines Würfels mit der Raumdiagonalen Wurzel(3)?
Gruß
Michael
WM
> Sie operieren hier mit Begriffen "Länge", "Diagonale", "Quadrat",
> "Seitenlänge", "1", die Sie erklären müssen, ehe Sie sie benutzen.
Ich würde Albrecht empfehlen, nur mit Leuten zu reden, die das alles
in der Schule gelernt haben. Es gibt Sachen, die nicht jeder begreift.
Und wenn erwachsene Menschen das immer noch nicht wissen, dann wäre es
für diese günstiger, einen künstlerischen Beruf zu wählen. Da kann man
auch Großes leisten, wie z. B. Goethe, der noch als Erwachsener die
vier Grundrechenarten besser verstehen lernen wollte.
Wer mit 20 noch nicht weiß, was ein Quadrat ist (Goethe z. B. sprach
von länglichem Quadrat), der hat sicher Schwierigkeiten als
Mathematiker. Ich meine, wir könnten besser noch ein paar gute
Violinspieler brauchen als so viele schlechte Mathematiker, die wir
haben.
Gruß, WM
WM
> Am 22.07.10 14:41, schrieb WM:
> > Es ist eine irrationale Zahl. Sagte ich das nicht schon einmal?
> > Und die rechtfertigung nehme ich aus der Tatsache, dass das Quadrat
> > eine natürliche Zahl ist.
>
> Sie drehen sich im Kreis.
Kreis? Bitte definieren Sie, was Sie damit meinen.
Gruß, WM
WM
Du versuchst es jetzt mit der v. Neumannschen Definition:
{0, {0}, {0, {0}}, {0, {0}, {0, {0}}}}, ...
Übersichtlicher ist die Zermelosche: 0, {0}, {{0}}, {{{0}}}, ... (wo
die Null hier ausnahmsweise und nicht ganz korrekt mal die leere Menge
darstellen soll.)
Diese Ordinalzahlen sind total geordnet. *Aber*: Es gibt nur abzählbar
viele davon. Das ist der springende Punkt. Eine wohlgeordnete Menge
aller reellen Zahlen müsste jedoch isomorph zu einer ebensolchen Menge
von Ordnungszahlen sein.
Gruß, WM
WM
> WM> WM schrieb:
>
>
>
> > > > Nun schließe ich mich dem allgemeinen
> > > > Sprachgebrauch an und bezeichne - im Gegensatz zu Cantor! - Wurzel(3)
> > > > als Zahl. Ich sehe die Rechtfertigung dafür darin, dass mit dem Namen
> > > > Wurzel(3) ein eindeutiger Sachverhalt kommunizierbar ist, und dass das
> > > > Quadrat die sicher als Zahl geltende 3 ergibt.
>
> > > Im 19ten Jahrhundert wurden häufig in griechischer Tradition nur
> > > ganzen Zahlen >= 2 als Zahlen bezeichnet. Die reelen Zahlen hießen
> > > damals Größen. Die Zahl 3 ist ähnlich ungenau wie Wurzel 3,
> > > sonst hätte man das Pariser Urmeter nicht umdefinieren müssen.
> > Da verwechselst Du Zahl und Einheit. Quantisierte Größen tragen keinen
> > Fehler (jedenfalls im Bereich des kleinen Einmaleins.)
>
> Bei Euklid heißt die 1 Einheit im Unterschied zu den (Viel-)Zahlen.
> So steht das jedenfalls in den deutschhen Ausgaben der Elemente
> http://www.harri-deutsch.de/cgi-bin/start.cgi?9783817134137
> Ein kleines Einmaleins habe ich dort nicht gesehen.
Dann solltest Du Dir für den Anfang merken: 1 mal 1 = 1.
> Wie groß ist denn Deiner Meinung nach die Kantenlänge
> eines Würfels mit der Raumdiagonalen Wurzel(3)?
Es gibt keinen Würfel mit der Raumdiagonale Wurzel(3). Die
Raumdiagonale ist genaugenommen eine Strecke der Länge Wurzel(3) m,
wenn die Kantenlänge 1 m beträgt.
Das Urmeter in Paris hat nicht die Länge 1 sondern die Länge 1 m.
Andernfalls bräuchte und könnte man nichts daran (zu) korrigieren
Gruß, WM
Markus Sigg
Ich meine damit, daß Sie auf die Frage, was die Zahl / das Ding
Quadratwurzel von 3 sei, antworten, es sei keine rationale Zahl.
Das empfinde ich als zirkulär. Ich habe nicht gefragt, was es
nicht ist, sondern was es in der Mückematik ist. Haben Sie darauf
keine Antwort? Was ist für Sie eine irrationale Zahl?
Gruß,
Markus Sigg
Markus Sigg
> On 22 Jul., 14:56, Markus Sigg<n...@mail.invalid> wrote:
>
>> Sie operieren hier mit Begriffen "Länge", "Diagonale", "Quadrat",
>> "Seitenlänge", "1", die Sie erklären müssen, ehe Sie sie benutzen.
>
Das müssen Sie dann nicht mir sagen, sondern Herrn Storz.
Gruß,
Markus Sigg
Karl Heinz
> Haben Sie darauf keine Antwort?
Doch! Natürlich. Bis WM tot ist kannst du ab jetzt immer, den
ganzen Tag lang, damit parlieren. So wie diese Tage eben.
> Was ist für Sie eine irrationale Zahl?
Moment... geht gleich los...
Karl Heinz
>> Ich würde Albrecht empfehlen, ...
>
> Das müssen Sie dann nicht mir sagen, sondern Herrn Storz.
Geduld, das spielt sich in den nächsten Monaten schnell ein zwischen euch.
Franz Fritsche
> [...] was es in der Mücke[n]matik ist. Haben Sie darauf
> keine Antwort? Was ist für Sie eine irrationale Zahl?
Ach das steht in einem seiner unsäglichen "papers". :-)
Irrationale Zahlen sind _Ideen_!
Jetzt zufrienden? ;-P
F.
Franz Fritsche
> [...] was es in der Mücke[n]matik ist. Haben Sie darauf
> keine Antwort? Was ist für Sie eine irrationale Zahl?
Ach das steht in einem seiner unsäglichen "papers". :-)
Irrationale Zahlen sind _Ideen_.
Jetzt zufrienden? ;-P
F.
WM
> Am 22.07.10 19:11, schrieb WM:
>
> > On 22 Jul., 15:00, Markus Sigg<n...@mail.invalid> wrote:
> >> Am 22.07.10 14:41, schrieb WM:
>
> >>> Es ist eine irrationale Zahl. Sagte ich das nicht schon einmal?
> >>> Und die rechtfertigung nehme ich aus der Tatsache, dass das Quadrat
> >>> eine natürliche Zahl ist.
>
> >> Sie drehen sich im Kreis.
>
> > Kreis? Bitte definieren Sie, was Sie damit meinen.
>
>
> Quadratwurzel von 3 sei, antworten, es sei keine rationale Zahl.
> Das empfinde ich als zirkulär. Ich habe nicht gefragt, was es
> nicht ist, sondern was es in der Mückematik ist. Haben Sie darauf
> keine Antwort? Was ist für Sie eine irrationale Zahl?
Doch, habe ich, aber das ist nicht in zwei Worten gesagt, wenn der
Hörer keine Grundkenntnisse hat oder diese verleugnet. Ich verweise in
solchen Fällen gern auf mein Buch "Die Mathematik des Unendlichen",
160 Seiten, Shaker-Verlag, Aachen 2006 oder das paper: W. Mückenheim:
"Physical Constraints of Numbers", Proceedings of the First
International Symposium of Mathematics and its Connections to the Arts
and Sciences, A. Beckmann, C. Michelsen, B. Sriraman (eds.),
Franzbecker, Berlin 2005, p. 134 - 141, auch hier verfügbar:
http://arxiv.org/pdf/math.GM/0505649
Sollten nach der Lektüre noch Fragen offen sein, bin ich zur
Beantwortung, soweit sie in meinen Kräften steht, gern bereit.
Gruß, WM
Markus Sigg
> On 22 Jul., 19:35, Markus Sigg<n...@mail.invalid> wrote:
>> Am 22.07.10 19:11, schrieb WM:
>>
>>> On 22 Jul., 15:00, Markus Sigg<n...@mail.invalid> wrote:
>>>> Am 22.07.10 14:41, schrieb WM:
>>
>>>>> Es ist eine irrationale Zahl. Sagte ich das nicht schon einmal?
>>>>> Und die rechtfertigung nehme ich aus der Tatsache, dass das Quadrat
>>>>> eine natürliche Zahl ist.
>>
>>>> Sie drehen sich im Kreis.
>>
>>> Kreis? Bitte definieren Sie, was Sie damit meinen.
>>
>>
>> Ich meine damit, daß Sie auf die Frage, was die Zahl / das Ding
>> Quadratwurzel von 3 sei, antworten, es sei keine rationale Zahl.
>> Das empfinde ich als zirkulär. Ich habe nicht gefragt, was es
>> nicht ist, sondern was es in der Mückematik ist. Haben Sie darauf
>> keine Antwort? Was ist für Sie eine irrationale Zahl?
>
> Doch, habe ich, aber das ist nicht in zwei Worten gesagt, wenn der
> Hörer keine Grundkenntnisse hat oder diese verleugnet. Ich verweise in
In der Mathematik ist für jemanden mit Grundkenntnissen, worunter ich
eine der üblichen Einführungen der reellen Zahlen verstehe, in ganz
wenigen Worten zu sagen, was man unter einer irrationalen Zahl versteht
oder was etwa mit der 11. Wurzel von 7 gemeint ist.
In der Mückematik ist der Sachverhalt wohl ein bißchen verwickelter.
> solchen Fällen gern auf mein Buch "Die Mathematik des Unendlichen",
> 160 Seiten, Shaker-Verlag, Aachen 2006 oder das paper: W. Mückenheim:
> "Physical Constraints of Numbers", Proceedings of the First
> International Symposium of Mathematics and its Connections to the Arts
> and Sciences, A. Beckmann, C. Michelsen, B. Sriraman (eds.),
> Franzbecker, Berlin 2005, p. 134 - 141, auch hier verfügbar:
> http://arxiv.org/pdf/math.GM/0505649
> Sollten nach der Lektüre noch Fragen offen sein, bin ich zur
> Beantwortung, soweit sie in meinen Kräften steht, gern bereit.
>
> Gruß, WM
Ihre Kräfte sind schon jetzt überfordert, würde ich sagen.
Gruß,
Markus Sigg
Karl Heinz
> Ihre Kräfte sind schon jetzt überfordert, würde ich sagen.
Aber der Prof. Dr. bekommt bald als Eremit seine Brötchen,
er kann sich das leisten, aber dein Urlaub ist bald vorbei.
Christopher Creutzig
Genau so, wie die Menge der endlichen Ordinalzahlen wieder eine
(abzählbar unendliche) Ordinalzahl ist, ist die Menge der höchstens
abzählbaren Ordinalzahlen (also bis auf Notation die Menge der
Wohlordnungen von IN und Teilmengen von IN) eine (überabzählbare)
Ordinalzahl. Übrigens die kleinste überabzählbare solche. Dafür braucht
man nicht einmal das Auswahlaxiom, Hartogs hat das Ganze ohne AC in noch
deutlich größerer Allgemeinheit bewiesen.
--
Falsche Gruppe. Die Stabilität von Glashäusern unter Beschuss mit
aus dem Inneren abgefeuerten Steinen ist Thema von de.sci.architektur.
(Rainer Rosenthal)
Christopher Creutzig
> Ja, und weiter? Nimmt man das Axiom nicht an, so ist der Satz weder
> beweis- noch widerlegbar. Das besagen meine Quellen.
Abhängig davon, was man sonst so annimmt. In ZF ist das richtig.
> Es ist völlig sinnlos, etwas zu beweisen, indem man ein Axiom
> postuliert, das das zu Beweisende besagt, nicht wahr? Ansonsten könnte
Das Auswahlaxiom postuliert nicht die Wohlordnung auf R, sondern das
Auswahlaxiom postuliert, dass das Kreuzprodukt beliebig vieler (mehr als
0) nicht-leerer Mengen nicht leer sei.
Das ist ein dermaßen „offensichtliches“ Postulat, dass es für die
meisten Leute ziemlich überraschend war und ist, zu lernen, dass sich
diese Aussage nicht aus den Axiomen von ZF folgern lässt, sondern davon
völlig unabhängig ist.
> ich alle mathematischen Probleme, die vom heutigen Standpunkt aus als
> unbewiesen gelten, durch die Annahme, dass sie richtig sind, beweisen.
Außer in WMs kontrafaktischer Wahrnehmung ist das nicht die in der
Mathematik übliche Arbeitsweise. Lass Dir da nichts einreden, sondern
prüfe selbst.
Karl Heinz
> Das Auswahlaxiom postuliert nicht die Wohlordnung auf R, sondern das
> Auswahlaxiom postuliert, dass das Kreuzprodukt beliebig vieler (mehr als
> 0) nicht-leerer Mengen nicht leer sei.
Ja. Alle Elementmengen der die Elemente enthaltenden müssen sich
per def unterscheiden, so dass das zum Axiom C (choice) führt.
> Das ist ein dermaßen „offensichtliches“ Postulat, dass es für die
> meisten Leute ziemlich überraschend war und ist, zu lernen, dass sich
> diese Aussage nicht aus den Axiomen von ZF folgern lässt, sondern davon
> völlig unabhängig ist.
Ja, und/aber NICHT offensichtlich ist es nur im Unendlichen, oder?
D.h. im Endlichen ist das kein Axiom, oder?
Karl Heinz
> Das Auswahlaxiom postuliert nicht die Wohlordnung auf R, sondern das
> Auswahlaxiom postuliert, dass das Kreuzprodukt beliebig vieler (mehr als
> 0) nicht-leerer Mengen nicht leer sei.
Ja. Alle Elementmengen der die Elemente enthaltenden Menge müssen
sich per def unterscheiden, so dass das zum Axiom C (choice) führt.
> Das ist ein dermaßen „offensichtliches“ Postulat, dass es für die
> meisten Leute ziemlich überraschend war und ist, zu lernen, dass sich
> diese Aussage nicht aus den Axiomen von ZF folgern lässt, sondern davon
> völlig unabhängig ist.
Ja, und/aber NICHT offensichtlich ist es nur im Unendlichen, oder?
Christopher Creutzig
> Christopher Creutzig schrieb:
>
>> Das Auswahlaxiom postuliert nicht die Wohlordnung auf R, sondern das
>> Auswahlaxiom postuliert, dass das Kreuzprodukt beliebig vieler (mehr als
>> 0) nicht-leerer Mengen nicht leer sei.
>
> Ja. Alle Elementmengen der die Elemente enthaltenden Menge müssen
> sich per def unterscheiden, so dass das zum Axiom C (choice) führt.
Äh, nein. Es ist nur für die Notation nötig, dieser Familie von Mengen
irgendwie Namen bspw. der Form A_i zu geben. Aber es geht nicht
unbedingt um Mengen von Mengen, sondern allgemeinere Familien – da
dürfen durchaus Mengen mehrfach auftreten.
>> Das ist ein dermaßen „offensichtliches“ Postulat, dass es für die
>> meisten Leute ziemlich überraschend war und ist, zu lernen, dass sich
>> diese Aussage nicht aus den Axiomen von ZF folgern lässt, sondern davon
>> völlig unabhängig ist.
>
> Ja, und/aber NICHT offensichtlich ist es nur im Unendlichen, oder?
Für die meisten Leute ist es wohl überall völlig offensichtlich. Was
allerdings, wie immer bei Offensichtlichkeiten – nicht nur in der
Mathematik –, nicht bedeutet, dass es richtig ist.
> D.h. im Endlichen ist das kein Axiom, oder?
Die Aussage des Auswahlaxioms lässt sich für endliche Familien von
Mengen (die selbst durchaus beliebig doll unendlich sein können) in ZF
direkt beweisen, vollständige Induktion. Das bedeutet natürlich nicht,
die Aussage sei dann als Axiom untauglich. Beweisbare Sätze als Axiome
zu verwenden, ist völlig legitim.
Karl Heinz
> On 7/22/10 9:55 PM, Karl Heinz wrote:
>> Christopher Creutzig schrieb:
>>
>>> Das Auswahlaxiom postuliert nicht die Wohlordnung auf R, sondern das
>>> Auswahlaxiom postuliert, dass das Kreuzprodukt beliebig vieler (mehr als
>>> 0) nicht-leerer Mengen nicht leer sei.
>>
>> Ja. Alle Elementmengen der die Elemente enthaltenden Menge müssen
>> sich per def unterscheiden, so dass das zum Axiom C (choice) führt.
>
> Äh, nein. Es ist nur für die Notation nötig, dieser Familie von Mengen
> irgendwie Namen bspw. der Form A_i zu geben. Aber es geht nicht
> unbedingt um Mengen von Mengen, sondern allgemeinere Familien – da
> dürfen durchaus Mengen mehrfach auftreten.
Oh, mehrfach...
Nehmen wir den einfachsten Fall: eine, äh, Superfamilie F
hat 2 Familien drin, die beide ein Element x1 = x2 haben:
F = { {x1}, {x2} | x1=x2 } dann scheitert das AoC nicht?