monotone unstetige Funktion
Arne Schneck
ist es eigentlich möglich, eine Funktion zu konstruieren, die monoton
ist, aber *überabzählbar* viele Stellen hat, an denen sie unstetig ist?
Was mit *abzählbar* vielen Unstetigskeitsstellen krieg' ich noch hin,
zum Beispiel
f : (0,1] -> R mit
f(x) = 1 / n für 1/(n+1) < x <= 1/n (mit n aus N)
Bzw. wenn man so eine Funktion nicht konstruieren kann, wie beweist man
dann, dass es nicht geht?
Viele Grüße,
Arne
Paul Ebermann
> ist es eigentlich möglich, eine Funktion zu konstruieren, die monoton
> ist, aber *überabzählbar* viele Stellen hat, an denen sie unstetig ist?
Zumindest im Reellen geht das nicht:
Eine monotone Funktion hat höchstens abzählbar
viele Unstetigkeitsstellen und jede davon ist
eine Sprungstelle.
> Was mit *abzählbar* vielen Unstetigskeitsstellen krieg' ich noch hin,
> zum Beispiel
> f : (0,1] -> R mit
> f(x) = 1 / n für 1/(n+1) < x <= 1/n (mit n aus N)
>
> Bzw. wenn man so eine Funktion nicht konstruieren kann, wie beweist man
> dann, dass es nicht geht?
Zunächst macht man sich klar, dass bei einer
monotonen Funktion von einer Menge U (Teilmenge
von R) nach R an jeder Stelle des Definitionsbereiches
der rechtsseitige und der linksseitige Grenzwert
existieren müssen. (Warum?)
Damit sind alle Unstetigkeitsstellen Sprungstellen
(Warum?)
Da jeder solche Sprung eine endliche Distanz
überbrückt, liegt dort mindestens eine rationale
Zahl echt zwischen den einseitigen Grenzwerten.
Da die Funktion monoton ist, ist dies immer eine
andere Zahl.
Dadurch erhalten wir eine injektive Abbildung
{Unstetigkeitsstellen} --> Q,
und Q ist bekanntlich abzählbar.
Damit ist auch die Menge der Unstetigkeitsstellen
abzählbar.
HTH
Paul
PS: Ich hoffe, ich habe hier keine Hausaufgabe
vorgerechnet ...
Brian M. Scott
wrote:
>Hallo zusammen,
>ist es eigentlich möglich, eine Funktion zu konstruieren, die monoton
>ist, aber *überabzählbar* viele Stellen hat, an denen sie unstetig ist?
Nein. Sei f : R --> R eine solche Funktion, D = {x in R : f ist
unstetig an x}. Sei c in D. Weil f monoton ist, existieren die
Grenzwerte f(c-) = lim_{x->c-}(f(x)) und f(c+) = lim_{x->c+}(f(x)).
Natürlich gilt f(c-) < f(c+), weil f unstetig an c ist. Die Intervale
(f(c-), f(c+)) sind paarweise disjunkt, und jedes muss eine rationale
Zahl enthalten. D ist also abzählbar.
[...]
Brian
Arne Schneck
>
> "Arne Schneck" skribis:
>
> > ist es eigentlich möglich, eine Funktion zu konstruieren, die monoton
> > ist, aber *überabzählbar* viele Stellen hat, an denen sie unstetig ist?
>
> Zumindest im Reellen geht das nicht:
>
> Eine monotone Funktion hat höchstens abzählbar
> viele Unstetigkeitsstellen und jede davon ist
> eine Sprungstelle.
[Begründung]
> HTH
> Paul
> PS: Ich hoffe, ich habe hier keine Hausaufgabe
> vorgerechnet ...
Danke für die Erleuchtung. Die Frage hatte nichts mit Hausaufgaben zu
tun. Sie kam daher, dass es in Analysis um Integrabilitätskriterien
ging. Wir hatten halt gezeigt, dass monotone Funktionen R-integrierbar
sind. Der etwas verzettelte Dozent bemerkte dann, man könne Funktionen
konstruieren, die an überabzählbar vielen Stellen unstetig sind, was ich
mir zumindest nicht vorstellen konnte. Und wie man so eine Funktion dann
wohl integrieren will...
Viele Grüße,
Arne
Paul Ebermann
> Danke für die Erleuchtung. Die Frage hatte nichts mit Hausaufgaben zu
> tun. Sie kam daher, dass es in Analysis um Integrabilitätskriterien
> ging. Wir hatten halt gezeigt, dass monotone Funktionen R-integrierbar
> sind. Der etwas verzettelte Dozent bemerkte dann, man könne Funktionen
> konstruieren, die an überabzählbar vielen Stellen unstetig sind, was ich
> mir zumindest nicht vorstellen konnte. Und wie man so eine Funktion dann
> wohl integrieren will...
Vielleicht war das so gemeint: Wenn wir auf das Kriterium
Monotonie verzichtet, kann man Funktionen konstruieren,
die an überabzählbar unendlich vielen Stellen (etwa auf
dem Cantorschen Diskontinuum) unstetig sind.
Und die könnte sogar noch integrierbar sein ...
Paul
Horst Kraemer
wrote:
> Paul Ebermann schrieb:
Ganz einfach. Man definiere eine Funktion f auf [0,1] wie folgt:
f(x) = 1, wenn in der Dezimaldarstellung von x die Ziffer 5 nicht
vorkommt, andernfalls f(x) = 0. Falls mehrere Darstellungen
existieren, ist immer diejenige gemeint, die nicht mit 9999... endet.
f ist stetig fuer alle x mit f(x) = 0 und unstetig fuer alle x mit
f(x)=1. Es gibt zwar ueberabzahlbar viele x mit f(x)=1, es sind aber
andererseits so "wenige" (Lebesgue-Mass 0), dass die Funktion "gerade
noch" R-Integrierbar ist. Die Punkte mit f(x)=1 bilden ein sog.
Cantorsches Diskontinuum.
> Und wie man so eine Funktion dann wohl integrieren will...
Halt streng nach Definition des R-Integrals (Uebungsaufgabe:), Es
kommt uebrigens 0 heraus.,,
MfG
Horst