Lineare Abbildung symmetrisch --> Darstellungsmatrix symmetrisch?

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Stephan Gerlach

unread,
Aug 16, 2022, 6:41:51 PMAug 16
to
Hier habe ich eine kleine Aufgabe für zwischendurch, die lediglich
elementare(?) Kenntnisse über lineare Algebra erfordert:

Voraussetzung:
Ein endlich-dimensionaler reeller Hilbertraum V, d.h. ein Vektorraum mit
Skalarprodukt <.,.>.
Es sei {v1, ..., vn} eine Basis von V.

Definition: Eine lineare Abbildung T: V --> V
heißt symmetrisch, wenn
<Tx,y> = <x,Ty>
für alle x∈V, y∈V.

Bekanntermaßen gibt es für T eine (reelle) Darstellungsmatrix A
bezüglich der Basis {v1, ..., vn} von V.

Frage: Wenn T symmetrisch ist, ist dann auch A eine symmetrische Matrix?

Wenn ja, sollte dies natürlich bewiesen werden.


Bemerkungen:
-------------
(1) Eigentlich ist/war das keine Aufgabe aus irgendeinem Aufgabenbuch
(zumindest weiß ich dann nix davon); ich habe eine Aufgabe draus gemacht.

(2) Tip: Am besten zuerst den Fall n=2 (Dimension des Vektorraumes)
betrachten.

(3) Was ich hier als Definition der Symmetrie einer linearen Abbildung
benutzt habe, gilt für reelle symmetrische Matrizen A und Vektoren x und
y des R^n in ähnlicher Form:
x^Tr * A * y = y^Tr * A * x
für alle x∈R^n, y∈R^n (wobei Tr für "transponiert" steht).
Es gilt sogar die Umkehrung: Wenn die Gleichung gilt, dann ist A (als
Matrix) symmetrisch.


--
> Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.
gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)

Tom Bola

unread,
Aug 16, 2022, 6:52:47 PMAug 16
to
Stephan Gerlach schrieb:
Interessant! Wirklich...

Spoiler:
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Nach intensiver Überlegung findet man den inneren Grund
für die Gesetze der wirklich-wahren Mathematik in derem
ewig realen Inneren:

> 1/1, 2/1, 1/3, 1/4, ... 1/1, 3/1, 1/3, 1/4, ... 1/1, 3/1, 4/1, 1/4, ... 1/1, 3/1, 4/1, 1/4, ...
> 1/2, 2/2, 2/3, 2/4, ... 1/2, 2/2, 2/3, 2/4, ... 1/2, 2/2, 2/3, 2/4, ... 1/2, 5/1, 2/3, 2/4, ...
> 3/1, 3/2, 3/3, 3/4, ... 2/1, 3/2, 3/3, 3/4, ... 2/1, 3/2, 3/3, 3/4, ... 2/1, 3/2, 3/3, 3/4, ...
> 4/1, 4/2, 4/3, 4/4, ... 4/1, 4/2, 4/3, 4/4, ... 1/3, 4/2, 4/3, 4/4, ... 1/3, 4/2, 4/3, 4/4, ...
> 5/1, 5/2, 5/3, 5/4, ... 5/1, 5/2, 5/3, 5/4, ... 5/1, 5/2, 5/3, 5/4, ... 2/2, 5/2, 5/3, 5/4, ...
> ... ... ... ...

Jetzt sollte jedem ein für alle Mal alles klar sein...

Guckie

unread,
Aug 17, 2022, 5:07:57 AMAug 17
to
Am 17.08.22 um 00:52 schrieb Tom Bola:
Wie Dein Meister Wolfie, wenn mal eine konkrete Frage kommt,
wird gelabert. Und jetzt kommt wieder eine Beschimpfungsbreitseite, oder?


Stephan Gerlach

unread,
Sep 2, 2022, 7:09:30 PMSep 2
to
Stephan Gerlach schrieb:
> Hier habe ich eine kleine Aufgabe für zwischendurch, die lediglich
> elementare(?) Kenntnisse über lineare Algebra erfordert:
>
> Voraussetzung:
> Ein endlich-dimensionaler reeller Hilbertraum V, d.h. ein Vektorraum mit
> Skalarprodukt <.,.>.
> Es sei {v1, ..., vn} eine Basis von V.
>
> Definition: Eine lineare Abbildung T: V --> V
> heißt symmetrisch, wenn
> <Tx,y> = <x,Ty>
> für alle x∈V, y∈V.
>
> Bekanntermaßen gibt es für T eine (reelle) Darstellungsmatrix A
> bezüglich der Basis {v1, ..., vn} von V.
>
> Frage: Wenn T symmetrisch ist, ist dann auch A eine symmetrische Matrix?

Da offenbar keiner in der Lage war oder Lust hatte, die "Aufgabe" zu
lösen, hier zumindest die Antwort (falls das mal irgendwann ein Student
für eine Übung braucht):

Nein.

> Wenn ja, sollte dies natürlich bewiesen werden.

Da die obige Antwort "Nein" war, sollte natürlich kein Beweis kommen,
sondern ein Gegenbeispiel. Mit dem Hinweis der Lösung sollte das aber
kein Problem sein, eines zu finden.

> Bemerkungen:
> -------------
> (1) Eigentlich ist/war das keine Aufgabe aus irgendeinem Aufgabenbuch
> (zumindest weiß ich dann nix davon); ich habe eine Aufgabe draus gemacht.
>
> (2) Tip: Am besten zuerst den Fall n=2 (Dimension des Vektorraumes)
> betrachten.

Denn bereits für diesen Fall findet sich ein einfaches Gegenbeispiel.

> (3) Was ich hier als Definition der Symmetrie einer linearen Abbildung
> benutzt habe, gilt für reelle symmetrische Matrizen A und Vektoren x und
> y des R^n in ähnlicher Form:
> x^Tr * A * y = y^Tr * A * x
> für alle x∈R^n, y∈R^n (wobei Tr für "transponiert" steht).
> Es gilt sogar die Umkehrung: Wenn die Gleichung gilt, dann ist A (als
> Matrix) symmetrisch.

Was (also die Umkehrung) nicht so schwer zu beweisen ist; man muß nur
spezielle Vektoren x und y wählen.

JVR

unread,
Sep 3, 2022, 5:09:43 AMSep 3
to
Ziemlich unverständlicher Text.
Die einer selbst-adjungierten Transformation entsprechende Matrix ist
selbst-adjungiert, auch 'Hermetian' genannt, d.h. sie bleibt gleich wenn
konjugiert und transponiert.

Stephan Gerlach

unread,
Sep 7, 2022, 7:10:50 AMSep 7
to
JVR schrieb:
Das ab "Bemerkungen" oder davor? Eigentlich war der Teil *vor*
Bemerkungen der "Hauptteil".

> Die einer selbst-adjungierten Transformation entsprechende Matrix ist
> selbst-adjungiert,...

Und genau das stimmt offenbar so in dieser Allgemeinheit nicht, was mich
selbst verwundert hatte.

Hier das Gegenbeispiel:

Wir betrachten
v1 = (1, 2)^Tr und v2 = (0, 1)^Tr.
(Hierbei steht ^Tr für "transponiert").

Dann bildet {v1; v2} eine Basis des (reellen) Vektorraums R^2.
Auf R^2 verwenden wir das "übliche" euklidische Skalarprodukt <.,.> und
wenden es auf die Basisvektoren an:
<v1,v1> = 5
<v1,v2> = <v2, v1> = 2
<v2,v2> = 1.

Wir definieren jetzt eine lineare Abbildung
T: R^2 --> R^2
(zunächst) auf den Basisvektoren gemäß
T(v1) := 5*v2 = (0, 5)^Tr
T(v2) := v1 = (1, 2)^Tr
und setzen dann T linear auf ganz R^2 fort.

Aus der Definition von T erkennt man die Darstellungsmatrix A von T
bezüglich der Basen {v1; v2} und {v1; v2}, diese ist
(0 1)
A = (5 0).

Insbesondere ist A *nicht* symmetrisch.

Seien jetzt
x = a*v1 + b*v2
y = c*v1 + d*v2
beliebige Vektoren aus dem R^2 (x und y als Linearkombination der
Basisvektoren v1 und v2 dargestellt).

Dann gilt einerseits (beachte die Linearität von T, die Bilinearität des
Skalarproduktes sowie obige Ergebnisse für <v1,v1>, <v1,v2>, <v2,v2>):
<T(x),y> = <T(a*v1+b*v2),c*v1+d*v2>
= <a*T(v1)+b*T(v2),c*v1+d*v2>
= <a*5*v2+b*v1,c*v1+d*v2>
= (5*a*c*+b*d)*<v1,v2> + 5*a*d*<v2,v2> + b*c*<v1,v1>
= (5*a*c*+b*d)*2 + 5*a*d*1 + b*c*5.

Andererseits gilt analog:
<x,T(y)y> = <a*v1+b*v2,T(c*v1+d*v2)>
= <a*v1+b*v2,c*T(v1)+d*T(v2)>
= <a*v1+b*v2,c*5*v2+d*v1>
= (5*a*c*+b*d)*<v1,v2> + 5*b*c*<v2,v2> + a*d*<v1,v1>
= (5*a*c*+b*d)*2 + 5*b*c*1 + a*d*5.

Beim genauen Hinschauen fällt auf, daß offenbar

<T(x),y> = <x,T(y)y>

für alle x und y aus R^2 gilt.
Das heißt aber nichts anderes, daß T als lineare Abbildung symmetrisch
ist (bzw. selbstadjungiert; aber das sollte hier dasselbe sein).
Aber: Die Darstellungsmatrix A von T bezüglich der genannten Basis ist
eindeutig *nicht* symmetrisch.

> ... auch 'Hermetian' genannt,...

Auf deutsch "hermitesch".

> ... d.h. sie bleibt gleich wenn
> konjugiert und transponiert.

Im reellen Fall entfällt ja das (komplex-)Konjugieren.

JVR

unread,
Sep 7, 2022, 12:56:53 PMSep 7
to
Vielleicht solltest du dir das von Professor Doktor habil. (approx.) Mückenheim
korrigieren lassen. Der ist Mathelehrer, hat Geduld und 30j. Erfahrung.

Stephan Gerlach

unread,
Sep 8, 2022, 2:12:22 PMSep 8
to
JVR schrieb:
Ich glaube nicht, daß es da was zu korrigieren gibt im Sinne einer
Übungsaufgabe, die man (bewußt) auf Korrektheit bzw. mögliche Fehler
untersuchen lassen will.

> Der ist Mathelehrer,...

Im Sinne von "er macht dies als Job". Das ist aber offenbar keine
hinreichende Bedingung, um für eine "Korrektur" obiger Ausführungen
qualifiziert zu sein.

> ... hat Geduld...

Ja, zumindest wenn man die Häufigkeit seiner hier getätigten Beiträge zu
Mathematik (wenn man den Inhalt dieser Beiträge denn der Mathematik
zuordnen will) betrachtet.

> ... und 30j. Erfahrung.

Wenn man "Erfahrung" gleichsetzt mit "er macht dies (eine bestimmte
Sache/Tätigkeit) seit 30 Jahren".


Ob die genannten Gründe also allein dazu qualifieren, obige Ausführungen
zu "korrigieren", bzw. überhaupt irgendwie qualifiziert beurteilen zu
können, darf zumindest hinterfragt werden.

JVR

unread,
Sep 8, 2022, 3:09:32 PMSep 8
to
Ach so. Ich dacht Herr Professor Doktor (beinah-habil.) ist Experte auf dem
Gebiet. Schau doch mal in seinem Bestseller nach.
Und überleg dir die Sache erst mal mit orthogonalen Transformationen:
Erst in einer Orthogonalbasis, dann nach einer Koordinatentransformation.

Stephan Gerlach

unread,
Sep 8, 2022, 8:00:42 PMSep 8
to
JVR schrieb:
Ob das zielführend ist... da bin ich mir nicht sicher.
Ich hatte schon das "Vergnügen", als er mir hier aus diesem Bestseller
irgendeinen ganz bestimmten Beweis(?) für irgendeine Aussage über
"Unendlichkeit bei rationalen Zahlen" (oder so ähnlich) nahegelegt hatte.
*Das* war auch nicht wirklich zielführend.

> Und überleg dir die Sache erst mal mit orthogonalen Transformationen:
> Erst in einer Orthogonalbasis, dann nach einer Koordinatentransformation.

Du meinst eine Aussage der Art

"Wenn T eine orthogonale Transformation T: V --> V ist, dann ist auch
die Darstellungsmatrix von A bezüglich einer beliebigen Orthogonalbasis
orthogonal"?

Bezüglich einer anderen, Nicht-Orthogonalbasis gilt dies
(mutmaßlich/ohne Gewähr) nicht; genauer:
Die Eigenschaft der Orthogonalität einer linearen Transformation
überträgt sich *nicht* automatisch auf die Darstellungsmatrix.
Die obige Basis {v1; v2} mit
T = "Drehung um 90° gegen den Uhrzeigersinn"
sollte IMHO schon als Gegenbeispiel genügen(?).


Ich wüßte jetzt allerdings nicht spontan, wie sich derartige Aussagen
über orthogonale Transformationen auf die ursprüngliche Frage bezüglich
*symmetrischer* (oder im komplexen Fall selbstadjungierter) linearer
Abbildungen "auwirken".

Mein Gegenbeispiel zeigt:
Die Eigenschaft der Symmetrie (bzw. Selbstadjungiertheit) einer linearen
Abbildung T überträgt sich i.a. *nicht* automatisch auf die
Darstellungsmatrix A von T.

Bzw. damit auch A symmetrisch/selbstadjungiert ist, sollte die
verwendete Basis schon eine Orthonormalbasis (Ortho*gonal*basis sollte
auch reichen!?) sein.

JVR

unread,
Sep 9, 2022, 1:50:35 AMSep 9
to
Unter 'orthogonal' kannst du dir wahrscheinlich eher etwas vorstellen,
als unter 'selbstadjungiert'. Die Logik ist im übrigen dieselbe:
Ist M die Matrix einer Abbildung und T die Matrix der
Basistransformation, dann ist
TMT^{-1} die transformierte Matrix in den neuen Koordinaten.

Carlo XYZ

unread,
Sep 9, 2022, 7:41:54 PMSep 9
to
JVR:

>>>>>>> Die einer selbst-adjungierten Transformation entsprechende Matrix ist
>>>>>>> selbst-adjungiert,...

Stephan Gerlach:

>>>>>> Und genau das stimmt offenbar so in dieser Allgemeinheit nicht, was mich
>>>>>> selbst verwundert hatte.

JVR am 09.09.22 um 07:50:

> Unter 'orthogonal' kannst du dir wahrscheinlich eher etwas vorstellen,
> als unter 'selbstadjungiert'. Die Logik ist im übrigen dieselbe:
> Ist M die Matrix einer Abbildung und T die Matrix der
> Basistransformation, dann ist
> TMT^{-1} die transformierte Matrix in den neuen Koordinaten.

Hm...

@Stephan: Siehe

<https://math.stackexchange.com/questions/2744316/symmetric-linear-transformation-has-symmetric-matrix>

<https://math.stackexchange.com/questions/1177817/can-a-symmetric-matrix-become-non-symmetric-by-changing-the-basis>

Darin gibt es auch das Beispiel

A = (1 0 // 0 2), B = (1 3 // 0 2).

A und B sind ähnlich wegen P*A = B*P mit der invertierbaren Matrix

P = (1 3 // 0 1).

A ist symmetrisch, B nicht. Die dargestellte lineare Transformation
ist symmetrisch wegen <x,A*y>=<x,y^Tr*A> (und <x,B*y>=<x,y^Tr*B>).

Ich vermute, dass dein Gegenbeispiel in die gleiche Richtung geht.

JVR

unread,
Sep 10, 2022, 3:15:34 AMSep 10
to
Was ist überhaupt die Frage?
Der Fragesteller ist so verwirrt ist, dass er seine Frage
nicht klar formulieren kann. Geht er bei Mückenheim
in die Schule?

Stephan Gerlach

unread,
Sep 12, 2022, 6:55:27 PMSep 12
to
JVR schrieb:
Welche Frage meinst du, diejenige aus dem Ursprungsposting?
Dann lies dies nochmal; bzw. eigentlich genügt sogar das folgende Zitat
daraus:

Zitat [Frage_1]:

"Frage: Wenn T symmetrisch ist, ist dann auch A eine symmetrische Matrix?"

Wenn lediglich unklar ist, was A und T sein soll, dann empfehle ich,
einfach den Text *vor* dieser Frage nochmal lesen. Dort ist das genauer
formuliert/definiert.

> Der Fragesteller ist so verwirrt ist, dass er seine Frage
> nicht klar formulieren kann.

Wer ist im Kontext "der Fragesteller", soll ich das sein?

Falls ja:
Die Frage oben [Frage_1] ist IMHO korrekt formuliert; bzw. ich wüßte
jetzt nicht, was an dieser Frage unklar ist.

Man kann die Frage im Sinne einer Übungsaufgabe verstehen, oder als
Frage, auf die der Fragesteller die Antwort selbst nicht (sicher) kennt.
Hier war es eher als Übungsaufgabe gedacht, aber offenbar doch zu
einfach bzw. einfacher als gedacht.

Im Übrigen ist

"... Der Fragesteller ist so verwirrt ist,..."

kein korrekter Halbsatz, was die Frage aufwirft, *wer* hier nicht klar
formulieren kann.

> Geht er bei Mückenheim in die Schule?

Was willst du dauernd mit Mückenheim; evtl. zuviele Beiträge von ihm
gelesen (und beantwortet)?

Ich hab' mir (außer in seltenen Ausnahmen) weitgehend abgewöhnt, auf
diese Mückenheim-Beiträge zu antworten. Wobei man zugeben muß, daß man
manchmal die Tendenz verspürt, den Mückenheim'schen Unsinn berichtigen
oder "geraderücken" oder eben als Unsinn deklarieren zu müssen.
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