Potenzmenge/Gruppe
h.karus
ich einfach nicht weiter komme.
Sei X eine Menge und P(X) die Potenzmenge von X. P(X)=G. Auf P(X) wird durch
A+B := (A "Vereinigung" B) \ (A"Durchschnitt" B)
eine Verknüpfung + definiert. Zeigen sie, dass (G,+) eine abelsche Gruppe
ist. Welches Element ist das neutrale Element, was ist das inverse Element
zu A eG?
Ich wär euch sehr dankbar für eure Hilfe.
Chris
Joachim Mohr
Hallo h.karus!
Nimm M={a] eine Menge, die genau ein Element enthält.
Dann ist P(M)={L,M}, wobei L={} die leere Menge ist.
Verknüpfungstafel bez. +=Vereinigung zeigt:
+ L M
--------
L L M
M M M
Und siehe da: M hat kein Inverses bez. "+" (Wie Du schon
vermutet hast).
Die Augfgabe ist also Quatsch!
MFG
Joachim
Janos Blazi
Weil dieser Satz mathematischer Unsinn ist (sorry!), steht es sicher nicht
so auf Deinem Blatt. Wie lautet die Aufgabe *ganz genau*?
J.B.
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h.karus
durch
> > A+B := (A "Vereinigung" B) \ (A"Durchschnitt" B)
> > eine Verknüpfung + definiert. Zeigen sie, dass (G,+) eine abelsche
Gruppe
> > ist. Welches Element ist das neutrale Element, was ist das inverse
Element
> > zu A eG?
>
> Dann ist P(M)={L,M}, wobei L={} die leere Menge ist.
>
> Verknüpfungstafel bez. +=Vereinigung zeigt:
> + L M
> --------
> L L M
> M M M
>
> Und siehe da: M hat kein Inverses bez. "+" (Wie Du schon
> vermutet hast).
>
> Die Augfgabe ist also Quatsch!
Aber was ist mit der Verküpfung + auf P(X) gemeint mit A+B = (A
"Vereinigung" B) \ (A "Durchschnitt" B) ???
Thomas Heinz
"h.karus" wrote:
> Sei X eine Menge und P(X) die Potenzmenge von X. P(X)=G. Auf P(X) wird durch
> A+B := (A "Vereinigung" B) \ (A"Durchschnitt" B)
> eine Verknüpfung + definiert. Zeigen sie, dass (G,+) eine abelsche Gruppe
> ist. Welches Element ist das neutrale Element, was ist das inverse Element
> zu A eG?
Neutrales Elem: leere Menge {}: denn A + {} = (A u {}) / (A n {})
= A / {}
= A
Inverses: A + A = (A u A) / (A n A)
= A / A
= {}
At least I think so :)
cu
Thomas
Thomas Heinz
I wrote:
> Neutrales Elem: leere Menge {}: denn A + {} = (A u {}) / (A n {})
> = A / {}
> = A
>
> Inverses: A + A = (A u A) / (A n A)
> = A / A
> = {}
>
> At least I think so :)
Hm, vergessen wir das mal schnell. Es ist grober Unfug. Sorry.
cu
Thomas
Matthias Höller
> Dann ist P(M)={L,M}, wobei L={} die leere Menge ist.
>
> Verknüpfungstafel bez. +=Vereinigung zeigt:
nein das "+" ist je eben gerade nicht die vereinigung.
> + L M
> --------
> L L M
> M M M
falsch.
M "+" M = (M verein. M) \ (M geschn. M) = M \ M = L
> Und siehe da: M hat kein Inverses bez. "+" (Wie Du schon
> vermutet hast).
hat es wohl. M ist zu sich selbst invers.
MfG
Matthias
Matthias Höller
was in meinen Augen nicht 100% korrekt ist, ist daß das Gleichheitszeichen
kein Zuweisungsgleich (":=") ist. Aber deswegen den ganzen Satz als Unfug zu
bezeichnen???
Kannst Du das bitte noch etwas genauer erläutern?
Danke
Matthias
h.karus
Sei X eine Menge und P(X) die Potenzmenge von X. AUf P(X) wird durch A+B :=
(A "Vereinigung" B) \ (A "Durchschnitt" B) eine Verküpfung + definiert.
Zeigen sie, dass (G,+) abelsch ist. Welches Element ist das neutrale
Element? Was ist das inverse Elemt zu A Element G?
Wir haben nur den Hinweisbekommen, dass das Assoziativgesetz schwieriger zu
beweisen ist, als das andere.
Jutta Gut
Thomas Heinz schrieb in Nachricht <39FBF354...@mytomorrow.de>...
Warum? Das müsste doch eh stimmen!
Gruß
Jutta
Jutta Gut
h.karus schrieb:
>
>Aber was ist mit der Verküpfung + auf P(X) gemeint mit A+B = (A
>"Vereinigung" B) \ (A "Durchschnitt" B) ???
Alle Elemente, die zu A oder B, aber nicht zu beiden gehören (bezeichnet man
auch manchmal als "symmetrische Differenz").
Gruß
jutta
Florian Weimer
> Sei X eine Menge und P(X) die Potenzmenge von X. P(X)=G. Auf P(X) wird durch
> A+B := (A "Vereinigung" B) \ (A"Durchschnitt" B)
> eine Verknüpfung + definiert. Zeigen sie, dass (G,+) eine abelsche Gruppe
> ist. Welches Element ist das neutrale Element, was ist das inverse Element
> zu A eG?
Die Teilmengen von X kann man mit Abbildungen von X nach Z/2Z
identifizieren: Sei M eine Teilmenge von X, \phi_M : X \to Z/2Z wird
dann definiert durch: \phi_M (x) = 1 wenn x \in M, \phi_M (x) = 0
sonst. \phi : P(X) \to (Z/2Z)^X ist offensichtlich bijektiv, die Menge
der Teilmengen P(X) ist dann dasselbe wie (Z/2Z)^X =: G'.
G' wird mit komponentenweiser Addition zu einer abelschen Gruppe (G', +').
Die Verknüpfungen + auf G und +' auf G' sind dieselben: Seien M_1, M_2
Teilmengen von X. Für ein Element x aus X gilt: x \in M_1 + M_2 genau
dann, wenn entweder x \in M_1 oder x \in M_2 (nachrechnen!). Genauso
ist (\phi_{M_1} + \phi_{M_2})(x)=\phi_{M_1}(x) + \phi_{M_2}(x) gleich
eins, wenn entweder \phi_{M_1}(x) = 1 oder \phi_{M_2}(x) = 1 gilt.
Warum diese Herangehensweise? Man spart sich so das Nachrechnen der
Assoziativität von + auf G, was immer eine Heidenarbeit ist, da man
dabei mit drei Elementen hantieren muß. ;-)
Janos Blazi
"Matthias Höller" <Matthias...@post.rwth-aachen.de> schrieb im
Newsbeitrag news:8tgu1f$abs$1...@nets3.rz.RWTH-Aachen.DE...
> Sorry für mein Laientum, aber was genau ist jetzt daran Unfug? das einzige
> was in meinen Augen nicht 100% korrekt ist, ist daß das Gleichheitszeichen
> kein Zuweisungsgleich (":=") ist. Aber deswegen den ganzen Satz als Unfug
zu
> bezeichnen???
>
> Kannst Du das bitte noch etwas genauer erläutern?
Entschuldigung, ich war ein wenig ungeduldig. Aber man sieht oft Fragen in
dieser Gruppe, die sehr salopp formuliert sind und oft muß man erst
nachdenken, wie die Frage wohl gelautet haben mag!
Zurück zum Thema:
Um das Assoziativgesetz nachzuweisen, würde ich mir folgendes überlegen:
x element A+B gilt genau dann, wenn x zu genau einem der beiden Mengen A
oder B gehört. Kann man das *irgendwie* auf den Fall von drei Mengen, also
auf den Fall (A+B)+C verallgemeinern?
Florian Weimer
> Um das Assoziativgesetz nachzuweisen, würde ich mir folgendes überlegen:
>
> x element A+B gilt genau dann, wenn x zu genau einem der beiden Mengen A
> oder B gehört. Kann man das *irgendwie* auf den Fall von drei Mengen, also
> auf den Fall (A+B)+C verallgemeinern?
Man kann immer noch eine Art Wahrheitstabelle hinschreiben (und das
Problem auf Assoziativität von EXOR bzw. (Z/2Z, +) zurückführen).
Michael
In article <39FBFE3F...@t-online.de>,
Zuerst zu Joachim : M+M=L, da (MuM)\(MnM) = M\M = L. Das ist also kein Gegenbeispiel!
Zu Chris : Es gibt auch keine Gegenbeispiele. Die Verknüpfung "+" hier hat schon einen anderen Namen, sie heißt "symmetrische Differenz" und wird mit "groß-Delta" bezeichnet.Die Behauptung, dass (P(M),+,-,0) (mit geeigneten "-" und 0={}) eine abelsche Gruppe ist, ist richtig.
Schwierig ist eigentlich nur die Assozativität von "+". Vielleicht ist es Dir erlaubt, die Schwierigkeit des Assozativitätsgesetzes (und damit auch aller anderer Gesetze) zu umgehen, wenn Du zeigst, dass P(M) isomorph zu Z_2^M ist. Wenn Du nicht weißt, was das ist, so hilft Dir mein Tipp auch nicht.
Viel Glück!
Michael
Michael Hoppe
> Warum diese Herangehensweise? Man spart sich so das Nachrechnen der
> Assoziativität von + auf G, was immer eine Heidenarbeit ist, da man
> dabei mit drei Elementen hantieren muß. ;-)
Geil! Das hätte mir vor 24 Jahren einfallen sollen!
Michael
--
-= Michael Hoppe <www.michael-hoppe.de>, <m...@michael-hoppe.de> =------
-= Key fingerprint = 74 FD 0A E3 8B 2A 79 82 25 D0 AD 2B 75 6A AE 63
-= PGP public key (0xE0A5731D) available on request. =---------------
Michael Hoppe
> Um das Assoziativgesetz nachzuweisen, würde ich mir folgendes überlegen:
>
> x element A+B gilt genau dann, wenn x zu genau einem der beiden Mengen A
> oder B gehört. Kann man das *irgendwie* auf den Fall von drei Mengen, also
> auf den Fall (A+B)+C verallgemeinern?
Nun, ich kann mich noch ganz gut an diese Aufgabe erinnern, als ich sie
einstens in Analysis I gestellt bekam. Ich habe sie damals mit
Wahrheitstafeln gelöst -- geht das pfiffiger?
Übrigens nennt man diese Vernüpfung die symmetrische Differenz
zweier Mengen.
Michael
In article <39fc1...@news.newsfeeds.com>,
"Janos Blazi" <jbl...@vipsurf.de> writes:
>
> "Matthias Höller" <Matthias...@post.rwth-aachen.de> schrieb im
> Newsbeitrag news:8tgu1f$abs$1...@nets3.rz.RWTH-Aachen.DE...
>> Sorry für mein Laientum, aber was genau ist jetzt daran Unfug? das einzige
>> was in meinen Augen nicht 100% korrekt ist, ist daß das Gleichheitszeichen
>> kein Zuweisungsgleich (":=") ist. Aber deswegen den ganzen Satz als Unfug
> zu
>> bezeichnen???
>>
>> Kannst Du das bitte noch etwas genauer erläutern?
>
> Entschuldigung, ich war ein wenig ungeduldig. Aber man sieht oft Fragen in
> dieser Gruppe, die sehr salopp formuliert sind und oft muß man erst
> nachdenken, wie die Frage wohl gelautet haben mag!
>
> Zurück zum Thema:
>
> Um das Assoziativgesetz nachzuweisen, würde ich mir folgendes überlegen:
>
> x element A+B gilt genau dann, wenn x zu genau einem der beiden Mengen A
> oder B gehört. Kann man das *irgendwie* auf den Fall von drei Mengen, also
> auf den Fall (A+B)+C verallgemeinern?
>
> J.B.
Das kann man verallgemeinern. Es gilt x e A_1+...+A_n gdw
|{ 1<=i<=n | x e A_i }| ist ungerade.
Viel Spaß beim Beweis!
Mfg Michael
Janos Blazi
> > x element A+B gilt genau dann, wenn x zu genau einem der beiden Mengen A
> > oder B gehört. Kann man das *irgendwie* auf den Fall von drei Mengen,
also
> > auf den Fall (A+B)+C verallgemeinern?
>
> Nun, ich kann mich noch ganz gut an diese Aufgabe erinnern, als ich sie
> einstens in Analysis I gestellt bekam. Ich habe sie damals mit
> Wahrheitstafeln gelöst -- geht das pfiffiger?
>
> Übrigens nennt man diese Vernüpfung die symmetrische Differenz
> zweier Mengen.
Ich dachte, x liegt in (A+B)+C genau dann, wenn x in genau einer oder drei
der Mengen A B und C liegt und das ist ganz einfach zu zeigen, aber letzten
Endes benutzte ich auch Wahrheitstafeln. Danach ist die Aussage trivial. Ich
weiß nicht, wie diese Aussage in den Lehrbüchern bewiesen wird.
Joachim Mohr
> Verknüpfungstafel bez. +=Vereinigung zeigt:
> + L M
> --------
> L L M
> M M M
>
Ich gebe zu: Ich hatte "+" zu naiv gelesen:
Verknüpfungstafel bez. +=Vereinigung\Durchschnitt:
+ L M
--------
L L M
M M L
Und jetzt ist es kein Gegenbeispiel mehr!
<knirsch>
Joachim