Ja ist denn schon wieder Fasching? (->WM über die nat. Zahlen)
Herbert Newman
"Es gibt genug nat�rlichen Zahlen - so viele sogar, dass manch Einer
irrt�mlich annimmt, es g�be unendlich viele."
(Professor Dr. Wolgang M�ckenheim, Fachhochschule Augsburg,
am 16. Dez. 2009 in de.sci.mathematik)
Ja, man kann sagen was man will, aber an der /Fachhochschule Augsburg/
scheinen wirklich echte Koryph�en zu unterrichten!
Herbert
Peter
> unterschiedliche Auffassungen für Begriffe und Phrasen
> wie "Existenz" oder "es gibt" vermischt werden.
So ist es.
Über deine Fragen haben tatsächlich schon viele
Mathematiker nachgedacht. Soweit ich sehen kann,
haben sie sich bisher nicht einigen können. Meine
Vermutung ist, dass dies auch so bleiben wird.
Hier einige Ansichten aus vergangenen Zeiten:
Kronecker meinte: "Die ganze Zahl schuf der liebe Gott,
alles Übrige ist Menschenwerk."
Luschny meinte: "Die Primzahlen schuf der liebe Gott,
alles Übrige ist Menschenwerk."
von Neumann meinte: "Der liebe Gott hat die leere Menge
geschaffen, alles andere ist Menschenwerk."
Fritsche meinte: "Der liebe Gott hat das Cantorsche
Mengenuniversum geschaffen."
> ... inwiefern sich auf Mathematik bezogene Verwendungen des
> Begriffes "Existenz" decken mit und unterscheiden von
> Verwendungen des Begriffes "Existenz" bezogen auf andere
> Aspekte des menschlichen Daseins?
Einfach: Existenz hat in der Mathematik keinerlei
ontologischen Bezug. Existent ist das, was den Axiomen
nicht widerspricht.
Bobo
>
> Wo kann ich mehr dar�ber erfahren, wie der Begriff "Existenz"
> im Zusammenhang mit Mathematik verwendet wird
In einem Mathestudium?
> und zu verstehen ist
Das kommt dann vielleicht mit der Zeit.
--
Bobo
Ralf Bader
> Herbert Newman schrieb:
>
>> "Es gibt genug natürlichen Zahlen - so viele sogar, dass manch Einer
>> irrtümlich annimmt, es gäbe unendlich viele."
>>
>> (Professor Dr. Wolgang Mückenheim, Fachhochschule Augsburg,
>> am 16. Dez. 2009 in de.sci.mathematik)
>
> Ich habe Probleme, meine Gedanken zu dieser Aussage in Worte
> zu fassen, versuche es aber trotzdem mal:
>
> Die Phrase "es gibt" wird oft synonym verwendet für
> "es existiert/es existieren".
>
> Irgendwo ist mir mal eine Einteilung in sog. "Existenzklassen"
> begegnet:
>
> - "physikalische/physische Existenz" (bspw Schallwellen,
> aus Materie Bestehendes, Licht)
> - "abstrakte Existenz" (bspw Zahlen oder sonstige Begriffe,
> die einen "Sinn" ergeben können, wenn man sie definiert/
> ihnen eine Bedeutung zuweist)
> - "fiktive Existenz" (bspw erdachte Romanfiguren),
> - "emotionale Existenz" (Emotionen)
> - "Existenz, die sich aus Aspekten _zusammensetzt_, die zu
> den vorher genannten Existenzklassen gehören" (Bspw
> Freude über das Happy End eines Science-Fiction-Films).
>
> Welchen Sinn eine Aussage ergibt, in der der Begriff
> "Existenz" eine Rolle spielt, hängt unter anderem davon ab,
> worauf der Existenzbegriff sich bezieht.
Dem stimme ich prinzipiell zu.
> Ich kenne den genauen Zusammenhang, in dem die oben zitierte
> Aussage getätigt worden ist,
Im Schwurbulatorium des Herrn Mückenheim gibt es keine genauen
Zusammenhänge.
> nicht, und ich nehme an, es wäre
> zumindest ungeschickt von mir, unter dieser Voraussetzung für
> andere zu sprechen.
>
> Ich bitte daher darum, das folgende aufzufassen als Darlegung,
> was ich denke, wie diese Aussage zu verstehen sein könnte -
> klären, ob das mit dem übereinstimmt, was derjenige, der sie
> getätigt hat, vermitteln wollte, kann wohl allenfalls derjenige,
> der sie getätigt hat.
Wir wissen aber, was der Betreffende gemeint hat. Es läßt sich auch in
seinem Pamphlet "Physical Constraints of Numbers",
http://arxiv.org/abs/math/0505649
nachlesen und es ist Schwachsinn. Insbesondere ist Herr Professor
Mückenheim mit solchen Unterscheidungen, wie Du sie oben getroffen hast,
hirnleistungsmäßig überfordert, wie er durch ca. 7 Jahre Dauergeschwafel
bewiesen hat.
> Vielleicht wollte er andeuten, dass Irrtümer entstehen, indem
> in einer Annahme unterschiedliche Auffassungen für Begriffe
> und Phrasen wie "Existenz" oder "es gibt" vermischt werden.
>
>
> Phrasen wie "es gibt natürliche Zahlen" oder "es existieren
> Lösungen" werfen bei mir folgende Frage auf:
>
> Wo kann ich mehr darüber erfahren, wie der Begriff "Existenz"
> im Zusammenhang mit Mathematik verwendet wird und zu
> verstehen ist und inwiefern sich auf Mathematik bezogene
> Verwendungen des Begriffes "Existenz" decken mit und
> unterscheiden von Verwendungen des Begriffes "Existenz"
> bezogen auf andere Aspekte des menschlichen Daseins?
Ich kann versuchen, es zu verraten: In der Mathematik geht es um allerlei
Theorien, formalisierter wie auch nichtformalisierter Art. Beispielsweise
ist die Analysis, wie sie in Anfängerlehrbüchern dargestellt wird, eine
solche Theorie nichtformalisierter Art. So eine Theorie ist eine Sammlung
von Aussagen, die in gewisser Weise zusammenhängen; insbesondere durch
logische Folgebeziehungen. Welche Schlußweisen dabei zulässig sind, ist ein
Teil des "Rahmens", in den die Theorie gefaßt ist. Für
konstruktivistische/intuitionistische Analysis ist dieser Rahmen anders als
für klassische. Die Aussagen beziehen sich auf Gegenstände (das ist nun mal
die Natur von Aussagen). In mathematischen Theorien liegen
diese "Gegenstände" *in* der Theorie, und nicht außerhalb. Man kann
mathematische Theorien anwenden, indem man Bezüge ihrer internen
Gegenstände auf externe Objekte herstellt. Aber solche Anwendungen muß man
von der mathematischen Theorie selbst unterscheiden - gerade auch, um die
verschiedenen "Existenzklassen" auseinanderzuhalten (obwohl es durchaus
möglich ist, eine mathematische Theorie im Hinblick auf eine Anwendung zu
entwickeln; wenn man auch innermathematische Anwendungen einbezieht, ist
eine intendierte Anwendung eigentlich der einzig vernünftige Grund, sich
überhaupt mit einer solchen Theorie zu befassen). Und eine Aussage der
Art "XY existiert" innerhalb einer mathematischen Theorie bedeutet nicht
mehr und nicht weniger, als daß XY in der Theorie als Gegenstand von
Aussagen auftreten kann. Genau das, und mehr nicht, ist erforderlich, um
mathematik treiben zu können. Sollten die mathematischen einen darüber
hinausgehenden ontologischen Status besitzen, so ist dieser für die
Mathematik irrelevant (allenfalls mag es zum individuellen Wohlbefinden von
Mathematikern beitragen, an so einen ontologischen Status zu glauben;
andere fühlen sich wohler mit der "deflation of metaphysical issues").
Entsprechend sagt eine mathematische Theorie auch nichts darüber aus, "was
ihre Objekte eigentlich sind", denn das wäre ein externer Bezug; die
Gegenstände sind nichts, sie werden allenfalls etwas, wenn die Theorie
angewendet wird. Es ist stattdessen innerhalb der Theorie festgelegt, wie
man mit den Gegenständen bzw. Begriffen umgehen darf. Eine mathematische
Mengentheorie wie ZFC sagt nichts darüber aus, was Mengen sind, sondern
darüber, wie man mit ihnen umgeht; z.B. daß man Potenz- und
Vereinigungsmengen bilden kann. Oder daß es eine Menge "gibt", die
bestimmte Eigenschaften (z.B. Unendlichkeit) besitzt. Das heißt, es ist
legitim, in der Theorie Aussagen über eine Menge mit diesen Eigenschaften
zu formulieren, und was in diesem Zusammenhang "unendlich" bedeutet, ist
ebenfalls innerhalb der Theorie festgelegt, und nicht durch externen Bezug
(also nicht dadurch, daß eine Menge unendlich ist, wenn ihr Ende nicht
visuell wahrnehmbar ist, oder irgendwas in der Art)
Mithin sind angebliche "Physical Constraints of Numbers" eine absurde
Abstrusität, bei weitem nicht nur, aber eben auch deshalb, weil da gerade
die von Dir genannten verschiedenen Spielarten von "Existenz" hoffnungslos
vermischt werden.
Ralf
--
W. Hughes, in sci.math.: "No set of natural numbers without a last element
[is finite]"
Prof. Dr. W. Mückenheim, mathematical mastermind of "Augsburg University of
Applied Science": "There is no natural number called "out a last element".
WM
> Ulrich D i e z <eu_angel...@web.de> wrote:
>
>
>
> > Wo kann ich mehr darüber erfahren, wie der Begriff "Existenz"
> > im Zusammenhang mit Mathematik verwendet wird
>
> In einem Mathestudium?
Ganz bestimmt nicht!
Lass Dich nicht irremachen. In einem (derzeit üblichen) Mathestudium
lernst Du, dass es Zahlen gibt, die man nicht kennen, identifizieren,
verwenden usw. kann. Und das ist eine Perversion des mathematischen
Denkens, die sich allerdings nahtlos in die anderen Perversionen
unserer Zeit einfügt, sei es auf künstlerischem, politischem oder, wie
gerade wieder ganz aktual bewiesen, juristischem Gebiet.
Es ist der Ausfluss eines falsch verstandenen Beweises. Was sinnvoll
unter Existenz verstanden werden kann, habe ich in meinem Aufsatz
"Physical Constraints of Numbers",
http://arxiv.org/abs/math/0505649
zu erklären versucht.
Eine Zahl verdient jedenfalls nur dann die Bezeichnung Zahl, wenn sie
von ihresgleichen unterschieden werden kann.
Gruß, WM
Albrecht
>
> - Zitierten Text anzeigen -
Es ist ein irrationales Wunschdenken vieler Mathematiker, wenn sie
glauben, das ihr Betätigungsfeld völlig frei von Restriktionen wäre,
Mathematik also ein völlig frei definierbares Spielfeld darstellen
würde.
Tatsächlich gibt es (und es ist kein Zufall, dass "gibt es" die selben
Wörter enthält wie "es gibt") generelle Vorbedingungen sowohl unserer
Existenz als auch jeglichen Räsonierens, die nicht ignoriert werden
können, und aufgrund dessen es tatsächlich das "es gibt" oder "es
existiert" auch in der Mathematik eine gewisse ontologische Bedeutung
erhält. Eine solche Grundtatsache ist die Existenz der natürlichen
Zahlen. Kein Mathematiker kann auch nur einen Beweis formulieren wenn
er nicht auf ein Erstes, Zweites, Drittes, ... Vorbedingungen,
Zwischenschritte, Schluß zurückgreifen könnte. Welche Bedeutung hätte
ein Triplett, "_paar_weise verschieden", Quadratwurzel, Viereck, ...
wenn nicht die Existenz natürlicher Zahlen, sprich: Anzahlen,
vorausgesetzt werden würden.
Zur Vereinfachung wird in der Mathematik oft so getan, "als ob". Z.B.
wird i.d.R. angenommen, dass dem Mathematiker prinzipiell unbegrenzte
Ressourcen an Zeit, Raum, Material, Information zur Verfügung stände.
Diese Annahme macht Mathematik wesentlich einfacher. Und es lassen
sich damit Aussagen gewinnen wie: die Folge der Primzahlen endet nie,
abgekürzt sagt man auch, wenn auch etwas irreführend: es gibt
unendlich viele Primzahlen.
Hier ist man in einem Grenzbereich der Anwendung von "es gibt"
angekommen, denn das implizierte "alle", also ausformuliert: "es gibt
alle unendlich vielen Primzahlen", führt zu dem selben Paradoxon wie
die Annahme einer uendlichen Menge.
Leider ist das Wissen bezüglich der kritischen ontologischen Aspekte
der Objekte der Mathematik anscheinend fast völlig verloren gegangen.
Zumindest scheint es nicht Bestandteil der universitären Lehre zu
sein.
Gruß
Albrecht
Carsten Schultz
> Es ist ein irrationales Wunschdenken vieler Mathematiker, wenn sie
> glauben, das ihr Betätigungsfeld völlig frei von Restriktionen wäre,
> Mathematik also ein völlig frei definierbares Spielfeld darstellen
> würde.
Unsere wesentliche Restriktion ist die Logik, aber mit der hast Du es ja
nicht so. Es ist ja schön, sich über die philosophischen Grundlagen der
Mathematik Gedanken zu machen, aber was man da sagt verliert doch stark
an Gewicht, wenn man wie Du oder Professor Mückenheim gleichzeitig
ständig zeigt, Mathematik nicht zu verstehen. Wer beharrlich
kritisiert, was er nicht versteht, muss sich auch gefallen lassen, wenn
andere daraus Rückschlüsse über seinen Charakter ziehen. Insbesondere
natürlich, wenn er dann auch noch ausfallen wird, wenn er auf die
Haltlosigkeit seines Schwadronierens hingewiesen wird.
Gruß
Carsten
--
Carsten Schultz (2:38, 33:47)
http://carsten.codimi.de/
PGP/GPG key on the pgp.net key servers,
fingerprint on my home page.
Alfred Flaßhaar
> Albrecht schrieb:
(...)
> Unsere wesentliche Restriktion ist die Logik, ...
(...)
Könntest Du das bitte detaillieren? Dieser Punkt interessiert mich sehr und
beschäftigt mich aus Sicht der Mathematikgeschichte seit einigen Jahren.
Freundliche Grüße, Alfred Flaßhaar
Jutta Gut
aufmachen musst? Ihr k�nntet ja eine eigene WM-Newsgroup aufmachen, wo ihr
in Ruhe �ber diese Dinge diskutieren k�nnt. Dann w�re dsm vielleicht wieder
f�r die interessanten Fragen da.
Gr��e
Jutta
"Herbert Newman" <nomail@invalid> schrieb im Newsbeitrag
news:rsa8eak6ezgk$.zywh6kkzuxmk$.dlg@40tude.net...
WM
> Haben wir nicht schon genug wM-Threads, dass du jetzt noch Meta-WM-Threads
> in Ruhe über diese Dinge diskutieren könnt. Dann wäre dsm vielleicht wieder
> für die interessanten Fragen da.
Noch interessanter? Ja geht das denn?
Gruß, WM
Alfred Flaßhaar
> On 18 Dez., 11:50, "Jutta Gut" <gut.jutta.gerh...@chello.at> wrote:
>> Haben wir nicht schon genug wM-Threads, dass du jetzt noch
>> WM-Newsgroup aufmachen, wo ihr in Ruhe �ber diese Dinge diskutieren
>> da.
>
> Noch interessanter? Ja geht das denn?
>
Unter welchen Bedingungen konvergiert die Folge der N�herungsl�sungen z. B.
f�r Plattenschnittgr��en, die mit Hilfe zunehmend verfeinerter Vernetzung
nach der FEM-Methode berechnet werden? Wie gro� mu� in Abh�ngigkeit der
Vernetzungs-"feinheit" der Sicherheitsfaktor gew�hlt werden, der in der
Bauteilbemessung die Abweichung der N�herung von der exakten L�sung
ber�cksichtigt.
Noch spannender finde ich Fragen nach Strukturen in Zahlenmengen, wie sie in
drd oft als Knobelaufgaben gestellt werden. Und dabei ist die in der
klassischen Mengenlehre begr�ndete "Schulmathematik" recht hilfreich.
Und aus meiner Sicht sind in dsm jene Situationen Spitzenreiter, in denen
lernfreudige Sch�ler/Studenten/... sachkundige Antwort und Hilfe erhalten
und von langen �berfl�ssigen fachfremden Diskussionen nicht verschreckt
werden.
Freundliche Gr��e, Alfred Fla�haar
Ingo Stiller
> "Es gibt genug natürlichen Zahlen - so viele sogar, dass manch Einer
> irrtümlich annimmt, es gäbe unendlich viele."
>
> (Professor Dr. Wolgang Mückenheim, Fachhochschule Augsburg,
> am 16. Dez. 2009 in de.sci.mathematik)
>
> Ja, man kann sagen was man will, aber an der /Fachhochschule Augsburg/
Letzten einen 8jährigen gefragt, was die größte Zahl ist.
Antwort: "Unendlich, aber das ist eigentlich kein Zahl"
Vielleicht sollte man in Augsburg mal jüngere Leute zum Zuge kommen
lassen :-))
Gruß Ingo
Herbert Newman
> Haben wir nicht schon genug WM-Threads, dass du jetzt noch Meta-WM-Threads
> aufmachen musst? Ihr k�nntet ja eine eigene WM-Newsgroup aufmachen, wo ihr
> in Ruhe �ber diese Dinge diskutieren k�nnt. Dann w�re dsm vielleicht wieder
> f�r die interessanten Fragen da.
Jetzt sei doch nicht so..., wo doch bald Weihnachten ist! :-)
"Herbert"
Herbert Newman
> Carsten Schultz wrote:
>>
>> Unsere wesentliche Restriktion ist die Logik, ...
>>
> K�nntest Du das bitte detaillieren? Dieser Punkt interessiert mich sehr und
> besch�ftigt mich aus Sicht der Mathematikgeschichte seit einigen Jahren.
>
Ich denke, er meint, dass der sog. _klassische Mathematik_ die zweiwertige
(bzw. "klassisch") Logik zugrunde liegt, in der insbesondere das TND gilt.
Axiomatischen Theorien werden sogar oft _explizit_ im Kontext der
/Pr�dikatenlogik erster Stufe/ (mit oder ohne Identit�t) formuliert.
Insbesondere m�ssen mathematische Theorien in diesem Framework/Kontext
_widerspruchsfrei_ sein (da im Rahmen der klassischen Logik aus einem
Widerspruch ALLES folgt).
Allerdings gibt es inzwischen auch schon Ans�tze, denen es darum geht,
dieses "Korsett" der "klassischen Logik" abzustreifen! :-)
http://plato.stanford.edu/entries/mathematics-inconsistent/
Herbert
Bobo
> On 17 Dez., 18:25, Bobo <nom...@nomail.invalid> wrote:
>> Ulrich D i e z <eu_angel...@web.de> wrote:
>>
>>
>>
>> > im �Zusammenhang mit Mathematik verwendet wird
>>
>> In einem Mathestudium?
>
> Ganz bestimmt nicht!
> In einem (derzeit �blichen) Mathestudium lernst Du, dass es Zahlen
> gibt, die man nicht kennen, identifizieren, verwenden usw. kann.
In diesem Fall lernt man also den Begriff der Existenz in gewissen
Kontexten zu verwenden. Vielleicht solltest Du die Fragestellung von
Ulrich Diez etwas genauer lesen. Es ging um das "wie" und nicht darum,
ob es aus mehr oder weniger philosophischen Gr�nden gerechtfertigt ist.
Und deshalb ist der
[Rest irrelevant]
--
Bobo
Ralf Bader
Ja, das geht, aber nur da, wo Sie und Ihresgleichen weg sind. Oder wo man
sich für die Phänomenologie der Begriffsstutzigkeit oder der Verrottetheit
des bayerischen Bildungswesens interessiert.
--
How lucky we are that Cantor introduced curly brackets! But it was no
he who introduced the silly distinction between a and {a} that enables
so called mathematicians to build card houses on nothing.
(Prof. Dr. Wolfgang Mückenheim, FH Augsburg, in sci.math, 03/13/09)
Alfred Flaßhaar
in anderen Diskussionsf�den etwas geschrieben, was allerdings unbeachtet
blieb. Allein schon im Hinblick auf die (Entwicklungs-)Geschichte der
Mathematik ist festzustellen:
Das Beginnen und Betreiben einer Mathematik war nicht spontan aus Lust oder
Laune oder gottgewollt. Vielmehr waren es gesellschaftliche und
umweltbedingte Zw�nge (eine geeignetere Formulierung f�llt mir nicht ein),
die zum Z�hlen, Rechnen und klassischem logischen Schlie�en f�hrten.
Insbesondere hat sich offenbar die Art des folgerichtigen Schlie�ens in den
K�pfen manifestiert. Das beruhte aber auf den damaligen beobachtbaren
irdischen Bereich und hat sich im Laufe der Zeit als zweckm��ig erwiesen.
Nun hat die Mathematik irgendwann eine Eigendynamik entwickelt und sich mit
sich selber auch praxisfern besch�ftigt. Damit ist aus meiner Sicht
ungekl�rt, ob diese Art der Logik ohne Weiteres auf die nun nicht mehr
beobachtbaren und in der Mathematik aus sich selbst heraus entwickelten
Strukturen anwendbar ist. Es ist daher durchaus die Frage berechtigt, ob das
zugrunde liegende logische System auch f�r die Zukunft g�ltig ist. Die
Situation ist insofern vergleichbar mit der Entdeckung der nichteuklidischen
Geometrie oder in der Physik mit Quantentheorie und Relativit�tstheorie. In
der Physik ist es ja so, da� die sog. klassische Physik als Spezialf�lle
eingebettet in die neueren Theorien in neuem Licht erscheint. Es sollte doch
zu erwarten sein, da� in einem erweiterten logischen System die bisherige
Mathematik mit ihren wundervollen starken Aussagen einschlie�lich "Cantor"
ebenso integrierber ist.
Ich fand in der K�rze leider keine anschaulichere Formulierung, aber ich
hoffe, es ist "r�bergekommen". Ich gehe aber davon aus, da� die Mathematik
in jedem Fall gen�gend eigene Kraft und Substanz bietet, um die bisherigen
Erkenntnisse der sog. Schulmathematik als g�ltig zu erhalten und sie
vielleicht vor einem gr��eren Hintergrund darstellt. Das w�re dann wieder
ein Beweis f�r die Dialektik im Alltag.
So, nun darf gelacht werden. Aber das mu�te nach den fragw�rdigen
Kalenderbl�ttern mal raus.
Marc Olschok
> WM wrote:
>
> > On 18 Dez., 11:50, "Jutta Gut" <gut.jutta.gerh...@chello.at> wrote:
> >> Haben wir nicht schon genug wM-Threads, dass du jetzt noch
> >> Meta-WM-Threads aufmachen musst? Ihr könntet ja eine eigene WM-Newsgroup
> >> aufmachen, wo ihr in Ruhe über diese Dinge diskutieren könnt. Dann wäre
> >> dsm vielleicht wieder für die interessanten Fragen da.
> >
> > Noch interessanter? Ja geht das denn?
>
> Ja, das geht, aber nur da, wo Sie und Ihresgleichen weg sind. Oder wo man
> sich für die Phänomenologie der Begriffsstutzigkeit oder der Verrottetheit
> des bayerischen Bildungswesens interessiert.
Ich glaube, seine mathematische Bildung haben die Niedersachsen zu
verantworten.
--
Marc
Roland Franzius
> On 17 Dez., 18:25, Bobo <nom...@nomail.invalid> wrote:
>> Ulrich D i e z <eu_angel...@web.de> wrote:
>>
>>
>>
>>> im Zusammenhang mit Mathematik verwendet wird
>> In einem Mathestudium?
>
> Ganz bestimmt nicht!
>
> lernst Du, dass es Zahlen gibt, die man nicht kennen, identifizieren,
> verwenden usw. kann. Und das ist eine Perversion des mathematischen
> Denkens, die sich allerdings nahtlos in die anderen Perversionen
> gerade wieder ganz aktual bewiesen, juristischem Gebiet.
>
> Es ist der Ausfluss eines falsch verstandenen Beweises. Was sinnvoll
> unter Existenz verstanden werden kann, habe ich in meinem Aufsatz
> "Physical Constraints of Numbers",
> http://arxiv.org/abs/math/0505649
>
> Eine Zahl verdient jedenfalls nur dann die Bezeichnung Zahl, wenn sie
> von ihresgleichen unterschieden werden kann.
Wenigstens sollte der den Unterschied ausmachende Mathematiker eine
Grundausbildung genossen haben. Vom Lehren allein lernt man halt nicht
unbedingt alles.
In theologischen Fakult�ten gen�gen solche verfehlten Ansichten zur
Amtsenthebung.
In der menschenfreundlicheren Umgebung von Mathematik und
Naturwissenschaften weist man den solcherma�en mathematisch
Herausgeforderten irgendeinen n�tzlichen Arbeitsplatz, zB in der
Philosophie der unendlichen Zahlen an einer Fachhochschule zu.
Die, nennen wir sie einmal so, M�ckenheimschen physikalischen
Constraints beruhen auf schwerwiegenden M�ngeln an Kenntnis der Physik,
der Verwechslung von Teilchenzahlen und der M�chtigkeit von
Zustandsklassen in quantisierten Teilchensystemen.
�hnlich bl�d, wie die Zahl der Neuronen mit der Zahl ihrer Verkn�pfungen
oder die der Wegkreuzungen mit den Wegen zu verwechseln.
--
Roland Franzius
Markus Wichmann
> Herbert Newman schrieb:
>
>> "Es gibt genug natürlichen Zahlen - so viele sogar, dass manch Einer
>> irrtümlich annimmt, es gäbe unendlich viele."
>>
>> (Professor Dr. Wolgang Mückenheim, Fachhochschule Augsburg,
>> am 16. Dez. 2009 in de.sci.mathematik)
>
> zu fassen, versuche es aber trotzdem mal:
>
> Die Phrase "es gibt" wird oft synonym verwendet für
> "es existiert/es existieren".
>
> Irgendwo ist mir mal eine Einteilung in sog. "Existenzklassen"
> begegnet:
>
> - "physikalische/physische Existenz" (bspw Schallwellen,
> aus Materie Bestehendes, Licht)
> - "abstrakte Existenz" (bspw Zahlen oder sonstige Begriffe,
> die einen "Sinn" ergeben können, wenn man sie definiert/
> ihnen eine Bedeutung zuweist)
> - "fiktive Existenz" (bspw erdachte Romanfiguren),
> - "emotionale Existenz" (Emotionen)
> - "Existenz, die sich aus Aspekten _zusammensetzt_, die zu
> den vorher genannten Existenzklassen gehören" (Bspw
> Freude über das Happy End eines Science-Fiction-Films).
>
> Welchen Sinn eine Aussage ergibt, in der der Begriff
> "Existenz" eine Rolle spielt, hängt unter anderem davon ab,
> worauf der Existenzbegriff sich bezieht.
>
Wunderbar! Endlich mal eine Diskussion, in der der Diskutant eine
differenzierte Betrachtungsweise nicht nur zu seinem eigenen Vorteil
benutzt.
> Ich kenne den genauen Zusammenhang, in dem die oben zitierte
> Aussage getätigt worden ist, nicht, und ich nehme an, es wäre
> zumindest ungeschickt von mir, unter dieser Voraussetzung für
> andere zu sprechen.
>
Der genaue Zusammenhang? WM war dabei, den natürlichen Zahlen ihre
Existenz (in ZFC) abzusprechen, sodass ich darauf hinwies, dass man
jenes Axiom, das WM so gerne ausschließt, braucht, um die Existenz der
natürlichen Zahlen in ZFC zu sichern.
Worauf hin WM nur sagte "Es gibt sie einfach". Ja, aber Leute, die an
die überabzählbare Unendlichkeit glauben, als Matheologen abtun.
Ihre Anzahl auf endlich zu beschränken, beweist, dass er auch die
Peano-Axiome nicht verstanden hat. Eigentlich war WM bei mir schonmal im
Filter gelandet, er hatte nur Glück, dass ich bei einer Migration
vergessen hatte, den Filter mitzukopieren. Da wollte ich ihm noch eine
Chance geben, aber die hat er ja vertan. Troll bleibt Troll.
> Ich bitte daher darum, das folgende aufzufassen als Darlegung,
> was ich denke, wie diese Aussage zu verstehen sein könnte -
> klären, ob das mit dem übereinstimmt, was derjenige, der sie
> getätigt hat, vermitteln wollte, kann wohl allenfalls derjenige,
> der sie getätigt hat.
>
> Vielleicht wollte er andeuten, dass Irrtümer entstehen, indem
> in einer Annahme unterschiedliche Auffassungen für Begriffe
> und Phrasen wie "Existenz" oder "es gibt" vermischt werden.
>
Nein, denn das ist genau das, was WM eben _nicht_ verstanden hat. Sonst
würde er nicht so seltsames Zeug daherreden. Hat er nicht irgendwann mal
behauptet, es gäbe durchaus die Zahl 10^10^100, aber nicht 10^10^100
natürliche Zahlen? Natürlich gibt es sie nicht physisch, sondern sie
existiert abstrakt. Ich kann auch ihre exakte Definition nicht
aufschreiben, weil sie so groß ist, dass das Universum nicht ausreicht,
um sie zu speichern, und seine Lebenszeit nicht groß genug ist, von
meiner gar nicht zu reden. Aber dennoch gibt es sie.
Physisch existiert gar keine Zahl. Oder hast du in letzter Zeit irgendwo
eine Drei herumliegen sehen? Höchstens eine Trägersubstanz (wie Papier,
Pappe oder Tinte), die die Form eines Zeichens hat, das wir als 3
kennen.
>
> Phrasen wie "es gibt natürliche Zahlen" oder "es existieren
> Lösungen" werfen bei mir folgende Frage auf:
>
> Wo kann ich mehr darüber erfahren, wie der Begriff "Existenz"
> im Zusammenhang mit Mathematik verwendet wird und zu
> verstehen ist und inwiefern sich auf Mathematik bezogene
> Verwendungen des Begriffes "Existenz" decken mit und
> unterscheiden von Verwendungen des Begriffes "Existenz"
> bezogen auf andere Aspekte des menschlichen Daseins?
>
Die Mathematik ist eine vollständig abstrakte Wissenschaft. D.h. wir
reden in der Mathematik immer über abstrakte Dinge. Irgendjemand sagte
mal, dass in der Binärentwicklung von Pi die ASCII-Codes aller Bücher
enthalten sind, die existieren, existiert haben oder noch existieren
werden. Aber das ist eine andere Sache: Pi existiert abstrakt, seine
Binärentwicklung ebenfalls. Geben wir den Einsen und Nullen eine
Bedeutung, die über Einsen und Nullen hinausgeht, dann konkretisieren
wir das ganze. Der Rest (abdrucken, binden, etc.) ist nur noch eine
Umwandlung von etwas Konkretem in andere konkrete Formen. Man könte ja
beispielsweise eine PDF draus machen und durchs Internet verschicken.
Ist die PDF dann physisch existent? Natürlich ist sie das, sei es als
Magnetkodierungen auf meiner Festplatte oder als elektromagnetische
Schwingungen im LAN-Kabel.
> Ulrich
HTH,
Markus
--
Nur weil ein Genie nix reißt, muß ja nun nicht gleich jeder Idiot
pausieren... Bully hats ja auch geschafft.
-- gUnter nanonüm in de.alt.anime
Vogel
@news.t-online.com:
> Herbert Newman schrieb:
>
>> "Es gibt genug nat�rlichen Zahlen - so viele sogar, dass manch Einer
>> irrt�mlich annimmt, es g�be unendlich viele."
>>
>> (Professor Dr. Wolgang M�ckenheim, Fachhochschule Augsburg,
>> am 16. Dez. 2009 in de.sci.mathematik)
>
> Ich habe Probleme, meine Gedanken zu dieser Aussage in Worte
> zu fassen, versuche es aber trotzdem mal:
>
> Die Phrase "es gibt" wird oft synonym verwendet f�r
> "es existiert/es existieren".
>
Ja nun, damit es etwas gibt, muss es existieren, wie ist egal.
Es gibt, deutet auf eine Abz�hlbarkeit hin.
>
Aber schon die Anahme es g�be unendlich viele nat�rliche Zahlen,
als Irrtum zu bezeichen, ist eine klare Aussage.
Da gibt es nichts zu deuteln. Die Aussage stammt bestimmt von einer
"wahrhaftigen" Koryph�e der Mathematik.
>
PISA-Deutschland l�sst Gr�ssen.
>
--
Selber denken macht klug.
Christopher Creutzig
> Das Beginnen und Betreiben einer Mathematik war nicht spontan aus Lust oder
> Laune oder gottgewollt. Vielmehr waren es gesellschaftliche und
> umweltbedingte Zw�nge (eine geeignetere Formulierung f�llt mir nicht ein),
> die zum Z�hlen, Rechnen und klassischem logischen Schlie�en f�hrten.
Das ist sicherlich richtig.
> K�pfen manifestiert. Das beruhte aber auf den damaligen beobachtbaren
> irdischen Bereich und hat sich im Laufe der Zeit als zweckm��ig erwiesen.
> Nun hat die Mathematik irgendwann eine Eigendynamik entwickelt und sich mit
> sich selber auch praxisfern besch�ftigt. Damit ist aus meiner Sicht
> ungekl�rt, ob diese Art der Logik ohne Weiteres auf die nun nicht mehr
> beobachtbaren und in der Mathematik aus sich selbst heraus entwickelten
> Strukturen anwendbar ist. Es ist daher durchaus die Frage berechtigt, ob das
Das ist f�r die fr�heren Anwendungen erst recht ungekl�rt, die
Anwendung ist ja nur heuristisch gesichert (und das ist sie f�r die
sp�teren Anwendungen auch). Unser Verst�ndnis f�r die uns umgebende Welt
verbessert sich ja immer weiter. Die Entwicklungen der Physik in den
letzten 120 Jahren hast Du ja bereits als Beispiel angef�hrt.
Die Mathematik ist heute in einer etwas anderen Situation als die
Physik sein kann: Sie hat ein(*) mehr oder weniger abgeschlossenes
inneres Fundament (was sich sicherlich auch mal wieder �ndern kann und
wird) und kann Aussagen aufstellen, die im Rahmen gewisser logischer
Regeln auf diesem Fundament aufbauend richtig abgeleitet sind. Das ist
eine Gewissheit, die Naturwissenschaften prinzipbedingt niemals
erreichen k�nnen � und gar nicht wollen (sollen), es passt einfach nicht
zur Untersuchungsmethode. Es ist nat�rlich denkbar, dass die so
gewonnenen Erkenntnisse eines Tages (der auch in naher Zukunft liegen
kann) als nicht zu den au�ermathematischen Anwendungen passend erkannt
werden. Vorausgesetzt, dieses nicht-PAssen l�sst sich nicht befriedigend
durch eine andere Modellierung (also einen anderen Br�ckenschlag von der
Anwendung in die selbstbezogene Sprache der Mathematik) heilen, ist es
sehr gut m�glich, dass das Interesse an der heutigen Mathematik stark
nachl�sst. Dadurch wird sie allerdings nicht falsch, allenfalls f�r
viele Zwecke nutzlos und dementsprechend die weitere Vertiefung (noch)
weniger wirtschaftlich. F�r andere Zwecke w�rde sie vermutlich nach wie
vor eingesetzt, so, wie auch heute die allermeisten Anwendungen mit der
Newtonschen Mechanik und der Modellierungsannahme homogener K�rper
wunderbar auskommen. (Nur, dass diese beiden Beispiele bekanntlich
einfach gute N�herungen, aber eben streng genommen falsch sind � sie
versuchen aber auch, im Gegensatz zur Mathematik, existierende
Verh�ltnisse zu beschreiben.)
(*) Noch ein Unterschied zur Physik ist allerdings, dass die Mathematik
nicht nur ein solches Fundament hat. Sie ist in dem Sinne kein Geb�ude
sondern eine ganze Ansiedlung mit Fundamenten, die sich mal mehr, mal
weniger stark �hneln und auf denen ganz verschiedene Gedankengeb�ude
stehen. Viele Mathematiker bleiben in dem, was sie gerade als das
Haupthaus ansehen, aber manche wandern auch fasziniert zwischen den
Gedankengeb�uden herum und bewundern die jeweils eigene �sthetik. Und
manche schaffen es sogar, verschiedene Aufgaben in verschiedenen
Geb�uden zu verrichten.
> eingebettet in die neueren Theorien in neuem Licht erscheint. Es sollte doch
> zu erwarten sein, da� in einem erweiterten logischen System die bisherige
> Mathematik mit ihren wundervollen starken Aussagen einschlie�lich "Cantor"
> ebenso integrierber ist.
Bislang war das bei den mathematischen �Revolutionen� wohl der Fall, ja.
--
F�r 10 EUR im Jahr erfahre ich hier sogar was meine Meinung ist.
Andere Leute m�ssen daf�r heiraten.
[Lars Friedrich �ber UseNet]
Alfred Flaßhaar
> Alfred Fla�haar wrote:
>
(...)
Vielen Dank f�r Deine Antwort auf mein (OT-)posting. Sie stimmt nachdenklich
und pa�t am Ende eines mit viel Problemel�sen und Rechnen vollgestopften
Arbeitsjahres und -lebens so recht in die Weihnachtszeit.
Freundliche Weihnachtsgr��e und guten Rutsch f�r den Jahreswechsel
w�nscht in die dsm-Runde
Alfred Fla�haar
Albrecht
> Albrecht schrieb:
>
> > Es ist ein irrationales Wunschdenken vieler Mathematiker, wenn sie
> > glauben, das ihr Betätigungsfeld völlig frei von Restriktionen wäre,
> > Mathematik also ein völlig frei definierbares Spielfeld darstellen
> > würde.
>
> Unsere wesentliche Restriktion ist die Logik, aber mit der hast Du es ja
> nicht so.
Du bist einfach nur dumm indem Du auf ein sachliches Posting mit
solchen Verbalinjurien reagierst.
> Es ist ja schön, sich über die philosophischen Grundlagen der
> Mathematik Gedanken zu machen, aber was man da sagt verliert doch stark
> an Gewicht, wenn man wie Du oder Professor Mückenheim gleichzeitig
> ständig zeigt, Mathematik nicht zu verstehen. Wer beharrlich
> kritisiert, was er nicht versteht, muss sich auch gefallen lassen, wenn
> andere daraus Rückschlüsse über seinen Charakter ziehen. Insbesondere
> natürlich, wenn er dann auch noch ausfallen wird, wenn er auf die
> Haltlosigkeit seines Schwadronierens hingewiesen wird.
>
Irgendwie ist Deine moralische Topologie degradiert.
AS
Albrecht
> Ulrich D i e z (eu_angel...@web.de) schrieb:
Da redet doch der eine dem anderen einfach nur nach, ohne
nachzudenken. Was soll das mit dem: Physisch existiert gar keine Zahl.
Was soll damit gesagt sein. Existiert Gravitation nicht? Ich habe sie
in letzter Zeit auch nicht herumliegen sehen. Existiert Kausalität
nicht, gibt es kein Licht, keine Freiheit, keine wissenschaftliche
Methode, keine Sätze? Alles "Dinge", die in der Regel nirgends
herumliegen. Was soll also die Phrase: Physisch existiert gar keine
Zahl. aussagen, was ist damit gesagt, was sollen wir daraus folgern?
Du sagst, es gibt keine Zahlen. Hat ein Dreieck nun drei Ecken oder
nicht? Sind die Kerne in einer Sonnenblume annähernd nach den
Fibonacci-Folge angeordnet oder nicht? Sind ein Bruder und eine
Schwester genau zwei Geschwister oder nicht?
Hast Du Dir schon einmal überlegt, dass Zahlen vielleicht nicht Dinge
bzw. Objekte oder Begriffe, sondern Eigenschaften von Dingen bzw.
Objekten oder Begriffen sind.
In diesem Sinne ist eine Aussage wie "Physisch existiert gar keine
Zahl." genauso sinnig, wie die Aussage "Physisch existiert gar keine
Gravitation", denn schließlich spüren wir nicht Gravitation sondern
deren Wirkung.
Was Du oben schreibst ist übrigens falsch. Man braucht nicht das
Unendlichkeitsaxiom um die Existenz der natürlichen Zahlen in ZFC zu
sichern, wie Du behauptest.
Gruß
Albrecht
>
Carsten Schultz
> On 18 Dez., 10:58, Carsten Schultz <cars...@codimi.de> wrote:
>> Albrecht schrieb:
>>
>>> Es ist ein irrationales Wunschdenken vieler Mathematiker, wenn sie
>>> glauben, das ihr Betätigungsfeld völlig frei von Restriktionen wäre,
>>> Mathematik also ein völlig frei definierbares Spielfeld darstellen
>>> würde.
>> Unsere wesentliche Restriktion ist die Logik, aber mit der hast Du es ja
>> nicht so.
>
> Du bist einfach nur dumm indem Du auf ein sachliches Posting mit
> solchen Verbalinjurien reagierst.
>
Ich kann mich nur wiederholen: Wenn Du hier ständig Unfug schreibst,
darfst Du Dich nicht beschweren, wenn Du danach beurteilt wirst.
>> Es ist ja schön, sich über die philosophischen Grundlagen der
>> Mathematik Gedanken zu machen, aber was man da sagt verliert doch stark
>> an Gewicht, wenn man wie Du oder Professor Mückenheim gleichzeitig
>> ständig zeigt, Mathematik nicht zu verstehen. Wer beharrlich
>> kritisiert, was er nicht versteht, muss sich auch gefallen lassen, wenn
>> andere daraus Rückschlüsse über seinen Charakter ziehen. Insbesondere
>> natürlich, wenn er dann auch noch ausfallen wird, wenn er auf die
>> Haltlosigkeit seines Schwadronierens hingewiesen wird.
>>
>
> Irgendwie ist Deine moralische Topologie degradiert.
Wieder ein schönes Beispiel.
Rainer Rosenthal
> Vielen Dank fï¿œr Deine Antwort auf mein (OT-)posting. Sie stimmt nachdenklich
> und paï¿œt am Ende eines mit viel Problemelï¿œsen und Rechnen vollgestopften
> Arbeitsjahres und -lebens so recht in die Weihnachtszeit.
>
> Freundliche Weihnachtsgrￜￜe und guten Rutsch fￜr den Jahreswechsel
>
> wï¿œnscht in die dsm-Runde
Lieber Alfred,
aus der dsm-Runde freundliche und gute Weihnachtsgrￜￜe zurￜck an Dich
und Deine Lieben daheim. Genieï¿œe die Zeit nach dem von Dir oben ange-
deuteten Ende des Arbeitslebens und sorge weiter mit freundlichen, nach-
denklichen und zum Nachdenken anregenden Beitrï¿œgen fï¿œr das Klima in
dsm, das viele von uns hier gut finden.
Nicht nur als notorischer Reimeschmieder und vorlauter Missversteher
historischer Quellen wie z.B. Felix Klein, auch nicht als verblendeter
Jï¿œnger des schrecklichen Gurus Cantor oder als selbsternannter
Enkel des Archimedes, sondern auch als offizieller Sekretï¿œr des von
Dir organisierten dsm-Treffens 2008 darf ich Dir diese Grￜￜe zum Fest
und fï¿œr das Neue Jahr senden.
Ich schlieï¿œe mich auch gleich Deinen guten Wï¿œnschen in die dsm-Runde an.
Ein Gedicht?
Lieber nicht!
Gruￜ,
Rainer
Rainer Willis
> On 19 Dez., 14:29, Markus Wichmann <nullp...@gmx.net> wrote:
[...]
>> Physisch existiert gar keine Zahl. Oder hast du in letzter Zeit irgendwo
>> eine Drei herumliegen sehen? H�chstens eine Tr�gersubstanz (wie Papier,
>> Pappe oder Tinte), die die Form eines Zeichens hat, das wir als 3
>> kennen.
> Da redet doch der eine dem anderen einfach nur nach, ohne
> nachzudenken. Was soll das mit dem: Physisch existiert gar keine Zahl.
Wohl genau das, was da steht: physisch existiert keine Zahl.
> Was soll damit gesagt sein. Existiert Gravitation nicht?
Erfreulich zu h�ren, dass dir noch nie ein gr��erer Blumentopf auf den
Kopf gefallen ist, obwohl ich daran zweifel.
Ist Gravitation denn eine Zahl? Und komm mir jetzt nicht mit der
Gravitationskonstanten.
> Ich habe sie
> in letzter Zeit auch nicht herumliegen sehen. Existiert Kausalit�t
> nicht, gibt es kein Licht, keine Freiheit, keine wissenschaftliche
> Methode, keine S�tze? Alles "Dinge", die in der Regel nirgends
> herumliegen. Was soll also die Phrase: Physisch existiert gar keine
> Zahl aussagen, was ist damit gesagt, was sollen wir daraus folgern?
Ja, ja, diese bl�den Quantoren, nicht wahr?
"Den Heiseren singen zu h�ren, den Lahmen tanzen zu sehn, ist peinlich;
aber den beschr�nkten Kopf philosophirend zu vernehmen, ist
unertr�glich." (A. Schopenhauer)
> Du sagst, es gibt keine Zahlen. Hat ein Dreieck nun drei Ecken oder
> nicht? Sind die Kerne in einer Sonnenblume ann�hernd nach den
> Fibonacci-Folge angeordnet oder nicht? Sind ein Bruder und eine
> Schwester genau zwei Geschwister oder nicht?
Das ist alles wahr, trotzdem ek-sistiert z.B. die Zahl 3 nicht, ist
nicht physikalisch vorhanden, nicht anfassbar.
> Hast Du Dir schon einmal �berlegt, dass Zahlen vielleicht nicht Dinge
> bzw. Objekte oder Begriffe, sondern Eigenschaften von Dingen bzw.
> Objekten oder Begriffen sind.
*seufz*
> In diesem Sinne ist eine Aussage wie "Physisch existiert gar keine
> Zahl." genauso sinnig, wie die Aussage "Physisch existiert gar keine
> Gravitation", denn schlie�lich sp�ren wir nicht Gravitation sondern
> deren Wirkung.
Auf mich haben Zahlen keine Wirkung, abgesehen davon, dass ich einige
mehr mag als andere.
> Was Du oben schreibst ist �brigens falsch. Man braucht nicht das
> Unendlichkeitsaxiom um die Existenz der nat�rlichen Zahlen in ZFC zu
> sichern, wie Du behauptest.
Wie argumentierst du denn, wenn du einen Induktionsbeweis f�hren sollst?
Wie auch immer, dir und allen anderen in dsm ein frohes Fest.
Gru� Rainer
Peter
> Ein Gedicht?
> Lieber nicht!
Lieber Raimer,
das ist wirklich schade, denn deine Prosa ist so überbordend
mit Lyrik, dass ich deine Schüttelreime immer als entspannendes
Gegenwicht besonders schätze.
Dir, dem offiziellen Sekretär des von Dir organisierten
dsm-Treffens 2010 auf Kreta mit Zeta
darf ich Grüße zum Fest und für das Neue Jahr senden.
Albrecht
> Albrecht schrieb:
>
> > On 19 Dez., 14:29, Markus Wichmann <nullp...@gmx.net> wrote:
>
> [...]
>
> >> Physisch existiert gar keine Zahl. Oder hast du in letzter Zeit irgendwo
> >> Pappe oder Tinte), die die Form eines Zeichens hat, das wir als 3
> >> kennen.
> > Da redet doch der eine dem anderen einfach nur nach, ohne
> > nachzudenken. Was soll das mit dem: Physisch existiert gar keine Zahl.
>
> Wohl genau das, was da steht: physisch existiert keine Zahl.
>
> > Was soll damit gesagt sein. Existiert Gravitation nicht?
>
> Kopf gefallen ist, obwohl ich daran zweifel.
> Ist Gravitation denn eine Zahl? Und komm mir jetzt nicht mit der
> Gravitationskonstanten.
>
> > Ich habe sie
> > nicht, gibt es kein Licht, keine Freiheit, keine wissenschaftliche
> > herumliegen. Was soll also die Phrase: Physisch existiert gar keine
> > Zahl aussagen, was ist damit gesagt, was sollen wir daraus folgern?
>
>
> "Den Heiseren singen zu hören, den Lahmen tanzen zu sehn, ist peinlich;
> aber den beschränkten Kopf philosophirend zu vernehmen, ist
> unerträglich." (A. Schopenhauer)
>
> > Du sagst, es gibt keine Zahlen. Hat ein Dreieck nun drei Ecken oder
> > Fibonacci-Folge angeordnet oder nicht? Sind ein Bruder und eine
> > Schwester genau zwei Geschwister oder nicht?
>
> Das ist alles wahr, trotzdem ek-sistiert z.B. die Zahl 3 nicht, ist
> nicht physikalisch vorhanden, nicht anfassbar.
>
> > bzw. Objekte oder Begriffe, sondern Eigenschaften von Dingen bzw.
> > Objekten oder Begriffen sind.
>
> *seufz*
>
> > In diesem Sinne ist eine Aussage wie "Physisch existiert gar keine
> > Zahl." genauso sinnig, wie die Aussage "Physisch existiert gar keine
> > deren Wirkung.
>
> Auf mich haben Zahlen keine Wirkung, abgesehen davon, dass ich einige
> mehr mag als andere.
>
> > Unendlichkeitsaxiom um die Existenz der natürlichen Zahlen in ZFC zu
> > sichern, wie Du behauptest.
>
> Wie argumentierst du denn, wenn du einen Induktionsbeweis führen sollst?
>
> Wie auch immer, dir und allen anderen in dsm ein frohes Fest.
>
Dem kann ich mich bei allem sonstigen Widerspruch nur anschliessen.
Ein Frohes Fest und, vorbeugend, schon mal einen Guten Rutsch ebenso
an Dich und alle dsm'ler.
Albrecht
Markus Wichmann
Rainer Willis (rainer...@web.de) schrieb:
> Albrecht schrieb:
>> On 19 Dez., 14:29, Markus Wichmann <nullp...@gmx.net> wrote:
>
> [...]
>
>>> Physisch existiert gar keine Zahl. Oder hast du in letzter Zeit irgendwo
>>> eine Drei herumliegen sehen? Höchstens eine Trägersubstanz (wie Papier,
>>> Pappe oder Tinte), die die Form eines Zeichens hat, das wir als 3
>>> kennen.
>
>> Da redet doch der eine dem anderen einfach nur nach, ohne
>> nachzudenken.
Selbst wenn es stimmen würde (ich wüsste nicht, wem ich etwas hätte
nachreden sollen), wäre das immer noch besser, als jemand anderem mit
dem Hintergedanken nachzureden, seine Botschaft völlig zu verdrehen.
>> Was soll das mit dem: Physisch existiert gar keine Zahl.
>
Hab ich doch lang und breit erklärt. Wenn du mal eine Drei irgendwo
rumliegen siehst, sag Bescheid.
> Wohl genau das, was da steht: physisch existiert keine Zahl.
>
>> Was soll damit gesagt sein. Existiert Gravitation nicht?
>
> Erfreulich zu hören, dass dir noch nie ein größerer Blumentopf auf den
> Kopf gefallen ist, obwohl ich daran zweifel.
> Ist Gravitation denn eine Zahl? Und komm mir jetzt nicht mit der
> Gravitationskonstanten.
>
Gravitation ist eine Kraft und damit eine physikalische Größe. Schön,
dass man sie quantisieren und berechnen kann, aber nichts desto trotz
ist sie keine Zahl.
>> Ich habe sie
>> in letzter Zeit auch nicht herumliegen sehen. Existiert Kausalität
>> nicht, gibt es kein Licht, keine Freiheit, keine wissenschaftliche
>> Methode, keine Sätze? Alles "Dinge", die in der Regel nirgends
>> herumliegen. Was soll also die Phrase: Physisch existiert gar keine
>> Zahl aussagen, was ist damit gesagt, was sollen wir daraus folgern?
>
Zahlen existieren nicht physisch. Sie sind verdammt nochmal nichts
weiter als gedankliche Modelle. Mittlerweile jagen wir Zahlen vielfach
durch irgendwelche Kabel und Rechenmaschinen, aber das sind
physikalische Schwingungen, die Zahlen darstellen sollen, keine Zahlen
an sich.
Natürlich existieren die Zahlen abstrakt. Aber abstrakt ist nicht
physisch.
> Ja, ja, diese blöden Quantoren, nicht wahr?
>
Das ist eine andere Baustelle: Dem Herrn Mathematiker muss halt erst
noch beigebracht werden, dass:
A x e R: E y e R: x + y = 0
und
E y e R: A x e R: x + y = 0
nicht äquivalente Aussagen sind. In diesem Fall unterscheiden sich sogar
die Wahrheitswerte dieser Aussagen.
> "Den Heiseren singen zu hören, den Lahmen tanzen zu sehn, ist peinlich;
> aber den beschränkten Kopf philosophirend zu vernehmen, ist
> unerträglich." (A. Schopenhauer)
>
FACK! YMMD!
>> Du sagst, es gibt keine Zahlen. Hat ein Dreieck nun drei Ecken oder
>> nicht? Sind die Kerne in einer Sonnenblume annähernd nach den
>> Fibonacci-Folge angeordnet oder nicht? Sind ein Bruder und eine
>> Schwester genau zwei Geschwister oder nicht?
Geschwister existieren physisch, Dreiecke existieren vielleicht physisch
(je nach Abstraktionsvermögen), Sonnenblumenkerne existieren physisch.
Dass sich Sonnenblumenkerne nun wie eine Fibonacci-Folge verhalten ist
ja wiederum nicht wahr. Die _Anzahl_ der Sonnenblumenkerne verhält sich
von Ring zu Ring einer Fibonacci-Folge ähnlich. Und die _Anzahl_ ist
eine _Zahl_ und damit nur abstrakt existent, nicht physisch.
>
> Das ist alles wahr, trotzdem ek-sistiert z.B. die Zahl 3 nicht, ist
> nicht physikalisch vorhanden, nicht anfassbar.
>
So kann man es auch formulieren. Vielleicht versteht er es ja.
>> Hast Du Dir schon einmal überlegt, dass Zahlen vielleicht nicht Dinge
>> bzw. Objekte oder Begriffe, sondern Eigenschaften von Dingen bzw.
>> Objekten oder Begriffen sind.
Gottseidank. Dann hast du es ja schon selbst begriffen und ich muss es
dir nicht erklären.
>
> *seufz*
>
ACK.
>> In diesem Sinne ist eine Aussage wie "Physisch existiert gar keine
>> Zahl." genauso sinnig, wie die Aussage "Physisch existiert gar keine
>> Gravitation", denn schließlich spüren wir nicht Gravitation sondern
>> deren Wirkung.
Du hast den entscheidenden Punkt nicht begriffen. Nochmal zum
Mitmeißeln: Gravitation ist eine physikalische Größe und damit ein Teil
der Realität.
Wir können ihre Größe messen oder berechnen, und das ganze als Zahl
ausdrücken. Das tut der Gravitation aber keinen Abbruch, sie existierte
in ihrer heutigen Form schon, als Mathematik für den Homo sapiens noch
die Beantwortung der Frage war: Wie viele Leute brauche ich, um ein
Mammut zu erlegen, zerlegen und zum Dorf zu schaffen?
>
> Auf mich haben Zahlen keine Wirkung, abgesehen davon, dass ich einige
> mehr mag als andere.
>
>> Was Du oben schreibst ist übrigens falsch. Man braucht nicht das
>> Unendlichkeitsaxiom um die Existenz der natürlichen Zahlen in ZFC zu
>> sichern, wie Du behauptest.
Beweise nur mit ZFC ohne Unendlichkeitsaxiom, dass es die natürlichen
Zahlen gibt. (Du wirst mir vielleicht nicht glauben, aber ich bin der
Bedienung von Web-Newsreadern fähig, sodass ich, wenn ich will, dein
Geschreibsel auch lesen kann.)
>
> Wie argumentierst du denn, wenn du einen Induktionsbeweis führen sollst?
>
Das kommt noch hinzu.
> Wie auch immer, dir und allen anderen in dsm ein frohes Fest.
>
Danke, und dir nen guten Rutsch, aber rutsch nicht aus.
> Gruß Rainer
>
>
>
Tschö,
Markus
--
Nur weil ein Genie nix reißt, muß ja nun nicht gleich jeder Idiot
pausieren... Bully hats ja auch geschafft.
-- gUnter nanonüm in de.alt.anime
--- news://freenews.netfront.net/ - complaints: ne...@netfront.net ---
Christopher Creutzig
> Was Du oben schreibst ist �brigens falsch. Man braucht nicht das
> Unendlichkeitsaxiom um die Existenz der nat�rlichen Zahlen in ZFC zu
> sichern, wie Du behauptest.
Das Unendlichkeitsaxiom ist �quivalent dazu, die Existenz der *Menge*
der nat�rlichen Zahlen zu sichern. (Sprich: Die Existenz dieser Menge zu
fordern, ist genau das Gleiche wie die Forderung des
Unendlichkeitsaxioms.) Dieser feine Unterschied (Existenz der
Zahlen/Existenz der Menge der Zahlen) ist nat�rlich vorhanden.
Allerdings gibt es in ZFC ausschlie�lich Mengen, so dass die Aussage �es
gibt die nat�rlichen Zahlen� innerhalb von ZFC �
Mengenlehrer
> Dieser feine Unterschied (Existenz der
> Zahlen/Existenz der Menge der Zahlen) ist nat�rlich vorhanden.
Ist der Unterschied wirklich so fein?
Es gibt ja auch die Ordinalzahlen aber
nicht die Menge der Ordinalzahlen.
Albrecht
Leider hast Du meine Argumentation überhaupt nicht verstanden. Hier
ein Anriss:
Aus Deiner Aussage, "Physisch existiert gar keine Zahl." Nun gehe ich
davon aus, dass Du mit diesem Satz etwas im Zusammenhang mit der
Diskussion sagen möchtest. Darum interpretiere ich (zwangsläufig) und
lese Deinen Satz etwa in der Form: Im Zusammenhang mit der
Existenzdiskussion hat es eine Bedeutung, dass Zahlen nicht physisch
existieren.
Nun versuche ich, diese Punkt aufzugreifen und versuche Dein
Bewußstein für die Frage zu schärfen, ob unsere Realität, als die
Gesamtheit von allem was (für uns) existiert) sich etwa auf
physikalische Dinge beschränkt.
Leider scheinst Du überhaupt nicht zu kapieren, worauf ich damit
hinaus wollte.
Am Rande sei erwähnt: es gibt philosophische Strömungen, die davon
ausgehen, dass die ganze Realität _ausschließlich_ aus Zahlen besteht.
Was wir wahrnehmen sind nur die Schatten dieser Zahlen an der
Höhlenwand.
So und jetzt nochmal: Was folgerst Du daraus, dass nirgendwo eine 3
herumliegt???
Gruß
Albrecht
Albrecht
wrote:
> Albrecht wrote:
> > Was Du oben schreibst ist übrigens falsch. Man braucht nicht das
> > Unendlichkeitsaxiom um die Existenz der natürlichen Zahlen in ZFC zu
> > sichern, wie Du behauptest.
>
> Das Unendlichkeitsaxiom ist äquivalent dazu, die Existenz der *Menge*
> der natürlichen Zahlen zu sichern. (Sprich: Die Existenz dieser Menge zu
> fordern, ist genau das Gleiche wie die Forderung des
> Unendlichkeitsaxioms.) Dieser feine Unterschied (Existenz der
> Allerdings gibt es in ZFC ausschließlich Mengen, so dass die Aussage „es
> gibt die natürlichen Zahlen“ innerhalb von ZFC …
>
> --
> Für 10 EUR im Jahr erfahre ich hier sogar was meine Meinung ist.
> Andere Leute müssen dafür heiraten.
> [Lars Friedrich über UseNet]
Warum schreibst Du dass mir, anstatt dem Markus Wichmann der
offensichtlich Unsinn geschrieben hat?
Also Markus, falls Du hier mitliest: Man braucht nicht das
Unendlichkeitsaxiom umd die Existenz der natürlichen Zahlen in ZFC zu
sichern. (Es ist ausdrücklich nicht die Rede von der _Menge_ der
natürlichen Zahlen.) Aber nach gängiger Praxis siehst Du Deinen Irrtum
ja doch nicht ein und versuchst Dich höchstens irgendwie rauszulabern.
Und, CC, dass Du mit Deiner Spitzfindigkeit versuchst, Markus ins
Recht zu versetzten, mag Sympathiepunkte einbringen. Aber zeugt von
schlechter wissenschaflicher Methode. Nochmal: Die Existenz jeder
einzelnen natürlichen Zahl ist in ZFC ohne AoI gesichert. Nur deren
Gesamtheit in Form einer Menge existiert nicht. Was auch völlig Sinn
macht, da es für eine solche Menge keine vernünftige Kardinalzahl
gibt.
Gruß
Albrecht
Albrecht
> Am 23.12.2009 22:09, schrieb Christopher Creutzig:
>
> > Dieser feine Unterschied (Existenz der
>
> Ist der Unterschied wirklich so fein?
> Es gibt ja auch die Ordinalzahlen aber
> nicht die Menge der Ordinalzahlen.
Natürlich ist der Unterschied signifikant, und CC ist sich dessen
wahrscheinlich vollauf bewußt.
Wir halten mal fest:
- ZFC ohne AoI enthält alle natürlichen Zahlen, nur nicht deren Menge
- ZFC enthält alle Ordinalzahlen, aber nicht deren Menge
Die Mengen-Lehre hat die natürlichen Zahlen aus ihrer angestammten
Funktion verstossen, die Ordinal- und Kardinalzahlen darzustellen.
Mittels einem Taschenspielertrick wird dann einer Menge aller
natürlichen Zahlen eine Kardinalzahl zugewiesen. Wahrscheinlich könnte
ein geschickter Taschenspieler die Sache noch weitertreiben: Eine
Menge der Ordinalzahlen einführen und das ganz System über irgndwelch
abgehobenen Definition zumindest scheinbar widerspruchsfrei zu machen.
AS
Carsten Schultz
> Und, CC, dass Du mit Deiner Spitzfindigkeit versuchst, Markus ins
> Recht zu versetzten, mag Sympathiepunkte einbringen. Aber zeugt von
> schlechter wissenschaflicher Methode.
*g*
> Nochmal: Die Existenz jeder
> einzelnen natürlichen Zahl ist in ZFC ohne AoI gesichert. Nur deren
> Gesamtheit in Form einer Menge existiert nicht. Was auch völlig Sinn
> macht, da es für eine solche Menge keine vernünftige Kardinalzahl
> gibt.
Da bist Du ja wieder sehr wissenschaftlich. Zwar ordnet man der Menge
der natürlichen Zahlen ganz problemlos eine Kardinalzahl zu, aber Du
behauptest, das ginge nicht vernünftig? Warum? Weil Du einfach nicht
glaubst, wenn man Dir sagt, Deine Argumente wären Unfug. Dinge zu
kritisieren, die man nicht versteht, ist keine Wissenschaftlichkeit.
Carsten Schultz
> Die Mengen-Lehre hat die natürlichen Zahlen aus ihrer angestammten
> Funktion verstossen, die Ordinal- und Kardinalzahlen darzustellen.
Die natürlichen Zahlen sind immer noch die Kardinalzahlen endlicher Mengen.
> Mittels einem Taschenspielertrick wird dann einer Menge aller
> natürlichen Zahlen eine Kardinalzahl zugewiesen. Wahrscheinlich könnte
> ein geschickter Taschenspieler die Sache noch weitertreiben: Eine
> Menge der Ordinalzahlen einführen und das ganz System über irgndwelch
> abgehobenen Definition zumindest scheinbar widerspruchsfrei zu machen.
Wo Du Polemik betreibst, betreiben andere Mathematik:
http://mathoverflow.net/questions/8976/ordinals-that-are-not-sets
Ich war dort auch überrascht, dass es eine interessante Antwort gibt.
Ich bin aber auch kein Mengentheoretiker.
Gruß
Carsten
Roland Franzius
> Albrecht schrieb:
>> Und, CC, dass Du mit Deiner Spitzfindigkeit versuchst, Markus ins
>> Recht zu versetzten, mag Sympathiepunkte einbringen. Aber zeugt von
>> schlechter wissenschaflicher Methode.
>
> *g*
>
>> Nochmal: Die Existenz jeder
>> einzelnen natürlichen Zahl ist in ZFC ohne AoI gesichert. Nur deren
>> Gesamtheit in Form einer Menge existiert nicht. Was auch völlig Sinn
>> macht, da es für eine solche Menge keine vernünftige Kardinalzahl
>> gibt.
>
> Da bist Du ja wieder sehr wissenschaftlich. Zwar ordnet man der Menge
> der natürlichen Zahlen ganz problemlos eine Kardinalzahl zu, aber Du
> behauptest, das ginge nicht vernünftig? Warum? Weil Du einfach nicht
> glaubst, wenn man Dir sagt, Deine Argumente wären Unfug. Dinge zu
> kritisieren, die man nicht versteht, ist keine Wissenschaftlichkeit.
>
Zu deiner Antwort darauf gibts natürlich auch eine Story.
Ein amerikanischer Journalist in Jerusalem beobachtete einen alten Mann,
der jeden Tag an der Klagemauer erschien und stundenlang betete.
Eines Tages fragte er ihn schließlich, worum er denn so ausdauernd bete
oder bitte.
Der Alter Mann erwiderte, er bete darum dass die Welt besser und die
Menschen vernünftiger werden mögen.
"Und erhört Gott das Gebet?"
"Ich habe das Gefühle, ich spreche gegen eine Wand."
--
Roland Franzius
Albrecht
> Albrecht schrieb:
>
> > Und, CC, dass Du mit Deiner Spitzfindigkeit versuchst, Markus ins
> > Recht zu versetzten, mag Sympathiepunkte einbringen. Aber zeugt von
> > schlechter wissenschaflicher Methode.
>
> *g*
>
> > Nochmal: Die Existenz jeder
> > einzelnen natürlichen Zahl ist in ZFC ohne AoI gesichert. Nur deren
> > Gesamtheit in Form einer Menge existiert nicht. Was auch völlig Sinn
> > macht, da es für eine solche Menge keine vernünftige Kardinalzahl
> > gibt.
>
> Da bist Du ja wieder sehr wissenschaftlich. Zwar ordnet man der Menge
> der natürlichen Zahlen ganz problemlos eine Kardinalzahl zu, aber Du
> behauptest, das ginge nicht vernünftig? Warum? Weil Du einfach nicht
> glaubst, wenn man Dir sagt, Deine Argumente wären Unfug. Dinge zu
> kritisieren, die man nicht versteht, ist keine Wissenschaftlichkeit.
>
Ich warte auf den Tag, an dem Du anfängst zu argumentieren anstatt zu
lamentieren. Das Wesentlichem, was Du in diesem Zusammenhang beitragen
kannst, ist: Ihr Kritiker, ordnet Euch gefälligst der Mehrheitsmeinung
unter?
Also tut mir Leid, aber das ist mir zuwenig.
AS
Albrecht
> Albrecht schrieb:
>
> > Die Mengen-Lehre hat die natürlichen Zahlen aus ihrer angestammten
> > Funktion verstossen, die Ordinal- und Kardinalzahlen darzustellen.
>
> Die natürlichen Zahlen sind immer noch die Kardinalzahlen endlicher Mengen.
Na, wie großzügig von den Herren Mengenlehrern.
>
> > Mittels einem Taschenspielertrick wird dann einer Menge aller
> > natürlichen Zahlen eine Kardinalzahl zugewiesen. Wahrscheinlich könnte
> > ein geschickter Taschenspieler die Sache noch weitertreiben: Eine
> > Menge der Ordinalzahlen einführen und das ganz System über irgndwelch
> > abgehobenen Definition zumindest scheinbar widerspruchsfrei zu machen.
>
> Wo Du Polemik betreibst, betreiben andere Mathematik:http://mathoverflow.net/questions/8976/ordinals-that-are-not-sets
>
Polemik? Ja, hin und wieder schon.
> Ich war dort auch überrascht, dass es eine interessante Antwort gibt.
> Ich bin aber auch kein Mengentheoretiker.
>
Und warum hängst Du Dich dann hier so rein?
Ist das so eine Marotte von Dir, bei Themen, von denen Du nichts
verstehst reinquatschen zu müssen?
AS
Klaus Cammin
> Was folgerst Du daraus, dass nirgendwo eine 3
> herumliegt???
Da� Zahlen nur in den K�pfen derer existieren, die mit Zahlen was machen.
Da� Zahlen nie direkt auf Realit�t verweisen, sondern nur das Mittel sind,
wodurch das, was man von der Realit�t beschreiben will, dargestellt wird,
wenn auch sehr verk�rzt und zu - meiner Vermutung nach - mindestens 70% von
der Absicht des Sprechers bestimmt.
> Nun versuche ich, diese Punkt aufzugreifen und versuche Dein
> Bewu�stein f�r die Frage zu sch�rfen, ob unsere Realit�t, als die
> Gesamtheit von allem was (f�r uns) existiert) sich etwa auf
> physikalische Dinge beschr�nkt.
Wenn Du da psychische Dinge einschlie�t, l�uft das darauf hinaus, das, was
im Kopf stattfindet, 1:1 als Realit�t wahrzunehmen, eine Ansicht, die Du
selbst zu Recht als bescheuert bezeichnet hast.
Aber Du meinst wohl menschliche Begriffe wie Eigenschaften, Kausalit�t etc.
Selbst wenn diese in der Physik definiert sind, ist es nicht immer einfach
festzustellen, ob diese nur im Kopf stattfinden oder eine davon unabh�ngige
Existenz haben.
Eigenschaften selbst exisitieren nicht au�erhalb von Menschen. Sie sind nur
das Mittel, mit dem wir ausdr�cken, da� ein Objekt Tr�ger dessen ist, was
wir mit der Eigenschaft �ber das Objekt aussagen wollen. Wir wissen noch
nicht mal, ob die Eigenschaft direkt im Objekt vorhanden ist, z.B. ist in
"Wirklichkeit" Rot nicht das, wie wir Rot wahrnehmen, au�erdem ist die
"entdeckte" oder zugeschriebene Eigenschaft vielleicht eine
zusammengesetzte, die einzeln gar nicht vorkommt.
Kausalit�t und Gravitation exisitieren in dem Sinne, in dem sie von der
Physik beschrieben werden. WIE sie beschrieben werden, ist Stand der
derzeitigen Erkenntnis, ob sie das "wirklich" sind, wei� kein Schwein.
Es hat schon seinen Grund, warum die Physik keine ontologischen Fragen
beantwortet. (Lesch: "wir erkl�ren, wie die Welt funktioniert, was sie ist,
beantworten wir nicht." (oder fragen noch nicht mal danach))
Nein, die Realit�t beschr�nkt sich nicht auf physikalische Dinge, aber was
alles so im Kopf rumschwirrt, hat erstmal nix mit Wirklichkeit zu tun. Es
gibt Methoden, mit der wir erkennen k�nnen, was man ohne Schaden (des
Irrtums) als gesichert annehmen kann.
Deswegen ist mE Deine Ansicht falsch: wenn Du kategorisch die nat. Zahlen
als Grundlage aller Mathematik bzw. sogar des Seins deklarierst,
verzichtest Du auf Verifikation Deiner Behauptung, die u.U. zur Folge haben
k�nnte, da� Dein Glaubenssatz falsifiziert wird, abgesehen davon, da� Du
Dich damit als unwissenschaftlich outest.
Die Rechtfertigung daf�r, was die Mathematiker sich aus den Fingern
saugten, besteht darin, da� die Mathematik prima bzw. besser als vorher
funktioniert. Ontologische Fragen treten dahinter zur�ck.
Viele Gr��e
Klaus
Carsten Schultz
> On 25 Dez., 12:33, Carsten Schultz <cars...@codimi.de> wrote:
>> Albrecht schrieb:
>>
>>> Und, CC, dass Du mit Deiner Spitzfindigkeit versuchst, Markus ins
>>> Recht zu versetzten, mag Sympathiepunkte einbringen. Aber zeugt von
>>> schlechter wissenschaflicher Methode.
>> *g*
>>
>>> Nochmal: Die Existenz jeder
>>> einzelnen natürlichen Zahl ist in ZFC ohne AoI gesichert. Nur deren
>>> Gesamtheit in Form einer Menge existiert nicht. Was auch völlig Sinn
>>> macht, da es für eine solche Menge keine vernünftige Kardinalzahl
>>> gibt.
>> Da bist Du ja wieder sehr wissenschaftlich. Zwar ordnet man der Menge
>> der natürlichen Zahlen ganz problemlos eine Kardinalzahl zu, aber Du
>> behauptest, das ginge nicht vernünftig? Warum? Weil Du einfach nicht
>> glaubst, wenn man Dir sagt, Deine Argumente wären Unfug. Dinge zu
>> kritisieren, die man nicht versteht, ist keine Wissenschaftlichkeit.
>>
>
> Ich warte auf den Tag, an dem Du anfängst zu argumentieren anstatt zu
> lamentieren.
Das hatten wir doch in der Vergangenheit schon, aber für mathematische
Argumente bist Du nicht empfänglich.
> Das Wesentlichem, was Du in diesem Zusammenhang beitragen
> kannst, ist: Ihr Kritiker, ordnet Euch gefälligst der Mehrheitsmeinung
> unter?
Ja, so siehst Du Dich gerne, als Krtiker. Und ich weise darauf hin,
dass ein Kritiker ohne Sachverständnis sich nur eine Witzfigur ist.
Gruß
Carsten
Carsten Schultz
> On 25 Dez., 14:30, Carsten Schultz <cars...@codimi.de> wrote:
>> Albrecht schrieb:
>>
>>> Die Mengen-Lehre hat die natürlichen Zahlen aus ihrer angestammten
>>> Funktion verstossen, die Ordinal- und Kardinalzahlen darzustellen.
>> Die natürlichen Zahlen sind immer noch die Kardinalzahlen endlicher Mengen.
>
> Na, wie großzügig von den Herren Mengenlehrern.
Es zeigt nur, dass alles, was Du hier daherschreibst, wieder einmal
Quatsch ist.
>>> Mittels einem Taschenspielertrick wird dann einer Menge aller
>>> natürlichen Zahlen eine Kardinalzahl zugewiesen. Wahrscheinlich könnte
>>> ein geschickter Taschenspieler die Sache noch weitertreiben: Eine
>>> Menge der Ordinalzahlen einführen und das ganz System über irgndwelch
>>> abgehobenen Definition zumindest scheinbar widerspruchsfrei zu machen.
>> Wo Du Polemik betreibst, betreiben andere Mathematik:http://mathoverflow.net/questions/8976/ordinals-that-are-not-sets
>>
>
> Polemik? Ja, hin und wieder schon.
>
>> Ich war dort auch überrascht, dass es eine interessante Antwort gibt.
>> Ich bin aber auch kein Mengentheoretiker.
>>
>
>
> Und warum hängst Du Dich dann hier so rein?
> Ist das so eine Marotte von Dir, bei Themen, von denen Du nichts
> verstehst reinquatschen zu müssen?
Als Mathematiker bin ich selbstverständlich qualifiziert, mich zu Themen
der Mengenlehre zu äußern, so lange es nicht zu speziell wird.
Insbesondere habe ich genug Übung im Umgang mit Mathematik, um die
Dinge, die ich gut verstehe, von denen zu unterscheiden, die ich nicht
verstehe.
Was war noch einmal Deine Qualifikation? Ach ja, ich erinnere mich:
Dadurch, dass Du keine mathematische Bildung besitzt, bist Du
unvoreingenommen.
Peter Niessen
> Was Du oben schreibst ist �brigens falsch. Man braucht nicht das
> Unendlichkeitsaxiom um die Existenz der nat�rlichen Zahlen in ZFC zu
> sichern, wie Du behauptest.
Ach Albrecht
Was ist denn mit Beweisen durch vollst�ndige Induktion?
--
Mit freundlichen Gr�ssen:
Peter Niessen
Albrecht
> Albrecht schrieb:
>
> > Was folgerst Du daraus, dass nirgendwo eine 3
> > herumliegt???
>
> Daß Zahlen nie direkt auf Realität verweisen, sondern nur das Mittel sind,
> wodurch das, was man von der Realität beschreiben will, dargestellt wird,
> wenn auch sehr verkürzt und zu - meiner Vermutung nach - mindestens 70% von
> der Absicht des Sprechers bestimmt.
Massiver Einspruch. gerade was die Zahleneigenschaften unserer
Realität betrifft, können wir soetwas wie Objektivität erreichen. Und
was Aspekte betrifft, die wir mit ganzen Zahlen beschreiben, ist 100
%ige Objektivität möglich.
Wie ist genau das möglich, wenn diese Zahlensapekte gar keine Realität
besitzen sondern nur in den Köpfen vorkommt????
>
> > Nun versuche ich, diese Punkt aufzugreifen und versuche Dein
> > Bewußstein für die Frage zu schärfen, ob unsere Realität, als die
> > Gesamtheit von allem was (für uns) existiert) sich etwa auf
> > physikalische Dinge beschränkt.
>
> Wenn Du da psychische Dinge einschließt, läuft das darauf hinaus, das, was
> im Kopf stattfindet, 1:1 als Realität wahrzunehmen, eine Ansicht, die Du
> selbst zu Recht als bescheuert bezeichnet hast.
Du meinst hier die solipsistische Position? kann man nicht
ausschließen, will man aber auch nicht annehmen.
>
> Aber Du meinst wohl menschliche Begriffe wie Eigenschaften, Kausalität etc.
> Selbst wenn diese in der Physik definiert sind, ist es nicht immer einfach
> festzustellen, ob diese nur im Kopf stattfinden oder eine davon unabhängige
> Existenz haben.
>
> Eigenschaften selbst exisitieren nicht außerhalb von Menschen. Sie sind nur
> das Mittel, mit dem wir ausdrücken, daß ein Objekt Träger dessen ist, was
> wir mit der Eigenschaft über das Objekt aussagen wollen. Wir wissen noch
> nicht mal, ob die Eigenschaft direkt im Objekt vorhanden ist, z.B. ist in
> "Wirklichkeit" Rot nicht das, wie wir Rot wahrnehmen, außerdem ist die
> "entdeckte" oder zugeschriebene Eigenschaft vielleicht eine
> zusammengesetzte, die einzeln gar nicht vorkommt.
Diese Ansicht führt aber entweder direkt zu Solipsismus, und cih
dachte wir wären uns einig, dass das nicht die Lösung sein kann
(darf). Oder aber sie ist sehr fragwürdig. Was soll denn dann sein,
wenn es keine Eigenschaften gibt. Wie erkennen wir denn das "Ding an
sich" in diesem Fall? Werden uns dessen Eigenschaftren nicht
physikalisch vermittelt, sondern irgendwie telepatisch oder sonstwie
unphysikalisch. Wenn die Eigenschaften aber physisch vermittelt
werden, wie kann man ihnen dann die Realität absprechen?
>
> Kausalität und Gravitation exisitieren in dem Sinne, in dem sie von der
> Physik beschrieben werden. WIE sie beschrieben werden, ist Stand der
> derzeitigen Erkenntnis, ob sie das "wirklich" sind, weiß kein Schwein.
> Es hat schon seinen Grund, warum die Physik keine ontologischen Fragen
> beantwortet. (Lesch: "wir erklären, wie die Welt funktioniert, was sie ist,
> beantworten wir nicht." (oder fragen noch nicht mal danach))
>
> Nein, die Realität beschränkt sich nicht auf physikalische Dinge, aber was
> alles so im Kopf rumschwirrt, hat erstmal nix mit Wirklichkeit zu tun. Es
> gibt Methoden, mit der wir erkennen können, was man ohne Schaden (des
> Irrtums) als gesichert annehmen kann.
>
> Deswegen ist mE Deine Ansicht falsch: wenn Du kategorisch die nat. Zahlen
> als Grundlage aller Mathematik bzw. sogar des Seins deklarierst,
> verzichtest Du auf Verifikation Deiner Behauptung, die u.U. zur Folge haben
> könnte, daß Dein Glaubenssatz falsifiziert wird, abgesehen davon, daß Du
> Dich damit als unwissenschaftlich outest.
Jeder, der seine Ansichten auf eine Basis stellt, und nicht einfach
nur daherredet, muß irgendwelche (unwissenschaftlichen) Grundannahmen
machen. Die meisten freillich, ignorieren diese Tatsache einfach. Es
tut ja nicht weh und man kann trotzdem schlau daherreden.
Aber folgendes vertrete ich und halte ich auch für eine einen
fundierten Standpunkt, soweit es eben möglich ist:
Wir erfahren unsere Realität als zusammengesetzt. Nirgendwo stossen
wir auf "Monaden" also Objekte, die nicht weiter aus Bestandteilen
bestehen. Damit ist das "Zusammengesetztsein" ein Grundwesenszug
unserer Realität. Damit ist die Ansicht, dass der Mensch, das Gehirn
Mengen bildet, fragwürdig, denn offensichtlich gibt es zumindest in
unserer physikalischen Realität nur zusammengesetzte Dinge. Nun sind
jedem Objekte verschiedene Zahlen einddeutig zugeordnet, und zwar
indem die Art der Untereinheit definiert wird. Wir sind so frei zu
sagen, dass ein Objekt nicht vollständig durch diese Untereinheiten
definiert sein muss. So kann man einem Weihnachtsbaum eine Zahl
zuordnen, die der Anzahl dessen Nadeln entspricht, und diese Zahl ist
zu jedem Moment eindeutig bestimmt.
Und damit treten Zahlen in unserer Realität Objektiv auf. Ob wir sie
nun kennen wollen, kennen, oder überhaupt nicht kennen können, spielt
gar keine Rolle. Die Zahlen sind einfach da.
>
> Die Rechtfertigung dafür, was die Mathematiker sich aus den Fingern
> saugten, besteht darin, daß die Mathematik prima bzw. besser als vorher
> funktioniert. Ontologische Fragen treten dahinter zurück.
>
Und das ist ein Fehler, der sich in garnicht so ferner Zukunft bös
auszahlen kann.
Gruß
Albrecht
Albrecht
Also so langsam wird es peinlich mit Dir.
AS
Albrecht
> Am Mon, 21 Dec 2009 23:40:19 -0800 (PST) schrieb Albrecht:
>
> > Unendlichkeitsaxiom um die Existenz der natürlichen Zahlen in ZFC zu
> > sichern, wie Du behauptest.
>
> Ach Albrecht
> --
Das "Ach" ist sicher Deinem mangelden Durchblick geschuldet. Schon mal
aufgefallen, dass die Peano-Axiome die vollständige Induktion
benutzen. Nun ist uns inzwischen allen bekannt, dass Peano die
_Klasse_ der natürlichen Zahlen eingeführt hat. Damit ist in ZFC ohne
AoI alles da - ausser die _Menge_ der natürlichen Zahlen. Und das tut
übrigens niemandem wirklich weh. In 99% der Fälle kann man die Rede
von der Menge der nat. Zahlen durch die Rede von der Klasse der nat.
Zahlen ersetzen.
AS
Peter Niessen
> On 26 Dez., 10:30, Peter Niessen <peter-nies...@arcor.de> wrote:
>> Am Mon, 21 Dec 2009 23:40:19 -0800 (PST) schrieb Albrecht:
>>
>>> Was Du oben schreibst ist �brigens falsch. Man braucht nicht das
>>> Unendlichkeitsaxiom um die Existenz der nat�rlichen Zahlen in ZFC zu
>>> sichern, wie Du behauptest.
>>
>> Ach Albrecht
>> Was ist denn mit Beweisen durch vollst�ndige Induktion?
>> --
>
> Das "Ach" ist sicher Deinem mangelden Durchblick geschuldet. Schon mal
> aufgefallen, dass die Peano-Axiome die vollst�ndige Induktion
> benutzen.
Ich versinke in Demut und nenne das Axiom:
Sei m eine Klasse von nat�rlichen Zahlen. Wenn 0 ein Element von m ist und
mit jedem Element n von m auch das Element n+1 zu m geh�rt, dann enth�lt m
alle nat�rlichen Zahlen.
> Nun ist uns inzwischen allen bekannt, dass Peano die
> _Klasse_ der nat�rlichen Zahlen eingef�hrt hat.
Wohl wahr deswegen habe ich oben mal den Begriff Menge durch Klasse
ersetzt. Zufrieden?
Aber hast du mal dar�ber nachgedacht das obiges Axiom es nahelegt das es
andere Mengen (sorry Klassen) von Ordinalzahlen gibt die alle nat�rlichen
Zahlen als Teilmenge (sorry Klasse) enthalten aber obiges Axiom nicht
haltbar ist?
Bitte Vorsicht! Die logischen Folgen k�nnten dein Weltbild ins wanken
bringen!
> Damit ist in ZFC ohne AoI alles da - ausser die _Menge_ der nat�rlichen
> Zahlen. Und das tut �brigens niemandem wirklich weh. In 99% der F�lle
> kann man die Rede von der Menge der nat. Zahlen durch die Rede von der
> Klasse der nat. Zahlen ersetzen.
Du meinst man k�nnte durch schlichten Worttausch den logischen Konsequenzen
entkommen? Wie machst du das?
Albrecht
> Am Sun, 27 Dec 2009 04:47:54 -0800 (PST) schrieb Albrecht:
>
> > On 26 Dez., 10:30, Peter Niessen <peter-nies...@arcor.de> wrote:
> >> Am Mon, 21 Dec 2009 23:40:19 -0800 (PST) schrieb Albrecht:
>
> >>> Unendlichkeitsaxiom um die Existenz der natürlichen Zahlen in ZFC zu
> >>> sichern, wie Du behauptest.
>
> >> Ach Albrecht
> >> --
>
> > Das "Ach" ist sicher Deinem mangelden Durchblick geschuldet. Schon mal
> > benutzen.
>
> Ich versinke in Demut und nenne das Axiom:
> mit jedem Element n von m auch das Element n+1 zu m gehört, dann enthält m
> alle natürlichen Zahlen.
>
> > Nun ist uns inzwischen allen bekannt, dass Peano die
>
> Wohl wahr deswegen habe ich oben mal den Begriff Menge durch Klasse
> ersetzt. Zufrieden?
> andere Mengen (sorry Klassen) von Ordinalzahlen gibt die alle natürlichen
> Zahlen als Teilmenge (sorry Klasse) enthalten aber obiges Axiom nicht
> haltbar ist?
???
Du scheinst immer noch nicht kapiert zu haben, dass sich der ganze
transfinite Hokuspokus durch Wegnahme von AoI ( = "es gibt mindestens
eine unendliche Menge") in Wohlgefallen auflöst.
> Bitte Vorsicht! Die logischen Folgen könnten dein Weltbild ins wanken
> bringen!
>
> > Damit ist in ZFC ohne AoI alles da - ausser die _Menge_ der natürlichen
> > Zahlen. Und das tut übrigens niemandem wirklich weh. In 99% der Fälle
> > kann man die Rede von der Menge der nat. Zahlen durch die Rede von der
> > Klasse der nat. Zahlen ersetzen.
>
> Du meinst man könnte durch schlichten Worttausch den logischen Konsequenzen
> entkommen? Wie machst du das?
>
> --
Okay. Vielleicht kommt ja im nächsten Kapitel Deines Lehrbuches der
Unterschied zwischen Mengen und Klassen dran. Warten wir mal solange.
AS
Carsten Schultz
> Du scheinst immer noch nicht kapiert zu haben, dass sich der ganze
> transfinite Hokuspokus durch Wegnahme von AoI ( = "es gibt mindestens
> eine unendliche Menge") in Wohlgefallen auflöst.
Ich weiß nicht, was Peter verstanden hat, aber das ist momentan
vielleicht auch nicht so wichtig.
An Dich die Frage: Was hältst Du von Aussagen über natürliche Zahlen,
die in ZF beweisbar sind, in ZF-Inf aber nicht?
Albrecht
> Albrecht schrieb:
>
> > On 27 Dez., 18:31, Peter Niessen <peter-nies...@arcor.de> wrote:
> [...]
> > Du scheinst immer noch nicht kapiert zu haben, dass sich der ganze
> > transfinite Hokuspokus durch Wegnahme von AoI ( = "es gibt mindestens
> > eine unendliche Menge") in Wohlgefallen auflöst.
>
> Ich weiß nicht, was Peter verstanden hat, aber das ist momentan
> vielleicht auch nicht so wichtig.
>
> An Dich die Frage: Was hältst Du von Aussagen über natürliche Zahlen,
> die in ZF beweisbar sind, in ZF-Inf aber nicht?
>
Über natürliche Zahlen und Mengen davon, oder über die postulierte
Menge aller natürlichen Zahlen? Geht es etwas konkreter?
AS
Carsten Schultz
Ich meinte in Peano-Arithmetik formulierbare Aussagen, beispielsweise
den hier vor kurzem erwähnten Satz von Goodstein.
http://de.wikipedia.org/wiki/Goodstein-Folge
Wolfgang Thumser
> Ich meinte in Peano-Arithmetik formulierbare Aussagen, beispielsweise
> den hier vor kurzem erwähnten Satz von Goodstein.
> http://de.wikipedia.org/wiki/Goodstein-Folge
wie wuerdest Du denn einen solchen Satz in ZF-Inf formalisieren?
Da |N nicht zur Verfuegung steht, sind PA- Aussagen der Form
"Ax P(x)" in ZF-Inf nicht laenger als "Ax e |N P(x)" interpretierbar.
Gruss Wolfgang
Carsten Schultz
Wolfgang Thumser schrieb:
Was Du mit interpretierbar meinst, weiß ich nicht.
Die Aussage „Ax e |N P(x)“ ist ohnehin nur eine Abkürzung für
„Ax ((x e |N) -> P(x))“. Es muss also nicht die Menge der natürlichen
Zahlen existieren, es genügt, dass sich „x ist eine natürliche Zahl“
formulieren lässt. Und das ist möglich, zum Beispiel kann man
natürliche Zahlen definieren als Ordinalzahlen, in denen jede
nicht-leere Teilmenge ein maximales Element enthält.
Gruß
Carsten
Albrecht
> Albrecht schrieb:
>
>
>
> > On 28 Dez., 12:15, Carsten Schultz <cars...@codimi.de> wrote:
> >> Albrecht schrieb:
>
> >>> On 27 Dez., 18:31, Peter Niessen <peter-nies...@arcor.de> wrote:
> >> [...]
> >>> Du scheinst immer noch nicht kapiert zu haben, dass sich der ganze
> >>> transfinite Hokuspokus durch Wegnahme von AoI ( = "es gibt mindestens
> >>> eine unendliche Menge") in Wohlgefallen auflöst.
> >> Ich weiß nicht, was Peter verstanden hat, aber das ist momentan
> >> vielleicht auch nicht so wichtig.
>
> >> An Dich die Frage: Was hältst Du von Aussagen über natürliche Zahlen,
> >> die in ZF beweisbar sind, in ZF-Inf aber nicht?
>
> > Über natürliche Zahlen und Mengen davon, oder über die postulierte
> > Menge aller natürlichen Zahlen? Geht es etwas konkreter?
>
> Ich meinte in Peano-Arithmetik formulierbare Aussagen, beispielsweise
> den hier vor kurzem erwähnten Satz von Goodstein.http://de.wikipedia.org/wiki/Goodstein-Folge
>
Ah ja. Und was soll damit sein? Kein Mensch kann nachprüfen, ob
tatsächlich jede Goodsteinfolge bei 0 endet. Ob man den Beweis mit
unendlichen Ordinalzahlen "glaubt" oder wie ich der Meinung ist, dass
unendliche Objekte inkonsistent sind und somit dieser "Beweis"
bedeutungslos ist, ist reine Geschmackssache wie es scheint.
Vielleicht ist diese Frage in ZF -Inf unentscheidbar. Na und?
AS
Christopher Creutzig
> Warum schreibst Du dass mir, anstatt dem Markus Wichmann der
> offensichtlich Unsinn geschrieben hat?
Ich antworte beileibe nicht auf alles, was ich f�r Unsinn halte. Und
die Aussage, auf die ich geantwortet habe, stand nun einmal in Deinem
Posting.
> Und, CC, dass Du mit Deiner Spitzfindigkeit versuchst, Markus ins
> Recht zu versetzten, mag Sympathiepunkte einbringen. Aber zeugt von
Es ist mir vollkommen egal, wer recht hat. In der Mathematik geht es
nicht um Personen, und sp�testens seit ich mich gegen den Versuch einer
akademischen Karriere entschieden habe, bin ich in der gl�cklichen
Situation, da auch keine Zusammenh�nge krampfhaft herstellen zu m�ssen.
Und ich brauche auch keine Sympathiepunkte zu sammeln. Was soll ich
damit? Sie mir ins Album kleben?
�brigens ist Dir hoffentlich aufgefallen, dass ich Dir gar nicht
widersprochen habe. Im Gegenteil. Und auch das ist im Usenet vollkommen
normal: Dass jemand auf eine Nachricht antwortet, hei�t nicht
automatisch, dass er oder sie der gemachten Aussage widerspricht.
--
F�r 10 EUR im Jahr erfahre ich hier sogar was meine Meinung ist.
Andere Leute m�ssen daf�r heiraten.
[Lars Friedrich �ber UseNet]
Albrecht
wrote:
> Albrecht wrote:
>
> Übrigens ist Dir hoffentlich aufgefallen, dass ich Dir gar nicht
> widersprochen habe. Im Gegenteil. Und auch das ist im Usenet vollkommen
> normal: Dass jemand auf eine Nachricht antwortet, heißt nicht
> automatisch, dass er oder sie der gemachten Aussage widerspricht.
>
Du schriebst:
Zitat:
Das Unendlichkeitsaxiom ist äquivalent dazu, die Existenz der *Menge*
der natürlichen Zahlen zu sichern. (Sprich: Die Existenz dieser Menge
zu
fordern, ist genau das Gleiche wie die Forderung des
Unendlichkeitsaxioms.) Dieser feine Unterschied (Existenz der
Zahlen/Existenz der Menge der Zahlen) ist natürlich vorhanden.
Allerdings gibt es in ZFC ausschließlich Mengen, so dass die Aussage
„es
gibt die natürlichen Zahlen“ innerhalb von ZFC …
Zitat Ende.
Was bitte meinst Du mit dem letzten Satz und insbesondere mit den drei
Pünktchen?
AS
Carsten Schultz
Ist das der Ton, den ich zu erwarten habe, wenn ich annehme, dass Du
eine ernsthafte Haltung zu Grundlagenfragen in der Mathematik hast, und
versuche, zu ergründen, was diese ist?
Ich fasse zusammen, dass Du es für wahrscheinlich hältst, dass ZF
inkonsistent ist, und Du es daher nicht für eine interessante
Information hältst, wenn eine bestimmte Aussage in ZF beweisbar ist.
Das ist eine ziemlich extreme Haltung, da ich keinerlei Anhaltspunkt
dafür sehe, dass ZF inkonsistent ist, aber so lange Du nicht behauptest,
einen Beweis für die Inkonsistenz von ZF zu haben (oder tust Du das?),
ist das zumindest nicht völlig unsinnig. Es heißt allerdings auch, dass
Du sehr viel Mathematik pauschal verwirfst.
Was ich nicht verstehe, ist Dein Hinweis darauf, dass kein Mensch
nachprüfen kann, ob jede Goodsteinfolge endet. Heißt das, dass Du die
Aussage an sich schon nicht für sinnvoll hältst? Wenn ja, warum? Was
ist mit der Aussage, dass jede natürliche Zahl eine eindeutige
Primfaktorenzerlegung hat. Ist diese sinnvoll? Auch das kann ja kein
Mensch nachprüfen, zumindest nicht Zahl für Zahl. Daher haben wir in
der Mathematik ja Beweise.
Eine andere Sache, die mich interessieren würde, ist, was Du von der
Differential- und Integralrechnung hältst, wie sie beispielsweise in der
Schule gelehrt wird. Falls Du diese für erhaltenswert hältst, müsstest
Du sagen, wie die rellen Zahlen definiert werden sollen.
Gruß
Carsten
Albrecht
Völker, höret die Signale, ...
> den ich zu erwarten habe, wenn ich annehme, dass Du
> eine ernsthafte Haltung zu Grundlagenfragen in der Mathematik hast, und
> versuche, zu ergründen, was diese ist?
Wenn Du mich so fragst, ja. Was daran auszusetzen?
>
> Ich fasse zusammen, dass Du es für wahrscheinlich hältst, dass ZF
> inkonsistent ist, und Du es daher nicht für eine interessante
> Information hältst, wenn eine bestimmte Aussage in ZF beweisbar ist.
Falsch zusammengefasst. Ich halte
a.) es für möglich, dass ZF inkonsistent ist
b.) die Annahme unendlicher Gesamtheiten für inkonsitent in einem
absoluten Sinn
c.) es für durchaus interessant, wenn etwas in ZF beweisbar ist, aber
ausserhalb nicht.
Was soll diese Metadiskutiererei und dieses herumgenörgle an meinem
Ton oder Stil?
Zur Sache:Angenommen, es gibt eine Goodsteinfolge, die nicht bei 0
endet. Dann wäre damit beweisbar, dass ZF inkosistent ist. Allerdings
nur, wenn man diese Goodsteinfolge kennen würde. Es gibt noch eine
Variante: Es gibt keine Goodsteinfolge die nicht bei 0 endet, aber der
Beweis ist trotzdem falsch, da ZF inkonsistent ist. Das sind ein paar
Möglichkeiten. Was soll man also jetzt mit der Tatsache anfangen, dass
eine bestimmte Aussage in ZF beweisbar ist, ohne ZF aber nicht.
Garnichts. Das wirft dann aber die Frage auf, ob es irgend ein
Verfahren geben könnte, mit dem man ein System wie bspw. ZF
verifizieren kann?
Ich denke schon. Und zwar, wenn man unter Einbeziehung vor allem der
kritiscvhen Elemente (AoI + AoPS) Vorhersagen treffen könnte, die
verifizierbar sind.
> Das ist eine ziemlich extreme Haltung, da ich keinerlei Anhaltspunkt
> dafür sehe, dass ZF inkonsistent ist, aber so lange Du nicht behauptest,
> einen Beweis für die Inkonsistenz von ZF zu haben (oder tust Du das?),
> ist das zumindest nicht völlig unsinnig. Es heißt allerdings auch, dass
> Du sehr viel Mathematik pauschal verwirfst.
Das ist ein offensichtlich unausrottbarer Aberglaube.
>
> Was ich nicht verstehe, ist Dein Hinweis darauf, dass kein Mensch
> nachprüfen kann, ob jede Goodsteinfolge endet. Heißt das, dass Du die
> Aussage an sich schon nicht für sinnvoll hältst? Wenn ja, warum?
Also Deine "Denke" kann ich echt nicht nachvollziehen.Ja, ich habe
darauf hingewiesen, dass kein Mensch alle Goodsteinfolgen darauf
prüfen kann, ob sie alle enden. Ja, ich setze noch eins drauf:: Alle
Menschen zusammen werden je kaum eine nennenswerte Menge von
Goodsteinfolgen darauf geprüft haben, ob diese enden.
Nun verrat mir mal, was das damit zu tun haben soll, ob man das
Theorem für sinnvoll hält.
> Was
> ist mit der Aussage, dass jede natürliche Zahl eine eindeutige
> Primfaktorenzerlegung hat. Ist diese sinnvoll? Auch das kann ja kein
> Mensch nachprüfen, zumindest nicht Zahl für Zahl. Daher haben wir in
> der Mathematik ja Beweise.
So ist es. Und der entsprechende Beweis ist hieb und stichfest. Dabei
wird ja auch nichts von der Art wie AoI benutzt.
>
> Eine andere Sache, die mich interessieren würde, ist, was Du von der
> Differential- und Integralrechnung hältst, wie sie beispielsweise in der
> Schule gelehrt wird. Falls Du diese für erhaltenswert hältst, müsstest
> Du sagen, wie die rellen Zahlen definiert werden sollen.
>
Siehe bspw. Errett Bishop:
"The primary concern of mathematics is number, and this means the
positive integers. . . . In the words of Kronecker, the positive
integers were created by God. Kronecker would have expressed it even
better if he had said that the positive integers were created by God
for the benefit of man (and other finite beings). Mathematics belongs
to man, not to God. We are not interested in properties of the
positive integers that have no descriptive meaning for finite man.
When a man proves a positive integer to exist, he should show how to
find it. If God has mathematics of his own that needs to be done, let
him do it himself." (Bishop 1967, Chapter 1, A Constructivist
Manifesto, page 2)
Man beachte vor allem:
"We are not interested in properties of the positive integers that
have no descriptive meaning for finite man."
AS
Christopher Creutzig
> Du schriebst:
>
> Zitat:
> Das Unendlichkeitsaxiom ist �quivalent dazu, die Existenz der *Menge*
> der nat�rlichen Zahlen zu sichern. (Sprich: Die Existenz dieser Menge
> zu
> fordern, ist genau das Gleiche wie die Forderung des
> Unendlichkeitsaxioms.) Dieser feine Unterschied (Existenz der
> Zahlen/Existenz der Menge der Zahlen) ist nat�rlich vorhanden.
> Allerdings gibt es in ZFC ausschlie�lich Mengen, so dass die Aussage
> �es
> gibt die nat�rlichen Zahlen� innerhalb von ZFC �
>
> Zitat Ende.
>
> Was bitte meinst Du mit dem letzten Satz und insbesondere mit den drei
> P�nktchen?
Was bedeutet ein Satz wie �in ZF - Inf ist die Existenz der nat. Zahlen
gesichert�? In der Meta-Ebene k�nnen wir uns sicherlich darauf
verst�ndigen, dass jedes einzelne Objekt, das wir in ZF als nat�rliche
Zahl ansehen, auch in ZF - Inf existiert. Aber wie formalisierst Du
innerhalb(!) von ZF - Inf die Behauptung, dass alle nat�rlichen Zahlen
dort existieren? (Wenn ich mich recht erinnere, ist vom formalen
Standpunkt her Inf letztendlich der Grund daf�r, dass aus der Konsistenz
von ZF die der Peano-Arithmetik folgt - und die ergibt sich bekanntlich
nicht innerhalb der Peano-Arithmetik.)
--
F�r 10 EUR im Jahr erfahre ich hier sogar was meine Meinung ist.
Andere Leute m�ssen daf�r heiraten.
[Lars Friedrich �ber UseNet]
Christopher Creutzig
> Du schriebst:
>
> Zitat:
> Das Unendlichkeitsaxiom ist �quivalent dazu, die Existenz der *Menge*
> der nat�rlichen Zahlen zu sichern. (Sprich: Die Existenz dieser Menge
> zu
> fordern, ist genau das Gleiche wie die Forderung des
> Unendlichkeitsaxioms.) Dieser feine Unterschied (Existenz der
> Zahlen/Existenz der Menge der Zahlen) ist nat�rlich vorhanden.
> Allerdings gibt es in ZFC ausschlie�lich Mengen, so dass die Aussage
> �es
> gibt die nat�rlichen Zahlen� innerhalb von ZFC �
>
> Zitat Ende.
>
> Was bitte meinst Du mit dem letzten Satz und insbesondere mit den drei
Albrecht
wrote:
> Albrecht wrote:
> > Du schriebst:
>
> > Zitat:
> > der nat rlichen Zahlen zu sichern. (Sprich: Die Existenz dieser Menge
> > zu
> > fordern, ist genau das Gleiche wie die Forderung des
> > Unendlichkeitsaxioms.) Dieser feine Unterschied (Existenz der
> > Allerdings gibt es in ZFC ausschlie lich Mengen, so dass die Aussage
> > es
> > gibt die nat rlichen Zahlen innerhalb von ZFC
>
> > Zitat Ende.
>
> > Was bitte meinst Du mit dem letzten Satz und insbesondere mit den drei
>
> Was bedeutet ein Satz wie in ZF - Inf ist die Existenz der nat. Zahlen
> gesichert ? In der Meta-Ebene k nnen wir uns sicherlich darauf
> verst ndigen, dass jedes einzelne Objekt, das wir in ZF als nat rliche
> Zahl ansehen, auch in ZF - Inf existiert. Aber wie formalisierst Du
> dort existieren? (Wenn ich mich recht erinnere, ist vom formalen
> von ZF die der Peano-Arithmetik folgt - und die ergibt sich bekanntlich
> nicht innerhalb der Peano-Arithmetik.)
>
Bekanntlich ergibt sich die Konsistenz von ZF auch nicht innerhalb von
ZF. Dein Satz klingt so, wie wenn wenn die Peano-Arithmetik durch ZF
die höherern Weihen der Konsistenz erhalten würde. Du weißt selbst,
dass dies Unsinn ist. Was willst Du uns dann aber mit obigem sagen?
Zu Deiner Frage. Warum sollte ich in ZF -Inf die Behauptung
formalisieren wollen, dass alle natürlichen Zahlen dort exisiteren -
es ist ja so. Für was benötigt man die formalisierte Behauptung?
Und jemand hat zurecht angemerkt, dass in ZF davon ausgegangen wird,
dass alle Ordinalzahlen da sind. Wo liegt jetzt der dramatische
Unterschied in den Situation
ZF (Ordinalzahlen)
ZF -Inf (nat. Zahlen)
Übrigens sind für mich die Ordinalzahlen mit den nat. Zahlen
identisch. Was soll ich also dazu sagen?
AS
Christopher Creutzig
> Bekanntlich ergibt sich die Konsistenz von ZF auch nicht innerhalb von
> ZF. Dein Satz klingt so, wie wenn wenn die Peano-Arithmetik durch ZF
> die h�herern Weihen der Konsistenz erhalten w�rde. Du wei�t selbst,
> dass dies Unsinn ist. Was willst Du uns dann aber mit obigem sagen?
Es ist schon interessant, zu wissen dass aus der Konsistenz von A die
von B folgt. Ganz unabh�ngig davon, ob man die Konsistenz von A
entscheiden kann.
> Zu Deiner Frage. Warum sollte ich in ZF -Inf die Behauptung
> formalisieren wollen, dass alle nat�rlichen Zahlen dort exisiteren -
> es ist ja so. F�r was ben�tigt man die formalisierte Behauptung?
Tja, ein System wie ZFC existiert aber in erster Linie daf�r, um
Behauptungen formalisieren und anschlie�end �berpr�fen zu k�nnen. Ohne
Formalisierung einer Behauptung gibt es im axiomatischen Ansatz keinen
Grund, ihr �berhaupt einen Wahrheitsgehalt zuzusprechen, einmal ganz
abgesehen davon, dass man sie eh nicht beweisen kann.
> Und jemand hat zurecht angemerkt, dass in ZF davon ausgegangen wird,
> dass alle Ordinalzahlen da sind. Wo liegt jetzt der dramatische
Nicht in ZF, sondern in ZFC. Ohne AC funktioniert nicht einmal das
Prinzip der Kardinalzahlen, weil aus der Existenz einer Injektion von A
nach B nicht die Existenz einer Surjektion von B nach A folgt. (Oder war
es umgekehrt? Kann gerade ein Mengenlehrer aushelfen?)
Aber was soll es hei�en, �dass alle Ordinalzahlen da sind�? Soweit ich
wei�, ist es in ZFC problemlos, dass jede geordnete Menge eine (und
genau eine) Ordinalzahl hat und man kann die Arithmetik auf
Ordinalzahlen auf Mengenoperationen zur�ckf�hren, die nach den Axiomen
von ZFC wieder Mengen ergeben. Sind damit �alle Ordinalzahlen� da? Was
sind �alle Ordinalzahlen�? (Ich wei� die Antwort nicht.)
Carsten Schultz
> Albrecht wrote:
>> Und jemand hat zurecht angemerkt, dass in ZF davon ausgegangen wird,
>> dass alle Ordinalzahlen da sind. Wo liegt jetzt der dramatische
>
> Nicht in ZF, sondern in ZFC. Ohne AC funktioniert nicht einmal das
> Prinzip der Kardinalzahlen,
Die Ordinalzahlen und Kardinalzahlen lassen sich in ZF definieren,
lediglich dass jede Menge bijektiv auf eine Kardinalzahl abgebildet
werden kann, lässt sich nicht beweisen.
> weil aus der Existenz einer Injektion von A
> nach B nicht die Existenz einer Surjektion von B nach A folgt. (Oder
> war es umgekehrt? Kann gerade ein Mengenlehrer aushelfen?)
Sei f: A -> B injektiv und A nicht-leer. Dann existiert ein x aus A.
Definiere nun g: B -> A durch g(b)=a, falls f(a)=b, und g(b)=x, falls b
nicht im Bild von f liegt. Dann ist g surjektiv. Kein Auswahlaxiom
wurde benutzt.
Die andere Richtung ist die problematische.
> Aber was soll es heißen, „dass alle Ordinalzahlen da sind“? Soweit ich
> weiß, ist es in ZFC problemlos, dass jede geordnete Menge eine (und
> genau eine) Ordinalzahl hat
Jede wohlgeordnete Menge ist ordnungsisomorph zu einer Ordinalzahl (so
weit ich weiß auch in ZF).
> und man kann die Arithmetik auf
> Ordinalzahlen auf Mengenoperationen zurückführen, die nach den Axiomen
> von ZFC wieder Mengen ergeben. Sind damit „alle Ordinalzahlen“ da? Was
> sind „alle Ordinalzahlen“? (Ich weiß die Antwort nicht.)
Christopher Creutzig
> Die Ordinalzahlen und Kardinalzahlen lassen sich in ZF definieren,
> lediglich dass jede Menge bijektiv auf eine Kardinalzahl abgebildet
> werden kann, l�sst sich nicht beweisen.
Nachdem die Mengen {1} und {2} wohl die selbe Kardinalzahl haben, wei�
ich, erhlich gesagt, nicht, was in Deinem Satz das Wort �bijektiv� bedeutet.
> Die andere Richtung ist die problematische.
Danke.
Christopher Creutzig
> Christopher Creutzig schrieb:
>> Nicht in ZF, sondern in ZFC. Ohne AC funktioniert nicht einmal das
>> Prinzip der Kardinalzahlen,
>
> Die Ordinalzahlen und Kardinalzahlen lassen sich in ZF definieren,
> lediglich dass jede Menge bijektiv auf eine Kardinalzahl abgebildet
> werden kann, l�sst sich nicht beweisen.
Das meinte ich mit dem kurzen Satz da oben.
> Die andere Richtung ist die problematische.
Danke.
Peter Niessen
> Falsch zusammengefasst. Ich halte
>
> a.) es f�r m�glich, dass ZF inkonsistent ist
M�glich ist das, aber bisher hat das keiner zeigen k�nnen.
> b.) die Annahme unendlicher Gesamtheiten f�r inkonsitent in einem
> absoluten Sinn
Dann begr�nde diese Aussage einmal. Ein blosses Unbehagen deinerseits ist
nicht genug.
Markus Sigg
> Am Fri, 1 Jan 2010 02:13:25 -0800 (PST) schrieb Albrecht:
>
>> Falsch zusammengefasst. Ich halte
>>
>> a.) es f�r m�glich, dass ZF inkonsistent ist
>
> M�glich ist das, aber bisher hat das keiner zeigen k�nnen.
In dem Zusammenhang: Ein Informatiker hat mich letztens mit
dem Begriff "ressourcenbeschr�nkte Widerspruchsfreiheit"
vertraut gemacht. Dieser l��t sich etwa �ber die maximale L�nge
zul�ssiger Ableitungen definieren. Weniger formal betrachtet,
sieht es f�r mich so aus, da� ZF/ZFC gerade f�r diejenigen
Leute, die anscheinend ihr Leben der Suche nach einem Widerspruch
gewidmet haben, ressourcenbeschr�nkt widerspruchsfrei ist.
Gru�,
Markus
Carsten Schultz
> Carsten Schultz wrote:
>
>> Die Ordinalzahlen und Kardinalzahlen lassen sich in ZF definieren,
>> lediglich dass jede Menge bijektiv auf eine Kardinalzahl abgebildet
>
> Nachdem die Mengen {1} und {2} wohl die selbe Kardinalzahl haben, weiß
> ich, erhlich gesagt, nicht, was in Deinem Satz das Wort „bijektiv“ bedeutet.
So wie man heutzutage Kardinalzahlen versteht ist 1={0} und 2={0,1}, auf
diese Mengen bijektiv abbildbar meinte ich. Dabei bezog ich mich auf
die Definition, bei der eine Kardinalzahl eine Ordinalzahl ist, die zu
keiner kleineren Ordinalzahl gleichmächtig ist.
Carsten Schultz
Was bedeutet (b)? Wenn trotzdem noch kein Widerspruch in ZF gefunden
wurde, was sagt das über ZF? Ist die in ZF formalisierte Art, mit
unendlichen Mengen umzugehen, vielleicht doch irgendwie sinnvoll?
Was meinst Du in (c) mit ‚außerhalb‘?
> Was soll diese Metadiskutiererei und dieses herumgenörgle an meinem
> Ton oder Stil?
Ich empfinde Deinen Ton als unfreundlich.
> Zur Sache:Angenommen, es gibt eine Goodsteinfolge, die nicht bei 0
> endet. Dann wäre damit beweisbar, dass ZF inkosistent ist. Allerdings
> nur, wenn man diese Goodsteinfolge kennen würde. Es gibt noch eine
> Variante: Es gibt keine Goodsteinfolge die nicht bei 0 endet, aber der
> Beweis ist trotzdem falsch, da ZF inkonsistent ist. Das sind ein paar
> Möglichkeiten. Was soll man also jetzt mit der Tatsache anfangen, dass
> eine bestimmte Aussage in ZF beweisbar ist, ohne ZF aber nicht.
> Garnichts. Das wirft dann aber die Frage auf, ob es irgend ein
> Verfahren geben könnte, mit dem man ein System wie bspw. ZF
> verifizieren kann?
>
> Ich denke schon. Und zwar, wenn man unter Einbeziehung vor allem der
> kritiscvhen Elemente (AoI + AoPS) Vorhersagen treffen könnte, die
> verifizierbar sind.
Wenn ZF widerspruchsfrei ist, dann zeigt ein Beweis einer Aussage A in
ZF zumindest, dass non-A in ZF-Inf nicht beweisbar ist. Das ist doch
auch schon interessant, oder?
>> Das ist eine ziemlich extreme Haltung, da ich keinerlei Anhaltspunkt
>> dafür sehe, dass ZF inkonsistent ist, aber so lange Du nicht behauptest,
>> einen Beweis für die Inkonsistenz von ZF zu haben (oder tust Du das?),
>> ist das zumindest nicht völlig unsinnig. Es heißt allerdings auch, dass
>> Du sehr viel Mathematik pauschal verwirfst.
>
> Das ist ein offensichtlich unausrottbarer Aberglaube.
>
Was?
>> Was ich nicht verstehe, ist Dein Hinweis darauf, dass kein Mensch
>> nachprüfen kann, ob jede Goodsteinfolge endet. Heißt das, dass Du die
>> Aussage an sich schon nicht für sinnvoll hältst? Wenn ja, warum?
>
> Also Deine "Denke" kann ich echt nicht nachvollziehen.Ja, ich habe
> darauf hingewiesen, dass kein Mensch alle Goodsteinfolgen darauf
> prüfen kann, ob sie alle enden. Ja, ich setze noch eins drauf:: Alle
> Menschen zusammen werden je kaum eine nennenswerte Menge von
> Goodsteinfolgen darauf geprüft haben, ob diese enden.
>
> Nun verrat mir mal, was das damit zu tun haben soll, ob man das
> Theorem für sinnvoll hält.
>
Ich hstte lediglich versucht, zu erraten, warum Du das an dieser Stelle
erwähnt hast. Wenn ich nicht raten soll, musst Du Dich von Anfang an
klarer ausdrücken.
>> Was
>> ist mit der Aussage, dass jede natürliche Zahl eine eindeutige
>> Primfaktorenzerlegung hat. Ist diese sinnvoll? Auch das kann ja kein
>> Mensch nachprüfen, zumindest nicht Zahl für Zahl. Daher haben wir in
>> der Mathematik ja Beweise.
>
> So ist es. Und der entsprechende Beweis ist hieb und stichfest. Dabei
> wird ja auch nichts von der Art wie AoI benutzt.
>
Wieder muss ich fragen. Heißt das, dass Du die Peano-Arithmetik
beziehungsweise ZF-Inf für widerspruchsfrei und vielleicht sogar in
irgendeinem Sinne für wahr hältst? Falls ja, warum?
>> Eine andere Sache, die mich interessieren würde, ist, was Du von der
>> Differential- und Integralrechnung hältst, wie sie beispielsweise in der
>> Schule gelehrt wird. Falls Du diese für erhaltenswert hältst, müsstest
>> Du sagen, wie die rellen Zahlen definiert werden sollen.
>>
>
> Siehe bspw. Errett Bishop:
>
> "The primary concern of mathematics is number, and this means the
> positive integers. . . . In the words of Kronecker, the positive
> integers were created by God. Kronecker would have expressed it even
> better if he had said that the positive integers were created by God
> for the benefit of man (and other finite beings). Mathematics belongs
> to man, not to God. We are not interested in properties of the
> positive integers that have no descriptive meaning for finite man.
> When a man proves a positive integer to exist, he should show how to
> find it. If God has mathematics of his own that needs to be done, let
> him do it himself." (Bishop 1967, Chapter 1, A Constructivist
> Manifesto, page 2)
>
> Man beachte vor allem:
> "We are not interested in properties of the positive integers that
> have no descriptive meaning for finite man."
Das ist ja sehr schön, aber umfasst dieses ‚we‘ Dich? Was heißt das für
meine Frage?
Albrecht
Carsten Schultz schrieb:
> Christopher Creutzig schrieb:
> > Carsten Schultz wrote:
> >
> >> Die Ordinalzahlen und Kardinalzahlen lassen sich in ZF definieren,
> >> lediglich dass jede Menge bijektiv auf eine Kardinalzahl abgebildet
> >> werden kann, lässt sich nicht beweisen.
> >
> > Nachdem die Mengen {1} und {2} wohl die selbe Kardinalzahl haben, weiß
> > ich, erhlich gesagt, nicht, was in Deinem Satz das Wort „bijektiv“ bedeutet.
>
> So wie man heutzutage Kardinalzahlen versteht ist 1={0} und 2={0,1}, auf
> diese Mengen bijektiv abbildbar meinte ich. Dabei bezog ich mich auf
> die Definition, bei der eine Kardinalzahl eine Ordinalzahl ist, die zu
> keiner kleineren Ordinalzahl gleichmächtig ist.
>
Es ist ja schon witzig, dass die uns vertrauten und eigentlich auch
einzig zugänglichen Kardinalzahlen, die natürlichen Zahlen, die große
Ausnahme bilden bei der Masse der Kardinalzahlen.
Nur ein Beispiel: Die natürlichen Zahlen sind (neben den
Limesordinalzahlen) die einzigen Ordinalzahlen, zu denen, mit Deinen
Worten, keine kleineren Ordinalzahlen gleichhmächtig sind.
Gruß
AS
Carsten Schultz
>
> Carsten Schultz schrieb:
>> Christopher Creutzig schrieb:
>>> Carsten Schultz wrote:
>>>
>>>> Die Ordinalzahlen und Kardinalzahlen lassen sich in ZF definieren,
>>>> lediglich dass jede Menge bijektiv auf eine Kardinalzahl abgebildet
>>>> werden kann, lässt sich nicht beweisen.
>>> Nachdem die Mengen {1} und {2} wohl die selbe Kardinalzahl haben, weiß
>>> ich, erhlich gesagt, nicht, was in Deinem Satz das Wort „bijektiv“ bedeutet.
>> So wie man heutzutage Kardinalzahlen versteht ist 1={0} und 2={0,1}, auf
>> diese Mengen bijektiv abbildbar meinte ich. Dabei bezog ich mich auf
>> die Definition, bei der eine Kardinalzahl eine Ordinalzahl ist, die zu
>> keiner kleineren Ordinalzahl gleichmächtig ist.
>>
>
> Es ist ja schon witzig, dass die uns vertrauten und eigentlich auch
> einzig zugänglichen Kardinalzahlen, die natürlichen Zahlen, die große
> Ausnahme bilden bei der Masse der Kardinalzahlen.
Endlichkeit ist halt eine Ausnahmeerscheinung bei Mengen ;-)
> Nur ein Beispiel: Die natürlichen Zahlen sind (neben den
> Limesordinalzahlen) die einzigen Ordinalzahlen, zu denen, mit Deinen
> Worten, keine kleineren Ordinalzahlen gleichhmächtig sind.
Das ist falsch. Wie (vielleicht nicht ganz deutlich) gesagt sind es per
Definition genau die Kardinalzahlen, die zu keiner kleineren Ordinalzahl
gleichmächtig sind. Nicht jede Kardinalzahl ist endlich. Jede
unendliche Kardinalzahl ist Limesordinalzahl, aber nicht jede
Limesordinalzahl ist Kardinalzahl.
Rainer Rosenthal
> Es ist ja schon witzig, dass die uns vertrauten und eigentlich auch
> einzig zugï¿œnglichen Kardinalzahlen, die natï¿œrlichen Zahlen, die groï¿œe
> Ausnahme bilden bei der Masse der Kardinalzahlen.
> Nur ein Beispiel: Die natï¿œrlichen Zahlen sind (neben den
> Limesordinalzahlen) die einzigen Ordinalzahlen, zu denen, mit Deinen
> Worten, keine kleineren Ordinalzahlen gleichhmï¿œchtig sind.
Prima, dass endlich wieder jemand on-topic schreibt!
Gruￜ,
RR
fiesh
> Albrecht schrieb:
>> Nur ein Beispiel: Die nat�rlichen Zahlen sind (neben den
>> Limesordinalzahlen) die einzigen Ordinalzahlen, zu denen, mit Deinen
>
> Das ist falsch. Wie (vielleicht nicht ganz deutlich) gesagt sind es per
> Definition genau die Kardinalzahlen, die zu keiner kleineren Ordinalzahl
> unendliche Kardinalzahl ist Limesordinalzahl, aber nicht jede
> Limesordinalzahl ist Kardinalzahl.
Und da es eine (sehr einfache) definierbare Bijektion der Ordinalzahlen
auf die Kardinalzahlen gibt, kann man noch nicht einmal davon sprechen,
dass es irgendwie "weniger" Kardinalzahlen gaebe. Im Gegenteil kann man
durchaus berechtigt sagen, dass fast jede Ordinalzahl Limeskardinalzahl
ist (denn my-fast alle sind es, wobei my das vom Clubfilter induzierte
Mass ist).
--
fiesh
Peter Niessen
> Es ist ja schon witzig, dass die uns vertrauten und eigentlich auch
> einzig zug�nglichen Kardinalzahlen, die nat�rlichen Zahlen, die gro�e
> Ausnahme bilden bei der Masse der Kardinalzahlen.
> Nur ein Beispiel: Die nat�rlichen Zahlen sind (neben den
> Limesordinalzahlen) die einzigen Ordinalzahlen, zu denen, mit Deinen
> Worten, keine kleineren Ordinalzahlen gleichhm�chtig sind.
Das ist schlicht falsch. Zum lernen der Basics ein Einstieg:
http://de.wikipedia.org/wiki/Ordinalzahl
http://de.wikipedia.org/wiki/Transfinite_Arithmetik
Das du nach so vielen Jahren Kritik an der ML simple Grundlagen nicht
kennst erstaunt sehr.
Albrecht
Na prima, dass es auf jeder "Unendlichkkeitsstufe" auch noch unendlich
viele Limesordinalzahlen gibt die gleichmächtig sind.
Wir haben also in der Folge der Ordinalzahlen einzigartige
Limesordinalzahlen, die zu keiner kleineren Ordinalzahl gleichmächtig
sind wie etwa omega, und wir haben Feld-Wald-und-Wiesen-
Limesordinalzahlen wie z.B. omega*omega. Und dazwischen fliegen
natürlich noch die normalen transfiniten Ordinalzahlen rum.
Was für eine unschaubare Vielfältigkeit. Es ist einfach lächerlich,
wenn sich jemand mit nur den einförmigen nat. Zahlen abgeben will.
Immer nur 1, 2, 3, und auch noch nach Größe geordnet, und, wie
langweilig, dazu noch kardinal und ordinal gleich. Ich verstehe schon,
wieso man bei so langweiligen Strukturen auf etwas so spannendes wie
die transfiniten Zahlen kommen muß. Auch wenn diese keinerlei Inhalt
oder Realität besitzen.
Eine Unendlichkeit sei uns nicht genug! :-)
Ja, ist denn bald Fasching.
Gruß
AS
Carsten Schultz
Sag doch lieber einmal, was für Mathematik Du interessant findest.
Roalto
wrote:
>[Snip]
>Na prima, dass es auf jeder "Unendlichkkeitsstufe" auch noch unendlich
>Wir haben also in der Folge der Ordinalzahlen einzigartige
>sind wie etwa omega, und wir haben Feld-Wald-und-Wiesen-
>Limesordinalzahlen wie z.B. omega*omega. Und dazwischen fliegen
>Was f�r eine unschaubare Vielf�ltigkeit.
Tja, f�r schlichte, lernresistente Gem�ter, wie dich, da reichen ja
auch die nat�rllichen Zahlen.
>Es ist einfach l�cherlich,
>wenn sich jemand mit nur den einf�rmigen nat. Zahlen abgeben will.
>Immer nur 1, 2, 3, und auch noch nach Gr��e geordnet, und, wie
>langweilig, dazu noch kardinal und ordinal gleich. Ich verstehe schon,
>wieso man bei so langweiligen Strukturen auf etwas so spannendes wie
>oder Realit�t besitzen.
>
>Eine Unendlichkeit sei uns nicht genug! :-)
auch eine Unendlichkeit.
>
>Ja, ist denn bald Fasching.
>AS
Viel Spass weiterhin
Rolf
--
Wo Frauen geehrt werden,
sind die G�tter zufrieden.
Albrecht
>
> Sag doch lieber einmal, was für Mathematik Du interessant findest.
>
Wie man sicher schon bemerkt hat interessiere ich mich für die
philosophische Grundlegung der Mathematik. Wenn ich mehr Zeit hätte
würde ich mich daneben intensiver mit den Primzahlen beschäftigen. Ich
stelle mir nämlich vor, dass die irrationalen Zahlen schon in den nat.
Zahlen angelegt sind. Das ist jetzt so vage gemeint, wie es klingt.
Der Hintergedanke dabei ist, dass, wie bekannt, die Verteilung der
Primzahlen in den nat. Zahlen einen irrationalen Charakter hat (wieder
vage ausgedrückt). Sicher ist das nichts Neues. Nicht erst seit
Riemann wird wohl in solche Richtungen gedacht.
Gruß
AS
Albrecht
Carsten Schultz schrieb:
> Albrecht schrieb:
> > On 31 Dez. 2009, 17:42, Carsten Schultz <cars...@codimi.de> wrote:
>
> >> Das ist eine ziemlich extreme Haltung, da ich keinerlei Anhaltspunkt
> >> dafür sehe, dass ZF inkonsistent ist, aber so lange Du nicht behauptest,
> >> einen Beweis für die Inkonsistenz von ZF zu haben (oder tust Du das?),
> >> ist das zumindest nicht völlig unsinnig. Es heißt allerdings auch, dass
> >> Du sehr viel Mathematik pauschal verwirfst.
> >
> > Das ist ein offensichtlich unausrottbarer Aberglaube.
> >
>
> Was?
Dass man sehr viel Mathematik verwerfen würde wenn man auf das AoI
verzichtet. Man verzichtet effektiv auf genau die Mathematik, die
niemand braucht und deren Status bzgl. Konsistenz unsicher ist.
Soll ich Dir mal was sagen? Du bist mir zu begriffsstutzig um mit Dir
weiter zu diskutieren.
AS
Carsten Schultz
Dann werde ich wohl nicht erfahren, ob die Analysis zu der Art von
Mathematik gehört, die Deiner Meinung nach niemand braucht.
Tschüss!
Peter Niessen
> Dass man sehr viel Mathematik verwerfen w�rde wenn man auf das AoI
> verzichtet. Man verzichtet effektiv auf genau die Mathematik, die
> niemand braucht und deren Status bzgl. Konsistenz unsicher ist.
Ach?
Und was ist mit dem Zwischenwertsatz der Analysis?
Beweise den doch mal!
> Soll ich Dir mal was sagen? Du bist mir zu begriffsstutzig um mit Dir
> weiter zu diskutieren.
LOL!
Und das gegen�ber Carsten.
Rainer Willis
> Albrecht schrieb:
>> Carsten Schultz schrieb:
>>> Albrecht schrieb:
[...]
>>>> Das ist ein offensichtlich unausrottbarer Aberglaube.
>>>>
>>> Was?
>>
>> Dass man sehr viel Mathematik verwerfen würde wenn man auf das AoI
>> verzichtet. Man verzichtet effektiv auf genau die Mathematik, die
>> niemand braucht und deren Status bzgl. Konsistenz unsicher ist.
Albrecht, du willst oder kannst es einfach nicht verstehen:
Brauchbarkeit oder Nutzen interessieren nicht. L'art pour l'art,
Mathematik schert sich einen Dreck um die Wirklichkeit.
Wenn man mit unendlichen Mengen hantieren will, braucht man eben das
Unendlichkeitsaxiom. Darüber, dass solche Erkenntnisse für das tägliche
Überleben keine Rolle spielen, sind sich hier alle einig.
>> Soll ich Dir mal was sagen? Du bist mir zu begriffsstutzig um mit Dir
>> weiter zu diskutieren.
Dumm und frech, das passt zusammen.
> Dann werde ich wohl nicht erfahren, ob die Analysis zu der Art von
> Mathematik gehört, die Deiner Meinung nach niemand braucht.
>
> Tschüss!
Deinen Hinweis auf mögliche Anwendungen, Carsten, halt ich für überflüssig.
Vor kurzem hatte jemand einen klugen Beitrag zum Existenzbegriff
geschrieben, u.a., dass mathematische Existenz von physikalischer zu
unterscheiden ist. Eigentlich eine Selbstverständlichkeit, aber offenbar
auch ein Quell der Missverständnisse.
Die Beschäftigung mit Mathematik sollte als Blick in eine Welt
nichtexistenter Objekte intrinsisch motiviert sein. Wer nach dem Nutzen
schielt hat schon verloren.
Gruß Rainer
Ulrich Lange
> Vor kurzem hatte jemand einen klugen Beitrag zum Existenzbegriff
> geschrieben, u.a., dass mathematische Existenz von physikalischer zu
> unterscheiden ist. Eigentlich eine Selbstverständlichkeit, aber offenbar
> auch ein Quell der Missverständnisse.
Hallo Rainer.
Ist das denn wirklich selbstverständlich? Ich muß mal wieder Werbung für
das Spektrum Dossier 6/09 (gibt es für 8,90 Euro in jeder gutsortierten
Bahnhofsbuchhandlung ;-) ) machen: Im Aufsatz "Was ist Mathematik" von
Barnulf Kanitscheider u.a. das "Unvermeidlichkeitsargument" von Hilary
Putnam beschrieben. Zitat:
"Die physikalischen und mathematischen Teile der Theorie [*] sind so
verschränkt, daß man nicht ohne willkürliche Parteilichkeit Realist
bezüglich der konkreten Objekte sein kann und Idealist bezüglich der
formalen Strukturen."
[*] Mit "Theorie" sind die "bewährten" Theorien der modernen Physik
gemeint. Übrigens beruht die "Verschränkung" nach Putnam darauf, daß
die All- und Existenzquantoren sowohl auf abstrakte formale Objekte als
auch auf die physikalischen Gegenstände der Theorie in gleicher Weise
angewandt werden.
Die Bedeutung der Quantoren für Putnams Argument birgt im Zusammenhang
der d.s.m.-Diskussion natürlich eine gewisse Ironie (In gleichen
Zusammenhang sollte man vielleicht auch darauf hinweisen, daß aus der
Putnamschen "Verschränkung" natürlich keineswegs zwingend folgt, daß die
abstrakten Teile der Theorie die Unendlichkeit vermeiden müssen, bloß
weil die physikalischen Gegenstände endlich sind).
Ich weiß noch nicht, was ich von Putnams Argument halte, zumal ich es
nur aus dieser kurzen Skizze in dem Spektrum-Heft kenne. Aber Putnam ist
ja nun nicht irgendein Crank, so daß zumindest die von Dir behauptete
"Selbstverständlichkeit" wohl so selbstverständlich nicht ist.
> Die Beschäftigung mit Mathematik sollte als Blick in eine Welt
> nichtexistenter Objekte intrinsisch motiviert sein. Wer nach dem Nutzen
> schielt hat schon verloren.
Die Beschäftigung mit Mathematik kann intrinsisch motiviert sein. Aber
warum *sollte* sie? Meistens *ist* sie es IMHO jedenfalls nicht: Schau
Dir z.B. mal die Clay-Millenium-Probleme an. Mindestens 3 der 7 stammen
aus Anwendungen (P=NP, Navier-Stokes, Yang-Mills).
Spätestens Dein letzter Satz geht mir als angewandtem Mathematiker zu
weit ;-)
--
Gruß, Ulrich Lange
(ulrich punkt lange bindestrich mainz at t-online punkt de)
Rainer Willis
> Rainer Willis schrieb:
>
>> Vor kurzem hatte jemand einen klugen Beitrag zum Existenzbegriff
>> geschrieben, u.a., dass mathematische Existenz von physikalischer zu
>> unterscheiden ist. Eigentlich eine Selbstverständlichkeit, aber offenbar
>> auch ein Quell der Missverständnisse.
Hallo Ulrich,
> Ist das denn wirklich selbstverständlich? Ich muß mal wieder Werbung für
> das Spektrum Dossier 6/09 (gibt es für 8,90 Euro in jeder gutsortierten
> Bahnhofsbuchhandlung ;-) ) machen: Im Aufsatz "Was ist Mathematik" von
> Barnulf Kanitscheider u.a. das "Unvermeidlichkeitsargument" von Hilary
> Putnam beschrieben. Zitat:
>
> "Die physikalischen und mathematischen Teile der Theorie [*] sind so
> verschränkt, daß man nicht ohne willkürliche Parteilichkeit Realist
> bezüglich der konkreten Objekte sein kann und Idealist bezüglich der
> formalen Strukturen."
Den Satz würd ich ohne Bedenken unterschreiben.
> [*] Mit "Theorie" sind die "bewährten" Theorien der modernen Physik
> gemeint. Übrigens beruht die "Verschränkung" nach Putnam darauf, daß
> die All- und Existenzquantoren sowohl auf abstrakte formale Objekte als
> auch auf die physikalischen Gegenstände der Theorie in gleicher Weise
> angewandt werden.
Putnam hat recht, und ich verstehe selbst nicht, weshalb sich Mathematik
anwenden lässt. Mathematiker haben im Prinzip nur die natürlichen
Zahlen, weshalb können sie damit die (physikalische) Welt beschreiben?
Es gab mal einen Kongress, ich weiß nicht mehr, wer beteiligt war:
Redner: "Auch mein Thermostat hat Bewusstseinszustände."
Zwischenfrage: "Welche Bewusstseinszustände hat Ihr Thermostat denn?"
Redner: "Genau drei: es ist zu kalt hier, es ist zu warm hier, es ist
gerade richtig."
In solcher Sichtweise ist unser Gehirn eine Maschine, die Gedanken
absondert, welche wir wiederum für Einsichten halten.
> Die Bedeutung der Quantoren für Putnams Argument birgt im Zusammenhang
> der d.s.m.-Diskussion natürlich eine gewisse Ironie (In gleichen
> Zusammenhang sollte man vielleicht auch darauf hinweisen, daß aus der
> Putnamschen "Verschränkung" natürlich keineswegs zwingend folgt, daß die
> abstrakten Teile der Theorie die Unendlichkeit vermeiden müssen, bloß
> weil die physikalischen Gegenstände endlich sind).
Ja, in dieser Diskussion fiel ja auch der mir bisher unbekannte Begriff
"Quantorenlegasthenie". Es gibt da ja nur zwei Quantoren: "es gibt" und
"für alle". Die Verknüpfungen dieser beiden bereiten dann zahlreiche
Sorgen, besonders dann, wenn der Existenzbegriff nicht geklärt ist.
> Ich weiß noch nicht, was ich von Putnams Argument halte, zumal ich es
> nur aus dieser kurzen Skizze in dem Spektrum-Heft kenne. Aber Putnam ist
> ja nun nicht irgendein Crank, so daß zumindest die von Dir behauptete
> "Selbstverständlichkeit" wohl so selbstverständlich nicht ist.
Da muss ich dir Recht geben, das war ein formulatorischer Schnellschuss.
>> Die Beschäftigung mit Mathematik sollte als Blick in eine Welt
>> nichtexistenter Objekte intrinsisch motiviert sein. Wer nach dem Nutzen
>> schielt hat schon verloren.
>
> Die Beschäftigung mit Mathematik kann intrinsisch motiviert sein. Aber
> warum *sollte* sie? Meistens *ist* sie es IMHO jedenfalls nicht: Schau
> Dir z.B. mal die Clay-Millenium-Probleme an. Mindestens 3 der 7 stammen
> aus Anwendungen (P=NP, Navier-Stokes, Yang-Mills).
Meine Antwort darauf fällt sehr kurz aus: Anwendungen interessieren
nicht. Sie *könnten* interessant sein, wenn sie eine Forschungsrichtung
vorgeben, ansonsten haben sie keine Bedeutung.
> Spätestens Dein letzter Satz geht mir als angewandtem Mathematiker zu
> weit ;-)
:-)
Den mit der Selbstverständlichkeit. Ok, aber kannst du mir ohne Hinweis
auf Putman sagen, was Mathematik mit Physik zu tun haben soll? Wir sind
uns dabei einig, dass Mathematik nichts mit Physik zu tun hat,
Mathematik ist ein wesentlicher Teil der modernen Physik, aber nicht
umgekehrt.
Gruß Rainer
Ulrich Lange
> Ulrich Lange schrieb:
>> Rainer Willis schrieb:
Hallo Rainer,
(erstmal eine kurze, unvollständige Antwort, weil ich gleich bis
Sonntagabend wegfahre).
>>> Die Beschäftigung mit Mathematik sollte als Blick in eine Welt
>>> nichtexistenter Objekte intrinsisch motiviert sein. Wer nach dem Nutzen
>>> schielt hat schon verloren.
>>
>> Die Beschäftigung mit Mathematik kann intrinsisch motiviert sein. Aber
>> warum *sollte* sie? Meistens *ist* sie es IMHO jedenfalls nicht: Schau
>> Dir z.B. mal die Clay-Millenium-Probleme an. Mindestens 3 der 7 stammen
>> aus Anwendungen (P=NP, Navier-Stokes, Yang-Mills).
>
> Meine Antwort darauf fällt sehr kurz aus: Anwendungen interessieren
> nicht. Sie *könnten* interessant sein, wenn sie eine Forschungsrichtung
> vorgeben, ansonsten haben sie keine Bedeutung.
>
>> Spätestens Dein letzter Satz geht mir als angewandtem Mathematiker zu
>> weit ;-)
>
> :-)
> Den mit der Selbstverständlichkeit.
Nein, den meinte ich nicht. Ich meinte "Wer nach dem Nutzen schielt, hat
schon verloren". Ich versuche mal, den Begriff "Nutzen", wie ich ihn
verstanden habe, zu präzisieren, damit mir nicht aneinander vorbeireden:
In dem Spektrum-Heft ist auch ein Artikel über die sogenannte
ABC-Vermutung. Das ist eine sehr "reine" zahlentheoretische Vermutung,
deren Beweis aber großen "Nutzen" hätte, da sie ganz neue Methoden für
diophantische Gleichungen liefern würde. Wenn man nach ihren Statements
in dem Heft geht, scheint ein solcher "Nutzen" eine wesentliche
Motivation für "reine" Mathematiker wie Gerhard Frey oder Gert Faltings
zu sein.
Für mich als angewandten Mathematiker wären z.B. Fortschritte beim
Verständnis der Navier-Stokes-Gleichung von großem "Nutzen", weil sie
die Grundlage für fast alles ist, womit ich mich beruflich beschäftige.
Zwischen dem "Nutzen" von ABC für Faltings und dem "Nutzen" von
Navier-Stokes" für mich besteht IMHO kein qualitativer Unterschied.
Albrecht
Leider baden sich hier einige gerne in ihren Selbstverständlichkeiten,
ohne dabei das Wagnis einzugehen, auch nur einen Zentimeter über ihren
Tellerrand zu schielen.
Man wird es wirklich auch Leid gegen so eine geballte Ladung von
Arroganz und Ignoranz anzuargumentieren. Aber warum sollten
Mathematiker anders sein wie andere Leute?
Gruß
Albrecht
Rainer Rosenthal
> Man wird es wirklich auch Leid gegen so eine geballte Ladung von
> Arroganz und Ignoranz anzuargumentieren. Aber warum sollten
> Mathematiker anders sein wie andere Leute?
Jaja, man hat's nicht leicht. Wie wï¿œr's mit was Konstruktivem?
Vorschlï¿œge:
1. Hilf' doch mal WM, seinen Standpunkt so zu formulieren, dass
ich ihn verstehen kann. Er spricht da immer von einem Schritt
bei der Aufzï¿œhlung von |N, bei dem plï¿œtzlich alle Teilmengen
da sein mï¿œssten. Das alleine ist mir schon nicht einsichtig,
und die Folgerung, dass daraus folgen mï¿œsse, dass es nur
abzï¿œhlbar viele gebe, erschlieï¿œt sich mir schon gar nicht.
2. Guck doch noch einmal in den Thread, in dem Du was ï¿œber das
Messen geschrieben hattest und Banach-Tarski verwï¿œnscht hast.
Dort hatte ich Dich um die Beantwortung einer harmlosen
Frage gebeten. Und so etwas ist Dir doch allemal lieber als
leeres Rumgestreite, nicht wahr? Siehe den dsm-Beitrag hier:
http://tinyurl.com/MiniTarski
( "Das Kalenderblatt 091203", Beitrag am 18.12.2009, 15:27)
Gruￜ,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
Albrecht
Hier noch eine kleine Reminiszens zum Thema "Aberglaube moderner
Mathematiker". Man scheint hier besonders anfällig für Vorurteile zu
sein. Z.B. die immer wieder zitierte Aussage, der Konstruktivismus
müsse ohnen den Zwischenwertsatz der Analysis auskommen.
Unausgegorenes Halbwissen. Ich verweise hier noch einmal auf E. Bishop
und hier noch ein nettes Dokument mit einem Artikel von van Dalen:
http://dml.math.uni-bielefeld.de/JB_DMV/JB_DMV_084_2.pdf
Man beachte die Seite 62.Sehr hübsch auch die Zusammenstellung einiger
Protagonisten des konstruktivistischen Arbeitens bis hin zu Friedman
und Feferman.
AS
Christopher Creutzig
> Hier noch eine kleine Reminiszens zum Thema "Aberglaube moderner
> Mathematiker". Man scheint hier besonders anf�llig f�r Vorurteile zu
> sein. Z.B. die immer wieder zitierte Aussage, der Konstruktivismus
> m�sse ohnen den Zwischenwertsatz der Analysis auskommen.
> Unausgegorenes Halbwissen. Ich verweise hier noch einmal auf E. Bishop
> und hier noch ein nettes Dokument mit einem Artikel von van Dalen:
>
> http://dml.math.uni-bielefeld.de/JB_DMV/JB_DMV_084_2.pdf
>
> Man beachte die Seite 62.Sehr h�bsch auch die Zusammenstellung einiger
Ich zitiere von eben jener Seite:
--
Betrachten wir zum Beispiel den klassischen Zwischenwertsatz: [�]
Konstruktiv ist diese Aussage falsch, denn man kann diese hypothetische
Nullstelle nicht ausfindig machen (nicht approximieren). Dennoch kann
man konstruktive Fassungen angeben, z.B.: [� es folgt ein echt
schw�cherer Satz]�
--
Interessant. Ich hatte bislang ja immer nur dazu aufgefordert, den ZWS
konstruktivistisch zu beweisen, aber dass er tats�chlich falsch sei,
damit hatte ich nicht wirklich gerechnet � weil der Funktionsbegriff der
konstruktivistischen Mathematik ja bei weitem nicht alle Funktionen der
klassischen Mathematik umfasst.
Albrecht
wrote:
> Albrecht wrote:
> > Hier noch eine kleine Reminiszens zum Thema "Aberglaube moderner
> > sein. Z.B. die immer wieder zitierte Aussage, der Konstruktivismus
> > Unausgegorenes Halbwissen. Ich verweise hier noch einmal auf E. Bishop
> > und hier noch ein nettes Dokument mit einem Artikel von van Dalen:
>
> >http://dml.math.uni-bielefeld.de/JB_DMV/JB_DMV_084_2.pdf
>
>
> Ich zitiere von eben jener Seite:
>
> --
> Konstruktiv ist diese Aussage falsch, denn man kann diese hypothetische
> Nullstelle nicht ausfindig machen (nicht approximieren). Dennoch kann
> schw cherer Satz]
> --
>
> Interessant. Ich hatte bislang ja immer nur dazu aufgefordert, den ZWS
> damit hatte ich nicht wirklich gerechnet weil der Funktionsbegriff der
> konstruktivistischen Mathematik ja bei weitem nicht alle Funktionen der
> klassischen Mathematik umfasst.
>
> --
Ich glaube, Du verwechselst da was. Der Zwischenwertsatz ist in der
konstruktivistischne Mathematik nicht falsch. nur lässt er sich nicht
in der Allgemeinheit angeben, da es Funktionen gibt, für die nicht
alle Zwischenwerte konstruktiv angegeben werden können. So versteh ich
das.
Deine Zitierung ist hochgradig verfälschend. Denn das "diese Aussage
ist falsch" bezieht sich eben nicht auf den allgemeinen
Zwischenwertsatz sondern auf ein konkretes Beispiel. Ich hoffe mal,
dass Du diese irreführende Zitierung nicht bewußt so gemacht hast.
Übrigens wird auf Seite 64 angedeutet, dass die konstruktive
Mathematik nicht etwa einen echt kleineren Umfang hat wie die
"klassische" Mathematik, sondern eben einen _anderen_ Umfang.
Insgesamt ist die Wahrnehmung dieser Zusammenhänge hier verzerrt und
ich möchte auch einmal darauf hinweisen, wieviel Mathematiker an der
"klassischen" Mathematik entwickeln, und wieviel an der konstruktiven.
Dafür ist in der konstriktiven Mathematik erstaunlich viel erreicht
worden. Ausserdem sehe ich die konstruktive Mathematik nicht als der
Weisheit letzten Schluss an, vielmehr als _eine_ Möglichkeit, die
kritischen Aspekte der "klassischen" Mathematik zu vermeiden.
Gruß
AS
Christopher Creutzig
> Ich glaube, Du verwechselst da was. Der Zwischenwertsatz ist in der
> konstruktivistischne Mathematik nicht falsch. nur l�sst er sich nicht
> in der Allgemeinheit angeben, da es Funktionen gibt, f�r die nicht
Er l�sst sich durchaus angeben, van Dalen hat das ja getan. Er ist nur
nicht g�ltig, schreibt jedenfalls van Dalen.
> Deine Zitierung ist hochgradig verf�lschend. Denn das "diese Aussage
> ist falsch" bezieht sich eben nicht auf den allgemeinen
> Zwischenwertsatz sondern auf ein konkretes Beispiel. Ich hoffe mal,
Erstens steht da als konkretes Beispiel genau der Zwischenwertsatz, von
daher ist diese Interpretation eigenwillig. Zweitens w�re mit einem
konkreten Gegenbeispiel der Satz doch bereits widerlegt.
> dass Du diese irref�hrende Zitierung nicht bewu�t so gemacht hast.
Ich habe beim Zitieren lediglich die Beschreibung des ZWS ausgelassen.
Magst Du mir erkl�ren, was daran irref�hrend sein soll?
> �brigens wird auf Seite 64 angedeutet, dass die konstruktive
> Mathematik nicht etwa einen echt kleineren Umfang hat wie die
> "klassische" Mathematik, sondern eben einen _anderen_ Umfang.
Kann gut sein. Nur geh�rt der ZWS eben nichts zur Schnittmenge, nichts
Anderes habe ich behauptet. Es ist halt nicht so, dass man bspw. in den
typischen Anwendungen der Ingenieure einfach die klassische Mathematik
durch Konstruktivismus oder Intuitionismus austauschen k�nnte, ohne
gr��ere Umbauma�nahmen in den Anwendungen selbst vorzunehmen. (Auch wenn
die von van Dalen angegebene Variation des ZWS sicherlich f�r viele
Anwendungen gen�gt, fehlen einfach andere Sachen, bspw. kenne ich kein
Analogon zu Fouriertransformationen.)
> Insgesamt ist die Wahrnehmung dieser Zusammenh�nge hier verzerrt und
Ja? Verwechsele bitte nicht Konstruktivismus mit schwammigen
Meinungs�u�erungen wie insbesondere Wolfgang sie von sich gibt oder
damit, unendliche Mengen f�r �inkonsistent in einem absoluten Sinn� zu
halten.
Peter Niessen
> Leider baden sich hier einige gerne in ihren Selbstverst�ndlichkeiten,
> ohne dabei das Wagnis einzugehen, auch nur einen Zentimeter �ber ihren
> Tellerrand zu schielen.
Na so was!
Albrecht �bt sich in Selbstkritik :-)
Albrecht
wrote:
> Albrecht wrote:
> > Ich glaube, Du verwechselst da was. Der Zwischenwertsatz ist in der
> > in der Allgemeinheit angeben, da es Funktionen gibt, für die nicht
>
> Er lässt sich durchaus angeben, van Dalen hat das ja getan. Er ist nur
> nicht gültig, schreibt jedenfalls van Dalen.
>
> > Deine Zitierung ist hochgradig verfälschend. Denn das "diese Aussage
> > ist falsch" bezieht sich eben nicht auf den allgemeinen
> > Zwischenwertsatz sondern auf ein konkretes Beispiel. Ich hoffe mal,
>
> Erstens steht da als konkretes Beispiel genau der Zwischenwertsatz, von
> konkreten Gegenbeispiel der Satz doch bereits widerlegt.
>
>
> Ich habe beim Zitieren lediglich die Beschreibung des ZWS ausgelassen.
>
> > Übrigens wird auf Seite 64 angedeutet, dass die konstruktive
> > Mathematik nicht etwa einen echt kleineren Umfang hat wie die
> > "klassische" Mathematik, sondern eben einen _anderen_ Umfang.
>
> Anderes habe ich behauptet. Es ist halt nicht so, dass man bspw. in den
> typischen Anwendungen der Ingenieure einfach die klassische Mathematik
> größere Umbaumaßnahmen in den Anwendungen selbst vorzunehmen. (Auch wenn
> die von van Dalen angegebene Variation des ZWS sicherlich für viele
> Anwendungen genügt, fehlen einfach andere Sachen, bspw. kenne ich kein
> Analogon zu Fouriertransformationen.)
>
> > Insgesamt ist die Wahrnehmung dieser Zusammenhänge hier verzerrt und
>
> Ja? Verwechsele bitte nicht Konstruktivismus mit schwammigen
> damit, unendliche Mengen für „inkonsistent in einem absoluten Sinn“ zu
> halten.
>
Ob nun Konstruktivismus gut ist, oder ob es andere Möglichkeiten gibt
z.B. den Zwischenwertsatz oder Fouriertransformation zu begründen ist
eigentlich auch nicht mein Thema. Wenn diese Sachen bisher auf
tönernen Beinen stehen ist das traurig aber umso schlechters steht es
um eine sichere Grundlegung der Mathematik.
Tatsache ist und bleibt, dass die Annahme, dass es eine Menge der Form
{{a}, {aa}, {aaa}, {aaaa}, ...} gibt,
die mehr Elemente enthält, als jede natürliche Zahl angibt, aber nur
Elemente enthält deren Kardinalzahlen endlich sind, ein logisches
Unding ist.
Wie jeder leicht einsehen kann enthält jede Menge der Form
{{a}, {aa}, {aaa}, ... {aaa...}}
ein Element, das dieselbe Kardinalzahl besitzt wie die Menge selbst.
Die Idee, unendlich lange endliche Zahlen zu zählen um unendlich viele
von diesen zu haben ist einfach nur abstrus.
Nehmen wir an, wir hätten zwei Zählwerke. Das Zählwerk A zählt die
natürlichen Zahlen 1, 2, 3, ... eine nach der anderen aufwärts durch.
Das Zählwerk B zählt für jeden Zählvorgang, den Zählwerk A macht, um
eine Einheit hoch. Nun betrachte man den Zustand des Zählwerkes A wenn
das Zählwerk B aleph_0 anzeigt.
Genau diese unsinnige Situation (Zählwerk B zeigt aleph_0, Zählwerk A
zeigt ???) wird in ZF zum grundlegenden Prinzip erhoben. Tut mir Leid,
aber das kann ich nicht nachvollziehen.
Gruß
AS
Christopher Creutzig
> Tatsache ist und bleibt, dass die Annahme, dass es eine Menge der Form
> {{a}, {aa}, {aaa}, {aaaa}, ...} gibt,
> die mehr Elemente enth�lt, als jede nat�rliche Zahl angibt, aber nur
> Elemente enth�lt deren Kardinalzahlen endlich sind, ein logisches
> Unding ist.
Nimm bitte zur Kenntnis, dass es noch niemand geschafft hat, in dieser
Annahme einen logischen Widerspruch zu zeigen � in dem Sinne, wie
Mathematiker �Logik� verstehen. Du kannst gerne davon �berzeugt sein,
das Modellierungen ohne so eine Annahme irgendeine der vielen
Bedeutungen des Wortes �besser� erf�llen � da magst Du recht haben oder
auch nicht. In einer mathematischen Diskussion eine Annahme als
�logisches Unding� zu bezeichnen, ohne einen den allgemein �blichen
Formulierungen und Regeln der Logik folgenden Beweis daf�r angeben zu
k�nnen, f�hrt aber immer wieder zu Verwirrungen und Unverst�ndnis. Das
liegt einfach daran, dass Mathematiker Begriffe wie �logisch� in einer
speziellen und mit dem Alltagsbgebrauch nicht deckungsgleichen Bedeutug
verwenden.
> Wie jeder leicht einsehen kann enth�lt jede Menge der Form
> {{a}, {aa}, {aaa}, ... {aaa...}}
> ein Element, das dieselbe Kardinalzahl besitzt wie die Menge selbst.
Und wie jeder leicht sieht, gibt es andere Mengen, die das nicht tun.
Es ist sicherlich nicht logisch *zwingend*, dass die GEsamtheit aller
nat�rlichen Zahlen eine Menge bildet, aber ziemlich viele Leute halten
diese Begriffsbildung einfach f�r *praktisch* � und, wie oben bereits
gesagt, gibt es etablierte Methoden, um derlei Begriffsbildungen
anzugreifen und es ist ja nun auch nicht so, als w�rden Angriffe in
dieser Form irgendwie unterschlagen.
> eine Einheit hoch. Nun betrachte man den Zustand des Z�hlwerkes A wenn
> das Z�hlwerk B aleph_0 anzeigt.
Diesen Zeitpukt gibt es auch in einer Mathematik mit unendlichen Mengen
nicht, wie Du genau wei�t.
Ulrich Lange
> On 7 Jan., 08:38, Ulrich Lange <ulrich.la...@invalid.invalid> wrote:
>> Rainer Willis schrieb:
>>
>>> Vor kurzem hatte jemand einen klugen Beitrag zum Existenzbegriff
>>> geschrieben, u.a., dass mathematische Existenz von physikalischer zu
>>> auch ein Quell der Missverst�ndnisse.
>> Ist das denn wirklich selbstverst�ndlich? [...] Im Aufsatz "Was ist
>> Mathematik" von Barnulf Kanitscheider u.a. das "Unvermeidlichkeitsargument"
>> von Hilary Putnam beschrieben. Zitat:
>>
>> "Die physikalischen und mathematischen Teile der Theorie [*] sind so
>> verschr�nkt, da� man nicht ohne willk�rliche Parteilichkeit Realist
>> bez�glich der konkreten Objekte sein kann und Idealist bez�glich der
>> formalen Strukturen."
>> [...]
>
> Leider baden sich hier einige gerne in ihren Selbstverst�ndlichkeiten,
> ohne dabei das Wagnis einzugehen, auch nur einen Zentimeter �ber ihren
> Tellerrand zu schielen.
Genau. Zum Beispiel "badest" Du in der "Selbstverst�ndlichkeit", da� man
bei Verzicht auf das Unendlichkeitsaxiom "effektiv auf genau die
Mathematik [verzichtet], die niemand braucht und deren Status bzgl.
Konsistenz unsicher ist."
Deshalb extra f�r Dich noch ein Zitat aus Kanitscheider: "Eine lange
Zeit sah es so aus, als ob der Intuitionismus der sicherste Ausweg aus
der Grundlagenkrise sei. Dann aber bewies Kurt G�del 1932, dass man die
klassische Logik so in die intuitionistische �bersetzen kann, dass sich
dort alle g�ltigen Formeln, aber auch die Widerspr�che wiederfinden. Die
intuitionistische Mathematik ist somit nicht sicherer als die
klassische, wohl aber sind ihre Beweise komplizierter und schwerf�lliger."
--
Gru�, Ulrich Lange
Albrecht
Christopher Creutzig <chris...@creutzig.de> wrote:
> Albrecht wrote:
>
> > Tatsache ist und bleibt, dass die Annahme, dass es eine Menge der Form
> > {{a}, {aa}, {aaa}, {aaaa}, ...} gibt,
> > die mehr Elemente enth�lt, als jede nat�rliche Zahl angibt, aber nur
> > Elemente enth�lt deren Kardinalzahlen endlich sind, ein logisches
> > Unding ist.
>
> Nimm bitte zur Kenntnis, dass es noch niemand geschafft hat, in dieser
> Annahme einen logischen Widerspruch zu zeigen � in dem Sinne, wie
> Mathematiker �Logik� verstehen. Du kannst gerne davon �berzeugt sein,
> das Modellierungen ohne so eine Annahme irgendeine der vielen
> Bedeutungen des Wortes �besser� erf�llen � da magst Du recht haben oder
> auch nicht. In einer mathematischen Diskussion eine Annahme als
> �logisches Unding� zu bezeichnen, ohne einen den allgemein �blichen
> Formulierungen und Regeln der Logik folgenden Beweis daf�r angeben zu
> k�nnen, f�hrt aber immer wieder zu Verwirrungen und Unverst�ndnis. Das
> liegt einfach daran, dass Mathematiker Begriffe wie �logisch� in einer
> speziellen und mit dem Alltagsbgebrauch nicht deckungsgleichen Bedeutug
> verwenden.
>
> > Wie jeder leicht einsehen kann enth�lt jede Menge der Form
> > {{a}, {aa}, {aaa}, ... {aaa...}}
> > ein Element, das dieselbe Kardinalzahl besitzt wie die Menge selbst.
>
> Und wie jeder leicht sieht, gibt es andere Mengen, die das nicht tun.
> Es ist sicherlich nicht logisch *zwingend*, dass die GEsamtheit aller
> nat�rlichen Zahlen eine Menge bildet, aber ziemlich viele Leute halten
> diese Begriffsbildung einfach f�r *praktisch* � und, wie oben bereits
> gesagt, gibt es etablierte Methoden, um derlei Begriffsbildungen
> anzugreifen und es ist ja nun auch nicht so, als w�rden Angriffe in
> dieser Form irgendwie unterschlagen.
>
> > eine Einheit hoch. Nun betrachte man den Zustand des Z�hlwerkes A wenn
> > das Z�hlwerk B aleph_0 anzeigt.
>
> Diesen Zeitpukt gibt es auch in einer Mathematik mit unendlichen Mengen
> nicht, wie Du genau wei�t.
Diesen Zeitpunkt gibt es eben nicht, weil er unlogisch w�re. Und
dennoch behaupten ZF-User es g�be Mengen, die einem solchen Zeitpunkt
ad�quat w�ren. Denn genau das ist doch eine unendliche Menge: eine
Menge, die eine Kardinalzahl besitzt, ohne das sie ein gr��tes Element
besitzt.
Was Du nicht verstehst: Die Kardinalzahl der Menge der nat�rlichen
Zahlen ist, wenn es sie denn g�be, zu gro� um die Anzahl der nat�rlichen
Zahlen zu beschreiben. Aber dieser Umstand geht im Nebel der
Unendlichkeit ja leicht unter. Also wen k�mmert's? Anscheinend nur
Menschen, die auf Logik bei der Grundlegung der Mathematik bestehen.
Gru�
Albrecht
Albrecht
Ulrich Lange <ulrich...@invalid.invalid> wrote:
Na, damit entkr�ftigst Du aber jetzt alle Argumente f�r die Behauptung,
dass Mathematik ohne AoI �rmer w�re. Oder sehe ich das falsch?
Ich finde, die Mathe-Community sollte sich da mal einig werden:
Ist Mathe ohne AoI nun echt �rmer (Zwischenwertsatz!
Fouriertransformation!) oder nur komplizierter?
Gru�
Albrecht