Funktionentheorie: Taylor- und Laurentreihenentwicklung
Marc Mueller
Laurentreihenentwicklung fuer einen Nicht-Mathematiker kaum verstaendlich
erklaert. Wer kann mir die grundsaetzliche Vorgehensweise evtl. anhand eines
guten Beispiels erklaeren?
Hermann Kremer
f(z) = 1/(1 - z) = (-1/z) * 1/(1 - 1/z)
Taylor-Reihe: 1 + z + z^2 + ... Konvergenzgebiet: |z| < 1
Laurent-Reihe: (-1/z) * (1 + 1/z + 1/z^2 + ...) Konvergenzgebiet: |z| > 1
Grüße
Hermann
--
Marc Mueller
>
> Taylor-Reihe: 1 + z + z^2 + ... Konvergenzgebiet: |z|
> < 1
> Laurent-Reihe: (-1/z) * (1 + 1/z + 1/z^2 + ...) Konvergenzgebiet: |z|
> > 1
Wie bildet man denn die Taylor- und die Laurenreihe genau? Und wodurch ist
festgelegt, ob ich eine komplexe Funktion in eine Taylorreihe oder in eine
Laurentreihe oder gar in beiden Reihen umformen kann?
Siegfried Neubert
Marc Mueller wrote:
Bei einer unendlichen Reihenentwicklung in IR spielt der Begriff des
Konvergenzradius eine wichtige Rolle,
also der Bereich/ das Intervall/ die Werte x aus IR,
für die die Reihe Konvergiert.
Die (komplexe) Funktionentheorie liefert da eine Antwort,
warum die Reihen(entwicklungen) "Taylorreihen" in IR eben überhaupt solche
Konvergenzbereiche/-gebiete besitzen und diese manchmal eben nur endlich
sind. Z.B.:
f(z) = 1/(1 - z) = 1 + z + z^2 + ... konvergiert genau für |z| < 1,
den f ist in z=1 - wie man sieht - gar nicht definiert (in IR), "f(1) = oo"
(Man kann C durch die Zunahme des Punktes oo "kompaktifizieren"
- Riemansche Zahlenkugel, o.ä. - und auch damit dann rechnen!)
Also, mit dem Funktionswert "oo", oder auch mit meromorphen Funktionen,
kommen Laurententwicklungen ins Spiel.
Laurentreihen sind Potenzreihen, eben auch mit negativen Exponenten.
Sie erlauben es (hinreichend wohlgeformte) Funktionen auch dort
in Potenzreihen zu entwickeln, wo eine Taylorreihe nicht mehr konvergiert!
f(z) = 1/(1 - z) = (-1/z) * (1 + 1/z + 1/z^2 + ...) = ...
... = -(1/z + 1/z^2 + 1/z^3 + ...) mitdem Konvergenzgebiet: |z| > 1
Die Berechnung "der Darstellung" solcher Reihen ist ggf. etwas ganz anderes!
Z.B. bei 1/(1 - z )
kennt man ggf. den Grenzwert der geom. Reihe: 1 + z + z^2 + ... ,
aber man kann natürlich auch über die Ableitungen "z.B. an der Stelle 0"
die Newtonentwicklung von f um 0 ausrechnen.
Für Laurententwicklungen mag ich (wüßte ich z.Zt. auch nicht (mehr)) keine
allgemeine Regel (analog Newtonentwicklung) nennen,
manchmal hilft der eine oder andere Trick weiter
- wie oft in der Mathematik.
Ich hoffe es hilft (Dir) etwas weiter!?
Siggi
Hermann Kremer
>Marc Mueller wrote:
>
>> Wie bildet man denn die Taylor- und die Laurenreihe genau? Und wodurch ist
>> festgelegt, ob ich eine komplexe Funktion in eine Taylorreihe oder in eine
>> Laurentreihe oder gar in beiden Reihen umformen kann?
>Für Laurententwicklungen mag ich (wüßte ich z.Zt. auch nicht (mehr)) keine
>allgemeine Regel (analog Newtonentwicklung) nennen,
>manchmal hilft der eine oder andere Trick weiter
>- wie oft in der Mathematik.
OK, wenn man weiß, daß eine Funktion f(z) im Innern eines Kreisrings um
den Punkt z0 mit Innenradius a und Außenradius b , d.h. im Gebiet
a < |z-z0| < b von C, analytisch ist, dann kann man sie immer in eine
Potenzreihe
f(z) = ... c[-2]z^(-2) + c[-1]*z^(-1) + c[0] + c[1]*z^1 + c[2]*z^2 + ...
entwickeln, wobei die Taylor-Teilreihe (positive Potenzen) im Gebiet
|z-z0| < b und die Laurent-Teilreihe (negative Potenzen) im Gebiet
|z-z0| > a konvergiert. Die Koeffizienten c[k] sind dabei durch die
Umlaufintegrale
c[k] = 1/(2*pi*i) * Integral{über K) f(z)/(z - z0)^(k+1) dz ,
k = 0, +-1, +-2, ...
bestimmt, wobei K eine beliebige geschlossene Kurve ist, die ganz
im Innern des Kreisrings liegt.
Das Ausrechnen dieser Integrale ist i.A. ziemlich mühsam, in manchen
Fällen hilft aber in der Tat ein Trick weiter ...
Ein einfaches Beispiel: Die Funktion
f(z) = 1/((z-1)*(z-2))
soll um den Ursprung z0 = 0 in eine Potenzreihe entwickelt werden.
Die Fkt. f(z) läßt sich durch Partialbruchentwicklung in die Form
f(z) = 1/(z-2) - 1/(z-1) := g(z) + h(z)
bringen, und jetzt können wir g(z) = 1/(z-2) entweder in eine Taylor-Reihe
Tg(z) = -(1/2)*Sum{k=0..oo} (z/2)^k für |z| < 2
oder in eine Laurent-Reihe
Lg(z) = (1/z)*Sum{k=0..oo} (2/z)^k für |z| > 2
entwickeln, und ebenso h(z) = -1/(z-1) :
Th(z) = Sum{k=0..oo} z^k für |z| < 1
Lh(z) = -(1/z)*Sum{k=0..oo} (1/z)^k für |z| > 1
Jetzt haben wir für f(z) vier Möglichkeiten:
1) f(z) = Tg(z) + Th(z) für |z| < min(1, 2) = 1
2) f(z) = Lg(z) + Lh(z) für |z| > max(1,2) = 2
3) f(z) = Tg(z) + Lh(z) für |z| < 2 UND |z| > 1
4) f(z) = Lg(z) + Th(z) für |z| > 2 UND |z| < 1 .
Daraus sehen wird, daß
1) die gewöhnliche Taylor-Reihe ist, die im Innern des Kreises
mit Radius 1 konvergiert,
2) eine reine Laurent-Reihe ist, die außerhalb des Kreises
mit Radius 2 konvergiert,
3) eine vollständige Potenzreihe ist, die im Innern des Kreisrings
mit Innenradius 1 und Außenradius 2 konvergiert:
f(z) = -(1/z)*Sum{k=0..oo} (1/z)^k - (1/2)*Sum{k=0..oo} (z/2)^k =
= ... -1/z^3 - 1/z^2 - 1/z - 1/2 - z/4 - z^2/8 - z^3/16 - ...
für 1 < |z| < 2 ,
4) eine vollständige Potenzreihe ist, die nirgendwo konvergiert, da
ein Kreisring 2 < |z| < 1 mit kleinerem Außenradius als Innenradius
nicht möglich ist.
>Ich hoffe es hilft (Dir) etwas weiter!?
Dem schließe ich mich an (bzgl. Marc ;-))
Grüße
Hermann
--
>
>Siggi
Marc Mueller
vielen Dank fuer eure Hilfe.
Ehrlich gesagt schaffe ich es trotzdem noch nicht, Aufgaben zu diesem Thema
zu loesen. Ich hab hier folgende Aufabe:
Entwickeln Sie die Funktion f, f(z) = 1/((z-1)*(z+3)) jeweils in eine
Taylor- bzw. Laurentreihe u z_0, die in den folgenden Gebieten konvergiert:
a) G_1 := {z ? C mit |z| < 1}, z_0 = 0
b) G_2 := {z ? C mit 1 < |z| < 3}, z_0 = 0
c) G_3 := {z ? C mit |z| > 3}, z_0 = 0
d) G_4 := {z ? C mit |z+2i| < 1}, z_0 = -2i
Eventuell koennte man ja gemeinsam eine Loesung erarbeiten.
Marc
"Hermann Kremer" <hermann...@onlinehome.de> schrieb im Newsbeitrag
news:ch7ncs$j51$1...@online.de...
Hermann Kremer
>news:ch7ncs$j51$1...@online.de...
>> Siegfried Neubert schrieb in Nachricht
>> <news:2pp0f9F...@uni-berlin.de>...
>>>Marc Mueller wrote:
>Hallo Hermann und Siggi,
Hallo Marc,
>vielen Dank fuer eure Hilfe.
>Ehrlich gesagt schaffe ich es trotzdem noch nicht, Aufgaben zu diesem Thema
>zu loesen. Ich hab hier folgende Aufabe:
>
>Entwickeln Sie die Funktion f, f(z) = 1/((z-1)*(z+3)) jeweils in eine
>Taylor- bzw. Laurentreihe um z_0, die in den folgenden Gebieten konvergiert:
> a) G_1 := {z ? C mit |z| < 1}, z_0 = 0
> b) G_2 := {z ? C mit 1 < |z| < 3}, z_0 = 0
> c) G_3 := {z ? C mit |z| > 3}, z_0 = 0
> d) G_4 := {z ? C mit |z+2i| < 1}, z_0 = -2i
OK, für a) bis c) brauchst Du nur mein Beispiel sinngemäß abzuändern:
-----
f(z) in Partialbrüche zerlegen: f(z) := A/(z-1) + B/(z+3) .
-----
A/(z - 1) ergibt eine Taylor-Reihe (geometrische Reihe in z)
für |z| < 1
-----
(A/z)*1/(1 - 1/z) ergibt eine Laurent-Reihe (geometrische Reihe in 1/z)
für |z| > 1
-----
(B/3)*(1 + z/3) ergibt .... in z/3 für |z| < 3
-----
(B/z)*1/(1 + 3/z) ergibt ... in 3/z für |z| > 3
-----
Dann Taylor- und Laurent-Reihen geeignet kombinieren ...
Bei d) mit der Entwicklung um z0 = -2*i sehen wir dann bei Bedarf
weiter ;-)
Grüße
Hermann
--
Siegfried Neubert
> Marc Mueller schrieb in Nachricht ...
>>"Hermann Kremer" <hermann...@onlinehome.de> schrieb im Newsbeitrag
>>news:ch7ncs$j51$1...@online.de...
>>> Siegfried Neubert schrieb in Nachricht
>>> <news:2pp0f9F...@uni-berlin.de>...
>>>>Marc Mueller wrote:
>
>>Hallo Hermann und Siggi,
>
Hallo Marc
(,hallo Hermann),
schlaft ihr auch mal?
>
> Hallo Marc,
>
>>vielen Dank fuer eure Hilfe.
>>Ehrlich gesagt schaffe ich es trotzdem noch nicht, Aufgaben zu diesem
>>Thema zu loesen. Ich hab hier folgende Aufabe:
>>
>>Entwickeln Sie die Funktion f, f(z) = 1/((z-1)*(z+3)) jeweils in eine
>>Taylor- bzw. Laurentreihe um z_0, die in den folgenden Gebieten
>>konvergiert:
>> a) G_1 := {z ? C mit |z| < 1}, z_0 = 0
>> b) G_2 := {z ? C mit 1 < |z| < 3}, z_0 = 0
>> c) G_3 := {z ? C mit |z| > 3}, z_0 = 0
>> d) G_4 := {z ? C mit |z+2i| < 1}, z_0 = -2i
>
>
> OK, für a) bis c) brauchst Du nur mein Beispiel sinngemäß abzuändern:
> -----
> f(z) in Partialbrüche zerlegen: f(z) := A/(z-1) + B/(z+3) .
[...]
> Bei d) mit der Entwicklung um z0 = -2*i sehen wir dann bei Bedarf
> weiter ;-)
Na ja, Hermann hat das ja gut im Griff - wie nicht anders zu erwarten!
Marc hat ja was zum Üben,
aber mich würde mal die Laurantentwicklung
von 1/sin(Pi*z) oder auch 1/sin(Pi/z)
für einen bel. Entwicklungspunkt z aus IR interessieren
- ernstgemeint!
Gruß Siggi
Marc Mueller
>>Taylor- bzw. Laurentreihe um z_0, die in den folgenden Gebieten
>>konvergiert:
>> a) G_1 := {z ? C mit |z| < 1}, z_0 = 0
>> b) G_2 := {z ? C mit 1 < |z| < 3}, z_0 = 0
>> c) G_3 := {z ? C mit |z| > 3}, z_0 = 0
>> d) G_4 := {z ? C mit |z+2i| < 1}, z_0 = -2i
>
>
> OK, für a) bis c) brauchst Du nur mein Beispiel sinngemäß abzuändern:
> -----
> f(z) in Partialbrüche zerlegen: f(z) := A/(z-1) + B/(z+3) .
> -----
> A/(z - 1) ergibt eine Taylor-Reihe (geometrische Reihe in z)
> für |z| < 1
> -----
> (A/z)*1/(1 - 1/z) ergibt eine Laurent-Reihe (geometrische Reihe in 1/z)
> für |z| > 1
> -----
> (B/3)*(1 + z/3) ergibt .... in z/3 für |z| < 3
> -----
> (B/z)*1/(1 + 3/z) ergibt ... in 3/z für |z| > 3
> -----
> Dann Taylor- und Laurent-Reihen geeignet kombinieren ...
Ich verstehe deine Vorgehensweise nicht. Die Partialbruchzerlegung bekomme
ich noch hin, aber den Rest verstehe ich ueberhaupt nicht!
Siegfried Neubert
[...]
Dabei fällt mir noch etwas ein
- im Sinne meiner ersten Einlassung,
daß die Funktionentheorie antworten gibt zu Konvergenzradien:
Der Entwicklungspunkt -2i hat einen Abstand |.| größer 1 von den
"Unendlichkeitsstellen" f(1) und f(-3),
warum sollte G_4 nur "in einem Kreis" mit Radius 1 um -2i konvergieren
- oder ist hier nicht "genau" nur dieser Kreis gemeint,
d.h. der Radius könnte auch größer sein!?
Siggi
Hermann Kremer
Au wei ...
Eine geometrische Reihe 1 + (z/a) + (z/a)^2 + ... + (z/a)^k + ...
konvergiert für |z/a| < 1 , d.h. für |z| < |a| , d.h. innerhalb des Kreises
mit Radius |a| , zur Funktion
f(z) = 1/(1 - z/a) = a/(a - z) .
Eine solche Reihe (mit positiven Potenzen von z) heißt Taylor-Reihe.
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Taylor.html
-------
Eine geometrische Reihe 1 + (a/z) + (a/z)^2 + ... + (a/z)^k + ....
konvergiert für |a/z| < 1 , d.h. für |z| > |a| , d.h. außerhalb des Kreises
mit Radius |a| , zur Funktion
g(z) = 1/(1 - a/z) = z/(z - a) .
Eine solche Reihe (mit negativen Potenzen von z) heißt Laurent-Reihe.
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Laurent_Pierre.html
-------
Wenn man das umkehrt, dann sieht man, daß man die Funktion
1/(z - c)
entweder in die Form
f(z) = -1/(c - z) = (-1/c) / (1 - z/c)
bringen und damit in eine Taylor-Reihe entwickeln kann, die für
|z| < |c| konvergiert ,
oder in die Form
g(z) = (1/z) / (1 - c/z)
bringen und damit in eine mit (1/z) multiplizierte Laurent-Reihe
entwickeln kann, die für |z| > |c| konvergiert.
Und jetzt hat man für eine Funktion h(z) = A*f(z) + B*g(z) insgesamt
vier Möglichkeiten, wie man die Taylor- oder Laurent-Reihe für f(z)
mit der Taylor- oder Laurent-Reihe für g(z) kombinieren kann ... und
jede der vier Kombinationen hat sein eigenes Konvergenzgebiet ...
Grüße
Hermann
--
Hermann Kremer
>Hermann Kremer wrote:
>> Marc Mueller schrieb in Nachricht ...
>>>"Hermann Kremer" <hermann...@onlinehome.de> schrieb im Newsbeitrag
>>>news:ch7ncs$j51$1...@online.de...
>>>> Siegfried Neubert schrieb in Nachricht
>>>> <news:2pp0f9F...@uni-berlin.de>...
>>>>>Marc Mueller wrote:
>Hallo Marc
>(,hallo Hermann),
>
>schlaft ihr auch mal?
Ich schon ;-)
Ob allerdings Marc vor lauter Üben der geometrischen Reihen zum
Schlafen kommt, muß er selber sagen ;-)
>... aber mich würde mal die Laurententwicklung
>von 1/sin(Pi*z) oder auch 1/sin(Pi/z)
>für einen bel. Entwicklungspunkt z0 aus IR interessieren
Mich auch ... Der naheliegende Ansatz Taylor(f(z)) * Laurent() = 1
und Koeffizientenbestimmung der Laurent-Reihe mittels Cauchy-
Produkten scheint leider nicht zu funktionieren ... und Residuensatz -
nö, danke ...
Mal sehen, ob ich irgendwo was finde ...
--------------------
>Siegfried Neubert schrieb in Nachricht <news:2pqpshF...@uni-berlin.de>...
[ ... ]
>Der Entwicklungspunkt -2i hat einen Abstand |.| größer 1 von den
>"Unendlichkeitsstellen" f(1) und f(-3),
>warum sollte G_4 nur "in einem Kreis" mit Radius 1 um -2i konvergieren
>- oder ist hier nicht "genau" nur dieser Kreis gemeint,
>d.h. der Radius könnte auch größer sein!?
Offensichtlich. Es ist r = min(|1+2*i|, |-3+2*i|) = sqrt(5) . Vielleicht steht ja 1
in der Aufgabe, weil sqrt(5) irrational ist ;-)
Grüße
Hermann
--
>Siggi
Marc Mueller
vielen Dank fuer deine Hilfe. Kannst du mir das jetzt noch konkret an meinem
genannten Beispiel demonstrieren?
Gruss,
Marc
Hendrik van Hees
> Ich schon ;-)
> Ob allerdings Marc vor lauter Üben der geometrischen Reihen zum
> Schlafen kommt, muß er selber sagen ;-)
Die geometrische Reihe ist zwar für die Anwendungen äußerst wichtig
(besonders in der Operatorversion, wo sie als von-Neumannreihe bekannt
ist, aber mathematisch gibt sie doch so viel wohl nicht her oder?
Historisch vielleicht schon (ich triggere immer wieder gerne Deine
(also Hermanns) interessante Linkpostings, nur frage ich mich, hast Du
diese Links irgendwo gesammelt und ins Netz gestellt?).
--
Hendrik van Hees Cyclotron Institute
Phone: +1 979/845-1411 Texas A&M University
Fax: +1 979/845-1899 Cyclotron Institute, MS-3366
http://theory.gsi.de/~vanhees/ College Station, TX 77843-3366
Rainer Rosenthal
"Hendrik van Hees" schrieb
> nur frage ich mich, hast Du diese Links irgendwo
> gesammelt und ins Netz gestellt?).
Und was antwortest Du Dir?
Also mir gefällt es so prächtig:
Jeder Link
ein Geschink
Lieber ein hübsch eingepacktes Päckle auf dem Geburtstags-
tisch als freie Auswahl im Warenhaus.
(Never change a running system.)
Gruss an Dich und natürlich an Hermann
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
Siegfried Neubert
>>>Entwickeln Sie die Funktion f, f(z) = 1/((z-1)*(z+3)) jeweils in eine
>>>Taylor- bzw. Laurentreihe um z_0, die in den folgenden Gebieten
>>>konvergiert:
>>> a) G_1 := {z ? C mit |z| < 1}, z_0 = 0
>>> b) G_2 := {z ? C mit 1 < |z| < 3}, z_0 = 0
>>> c) G_3 := {z ? C mit |z| > 3}, z_0 = 0
>>> d) G_4 := {z ? C mit |z+2i| < 1}, z_0 = -2i
>>
>>
>> OK, für a) bis c) brauchst Du nur mein Beispiel sinngemäß abzuändern:
>> -----
>> f(z) in Partialbrüche zerlegen: f(z) := A/(z-1) + B/(z+3) .
>> -----
[...]
>> -----
>> Dann Taylor- und Laurent-Reihen geeignet kombinieren ...
>
> Ich verstehe deine Vorgehensweise nicht. Die Partialbruchzerlegung bekomme
> ich noch hin, aber den Rest verstehe ich ueberhaupt nicht!
Also Marc, ich finde, wie soll Hermann Dir den noch helfen, ohne die Aufgabe
für Dich zu lösen!?
Um Ausdrücke der Form f(z) = 1/((z-1)*(z+3)) in Potenzreihen zu entwickeln
bietet sich die Ähnlichkeit mit dem Grenzwert der geom. Summe (geom. Reihe)
an.
Man erhält hier (einfache Null- bzw. Polstellen):
f(z) = 1/((z-1)*(z+3)) = 1/4*( 1/(z-1) + 1/(z+3) ) = ...
... = 1/4*( - 1/(1-z) + 1/3* 1/(1+z/3) )
Es gilt 1 +q +q^2 +q^3 +... = 1/(1-q) für |q|<1, analog für -q,
und damit zu a) mit nur pos. Exponenten also:
f(z)= 1/4*(-(1 +z +z^2 +z^3 +...) +1/3*( 1 -(z/3) +(z/3)^2 -(z/3)^3 +...))
wenn |z|<1 und |z/3|<1, also sicher |z|<1
Es gilt aber auch (durch weitere Umformung):
f(z) = ... = 1/4*( - 1/(1-z) + 1/3* 1/(1+z/3) ) = ...
... = 1/4*( 1/z* 1/(1-(1/z)) + 1/z*(1/(1+(3/z)))) = ...
... = 1/4*( 1/z*(1 +(1/z) +(1/z)^2 +...) + 1/z*(1 -(3/z) +(3/z)^2 -...))=...
... = 1/4*( 1/z +(1/z)^2 +(1/z)^3 +... + 1/z -3(1/z)^2 +9(1/z)^2 -...)
wenn |1/z|<1 und |3/z|<1 oder 1<|z| und 3<|z|, also sicher |z|>3
Als Ergebnis zu c) mit nur neg. Exponenten.
Wenn man nun die Umformungen von 1/(z-1) und 1/(z+3) "geeignet mischt",
erhält man b), mit pos. und neg. Exponenten von (1/z).
Das solltest Du nun hinkriegen!
Und zu d) möchte ich nichts weiter mehr sagen, wohl aber allgemein:
Meine Meinung Marc ist,
entweder fehlen Dir die Voraussetzungen(*) solche Aufgaben zu lösen,
weil Du sie (*) möglicherweise schon wieder vergessen hast,
oder diese Aufgaben werden für Dich zu schwer (zu früh) gestellt!
Es gibt allerdings auch noch eine Möglichkeit
- und ich meine _auch Indizien dafür_, aus den letzten Threads -,
daß Du versuchst uns Deinen "Übungsaufgaben" rechnen zu lassen.
Das hielte ich dann für verwerflich!
Eher üblich - beim nicht weiter Wissen - ist es hier auch mit anzugeben,
wie weit (und mit welchen Versuchen) man den selbst gekommen ist,
das vermisse ich hier bei Dir etwas,
statt dessen "weinst" Du i. allg. herum
"... aber den Rest verstehe ich ueberhaupt nicht! ..."!?
Ich bin mir nicht (mehr) sicher, ob Du die Partialbruchzerlegung (i.allg.)
den überhaupt hinbekommst.
Hilfe zur Selbsthilfe, ja, aber benutze uns bitte nicht Deine Aufgabe für
Dich zu lösen, so daß Du sie nur noch abschreiben brauchst.
Na ja, der Eine braucht mehr der Andere weniger Anstoß - wo ist die Grenze,
wenn man den Leuten beim selber Lernen etwas helfen will!?
Ich bin bei diesen Zeilen ja auch nicht sicher, daß es Ausnutzung ist,
sonst hätte ich die Zeilen oben schon weggelassen!
Du hast ja nun die Möglichkeit zu antworten, bitte tu's!
Gruß Siggi
PS.:
Und, nur falls keine Antwort von Dir kommt:
> >Hallo Hermann,
> >vielen Dank fuer deine Hilfe. Kannst du mir das jetzt noch konkret an
> > meinem genannten Beispiel demonstrieren?
> >Gruss,
> >Marc
finde ich persönlich schon etwas sehr dusselig oder aber dummdreist!
Thomas Peters
> Die geometrische Reihe ist zwar für die Anwendungen äußerst wichtig
> (besonders in der Operatorversion, wo sie als von-Neumannreihe bekannt
> ist, aber mathematisch gibt sie doch so viel wohl nicht her oder?
Naja, bei Beweisen ist sie ganz praktisch. Schau allein mal nach, wie
viele Konvergenzkriterien letztendlich auf die Abschätzung durch
eine geometrische Reihe hinauslaufen.
--
Thomas Peters
Siegfried Neubert
> Marc Mueller wrote:
>
>>>>Entwickeln Sie die Funktion f, f(z) = 1/((z-1)*(z+3)) jeweils in eine
>>>>Taylor- bzw. Laurentreihe um z_0, die in den folgenden Gebieten
>>>>konvergiert:
[...]
>>> Dann Taylor- und Laurent-Reihen geeignet kombinieren ...
>>
>> Ich verstehe deine Vorgehensweise nicht. Die Partialbruchzerlegung
>> bekomme ich noch hin, aber den Rest verstehe ich ueberhaupt nicht!
>
> Also Marc, ich finde, wie soll Hermann Dir den noch helfen, ohne die
> Aufgabe für Dich zu lösen!?
>
[...]
>
> Man erhält hier (einfache Null- bzw. Polstellen):
>
> f(z) = 1/((z-1)*(z+3)) = 1/4*( 1/(z-1) + 1/(z+3) ) = ...
Nein, es war kein Test ob Marc - oder wer auch immer - es merkt!
Ich habe mich vertan - mea maxima culpa! Es muß natürlich heißen:
f(z) = 1/((z-1)*(z+3)) = 1/4*( 1/(z-1) - 1/(z+3) ) = ...
(Oh, wie ist mir das wieder peinlich,
und hier erst - in diesem Zusammenhang (s.u.)!)
> ... = 1/4*( - 1/(1-z) + 1/3* 1/(1+z/3) )
... = -1/4*( 1/(1-z) + 1/3* 1/(1+z/3) )
[...]
> und damit zu a) mit nur pos. Exponenten also:
>
> f(z)= 1/4*(-(1 +z +z^2 +z^3 +...) +1/3*( 1 -(z/3) +(z/3)^2 -(z/3)^3 +...))
f(z)= -1/4*( 1 +z +z^2 +z^3 +... +1/3*( 1 -(z/3) +(z/3)^2 -(z/3)^3 +...))
> wenn |z|<1 und |z/3|<1, also sicher |z|<1
>
> Es gilt aber auch (durch weitere Umformung):
>
> f(z) = ... = 1/4*( - 1/(1-z) + 1/3* 1/(1+z/3) ) = ...
> ... = 1/4*( 1/z* 1/(1-(1/z)) + 1/z*(1/(1+(3/z)))) = ...
> ... = 1/4*( 1/z*(1 +(1/z) +(1/z)^2 +...) + 1/z*(1 -(3/z) +(3/z)^2
> -...))=... ... = 1/4*( 1/z +(1/z)^2 +(1/z)^3 +... + 1/z -3(1/z)^2 +...
f(z) = ... = -1/4*( 1/(1-z) + 1/3* 1/(1+z/3) ) = ...
... = 1/4*( 1/z* 1/(1-(1/z)) - 1/z*(1/(1+(3/z)))) = ...
... = 1/4*( 1/z*(1 +(1/z) +(1/z)^2 +...) - 1/z*(1 +(3/z) -(3/z)^2 +...))=...
... = 1/4*( 1/z +(1/z)^2 +(1/z)^3 +... - 1/z +3(1/z)^2 -9(1/z)^3 -...)
Na ja, und dann kann man (hier und ggf. oben) noch die Terme zusammen
fassen:
... = 1/4*( 4(1/z)^2 -8(1/z)^3 + 28(1/z)^4 - ... ) = ...
... = (1/z)^2 - 2(1/z)^3 +7(1/z)^4 - 20(1/z)^5 + ...
(Mit ganzzahligen Koeffizienten, wie ggf. als Übung noch zu zeigen wäre!)
> wenn |1/z|<1 und |3/z|<1 oder 1<|z| und 3<|z|, also sicher
> |z|>3 Als Ergebnis zu c) mit nur neg. Exponenten.
>
[...]
Ich hoffe Marc, ich habe Dich nicht (zusätzlich) verwirrt
und gönne Dir ggf. auch ein breites Grinsen,
aber ich stehe sonst zu dem schon geschriebenen!
>
> Meine Meinung Marc ist,
> entweder fehlen Dir die Voraussetzungen(*) solche Aufgaben zu lösen,
> weil Du sie (*) möglicherweise schon wieder vergessen hast,
> oder diese Aufgaben werden für Dich zu schwer (zu früh) gestellt!
>
> Es gibt allerdings auch noch eine Möglichkeit
> - und ich meine _auch Indizien dafür_, aus den letzten Threads -,
> daß Du versuchst uns Deinen "Übungsaufgaben" rechnen zu lassen.
> Das hielte ich dann für verwerflich!
>
> Eher üblich - beim nicht weiter Wissen - ist es hier auch mit anzugeben,
> wie weit (und mit welchen Versuchen) man den selbst gekommen ist,
> das vermisse ich hier bei Dir etwas,
> statt dessen "weinst" Du i. allg. herum
> "... aber den Rest verstehe ich ueberhaupt nicht! ..."!?
>
> Ich bin mir nicht (mehr) sicher, ob Du die Partialbruchzerlegung (i.allg.)
> den überhaupt hinbekommst.
(Und hier muß ich nun selber schmunzeln
- aber das ist evntl. mein skurriler Humor!)
>
> Hilfe zur Selbsthilfe, ja, aber benutze uns bitte nicht Deine Aufgabe für
> Dich zu lösen, so daß Du sie nur noch abschreiben brauchst.
> Na ja, der Eine braucht mehr der Andere weniger Anstoß - wo ist die
> Grenze, wenn man den Leuten beim selber Lernen etwas helfen will!?
> Ich bin bei diesen Zeilen ja auch nicht sicher, daß es Ausnutzung ist,
> sonst hätte ich die Zeilen oben schon weggelassen!
>
> Du hast ja nun die Möglichkeit zu antworten, bitte tu's!
Immer noch möglich!
Gruß Siggi
>
> Gruß Siggi
Hermann Kremer
>Marc Mueller wrote:
======================================
Anmerkungen zu Deinem vorigen Posting am Ende
======================================
>>>>Entwickeln Sie die Funktion f, f(z) = 1/((z-1)*(z+3)) jeweils in eine
>>>>Taylor- bzw. Laurentreihe um z_0, die in den folgenden Gebieten
>>>>konvergiert:
>>>> a) G_1 := {z ? C mit |z| < 1}, z_0 = 0
>>>> b) G_2 := {z ? C mit 1 < |z| < 3}, z_0 = 0
>>>> c) G_3 := {z ? C mit |z| > 3}, z_0 = 0
>>>> d) G_4 := {z ? C mit |z+2i| < 1}, z_0 = -2i
>>>
>>> OK, für a) bis c) brauchst Du nur mein Beispiel sinngemäß abzuändern:
>>> -----
>>> f(z) in Partialbrüche zerlegen: f(z) := A/(z-1) + B/(z+3) .
>>> -----
> [...]
>>> -----
>>> Dann Taylor- und Laurent-Reihen geeignet kombinieren ...
>>
>> Ich verstehe deine Vorgehensweise nicht. Die Partialbruchzerlegung bekomme
>> ich noch hin, aber den Rest verstehe ich ueberhaupt nicht!
>
>Also Marc, ich finde, wie soll Hermann Dir den noch helfen, ohne die Aufgabe
>für Dich zu lösen!?
Hmm, ja ... finde ich irgendwie auch ...
>Um Ausdrücke der Form f(z) = 1/((z-1)*(z+3)) in Potenzreihen zu entwickeln
>bietet sich die Ähnlichkeit mit dem Grenzwert der geom. Summe (geom. Reihe)
>an.
[ ... Lösung gesnippt ... ]
>Wenn man nun die Umformungen von 1/(z-1) und 1/(z+3) "geeignet mischt",
>erhält man b), mit pos. und neg. Exponenten von (1/z).
>Das solltest Du nun hinkriegen!
Ja, meine ich auch ... Marc, bitte rechne Siggis Rechnung *genau* und
*Schritt für Schritt* nach ...
>Und zu d) möchte ich nichts weiter mehr sagen, wohl aber allgemein:
OK, mehr als z + a = (z - z0) + (a - z0) sage ich momentan auch nicht ...
>Meine Meinung Marc ist,
>entweder fehlen Dir die Voraussetzungen(*) solche Aufgaben zu lösen,
>weil Du sie (*) möglicherweise schon wieder vergessen hast,
>oder diese Aufgaben werden für Dich zu schwer (zu früh) gestellt!
(*) Marc, was weißt Du (noch) über unendliche Reihen? Weißt Du *präzise*,
was Konvergenz bedeutet? Kennst Du Kovergenzkriterien?
>Es gibt allerdings auch noch eine Möglichkeit
>- und ich meine _auch Indizien dafür_ aus den letzten Threads,
>daß Du versuchst uns Deinen "Übungsaufgaben" rechnen zu lassen.
>Das hielte ich dann für verwerflich!
D'accord ...
>Eher üblich - beim nicht weiter Wissen - ist es hier auch mit anzugeben,
>wie weit (und mit welchen Versuchen) man den selbst gekommen ist,
>das vermisse ich hier bei Dir etwas, statt dessen "weinst" Du i. allg.
>herum
> "... aber den Rest verstehe ich ueberhaupt nicht! ..."!?
D'accord. Marc, wir können nur raten, *was* Du *wo* nicht verstanden hast ...
bitte etwas präziser ...
[ ... ]
>Du hast ja nun die Möglichkeit zu antworten, bitte tu's!
Yep.
>Gruß Siggi
>PS.:
>Und, nur falls keine Antwort von Dir kommt:
>> >Hallo Hermann,
>> >vielen Dank fuer deine Hilfe. Kannst du mir das jetzt noch konkret an
>> > meinem genannten Beispiel demonstrieren?
>> >Gruss,
>> >Marc
>finde ich persönlich schon etwas sehr dusselig oder aber dummdreist!
OK, diese Demonstartion werde ich *definitiv* nicht machen ...
========================================================
Bzgl. der Entwicklung der Cosecansfunktion csc(pi*z) = 1/sin(pi*z) um
einen beliebigen Punkt z0 \in R habe ich leider bisher nichts gefunden
(auch nicht im Whittaker-Watson ...).
Ich vermute, Du hast es auf die Identität
1/sin(pi*z) = pi / ( GAMMA(z) * GAMMA(1 - z) )
abgesehen.
Für den Cosecans gibt es die hübsche Partialbruchentwicklung
1/sin(pi*z) = 1/(pi*z) + (2*z/pi) * Sum{k=1..oo} (-1)^k/(z^2 - k^2) ,
und es gibt auch Entwicklungen in hypergeometrische Funktonen, z.B.:
1/sin(z) = (1/z) * F(1/2, 1/2; 3/2; sin^2(z)) ,
wobei F(...) die Gauß'sche hypergeometrische Funktion
F(a, b; c; w) = 1 + Sum{k=1..oo} [a;k]*[b;k]/[c;k] * w^k/k!
Konvergenz für |w| < 1
ist und [a;k] das (aufsteigende) Pochhammer-Symbol
[a;0] = 1 , [a;k] = a*(a+1)*...*(a+k-1)
bedeutet; damit erhält man
1/sin(z) = (1/z)*[1 + (1/6)*sin^2(z)/1! + (3/20)*sin^4(z)/2! + (15/56)*sin^6(z)/6! +
...]
und nach Taylor-Entwicklung der Sinus-Potenzen und Zusammenfassen:
1/sin(z) = (1/z)*[1 + (1/6)*z + (7/360)*z^3 + (31/15120)*z^5 + ...] =
= 1/z + 2*Sum{k=1..oo} (2^(2k-1) - 1)*|B_2k|/(2k)! * z^(2k-1) ,
wobei B_2k die Bernoulli-Zahlen sind
B_2 = 1/6, B_4 = -1/30, B_6 = 1/42, B_8 = -1/30, ...
( ... und der Bernoulli-Bug hier irrelevant ist, da B_1 nicht vorkommt ...;-))
Mehr Formeln in
http://functions.wolfram.com/ElementaryFunctions/Csc/
Grüße
Hermann
--
Rainer Rosenthal
"Hermann Kremer" schrieb
> OK, mehr als z + a = (z - z0) + (a - z0)
> sage ich momentan auch nicht ...
Das ist aber eine komplizierte Darstellung für z0 = 0.
RR
Marc Mueller
der Trick mit der geometrischen Reihe ist nicht schlecht. Man versucht also
die Funktion so umzuformen, dass man die Summenformel der geometrischen
Reihe anwenden kann um die Laurent- bzw. Taylorreihe zu bekommen, ist das
korrekt?
In meinem Skript wird leider ueberhaupt nicht naeher drauf eingegangen, wie
man die beiden Arten von Reihen berechnet. Fuer die Laurentreihe ist
lediglich eine recht komplizierte Formel angegeben, mit der man angeblich
die Koeffizienten der Reihe berechnen kann. Die Umformung auf geometrische
Reihen sieht aber viel freundlicher aus! :)
Da ich mich zur Zeit auf eine Mathe-Klausur vorbereite und ich vermute, dass
Laurent- und Taylorreihen drankommen, hate ich die Frage gestellt, ob mir
jemand die Reihenberechnung anhand der Beispielaufgabe demonstrieren kann.
Es geht mir also nicht darum, eine Uebungsaufgabe loesen zu lassen, sondern
um mal einen kompletten Loesungsweg gesehen zu haben und darauf aufbauend
weitere Uebungsaufgaben eigenstaendig loesen zu koennen.
Viele Gruesse,
Marc
"Siegfried Neubert" <neu...@Hansenet.de> schrieb im Newsbeitrag
news:2puc2hF...@uni-berlin.de...
Hermann Kremer
UPPS ... heute ist der Tatzelwurm (*) drin :--)
Siegfried vertut sich mit einem Vorzeichen ...
Hermann vertut sich mit einem Vorzeichen ...
z + a = (z - z0) + (a + z0)
(*) http://www.emmet.de/por_tatz.htm
*gg* Grüße
Hermann
--
>RR
Rainer Rosenthal
"Hermann Kremer" schrieb
>
> UPPS ... heute ist der Tatzelwurm (*) drin :--)
> Siegfried vertut sich mit einem Vorzeichen ...
> Hermann vertut sich mit einem Vorzeichen ...
> z + a = (z - z0) + (a + z0)
>
> (*) http://www.emmet.de/por_tatz.htm
Wieder ein schöner Lenk, danke!
Allerdings suchen wir doch eher nach einem Tastelwurm, oder?
Gruss,
Rainer
Siegfried Neubert
> Hallo Siggi und Hermann,
> der Trick mit der geometrischen Reihe ist nicht schlecht. Man versucht
> also die Funktion so umzuformen, dass man die Summenformel der
> geometrischen Reihe anwenden kann um die Laurent- bzw. Taylorreihe zu
> bekommen, ist das korrekt?
Ja, bei dieser Form von f(z) geht das.
> In meinem Skript wird leider ueberhaupt nicht naeher drauf eingegangen,
> wie man die beiden Arten von Reihen berechnet. Fuer die Laurentreihe ist
> lediglich eine recht komplizierte Formel angegeben, mit der man angeblich
> die Koeffizienten der Reihe berechnen kann.
Hermann schrieb dazu ja schon
"...
OK, wenn man weiß, daß eine Funktion f(z) im Innern eines Kreisrings um
den Punkt z0 mit Innenradius a und Außenradius b , d.h. im Gebiet
a < |z-z0| < b von C, analytisch ist, dann kann man sie immer in eine
Potenzreihe
f(z) = ... c[-2]z^(-2) + c[-1]*z^(-1) + c[0] + c[1]*z^1 + c[2]*z^2 + ...
entwickeln, wobei die Taylor-Teilreihe (positive Potenzen) im Gebiet
|z-z0| < b und die Laurent-Teilreihe (negative Potenzen) im Gebiet
|z-z0| > a konvergiert. Die Koeffizienten c[k] sind dabei durch die
Umlaufintegrale
c[k] = 1/(2*pi*i) * Integral{über K) f(z)/(z - z0)^(k+1) dz ,
k = 0, +-1, +-2, ...
bestimmt, wobei K eine beliebige geschlossene Kurve ist, die ganz
im Innern des Kreisrings liegt.
..."
Hattest Du das mal angesehen, ggf. geht's auch mal nicht anders!
> Die Umformung auf geometrische
> Reihen sieht aber viel freundlicher aus! :)
Das ist wohl wahr, darum tut man's!
> Da ich mich zur Zeit auf eine Mathe-Klausur vorbereite und ich vermute,
> dass Laurent- und Taylorreihen drankommen, hate ich die Frage gestellt, ob
> mir jemand die Reihenberechnung anhand der Beispielaufgabe demonstrieren
> kann.
Für was, Fachschule, Fachhochschule - ach nein, die heißen ja heute
Hochschule für angewandte Wissenschaft -, oder Uni/TU.
Und welche (Eingangs-)Voraussetzungen braucht man denn dafür
und was ist an Unterricht dazu vorher gelaufen?
Mehr als im Skript steht!?
Ich glaube Du wirst es nicht leicht haben, drücke Dir aber die Daumen.
Üben, üben, üben
und nicht den Einzelfall auswendig lernen,
sondern Strukturen erkennen - das Prinzip.
Viele mathematische Problemstellungen werden auch dadurch gelöst,
daß man sie auf Bekanntes zurück führt.
Nur das Bekannte sollte dann eben auch bekannt sein!
> Es geht mir also nicht darum, eine Uebungsaufgabe loesen zu lassen,
> sondern um mal einen kompletten Loesungsweg gesehen zu haben und darauf
> aufbauend weitere Uebungsaufgaben eigenstaendig loesen zu koennen.
Es ist natürlich Dein "Bier" wie Du meinst Dir etwas zu erarbeiten,
aber eben auch "selbst erarbeiten" und
dazu wäre es ggf. hilfreich sich mit vorgestellten Problemanalogien
hinzusetzen, sie - also das Prinzip - zu verstehen und dann damit
einen kompletten Lösungsweg selbst zu begehen.
Davon hattest Du nicht zuviel aus dem "Angebot" angenommen, aber ...
So, Schluß für heute und zu Dir, wenn Du von mir noch etwas willst,
dann erinnere Dich meiner (unserer) letzten Beiträge
und qualifiziere Deine Fragestellungen deutlich besser
(mit Eigenleistungen!).
Ansonsten toi, toi, toi!
Siggi
>
> Viele Gruesse,
> Marc