Bodo Langer schrieb:
> Hallo zusammen,
>
> eine - eigentlich interessante - Übungsaufgabe bringt mich an meine
> Grenzen.
>
> Hier die Aufgabenstellung:
>
> Geben Sie für die folgende lineare Abbildung die Matrixdarstellung der
> kanonischen Basis, das Bild und den Kern an.
>
> R³ -> R³
>
> f(x,y,z) = (x+2y, y-z, x+2z)
>
> Lösung: Bilder der Basisvektoren: f(1,0,0) = (1.0,1)
Schreib(?)fehler:
f(1,0,0) = (1,0,1)
Also (1,0,1) statt (1.0,1).
> f(0,1,0) = (2,1,0)
> f(0,0,1) = (0,-1,2)
>
> Matrizendarstellung des Bildes der Basisvektoren:
>
> ( 1 2 0 )
> A = ( 0 1 -1)
> ( 1 2 0 )
Die letzte Zeile stimmt nicht, da sind zwei Matrixelemente vertauscht.
Richtig ist
( 1 2 0 )
A = ( 0 1 -1)
( 1 0 2 )
> Das ist im Prinzip soweit klar. Bei der Bestimmung des Bildes habe ich
> Verständnisprobleme:
>
> Bestimmung des Bildes: (1 2 0 ) (Ł1 ) ( 0 ) (Ł = lambda)
> (0 1 -1) (Ł2 ) = ( 0 )
> (1 2 0) (ł3 ) ( 0 )
Bei mir ist die Formatierung vermurkst und zudem die Matrix A noch (in
der letzten Zeile) falsch, aber ich vermute, du meinst
(1 2 0 ) (Ł1 ) ( 0 ) (Ł = lambda)
(0 1 -1) (Ł2 ) = ( 0 )
(1 0 2) (ł3 ) ( 0 )
Damit bestimmst du allerdings den Kern der linearen Abbildung, nicht das
Bild.
> L = {(Ł1,Ł2, Ł3) €R³ : (-2Ł3,Ł3,Ł3)} (L = lineare Hülle)
Das stimmt allerdings wieder; mit der (in der letzten Zeile)
berichtigten Matrix A kommt das so raus.
> Die gegeben 3 Vektoren sind linear abhängig! Es gilt:
Ja, natürlich. Das hat damit zu tun, daß die Matrix A nicht vollen Rang
hat / singulär ist / einen nicht-trivialen Kern hat.
> Bild(f) = L{(1,2,0), (0,1,-1)} (Ebene in R³)
> dim (Bild(f)) = 2.
Ja, ja. Die Matrix A bzw. die zugrundeliegende lineare Abbildung ist
insofern "besonders", daß das Bild von f *nicht* der komplette R³ ist
und *nicht* dim(Bild(f))=3 gilt.
> Frage(n): Mich wundert, daß der Autor dieser Aufgabe bei Bestimmung des
> Bildes mit dem lambda-Vektor multipliziert und alles gleich null setzt.?
> Wird so nicht der Kern bestimmt?
So wird der Kern bestimmt bzw. so ist er definiert.
> Wie kommt er auf die beiden Spannvektoren (1,2,0) und (0,1,-1)?
> Hat das etwas damit zu tun, daß dies die beiden ersten Zeilen der Matrix
> A sind, oder ist das Zufall?
Es hat damit zu tun. Wobei man normalerweise die Spalten von A nehmen
sollte, *nicht* die Zeilen. Man spricht ja statt dem Bild von f auch vom
Spaltenraum R(A) der zugrundeliegenden Matrix.
> Das die Dimension des Bildes 2 ist, ist irgendwo klar. Die Matrix A hat
> auch nur den Rang 2, wenn man sie mit Gauß umformt.
Ja. Die Dimension des Bildes ist immer identisch mit dem Rang von A.
--
> Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.
gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)