Aufgabe lineare Abbildungen; komme nicht weiter

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Bodo Langer

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Jul 12, 2021, 12:58:07 PMJul 12
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Hallo zusammen,

eine - eigentlich interessante - Übungsaufgabe bringt mich an meine Grenzen.

Hier die Aufgabenstellung:

Geben Sie für die folgende lineare Abbildung die Matrixdarstellung der
kanonischen Basis, das Bild und den Kern an.

R³ -> R³

f(x,y,z) = (x+2y, y-z, x+2z)

Lösung: Bilder der Basisvektoren: f(1,0,0) = (1.0,1)
f(0,1,0) = (2,1,0)
f(0,0,1) = (0,-1,2)

Matrizendarstellung des Bildes der Basisvektoren:

( 1 2 0 )
A = ( 0 1 -1)
( 1 2 0 )

Das ist im Prinzip soweit klar. Bei der Bestimmung des Bildes habe ich
Verständnisprobleme:

Bestimmung des Bildes: (1 2 0 ) (Ł1 ) ( 0 ) (Ł = lambda)
(0 1 -1) (Ł2 ) = ( 0 )
(1 2 0) (ł3 ) ( 0 )

L = {(Ł1,Ł2, Ł3) €R³ : (-2Ł3,Ł3,Ł3)} (L = lineare Hülle)

Die gegeben 3 Vektoren sind linear abhängig! Es gilt:

Bild(f) = L{(1,2,0), (0,1,-1)} (Ebene in R³)
dim (Bild(f)) = 2.

Frage(n): Mich wundert, daß der Autor dieser Aufgabe bei Bestimmung des
Bildes mit dem lambda-Vektor multipliziert und alles gleich null setzt.?
Wird so nicht der Kern bestimmt?

Wie kommt er auf die beiden Spannvektoren (1,2,0) und (0,1,-1)?
Hat das etwas damit zu tun, daß dies die beiden ersten Zeilen der Matrix
A sind, oder ist das Zufall?

Das die Dimension des Bildes 2 ist, ist irgendwo klar. Die Matrix A hat
auch nur den Rang 2, wenn man sie mit Gauß umformt.

Danke im voraus für alle Hinweise.

Martin Vaeth

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Jul 12, 2021, 2:00:40 PMJul 12
to
Bodo Langer <bodo_l@¬¬¬½½½t-online.de> wrote:
> Hallo zusammen,
>
> eine - eigentlich interessante - Übungsaufgabe bringt mich an meine Grenzen.
>
> Hier die Aufgabenstellung:
>
> Geben Sie für die folgende lineare Abbildung die Matrixdarstellung der
> kanonischen Basis, das Bild und den Kern an.
>
> R³ -> R³
>
> f(x,y,z) = (x+2y, y-z, x+2z)
>
> Lösung: Bilder der Basisvektoren: f(1,0,0) = (1.0,1)
> f(0,1,0) = (2,1,0)
> f(0,0,1) = (0,-1,2)
>
> Matrizendarstellung des Bildes der Basisvektoren:
>
> ( 1 2 0 )
> A = ( 0 1 -1)
> ( 1 2 0 )

Da ist irgendwas falsch: Die dritte Koordinate enthält "+2z".
Also müsste rechts unten eine 2 stehen. Die anderen Einträge habe
ich nicht überprüft.

> Bestimmung des Bildes: (1 2 0 ) (Ł1 ) ( 0 ) (Ł = lambda)
> (0 1 -1) (Ł2 ) = ( 0 )
> (1 2 0) (ł3 ) ( 0 )
> [...]
> Frage(n): Mich wundert, daß der Autor dieser Aufgabe bei Bestimmung des
> Bildes mit dem lambda-Vektor multipliziert und alles gleich null setzt.?

Er überprüft so, ob die Bilder der drei Einheitsvektoren linear unabhängig
sind, und stellt fest, dass sie es nicht sind. Also ist das Bild maximal
zweidimensional. Er nimmt nun irgenwelche zwei Vektoren aus dem Bild
und stellt fest, dass diese linear unabhängig sind (das "sieht" man ohne
Rechnung). Diese spannen dann folglich das Bild auf.

> Wie kommt er auf die beiden Spannvektoren (1,2,0) und (0,1,-1)?

Willkürlich gewählte Vektoren aus dem Bild. Der Einfachheit halber wurden
die Bilder der ersten beiden Einheitsvektoren gewählt.

Jens Kallup

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Jul 12, 2021, 6:08:57 PMJul 12
to
Am 12.07.2021 um 18:58 schrieb Bodo Langer:
>  Hallo zusammen,

Hallo Bodo,

als erstes: Matrizen und Vektoren sind zwei unterschiedliche,
zusammen hängende mathematische Sachen.
In vielen Büchern werden wegen Platzmangel bzw. Platzersparnis
Vektoren nebeneinander geschrieben.
Weil jeder Mathematiklehrer weiß, das f(x) = y ist, also in der
Sicht von f(x) die Werte nicht an der X-Achse des Koordinaten-systems
angebracht bzw. abgelesen werden, sondern in/auf der
Form der Y-Achse beschrieben werden.

Dann würde Dein Vektor nicht so: f(x,y,z)
sondern so:

|f()| Term
+---+--------
| x | x +2y
| y | y - z
| z | x + z

hieraus kannst Du nun schon folgendes erkennen:
- der Punkt_1 (ich nehme mal als Beispiel: x = 1) liegt
im 3D - Raum - also erstmal streng genommen im 2D - Raum:
auf den Koordinaten:
P_1(1x;2y).

das bedeutet: 1 Schritte nach rechts, und 2 Schritte nach oben.
anders ausgedrückt: Die Position von P_1 liegt bei P_1 := 2,2
oder: P_1(1;2).

- was man an dieser Stelle schon schreiben sollte ist, das wir uns
diesen Punkt samt der Position merken müssen, da er der Ausgangs-
punkt eines anderen ist.

- das gleiche machen wir mal mit f(y'):
da beide Variablen (y und z) gleich groß scheinen (ich gehe mal
davon aus), können wir auch Eins (1) für y und z setzen.
Hierbei solltest Du beachten, das z ein Minuszeichen vorraus
geht, was den positiven (Einser-Wert) negiert, und eine negative
Zahl/Objekt zur Folge hat.
Im Gegensatz zu x und y, die jeweils nur liniear, also auf gleicher
Höhe, gleicher Linie liegen können (2D-Raum), bedeutet das Plus-
oder das Minuszeichen, in welcher Richtung die Betrachtung geht:
ein negatives z bedeutet, das die Ebene des Blickpunktes nach hinten
ausgerichtet wird, während ein positives z die Blickebene nach vorne
bewegt.
Wie ist das zu Verstehen:
- stell Dir vor, Du hast eine Tafel vor Dir hängen, die nur durch
Punkte im 2D-Raum beschrieben werden kann.
Auf dieser Tafel kann alles mögliche geschrieben stehen.
Aber: Du musst jetzt die Tafel als eine Art Wand, eine Ebene
betrachten. Die Wand ist zugleich die Position, der Stand-
punkt der Wand. die Wand/Tafel ist die Koordinate z.
- jetzt bewegst Du Dich von der Wand weiter weg, dann wird dadurch
die Entfernung zwischen der Wand/Tafel und Dir immer größer.
Folgedessen wird z immer größer, also geht in Richtung "positiv".
auf der anderen Seite: wenn Du Dich der Wand näherst, umso kleiner
wird der Abstand zwischen Dir und der Wand.
Folgedessen wird z immer kleiner.
- wenn man sich jetzt noch eine weitere Wand vorstellt, und die
Blick-Wand nach hinten zieht, dann ist bei einen negativen z die
"erdachte" Wand hinter der Blick-Wand.
Im ungünstigsten Fall kannst Du dann die Linie, die du vom P_1
nach P_2(1y;-1z) nicht mehr vollständig sichtbar, da ja auch die
z-Achsen-Komponente eine Einheit ist, und zwischen - 0 + liegen
kann.
- jetzt haben wir also schon zwei Punkte:
P_1(1x;+2y) und P_2(+1y;-1z);

- wie ich oben schon angedeutet habe, entstehen Formen im 3D-Raum
durch Verwendung von 3 Punkten, die zusammen geführt werden.

- also machen wir das mal mit P_1, und P_2:
p_3 = (1x ; 2y + 1y )
= (1x ; 3y) <-- der letzte Punkt, 2y ist zugleich der
nächste x Punkt.
p_4 = (3y ; -1z) <-- 1z = neues x

x führen wir zusammen kehren zurück nach z:
es entsteht ein Bild das aus 3 Punkten (6 Werte), das die Form
hat:

P1 = ( 1; 3)
P2 = ( 3; -1)
P3 = ( 1; -1) <-- der vierte Punkt, ist zugleich der 1. Punkt
d.h. die Figur wird mit dem 3. und 1. Punkt
verbunden.

da man davon ausgehen kann (ich), werden die 3 Punkte, zumindest
der letzte mit den ersten, automatisch verbunden werden, habe ich
folgenden 3D Graph:

x _|
|
2_|
| /
1-| / x
|/ 1
--|--|--|--+--|--|--|-----
-3 -2 -1 /| 2 3
/ |_ x
/ |

wegen den positiven, letzten z, gehe ich mal davon aus, das
hier der Author den positiven Anstieg andeuten wollte.
Ich habe es mir verkniffen, die einzelnen x-Punkte nachzu-
zeichnen - ich bitte um Verständnis.

Es liegt nun also im intresse des jeweiligen selbst,
wie er die Daten zu Papier bringt - entweder als Matrix, oder
mittels Computer in einer grafischen Anwendung.

Mit freundlichen Grüßen, Jens

Andreas Leitgeb

unread,
Jul 12, 2021, 6:50:56 PMJul 12
to
Bodo Langer <bodo_l@¬¬¬½½½t-online.de> wrote:
> Hier die Aufgabenstellung:
> Geben Sie für die folgende lineare Abbildung die Matrixdarstellung der
> kanonischen Basis, das Bild und den Kern an.
> R³ -> R³
> f(x,y,z) = (x+2y, y-z, x+2z)
> Lösung: Bilder der Basisvektoren: f(1,0,0) = (1.0,1)
> f(0,1,0) = (2,1,0)
> f(0,0,1) = (0,-1,2)
> Matrizendarstellung des Bildes der Basisvektoren:
> ( 1 2 0 )
> A = ( 0 1 -1)
> ( 1 2 0 )

( 1 2 0 )
( 0 1 -1 )
( 1 0 2 )

> Frage(n): Mich wundert, daß der Autor dieser Aufgabe bei Bestimmung des
> Bildes mit dem lambda-Vektor multipliziert und alles gleich null setzt.?
> Wird so nicht der Kern bestimmt?

Das schaut definitiv nach Kern-berechnung aus.

> Wie kommt er auf die beiden Spannvektoren (1,2,0) und (0,1,-1)?
> Hat das etwas damit zu tun, daß dies die beiden ersten Zeilen der Matrix
> A sind, oder ist das Zufall?

Ich hätte hier eigentlich die ersten zwei *Spalten* erwartet.
Die dritte Spalte träg nichts weiter dazu bei, weil sie
lediglich zweimal die erste spalte minus die zweite ist.

Juergen Ilse

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Jul 13, 2021, 11:26:21 AMJul 13
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Hallo,

Jens Kallup <kallu...@web.de> wrote:
> als erstes: Matrizen und Vektoren sind zwei unterschiedliche,
> zusammen hängende mathematische Sachen.

Eigentlich sind alle Vektoren auch Matrizen, die Umkehrung gilt aber nicht.
Oder anders ausgedrueckt: Vektoren sind "Spezialfaelle von Matrizen".

Tschuess,
Juergen Ilse (jue...@usenet-verwaltung.de)

Bodo Langer

unread,
Jul 16, 2021, 10:17:14 AMJul 16
to
Am 13.07.21 um 00:50 schrieb Andreas Leitgeb:
Danke für die vielen Hinweise.
Ich denke auch, daß die beiden Spannvektoren willkürlich gewählt wurden.
Meinungen von anderen bringt einen doch ein Stück weiter-

Bodo Langer

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Jul 16, 2021, 10:18:45 AMJul 16
to
Am 12.07.21 um 20:00 schrieb Martin Vaeth:
Sorry für den Fehler.
Werde das das nächste Mal sorgfältiger arbeiten...

Stephan Gerlach

unread,
Jul 16, 2021, 4:31:36 PMJul 16
to
Bodo Langer schrieb:
> Hallo zusammen,
>
> eine - eigentlich interessante - Übungsaufgabe bringt mich an meine
> Grenzen.
>
> Hier die Aufgabenstellung:
>
> Geben Sie für die folgende lineare Abbildung die Matrixdarstellung der
> kanonischen Basis, das Bild und den Kern an.
>
> R³ -> R³
>
> f(x,y,z) = (x+2y, y-z, x+2z)
>
> Lösung: Bilder der Basisvektoren: f(1,0,0) = (1.0,1)

Schreib(?)fehler:
f(1,0,0) = (1,0,1)
Also (1,0,1) statt (1.0,1).

> f(0,1,0) = (2,1,0)
> f(0,0,1) = (0,-1,2)
>
> Matrizendarstellung des Bildes der Basisvektoren:
>
> ( 1 2 0 )
> A = ( 0 1 -1)
> ( 1 2 0 )

Die letzte Zeile stimmt nicht, da sind zwei Matrixelemente vertauscht.
Richtig ist
( 1 2 0 )
A = ( 0 1 -1)
( 1 0 2 )

> Das ist im Prinzip soweit klar. Bei der Bestimmung des Bildes habe ich
> Verständnisprobleme:
>
> Bestimmung des Bildes: (1 2 0 ) (Ł1 ) ( 0 ) (Ł = lambda)
> (0 1 -1) (Ł2 ) = ( 0 )
> (1 2 0) (ł3 ) ( 0 )

Bei mir ist die Formatierung vermurkst und zudem die Matrix A noch (in
der letzten Zeile) falsch, aber ich vermute, du meinst

(1 2 0 ) (Ł1 ) ( 0 ) (Ł = lambda)
(0 1 -1) (Ł2 ) = ( 0 )
(1 0 2) (ł3 ) ( 0 )

Damit bestimmst du allerdings den Kern der linearen Abbildung, nicht das
Bild.

> L = {(Ł1,Ł2, Ł3) €R³ : (-2Ł3,Ł3,Ł3)} (L = lineare Hülle)

Das stimmt allerdings wieder; mit der (in der letzten Zeile)
berichtigten Matrix A kommt das so raus.

> Die gegeben 3 Vektoren sind linear abhängig! Es gilt:

Ja, natürlich. Das hat damit zu tun, daß die Matrix A nicht vollen Rang
hat / singulär ist / einen nicht-trivialen Kern hat.

> Bild(f) = L{(1,2,0), (0,1,-1)} (Ebene in R³)
> dim (Bild(f)) = 2.

Ja, ja. Die Matrix A bzw. die zugrundeliegende lineare Abbildung ist
insofern "besonders", daß das Bild von f *nicht* der komplette R³ ist
und *nicht* dim(Bild(f))=3 gilt.

> Frage(n): Mich wundert, daß der Autor dieser Aufgabe bei Bestimmung des
> Bildes mit dem lambda-Vektor multipliziert und alles gleich null setzt.?
> Wird so nicht der Kern bestimmt?

So wird der Kern bestimmt bzw. so ist er definiert.

> Wie kommt er auf die beiden Spannvektoren (1,2,0) und (0,1,-1)?
> Hat das etwas damit zu tun, daß dies die beiden ersten Zeilen der Matrix
> A sind, oder ist das Zufall?

Es hat damit zu tun. Wobei man normalerweise die Spalten von A nehmen
sollte, *nicht* die Zeilen. Man spricht ja statt dem Bild von f auch vom
Spaltenraum R(A) der zugrundeliegenden Matrix.

> Das die Dimension des Bildes 2 ist, ist irgendwo klar. Die Matrix A hat
> auch nur den Rang 2, wenn man sie mit Gauß umformt.

Ja. Die Dimension des Bildes ist immer identisch mit dem Rang von A.

--
> Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.
gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)
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