Sinusfolge: Überabzählbar unendlich viele Häufungspunkte?
Florian Wittke
ich betrachte die Folge N->R a_n = sin(n). Ist es korrekt das die Folge
überabzählbar unendlich viele Häufungspunkte hat?
Eigentlich einleuchtend oder? Aber irgentwie kommt es mir komisch vor. Mein
Problem ist es für jede Zahl x aus [-1;1] eine Teilfolge von a_n anzugeben
die gegen x konvergiert. Hat jemand einen Beweis oder ein Gegenbeispiel zu
Hand.
Für das bilden der Teilfolge wäre es ja schön wenn man nur die Glieder aus
a_n wählt die sich um 2pi unterscheiden. Nur tuen dies nich besonders viele
Natürliche Zahlen ;-)
viele grüße
florian
Christian Volk
> Hallo zusammen,
>
> ich betrachte die Folge N->R a_n = sin(n). Ist es korrekt das die
> Folge überabzählbar unendlich viele Häufungspunkte hat?
Ja.
> Eigentlich einleuchtend oder? Aber irgentwie kommt es mir komisch
> vor. Mein Problem ist es für jede Zahl x aus [-1;1] eine Teilfolge
> von a_n anzugeben die gegen x konvergiert. Hat jemand einen Beweis
> oder ein Gegenbeispiel zu Hand.
Ich kann dir einen Beweis skizzieren, dass eine solche Teilfolge
existiert.
Konstruieren kann ich dir keine.
Die Skizze verwendet den "Scheisshaufensatz".
Der richtige Name fällt mir leider nicht ein.
Wenn man auf einem Kreis irrationaler Länge hinreichend lange
mit rationaler Schrittlänge läuft, tappt man früher oder später
in einen Scheisshaufen der gegebenen Länge Epsilon hinein.
Wendet man den Satz auf Schrittlänge 1 und Kreislänge 2pi an,
so ergibt sich, dass du beliebig nah an phi (0<=phi<2pi)
hernkommst, kannst also eine Folge bilden, deren Glieder immer
näher an phi liegen. Damit konvergiert die zugehörige Folge
a_n_k gegen sinus(phi).
Den Scheisshaufensatz kann man mit Schubfachprinzip
oder mit einem rekursiven Ansatz beweisen.
Christian
Lukas-Fabian Moser
On Fri, 3 Jan 2003 18:54:50 +0100, "Christian Volk" <Ch....@gmx.de>
wrote:
>Die Skizze verwendet den "Scheisshaufensatz".
>
[...]
>
>Den Scheisshaufensatz kann man mit Schubfachprinzip
>oder mit einem rekursiven Ansatz beweisen.
Also, ich finde, die Vorstellung, daß der Professor in der Vorlesung
in aller der dem Mathematikerklischee entsprechender Staubtrockenheit
an die Tafel schreibt "1.4. Der Satz vom Scheißhaufen", hat durchaus
etwas skurilles. =8-))
Aber im Ernst: wo hast Du denn den Namen her?
Grüße, Lukas
Christian Volk
> Aber im Ernst: wo hast Du denn den Namen her?
Von einem MaWo[TM] (Mathewochenende) hier in NRW.
Der Lehrer hatte das wohl aus nicht ganz so staubtrockener
Literatur. Oder selbst ausgedacht.
Es gibt auch eine trockenere, übliche Bezeichnung des
Satzes. Ist mir aber entfallen.
Außerdem hat die Bezeichnung dazu geführt, dass
ich den Satz nicht vergessen habe.
Das mit dem Reintappen kann man sich so schön merken ;o)
Christian
Andreas A
Ich kann keinen vollständigen Beweis liefern, aber da ich mich gerade
mit ähnlichem beschäftigt habe, kam mir folgende Idee:
Die Existenz eines "Scheißhaufens" x vorausgesetzt, ist folgendes
Verfahren vielleicht aussichtsreich.
abs(sin(n)-x) muss ja nur nahe genug an 0 kommen. Also eine Nullfolge
bilden. Da bietet sich natürlich Intervallschachtelung an. Zunächst
teilt man das Intervall [-1;1] in zwei gleichgroße Teile. Also [-1,0]
und [0,1]. Wenn nun x in dem einen liegt, wiederholt man das. Also
angenommen x liegt in [0,1], dann teilt man dieses Intervall wieder in
zwei gleichgroße Teile, also [0,0.5] und [0.5,1] usw.
Konkret gehe ich bei der Sinusfolge also so vor: Ich überspringe alle
n, die nicht in das gewünschte "Scheisshaus" (Tschuldigung, ich konnt´
das jetzt nicht lassen) fallen. (also da, wo x liegt :-)
Vielleicht hift´s ja.
Andreas