Re: Assoziativität und Transitivität

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Stephan Gerlach

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Aug 24, 2021, 1:45:22 PMAug 24
to
Tom Bola schrieb:
> Juergen Ilse schrieb:
>
>> Hallo,
>>
>> Tom Bola <T...@bolamail.etc> wrote:
>>> Juergen Ilse schrieb:
>>>> Tom Bola <T...@bolamail.etc> wrote:
>>>>> Mal von der Formulierung abgesehen:
>>>>> Haben in Bijektion stehende, d.h. gleichmächtige unendliche Mengen
>>>>> NICHT die gleiche Anzahl von Elementen, also beide beliebig viele?
>>>> Nein, denn der Begriff "gleich viele Elemente" kann fuer unendliche
>>>> Mengen nicht wirklich sinnvoll definiert werden. Das war ja gerade
>>>> der Grund fuer die Einfuehrung des Begriffs "Maechtigkeit".
>>> In meiner Logik haben Mengen die "beliebig viele" Elemente haben
>>> auch gleich viele Elemente.
>> So wie die unendlichen Mengen der natuerlichen Zahlen und der reellen
>> Zahlen (schliesslich sind beide unendlich)?
>>
>> Sorry, aber dieser Seitenhieb aufdeine ausgesprochen unklare Ausdrucks-
>> weise musste jetzt sein.
>
> Ja, die Schreibfaulheit, meistens schrieb ich in Klammern: (im Rahmen
> ihrer aleph-Klasse).

Dafür gibt's bereits den Begriff "die Mengen sind gleichmächtig" statt
"die Mengen haben gleich viele Elemente".

Vermutlich wurde die "neue" Bezeichnung aus dem Grund eingeführt, daß
man nicht "möchte", daß z.B. die Mengen
|N und |N \ {1}
"gleich viele Elemente" haben. Die Bezeichnung "gleich viele Elemente"
kann zugegebenermaßen verwirrend wirken, da in diesem Beispiel eine
Menge eine Teilmenge der anderen ist.


--
> Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.
gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)

Tom Bola

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Aug 24, 2021, 1:56:40 PMAug 24
to
Stephan Gerlach schrieb:
Wieso denn - eine Bijektion klappt doch! (Hilberts Hotel)

> Die Bezeichnung "gleich viele Elemente"
> kann zugegebenermaßen verwirrend wirken, da in diesem Beispiel eine
> Menge eine Teilmenge der anderen ist.

Unendlich ist tatsächlich "verwirrend"...

Stephan Gerlach

unread,
Aug 24, 2021, 5:54:14 PMAug 24
to
Tom Bola schrieb:
Ja, natürlich.
Allerdings könnte man, wenn es um die Frage geht "was bedeutet gleich
viele Elemente", auch mit der Differenzmenge argumentieren:

"|N hat ein Element (nämlich 1), das nicht zu |N\{1} gehört. Also hat
|N\{1} ein Element weniger als |N, also hat |N\{1} weniger Elemente als
|N, also haben |N und |N\{1} nicht gleich viele Elemente."

Das ist natürlich nur eine anschauliche Vorstellung, aber es ist
denkbar, daß manche Leute(?) solche Vorstellungen von "weniger
Elemente", "mehr Elemente", "gleich viele Elemente" haben, wenn eine
Menge eine (echte) Teilmenge einer anderen ist.

Tom Bola

unread,
Aug 24, 2021, 6:14:32 PMAug 24
to
Na klar, ich schrieb ja vor einer Stunde in einer anderen Post das eben
die innere mentale Representation durch alle Leute eine Privatsache
ist, die von vielen Parametern wie Muttersprache, Sozialisation, Bildung
uvam abhängt, während die Axiome von ZF(C) in diesem Fall hier felsenfest
im "absoluten Raum" unberührt von diesen "Interpretationen" ruhen...

Abgesehen von persönlichen Befindlichkeiten (wie kannst du das nur
denken, etc.) ist da keinerlei Problem in Sicht...

Fritz Feldhase

unread,
Aug 24, 2021, 6:30:13 PMAug 24
to
On Wednesday, August 25, 2021 at 12:14:32 AM UTC+2, Tom Bola wrote:

> Abgesehen von persönlichen Befindlichkeiten (wie kannst du das nur denken, etc.) <blubber>

Du scheinst nicht zu kapieren, dass im Kontext der Mathematik definierte Begriffe gibt. So stellt sich z. B. unter einem "Körper" hier nicht einfach jeder irgendetwas Beliebiges vor (also z. B. Elle Macpherson). Auch z. B. die Redewendung "fast alle" hat im Kontext der Analysis eine BESTIMMTE Bedeutung. Die Sprache der Mathematik ist eben, wie wohl alle Sprachen, keine "Privatsache". Du kannst Sie natürlich dazu machen, wirst dann aber das Problem haben, nicht mehr verstanden zu werden bzw. nicht mehr zu verstehen.

So das war's jetzt aber wirklich. Bye.

Fritz Feldhase

unread,
Aug 24, 2021, 6:36:35 PMAug 24
to
On Tuesday, August 24, 2021 at 11:54:14 PM UTC+2, Stephan Gerlach wrote:

> Allerdings könnte man, wenn es um die Frage geht "was bedeutet gleich
> viele Elemente", auch mit der Differenzmenge argumentieren:
>
> "|N hat ein Element (nämlich 1), das nicht zu |N\{1} gehört. Also hat
> |N\{1} ein Element weniger als |N, also hat |N\{1} weniger Elemente als
> |N, also haben |N und |N\{1} nicht gleich viele Elemente."
>
> Das ist natürlich nur eine anschauliche Vorstellung, aber es ist
> denkbar, daß manche Leute(?) solche Vorstellungen von "weniger
> Elemente", "mehr Elemente", "gleich viele Elemente" haben, wenn eine
> Menge eine (echte) Teilmenge einer anderen ist.

So ist es. Daher muss man das natürlich irgendwann/irgendwo mal "festlegen" bzw. "aussprechen", wie man diese Begriffe versteht, wenn man sie verwendet - außer es wird im Rahmen der Verwendung selbst hinreichend klar (bzw. ist "unproblematisch").

Noch "problematischer" wird es, wenn es sich um diskunkte Mengen handelt.

Mückenheim verwendet die oben genannten Begriffe gerne im Rahmen seiner "Erläuterungen" und "Beweise" - natürlich, ohne sich selbst Rechenschaft darüber abzulegen, was er damit eigentlich genau meint. Wie heißt es doch so schön: "Im Dunkeln ist gut munkeln".

Stephan Gerlach

unread,
Aug 25, 2021, 8:30:59 AMAug 25
to
Tom Bola schrieb:
> Stephan Gerlach schrieb:
>
>> Tom Bola schrieb:
>>> Stephan Gerlach schrieb:

[gleichmächtige Mengen]
>>>> Vermutlich wurde die "neue" Bezeichnung aus dem Grund eingeführt, daß
>>>> man nicht "möchte", daß z.B. die Mengen
>>>> |N und |N \ {1}
>>>> "gleich viele Elemente" haben.
>>> Wieso denn - eine Bijektion klappt doch! (Hilberts Hotel)
>> Ja, natürlich.
>> Allerdings könnte man, wenn es um die Frage geht "was bedeutet gleich
>> viele Elemente", auch mit der Differenzmenge argumentieren:
>>
>> "|N hat ein Element (nämlich 1), das nicht zu |N\{1} gehört. Also hat
>> |N\{1} ein Element weniger als |N, also hat |N\{1} weniger Elemente als
>> |N, also haben |N und |N\{1} nicht gleich viele Elemente."
>>
>> Das ist natürlich nur eine anschauliche Vorstellung, aber es ist
>> denkbar, daß manche Leute(?) solche Vorstellungen von "weniger
>> Elemente", "mehr Elemente", "gleich viele Elemente" haben, wenn eine
>> Menge eine (echte) Teilmenge einer anderen ist.
>
> Na klar, ich schrieb ja vor einer Stunde in einer anderen Post das eben
> die innere mentale Representation durch alle Leute eine Privatsache
> ist, die von vielen Parametern wie Muttersprache, Sozialisation, Bildung
> uvam abhängt, während die Axiome von ZF(C) in diesem Fall hier felsenfest
> im "absoluten Raum" unberührt von diesen "Interpretationen" ruhen...

Ja, und in ZF(C) werden meines Wissens Formulierungen wie
"gleich viele Elemente"
"weniger Elemente"
"mehr Elemente"
für unendliche Mengen üblicherweise(?) nicht benutzt.

(Auch, wenn damit, wenn es mal benutzt wird, wohl oft(?)
"gleichmächtig"
"kleinere Mächtigkeit"
"größere Mächtigkeit"
gemeint ist.)

Tom Bola

unread,
Aug 25, 2021, 8:50:36 AMAug 25
to
Sicherlich, zumindest in der deutschen (Sprach-) Mentalität. Die
eigene Muttersprache macht ja einen unerhört dominanten Teil der
Denkweise der Leute aus, wobei diese Denkweisen zu den sogenannten
"nicht verhandelbaren Überzeugungen" gehören (da frühe Altersfenster).

Aber es ist ganz sicher, dass aufgrund anderer Muttersprachen völlig
andere Denk- und Fühlweisen dominieren, die sich eben auch nicht so
einfach (später) ersetzen lassen und deshalb Privatsache bleiben. Und so
lange die Axiome und Sätze zBl hier von ZF(C) davon nicht "angegriffen"
werden ist ja auch alles in Ordnung mit der "internationalen" Mathematik.

> (Auch, wenn damit, wenn es mal benutzt wird, wohl oft(?)
> "gleichmächtig"
> "kleinere Mächtigkeit"
> "größere Mächtigkeit"
> gemeint ist.)

Wie gesagt, abgesehen von der (Grundlagen-) Forschung werden
in der Standardmathematik allein die folgenden drei unendlichen
Kardinalitäten bzw. Zahlenmengen benutzt:

1. aleph_0 - das ist IN
2. aleph_1 - das ist IR
3. aleph_2 - das ist die Potenzmenge von IR , die Anzahl
der Lebesgue-messbaren Mengen, die Menge
aller – nicht notwendig stetigen – Funktionen
von IR nach IR, o.ä. (wiki)

Und alle 3 unendlichen Kardinalitäten sind (bisher) unteilbar und
somit "konstant".

"Der Rest" sind Worte, Schall und Rauch, und ich habe mich selbst
geschult dabei an "beliebig viele" zu denken, was mir ein "Fühlen"
der unendlichen Anzahl ermöglicht ;)
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