Was ist Wurzel (i) ? (komplexe Zahl)
Carl-Heinz Barner
was ist eigentlich Wurzel(i)
i ist imaginäre Zahl (i=wurzel(-1))
Wie berechnet man das ?
mfg
Carl-Heinz
Bruno Windischmann
"Carl-Heinz Barner" <Carl-Hei...@gmx.de> schrieb im Newsbeitrag
news:39f5f13...@news.btx.dtag.de...
> Hallo allerseits,
>
> was ist eigentlich Wurzel(i)
-sqr(2)/2 - sqr(2)/2 * i
> i ist imaginäre Zahl (i=wurzel(-1))
>
> Wie berechnet man das ?
>
> mfg
> Carl-Heinz
beim Wurzelziehen von komplexen Zahlen muss man Sie in die Form : Radius und
Winkel bringen,
der neue Radius ist dann sqr(alter radius), der neue Winkel ist dann die
Hälfte des alten Winkels.
Man muss aber aufpassen da es oft mehrere Lösungen gibt.
Beim quadrieren wird ja der Winkel mal 2 genommen. Beim Wurzelziehen müssen
auch Werte einbezogen werden die Größer als
360° sind, dies führt dazu das es bei irrationalen Zahlen unendlichviele
Lösungen gibt.
mfG, Bruno
Thomas Meisterburg
> was ist eigentlich Wurzel(i)
> i ist imaginäre Zahl (i=wurzel(-1))
\sqrt{i} = \sqrt{\sqrt{-1}}
= -1^{\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}
= -1^{\frac{1}{4}}
-1^{\frac{1}{4}} \approx 0,707106781187 + 0,707106781187 \cdot i
> Wie berechnet man das ?
Den ersten Teil mit den Potenzgesetzen, den zweiten mit einem
HP 48G. :))
Das mathematische Verfahren, das dahinter steckt, ist mir nicht
bekannt. Ich finde es aber erstaunlich, dass im reellen und im
imaginaeren Teil dieselbe Zahl steht. Handelt es sich hierbei um
einen Sonderfall? Hat diese Zahl eine besondere Bedeutung?
Hmm...
MfG
Thomas Meisterburg
--
eMail . : t.meis...@gmx.de
Phone/SMS: +49-173-6157915
Danijel Tasov
On Tue, 24 Oct 2000 23:09:03 +0200,
Bruno Windischmann <Bruno.Win...@gmx.de> wrote:
> Beim quadrieren wird ja der Winkel mal 2 genommen. Beim Wurzelziehen m?ssen
> auch Werte einbezogen werden die Gr??er als
> 360? sind, dies f?hrt dazu das es bei irrationalen Zahlen unendlichviele
> L?sungen gibt.
Das leuchtet mir nicht ein.
Die allgemeine Formel:
w=r*e^(i*phi)
z^n=w
Gesucht: alle z!
z(k)=sqrt(r)*e^(i*(phi+2*k*pi)/n)); k=0..n-1
Es gibt zu jeder komplexen Zahl w genau n verschiedene n-te
Wurzeln.
> mfG, Bruno
bye,
Da.Ta.
--
Danijel Tasov, Daniel...@CameloT.de. PGP-Fingerprint:
00 3A 65 0C 47 66 46 27 E2 AF 3A C4 1C 2E E8 EE
# College is like a woman -- you work so hard to get in, and nine months
# later you wish you'd never come.
Bruno Windischmann
> Man muss aber aufpassen da es oft mehrere Lösungen gibt.
> auch Werte einbezogen werden die Größer als
> Lösungen gibt.
sorry hab mich da geirrt das mit den undendlichen Lösungen beziet sich bei
a.te Wurzel aus x auf das a:
also gibt es bei Quadratwurzeln immer zwei Lösungen (der zweite Winkel ist
um 180° gegenüber desersten gedreht)
mfG, Bruno
Thomas Nordhaus
>
> Hallo allerseits,
>
> was ist eigentlich Wurzel(i)
> i ist imaginäre Zahl (i=wurzel(-1))
>
Eine beliebte Frage! Zunächst mal: "die" Wurzel gibt es nicht. Man sucht
alle komplexen Zahlen z für die z*z = i ist. Es gibt 2 Quadratwurzeln, 3
dritte Wurzeln usw. Das ist schon mal wichtig zu wissen.
Zur Berechnung muß (bzw. sollte) man die Polarkoordinaten von i als
Punkt in der Ebene kennen:
i = 1 * ( cos(Pi/2) + i * sin(Pi/2) ). Die Zahl i hat also einen Abstand
1 vom Ursprung. Der Winkel von der positiven x-Achse in der
mathematischen Orientierung (d.h. im Gegen-Uhrzeigersinn) beträgt 90
Grad bzw. Pi/2.
Als nächstes musst du die Additionstheoreme für die Multiplikation
zweier komplexer Zahlen kennen: Die Beträge MULTIPLIZIEREN sich, die
Argumente (d.h. die Winkel in der Polarkoordinaten-DArstellung) ADDIEREN
sich.
Jetzt suchst du eine Zahl z mit Polarkoordinaten (R, Theta), die mit
sich selbst multipliziert eine Zahl (1, Pi/2) ergibt. Nach dem
Additionstheorem muß dann gelten:
R*R = 1 und Theta + Theta = Pi/2.
Daraus ergibt sich: R = 1 (Der Abstand vom Nullpunkt muss positiv sein)
und Theta = Pi/4.
Also: z = 1 * ( cos(Pi/4) + sin (Pi/4) ) = ( Wurzel(2) / 2 ) * ( 1 + i
).
Prüf mal nach: z*z = 2/4 * ( 1 + 2i + i^2) = 1/2 * ( 1 + 2i + (-1) ) =
1/2 * (2i) = i. Voila!
Dast stimmt - ist aber nicht vollständig. Da die trionometrischen
Funktionen 2*Pi-periodisch sind gilt auch:
i = 1 * ( cos[2*k*Pi + (Pi/2)] + sin[2*k*Pi + (Pi/2)] ) für alle ganzen
k.
Also ist auch z = 1 * ( cos(k*Pi + Pi/4) + sin(k*Pi + Pi/4) ) für alle
ganzen k eine Lösung der Gleichung z*z = i.
Jetzt lass mal k= 0, 1, 2 usw. Du siehst, dass sich die Werte für z
wiederholen. Das liegt daran, dass die trig. Funktionen Periode 2*Pi
haben. In der Tat gibt es nur zwei mögliche Lösungen von z*z = i.
Nämlich:
z1 = 1 * ( cos(Pi/4) + sin (Pi/4) ) = ( Wurzel(2) / 2 ) * ( 1 + i ) und
z2 = 1 * ( cos(Pi + Pi/4) + sin (Pi + Pi/4) ) = ( Wurzel(2) / 2 ) * (
-1 - i ) = - ( Wurzel(2) / 2 ) * ( 1 + i ). Wie auch nicht anders zu
erwarten war.
OK - das sollt' vielleicht mal für den Anfang genügen.
Gruß, Thomas
>
> mfg
> Carl-Heinz
Thomas Haunhorst
Thomas Meisterburg <t.meis...@gmx.de> wrote:
>Das mathematische Verfahren, das dahinter steckt, ist mir nicht
>bekannt. Ich finde es aber erstaunlich, dass im reellen und im
>imaginaeren Teil dieselbe Zahl steht. Handelt es sich hierbei um
>einen Sonderfall? Hat diese Zahl eine besondere Bedeutung?
Man kann ganz elementar die Definition von * und + ausnutzen:
(a,b)*(c,d):=(ac-bd,ad+bc)
i:=(0,1)
Gruss
Thomas.
--
Eric Heinemeyer
>
> was ist eigentlich Wurzel(i)
> i ist imaginäre Zahl (i=wurzel(-1))
Versuche dir es einfach geometrisch zu veranschaulichen.
Nach Gauß stellt man sich die komplexen Zahlen in einer
Ebene vor. Diese wird durch die reelle und die imaginäre
Achse aufgespannt. (Weißt du sicherlich bereits aus Vorlesung,
Buch oder Schule.)
Die komplexen Zahlen bilden einen Körper und man kann also
zwei Zahlen z1,z2 miteinander multiplizieren und erhält wieder
eine komplexe Zahl. Man kann nun zeigen, dass eine Multiplikation
zweier komplexer Zahlen geometrisch das folgende ist.
1. Zeichnen beide Zahlen in der Ebene ein und verbinde den
Usprung mit den Punkten. (Soll ein (Vektor)-Pfeil sein.)
2. Messe den Winkel zwischen der reellen Achse und dem Pfeil.
3. Messe die Entfernung der Punkte vom Ursprung, also die Länge
des Pfeiles.
4. Der Punkt den du erhälst wenn du die Winkel und Längen addierst
entspricht dem Produkt der beiden komplexen Zahlen z1,z2.
Damit sollte jetzt klar sein was man macht.
Zeichen i in die komplexe Ebene.
Dann hat der Pfeil einen 90° Winkel und die Länge 1.
Du suchst eine Zahl die mit sich selbst malgenommen i ergibt.
also musst diese Zahl die Entfernung 1/2 vom Ursprung haben
und einen 45° Winkel gegenüber der x-Achse.
Mit Pythagoras erhält man dann
sqrt(i)=1/2*sqrt(2)+1/2*sqrt(2)i
|
i x
| x sqrt(i)
/
| /
/
- - - - - - - - - - - - -|- - -
1
|
|
|
Gruß Eric
Carl-Heinz Barner
<Bruno.Win...@gmx.de> wrote:
>
>"Carl-Heinz Barner" <Carl-Hei...@gmx.de> schrieb im Newsbeitrag
>news:39f5f13...@news.btx.dtag.de...
>> was ist eigentlich Wurzel(i)
>sqr(2)/2 + sqr(2)/2 * i und
>-sqr(2)/2 - sqr(2)/2 * i
>> i ist imaginäre Zahl (i=wurzel(-1))
>>
Ich werde jetzt ganz formal: :-)
wurzel(i) = sqr(2)/2 + sqr(2)/2 * i
wurzel(i) = -sqr(2)/2 - sqr(2)/2 * i
also:
sqr(2)/2 + sqr(2)/2 * i = -sqr(2)/2 - sqr(2)/2 * i
also:
sqr(2)+sqr(2)*i=0
also
sqr(2)=0
Also müßte doch der Ausdruck wurzel(i) sinnlos sein, oder ?
Ich frage auch deshalb, weil ich die folgende Aufgabe lösen soll:
Bestimmen Sie alle zeC mit:
z^5 = 1,5 + 1,5 wurzel(3i)
Da wurzel(i) nicht sinnvoll, kann ich die Aufgabe nicht lösen !
Oder es liegt ein Schreibfehler in der Aufgabe vor und es muß heißen:
z^5 = 1,5 + 1,5 wurzel(3) * i
Was meint ihr ?
mfg
Carl-Heinz
Michael Schneider
>
> >> was ist eigentlich Wurzel(i)
> >sqr(2)/2 + sqr(2)/2 * i und
> >-sqr(2)/2 - sqr(2)/2 * i
> >> i ist imaginäre Zahl (i=wurzel(-1))
> >>
> Ich werde jetzt ganz formal: :-)
> wurzel(i) = sqr(2)/2 + sqr(2)/2 * i
> wurzel(i) = -sqr(2)/2 - sqr(2)/2 * i
> also:
> sqr(2)/2 + sqr(2)/2 * i = -sqr(2)/2 - sqr(2)/2 * i
> also:
> sqr(2)+sqr(2)*i=0
> also
> sqr(2)=0
>
> Also müßte doch der Ausdruck wurzel(i) sinnlos sein, oder ?
>
wurzel(4) = 2
wurzel(4) = -2
also 2 = -2
Also müßte doch der Ausdruck wurzel(4) sinnlos sein, oder ?
Gruß Michael
Rainer Rosenthal
Carl-Heinz Barner <Carl-Hei...@gmx.de> wrote in message
news:39f5f13...@news.btx.dtag.de...
| was ist eigentlich Wurzel(i)
| i ist imaginäre Zahl (i=wurzel(-1))
|
| Wie berechnet man das ?
|
Hallo Carl-Heinz,
gesucht ist eine komplexe Zahl z = a + b*i, deren Quadrat
gleich i ist ( a und b sind reelle Zahlen).
Schreibe diese Bedingung z^2 = i in der Form
(a + b*i)^2 = i
dann kann man a und b ausrechnen. Ganz ohne Geometrie
und Kopfstand, indem man i^2 = -1 verwendet:
(a + b*i)^2 = a^2 + 2*a*b*i + (b*i)^2
= a^2 + 2abi + (b^2)*(i^2)
= a^2 + 2abi - b^2
= (a^2-b^2) + (2ab)*i
ist gleich i, d.h. gleich 0 + 1 * i
Das bedeutet a^2 - b^2 = 0 und 2ab = 1.
Das sind zwei Gleichungen für die beiden zu bestimmenden
reellen Zahlen a und b.
Unterscheide zwei Fälle, weil a^2 = b^2 zwei Lösungen hat.
Mit w bezeichne ich im folgenden die Quadratwurzel von 2.
Fall 1: a = b und damit aus 2ab = 1: a^2 = 1/2.
Ergibt a = b = 1/w oder a = b = - 1/w,
Fall 2: a = - b und damit aus 2ab = 1: a^2 = - 1/2
In diesem Fall gibt es keine reelle Lösung.
Diese Berechnung zeigt zugleich die Antwort auf die Frage
von Thomas Meisterburg, warum a = b sein muss.
Gruss, Rainer
--------------------------------------------------
P.S. Tatsächlich bin ich einen Moment lang verblüfft gewesen,
als ich im Fall 2 stur weitergerechnet hatte und dann mit a = i/w
und b = - i/w bzw. a = - i/w und b = i/w scheinbar (!) weitere
Lösungen bekam.
Ein gutes Beispiel dafür, wie wichtig es ist, den "Lösungsraum"
im Auge zu haben.
Ein lustiges Resultat ist es aber trotzdem:
( i/w + (-i/w)*i )^2 = i
Anders geschrieben:
( i/w - 1/w )^2 = i bzw. ( -1/w + (1/w)*i)^2 = i
führt dies gerade wieder zum Fall a = - 1/w , b = 1/w.
Ein feines Spiel - und immer wieder eine Freude, wenn man sich
eine Weile lang nicht verrechnet hat.
axel_schm...@my-deja.com
car...@gmx.de (Carl-Heinz Barner) wrote:
> On Tue, 24 Oct 2000 23:09:03 +0200, "Bruno Windischmann"
> <Bruno.Win...@gmx.de> wrote:
>
> >
> >"Carl-Heinz Barner" <Carl-Hei...@gmx.de> schrieb im Newsbeitrag
> >news:39f5f13...@news.btx.dtag.de...
>
> >> was ist eigentlich Wurzel(i)
> >sqr(2)/2 + sqr(2)/2 * i und
> >-sqr(2)/2 - sqr(2)/2 * i
> >> i ist imaginäre Zahl (i=wurzel(-1))
> >>
> Ich werde jetzt ganz formal: :-)
> wurzel(i) = sqr(2)/2 + sqr(2)/2 * i
> wurzel(i) = -sqr(2)/2 - sqr(2)/2 * i
Hi Carl-Heinz,
bis hierhin folge ich.
> also:
> sqr(2)/2 + sqr(2)/2 * i = -sqr(2)/2 - sqr(2)/2 * i
warum das? Es gibt eben zwei Wurzeln und die sind in der Regel nicht
gleich. es gibt ja auch sqrt(2) und -sqrt(2) als Wurzel, wenn man mal
diese vertrackte Notation mit der speziellen pos. Wurzel für sqrt(2)
benutzen möchte.
Axel
Sent via Deja.com http://www.deja.com/
Before you buy.
Carl-Heinz Barner
<Michael....@e-technik.tu-ilmenau.de> wrote:
>
>wurzel(4) = 2
>
richtig !
>wurzel(4) = -2
>
VOLLKOMMEN FALSCH !!!
Die Wurzel aus 4 ist 2, nicht -2.
Steht in jedem Mathebuch !!
mfg
Carl-Heinz
axel_schm...@my-deja.com
sorry Carl-Heinz,
steht keineswegs in jedem Mathebuch, vielleicht in jedem
Mathe_Schul_Buch, aber da bin ich mir auch nicht sicher.
Auf jeden Fall läßt sich das so nur in dem rellen Zahlen machen.
Wenn Du also schreibst wurzel(i) ist das nur bis aufs Vorzeichen
wohldefiniert und daher kommen auch die Probleme.
Gruß,
Carl-Heinz Barner
wrote:
>
>bis hierhin folge ich.
>
>> also:
>> sqr(2)/2 + sqr(2)/2 * i = -sqr(2)/2 - sqr(2)/2 * i
>
>warum das?
aus x=u
und x=v
folgt eben rein *formal*
u=v
>es gibt ja auch sqrt(2) und -sqrt(2) als Wurzel,
was meinst du konkret ?
mfg
Carl-Heinz
axel_schm...@my-deja.com
car...@gmx.de (Carl-Heinz Barner) wrote:
> On Wed, 25 Oct 2000 07:37:59 GMT, axel_schm...@my-deja.com
> wrote:
>
> >
> >bis hierhin folge ich.
> >
> >> sqr(2)/2 + sqr(2)/2 * i = -sqr(2)/2 - sqr(2)/2 * i
> >
> aus x=u
> und x=v
> folgt eben rein *formal*
> u=v
>
> >es gibt ja auch sqrt(2) und -sqrt(2) als Wurzel,
> was meinst du konkret ?
>
(4)=-2 ist, eine reine '(definitions-)ansichtsache' ist, die sich in
den reellen Zahlen noch einigermaßen begründen läßt, aber grundsätzlch
meint man mit Wurzel(4) (und zwar in der Algebra) eine Lösung von x^2-
4, und die ist nur bis aufs Vorzeichen wohldefiniert.
Alois Steindl
car...@gmx.de (Carl-Heinz Barner) writes:
> On Wed, 25 Oct 2000 08:31:52 +0200, Michael Schneider
> <Michael....@e-technik.tu-ilmenau.de> wrote:
>
> >
> >wurzel(4) = 2
> >
> richtig !
>
> >wurzel(4) = -2
> >
> VOLLKOMMEN FALSCH !!!
> Die Wurzel aus 4 ist 2, nicht -2.
> Steht in jedem Mathebuch !!
>
> mfg
> Carl-Heinz
>
>
>
versuchen wir es gütlich und in normaler Lautstärke: Der Begriff
`Wurzel' hat in der Mathematik 2 leicht unterschiedliche Bedeutungen:
a) die Wurzelfunktion sqrt() als (eindeutige)
Funktion der positiven reellen Zahlen (R+)
nach R+, (ich beschränke mich hier auf den Spezialfall Quadratwurzel
und ignoriere die komplexen Zahlen)
b) die Wurzel (Nullstelle) einer Gleichung, zB. x^2 = a.
Für alle a>0 besitzt diese Gleichung 2 reelle Lösungen (Wurzeln):
+sqrt(a) und -sqrt(a).
So gesehen ist -2 nicht eine Quadratwurzel von 4, wohl aber eine Wurzel
der Gleichung x^2=4.
PS: Ich erhebe keinen Anspruch, dass dieser Sachverhalt in irgendeinem
Mathematikbuch genau so dargestellt wird. Ich wüsste auch nicht, wie
ich eventuell beweisen könnte, dass es in jedem Mathematikbuch so wäre.
Alois
Daniel Fischer
> VOLLKOMMEN FALSCH !!!
> Die Wurzel aus 4 ist 2, nicht -2.
> Steht in jedem Mathebuch !!
Also in meinen Mathebuechern steht das so nirgends. Gut das liegt jetzt
vielleicht daran dass ich keine von der Grundschule mehr habe... :)
Daniel
--
Daniel Fischer, <uy...@rz.uni-karlsruhe.de>
Daniel Fischer
Dann denk Dir das wurzel(irgendwas) als wurzeln(irgendwas) und schreib x1
und x2 fuer die zwei Loesungen, die Du bei allen Quadratwurzeln aus R bekommen
kannst. :) Identisch sind sie nur in Sonderfaellen.
axel_schm...@my-deja.com
"Rainer Rosenthal" <r.ros...@ngi.de> wrote:
>
> --------------------------------------------------
> P.S. Tatsächlich bin ich einen Moment lang verblüfft gewesen,
> als ich im Fall 2 stur weitergerechnet hatte und dann mit a = i/w
> und b = - i/w bzw. a = - i/w und b = i/w scheinbar (!) weitere
> Lösungen bekam.
> Ein gutes Beispiel dafür, wie wichtig es ist, den "Lösungsraum"
> im Auge zu haben.
Tatsächlich sind die von Dir gelösten Gleichungen nur dann notwendig,
wenn Du allein reelle a und b betrachtest. Für komplexe a,b kannst Du
die Gleichungen gar nicht ableiten!
Sie sind dann ungekehrt hinreichend aber _nicht_ notwendig.
axel_schm...@my-deja.com
axel_schm...@my-deja.com wrote:
> In article <8t5voq$m44lq$1...@ID-54909.news.cis.dfn.de>,
> "Rainer Rosenthal" <r.ros...@ngi.de> wrote:
> >
>
> > P.S. Tatsächlich bin ich einen Moment lang verblüfft gewesen,
> > als ich im Fall 2 stur weitergerechnet hatte und dann mit a = i/w
> > und b = - i/w bzw. a = - i/w und b = i/w scheinbar (!) weitere
> > Lösungen bekam.
> > Ein gutes Beispiel dafür, wie wichtig es ist, den "Lösungsraum"
> > im Auge zu haben.
>
> wenn Du allein reelle a und b betrachtest. Für komplexe a,b kannst Du
> die Gleichungen gar nicht ableiten!
>
> Sie sind dann ungekehrt hinreichend aber _nicht_ notwendig.
>
vielleicht wird es klarer, wenn Du Dir Deine Gleichungen nochmal
aufschreibst mit komplexen Lösungen:
a) (a +b*i)^2 =i definiert eine komplexe Kurve im C^2 vom Grad 2.
b) 2 ab = 0 ( oder auch a^2-b^2= 0 die Bedingungen sind nicht
unabhängig) definiert ebenfalls komplexe Kurve vom Grad 2.
Der Schnitt sollte ( im unendlichen gibt's hier keinen Schnitt) mit
Multiplizität 4 Punkte enthalten. Die hast Du ausgerechnet. Wegen der
algebraischen Abgeschlossenheit von C, sind eben schon 2 reelle dabei!
Carl-Heinz Barner
<aste...@mch2pc28.mechanik.tuwien.ac.at> wrote:
>
>versuchen wir es gütlich und in normaler Lautstärke: Der Begriff
>`Wurzel' hat in der Mathematik 2 leicht unterschiedliche Bedeutungen:
>
Wenn ich mich im Ton vergriffen habe, bitte ich dies zu entschuldigen.
>
>a) die Wurzelfunktion sqrt() als (eindeutige)
>Funktion der positiven reellen Zahlen (R+)
>nach R+, (ich beschränke mich hier auf den Spezialfall Quadratwurzel
>und ignoriere die komplexen Zahlen)
>
>b) die Wurzel (Nullstelle) einer Gleichung, zB. x^2 = a.
>
>Für alle a>0 besitzt diese Gleichung 2 reelle Lösungen (Wurzeln):
>+sqrt(a) und -sqrt(a).
>
>So gesehen ist -2 nicht eine Quadratwurzel von 4, wohl aber eine Wurzel
>der Gleichung x^2=4.
>
aber nochmals:
aus
wurzel(i) = sqr(2)/2 + sqr(2)/2 * i
und
wurzel(i) = -sqr(2)/2 - sqr(2)/2 * i
folgt ein Widerspruch !!!
Also auf dieser Formalität bestehe ich weiterhin :-))
Deswegen ist wurzel(i) nicht definiert.
und auch die Aufgabe:
Bestimmen Sie alle zeC mit:
z^5 = 1,5 + 1,5 wurzel(3i)
genauso sinnlos, oder liege ich da so daneben.
Bzw. Wie müßte die Aufgabe *formal* korrekt gestellt werden ?
Etwas anderes ist es, wenn nach den Lösungen der Gleichung
z^2 = i
gefragt wird.
Da gibt es dann zwei Lösungen:
z1 = ...
z2 = ...
Was so dann formal korrekt geschrieben ist, oder ?
mfg
Carl-Heinz
axel_schm...@my-deja.com
car...@gmx.de (Carl-Heinz Barner) wrote:
> Deswegen ist wurzel(i) nicht definiert.
> und auch die Aufgabe:
> z^5 = 1,5 + 1,5 wurzel(3i)
Yep, ohne weiteren Kommentar ist wurzel(3i) nur eine bis aufs
Vorzeichen wohldefinierte Zahl.
> Bzw. Wie müßte die Aufgabe *formal* korrekt gestellt werden ?
>
Gegeben sei eine Wurzel von x^2-3i. Wir nennen Sie wurzel(3i). und
jetzt wieder wie in Deiner Aufgabe.
BTW wenn jemand die andere Wurzel wählen sollte, wie würden sich seine
von Deinen Lösungen unterscheiden?
> Etwas anderes ist es, wenn nach den Lösungen der Gleichung
> z^2 = i
> gefragt wird.
> Da gibt es dann zwei Lösungen:
> z1 = ...
> z2 = ...
> Was so dann formal korrekt geschrieben ist, oder ?
zweifelsfrei.
Gruß,
Daniel Fischer
Carl-Heinz Barner <car...@gmx.de> wrote:
> aber nochmals:
> aus
> wurzel(i) = sqr(2)/2 + sqr(2)/2 * i
> und
> wurzel(i) = -sqr(2)/2 - sqr(2)/2 * i
> folgt ein Widerspruch !!!
> Also auf dieser Formalität bestehe ich weiterhin :-))
Ah ja. Und aus sin-1(1) = 90o und sin-1(1) = 450o => Widerspruch => Es gibt
keine rechten Winkel. Gott sei Dank dass es runde Lebkuchen gibt...
> und auch die Aufgabe:
> genauso sinnlos, oder liege ich da so daneben.
Letzteres trifft zu. Du liegst so daneben.
> Etwas anderes ist es, wenn nach den Lösungen der Gleichung
> z^2 = i gefragt wird.
> Da gibt es dann zwei Lösungen:
> Was so dann formal korrekt geschrieben ist, oder ?
Jein.
Wurzel(x) ist definiert als die Loesungen der Gleichung z^2 = x fuer z.
Thomas Haunhorst
Rainer Rosenthal <r.ros...@ngi.de> wrote:
>
>Carl-Heinz Barner <Carl-Hei...@gmx.de> wrote in message
>news:39f5f13...@news.btx.dtag.de...
>
>| was ist eigentlich Wurzel(i)
>| i ist imaginäre Zahl (i=wurzel(-1))
>|
>| Wie berechnet man das ?
>|
>
>Hallo Carl-Heinz,
>
>gesucht ist eine komplexe Zahl z = a + b*i, deren Quadrat
>gleich i ist ( a und b sind reelle Zahlen).
>Schreibe diese Bedingung z^2 = i in der Form
>
> (a + b*i)^2 = i
>
>dann kann man a und b ausrechnen. Ganz ohne Geometrie
>und Kopfstand, indem man i^2 = -1 verwendet:
>
>(a + b*i)^2 = a^2 + 2*a*b*i + (b*i)^2
> = a^2 + 2abi + (b^2)*(i^2)
> = a^2 + 2abi - b^2
> = (a^2-b^2) + (2ab)*i
>
>ist gleich i, d.h. gleich 0 + 1 * i
>
>Das bedeutet a^2 - b^2 = 0 und 2ab = 1.
>
Ja, so kann man es machen. Direkt kommt man darauf, wenn man sofort
die Definition der komplexen Multiplikation nutzt und die Gleichung
(a,b)*(a,b)=(a^2-b^2,ab+ab)=(0,1)=i (mit i:=(0,1)) aufstellt.
Gruss
Thomas.
--
Joerg Ruesges
>
> On 25 Oct 2000 10:15:21 +0200, Alois Steindl
> <aste...@mch2pc28.mechanik.tuwien.ac.at> wrote:
>
> >
> >versuchen wir es gütlich und in normaler Lautstärke: Der Begriff
> >`Wurzel' hat in der Mathematik 2 leicht unterschiedliche Bedeutungen:
> >
> Wenn ich mich im Ton vergriffen habe, bitte ich dies zu entschuldigen.
> >
> >a) die Wurzelfunktion sqrt() als (eindeutige)
> >Funktion der positiven reellen Zahlen (R+)
> >nach R+, (ich beschränke mich hier auf den Spezialfall Quadratwurzel
> >und ignoriere die komplexen Zahlen)
> >
> >b) die Wurzel (Nullstelle) einer Gleichung, zB. x^2 = a.
> >
> >Für alle a>0 besitzt diese Gleichung 2 reelle Lösungen (Wurzeln):
> >+sqrt(a) und -sqrt(a).
> >
> >So gesehen ist -2 nicht eine Quadratwurzel von 4, wohl aber eine Wurzel
> >der Gleichung x^2=4.
> >
> aber nochmals:
> aus
> wurzel(i) = -sqr(2)/2 - sqr(2)/2 * i
Auf die Tatsache, dass das mit der Wurzel so eine Definitonssache ist,
bist Du ja bereits mehrfach hingewiesen worden. Und es ist nun mal so,
dass die Wurzel in Z keineswegs eindeutig ist, sondern es fuer
gewohenlich gleich eine ganze Menge gibt (bei der n-ten Wurzel naemlich
genau n Stueck)
> Also auf dieser Formalität bestehe ich weiterhin :-))
Auch mit Smiley wird Deine Argumentation nicht besser ;-)
> Deswegen ist wurzel(i) nicht definiert.
Offensichtlich gibt es sogar mehrere, aber halt nicht _die eine_.
> und auch die Aufgabe:
> Bestimmen Sie alle zeC mit:
> z^5 = 1,5 + 1,5 wurzel(3i)
> genauso sinnlos, oder liege ich da so daneben.
Ja, da liegst Du daneben.
> Bzw. Wie müßte die Aufgabe *formal* korrekt gestellt werden ?
Ist gibt halt zwei Wurzeln, also musst Du auch zwei Aufgaben loesen.
> Etwas anderes ist es, wenn nach den Lösungen der Gleichung
> z^2 = i
> gefragt wird.
> Da gibt es dann zwei Lösungen:
> z1 = ...
> z2 = ...
> Was so dann formal korrekt geschrieben ist, oder ?
Noch einmal: Es gibt nicht _die_ Wurzel und Vereinfachungen bzw
Vereinbarungen der Schule gelten halt nicht ueberall.
Tschues
Joerg
Carl-Heinz Barner
wrote:
>Hallo.
>
>Carl-Heinz Barner <car...@gmx.de> wrote:
>> aber nochmals:
>> aus
>> wurzel(i) = sqr(2)/2 + sqr(2)/2 * i
>> und
>> wurzel(i) = -sqr(2)/2 - sqr(2)/2 * i
>> folgt ein Widerspruch !!!
>> Also auf dieser Formalität bestehe ich weiterhin :-))
>
>Ah ja. Und aus sin-1(1) = 90o und
>
>sin-1(1) = 450o
nicht definiert !!
>
>
Notwendig für eine Umkehrfunktionen ist, daß sie streng monoton ist.
sin-1 kann z.B. nie auf [0, 360 Grad] definiert sein !!
>
>> Etwas anderes ist es, wenn nach den Lösungen der Gleichung
>> z^2 = i gefragt wird.
>> Da gibt es dann zwei Lösungen:
>> Was so dann formal korrekt geschrieben ist, oder ?
>
>Jein.
>Wurzel(x) ist definiert als die Loesungen der Gleichung z^2 = x fuer z.
>
Bleib bitte *formal*
Was ist wurzel(i) ?
mfg
Carl-Heinz
Carl-Heinz Barner
wrote:
>In article <39f6a88b...@news.t-online.de>,
> car...@gmx.de (Carl-Heinz Barner) wrote:
>> Deswegen ist wurzel(i) nicht definiert.
>> und auch die Aufgabe:
>> Bestimmen Sie alle zeC mit:
>> z^5 = 1,5 + 1,5 wurzel(3i)
>> genauso sinnlos, oder liege ich da so daneben.
>
>Yep, ohne weiteren Kommentar ist wurzel(3i) nur eine bis aufs
>Vorzeichen wohldefinierte Zahl.
>
Deswegen kann ich doch die Aufgabe so lösen, daß ich sage:
"Aufgabe beinhaltet sinnlosen Ausdruck und kann deswegen nicht
bearbeitete werden", oder ?
>
>> Bzw. Wie müßte die Aufgabe *formal* korrekt gestellt werden ?
>>
>
>Gegeben sei eine Wurzel von x^2-3i. Wir nennen Sie wurzel(3i). und
>jetzt wieder wie in Deiner Aufgabe.
>
>BTW wenn jemand die andere Wurzel wählen sollte, wie würden sich seine
>von Deinen Lösungen unterscheiden?
>
Ich weiß es nicht.
Gibt es dann eine andere Lösung ?
mfg
Carl-Heinz
axel_schm...@my-deja.com
car...@gmx.de (Carl-Heinz Barner) wrote:
> On Wed, 25 Oct 2000 09:56:14 GMT, axel_schm...@my-deja.com
> wrote:
>
> >In article <39f6a88b...@news.t-online.de>,
> > car...@gmx.de (Carl-Heinz Barner) wrote:
> >> Deswegen ist wurzel(i) nicht definiert.
> >> und auch die Aufgabe:
> >> z^5 = 1,5 + 1,5 wurzel(3i)
> >
> >Yep, ohne weiteren Kommentar ist wurzel(3i) nur eine bis aufs
> >Vorzeichen wohldefinierte Zahl.
> >
> Deswegen kann ich doch die Aufgabe so lösen, daß ich sage:
> "Aufgabe beinhaltet sinnlosen Ausdruck und kann deswegen nicht
> bearbeitete werden", oder ?
Wenns hart auf hart kommt, würde ich mich nicht darauf verlassen.
Man könnte, wie ja auch in einem anderen Posting gesagt wurde, die
Aufgabe so interpretieren, daß das Problem für beide Möglichkeiten von
wurzel(3i) zu lösen sei.
Hätte ich die Aufgabe zu korrigieren würde ich so vorgehen: Hättest Du
mir eine schlüssige Begründung für die Nicht-Wohldefiniertheit von
wurzel(3i) gegeben, hättest Du mein Placet, ...aber... das ist eine
persönliche Entscheidung. Mir gefällt eigenes Denken immer ganz gut!
> >> Bzw. Wie müßte die Aufgabe *formal* korrekt gestellt werden ?
> >>
> >
> >Gegeben sei eine Wurzel von x^2-3i. Wir nennen Sie wurzel(3i). und
> >jetzt wieder wie in Deiner Aufgabe.
> >
> >BTW wenn jemand die andere Wurzel wählen sollte, wie würden sich
seine
> >von Deinen Lösungen unterscheiden?
> >
> Ich weiß es nicht.
> Gibt es dann eine andere Lösung ?
Da die komplexen Zahlen algebraisch abgeschlossen sind (Fundamentalsatz
der Algebra zuerst vom großen Gauß bewiesen) gibt es für jede Wahl von
wurzel(3i) fünf (eventuell mit multipl.) Lösungen.
Daniel Fischer
Carl-Heinz Barner <car...@gmx.de> wrote:
> Notwendig für eine Umkehrfunktionen ist, daß sie streng monoton ist.
> sin-1 kann z.B. nie auf [0, 360 Grad] definiert sein !!
Hey ich hab nie behauptet dass mein sin-1 eine Umkehrfunktion in Deinem Sinn
fuer sin ist. Genau wie nie jemand behauptet hat, dass wurzel(x) eine
Umkehrfunktion fuer x^2 sein soll. Klingelts bald mal? :)
>>Wurzel(x) ist definiert als die Loesungen der Gleichung z^2 = x fuer z.
> Bleib bitte *formal*
> Was ist wurzel(i) ?
Was ist denn nicht formal an einer allgemeinen Definition, in die Du nur
noch Dein i einsetzen musst? Wenn Du es nochmal schriftlich willst: Lies die
anderen Antworten, sie sind soweit ich mich erinnere alle korrekt. :)
Wer hat Dir diese Aufgabe gestellt? Bist Du Schueler, wenn ja, welche Klasse
und Schulart?
Bruno Windischmann
Die Diskussion nimmt langsam Dimensionen an.
also jeder wird zustimmen dass die Aufgabe z^2=i zwei Lösungen hat.
Die Diskussion ob Wurzel aus i definiert ist, wenn ja ob sie eine der zwei
Lösungen hat, finde ich etwas übertrieben.
Es werden ständig die gleichen Begründungen wiedergegeben was nun stimmt.
Aber ob die Wurzel definiert ist oder nicht, ändert doch nichts an der
Tatsache, dass die obige Gleichung lösbar ist.
Die Diskussion ist ja schon ähnlich banal wie die Frage ob 0^0 definiert ist
(schule.mathe: 2 Aufgaben)
mfG, Bruno
Alois Steindl
> On 25 Oct 2000 10:15:21 +0200, Alois Steindl
> <aste...@mch2pc28.mechanik.tuwien.ac.at> wrote:
>
> >
> >versuchen wir es gütlich und in normaler Lautstärke: Der Begriff
> >`Wurzel' hat in der Mathematik 2 leicht unterschiedliche Bedeutungen:
> >
> Wenn ich mich im Ton vergriffen habe, bitte ich dies zu
> entschuldigen.
Ein bisschen laut wars.
> aber nochmals:
> aus
> wurzel(i) = sqr(2)/2 + sqr(2)/2 * i
> und
> wurzel(i) = -sqr(2)/2 - sqr(2)/2 * i
> folgt ein Widerspruch !!!
> Also auf dieser Formalität bestehe ich weiterhin :-))
>
Da wir schon genüßlich auf Formalitäten herumreiten:
Bezeichne die Quadratwurzel bitte mit sqrt().
sqr(x) ist meist eine Abkürzung für (die glücklicherweise eindeutig
definierte Funktion) x^2.
Wenn wir uns nun darauf einigen könnten, dass sqrt(x) einer reellen
Zahl x eindeutig definiert ist, können wir uns überlegen, ob und
gegebenenfalls wie wir diese Definition auf die komplexen Zahlen
übertragen. Da die Gleichung z^2=a für komplexe a<>0 2 Lösungen
besitzt, könnten wir eine Vorschrift suchen, die eine davon eindeutig
auswählt. Eine Möglichkeit wäre dabei, immer die Wurzel in der oberen
Halbebene (und zB. positiv für a in R+) zu nehmen. Oder man nimmt
immer die Lösungen in der rechten Halbebene, oder ...
In jedem Fall wird man immer mit der Gewohnheit Anderer leben müssen, alle
Lösungen der Gleichung z^2=a als "Wurzeln von a" zu bezeichnen.
Siehe auch: "k-te komplexe Einheitswurzeln"
> Deswegen ist wurzel(i) nicht definiert.
> und auch die Aufgabe:
> Bestimmen Sie alle zeC mit:
> z^5 = 1,5 + 1,5 wurzel(3i)
> genauso sinnlos, oder liege ich da so daneben.
Wenn man wurzel(z) eindeutig (eventuell mengenwertig) definiert, kein Problem
> Bzw. Wie müßte die Aufgabe *formal* korrekt gestellt werden ?
>
Eventuell: Bestimme die Lösungen der Gleichung
z^5=3(1+w)/2
für alle w mit w^3=3i ?
Alois
axel_schm...@my-deja.com
"Bruno Windischmann" <Bruno.Win...@gmx.de> wrote:
> Hallo,
>
> Die Diskussion nimmt langsam Dimensionen an.
>
> also jeder wird zustimmen dass die Aufgabe z^2=i zwei Lösungen hat.
> Die Diskussion ob Wurzel aus i definiert ist, wenn ja ob sie eine der
zwei
> Lösungen hat, finde ich etwas übertrieben.
Sorry Bruno,
aber genau hier liegt ja offenbar das Problem. Carl-Heinz hat wohl zu
einer Aufgabe, bei der in der Aufgabenstellung wurzel(3i) vorkam
geschrieben, daß sie aufgrund mangelnder Definiertheit nicht gelöst
werden könne.
Stimmt das nun oder nicht? Das ist alles andere als banal und hängt
stark von kontextsensitiven Auffassungen ab.
> Es werden ständig die gleichen Begründungen wiedergegeben was nun
stimmt.
> Aber ob die Wurzel definiert ist oder nicht, ändert doch nichts an der
> Tatsache, dass die obige Gleichung lösbar ist.
es geht _nicht_ um die Gleichung z^2 = i!
Es geht um die Gleichung z^5 = 1,5 + 1,5 wurzel(3i)
> Die Diskussion ist ja schon ähnlich banal wie die Frage ob 0^0
definiert ist
Für große Könner ist das natürlich banal, aber ich staune immer wieder,
wer sich darüber Gedanken macht ;-)
Alois Steindl
> On 25 Oct 2000 10:15:21 +0200, Alois Steindl
> <aste...@mch2pc28.mechanik.tuwien.ac.at> wrote:
>
> >
> >versuchen wir es gütlich und in normaler Lautstärke: Der Begriff
> >`Wurzel' hat in der Mathematik 2 leicht unterschiedliche Bedeutungen:
> >
> Wenn ich mich im Ton vergriffen habe, bitte ich dies zu
> entschuldigen.
Ein bisschen laut wars.
> aber nochmals:
> aus
> wurzel(i) = sqr(2)/2 + sqr(2)/2 * i
> und
> wurzel(i) = -sqr(2)/2 - sqr(2)/2 * i
> folgt ein Widerspruch !!!
> Also auf dieser Formalität bestehe ich weiterhin :-))
>
Da wir schon genüßlich auf Formalitäten herumreiten:
Bezeichne die Quadratwurzel bitte mit sqrt().
sqr(x) ist meist eine Abkürzung für (die glücklicherweise eindeutig
definierte Funktion) x^2.
Wenn wir uns nun darauf einigen könnten, dass sqrt(x) einer reellen
Zahl x eindeutig definiert ist, können wir uns überlegen, ob und
gegebenenfalls wie wir diese Definition auf die komplexen Zahlen
übertragen. Da die Gleichung z^2=a für komplexe a<>0 2 Lösungen
besitzt, könnten wir eine Vorschrift suchen, die eine davon eindeutig
auswählt. Eine Möglichkeit wäre dabei, immer die Wurzel in der oberen
Halbebene (und zB. positiv für a in R+) zu nehmen. Oder man nimmt
immer die Lösungen in der rechten Halbebene, oder ...
In jedem Fall wird man immer mit der Gewohnheit Anderer leben müssen, alle
Lösungen der Gleichung z^2=a als "Wurzeln von a" zu bezeichnen.
Siehe auch: "k-te komplexe Einheitswurzeln"
> Deswegen ist wurzel(i) nicht definiert.
> und auch die Aufgabe:
> Bestimmen Sie alle zeC mit:
> z^5 = 1,5 + 1,5 wurzel(3i)
> genauso sinnlos, oder liege ich da so daneben.
Wenn man wurzel(z) eindeutig (eventuell mengenwertig) definiert, kein Problem
> Bzw. Wie müßte die Aufgabe *formal* korrekt gestellt werden ?
>
Eventuell: Bestimme die Lösungen der Gleichung
z^5=3(1+w)/2
für alle w mit w^2=3i ?
Alois
Carl-Heinz Barner
wrote:
>Hallo.
>
>Carl-Heinz Barner <car...@gmx.de> wrote:
>> Notwendig für eine Umkehrfunktionen ist, daß sie streng monoton ist.
>> sin-1 kann z.B. nie auf [0, 360 Grad] definiert sein !!
>
>Hey ich hab nie behauptet dass mein sin-1 eine Umkehrfunktion in Deinem Sinn
>fuer sin ist. Genau wie nie jemand behauptet hat, dass wurzel(x) eine
>Umkehrfunktion fuer x^2 sein soll. Klingelts bald mal? :)
Nein.
Zitiere mir bitte ein Uni-Mathebuch, wo das folgende oder ähnliches
(was zu einem Widerspruch führt) drinsteht:
wurzel(i) = sqr(2)/2 + sqr(2)/2 * i
wurzel(i) = -sqr(2)/2 - sqr(2)/2 * i
>
>>>Wurzel(x) ist definiert als die Loesungen der Gleichung z^2 = x fuer z.
>> Bleib bitte *formal*
>> Was ist wurzel(i) ?
>
>Was ist denn nicht formal an einer allgemeinen Definition,
formal wäre folgendes:
wurzel(i) = sqr(2)/2 + sqr(2)/2 * i
wurzel(i) = -sqr(2)/2 - sqr(2)/2 * i
leider führt dies zu einem Widerspruch!
mfg
Carl-Heinz
Danijel Tasov
Danijel Tasov <daniel...@camelot.de> wrote:
> w=r*e^(i*phi)
> z^n=w
> Gesucht: alle z!
>
> z(k)=sqrt(r)*e^(i*(phi+2*k*pi)/n)); k=0..n-1
>
> Es gibt zu jeder komplexen Zahl w genau n verschiedene n-te
> Wurzeln.
Hmmm... kein Response, ich deute das als ein "Ich hab Recht" :)
bye,
Da.Ta.
--
Danijel Tasov, Daniel...@CameloT.de. PGP-Fingerprint:
00 3A 65 0C 47 66 46 27 E2 AF 3A C4 1C 2E E8 EE
# College is like a woman -- you work so hard to get in, and nine months
# later you wish you'd never come.
axel_schm...@my-deja.com
"Danijel Tasov" <daniel...@CameloT.de> wrote:
> On 24 Oct 2000 21:40:29 GMT,
> Danijel Tasov <daniel...@camelot.de> wrote:
> > w=r*e^(i*phi)
> > z^n=w
> > Gesucht: alle z!
> >
> > z(k)=sqrt(r)*e^(i*(phi+2*k*pi)/n)); k=0..n-1
> >
> > Es gibt zu jeder komplexen Zahl w genau n verschiedene n-te
> > Wurzeln.
>
> Hmmm... kein Response, ich deute das als ein "Ich hab Recht" :)
>
auschließt.
Deine Formel für z(k) ist falsch, Du mußt auch die reelle n-Wurzel von
r ziehen und nicht die Quadratwurzel!
Bruno Windischmann
dazukunden.
> Es geht um die Gleichung z^5 = 1,5 + 1,5 wurzel(3i)
weiter oben hat er beschrieben dass es auch wurzel(3)*i heissen könnte.
In Mathebüchern wird meistens vermieden mit Wurzelbegriffen so umzugehen
es wird ja nicht Wurzel(-1) = i definiert, sondern i^2 = -1
da Wurzel(4) nur eine Lösung hat 2 und nicht -2 (ich kenne kein Buch in dem
etwas anderes behauptet wird)
der Schritt
x^2 = 4
x = Wurzel(4)
ist falsch, deswegen wird ja immer auf eine x1 und x2 schreibweise geachtet.
Da man definiert hat keine Wurzeln aus negativen Zahlen zu ziehen, geht man
ja diesen umständlichen Weg i^1 = -1 ein.
Da die Gleichung auch zwei Lösungen hat (wie x^2 = 4) wird man wohl
vermeiden diese Wurzelschreibweise zu benutzen.
wenn der Autor wirklich z^5 = 1,5 + 1,5 wurzel(3i) meint, hätte er es als
zwei Gleichungen auslegen müssen:
a^2=3i
z^5=1,5 + 1,5a
aber da diese Autoren auch nur Menschen sind können die sich auch mal
verhauen.
mich würde interessieren ob z^5 = 1,5 + 1,5 wurzel(3i) die einzige Aufgabe
ist, in der wurzel(i) oder wurzel(-1) benutzt wird.
haben eigentlich Mehrere solche Aufgaben in Büchern gesehen?
mfG, Bruno
Joerg Ruesges
[...]
> Zitiere mir bitte ein Uni-Mathebuch, wo das folgende oder ähnliches
> (was zu einem Widerspruch führt) drinsteht:
> wurzel(i) = sqr(2)/2 + sqr(2)/2 * i
> wurzel(i) = -sqr(2)/2 - sqr(2)/2 * i
Hast Du die anderen Postings gelesen? In C gibt es nicht _die_ Wurzel,
sondern fuer gewoehnlich mehrere, man spricht daher auch von n-ten
Einheitswurzeln (was aber auch schon erwaehnt wurde). Dass dadurch Deine
Aufgabe vielleicht nicht ganz gluecklich gestellt ist, haben wir ja gar
nicht bezweifelt, aber warum streubst Du Dich so gegen die
Mehrdeutigkeit der Wurzeln im Komplexen?
Tschues
Joerg
Joerg Ruesges
>
> On 24 Oct 2000 21:40:29 GMT,
> Danijel Tasov <daniel...@camelot.de> wrote:
> > w=r*e^(i*phi)
> > z^n=w
> > Gesucht: alle z!
> >
> > z(k)=sqrt(r)*e^(i*(phi+2*k*pi)/n)); k=0..n-1
> >
> > Es gibt zu jeder komplexen Zahl w genau n verschiedene n-te
> > Wurzeln.
>
> Hmmm... kein Response, ich deute das als ein "Ich hab Recht" :)
Leider nicht ganz (faellt aber eher unter typo):
z[k] = root(r,n)*e^(i*(phi+2*k*pi)/n)); k=0..n-1
Aus dem Radius muss man die n-te Wurzel ziehen.
Tschues
Joerg
axel_schm...@my-deja.com
"Bruno Windischmann" <Bruno.Win...@gmx.de> wrote:
> naja wenn wir mal bei der Diskussion sind, dann kann ich mal meine
Meinung
> dazukunden.
>
> > Es geht um die Gleichung z^5 = 1,5 + 1,5 wurzel(3i)
> weiter oben hat er beschrieben dass es auch wurzel(3)*i heissen
könnte.
dazu kann ich nichts sagen.
>
> In Mathebüchern wird meistens vermieden mit Wurzelbegriffen so
umzugehen
>
> es wird ja nicht Wurzel(-1) = i definiert, sondern i^2 = -1
kleine Korrektur i ist nicht eine Wurzel(-1) (ein Ausdruck, der sowohl
in Mathebüchern, wie auch in Artikeln ziemlich häufig vorkommt!
(natürlich mit dem üblichen Symbol für Wurzel ;-)), sondern als
diejenige mit pos. Imaginärteil definiert. Für so einige Dinge in der
Mathe macht das einen ungeheuren Unterschied.
> da Wurzel(4) nur eine Lösung hat 2 und nicht -2 (ich kenne kein Buch
in dem
> etwas anderes behauptet wird)
Wenn man in der Algebra Wurzel(4) schreibt, wählt man keineswegs eine
spezielle Wurzel aus! Also _kann_ es auch -2 sein.
Es ist ein Symbol und keine Funktion. Als Funktion kann man in der
reellen Analysis eine Wurzel auf den pos. reellen Zahlen def. mit
Werten in denselben Zahlen. Das sollte man gut unterscheiden, speziell
dann, wenn man zu den komplexen Zahlen übergeht, wo die Wurzelfunktion
ja nicht mehr auf C definierbar ist, sondern nur noch auf einer sog.
Uberlagerung!
> Da man definiert hat keine Wurzeln aus negativen Zahlen zu ziehen,
geht man
> ja diesen umständlichen Weg i^1 = -1 ein.
soll das eine historische Erklärung für die komplexen Zahlen werden?
:-)
wo sagt man, daß man keine Wurzeln aus neg. Zahlen ziehen darf??
> wenn der Autor wirklich z^5 = 1,5 + 1,5 wurzel(3i) meint, hätte er es
als
> zwei Gleichungen auslegen müssen:
> a^2=3i
> z^5=1,5 + 1,5a
> aber da diese Autoren auch nur Menschen sind können die sich auch mal
> verhauen.
Sollte das der Fall sein, würde ich aber Carl-Heinz bei seiner Antwort
recht geben!
>
> mich würde interessieren ob z^5 = 1,5 + 1,5 wurzel(3i) die einzige
Aufgabe
> ist, in der wurzel(i) oder wurzel(-1) benutzt wird.
dazu kann ich auch nichts sagen.
Gruß,
Carl-Heinz Barner
<Bruno.Win...@gmx.de> wrote:
>wenn der Autor wirklich z^5 = 1,5 + 1,5 wurzel(3i) meint, hätte er es als
>zwei Gleichungen auslegen müssen:
>a^2=3i
>z^5=1,5 + 1,5a
>aber da diese Autoren auch nur Menschen sind können die sich auch mal
>verhauen.
>
>mich würde interessieren ob z^5 = 1,5 + 1,5 wurzel(3i) die einzige Aufgabe
>ist, in der wurzel(i) oder wurzel(-1) benutzt wird.
>haben eigentlich Mehrere solche Aufgaben in Büchern gesehen?
>
Diese Aufgabe wurde in einem Übungsblatt der
Fernuniversität Hagen
gestellt (für spätere Elektroingenieure)
mfg
Carl-Heinz
Daniel Fischer
> formal wäre folgendes: [...]
> leider führt dies zu einem Widerspruch!
Okay, einfacher ausgedrueckt...
x^2 = i => x = wurzel(i); x e C
Im Klartext: Fuer alle x, die Elemente der Menge C sind und deren Quadrat i
betraegt, schreiben wir: x ist eine Wurzel von i.
Wenn ich nun eine Wurzel herausfinden will, dann kann ich nicht irgendeine
lustige Funktion hernehmen, sondern muss Werte finden, die in diese
Beziehung passen. Davon gibt es halt mehrere (hier 2), und in jedem einzelnen
Fall kann ich sagen: "Das Quadrat von x ist i, also ist x eine Wurzel aus i."
Carl-Heinz Barner
<Bruno.Win...@gmx.de> wrote:
>naja wenn wir mal bei der Diskussion sind, dann kann ich mal meine Meinung
>dazukunden.
>
>> Es geht um die Gleichung z^5 = 1,5 + 1,5 wurzel(3i)
>weiter oben hat er beschrieben dass es auch wurzel(3)*i heissen könnte.
>
Ich habe geschrieben:
"Oder es liegt ein Schreibfehler in der Aufgabe vor und es muß heißen:
z^5 = 1,5 + 1,5 wurzel(3) * i"
Dann wäre aber der Fall erledigt und ich hätte nicht gefragt, ob
wurzel(i)
definiert ist !
mfg
Carl-Heinz
Thomas Nordhaus
>
> Carl-Heinz Barner <car...@gmx.de> wrote:
> > formal wäre folgendes: [...]
> > leider führt dies zu einem Widerspruch!
>
> Okay, einfacher ausgedrueckt...
>
> x^2 = i => x = wurzel(i); x e C
Sorry, dass ich widersprechen muss. Es gibt in der Mathematik keine von
allen akzeptiert FUNKTION namens Wurzel(z) für komplexe Zahlen. Die
müsstest du uns also erstmal definieren, bevor du sie gebrauchst.
An dieser Stelle - vielleicht greifts ja einer auf - möchte ich aber das
Stichwort "mehrwertige" Funktionen erwähnen. Dieser Begriff war (ganz)
früher bei Funktionentheoretikern bekannt, wird aber heutzutage IMHO
nicht mehr verwendet. Stattdessen muss man sich mit Riemannschen Flächen
weiterhelfen, erhält dadurch aber ein viel tieferes Verständnis in die
Lösungsstruktur von algebraischen und sonstigen Gleichungen in komplexen
Zahlen.
Gruß, Thomas
Daniel Fischer
Thomas Nordhaus <tno...@t-online.de> wrote:
> Sorry, dass ich widersprechen muss. Es gibt in der Mathematik keine von
> allen akzeptiert FUNKTION namens Wurzel(z) für komplexe Zahlen. [..]
Es soll auch keine Funktion sein, sondern ein Symbol, darum geht es hier
doch die ganze Zeit.
daniel
--
Daniel Fischer, <uy...@rz.uni-karlsruhe.de>
Thomas Nordhaus
>
> Hallo.
>
> Thomas Nordhaus <tno...@t-online.de> wrote:
> > Sorry, dass ich widersprechen muss. Es gibt in der Mathematik keine von
> > allen akzeptiert FUNKTION namens Wurzel(z) für komplexe Zahlen. [..]
>
> Es soll auch keine Funktion sein, sondern ein Symbol, darum geht es hier
> doch die ganze Zeit.
Aha, symbolisches Wurzelziehen?
Immer wieder mal was neues
Gruß, Thomas
Carl-Heinz Barner
wrote:
>Carl-Heinz Barner <car...@gmx.de> wrote:
>> formal wäre folgendes: [...]
>> leider führt dies zu einem Widerspruch!
>
>Okay, einfacher ausgedrueckt...
>
>x^2 = i => x = wurzel(i); x e C
>
Das ist falsch:
Annahme:
Deine Definition ist wahr.
Ich setze nun speziell:
x = sqr(2)/2 + sqr(2)/2 * i
Die linke Seite ist dann wahr und also auch (wenn deine Definition
wahr ist) sqr(2)/2 + sqr(2)/2 * i = wurzel(i)
Ich setze dann wieder speziell:
x = -sqr(2)/2 - sqr(2)/2 * i
Die linke Seite ist dann auch wahr und also auch (wenn deine
Definition wahr ist) -sqr(2)/2 -sqr(2)/2 * i = wurzel(i)
Daraus folgt dann wieder:
sqr(2)/2 + sqr(2)/2 * i = -sqr(2)/2 - sqr(2)/2 * i
und du hast einen Widerspruch, der sich aus deiner Definition ergibt.
Du mußt deine Formalisierung also ändern !
mfg
Carl-Heinz
Carl-Heinz Barner
<tno...@t-online.de> wrote:
>Daniel Fischer schrieb:
>>
>> Hallo.
>>
>> Thomas Nordhaus <tno...@t-online.de> wrote:
>> > Sorry, dass ich widersprechen muss. Es gibt in der Mathematik keine von
>> > allen akzeptiert FUNKTION namens Wurzel(z) für komplexe Zahlen. [..]
>>
>> Es soll auch keine Funktion sein, sondern ein Symbol, darum geht es hier
>> doch die ganze Zeit.
>
>Aha, symbolisches Wurzelziehen?
>
Was ist das ?
Wenn man streng formal vorgeht (wie z.B.in der Prädikatenlogik), müßte
man erst mal anfangen verschiedene Sachen zu definieren ...
mfg
Carl-Heinz
Daniel Fischer
> Daraus folgt dann wieder:
> sqr(2)/2 + sqr(2)/2 * i = -sqr(2)/2 - sqr(2)/2 * i
(Du meinst sqrt(2) aber egal...)
Soll ich noch 100-mal schreiben, dass wurzel(i) ein Schreibweise fuer einen
bestimmten Sachverhalt ist, und keineswegs eindeutig? Was Du da machst ist
genau das selbe wie:
Schwarz = Farbe
Weiss = Farbe
=> Schwarz = Weiss
Ersetze "Farbe" durch "Eine Wurzel der imaginaeren Einheit". Ist Schwarz
deshalb ploetzlich Weiss? :)
Carl-Heinz Barner
wrote:
>Carl-Heinz Barner <Carl-Hei...@gmx.de> wrote:
>> Annahme: Deine Definition ist wahr.
>[ .. blafasel .. ]
>
Hast du das überhaupt verstanden ?
Ich glaube nicht.
>
>Soll ich noch 100-mal schreiben, dass wurzel(i) ein Schreibweise fuer einen
>bestimmten Sachverhalt ist, und keineswegs eindeutig? Was Du da machst ist
>genau das selbe wie:
> Schwarz = Farbe
> Weiss = Farbe
>=> Schwarz = Weiss
>
>Ersetze "Farbe" durch "Eine Wurzel der imaginaeren Einheit". Ist Schwarz
>deshalb ploetzlich Weiss? :)
ja, rein formal gesehen.
Du kannst eben *nicht* einfach hinschreiben und definieren, was *du
willst* und dann sagen, ob daraus ein Widerspruch folgt oder nicht,
ist mir egal.
BTW:
Du hast es bis jetzt immer noch nicht geschafft, das was du mit deiner
Wurzeldefinition meinst, sauber zu formalisieren.
Bevor du dies nicht hinbekommst, hat eine weitere Diskussion keinen
großen Sinn.
mfg
Carl-Heinz
Carl-Heinz Barner
<tno...@t-online.de> wrote:
>
>An dieser Stelle - vielleicht greifts ja einer auf - möchte ich aber das
>Stichwort "mehrwertige" Funktionen erwähnen.
>
Wie wird das Problem der Mehrdeutigkeit (ein Ausdruck hat mehrere
Werte) so *formalisiert*, daß es eben nicht zu den genannten
Widersprüchen führt
Kannst du mir da weiterhelfen ?
mfg
Carl-Heinz
Thomas Nordhaus
> On Wed, 25 Oct 2000 19:01:52 +0200, Thomas Nordhaus
> <tno...@t-online.de> wrote:
> >
> >An dieser Stelle - vielleicht greifts ja einer auf - möchte ich aber das
> >Stichwort "mehrwertige" Funktionen erwähnen.
> >
> Was mich brennend interessiert:
> Wie wird das Problem der Mehrdeutigkeit (ein Ausdruck hat mehrere
> Werte) so *formalisiert*, daß es eben nicht zu den genannten
> Widersprüchen führt
Wie gesagt, "mehrwertige" Funktionen sind IMHO aus der Mode, das Zauberwort
ist "Riemannsche Flächen" ! Ich erinnere mich noch, dass mehrwertige
Funktionen von Dieudonne (Grundzüge der modernen Analysis) verdammt wurden
und das bedeutet dann schon einiges. Die Probleme mit Mehrdeutigkeit hat man
für komplexe Funktionen und da sind die R. Flächen eben das geeignete Mittel.
Im reellen kann man sich immer über die zu wählenden Werte einigen (z.B.
arcsin, Wurzel).
Vielleicht sollten wir ja einen Thread über Riemannsche Flächen starten. Ist
sehr interessant
Gruß, Thomas
Daniel Fischer
Ich hab genau verstanden dass Du die Wurzel als eine Funktion auffasst, was
sie aber nicht ist. :)
So, mir reichts jetzt, ich hab ja nicht die falsche Loesung eingesandt :)
Hendrik van Hees
Eins vorweg, ich bin Physiker, aber bei mir sind die Riemannflaechen von
so entscheidender Bedeutung, dass ich glaube, ich kann was dazu sagen.
Die Quadratwurzel ist ein schoenes, weil einfaches, Beispiel. Fuer z \in
C soll x=\sqrt(z) ja eine Zahl sein, fuer die x^2=z gilt. Offenbar ist
diese Gleichung immer loesbar, aber es gibt mindestens zwei Loesungen.
Ist naemlich x1 eine Loesung, dann sicher auch x2=-x1.
Um das ein bisschen genauer zu untersuchen, stellen wir z in
Polarkoordinaten dar:
z=r*exp(i phi)
mit r \in R_{>=0} und phi \in [0,2 Pi).
Dann wird klar, dass eine Loesung
x1=sqrt(r)*exp(i phi/2)
und die andere
x2=sqrt(r)*exp[i phi/2+i Pi]
ist, weil ja exp(2i Pi)=1 ist. Dabei habe ich die Wurzel fuer reelle
Zahlen wie ueblich willkuerlich positiv definiert.
Jetzt kommt der Witz mit der Riemannschen Flaeche. Um die Wurzel
eindeutig zu machen, stellst Du Dir am besten die komplexe Zahl z durch
einen Zeiger in der Zahlenebene vor. Liegt der Zeiger auf der positiven
z-Achse, definieren wir die Wurzel durch den positiven Wert. Jetzt
lassen wir den Zeiger langsam im Gegenuhrzeigersinn (mathematisch
positive Richtung) wandern, wobei sich der Winkel phi fuer die Wurzel
stetig aendern soll. Dann passiert folgendes: Dreht sich der Zeiger von
z einmal ganz herum, dreht sich der fuer x nur um 180 Grad (also Pi),
d.h. der Imaginaerteil ist immer 0 (fuer reelle positive Zahlen) oder >0
(sonst).
Die anderen Loesungen fuer die Wurzel x, fuer die der Imaginaerteil auch
negativ ist, kriegt man aber, indem man den Zeiger einfach weiterdreht.
Dabei ueberstreicht er die z-Zahlenebene insgesamt zweimal. Man denkt
sich einfach zwei Zahlenebenen aufeinandergelegt vor, wie zwei Blaetter
eines Buches. Man muss jetzt immer sagen, auf welchem Blatt man ist. Die
komplexen Zahlen werden so zu einer zweiblaettrigen Riemannflaeche
vereinigt. Auf dem zweiten Blatt sind dann die Wurzel reeller Zahlen
negativ.
Damit jetzt die ganze Sache noch eindeutig und topologisch einfacher
wird, macht man folgendes. Man schneidet die Blaetter entlang einer
beliebigen Halbachse (beginnend im Ursprung z=0) auf. Kanonischerweise
macht man das entlang der negativen reellen Achse. Entlang dieses
Schnitts (das heisst in der Literatur wirklich so, jedenfalls in der
englischsprachigen Literatur, da ist von der Riemann surface, den
Riemann sheets und den cuts die Rede) heftet man die Blaetter
wendeltreppenartig zusammen, und zwar so, dass man beim Drehen des
Zahlenstrahls das Blatt wechselt, wenn man den Schnitt ueberschreitet.
Bei endlichblaettrigen Riemannflaechen heftet man zum Schluss das letzte
Blatt wieder mit dem ersten zusammen, so dass man beim Weiterdrehen
wieder zurueck auf das erste Blatt kommt (bei der Wurzel heftet man
schon das zweite Blatt wieder mit dem ersten zusammen). Damit ist die
Wurzel dann eindeutig auf der Riemannflaeche definiert, und man kann
stetige Wege im ganzen Definitionsbereich betrachten. Die Wurzel ist
ueberall, bis auf den Schnitt analytisch. Allerdings kann man den
Schnitt irgendwo hinlegen. Wenn man lokale Fragen stellt (grob gesagt,
wenn es um's differenzieren geht) und gerade eine negativ reelle Zahl
betrachtet, kann man den Schnitt auch woanders hinlegen, und dann ist
die Funktion da wunderbar stetig. Die Wurzel hat nur an der Stelle z=0
einen wesentlich singulaeren Punkt. Dass sie dort nicht analytisch ist,
ist klar, denn die Ableitung 1/2 z^(-1/2) ist singulaer an der Stelle
z=0.
Diese Konstruktion fuehrt manchmal sogar auf unendlichblaettrige
Riemannflaechen. Das passiert beim Logarithmus (Umkehrung der
Exponentialfunktion), aber das kannst Du Dir selber ueberlegen.
Das alles fassen die Mathematiker noch viel allgemeiner. Das selbe
Phaenomen tritt beispielsweise auch noch in der Theorie der Liegruppen
auf, wo das ganze unter dem Begriff Ueberlagerung laeuft. Ausserdem habe
ich die global topologischen Fragen (Zusammenhangskomponenten) nicht der
Riemannflaechen nicht erklaert, aber das koennen auch die Mathematiker
viel besser als ich.
Die Mathematiker wuerden diese anschaulichen Vorstellungen sicher in
zwei drei Definitionen kleiden und der Kaese waere fuer sie gegessen,
aber ich finde diese anschauliche Bedeutung der riemannflaechen gerade
fuer die Praxis sehr nuetzlich.
--
Hendrik van Hees Phone: ++49 6159 71-2751
c/o GSI-Darmstadt SB3 3.183 Fax: ++49 6159 71-2990
Planckstr. 1 mailto:h.va...@gsi.de
D-64291 Darmstadt http://theory.gsi.de/~vanhees/index.html
Hermann Kremer
Carl-Heinz Barner schrieb in Nachricht
<39f80355...@news.t-online.de>...
>On 25 Oct 2000 20:55:26 GMT, Daniel Fischer <uy...@rz.uni-karlsruhe.de>
>wrote:
>
>>Carl-Heinz Barner <Carl-Hei...@gmx.de> wrote:
>>> Annahme: Deine Definition ist wahr.
>>
>>[ .. blafasel .. ]
>>
>BTW:
>Du hast es bis jetzt immer noch nicht geschafft, das was du mit deiner
>Wurzeldefinition meinst, sauber zu formalisieren.
OK, versuchen wir's mal so:
Es existiert eine komplexe Zahl z1 = sqrt(1/2)*(1 + i)
Es existiert eine komplexe Zahl z2 = -sqrt(1/2)*(1 + i)
==> z1 und z2 ungleich.
Die 2-te Potenz von z1 ist a1 := z1^2 = i
Die 2-te Potenz von z2 ist a2 := z2^2 = i
==> Die 2-ten Potenzen von z1 und z2 sind gleich.
Die 3-te Potenz von z1 ist b1 := z1^3 = sqrt(1/2)*(-1 + i)
Die 3-te Potenz von z2 ist b2 := z2^3 = -sqrt(1/2)*(-1 + i)
==> Die 3-ten Potenzen von z1 und z2 sind ungleich.
usw.
Die beiden ungleichen Zahlen z1, z2 haben die Eigenschaft, daß
ihre geraden Potenzen den gleichen Wert und ihre ungeraden
Potenzen unterschiedliche Werte haben.
J e d e Zahl z, deren Quadrat den Wert i ergibt, bezeichnen wir als
eine Wurzel des Polynoms z^2 = i.
Die Menge aller dieser Zahlen z bezeichnen wir mit dem Symbol sqrt(i).
Also ist sqrt(i) := {z1, z2}.
usw.
Ist x eine reelle Zahl, so wird per Konvention die p o s i t i v e
Wurzel des
Polynoms w^2 = x durch sqrt(x) bezeichnet.
Ist z eine komplexe Zahl, so wird per Konvention d i e j e n i g e
Wurzel des
Polynoms w^2 = z durch sqrt(z) bezeichnet, die für 0 <= arg(z) < pi
auf
dem 0-ten und für pi < arg(z) < 2*pi auf dem 1-ten Blatt der
Riemann´schen
Ebene liegt (OK, ich bin nicht ganz sicher, ob man die Blätter ab 0 oder
ab 1 zählt ... ebensowenig wie mit <= , aber leider kann ich nicht mehr
schnell
mal bei Eric Weisstein's Mathworld nachschauen ;-(((( )
>Bevor du dies nicht hinbekommst, hat eine weitere Diskussion keinen
>großen Sinn.
Grüße
Hermann
PS:
Weiß zufällig jemand auswendig, wie in Fortran bzw. in C-99 die komplexe
Wurzelfunktion definiert ist ?
Carl-Heinz Barner
<hermann...@online.de> wrote:
>
>OK, versuchen wir's mal so:
>
>Es existiert eine komplexe Zahl z1 = sqrt(1/2)*(1 + i)
>Es existiert eine komplexe Zahl z2 = -sqrt(1/2)*(1 + i)
>==> z1 und z2 ungleich.
>
>Die 2-te Potenz von z1 ist a1 := z1^2 = i
>Die 2-te Potenz von z2 ist a2 := z2^2 = i
>==> Die 2-ten Potenzen von z1 und z2 sind gleich.
>
>Die 3-te Potenz von z1 ist b1 := z1^3 = sqrt(1/2)*(-1 + i)
>Die 3-te Potenz von z2 ist b2 := z2^3 = -sqrt(1/2)*(-1 + i)
>==> Die 3-ten Potenzen von z1 und z2 sind ungleich.
>
>usw.
>
>Die beiden ungleichen Zahlen z1, z2 haben die Eigenschaft, daß
>ihre geraden Potenzen den gleichen Wert und ihre ungeraden
>Potenzen unterschiedliche Werte haben.
>
>J e d e Zahl z, deren Quadrat den Wert i ergibt, bezeichnen wir als
>eine Wurzel des Polynoms z^2 = i.
>Die Menge aller dieser Zahlen z bezeichnen wir mit dem Symbol sqrt(i).
Ich bezeichne dies mit (*)
>Also ist sqrt(i) := {z1, z2}.
>
Dann wäre aber der folgende Ausdruck sinnlos:
z^5 = 1,5 + 1,5 wurzel(3i)
denn daraus folgt:
z^5 = 1,5 + 1,5 wurzel(3) * wurzel(i)
z^5 = 1,5 + 1,5 wurzel(3) * {z1,z2}
>
>usw.
>
>Ist x eine reelle Zahl, so wird per Konvention die p o s i t i v e
>Wurzel des
>Polynoms w^2 = x durch sqrt(x) bezeichnet.
>
>Ist z eine komplexe Zahl, so wird per Konvention d i e j e n i g e
>Wurzel des
>Polynoms w^2 = z durch sqrt(z) bezeichnet,
>
D.h. (wenn z=i gewählt wird), dann ist
sqrt(i) eine Zahl (z.B. x+iy), aber andererseits nach (*) eine Menge
von Zahlen, z.B. {z1,z2}
Also:
x+iy = {z1,z2}
Das ist doch aber ein sinnloser Ausdruck, oder ?
>
>die für 0 <= arg(z) < pi
>auf
>dem 0-ten und für pi < arg(z) < 2*pi auf dem 1-ten Blatt der
>Riemann´schen
>Ebene liegt (OK, ich bin nicht ganz sicher, ob man die Blätter ab 0 oder
>ab 1 zählt ... ebensowenig wie mit <= , aber leider kann ich nicht mehr
>schnell
>mal bei Eric Weisstein's Mathworld nachschauen ;-(((( )
>
mfg
Carl-Heinz
axel_schm...@my-deja.com
Carl-Hei...@gmx.de (Carl-Heinz Barner) wrote:
> On Thu, 26 Oct 2000 20:39:09 +0200, "Hermann Kremer"
> <hermann...@online.de> wrote:
>
> >Die Menge aller dieser Zahlen z bezeichnen wir mit dem Symbol sqrt
(i).
> Ich bezeichne dies mit (*)
> >Also ist sqrt(i) := {z1, z2}.
> >
> Dann wäre aber der folgende Ausdruck sinnlos:
> z^5 = 1,5 + 1,5 wurzel(3i)
> denn daraus folgt:
> z^5 = 1,5 + 1,5 wurzel(3) * wurzel(i)
> z^5 = 1,5 + 1,5 wurzel(3) * {z1,z2}
> >
> >usw.
Hallo Carl-Heinz,
bevor wir uns hier in syntaktische und semantische Finessen
verfransen.... ich glaube, es fällt schwer, in der deutschen Sprache
was zu formulieren, selbst mithilfe mathematischer Notationen, was ein
Non_MS Compiler problemlos verarbeiten könnte, würde ich an Hermanns
und Deine Überlegungen etwas anderes anknüpfen.
Das Problem, was diesen ganzen Thread entzündet hat, ist, daß man, so
denken wir bisher, wurzel(3i) mit zwei Werten belegen könnte.
Algebraisch gesprochen, und diesen Standpunkt verfolgen wir jetzt 'mal
weiter, bedeutet dies, Es gibt genau einen nicht trivialen
Automorphismus des Körpers Q( wurzel(3i) ) der Q(i) (dieser Körper
liegt dadrin) festläßt. Jetzt denken wir 'mal einen Schritt weiter. Yo
und Q(i) besitzt auch wieder genau einen nicht trivialen
Automorphismus , der Q festläßt.
Q selbst, als Primkörper, kennt nur den trivialen Automorphismus.
Wenn wir also alle Wahlmöglichkeiten für wurzel(3i) berücksichtigen
wollen, haben wir tatsächlich 4. Die kann man jetzt schön beschreiben.
Wir wählen nämlich eine Wurzel aus -1, nennen wir sie sqrt(-1). Und
wir wählen eine Wurzel aus 3 sqrt(-1), nennen wir sie sqrt(3sqrt(-1)).
Alle Möglichkeiten lauten nun
sqrt(3 sqrt(-1)), -sqrt(3 sqrt(-1)), sqrt(-1) sqrt(3 sqrt(-1)) und -sqrt
(-1) sqrt( 3 sqrt(-1))
Diese Menge da oben hängt nun tatsächlich nicht mehr von Wahlen ab,
d.h. ganz egal welche wurzel von -1 und welche wurzel von 3 mal
wurzel von -1 wir gewählt haben, die Menge da oben ist immer dieselbe,
insbesondere enthält sie auch Deine Wahl. Jetzt betrachten wir die
Gleichung
z^5 = 3/2 ( 1 + sqrt(3 sqrt(-1)))
z hat jetzt tatsächlich über Q den Grad 20. Wenn wir also eine
Gleichung für z mit rationalen Korffizienten suchen, und die brauchen
wir, wenn wir alle Wahlen in der Gleichung ausschließen wollen,
benötigen wir ein Polynom vom Grad 20.
Wenn wir jetzt aber alle 20 Lösungen der Gleichung hinschreiben wollen,
also
rad5(3/2 (1+sqrt(3 sqrt(-1)))) , ... und die anderen 19
brauchen wir noch eine weitere Zahl, nämlich rad5(1)(eine 5-te
Einheitswurzel <>1, die wir hier auch erstmal wählen müssen.
Damit gewappnet läßt sich die Menge wieder vollständig aufschreiben,
sodaß auch hier die Menge wieder unabhängig ist von allen gemachten
Auswahlen.
Aufgabe: Machen 'mer das 'mal!
Die einzigen Symbole die auftauchen, sind rad5 für 5-te Wurzel, sqrt
für Quadratwurzel.
Der Witz bei der Geschicht: Jede dieser 20 Zahlen ist über Q völlig
gleichwertig, sie lassen sich nicht unterscheiden. Aber wenn man eine
ausgewählt hat gibt's eben einen 'Prozeß', mit dem man die anderen
systematisch produzieren kann.
Gruß,
Axel
PS: Die siehst vielleicht, welchen Aufwand es macht, diese Wahlen von
Wurzeln alle mitzuberücksichtigen. Deswegen gibt es sog. kanonische
Wahlen, z.B. i in C (komplexe Zahlen).
Wen man als Lehrer z.B. wurzel(3i) hinschreibt meint man wahrscheinlich
einfach eine (ausgewählte) ;-).
axel_schm...@my-deja.com
axel_schm...@my-deja.com wrote:
> Wenn wir also alle Wahlmöglichkeiten für wurzel(3i) berücksichtigen
> wollen, haben wir tatsächlich 4. Die kann man jetzt schön beschreiben.
> Wir wählen nämlich eine Wurzel aus -1, nennen wir sie sqrt(-1). Und
> wir wählen eine Wurzel aus 3 sqrt(-1), nennen wir sie sqrt(3sqrt(-1)).
>
> Alle Möglichkeiten lauten nun
>
> sqrt(3 sqrt(-1)), -sqrt(3 sqrt(-1)), sqrt(-1) sqrt(3 sqrt(-1)) und -
sqrt
> (-1) sqrt( 3 sqrt(-1))
>
Ich sehe gerade, daß man vielleicht, um die Sache zu verstehen, die
Gleichung über Q angibt.
wurzel(3i) hat über Q die Gleichung x^4+9=0
Axel