Quersumme immer 9

[Albrecht Schmidt]

Hy Leute,

kann mir jemand ein mathematischen Beweis geben, warum es so ist, wenn
man:
1.) von einer ganzen zweistelligen Zahl x ihre Quersumme subtrahiert,
so ist das Ergebnis immer durch 9 teilbar und wenn man von dieser neu
gewonnenen Zahl immer wieder deren Quersumme subtrahiert bis nur noch
eine Zahl übrig bleibt, die aus nur noch einer Ziffer besteht, die
Zahl immer 9 ist.
2. Wenn man dieses Spielchen mit mehreren aufeinanderfolgenden Zahlen
macht kommen immer die Zahlen 1497 7941 9 1479 7941 9... raus und zwar
immen in dieser Reihenfolge. Warum ist das so?

[Holger Grothe]

Albrecht Schmidt (za...@lehrer1.rz.uni-karlsruhe.de) wrote:
: Hy Leute,

: kann mir jemand ein mathematischen Beweis geben, warum es so ist, wenn
: man:
: 1.) von einer ganzen zweistelligen Zahl x ihre Quersumme subtrahiert,
: so ist das Ergebnis immer durch 9 teilbar und wenn man von dieser neu
: gewonnenen Zahl immer wieder deren Quersumme subtrahiert bis nur noch
: eine Zahl übrig bleibt, die aus nur noch einer Ziffer besteht, die
: Zahl immer 9 ist.

Idee: Sei a die "Zehner"-Ziffer (a \in {1,...,9}) und b die "Einer"-
Ziffer (b \in {0,...9}) dann ergibt sich: 10*a+b - (a+b) = 9*a.
Alles weitere z.B. per Induktion.

: 2. Wenn man dieses Spielchen mit mehreren aufeinanderfolgenden Zahlen

: macht kommen immer die Zahlen 1497 7941 9 1479 7941 9... raus und zwar
: immen in dieser Reihenfolge. Warum ist das so?

Kannst Du mal genauer erklaeren, was Du meinst.
(36 --> 27 --> 18 --> 9
37 --> 27 --> 18 --> 9
38 --> 27 --> 18 --> 9 etc.)
36, 37, 38, 39 sind mehrere aufeinanderfolgende Zahlen. Wie ergibt sich
die obige Zahlenfolge?

Holger
--
Holger Grothe (Email: gro...@mathematik.th-darmstadt.de)
Fachbereich Mathematik, TH Darmstadt

[Gerald Fix]

Albrecht Schmidt (za...@lehrer1.rz.uni-karlsruhe.de) wrote:
: 1.) von einer ganzen zweistelligen Zahl x ihre Quersumme subtrahiert,
: so ist das Ergebnis immer durch 9 teilbar und wenn man von dieser neu
: gewonnenen Zahl immer wieder deren Quersumme subtrahiert bis nur noch
: eine Zahl übrig bleibt, die aus nur noch einer Ziffer besteht, die
: Zahl immer 9 ist.

Ein ähnlicher Effekt ergibt sich bei Zahlendrehern. Die Differenz
zwischen zwei Zahlen mit Zahlendreher (zB. 8745 - 8547) ist immer
durch 9 teilbar. Gibt 's dafür eine einfache Erklärung - oder gar
eine, die in diese Gruppe passt?

Mit arithmetischem Gruß

Gerald

[Damian Weber]

In article <54bk3d$i...@nz12.rz.uni-karlsruhe.de>, za...@lehrer1.rz.uni-karlsruhe.de (Albrecht Schmidt) writes:
|> Hy Leute,
|>
|> kann mir jemand ein mathematischen Beweis geben, warum es so ist, wenn
|> man:

|> 1.) von einer ganzen zweistelligen Zahl x ihre Quersumme subtrahiert,
|> so ist das Ergebnis immer durch 9 teilbar und wenn man von dieser neu
|> gewonnenen Zahl immer wieder deren Quersumme subtrahiert bis nur noch
|> eine Zahl übrig bleibt, die aus nur noch einer Ziffer besteht, die
|> Zahl immer 9 ist.

Sei x=x_0+10*x_1+....+10^n*x_n,
dann gilt x=x_0+x_1+...+x_n mod 9,
somit x-(x_0+x_1+...+x_n)=0 mod 9.
Also teilt 9 die Differenz.

|> 2. Wenn man dieses Spielchen mit mehreren aufeinanderfolgenden Zahlen
|> macht kommen immer die Zahlen 1497 7941 9 1479 7941 9... raus und zwar
|> immen in dieser Reihenfolge. Warum ist das so?
|>

Kannst Du mal an einem Beispiel verdeutlichen, was Du meinst ?

Gruss

Damian

[Andreas Jung]

Gerald Fix (geral...@t-online.de) wrote:
: Ein ähnlicher Effekt ergibt sich bei Zahlendrehern. Die Differenz

: zwischen zwei Zahlen mit Zahlendreher (zB. 8745 - 8547) ist immer
: durch 9 teilbar. Gibt 's dafür eine einfache Erklärung - oder gar
: eine, die in diese Gruppe passt?

Zum Beweis sieht man zunaechst ein, dass die Differenz zwischen zwei
Zahlen, die durch eine einzige Ziffernvertauschung auseinander
hervorgehen, wegen

(a*10^m + b*10^n) - (b*10^m + a*10^n) == a+b-b-a == 0 (mod 9)

immer durch 9 teilbar ist. Da sich jede Permutation als
Hintereinanderausfuehrung von Einzelvertauschungen ausdruecken
laesst, gilt dies per Induktion auch fuer zwei Zahlen, die
durch Permutation ihrer Ziffern auseinander hervorgehen.

Interessant mag in diesem Zusammenhang sein, dass dieser
Sachverhalt vor vielen Jahren in einem Micky-Maus-Heft erschien,
allerdings ohne Beweis ;-)

MfG,
Andreas Jung.
--
Andreas Gisbert Jung DL9AAI Tel:0381/498-3364 Fax:0381/498-3366
Theoretische Informatik mailto:aj...@informatik.uni-rostock.de
Universitaet Rostock http://www.informatik.uni-rostock.de/~ajung/
PGP fingerprint = 8A 0B 05 CA EE AB 7B 01 D9 07 6A D0 84 38 BB 82

[Kai Rode]

Albrecht wrote:

> kann mir jemand ein mathematischen Beweis geben, warum es so ist, wenn
> man:
> 1.) von einer ganzen zweistelligen Zahl x ihre Quersumme subtrahiert,
> so ist das Ergebnis immer durch 9 teilbar und wenn man von dieser neu
> gewonnenen Zahl immer wieder deren Quersumme subtrahiert bis nur noch

> eine Zahl =FCbrig bleibt, die aus nur noch einer Ziffer besteht, die
> Zahl immer 9 ist.

Bei einer so kleinen endlichen Menge w=FCrde ich sagen: Beweis durch
Fallunterscheidung. Gilt f=FCr 10, gilt f=FCr 11, gilt f=FCr 12...gilt f=FC=
r 99.

Bye
Kai
--
"There's nothing like a right hook to the left side of your brain to throw
you for a loop."

[josef kunz]

> Ein ähnlicher Effekt ergibt sich bei Zahlendrehern. Die Differenz
> zwischen zwei Zahlen mit Zahlendreher (zB. 8745 - 8547) ist immer
> durch 9 teilbar. Gibt 's dafür eine einfache Erklärung - oder gar
> eine, die in diese Gruppe passt?

ist a eine verdrehung von b und q:N->N die quersumme dann
gilt q(a)=q(b).
ausserdem gilt a kogruent q(a) modulo 9
und b kogruent q(b) modulo 9
nach den rechenregeln fur kongruenzen
a-b kogruent q(a)-q(b) modulo 9

ist das auch immer durch 11 teilbar?

gruss
josef

[Peter Krebs]

josef kunz (ku...@kunz.inka.de.de) wrote:
: > Ein ähnlicher Effekt ergibt sich bei Zahlendrehern. Die Differenz

Nur, wenn die vertauschten Ziffern um eine gerade Anzahl Stellen voneinander
entfernt sind.
Sind a und b vertauscht, sind ferner a und b k Stellen voneinander entfernt,
dann ist die Differenz der Zahlen = (10^k - 1) * Betrag(a-b) .
10^k - 1 ist die Zahl, die aus genau k 9-ern besteht. Sie ist genau dann
durch 11 teilbar, wenn k gerade ist.

Gruss Peter

[Susanne Kaufmann]

josef kunz wrote:
> =

> > Ein =E4hnlicher Effekt ergibt sich bei Zahlendrehern. Die Differenz

> > zwischen zwei Zahlen mit Zahlendreher (zB. 8745 - 8547) ist immer

> > durch 9 teilbar. Gibt 's daf=FCr eine einfache Erkl=E4rung - oder gar

> > eine, die in diese Gruppe passt?

> =

> ist a eine verdrehung von b und q:N->N die quersumme dann

> gilt q(a)=3Dq(b).

> ausserdem gilt a kogruent q(a) modulo 9
> und b kogruent q(b) modulo 9
> nach den rechenregeln fur kongruenzen
> a-b kogruent q(a)-q(b) modulo 9

> =

> ist das auch immer durch 11 teilbar?

> =

> gruss
> josef

Deine Frage zu Zahlendrehern und Teilbarkeit durch 11 kann mit
ja beantwortet werden - vorausgesetzt Du betrachtest die Zahlen =

in ihrer Darstellung zur Basis 12 (statt der ueblichen Basis 10). =

Viele Gruesse,
Susanne

[Susanne Kaufmann]

In article <6JS$4Jj$i...@kunz.inka.de.de>, ku...@kunz.inka.de.de (josef kunz) writes:
> > Ein ähnlicher Effekt ergibt sich bei Zahlendrehern. Die Differenz

> > zwischen zwei Zahlen mit Zahlendreher (zB. 8745 - 8547) ist immer

> > durch 9 teilbar. Gibt 's dafür eine einfache Erklärung - oder gar

> > eine, die in diese Gruppe passt?
>

> ist a eine verdrehung von b und q:N->N die quersumme dann

> gilt q(a)=q(b).

> ausserdem gilt a kogruent q(a) modulo 9
> und b kogruent q(b) modulo 9
> nach den rechenregeln fur kongruenzen
> a-b kogruent q(a)-q(b) modulo 9
>

> ist das auch immer durch 11 teilbar?
>

> gruss
> josef
>

Deine Frage zu Zahlendrehern und Teilbarkeit durch 11 kann mit
ja beantwortet werden - vorausgesetzt Du betrachtest die Zahlen

in ihrer Darstellung zur Basis 12 (statt der ueblichen Basis 10).

Viele Gruesse,
Susanne

PS: Sorry fuer das Repost. Meine Message sieht mit Netscape
verhunzt aus, so dass ich jetzt xrn versuche ...

[Peter Balazs]

>Albrecht wrote:
>
>> kann mir jemand ein mathematischen Beweis geben, warum es so ist, wenn
>> man:
>> 1.) von einer ganzen zweistelligen Zahl x ihre Quersumme subtrahiert,
>> so ist das Ergebnis immer durch 9 teilbar und wenn man von dieser neu
>> gewonnenen Zahl immer wieder deren Quersumme subtrahiert bis nur noch
>> eine Zahl =FCbrig bleibt, die aus nur noch einer Ziffer besteht, die
>> Zahl immer 9 ist.
>
>Bei einer so kleinen endlichen Menge w=FCrde ich sagen: Beweis durch
>Fallunterscheidung. Gilt f=FCr 10, gilt f=FCr 11, gilt f=FCr 12...gilt f=FC=
>r 99.

Der Beweis ist sehr einfach, und wesentlich kuerzer als eine
Fallunterscheidung bei 90 Zahlen:

Bew.: a ... Zehnerstelle, b ... Einerstelle
=> a*10 + b ... die zweiziffrige Zahl,
a + b ..... die Ziffernsumme

a*10 + b -(a + b) = a*10 + b - a - b =
a*10 - a = a *(10 -1) = a * 9

=> Die Differenz der zweiziffrigen Zahl und deren Quersumme ist immer
durch 9 teilbar.

Führt man diesen Prozeß mehrmals durch =>
1.Fall: Ergebnis ist zweiziffrig, das Ganze nochmal, und Ergebnis gilt
natuerlich.
2.Fall: Ergebnis ist einziffrig, das Ergebnis gilt noch immer => Zahl
ist 9
Weitere faelle gibt es natuerlich nicht, da die Anzahl der Ziffern
monoton faellt bei diesem Prozesz!

q.e.d #

[Thorsten Kosfeld]

*a9003307 (Peter Balazs ),*
hatte am *02.11.96* um *12:31*
nix besseres zu tun als zu *Re: Quersumme immer 9:*
uns allen mit Folgendem die Zeit zu stehlen! :-)

Hallo a9003307,

PB> Bew.: a ... Zehnerstelle, b ... Einerstelle
PB> => a*10 + b ... die zweiziffrige Zahl,
PB> a + b ..... die Ziffernsumme
PB> a*10 + b -(a + b) = a*10 + b - a - b =
PB> a*10 - a = a *(10 -1) = a * 9
PB> => Die Differenz der zweiziffrigen Zahl und deren Quersumme
PB> => ist immer
PB> durch 9 teilbar.
PB> Führt man diesen Prozeß mehrmals durch =>
PB> 1.Fall: Ergebnis ist zweiziffrig, das Ganze nochmal, und
PB> Ergebnis gilt natuerlich.
PB> 2.Fall: Ergebnis ist einziffrig, das Ergebnis gilt noch
PB> immer => Zahl ist 9
PB> Weitere faelle gibt es natuerlich nicht, da die Anzahl der
PB> Ziffern monoton faellt bei diesem Prozesz!
PB> q.e.d #

Und das geht nicht nur mit zweistelligen ganzen Zahlen sonder
auch mit Zahlen, die mehr Stellen haben:

a*1000+b*100+c*10+d sei vierstellige Zahl
a+b+c+d sei Quersumme

a*1000+b*100+c*10+d-(a+b+c+d)=a*999+b*99+c*9

und diese entstandene Zahl ist auch ganzzahlig durch 9 teilbar!

Bis zum naechsten Mal...
Thorsten

"Gott ist tot."
(F.Nietzsche)