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Mathe-Rätsel von Heinrich Hemme
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Joachim Zink
May 1, 2023, 9:41:12 AM5/1/23
to
Hallo,
bei der folgenden Mathe-Rätsel-Aufgabe komme ich nicht weiter.
Sie geht zurück auf Heinrich Hemme ("Die Reise durch Wyoming"),
der sie allerdings mit sehr viel Overhead darstellt, weshalb ich
sie, von Ballast befreit, hier abstrakter darstelle.
4 Personen sind mit unterschiedlichen Fahrzeugen unterwegs
---------------------------------------------------------------------------------------------------
Person P1 fährt von Ort A mit einem E-Auto Richtung Ort B
Person P2 fährt von Ort A mit einem E-Bike Richtung Ort B
P2 und P3 fahren von Ort B aus entgegengesetzt in
Richtung Ort A
Person P3 fährt von B nach A mit dem Motorrad
Person P4 fährt von B nach A mit dem Fahrrad
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
P1 überholt P2 um 12:00 h
P1 begegnet P2 um 14:00 h
P1 begegnet P3 um 16:00 h
P2 begegnet P3 um 17:00 h
P3 überholt P4 um 18:00 h
Frage:
Wann begegnen sich P2 und P4?
Wie geht man diese Aufgabe "strategisch" am besten an?
Grüße Joachim
bei der folgenden Mathe-Rätsel-Aufgabe komme ich nicht weiter.
Sie geht zurück auf Heinrich Hemme ("Die Reise durch Wyoming"),
der sie allerdings mit sehr viel Overhead darstellt, weshalb ich
sie, von Ballast befreit, hier abstrakter darstelle.
4 Personen sind mit unterschiedlichen Fahrzeugen unterwegs
---------------------------------------------------------------------------------------------------
Person P1 fährt von Ort A mit einem E-Auto Richtung Ort B
Person P2 fährt von Ort A mit einem E-Bike Richtung Ort B
P2 und P3 fahren von Ort B aus entgegengesetzt in
Richtung Ort A
Person P3 fährt von B nach A mit dem Motorrad
Person P4 fährt von B nach A mit dem Fahrrad
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
P1 überholt P2 um 12:00 h
P1 begegnet P2 um 14:00 h
P1 begegnet P3 um 16:00 h
P2 begegnet P3 um 17:00 h
P3 überholt P4 um 18:00 h
Frage:
Wann begegnen sich P2 und P4?
Wie geht man diese Aufgabe "strategisch" am besten an?
Grüße Joachim
Joachim Zink
May 1, 2023, 9:44:21 AM5/1/23
to
Sorry, Tippfehler
> P2 und P3 fahren von Ort B aus entgegengesetzt in
> Richtung Ort A
Muss heißen:
P3 und P4 fahren von Ort B aus entgegengesetzt in Richtung Ort A
> P2 und P3 fahren von Ort B aus entgegengesetzt in
> Richtung Ort A
P3 und P4 fahren von Ort B aus entgegengesetzt in Richtung Ort A
Joachim Zink
May 1, 2023, 10:06:54 AM5/1/23
to
Bitte um Nachsaicht.
Beim Abschreiben bin ich mit den Indices durcheinandergekommen.
Ich poste die Aufgabe nochmals neu nach Korrektur, damit man beim
Lesen nicht hin und her springen muss.
Beim Abschreiben bin ich mit den Indices durcheinandergekommen.
Ich poste die Aufgabe nochmals neu nach Korrektur, damit man beim
Lesen nicht hin und her springen muss.
Joachim Zink
May 1, 2023, 10:36:55 AM5/1/23
to
Hier die Aufgabe nach Textkorrektur - nochmals Sorry.
Aber diese Aufgabe hat es in sich ...
4 Personen sind mit unterschiedlichen Fahrzeugen unterwegs
----------------------------------------------------------------------------------------------------
Person P1 fährt von Ort A aus mit einem E-Auto Richtung Ort B
Person P2 fährt von Ort A aus mit einem E-Bike Richtung Ort B
P3 und P4 fahren von Ort B aus entgegengesetzt in Richtung A
Person P3 fährt von B nach A mit dem Motorrad
Person P4 fährt von B nach A mit dem Fahrrad
P1 (E-Auto) überholt P2 (E-Bike) um 12:00 h
P1 (E-Auto) begegnet P4 (Fahrrad) um 14:00 h
P1 (E-Auto) begegnet P3 (Motorrad) um 16:00 h
P2( E-Bike) begegnet P3 (Motorrad) um 17:00 h
P3 (Motorrad) überholt P4 (Fahrrad) um18:00 h
Aber diese Aufgabe hat es in sich ...
4 Personen sind mit unterschiedlichen Fahrzeugen unterwegs
Person P1 fährt von Ort A aus mit einem E-Auto Richtung Ort B
Person P2 fährt von Ort A aus mit einem E-Bike Richtung Ort B
P3 und P4 fahren von Ort B aus entgegengesetzt in Richtung A
Person P3 fährt von B nach A mit dem Motorrad
Person P4 fährt von B nach A mit dem Fahrrad
P1 (E-Auto) begegnet P4 (Fahrrad) um 14:00 h
P1 (E-Auto) begegnet P3 (Motorrad) um 16:00 h
P2( E-Bike) begegnet P3 (Motorrad) um 17:00 h
P3 (Motorrad) überholt P4 (Fahrrad) um18:00 h
Ralf Bader
May 1, 2023, 2:34:41 PM5/1/23
to
könnten alleine dadurch, daß sie kurz vor der Begegnung ihre
Geschwindigkeiten variieren, den Begegnungszeitpunkt verschieben, ohne
daß sich das auf die restlichen Angaben in der Aufgabe auswirken würde.
Stefan Schmitz
May 1, 2023, 4:28:50 PM5/1/23
to
eh sinnlos.
Das Problem der unbekannten Startzeiten und Treffpunkte kann man dadurch
eliminieren, indem man Zeit und Strecke so definiert, dass beide am
ersten Überholpunkt 0 sind. Dann hat man einfache Bewegungsgleichungen
für P1 und P2, und die für P3 und P4 lassen sich aus den anderen
Begegnungen bestimmen.
Stephan Gerlach
May 1, 2023, 6:35:16 PM5/1/23
to
Joachim Zink schrieb:
Das ist eine klassische Aufgabenstellung; ich nenne das immer gern
"Begegnungs-Aufgaben". Etwas unübersichtlich wird das Ganze hier
dadurch, daß es hier nicht 2, sondern 4 sich bewegende Objekte gibt.
Ich bevorzuge die physikalische/kinematische Variante:
Lege vorher ein gemeinsames Bezugssystem für alle beteiligten Körper fest.
Hier wäre sinnvoll:
s=0 in Ort A (für den Weg)
t=0 enspricht (z.B.) "wenn P2 startet" (für die Zeit)
Stelle die Weg-Zeit-Gesetze (genauer: Ort-Zeit-Gesetze) für alle
beteiligten Körper auf. Da keiner beschleunigt bzw. die Beschleunigungen
offenbar vernachlässigt werden können, ist hier von gleichförmigen
Bewegungen auszugehen, was das Ganze vereinfachen dürfte:
s1(t) = v1*(t-t01) + s01
s2(t) = v2*(t-t02) + s02
s3(t) = v3*(t-t03) + s03
s4(t) = v4*(t-t04) + s04.
Nach Konstruktion (Bezugssystem) gelten
t02 = 0
s01 = 0
s02 = 0
s03 = s04, also wird alles einfacher:
s1(t) = v1*(t-t01)
s2(t) = v2*t
s3(t) = v3*(t-t03) + s03
s4(t) = v4*(t-t04) + s03.
Was ich vermute (nein, ich hab' die Aufgabe nicht ausgerechnet), ist,
daß man die konkreten Geschwindigkeiten v1, v2, v3, v4 sowie den
"Anfangsweg" s03 nicht braucht, um die gesuchte Zeit zu berechnen,
sondern nur Verhältnisse davon.
So wäre z.B. denkbar, daß P1 mit v1=1m/s in einer Zeit von t=1000s einen
Weg von s=1000m fährt oder aber mit v1=2m/s in derselben Zeit einen Weg
von s=2000m.
Die Zeitpunkte bzw. Treffpunkte werden dann einfach durch gleichsetzen
der entsprechenden Weg-Zeit-Gesetze ermittelt, also z.B. die Frage
"wann und wo treffen sich P1 und P2"
führt dann zur Gleichung
s1(t)= s2(t).
Entsprechend hat man für die anderen "Treffen" jeweils zweier Objekte
vorzugehen.
--
> Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.
gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)
"Begegnungs-Aufgaben". Etwas unübersichtlich wird das Ganze hier
dadurch, daß es hier nicht 2, sondern 4 sich bewegende Objekte gibt.
Ich bevorzuge die physikalische/kinematische Variante:
Lege vorher ein gemeinsames Bezugssystem für alle beteiligten Körper fest.
Hier wäre sinnvoll:
s=0 in Ort A (für den Weg)
t=0 enspricht (z.B.) "wenn P2 startet" (für die Zeit)
Stelle die Weg-Zeit-Gesetze (genauer: Ort-Zeit-Gesetze) für alle
beteiligten Körper auf. Da keiner beschleunigt bzw. die Beschleunigungen
offenbar vernachlässigt werden können, ist hier von gleichförmigen
Bewegungen auszugehen, was das Ganze vereinfachen dürfte:
s1(t) = v1*(t-t01) + s01
s2(t) = v2*(t-t02) + s02
s3(t) = v3*(t-t03) + s03
s4(t) = v4*(t-t04) + s04.
Nach Konstruktion (Bezugssystem) gelten
t02 = 0
s01 = 0
s02 = 0
s03 = s04, also wird alles einfacher:
s1(t) = v1*(t-t01)
s2(t) = v2*t
s3(t) = v3*(t-t03) + s03
s4(t) = v4*(t-t04) + s03.
Was ich vermute (nein, ich hab' die Aufgabe nicht ausgerechnet), ist,
daß man die konkreten Geschwindigkeiten v1, v2, v3, v4 sowie den
"Anfangsweg" s03 nicht braucht, um die gesuchte Zeit zu berechnen,
sondern nur Verhältnisse davon.
So wäre z.B. denkbar, daß P1 mit v1=1m/s in einer Zeit von t=1000s einen
Weg von s=1000m fährt oder aber mit v1=2m/s in derselben Zeit einen Weg
von s=2000m.
Die Zeitpunkte bzw. Treffpunkte werden dann einfach durch gleichsetzen
der entsprechenden Weg-Zeit-Gesetze ermittelt, also z.B. die Frage
"wann und wo treffen sich P1 und P2"
führt dann zur Gleichung
s1(t)= s2(t).
Entsprechend hat man für die anderen "Treffen" jeweils zweier Objekte
vorzugehen.
--
> Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.
gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)
Joachim Zink
May 2, 2023, 5:55:54 AM5/2/23
to
Danke an alle für die Antworten, trotz meines holprigen Starts ...
@ Stefan Schmitz ...
Bitte um Nachsicht.
Und Danke für den interessanten Lösungs-Hinweis.
@ Stephan Gerlach
...
> Was ich vermute (nein, ich hab' die Aufgabe nicht ausgerechnet), ist,
> daß man die konkreten Geschwindigkeiten v1, v2, v3, v4 sowie den
> "Anfangsweg" s03 nicht braucht, um die gesuchte Zeit zu berechnen,
> sondern nur Verhältnisse davon.
Ja - das ist tatsächlich so. Als ich das vor mir stehen hatte, war ich ziemlich
verblüfft.
Wie hast Du das "gesehen", ohne das explizit auszurechnen?
Vielen Dank für die hilfreiche Antwort.
Grüße Joachim
@ Stefan Schmitz ...
> Wenn man nicht konstante Geschwindigkeiten voraussetzt, ist die Aufgabe
> eh sinnlos.
Ich hatte das nicht extra hingeschrieben, da ich dachte, das sei klar.
> eh sinnlos.
Bitte um Nachsicht.
Und Danke für den interessanten Lösungs-Hinweis.
@ Stephan Gerlach
...
> Da keiner beschleunigt bzw. die Beschleunigungen
> offenbar vernachlässigt werden können, ist hier von gleichförmigen
> Bewegungen auszugehen, was das Ganze vereinfachen dürfte:
Der Ursprungsautor (Heinrich Hemme) gibt das so vor.
> offenbar vernachlässigt werden können, ist hier von gleichförmigen
> Bewegungen auszugehen, was das Ganze vereinfachen dürfte:
> Was ich vermute (nein, ich hab' die Aufgabe nicht ausgerechnet), ist,
> daß man die konkreten Geschwindigkeiten v1, v2, v3, v4 sowie den
> "Anfangsweg" s03 nicht braucht, um die gesuchte Zeit zu berechnen,
> sondern nur Verhältnisse davon.
verblüfft.
Wie hast Du das "gesehen", ohne das explizit auszurechnen?
Vielen Dank für die hilfreiche Antwort.
Grüße Joachim
Norbert Heß
May 3, 2023, 11:43:41 AM5/3/23
to
Ich komme auf 15:20 Uhr mit einer geometrischen Lösung:
- alle vier Weg-Zeit-Linien mir den Schnittpunkten einzeichnen,
- die fünf gegeben Begegnungs- und Überholpunkte umschließen
nun ein Dreieck:
die P1- und P3-Linien z.B. sind zwei seiner Seiten,
die P4- und P2-Linien sind Seitenhalbierende,
deren Schnittpunkt ist nun gesucht.
- die dritte (fehlende) Seitenhalbierende beginnt im
Schnittpunkt P1-P3 (16:00)
und endet mittig zwischen 12:00 und 18:00, also bei 15:00
- der gesuchte Schnittpunkt der Seitenhalbierenden liegt
also auf einen Drittel des Weges zwischen 15:00 und 16:00,
also bei 15:20
--
Norbert
Stefan Schmitz
May 3, 2023, 12:06:53 PM5/3/23
to
Am 03.05.2023 um 17:41 schrieb Norbert Heß:
> Ich komme auf 15:20 Uhr mit einer geometrischen Lösung:
> - alle vier Weg-Zeit-Linien mir den Schnittpunkten einzeichnen,
> - die fünf gegeben Begegnungs- und Überholpunkte umschließen
> nun ein Dreieck:
> die P1- und P3-Linien z.B. sind zwei seiner Seiten,
> die P4- und P2-Linien sind Seitenhalbierende,
> deren Schnittpunkt ist nun gesucht.
Warum sind es Seitenhalbierende? Oder ist das nur zufällig wegen der
> Ich komme auf 15:20 Uhr mit einer geometrischen Lösung:
> - alle vier Weg-Zeit-Linien mir den Schnittpunkten einzeichnen,
> - die fünf gegeben Begegnungs- und Überholpunkte umschließen
> nun ein Dreieck:
> die P1- und P3-Linien z.B. sind zwei seiner Seiten,
> die P4- und P2-Linien sind Seitenhalbierende,
> deren Schnittpunkt ist nun gesucht.
Werte so?
Norbert Heß
May 3, 2023, 12:25:45 PM5/3/23
to
Ja, die gegebenen Uhrzeiten
für P1: 12:00 »14:00« 16:00 und
für P3: 16:00 »17:00« 18:00
machen die Aufgabe auf diese Weise lösbar.
(Ansonsten müßte man mit Trigonometrie ran.)
--
Norbert
Stephan Gerlach
May 15, 2023, 8:09:12 PM5/15/23
to
Joachim Zink schrieb:
> @ Stephan Gerlach
> ...
>> Da keiner beschleunigt bzw. die Beschleunigungen
>> offenbar vernachlässigt werden können, ist hier von gleichförmigen
>> Bewegungen auszugehen, was das Ganze vereinfachen dürfte:
>
> Der Ursprungsautor (Heinrich Hemme) gibt das so vor.
>
>> Was ich vermute (nein, ich hab' die Aufgabe nicht ausgerechnet), ist,
>> daß man die konkreten Geschwindigkeiten v1, v2, v3, v4 sowie den
>> "Anfangsweg" s03 nicht braucht, um die gesuchte Zeit zu berechnen,
>> sondern nur Verhältnisse davon.
>
> Ja - das ist tatsächlich so. Als ich das vor mir stehen hatte, war ich ziemlich
> verblüfft.
> Wie hast Du das "gesehen", ohne das explizit auszurechnen?
Physikalische Intuition?! :-)
Das ist erstmal nur ein Verdacht, weil über die Geschwindigkeiten rein
gar nichts erwähnt wird. Danach kommt man auf die Idee "irgendwie
brauche ich doch die Geschwindigkeiten, um hier weiterzukommen?".
Und weiter kommt man irgendwann darauf, daß die Geschwindigkeiten egal
sein könnten, da nur die Zeit gefragt ist. Der ganze Ablauf kann im
"Schneckentempo" mit sehr kleinen Wegen passieren, z.B. die Personen
bewegt sich in 1s 1m, 2m, 3m und 4m weit; oder sie bewegen sich z.B. im
"Raketentempo" in 1s 100m, 200m, 300m und 400m weit. An den
"Zeit-Verhältnissen" ändert das rein gar nichts. Man könnte ja z.B. bei
der "Schneckentempo-Variante" einfach die Einheit m in cm umrechnen;
dann sind die Zahlen(!)werte sogar dieselben wie beim Raketentempo.
> @ Stephan Gerlach
> ...
>> Da keiner beschleunigt bzw. die Beschleunigungen
>> offenbar vernachlässigt werden können, ist hier von gleichförmigen
>> Bewegungen auszugehen, was das Ganze vereinfachen dürfte:
>
> Der Ursprungsautor (Heinrich Hemme) gibt das so vor.
>
>> Was ich vermute (nein, ich hab' die Aufgabe nicht ausgerechnet), ist,
>> daß man die konkreten Geschwindigkeiten v1, v2, v3, v4 sowie den
>> "Anfangsweg" s03 nicht braucht, um die gesuchte Zeit zu berechnen,
>> sondern nur Verhältnisse davon.
>
> Ja - das ist tatsächlich so. Als ich das vor mir stehen hatte, war ich ziemlich
> verblüfft.
> Wie hast Du das "gesehen", ohne das explizit auszurechnen?
Das ist erstmal nur ein Verdacht, weil über die Geschwindigkeiten rein
gar nichts erwähnt wird. Danach kommt man auf die Idee "irgendwie
brauche ich doch die Geschwindigkeiten, um hier weiterzukommen?".
Und weiter kommt man irgendwann darauf, daß die Geschwindigkeiten egal
sein könnten, da nur die Zeit gefragt ist. Der ganze Ablauf kann im
"Schneckentempo" mit sehr kleinen Wegen passieren, z.B. die Personen
bewegt sich in 1s 1m, 2m, 3m und 4m weit; oder sie bewegen sich z.B. im
"Raketentempo" in 1s 100m, 200m, 300m und 400m weit. An den
"Zeit-Verhältnissen" ändert das rein gar nichts. Man könnte ja z.B. bei
der "Schneckentempo-Variante" einfach die Einheit m in cm umrechnen;
dann sind die Zahlen(!)werte sogar dieselben wie beim Raketentempo.
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