Induktionsbeweis: Ein linear unabhaengiges Erzeugendensystem laesst sich nicht verkleinern
Dominik Pusch
heute im Unterricht haben wir folgenden Satz aufgeschrieben:
Ein linear unabhaengiges Erzeugendensystem laesst sich nicht verkleinern!
(Solch ein ES heisst "Basis". Die Anzahl der Basisvektoren heisst
"Dimension")
Nun sollten wir als Hausaufgabe den Satz beweisen. Als er fragte: "Mit
welchen Beweisverfahren" hat jemand zum Spass "vollstaendige Induktion"
gesagt. Er hat kurz ueberlegt und meinte: Es sei moeglich!
Nun hatte er folgenden Ansatz gemacht und ist selbst nicht weiter gekommen:
Ind.Verankerung: Vektorraum der Dimension 1 {a} laesst sich nicht
verkleinern
(da sonst leere Menge, welches kein ES)
Ind.Schritt:
Ind.voraussetzung: n-dimesionaler l.u. Vektorraum (laesst sich nicht
verkleinern und weiterhin ES sein)
Ind.behauptung: n+1 dimensionaler Vektorraum (wie oben)
Dann hat er angefangen mit:
{v(1),v(2),...,v(n+1)} sei l.u. und ES
betrachte {v(1),v(2),...,v(n)}
Nun wie geht es jetzt weiter? Erst meinte er, es ginge doch nicht, da z.B.
ein Vektor in R^3 ja anders als in R^4 ist. Dann meinte er, man koennte doch
noch irgendwie eine Zeile mit z.B. einer Null in jedem Tupel irgendwie
hinzufuegen und als v(n+1) ein Tupel, in dessen letzte Zeile eine 1 steht,
hinzufuegen. Oder so aehnlich ????
Jedenfalls habe ich nicht mehr viel verstanden!
Nun kann mir einer zeigen, wie man den Satz "Ein linear unabhaengiges
Erzeugendensystem laesst sich nicht verkleinern!" mit Induktion richtig
beweisen kann?
Also als Hausaufgabe sollten wir einen indirekten Beweis machen. Ich denke
mal, dass ich das zumindest hinkriege! Aber wie ein Induktionsbeweis dafuer
aussieht interessiert mich auch sehr!
MfG Dominik
Matthias Dank
>
> Hallo,
Hi!
Fuer Vollstaendige Induktion sehe ich keinen Ansatz fuer den Schritt von
n nach n+1.
Ich wuerde es einfach direkt machen.
Sie F={X1,..,Xn} eine Familie von linear unabhaengigen Vektoren. {F} ist
der von F erzeugte Unterraum.
Annahme, man kann F verkleinern, ohne dass sich {F} veraendert.
Dazu nehme ich jenes Xi, dass ich halt per Annahme weglassen koennte,
und F2={F\{Xi}} sei der von der kleineren Menge an Vektoren erzeugte
Unterraum. Nachdem sich F ja verkleinern laesst, muss gelten {F2}={F}.
Und da Xi (der Vektor, den ich weggelassen habe) aus {F} war, muss Xi
auch in {F2} liegen. D.h. es gibt eine Linearkombination von Vektoren
aus F2, die Xi erzeugen
(es existieren a1,a2,..,ai-1,ai+1,..,an mit
Xi=Summe (j=1 bis n, j<>i) aj*Xj
damit ist aber Xi linear abhaengig von X1,X2,..,Xi-1,Xi+1,..,Xn
Dies ist ein Wiederspruch zur Annahme, dass alle Vektoren linear
unabhaengig waeren. Damit ist gezeigt, dass F sich nicht verkleinern
laesst.
--
Bei der Variante durch widerspruch brauche ich keine Induktion.
Ich hoffe, es hilft trotzdem.
--
mfG
Matthias Dank alias kra...@sbox.tu-graz.ac.at
http://come.to/matjas
Wolfgang Thumser
ich kann Dich beruhigen: Abgesehen vom netten Versuch, scheint IMHO "er"
einer Denklogik zu folgen, die jedem "billig und gerecht Denkenden" (wie es
die Juristen manchmal so nett formulieren) die Haare zu Berge stehen lassen.
Wie der Satz
> Ein linear unabhaengiges Erzeugendensystem laesst sich nicht verkleinern!
fuer ES zu beweisen ist, kannst Du an anderer Stelle nachlesen.
> (Solch ein ES heisst "Basis".
Nennt man i.A. so.
> Die Anzahl der Basisvektoren heisst
> "Dimension")
Das ist solange keine vernuenftige Definition des Dimensionsbegriffs, wie nicht
gezeigt ist, dass alle Basen gleiche Dimension besitzen (Das ist im Wesentlichen
der Inhalt des Steinitzschen Austauschsatzes!). Es waere also durchaus denkbar,
zwei verschieden ES ein und desselben Vektorraumes zu kennen, die sich beide
nicht verkleinern lassen, aber trotzdem unterschiedlich viele Vektoren zu besitzen.
> Ind.Verankerung: Vektorraum der Dimension 1 {a} laesst sich nicht
> verkleinern
Jetzt wird der Versuch unternommen, Induktion ueber eine Anzahl (die Dimension)
zu machen, deren Definition in erster Instanz bereits fragwuerdig war und massiv
von der Gueltigkeit des zu beweisenden Satzes abhaengt. Man braucht der weiteren
Argumentation nicht laenger zu folgen, um schon an dieser Stelle zu erkennen, wohin
diese Art von Kreislogik fuehrt: Bestenfalls auf ein Ueberreden, niemals jedoch auf
ein Ueberzeugen. Wir fuehlen uns an einen Klassiker erinnert:
"Es glaubt der Mensch, wenn er nur Worte hoert,
es muesse sich dabei auch etwas denken lassen."
Gruss Wolfgang
--
Wolfgang Thumser
Universität Bielefeld
Fachbereich Mathematik
email: thu...@mathematik.uni-bielefeld.de
Dominik Pusch
Wolfgang Thumser schrieb:
> Hi Dominik,
>
> ich kann Dich beruhigen: Abgesehen vom netten Versuch, scheint IMHO "er"
> einer Denklogik zu folgen, die jedem "billig und gerecht Denkenden" (wie
es
> die Juristen manchmal so nett formulieren) die Haare zu Berge stehen
lassen.
> Wie der Satz
>
> > Ein linear unabhaengiges Erzeugendensystem laesst sich nicht
verkleinern!
>
> fuer ES zu beweisen ist, kannst Du an anderer Stelle nachlesen.
>
> > (Solch ein ES heisst "Basis".
>
> Nennt man i.A. so.
>
> > Die Anzahl der Basisvektoren heisst
> > "Dimension")
>
> Das ist solange keine vernuenftige Definition des Dimensionsbegriffs, wie
nicht
> gezeigt ist, dass alle Basen gleiche Dimension besitzen (Das ist im
Wesentlichen
> der Inhalt des Steinitzschen Austauschsatzes!). Es waere also durchaus
denkbar,
> zwei verschieden ES ein und desselben Vektorraumes zu kennen, die sich
beide
> nicht verkleinern lassen, aber trotzdem unterschiedlich viele Vektoren zu
besitzen.
OK, das haben wir zwar gesagt, aber nicht aufgeschrieben (und nicht
bewiesen).
Folgende Def. waere doch aber richtig:
"Zwei [besser waere "alle"] endliche Basen ein und desselben Verktorraums V
bestehen aus gleichviel Elementen. Die allen Basen von V gemeinsame Anzahl
der Elemente einer Basis nennt man die Dimension von V."
>
> > Ind.Verankerung: Vektorraum der Dimension 1 {a} laesst sich nicht
> > verkleinern
>
> Jetzt wird der Versuch unternommen, Induktion ueber eine Anzahl (die
Dimension)
> zu machen, deren Definition in erster Instanz bereits fragwuerdig war und
massiv
> von der Gueltigkeit des zu beweisenden Satzes abhaengt. Man braucht der
weiteren
> Argumentation nicht laenger zu folgen, um schon an dieser Stelle zu
erkennen, wohin
> diese Art von Kreislogik fuehrt: Bestenfalls auf ein Ueberreden, niemals
jedoch auf
> ein Ueberzeugen. Wir fuehlen uns an einen Klassiker erinnert:
Nun, das ist ja wohl keine richtige Begruendung! Wenn man es richtig
definiert, aendert sich hieran doch auch nichts, oder???
> "Es glaubt der Mensch, wenn er nur Worte hoert,
> es muesse sich dabei auch etwas denken lassen."
>
> Gruss Wolfgang
>
> --
> Wolfgang Thumser
> Universität Bielefeld
> Fachbereich Mathematik
> email: thu...@mathematik.uni-bielefeld.de
>
Kann mir keiner einen rationaleren Grund nennen, warum das nicht gehen
soll???
MfG Dominik
Wolfgang Thumser
in meinem letzten posting wollte ich aufzeigen, dass der unternommene Versuch,
den ersten Teil der Aussage
> Ein linear unabhaengiges Erzeugendensystem laesst sich nicht verkleinern!
> (Solch ein ES heisst "Basis". Die Anzahl der Basisvektoren heisst
> "Dimension")
per Induktion ueber die Dimension des Vektorraumes zu zeigen, niemals zum Ziel
fuehren kann. Denn ohne Definition der Dimension, weiss man nicht, worueber man
eigentlich redet, und mit der (exakten) Definition von Dimension hat man den ersten Teil bereits
vorher (unabhaengig von Dimension) zeigen muessen (weil die Dimensionsdefinition von
der Gueltigkeit des ersten Teiles abhaengt). Also wuerde man durch nachfolgende Induktion
nur etwas beweisen, was man ohnehin schon gezeigt hat, oder man begibt sich in einen
logischen Zirkel.
Du hast insofern recht, als die Tatsache, dass der unternommene Induktionsansatz nicht zum
Ziel fuehrt, nichts ueber die Moeglichkeit (oder Unmoeglichkeit) eines anderen Induktionsbe-
weises sagt. Fragen wir uns also:
Gibt es ueberhaupt eine Moeglichkeit, den ersten Teil der Aussage per Induktion zu beweisen,
und wenn ja, welche?
Diese Frage ist zu vage, um mathematisch beantwortbar zu sein. Man kann sie jedoch in ver-
schiedener Hinsicht praezisieren:
1) Kennt jemand eine Moeglichkeit, sie per Induktion zu beweisen?
Das ist eine aesthetische Frage, weil man jede Aussage (selbst die trivialste) per Induktion be-
weisen kann [Alledings erinnert der Versuch, die Aussage 0=0 per Induktion zu beweisen, stark
an den Versuch, sich die Hosen mit der Beisszange anzuziehen :-)]. Und wann ein gelungener
Induktionsbeweis als mathematisch elegant gilt, ist eine Geschmacksfrage.
2) Gelingt ein Versuch, diese Aussage zu beweisen unter vollstaendigem Verzicht auf die
Induktionsaxiome?
Das haengt sehr von der axiomatischen Formalisierung der Theorie ab,
die im Unterricht meist nie thematisiert wird (Stichwort: Naive Mengenlehre). Ich wuerde
auf ein klares Nein tippen, weil schon die zahlentheoretische Axiomatisierung der
Peanoarithmetik ohne Induktionsaxiom nicht 'mal a+b=b+a beweisen kann.
> Kann mir keiner einen rationaleren Grund nennen, warum das nicht gehen
> soll???
In der Frage ist eine Suggestivunterstellung versteckt: Keiner sagt, dass es nicht geht. Im Gegenteil:
Jeder Beweis einer Aussage, welcher keine Induktion verwendet, laesst sich syntaktisch sehr leicht
in einen Beweis verwandeln, der Induktion verwendet. Die Frage ist: Wie weit wuerde das eine(n)
zufriedenstellen? Oder hast Du schon 'mal eine Beweis des Satzes von Pythagoras gesehen, der
Induktion verwendet? Ich nicht. Irgendwie scheint es der Sache unangemessen, oder?
Meine zugegeben polemische Bemerkung im letzten Posting richtete sich keineswegs gegen Deine
absolut berechtigte Frage, sondern vielmehr gegen den schon im Ansatz zum Scheitern verurteilten
Versuch eines "ers", der es moeglicherweise haette besser wissen muessen.
Dominik Pusch
>
> in meinem letzten posting wollte ich aufzeigen, dass der unternommene
Versuch,
> den ersten Teil der Aussage
>
> > Ein linear unabhaengiges Erzeugendensystem laesst sich nicht
verkleinern!
> > (Solch ein ES heisst "Basis". Die Anzahl der Basisvektoren heisst
> > "Dimension")
>
> per Induktion ueber die Dimension des Vektorraumes zu zeigen, niemals zum
Ziel
> fuehren kann. Denn ohne Definition der Dimension, weiss man nicht,
worueber man
> eigentlich redet, und mit der (exakten) Definition von Dimension hat man
den ersten Teil bereits
> vorher (unabhaengig von Dimension) zeigen muessen (weil die
Dimensionsdefinition von
> der Gueltigkeit des ersten Teiles abhaengt). Also wuerde man durch
nachfolgende Induktion
> nur etwas beweisen, was man ohnehin schon gezeigt hat, oder man begibt
sich in einen
> logischen Zirkel.
>
Sowas machen wir in Mathe andauernd! Das wir erstmal einen Satz aufschreiben
und ihn erst viel spaeter beweisen! Das ist mir schon oft aufgefallen, und
ich finde es irgendwie unlogisch! Denn mit diesen Satz beweisen wir andere
Saetze. Mit diesen anderen Saetzen beweisen wir dann am Ende den Satz, den
wir vorher noch nicht bewiesen hatten!
Als Beispiel faellt mir jetzt spontan die Summenregel bei der
Integralrechnung ein! Die hatten wir am ersten Tag, wo wir damit angefangen
haben, schon aufgeschrieben! Als wir den 1. und 2. Hauptsatz bewiesen haben,
haben wir haeufig die Summeregel benutzt! Und spaeter haben wir die
Summenregel dann mit Hilfe des 1. und 2.HS (und der Summenregel der
Differenzialrechnung) bewiesen! :-)
Also, wenn ich es richtig verstanden haben, ist das genau das gleiche
Problem?
Was fuer ein Zufall, dass Du gerade darauf zu sprechen kommst :-) Damit habe
ich mich vor einiger Zeit schon mal beschaefftigt (Nochmals Danke an Axel!),
aber bin im Endeffekt nicht zum Ziel gekommen!
Nun a+b=b+a kriege ich vielleicht hin ???
Die Addition ist definiert durch:
a1) m+0=0+m=m
a2) n+1=n'
a3) (m+n')=(m+n)'
So, wie fang ich jetzt an?
(p5)
Verankerung: a+0=0+a (nach a1)
Ind.Schritt:Voraussetzung: wenn mit a+b=b+a
Behauptung: auch a+b'=b'+a gilt,
dann sind es alle natuerlichen
Zahlen!
a+b=b+a
So, darf ich einfach sagen (a+b)'=(b+a)' ???
(a+b)'=(b+a)' ;a1
a+b'= (b+a)' ; nach Voraussetzung:
=(a+b)' ; a3
=a+b' Hm, wie kriegt ich es umgekehrt hin, also b'+a?
Waere schoen, wenn mir mal jemand sagen koennte, wie das geht, oder ob es
schon von Anfang an falsch war???
> > Kann mir keiner einen rationaleren Grund nennen, warum das nicht gehen
> > soll???
>
> In der Frage ist eine Suggestivunterstellung versteckt: Keiner sagt, dass
es nicht geht. Im Gegenteil:
> Jeder Beweis einer Aussage, welcher keine Induktion verwendet, laesst sich
syntaktisch sehr leicht
> in einen Beweis verwandeln, der Induktion verwendet. Die Frage ist: Wie
weit wuerde das eine(n)
> zufriedenstellen? Oder hast Du schon 'mal eine Beweis des Satzes von
Pythagoras gesehen, der
> Induktion verwendet? Ich nicht. Irgendwie scheint es der Sache
unangemessen, oder?
Schon verstanden! Also muss man das ganze, grob gesagt, noch mehr
"auseinandernehmen" um es mit Induktion zu beweisen. Heute hat er noch was
von Unterraeumen erzaehlt und von der "Normierung der Basis" usw. Jedenfalls
ist hier der indirekte Beweis viel einfacher!
MfG Dominik
Axel Schmitz-Tewes
Dominik Pusch schrieb:
> Nun a+b=b+a kriege ich vielleicht hin ???
>
> Die Addition ist definiert durch:
> a1) m+0=0+m=m
> a2) n+1=n'
> a3) (m+n')=(m+n)'
>
> So, wie fang ich jetzt an?
für a!=0 bezeichne 'a den eindeutigen Vorgänger und für alle a bezeichne a' den
eindeutigen Nachfolger. Axiom 3 verwende ich frei ohne explizit
daraufhinzuweisen.
zuerst zeigen wir:
Sätzchen I :
a' + b = a + b' für alle a,b
1) Verankerung b=0
a + 0' = (a + 0)' = (0 + a)' = 0 + a' = a' + 0
2) Schritt b>0 (sonst klar)
a + b' = (a + b)' = (Ind vor) ( a' + 'b)' = a' + b
qed.
Sätzchen II:
a + b = b + a für alle a,b
1) Verankerung b=0 oder a=0
Axiom
2) Induktionsschritt b>0 und a >0
a + b = (Sätzchen I) a' + 'b = (ind vor.) 'b + a' = ('b + a)' = (Sätzchen I) (b
+ 'a)' = b + a
qed
axel
Dominik Pusch
> > a1) m+0=0+m=m
> > a2) n+1=n'
> > a3) (m+n')=(m+n)'
> >
> > So, wie fang ich jetzt an?
>
> für a!=0 bezeichne 'a den eindeutigen Vorgänger und für alle a bezeichne
a' den
> eindeutigen Nachfolger. Axiom 3 verwende ich frei ohne explizit
> daraufhinzuweisen.
>
> zuerst zeigen wir:
>
> Sätzchen I :
>
> a' + b = a + b' für alle a,b
>
> 1) Verankerung b=0
>
> a + 0' = (a + 0)' = (0 + a)' = 0 + a' = a' + 0
>
> 2) Schritt b>0 (sonst klar)
>
> a + b' = (a + b)' = (Ind vor) ( a' + 'b)' = a' + b
Hm, irgendwie habe ich die Induktion noch nicht verstanden! Muss ich nicht
zeigen, dass wenn a'+b=a+b' gilt, auch a+b'=a+b'' ist? Also irgendwie fehlt
mir der Schritt von n auf n+1, wie ich es sonst immer mache???
>
> qed.
> Sätzchen II:
>
> a + b = b + a für alle a,b
>
> 1) Verankerung b=0 oder a=0
>
> Axiom
>
> 2) Induktionsschritt b>0 und a >0
>
> a + b = (Sätzchen I) a' + 'b = (ind vor.) 'b + a' = ('b + a)' = (Sätzchen
I) (b
> + 'a)' = b + a
>
> qed
>
hier das gleiche! Mir ist irgendwie nicht klar, was ich eigentlich zeige?
Dominik
Axel Schmitz-Tewes
Dominik Pusch schrieb:
> > 2) Schritt b>0 (sonst klar)
> >
> > a + b' = (a + b)' = (Ind vor) ( a' + 'b)' = a' + b
>
> Hm, irgendwie habe ich die Induktion noch nicht verstanden! Muss ich nicht
> zeigen, dass wenn a'+b=a+b' gilt, auch a+b'=a+b'' ist? Also irgendwie fehlt
> mir der Schritt von n auf n+1, wie ich es sonst immer mache???
Du mußt a' + b = a + b' zeigen, und darfst die Gleichung h' + c = h + c' für
alle c< b und alle h voraussetzen (Induktion über b) Bei meiner Anwendung der
Indvor ist 'b offensichtlich < b (Es reciht hier sogar einfach nur für c den
Vorgänger zu verwenden)
>
>
> > 2) Induktionsschritt b>0 und a >0
> >
> > a + b = (Sätzchen I) a' + 'b = (ind vor.) 'b + a' = ('b + a)' = (Sätzchen
> I) (b
> > + 'a)' = b + a
>
> hier das gleiche! Mir ist irgendwie nicht klar, was ich eigentlich zeige?
Induktion über b, wie oben ist 'b kleiner b, also kommutiert es nach Indvor.
axel
Wolfgang Thumser
Man haette es nicht schoener formulieren koennen:
> Sowas machen wir in Mathe andauernd! Das wir erstmal einen Satz aufschreiben
> und ihn erst viel spaeter beweisen! Das ist mir schon oft aufgefallen, und
> ich finde es irgendwie unlogisch! Denn mit diesen Satz beweisen wir andere
> Saetze. Mit diesen anderen Saetzen beweisen wir dann am Ende den Satz, den
> wir vorher noch nicht bewiesen hatten!
> Als Beispiel faellt mir jetzt spontan die Summenregel bei der
> Integralrechnung ein! Die hatten wir am ersten Tag, wo wir damit angefangen
> haben, schon aufgeschrieben! Als wir den 1. und 2. Hauptsatz bewiesen haben,
> haben wir haeufig die Summeregel benutzt! Und spaeter haben wir die
> Summenregel dann mit Hilfe des 1. und 2.HS (und der Summenregel der
> Differenzialrechnung) bewiesen! :-)
> Also, wenn ich es richtig verstanden haben, ist das genau das gleiche
> Problem?
Es freut mich zu sehen, dass einige ihrem gesunden Menschenverstand
eher trauen als der Weisheit so mancher Schulbuecher und Unterrichts-
darstellungen. Ich kann Dir nur zustimmen: Du hast komplett recht. Das von
Dir beschriebene obige Verfahren ist 1.) weitverbreitet und 2.) kompletter
Unsinn. Meist zeigt es sich in Begleitung von Authoritaetsbeweisen und vielen
schwachen Argumenten statt einem starken. IMHO ist es bis heute nicht gelungen,
die Schulmathematik auf einem logisch sauber fundierten Konzept aufzubauen.
Die ebenfalls weitverbreitete Ausrede, man koenne bestimmte Dinge in der
Mathematik erst spaeter verstehen (kleine Kinder werden oft auf diese Weise
ruhig gestellt), reiht sich zusammen mit unklaren Begriffsbildungen in die lange
Liste der Entschuldigungen ein. Solltest Du irgendwann die Nase davon voll haben,
empfehle ich Dir ein Mathematikstudium, denn:
Was sich ueberhaupt sagen laesst, laesst sich klar sagen,
und wovon man nicht reden kann, darueber muss man schweigen.
Ludwig Wittgenstein, Tractatus Logico Philosophicus
Zurueck zum Thema (Induktion):
> Was fuer ein Zufall, dass Du gerade darauf zu sprechen kommst :-) Damit habe
> ich mich vor einiger Zeit schon mal beschaefftigt (Nochmals Danke an Axel!),
> aber bin im Endeffekt nicht zum Ziel gekommen!
Fuer das folgende benutzt Du offenbar + als zweistellige Verknuepfung, ' als einstellige
Nachfolgeroperation und 0 als Konstante (oder nullstellige Operation, wie manche sagen
wuerden). (Fuer eine weitergehende Praezisierung kann ich auch heute noch Joseph
Shoenfields Buch ueber Mathematical Logic empfehlen) Damit ist 1 nichts weiter als
eine Abkuerzung fuer 0', 2 eine Abkuerzung fuer 0'', usw.
> Nun a+b=b+a kriege ich vielleicht hin ???
>
> Die Addition ist definiert durch:
> a1) m+0=0+m=m
> a2) n+1=n'
> a3) (m+n')=(m+n)'
>
> So, wie fang ich jetzt an?
Es genuegt, statt a1) - a3) die Axiome A1) und A3) heranzuziehen, die
anderen Behauptungen werden sich als Saetze ergeben:
A1) m+0 = m
A2) m+n'=(m+n)'
Beginnen wir also mit Deinem (p5), was ohne a1) als Satz aus A1) und A2)
per Induktion ueber a bewiesen werden kann:
> (p5)
> Verankerung: a+0=0+a
Ab hier schlage ich Dir ein Spiel vor: Du versuchst, so weit zu kommen, wie
Du kannst, wenn nichts mehr geht, versuchen wir, gemeinsam weiter zu kommen
bis der vollstaendige Beweis da steht. Ich gebe nur Hinweise, oder helfe ein wenig
ueber die Stolpersteine. Grundprinzip ist: Keine Information, auf die Du nicht
selbst kommen kannst, o.k.? Du wirst sehen, es klappt nach ein paar Anfangs-
schwierigkeiten immer besser (with a little help from your friends). Zum Rest
kommen wir anschliessend:
> Ind.Schritt:Voraussetzung: wenn mit a+b=b+a
> Behauptung: auch a+b'=b'+a gilt,
> dann sind es alle natuerlichen
> Zahlen!
>
> a+b=b+a
>
> So, darf ich einfach sagen (a+b)'=(b+a)' ???
Du fragst hier: Darf ich von der Zeile A = B (a+b=b+a) zur Zeile A' = B'
uebergehen. Die Antwort: Das haengt (wie beim Schachspiel auch) von
den Regeln ab, die Dir den Uebergang von einer Beweiszeile zur naechsten
entweder gestatten oder verbieten. Was sehen die Regeln also in diesem Fall
vor? Nun, entgegen der Regelwahl beim Schachspiel sind die logischen Ableitungs-
regeln so gewaehlt, dass sie ziemlich genau unsere inhaltlichen Ueberlegungen
widerspiegeln, und die sagen, dass die Gleichheit zweier Zahlen die Gleichheit
ihrer Nachfolger impliziert. Diesen Uebergang zaehlt man deswegen auch zu den
erlaubten logischen Schlussregeln. Mit Recht fragst Du jetzt, wo denn das Regelwerk
festgelegt ist, nach dem man im Ableitungsspiel etwas tun oder nicht tun darf?
Zwar ist der Uebergang in diesem Fall inhaltlich einigermassen klar, aber schliesslich
ist die Behauptung a+b=b+a auch einigermassen klar. Wo hoert also etwas auf, klar zu
sein? Das ist keine leicht zu beantwortende Frage, denn in der Tat haengt das von der
Wahl der zugrunde liegenden Logik ab. Um also zu erkennen, was die Welt im Innersten
zusammenhaelt, bleibt einem der Blick auf das logische Regelwerk letztendlich nicht
erspart. Dummerweise ist der Schulweisheit offenbar nicht recht, was jedem noch so
simplen Gesellschaftsspiel billig ist: Die Offenlegung der logischen Ableitungsregeln.
Diese Geheimnis scheint man zu hueten wie Alberich den Nibelungenhort und verweisst
auf die Hoehere Mathematik fuer deren Aufklaerung. Dummerweise gibt es da aber kein
Geheimnis. Diese Regeln sind so simplel, dass sie von jedem Computer ueberpruefbar
und von jedem Schueler der sagen wir 8. - 9. Klasse nachvollziebar waeren. Man muss
sie nur kennen! Hellseherei zaehlte noch nie zu den herausragenden Eigenschaften der
Mathematik.
> (a+b)'=(b+a)' ;a1
> a+b'= (b+a)' ; nach Voraussetzung:
> =(a+b)' ; a3
> =a+b' Hm, wie kriegt ich es umgekehrt hin, also b'+a?
>
> Waere schoen, wenn mir mal jemand sagen koennte, wie das geht, oder ob es
> schon von Anfang an falsch war???
Wir kommen bald darauf zurueck. Versprochen.
Gruss Wolfgang
PS: Vielleicht immer nur relevante Zitate posten, sonst werden die postings immer laenger!
Dominik Pusch
> Fuer das folgende benutzt Du offenbar + als zweistellige Verknuepfung, '
als einstellige
> Nachfolgeroperation und 0 als Konstante (oder nullstellige Operation, wie
manche sagen
> wuerden). (Fuer eine weitergehende Praezisierung kann ich auch heute noch
Joseph
> Shoenfields Buch ueber Mathematical Logic empfehlen) Damit ist 1 nichts
weiter als
> eine Abkuerzung fuer 0', 2 eine Abkuerzung fuer 0'', usw.
Genau!, Ich will doch nur die Kommutativitaet von (N,+) bewiesen haben!
Wieso verraet mir das keiner :-)
Schon klar! 98 ist
0'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''
''''''''''''''''''''''' :-) Und ich darf die auch selber benennen! Also ich
koennte 0' 5 nennen 0'' 3, 0''' @, 0'''' & ....
Hier die 5 Axiome nochmal:
p1) 0 ist eine Zahl
p2) Jede Zahl n hat genau einen Nachfolger n'.
p3) 0 ist nicht Nachfolger einer Zahl.
p4) Jede Zahl ist Nachfolger hoechstens einer Zahl.
p5) Von allen Mengen, die die Zahl 0 und mit der Zahl n auch deren
Nachfolger n' enthalten, ist die Menge N der natuerlichen Zahlen die
kleinste. (=Induktionsaxiom)
Nun, bis jetzt habe ich immer noch nicht verstanden, warum beides, p2 UND p4
notwendig sind!
> > Nun a+b=b+a kriege ich vielleicht hin ???
> >
> > Die Addition ist definiert durch:
> > a1) m+0=0+m=m
> > a2) n+1=n'
> > a3) (m+n')=(m+n)'
> >
> > So, wie fang ich jetzt an?
>
> Es genuegt, statt a1) - a3) die Axiome A1) und A3) heranzuziehen, die
> anderen Behauptungen werden sich als Saetze ergeben:
>
> A1) m+0 = m
> A2) m+n'=(m+n)'
>
> Beginnen wir also mit Deinem (p5), was ohne a1) als Satz aus A1) und A2)
> per Induktion ueber a bewiesen werden kann:
Aehem, mit p5 meinte ich eigentlich das Induktionsaxiom (5.Peanoaxiom)
> > (p5)
> > Verankerung: a+0=0+a
"Da steh ich nun, ich armer Tor!
Und bin so klug, als wie zuvor"
> > (a+b)'=(b+a)' ;a1
> > a+b'= (b+a)' ; nach Voraussetzung:
> > =(a+b)' ; a3
> > =a+b' Hm, wie kriegt ich es umgekehrt hin, also b'+a?
> >
> > Waere schoen, wenn mir mal jemand sagen koennte, wie das geht, oder ob
es
> > schon von Anfang an falsch war???
>
> Wir kommen bald darauf zurueck. Versprochen.
>
> Gruss Wolfgang
>
> PS: Vielleicht immer nur relevante Zitate posten, sonst werden die
postings immer laenger!
--
"Die Nichtwissenheit wissen ist das Hoechste!
Nicht wissen, was Wissen ist, ist ein Leiden.
Nur wenn man unter diesem Leiden leidet, wird man frei von Leiden!
Dass der Weise nicht leidet, kommt daher, dass er an diesem Leiden leidet;
darum leidet er nicht." (taoteking,71)
Wolfgang Thumser
verzeiht, wenn ich mich einmische, aber hier ist Axel vielleicht etwas zu schnell
fuer Dich. Das macht die jahrelange Uebung, wirst sehen :-) !
> > Sätzchen I :
> >
> > a' + b = a + b' für alle a,b
Axel beweist Saetzchen I: Fuer alle b gilt:
Fuer alle a gilt: a + b' = a' + b
durch Induktion ueber b, also zunaechst b = 0 (Gleichungen der Form A=B sind
wieder aus logischen Gruenden zu Gleichungen B=A aequivalent):
> > 1) Verankerung b=0
> >
> > a + 0' = (a + 0)' = (0 + a)' = 0 + a' = a' + 0
Soweit klar, oder? Statt Axels Argument
> >
> > 2) Schritt b>0 (sonst klar)
> >
> > a + b' = (a + b)' = (Ind vor) ( a' + 'b)' = a' + b
haettest Du eher so was wie
a + (b')' = (a + b')' = (IND VOR) (a' + b)' = a' + b'
erwartet, wegen Induktion von n -> n+1. Axel macht in diesem
Sinne Induktion von n-1 -> n, was zwar ein technischer, aber kein
inhaltlicher Unterschied ist. Schuld ist sicher wieder das formale
Dogma: Schluss von n auf n+1, anstatt das Prinzip mit Dominosteinen
zu erklaeren (Ich glaube, es stammt von Conway). Wenn der erste Stein
faellt, und sicher ist, dass mit jedem Stein auch der naechste faellt, dann
fallen alle Steine.
> Hm, irgendwie habe ich die Induktion noch nicht verstanden! Muss ich nicht
> zeigen, dass wenn a'+b=a+b' gilt, auch a+b'=a+b'' ist? Also irgendwie fehlt
> mir der Schritt von n auf n+1, wie ich es sonst immer mache???
s.o.
Gruss Wolfgang
Dominik Pusch
> > >
> > > a' + b = a + b' für alle a,b
>
> Axel beweist Saetzchen I: Fuer alle b gilt:
>
> Fuer alle a gilt: a + b' = a' + b
>
> durch Induktion ueber b, also zunaechst b = 0 (Gleichungen der Form A=B
sind
> wieder aus logischen Gruenden zu Gleichungen B=A aequivalent):
> > > 1) Verankerung b=0
> > >
> > > a + 0' = (a + 0)' = (0 + a)' = 0 + a' = a' + 0
>
> Soweit klar, oder?
Klar!
> Statt Axels Argument
>
> > >
> > > 2) Schritt b>0 (sonst klar)
> > >
> > > a + b' = (a + b)' = (Ind vor) ( a' + 'b)' = a' + b
>
> haettest Du eher so was wie
>
> a + (b')' = (a + b')' = (IND VOR) (a' + b)' = a' + b'
Zu Zeigen: Wenn a + b' = a' + b, dann gilt auch a + b'' = a' + b'
Genau, so habe ich es gelernt :-)
> erwartet, wegen Induktion von n -> n+1. Axel macht in diesem
> Sinne Induktion von n-1 -> n, was zwar ein technischer, aber kein
> inhaltlicher Unterschied ist. Schuld ist sicher wieder das formale
> Dogma: Schluss von n auf n+1, anstatt das Prinzip mit Dominosteinen
> zu erklaeren (Ich glaube, es stammt von Conway). Wenn der erste Stein
> faellt, und sicher ist, dass mit jedem Stein auch der naechste faellt,
dann
> fallen alle Steine.
Nun habe ich es verstanden! Im Prinzip habe ich es auch manchmal schon so
gemacht! Z.B. wenn wir die n-te Ableitung von einer Funktion bestimmen
mussten! Dann habe ich von vorne und, wenn ich nicht mehr weiter kam, von
hinten gerechnet, so dass ich mich dann in der "Mitte" getroffen habe :-)
Hatte auch tatsaechlich funktioniert :-)
Also koennte der Beweis auch so aussehen:
z.Z.: a + b = b + a
Verankerung b=0
a+0=0+a (A1, hatte ich eben ja schon)
Vererbung:
z.Z.: Wenn a+b=b+a gilt, soll auch a+b'=b'+a gelten!
a + b' = (a+b)' = [Voraussetzung:] (b+a)' = b+a' = [Satz 1] b'+a qed
Ei, wie lange habe ich jetzt dafuer gebraucht???
So Axel, und jetzt verrat mir endlich mal, wie der Beweis fuer die
Abgeschlossenheit von (N,+) aussieht :-). Schon seit fast 3 Monaten kann ich
wegen dieser Frage nicht schlafen. :-)))
Fuer (N,*) kann ich sie ja dann selber versuchen (ich hoffe das geht
ziemlich analog?), WENN ich sie fuer (N,+) jemals verstehen sollte!
Also was eine Potenzmenge ist, weiss ich nun. Und die Tatsache, dass eine
Menge und ihre Potenzmenge nie bijektiv aufeinander abgebildet werden
können, glaube ich Dir! Gibt es denn dennoch einen Beweis dafuer? Vielleicht
Widerspruchsbeweis??
MfG Dominik
Dominik Pusch
>
> ------------------------------------------------------------------
> Ein linear unabhängiges Erzeugendensystem lässt sich nicht
> verkleinern.
> ------------------------------------------------------------------
> Sei B ein linear unabhängiges Erzeugendensystem mit Größe |B|=n.
> Im Fall n=1,
> B = {b1} hat eine Linearespanne
> Span(B) = {k·b1: k in R}
> Die einzige Verkleinerung ist ja der Nullmenge mit der Spanne
> Span(Ø) = {0}, die deutlich von Span(B) verschiedene ist.
> Im Fall 1<n,
> nehmen wir eine beliebige strenge Untermenge C = {c1, ., cN}
> indem |C| = N < n, die ein "kleiner" linear unabhängiges
> Erzeugendensystem bilden würde. Wir betrachten ein Mitglied
> b in B\C. Das kann durch eine lineare Kombination von C
> b = t1·c1 + . + tN·cN
> ausgedrückt worden. Aber dann gilt
> t1·c1 + . tN·cN + (-1)·b = 0
> indem die Koefficienten t1,.,tN,-1 nicht alle null sind,
> gegensätzlich zur lineare Unabhängigkeit des
> Erzeugendensystems B. (ein Widerspruch)
> Also wird der Satz induktiv bewiesen. #####
Hm, da ist ein Induktionsanfang bzw. die Betrachtung des Spezialfalls eines
1dimensinalen Vektorraumes (IMHO ueberfluessig) und dann der indirekte
Beweis, wenn ich das richtig sehe!
Axel Schmitz-Tewes
Dominik Pusch schrieb:
> a + b' = (a+b)' = [Voraussetzung:] (b+a)' = b+a' = [Satz 1] b'+a qed
>
> Ei, wie lange habe ich jetzt dafuer gebraucht???
das macht in meinen Augen nicht so viel aus. Wenn Du Deine eigenen Probleme auf
diese Art zum Abschluß bringst, finde ich das beachtlich.
> So Axel, und jetzt verrat mir endlich mal, wie der Beweis fuer die
> Abgeschlossenheit von (N,+) aussieht :-). Schon seit fast 3 Monaten kann ich
> wegen dieser Frage nicht schlafen. :-)))
das können wir natürlich nicht zulassen :-))), leider müßtest Du das Problem
nochmal formulieren, damit ich es verstehe :-)
> Also was eine Potenzmenge ist, weiss ich nun. Und die Tatsache, dass eine
> Menge und ihre Potenzmenge nie bijektiv aufeinander abgebildet werden
> können, glaube ich Dir! Gibt es denn dennoch einen Beweis dafuer? Vielleicht
> Widerspruchsbeweis??
einen sehr eleganten :
Nimm an, es gäbe so eine Abbildung f, die bijektiv wäre:
f: M ---> P(M),
bilde dann folgende Teilmenge T < M:
T:= { x in M | x nicht in f(x) }
Sei t:=f^(-1)(T)
Annahme: t in f(t)=T, dann folgt t nicht in T (nach Def. von T). Widerspruch
Annahme: t nicht in T, dann folgt t in f(t) auch Widerspruch.
=> T kann nicht im Bild liegen => f nicht bijektiv. qed.
schnuckig, nicht wahr?
axel
Axel Schmitz-Tewes
Sophus Lefouque (M) schrieb:
> Im Fall 1<n,
> nehmen wir eine beliebige strenge Untermenge C = {c1, …, cN}
> indem |C| = N < n, die ein "kleiner" linear unabhängiges
> Erzeugendensystem bilden würde. Wir betrachten ein Mitglied
> b in B\C. Das kann durch eine lineare Kombination von C
> b = t1·c1 + … + tN·cN
> ausgedrückt worden. Aber dann gilt
> t1·c1 + … tN·cN + (-1)·b = 0
> indem die Koefficienten t1,…,tN,-1 nicht alle null sind,
> gegensätzlich zur lineare Unabhängigkeit des
> Erzeugendensystems B. (ein Widerspruch)
> Also wird der Satz induktiv bewiesen. #####
>
> So, what's the problem?
ich sehe an keiner Stelle ein Induktionsargument.(BTW: Du setzt natürlich
voraus, daß 0 nicht Element einer linear unabhängigen Menge sein kann.)
axel
Torsten Roensch
> Hier die 5 Axiome nochmal:
>
> p1) 0 ist eine Zahl
> p2) Jede Zahl n hat genau einen Nachfolger n'.
> p3) 0 ist nicht Nachfolger einer Zahl.
> p4) Jede Zahl ist Nachfolger hoechstens einer Zahl.
> p5) Von allen Mengen, die die Zahl 0 und mit der Zahl n auch deren
> Nachfolger n' enthalten, ist die Menge N der natuerlichen Zahlen die
> kleinste. (=Induktionsaxiom)
>
> Nun, bis jetzt habe ich immer noch nicht verstanden, warum beides,
> p2 UND p4 notwendig sind!
Daß man auf (p2) nicht verzichten kann, ist sofort klar. (Anderen-
falls wären ja Modelle denkbar, wo z. B. die Null zwei Nachfolger hat.)
Und daß (p4) auch nicht aus dem Rest folgt, wird etwa dann klar,
wenn man sieht, daß die Menge, die nur die Null und die Eins enthält
(mit 0'=1 und 1'=1), ein Modell für das Axiomensystem (p1,p2,p3,p5) ist.
Gruß
Torsten
Sophus Lefouque (M)
…
> Wolfgang Thumser schrieb:
…
[ich verstehe nicht, was nun los ist.]
——————————————————————————————————————————————————————————————————
Ein linear unabhängiges Erzeugendensystem lässt sich nicht
verkleinern.
——————————————————————————————————————————————————————————————————
Sei B ein linear unabhängiges Erzeugendensystem mit Größe |B|=n.
Im Fall n=1,
B = {b1} hat eine Linearespanne
Span(B) = {k·b1: k in R}
Die einzige Verkleinerung ist ja der Nullmenge mit der Spanne
Span(Ř) = {0}, die deutlich von Span(B) verschiedene ist.
Im Fall 1<n,
nehmen wir eine beliebige strenge Untermenge C = {c1, …, cN}
indem |C| = N < n, die ein "kleiner" linear unabhängiges
Erzeugendensystem bilden würde. Wir betrachten ein Mitglied
b in B\C. Das kann durch eine lineare Kombination von C
b = t1·c1 + … + tN·cN
ausgedrückt worden. Aber dann gilt
t1·c1 + … tN·cN + (-1)·b = 0
indem die Koefficienten t1,…,tN,-1 nicht alle null sind,
gegensätzlich zur lineare Unabhängigkeit des
Erzeugendensystems B. (ein Widerspruch)
Also wird der Satz induktiv bewiesen. #####
So, what's the problem?
--
Very Nice Guy (Magix Version), Singapore
----------------------------------------------------------
If a mirror is broken, everything else, even a perfect
mirror, will appear broken in it.
- Very Nice Guy
----------------------------------------------------------
----- winners beget winners, losers stick with losers -----
Dominik Pusch
> > Abgeschlossenheit von (N,+) aussieht :-). Schon seit fast 3 Monaten kann
ich
> > wegen dieser Frage nicht schlafen. :-)))
>
> das können wir natürlich nicht zulassen :-))), leider müßtest Du das
Problem
> nochmal formulieren, damit ich es verstehe :-)
Ja, ich moechte den Beweis, dass die Addition von natuerlichen Zahlen
abgeschlossen ist. Also, dass die Summe zweier natuerlichen Zahlen auch eine
natuerliche Zahl ist! Erinnerst Du Dich nicht mehr? Du hast mir die Sache
mit den Peano-Axiomen doch letztes Jahr erst eingebrockt :-))
> > Also was eine Potenzmenge ist, weiss ich nun. Und die Tatsache, dass
eine
> > Menge und ihre Potenzmenge nie bijektiv aufeinander abgebildet werden
> > können, glaube ich Dir! Gibt es denn dennoch einen Beweis dafuer?
Vielleicht
> > Widerspruchsbeweis??
>
> einen sehr eleganten :
>
> Nimm an, es gäbe so eine Abbildung f, die bijektiv wäre:
>
> f: M ---> P(M),
>
> bilde dann folgende Teilmenge T < M:
>
> T:= { x in M | x nicht in f(x) }
>
> Sei t:=f^(-1)(T)
>
> Annahme: t in f(t)=T, dann folgt t nicht in T (nach Def. von T).
Widerspruch
> Annahme: t nicht in T, dann folgt t in f(t) auch Widerspruch.
>
> => T kann nicht im Bild liegen => f nicht bijektiv. qed.
>
> schnuckig, nicht wahr?
Ja, habe mir den Beweis direkt eingerahmt :-))
Dominik
Axel Schmitz-Tewes
Dominik Pusch schrieb:
> Ja, ich moechte den Beweis, dass die Addition von natuerlichen Zahlen
> abgeschlossen ist. Also, dass die Summe zweier natuerlichen Zahlen auch eine
> natuerliche Zahl ist! Erinnerst Du Dich nicht mehr? Du hast mir die Sache
> mit den Peano-Axiomen doch letztes Jahr erst eingebrockt :-))
Doch, doch an die Peanoaxiome kann ich mich noch erinnern, aber speziell an das
Problem Abgeschlossenheit nicht mehr. Sorry.
die Abgeschlossenehit ist m.E. ganz einfach.
Beh: für alle a,b natürlich gilt a+b natürlich
Induktion über b
1)Anfang b=0
a+0 = a (a1)
2) Schritt von b auf b'
a+b' = (a+b)' nun ist a+b nach Voraussetzung natürlich und sein Nachfolger per
Axiom garantiert qed.
axel
PS: a2 ist übrigens aus a1 und a3 ableitbar a+1= a+0'=(a+0)'=a'
Dominik Pusch
>
> Beh: für alle a,b natürlich gilt a+b natürlich
>
> Induktion über b
>
> 1)Anfang b=0
>
> a+0 = a (a1)
>
> 2) Schritt von b auf b'
>
> a+b' = (a+b)' nun ist a+b nach Voraussetzung natürlich und sein
Nachfolger per
> Axiom garantiert qed.
>
WAS? Das ist schon alles? Was hat das den nun mit einer Potenzmenge zu
tun???
Ich habe mir die alten Beitraege nochmal angesehen! Da war wohl ein
Missverstaendnis :-). Ich hatte Dich gefragt, was ich nun braeuchte, um das
(mit "das" habe ich die Abgeschlossenheit gemein) zu zeigen.
Du hast es wohl auf das damalige vorherige Problem bezogen (mit dem
kreisverkehr wg. p4) und ich dachte, Du meintest die Abgeschlossenheit :-)
Desshalb war ich die ganze Zeit am ueberlegen, was das wohl mit Potenzmengen
zu tun haette :-)))
Endlich habe ich meinen Frieden wiedergefunden! :-))
Vielen Dank, Dominik
Axel Schmitz-Tewes
> Ich habe mir die alten Beitraege nochmal angesehen! Da war wohl ein
> Missverstaendnis :-). Ich hatte Dich gefragt, was ich nun braeuchte, um das
> (mit "das" habe ich die Abgeschlossenheit gemein) zu zeigen.
> Du hast es wohl auf das damalige vorherige Problem bezogen (mit dem
> kreisverkehr wg. p4) und ich dachte, Du meintest die Abgeschlossenheit :-)
> Desshalb war ich die ganze Zeit am ueberlegen, was das wohl mit Potenzmengen
> zu tun haette :-)))
das tut mir leid. Ich kann mich noch daran erinnern, Dir das von
Neumann'sche Modell der natürlichen Zahlen definiert zu haben (mit Summe
und Produkt als Mengenoperationen), und bei der Frage, ob man zeigen
kann, daß das die natürliche Zahlen seien, i.e., ob hier die
Peanoaxiome greifen, bemerkt zu haben, daß man den Satz brauche, daß
Menge und Potenzmenge nicht bijektiv abbildbar wären.
War das der Zusammenhang?
> Endlich habe ich meinen Frieden wiedergefunden! :-))
Du solltest Dir jetzt 'mal 'ne Runde Schlaf gönnen :-). .. Seit drei
Monaten....
axel
Dominik Pusch
> Neumann'sche Modell der natürlichen Zahlen definiert zu haben (mit Summe
> und Produkt als Mengenoperationen), und bei der Frage, ob man zeigen
> kann, daß das die natürliche Zahlen seien, i.e., ob hier die
> Peanoaxiome greifen, bemerkt zu haben, daß man den Satz brauche, daß
> Menge und Potenzmenge nicht bijektiv abbildbar wären.
>
> War das der Zusammenhang?
Ja, das war das mit
{}, P({}), P(P({})),P( P(P({}))),... oder?
Ich habe noch mal 2, weniger mathematische Fragen:
1.Wie wird "Peano" ausgesprochen :-) War doch ein ital. Mathematiker oder?
2.Ist das der gleiche Neumann, der das Computerprinzip erfunden hat??? Habe
jetzt schon seit fast 2 Jahren kein Informatik mehr, da kein Kurs zustande
kam. Ich kann mich aber noch erinnern, dass wir mal ein "Neumannprinzip"
oder sowas als Diagramm hatten....
MfG Dominik
Axel Schmitz-Tewes
Dominik Pusch schrieb:
> Ja, das war das mit
> {}, P({}), P(P({})),P( P(P({}))),... oder?
yep.
>
>
> Ich habe noch mal 2, weniger mathematische Fragen:
>
> 1.Wie wird "Peano" ausgesprochen :-) War doch ein ital. Mathematiker oder?
yep. würde ich einfach genauso sprechen wie im Deutschen, bin allerdings nicht
sehr sprachbegabt ;-)
> 2.Ist das der gleiche Neumann, der das Computerprinzip erfunden hat???
Das Computerprinzip, geht irgendwie schlußendlich auf Leibniz 'Calculemus'-Idee
zurück Die erste programmierbare (theoretische)Rechenmaschine geht afaik auf
den engl. Mathematiker C. Babbage zurück (ca 1840), weitere gehen auf Turing
und den Logiker Post zurück. Von Neumann entwarf IMHO das Design, was für
unsere heutigen Mikroprozessoren zur Grundlage gemacht wurde. Nach einer
berühmten These von A. Church sind alle diese Maschinen äquivalent.
> Habe
> jetzt schon seit fast 2 Jahren kein Informatik mehr, da kein Kurs zustande
> kam. Ich kann mich aber noch erinnern, dass wir mal ein "Neumannprinzip"
> oder sowas als Diagramm hatte...
Diese Fragen hängen auch stark mit Logik zusammen. Wenn'ste Spaß an so'was
hast, gibt es ein niedliches Springer HTM von Bergmann/Noll 'Mathematische
Logik für Informatiker'. Das hatte mir damals nach meinem verfuschten
Erstsemesterstart in Modelltheorie, wieder Spaß gemacht.
axel
Dominik Pusch
>
> Das Computerprinzip, geht irgendwie schlußendlich auf Leibniz
'Calculemus'-Idee
> zurück Die erste programmierbare (theoretische)Rechenmaschine geht afaik
auf
> den engl. Mathematiker C. Babbage zurück (ca 1840), weitere gehen auf
Turing
> und den Logiker Post zurück. Von Neumann entwarf IMHO das Design, was für
> unsere heutigen Mikroprozessoren zur Grundlage gemacht wurde. Nach einer
> berühmten These von A. Church sind alle diese Maschinen äquivalent.
Das meinte ich doch! Diesen ganzen Schnickschnack mit Hauptspeicher und den
Buessen uns so. (Muesste ich eigentlich genauer wissen! Schliesslich kann
ich ja ein wenig Maschinensprache (8086 Assembler) programmieren. Oder
besser gesagt: debuggen :-))
> > Habe
> > jetzt schon seit fast 2 Jahren kein Informatik mehr, da kein Kurs
zustande
> > kam. Ich kann mich aber noch erinnern, dass wir mal ein "Neumannprinzip"
> > oder sowas als Diagramm hatte...
> Diese Fragen hängen auch stark mit Logik zusammen. Wenn'ste Spaß an so'was
> hast, gibt es ein niedliches Springer HTM von Bergmann/Noll
'Mathematische
> Logik für Informatiker'. Das hatte mir damals nach meinem verfuschten
> Erstsemesterstart in Modelltheorie, wieder Spaß gemacht.
Eigentlich interessiere ich mich nicht dafuer, WIE mein Computer
funktioniert, sonndern DASS er funktioniert! (Ist leider nicht immer so.
Liegt aber am OS :-)) Aber die Grundlogik ist mir schon bekannt. Die paar
einsen und nullen zu verknuepfen ... Dann ein wenig boolsche Algebra...
Aever dat is schon LANG he jewese!
Dat wulle mer doch besser blieve losse!
met fruenliche groesse us ming Koelle,
Dominik
Axel Schmitz-Tewes
> Nach einer
> berühmten These von A. Church sind alle diese Maschinen äquivalent.
sorry, da hab ich Bockmist geredet. Das Turingberechenbar, von
Neumann-berechenbar und mü-rekursiv dasselbe ist, läßt sich natürlich
beweisen. Die Church'sche These lautet irgendwie so: Wenn etwas in
irgendeinem klaren Sinne berechenbar ist, ist es turingberechenbar. Das
umreißt die Klasse der sinnvoll berechenbaren Funktionen als
bekannt. Sie ist selbstverständlich nicht beweisbar.
axel
Sophus Lefouque (M)
>
> > Fuer das folgende benutzt Du offenbar + als zweistellige Verknuepfung, '
> als einstellige
> > Nachfolgeroperation und 0 als Konstante (oder nullstellige Operation, wie
> manche sagen
> > wuerden). (Fuer eine weitergehende Praezisierung kann ich auch heute noch
> Joseph
> > Shoenfields Buch ueber Mathematical Logic empfehlen) Damit ist 1 nichts
> weiter als
> > eine Abkuerzung fuer 0', 2 eine Abkuerzung fuer 0'', usw.
>
> Wieso verraet mir das keiner :-)
> Schon klar! 98 ist
> 0'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''
> ''''''''''''''''''''''' :-) Und ich darf die auch selber benennen! Also ich
> koennte 0' 5 nennen 0'' 3, 0''' @, 0'''' & ....
>
>
> p1) 0 ist eine Zahl
> p2) Jede Zahl n hat genau einen Nachfolger n'.
> p3) 0 ist nicht Nachfolger einer Zahl.
> p4) Jede Zahl ist Nachfolger hoechstens einer Zahl.
> p5) Von allen Mengen, die die Zahl 0 und mit der Zahl n auch deren
> Nachfolger n' enthalten, ist die Menge N der natuerlichen Zahlen die
> kleinste. (=Induktionsaxiom)
>
> Nun, bis jetzt habe ich immer noch nicht verstanden, warum beides, p2 UND p4
> notwendig sind!
p2 ist ähnlich wie die Definition einer Funktion.
p4 ist zur Definition einer injective Funktion ähnlich.
...
> darum leidet er nicht." (taoteking,71)
die "Farbe" (Sex) ist die Leerheit
und die Leerheit ist die Farbe ...
:-)
Sophus Lefouque (M)
...
> > Im Fall n=1,
...
> > Im Fall 1<n,
...
> > b in B\C. Das kann durch eine lineare Kombination von C
...
> > Also wird der Satz induktiv bewiesen. #####
> Hm, da ist ein Induktionsanfang bzw. die Betrachtung des Spezialfalls eines
> 1dimensinalen Vektorraumes (IMHO ueberfluessig)
ich muß zugeben, daß der Anfangschritt eine "Pein in der Rückseite" (pain-
in-the-ass, ich weiß nicht wie man das übersetzen soll) ist. aber, ohne
dieser Schritt, der Ausdruck t1·c1 + ... + tN·cN konnte sinnlos sein, nicht
wahr?
Thomas Richard
>> Neumann'sche Modell der natürlichen Zahlen definiert zu haben (mit Summe
> 2.Ist das der gleiche Neumann, der das Computerprinzip erfunden hat??? Habe
Das war John von Neumann, 1903-1957. Sein "Computerprinzip" hat jedoch
mehrere Vorläufer, er hat es nur am klarsten formuliert - schreibt
zumindest Zemanek.
Ich habe Euren Thread nicht komplett gelesen, daher nur ein Hinweis:
In der Mathematik hat man ab und zu auch mit einem Carl(?) Neumann zu
tun, etwa bei der Neumann'schen Operatorreihe.
MfG
Richie
Axel Schmitz-Tewes
Thomas Richard schrieb:
> Dominik Pusch schrieb:
>
> >> Neumann'sche Modell der natürlichen Zahlen definiert zu haben (mit Summe
>
> > 2.Ist das der gleiche Neumann, der das Computerprinzip erfunden hat??? Habe
>
> Das war John von Neumann, 1903-1957. Sein "Computerprinzip" hat jedoch
> mehrere Vorläufer, er hat es nur am klarsten formuliert - schreibt
> zumindest Zemanek.
Das ist derselbige, der sich mit der Konstruktion der natürlichen Zahlen und so
einiger anderer Sachen beschäftigt hat
> Ich habe Euren Thread nicht komplett gelesen, daher nur ein Hinweis:
> In der Mathematik hat man ab und zu auch mit einem Carl(?) Neumann zu
> tun, etwa bei der Neumann'schen Operatorreihe.
Dies war ein Schüler Riemanns, der sich u.a. um die Weiterentwicklung der Theorie
der abelschen Funktionen und um die Herausgabe der Riemannschen Vorlesungen über
partielle Differentialgleichungen bemüht hat.
BTW. Es gibt noch andere Neumänner, z.B. Bernhard Neumann ;-)
axel
Sophus Lefouque (M)
>
> Sophus Lefouque (M) schrieb:
>
> > Im Fall 1<n,
> > nehmen wir eine beliebige strenge Untermenge C = {c1, …, cN}
> > indem |C| = N < n, die ein "kleiner" linear unabhängiges
> > Erzeugendensystem bilden würde. Wir betrachten ein Mitglied
> > ausgedrückt worden. Aber dann gilt
> > t1·c1 + … tN·cN + (-1)·b = 0
> > indem die Koefficienten t1,…,tN,-1 nicht alle null sind,
> > gegensätzlich zur lineare Unabhängigkeit des
> > Erzeugendensystems B. (ein Widerspruch)
> >
>
> voraus, daß 0 nicht Element einer linear unabhängigen Menge sein kann.)
Hmmmm .... OK, laß mich das noch 'mal versuchen.
——————————————————————————————————————————————————————————————————
Ein linear unabhängiges Erzeugendensystem lässt sich nicht
verkleinern.
——————————————————————————————————————————————————————————————————
Wir bezeichnen durch P(n), die Anweisung
"Ein (beliebiges) linear unabhängiges n-gliederes
Erzeugendensystem lässt sich nicht verkleinern."
Fall n=1: (wie gewöhnlich)
Fall n=2: Sei {b1, b2} ein zweigliederes Erzeugendensystem,
es ist leicht zu wahrnehmen, daß Span(Ø), Span(b1),
Span(b2) alle von Span({b1, b2}) verschiedene sind.
die Induktionshypothese: Angenommen sei die Wahrheit der P(k)
d.h.
"Ein (beliebiges) linear unabhängiges k-gliederes
Erzeugendensystem lässt sich nicht verkleinern."
für 1 <_ k < n ----- [IH]
Wenn es ein linear unabhängiges n-gliederes Erzeugendensystem
B des Vektorraums V gibt, das hat eine Verkleinerung C, bezeichnen
wir B = {b1,...,bm,...,bn}, C = {b1,...,bm}. Betrachten wir
den Unterraum W = Span(B\{b1}), indem ein beliebiges Mitglied x
(als Mitglied des Vektorraums V) durch eine lineare Kombination
x = 0·b1 + t2·b2 + ...+ tm·bm + ... + tn·bn
von B dargestellt worden kann. Das kann auch kürzer durch eine
lineare Kombination von C
x = s1·b1 + s2·b2 + ...+ sm·bm
beschrieben werden. Also wir haben
0 = (s1-0)·b1 + (s2-t2)·b2 + ...+ (sm-tm)·bm + ... + tn·bn
Wegen der Unabhängigkeit des Erzeugendensystems B, können wir
herleiten daß
s1-0 = 0 d.h. s1 = 0
Dann gilt
x = s2·b2 + ...+ sm·bm
C\{b1} = {b2,...,bm} als Untermenge von C, ist natürlich linear
unabhängig. Also, wir haben eine Verkleinerung C\{b1} eines
linear unabhängiges (n-1)-gliederes Erzeugendensystems B\{b1}
produziert, im Gegensatz der Induktionsvoraussetzung [IH].
Die Implikation
[IH] ==> P(n)
ist folglich gültig.
Also wird der Satz P(n) für alle n in Z+ induktiv bewiesen. #####
geht das?
Wolfgang Thumser
Da Du indirekt auf eines meiner postings antwortest, moechte ich einer
abwegigen Interpretation zuvor kommen, auf die bisher vielleicht nur ich ge-
kommen bin:
Dein inhaltliches Argument einmal bei Seite genommen stimme ich Dir
in vollem Umfange zu, wenn Du behauptest, man koenne die fragliche
Aussage per Induktion beweisen. Ich gehe sogar noch weiter und behaupte,
man kann jede beweisbare Aussage auch per Induktion beweisen (so man will).
Mein Einwand gegen den urspruenglichen Vorschlag bezog sich nur auf die
beschriebene Art (naemlich per Induktion ueber einen bislang unzureichend
definierten Begriff (Dimension)), sie zu beweisen. Und dieser Einwand wird
nicht durch Deinen Vorschlag entkraeftet, sie auf andere Art per Induktion
zu beweisen. Im Gegenteil: Damit rennst Du bei mir offene Tueren ein.
Axel Schmitz-Tewes
Sophus Lefouque (M) schrieb:
> Ooops! ein kleiner Fehler. es soll
> 0 = (s1-0)·b1 + (s2-t2)·b2 + ...+ (sm-tm)·bm + ... + (-tn)·bn
> sein. aber das Argument hängt nicht davon ab, also ist das Ergebnis
> dasselbe.
so wie ich das sehe, ist die Induktion in Ordnung, hat jetzt aber, wie
Wolfgang schon geschrieben hat, nicht mehr soviel mit dem anfänglichen
Problem von Dominik zu tun. :-)
axel
Sophus Lefouque (M)
...
> x = 0·b1 + t2·b2 + ...+ tm·bm + ... + tn·bn
> von B dargestellt worden kann. Das kann auch kürzer durch eine
> lineare Kombination von C
> x = s1·b1 + s2·b2 + ...+ sm·bm
> beschrieben werden. Also wir haben
^^^^^^^^^^^^^^
> Wegen der Unabhängigkeit des Erzeugendensystems B, können wir
Ooops! ein kleiner Fehler. es soll
0 = (s1-0)·b1 + (s2-t2)·b2 + ...+ (sm-tm)·bm + ... + (-tn)·bn
sein. aber das Argument hängt nicht davon ab, also ist das Ergebnis
dasselbe.
--