Sind Mengenoperatoren Funktionen?
Georg Westenberger
Ich dachte bisher eigentlich immer, dass Vereinigung/
Durchschnitt von Mengen Funktionen sind. Dann muesste
man doch jeweils einen Definitionsbereich von U x U
angeben koennen mit U = "Menge aller Mengen", was nicht
funktioniert, da die Definition von U zu Widerspruechen
fuehrt.
Was sind Vereinigung/Durchschnitt denn nun, wenn sie
keine Funktionen sind?
Gruss, Georg
Thomas Peters
Wer sagt denn, das alles, was keine Funktion ist, einen
eigenen Namen braucht? Vereinigung und Durchschnitt
kann man mit Hilfe der Axiome der Mengenlehre
konstruieren. Wie das geht erfährst du in
www.mathe-seiten.de/grundlagen.pdf
Der Anfang über Mengen und Abbildungen ist soweit fertig,
an der Algebra wird zur Zeit heftig gearbeitet.
--
Thomas Peters
Oliver Wienand
> Was sind Vereinigung/Durchschnitt denn nun, wenn sie
> keine Funktionen sind?
Ich habe sie als 2-stellige Operatoren kennengelernt.
Das heißt es gibt einen Ausdruck phi(x,y,z), so dass für alle x und y genau
ein z existiert, sp dass phi war ist.
Dann kann man schließen, dass diese Operation eingeschränkt auf eine Menge
eine Funktion ist.
(bei Vereinigung und Schnitt nicht so toll, bei Potenzmengen etwas mehr,
imho)
mfg
gez. wienand
Christian Stapfer
Abbildungsbegriffs gelingt eben leider nicht ganz und
hinterlässt eine manchmal wirklich pathologisch anmutende
Spaltung zwischen Intuition und Formalisierung...Dass Dich
dies verwirrt ist durchaus sehr gut verständlich.
Gruss,
Christian
--
"Until a few years ago, I knew as much about set theory as the average
mathematician, which is to say virtually nothing. Had I been asked to
state the replacement axiom scheme to save my life, I would have
perished in ignorance. Then a colleague went on leave and I was asked to
teach a course on set theory. I did teach the course and in the process
a curious thing happened. I lost all respect for set theory as a
foundation for mathematics."
- Michael Barr: 'Functional Set Theory' (1999)
Thomas Peters
> Die mengentheoretische Reduktion (Formalisierung) des
> Abbildungsbegriffs gelingt eben leider nicht ganz und
> hinterlässt eine manchmal wirklich pathologisch anmutende
> Spaltung zwischen Intuition und Formalisierung...
Inwiefern?
--
Thomas Peters
Christian Stapfer
> On Fri, 06 Sep 2002 17:56:03 +0200, Georg Westenberger <gwes...@gmx.de> wrote:
>
>>Hallo,
>>
>>Ich dachte bisher eigentlich immer, dass Vereinigung/
>>Durchschnitt von Mengen Funktionen sind. Dann muesste
>>man doch jeweils einen Definitionsbereich von U x U
>>angeben koennen mit U = "Menge aller Mengen", was nicht
>>funktioniert, da die Definition von U zu Widerspruechen
>>fuehrt.
>>
>
> man unter einer Relation eine *Teilklasse* von U x U verstehen.
Aber eben: das Problem ist, dass eine solche "Funktion" keine *Menge*
(von Paaren von Elementen) mehr sein kann (weil andernfalls Kurzschluss
im Formalismus der Mengenlehre auftritt), auch sieht die Definition des
geordneten Paares für eine *Mengelehre*mit*(virtuellen)*Klassen* noch
etwas wursteliger aus, als in einer Mengenlehre ohne solche Objekte...
> Hieraus kann man dann auch den Begriff der Funktion sehr allg.
> auf U x U definieren. Schliesslich sind dann "Vereinigung"
> und "Durchschnitt" Funktionen auf U x U.
Der Durchschnitt (A,B) :-> A \cap B wäre dann zwar eine "Funktion" mit
Definitionsbereich UxU, aber der Durchschnitt von *Klassen* (statt
*Mengen*) wäre dies *nicht* mehr: und schon beisst uns dasselbe Problem
auf der Stufe der Klassen wieder...
Gruss,
Christian
Marc Olschok
In der mathematischen Praxis sind die an Vereinigung oder Durchschnitt
beteiligten Mengen meist in irgendeiner Obermenge enthalten, dann treten
solche Probleme nicht auf.
Ist eine Menge X vorgegeben, dann steht deren Potenzmenge PX sowie
_deren_ potenzmenge P(PX) zur Verfuegung.
Man kann dann Vereinigung und Durschnitt als Abbildungen
von P(PX) nach PX definieren.
Eine andere Frage ist, ob man Durchschnitte und Vereinigungen mit Hilfe
des Funktionsbegriffs einfuehren sollte. Wie bereits in anderen Beitraegen
erwaehnt, steht der Funktionsbegriff bei der Einfuehrung dieser Operationen
normalerweise noch nicht zur Verfuegung.
Wer sich diesen ganzen Syntaxsalat sparen will, kann das ganze per
Kategorien einfuehren; dort sind dann die Abbildungen der grundlegende
Baustein.
Marc
Christian Stapfer
> On Sat, 07 Sep 2002 19:17:49 +0200,
> Christian Stapfer <chst...@NOSPAM.hotmail.com> wrote:
>
>>Aber eben: das Problem ist, dass eine solche "Funktion" keine *Menge*
>>(von Paaren von Elementen) mehr sein kann (weil andernfalls Kurzschluss
>>im Formalismus der Mengenlehre auftritt)
>>
>
Wenn wir Funktionen in unserem Formalismus wie "Objekte erster Klasse"
behandeln wollen, *müssen* sie dies schon sein (nimm etwa einen
allgemeinen "Durchschnitt" oder eine ebenso allgemeine "Vereinigung"
über eine geeignet anspruchsvoll indizierte *Familie* von "Funktionen")...
> Wenn du eine Unterscheidung
> haben und nur dann von Funktionen sprechen willst, wenn sie auch Objekte
> eines Mengenuniversums sind, dann nenn das eine /funktionale Klasse/ und
> reserviere den Begriff der /Funktion/ fuer /funktionale Klassen/, die
> Mengen sind; diese Vorgehensweise ist des oefteren anzutreffen..
*Ich* möchte eigentlich, wie der OP, möglichst *keine* Unterscheidung
machen müssen, aber es ist, wie gesagt, gerade die Gefahr von
Inkonsistenzen, die uns zu einer solchen "stufenlogikartigen"
Unterscheidung zwischen Mengen und Klassen und ... *zwingt*.Dein
Vorschlag schafft diese Unterscheidung ja gerade *nicht* ab, sondern
möchte uns, ganz im Gegenteil, glauben machen, eine solche
Unterscheidung sei ganz natürlich. - Nun, wenn man genügend lange mit
einer bestimmten Terminologie gelebt hat, fühlt sie sich vielleicht
tatsächlich "natürlich" und ganz "selbstverständlich" an:
"Allez en avant et la foi vous viendra!" (d'Alembert) Nicht erstaunlich,
wenn es dann gerade "Anfänger" sind, die den satten Frieden allgemeiner
alltagsverstandsmässig abgesicherter Selbstverständlichkeit stören...
> Allerdings
> sind auch die /funktionalen Klassen/ in einem Universum von NBG Objekte.
"Reale" (Quine)? mit denen genauso flexibel operiert werden kann wie mit
Mengen? - Kaum.
>>Der Durchschnitt (A,B) :-> A \cap B wäre dann zwar eine "Funktion" mit
>>Definitionsbereich UxU, aber der Durchschnitt von *Klassen* (statt
>>*Mengen*) wäre dies *nicht* mehr:
>>
>
> Ja, aber der Ursprungsposter sprach doch ueber "Mengenoperationen".
Ich nehme an wir sind uns einig, dass die Einführung von Klassen eben
ein *Bastel* ist, der leider auch nicht eine ganz und gar perfekte
Lösung des Problems liefert: es war ja auch nicht Georg Cantor selig,
der auf die Idee kam, zwecks Rettung der naiven Mengenlehre Klassen im
Stile von NBG einzuführen.
Ich wollte mit meinen Beiträgen nur bestätigen, dass der OP ganz
berechtigterweise etwas unglücklich über diese Situation ist - viele,
keineswegs übermässig dämliche Mathematiker waren es jedenfalls vor ihm.
>
>>und schon beisst uns dasselbe Problem
>>auf der Stufe der Klassen wieder...
>>
>
> In einem anderen Posting hatte ich das schon angedeutet. Da es sich aber
> um Funktionssymbole handelt, werden diese in einer Interpretation als
> Funktionen interpretiert. Es sind dann halt Objekte der Hintergrund-
> mengenlehre.
Ich fürchte nur, dass die Flucht in die Kategorientheorie rein
illusionär ist: schliesslich ist der Funktionsbegriff genauso der Gefahr
von Inkonsistenzen ausgesetzt wie der Mengenbegriff - und aus denselben
Gründen...
Gruss,
Christian
Christian Stapfer
> On Sun, 08 Sep 2002 09:55:03 +0200,
> Christian Stapfer <chst...@NOSPAM.hotmail.com> wrote:
>
>
>>Wenn wir Funktionen in unserem Formalismus wie "Objekte erster Klasse"
>>behandeln wollen, *müssen* sie dies schon sein (nimm etwa einen
>>allgemeinen "Durchschnitt" oder eine ebenso allgemeine "Vereinigung"
>>über eine geeignet anspruchsvoll indizierte *Familie* von "Funktionen")...
>>
>
> Klassen sind.
>
>
>>*Ich* möchte eigentlich, wie der OP, möglichst *keine* Unterscheidung
>>machen müssen, aber es ist, wie gesagt, gerade die Gefahr von
>>Inkonsistenzen, die uns zu einer solchen "stufenlogikartigen"
>>Unterscheidung zwischen Mengen und Klassen und ... *zwingt*.
>>Dein
>>Vorschlag schafft diese Unterscheidung ja gerade *nicht* ab, sondern
>>möchte uns, ganz im Gegenteil, glauben machen, eine solche
>>Unterscheidung sei ganz natürlich.
>>
>
> wir koennen in /einer/ Sprache auch ueber Klassen sprechen, die keine
> Mengen sind. In ZF geht das nicht, man muss erst einen Umweg ueber die
> Metasprache machen. CARD, ON, V etc. sind alles ganz natuerliche Objekte
> in einem Universum von NBG.
>
> Und wieso ueberhaupt sollten Unterscheidungen nicht natuerlich sein?
Du hast gerade meine Antwort auf diese Art von "so tun als ob NBG nichts
anderes als eine Übung in 'gesundem Menschenverstand' sei", die Du in
meinem vorangegangenen Beitrag hättest finden können, kurzerhand
gelöscht. Das enstpricht meiner Erfahrung bei NG Diskussionen:
unangenehme Argumente werden einfach unbeantwortet gelassen.
> Das machen wir doch im taeglichen Leben andauernd.
Als ob "das tägliche Leben" ein gutes Argument wäre, wenn es um Fragen
der Grundlagen der Mathematik geht: eine solche Denkfigur scheint mir
lachhaft. Der OP hat ja eine durchaus nachvollziehbare Analogie zwischen
Funktionen (die Mengen sind und auch so behandelt werden dürfen) und,
z.B. der Abbildung (A,B) :-> A \cap B für beliebige Mengen A, B,
gesehen: *seine* Intuition ist halt noch nicht soweit an einen
vorgegebenen Formalismus angeflanscht, dass er gar nicht mehr merkt,
dass ein relativ willkürlicher Bastel eingesetzt werden muss, um
Widersprüche zu umgehen...
In jedem Falle darf man festhalten, dass sich zahlreiche Mathematiker
lange Zeit schwer damit getan haben, sich mit dieser Art von
Unterscheidung abzufinden, denn wenn man solche Unterscheidungen einmal
einführt gerät man in Verlegenheit, wenn gefragt wird, warum man
Klassen, relativ zu Mengen, eben doch relativ stiefmütterlich behandeln
soll: und schon ist man nicht wenig in Gefahr eine ganze Folge von
Klassen n-ter Stufe einzuführen...
>
>>>Allerdings
>>>sind auch die /funktionalen Klassen/ in einem Universum von NBG Objekte.
>>>
>>"Reale" (Quine)?
>>
>
> Du kannst die Anfuehrungszeichen ruhig weglassen.
> A:={(x,y)|y={x}} ist eine Funktion von UxU nach U und bezeichnet eine Klasse.
> Sie ist real, weil mit den Komprehensionsaxiomen in NBG (nicht Quine,
> sondern Neumann, Goedel, Bernays) allg. ueber Klassen quantifiziert wird.
Trotzdem werden sie in NBG nicht mit Mengen *gleichwertig* behandelt.
NBG ist, was Klassen betrifft, m.W. klar weniger ausdurcksfähig als
bezüglich Mengen. Das sieht man, z.B. schon beim relativ einfachen Fall
der verkrampften Definition des geordneten Paares in NBG. Vielleicht
möchtest Du vorschlagen, Klasen auch als Elemente von Klassen
zuzulassen, damit man die ganze Ausdrucksfähigkeit von NBG, die man
primär für den Umgang mit Mengen bereitgestellt hat, auch auf Klassen
selbst anzuwenden? Mengen wären dann für Klassen so etwas wie Urelemente
für Mengen? - Aber eben: dann geht der Klamauk auf der Stufe der Klassen
weiter und man möchte dann eine unendliche Folge von Klassen höherer
Stufe einführen und so weiter und so fort... - Aber eine wirklich
einfache, geradlinige Lösung des Problems des OP findet man bei
solchermassen barocker Konstruktion wohl nicht.
Gruss,
Christian
Peter Luschny
> Was sind Vereinigung/Durchschnitt denn nun, wenn sie
> keine Funktionen sind?
Die interessanten Antworten zeigen mal wieder, aus
wievielen unterschiedlichen Perspektiven man doch
die gleiche Frage sehen kann. Und wie leicht so
eine Diskussion zum Streit um des Kaisers Bart
entarten kann.
Deshalb hier eine ganz pragmatische Fallunterscheidung:
Als was verstehst du dich? Als
(a) "working mathematican" oder als
(b) "theoretischer Mathematiker" oder als
(c) "philosophisch angehauchter Grundlagenforscher".
Fall (a), dann greife zur naiven Mengenlehre und dann
ist die Antwort Ja (=koennen als Funktionen aufgefasst
werden). Eine Vorlesung über axiomatische Mengenlehre
wirst du eh nie besuchen und auch sonst ist alles gut.
Fall (b), dann wird es schwieriger. Irgendwann mal
will man ja die Antinomien besiegt haben wie der
heilige Georg den Drachen (siehe [1]). Man besucht
also die axiomatische Mengenlehre, und siehe da,
bereits nach der ersten Hälfte des Semesters sind
alle Schwierigkeiten überwunden und man kann
grundsätzlich als Antwort wieder Ja sagen, nur dass
man den Begriff Funktion nun ein bisschen eingeschränkter
verwendet (d.h. nun ein bisschen genauer verstanden hat).
Man stellt sich von nun an auf den Wittgensteinschen
Standpunkt [2] und steigt auf den Sätzen der axiomatischen
Theorie wie auf einer Leiter nach oben; und zum Schluß,
nachdem man auf ihr hinaufgestiegen ist, wirft man sie weg.
Fall (c), du willst mehr:
"kein relativ willkürliches Basteln um Widersprüche zu umgehen",
"keine unendliche Folge von Klamauk höherer Stufe",
sondern "eine wirklich einfache, geradlinige Lösung des Problems"
(das sind /keine/ Zitate, ich habe mich nur inspirieren lassen ;-))
Dann hast du ein Problem. Aber das, fürchte ich,
wirst du hier nicht gelöst bekommen. Es wird wohl
noch daran gearbeitet. ;-)
Gruss Peter
[1] <http://www.tourismus-berlin.de/tourismus/seiten/objekte/
bedeutungsinseln/nikolaiviertel/heiliger_georg_ks_bild_f.html>
[2] Ludwig Wittgenstein, "Tractatus logico-philosophicus" (6.54)
--
Ich war nach dem ersten Semester fix und fertig und
habe dann Ursel entdeckt, wodurch ich keine Zeit für
mehr hatte. Wir haben dann zusammen Esperanto gelernt.
Paul Ebermann
> --
> Ich war nach dem ersten Semester fix und fertig und
> habe dann Ursel entdeckt, wodurch ich keine Zeit für
> mehr hatte. Wir haben dann zusammen Esperanto gelernt.
Kannst du das etwas erläutern?
Paul
Peter Luschny
> "Peter Luschny" skribis:
Ich dachte der nette Spruch müsste mal überarbeitet werden.
Wir könnten ihn ja auch mal in diese Slotmaschine stecken.
Ich hoffe, dass keine Copyrightverletzung vorliegt ;-)
Keine Sorge, ich habe ihn nicht in meine Signaturen-
Sammlung aufgenommen.
Gruss Peter
Christian Stapfer
> On Sun, 08 Sep 2002 17:32:48 +0200,
> Christian Stapfer <chst...@NOSPAM.hotmail.com> wrote:
>
>>Du hast gerade meine Antwort auf diese Art von "so tun als ob NBG nichts
>>anderes als eine Übung in 'gesundem Menschenverstand' sei", die Du in
>>meinem vorangegangenen Beitrag hättest finden können, kurzerhand
>>gelöscht. Das enstpricht meiner Erfahrung bei NG Diskussionen:
>>unangenehme Argumente werden einfach unbeantwortet gelassen.
>>
>
Klar, so fühlt sich dies typischerweise an.
>
>>Als ob "das tägliche Leben" ein gutes Argument wäre, wenn es um Fragen
>>der Grundlagen der Mathematik geht:
>>
>
> Doch doch. Was meinst du wohl woher unsere Ueberzeugungen kommen? Und woher
> kommen unsere Interpretationen? ;-)
Wenn also, Deiner Meinung nach, der blosse Alltagsverstand von Hans und
Heinrich für eine solche Frage relevant sein soll, dann solltest Du doch
die Intuition derjenigen Mathematiker, die keineswegs sogleich mit NBG
anfingen Mengenlehre zu betreiben, doch ein wenig höher einschätzen:
aber gerade diese Denkfigur kannst Du gar nicht lesen und hören - so
scheint es.
>
>>eine solche Denkfigur scheint mir
>>lachhaft.
>>
>
> Nun, das moechte ich doch genauer erlaeutert haben. Erzaehl mir doch mal
> inwiefern sich "Unterscheidung im Mathematischen" von der "Unterscheidung
> im alltaeglichen Leben", wozu ja auch das mathematische Leben gehoert, un-
> terscheidet. Ich meine natuerlich einen Begriff der Unterscheidung, der
> in der Mathematik ein anderer ist als in der Umgangssprache (oder
> im allt. Leben - wie du willst)
>
>
>>Der OP hat ja eine durchaus nachvollziehbare Analogie zwischen
>>Funktionen (die Mengen sind und auch so behandelt werden dürfen) und,
>>z.B. der Abbildung (A,B) :-> A \cap B für beliebige Mengen A, B,
>>gesehen: *seine* Intuition ist halt noch nicht soweit an einen
>>vorgegebenen Formalismus angeflanscht, dass er gar nicht mehr merkt,
>>dass ein relativ willkürlicher Bastel eingesetzt werden muss, um
>>Widersprüche zu umgehen...
>> In jedem Falle darf man festhalten, dass sich zahlreiche Mathematiker
>>lange Zeit schwer damit getan haben, sich mit dieser Art von
>>Unterscheidung abzufinden, denn wenn man solche Unterscheidungen einmal
>>einführt gerät man in Verlegenheit, wenn gefragt wird, warum man
>>Klassen, relativ zu Mengen, eben doch relativ stiefmütterlich behandeln
>>soll: und schon ist man nicht wenig in Gefahr eine ganze Folge von
>>Klassen n-ter Stufe einzuführen...
>>
>
> Aber das ist doch klar! Dass man hier eine Unterscheidung macht, liegt doch
> an den Antinomien, die man vor etwa 100 Jahren formuliert hat.
Das war mir auch klar: Du hältst mich für weit naiver als ich bin. Also
gehe zurück und beantworte Dir die Frage apropos "tägliches Leben"
selbst.Die Erfahrung der Antinomien war eine spezifisch *mathematische*
Erfahrung: keineswegs eine des "täglichen Lebens" für jeden x-beliebigen
Hans und Heinrich. Effektiv musste man erst unter dem Einfluss dieser
Erfahrung gerade gegen den *bisherigen* Alltagsverstand von Hans und
Heinrich andenken lernen.
> Wenn du willst, dann kann ich dir dazu Material 'ruebersenden.
Kein Bedarf, danke.
>>>Sie ist real, weil mit den Komprehensionsaxiomen in NBG (nicht Quine,
>>>sondern Neumann, Goedel, Bernays) allg. ueber Klassen quantifiziert wird.
>>>
>>Trotzdem
>>
>
> Was trotzdem? Zunaechst solltest du anerkennen, dass es sich in NBG bei
> solchen Klassen um reale Objekte handelt. Desweiteren solltest du anerkennen,
> dass man /funktionale Klassen/ auch als Funktionen auffassen kann. Und daher
> ist auch die Frage des OP schon laengst beantwortet. "\cap" und "\cup"
> sind zweistellige Funktionszeichen, die sowieso in einer Interpretation
> Funktionen sind und in NBG Klassenfunktionen fuer ein Mengenuniversum auf UxU
> sind.
>
> Mach es nicht so kompliziert.
>
>
>>werden sie in NBG nicht mit Mengen *gleichwertig* behandelt.
>>
>
> Na und? Das ist doch nicht relevant fuer das Thema.
Aber klar doch: die Unterscheidung von Klassen und Mengen war eine
Notfallmassnahme: aber die ordnungsgemäss positiv-denkende Schülerseele
von heute kann dies natürlich nicht mehr nachvollziehen...
>>Das sieht man, z.B. schon beim relativ einfachen Fall
>>der verkrampften Definition des geordneten Paares in NBG.
>>
>
> Inwiefern verkrampft? Ich bitte um eine Erlaeuterung.
>>Vielleicht
>>möchtest Du vorschlagen, Klasen auch als Elemente von Klassen
>>zuzulassen, damit man die ganze Ausdrucksfähigkeit von NBG, die man
>>primär für den Umgang mit Mengen bereitgestellt hat, auch auf Klassen
>>selbst anzuwenden?
>>
>
> Wieso nicht? Eingeschraenkt wird man das machen koennen. QM (Quine-Morse)
> waere wohl ein Axiomensystem, was die Komprehension noch weiter lockert.
> Ein paar Aenderungen an den Axiomen laesst wohl auch Mengen mit Klassen
> zu. Aber das ist nicht das Thema!
>
>
>>Mengen wären dann für Klassen so etwas wie Urelemente
>>für Mengen? - Aber eben: dann geht der Klamauk auf der Stufe der Klassen
>>weiter und man möchte dann eine unendliche Folge von Klassen höherer
>>Stufe einführen und so weiter und so fort... - Aber eine wirklich
>>einfache, geradlinige Lösung des Problems des OP findet man bei
>>solchermassen barocker Konstruktion wohl nicht.
>>
>
> Du machst es zu kompliziert und verlierst den Blick fuer das Wesentliche.
"Das Wesentliche" ist natürlich immer das, was derjenige, der glaubt
Definitionsmacht zu haben, dafür hält. Selbstverständlich. Wir sind also
bei blosser Polemik angelangt. Darauf kann ich verzichten.
Gruss,
Christian