Teilbarkeitsbeweis
Thomas Weisbach
aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen, die erste Zahl soll eine gerade
Zahl sein, stets durch 24 teilbar ist.
Ich habe lange gegrübelt...
Der übliche Weg ist ja eigentlich, den Term mal aufzustellen und zu
schauen. Also: 2n*(2n+1)*(2n+2) ausmultiplizieren und schauen, ob man da
irgendwo den Faktor 24 findet. Das versagt aber hier...
Irgendwann, nachdem ich mir mehrere Beispiele angeschaut habe, hatte ich
die Idee: Da sind immer 2 gerade Zahlen dabei, eine ist immer durch 4
teilbar und es ist auch immer eine Zahl dabei, die durch 3 teilbar ist...
Eigentlich habe ich also immer die Faktoren 2, 4 und 3 dabei, die mir
die 24 liefern.
Mein Problem ist nur, wie schreibt man das mathematisch korrekt auf?
--
Mit freundlichen Grüßen!
Thomas Weisbach
Oliver Jennrich
Das reicht doch eigentlich schon. Der Beweis wird nicht dadurch besser
oder schöner, dass man ihn in 'mathematisch' aufschreibt.
Andererseits - vollständige Induktion tut es auch:
n=1:
2n*(2n+1)*(2n+2) = 2*3*4 = 24
n->n+1
2(n+1)*(2(n+1)+1)*(2(n+1)+2) = 24 + 52*n + 36*n^2 + 8*n^3
= 24 + 48*n *24*n^2 + 4*n + 12*n^2 + 8*n^3
= 24*(n+1)^2 + 2n*(2n+1)*(2n+2)
Der erste Summand ist trivialerweise durch 24 teilbar, der zweite nach
Induktionsvoraussetzung.
--
Space - The final frontier
Jutta Gut
"Oliver Jennrich" <oliver....@gmx.net> schrieb im Newsbeitrag
news:yg1obzy...@ID-371.news.uni-berlin.de...
> Thomas Weisbach <spam2w...@gmx.de> writes:
>
>> Folgende Problemstellung: Man beweise, dass das Produkt aus 3
>> aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen, die erste Zahl soll eine
>> gerade Zahl sein, stets durch 24 teilbar ist.
>>
>> Ich habe lange gegrübelt...
>>
>> Der übliche Weg ist ja eigentlich, den Term mal aufzustellen und zu
>> schauen. Also: 2n*(2n+1)*(2n+2) ausmultiplizieren und schauen, ob man
>> da irgendwo den Faktor 24 findet. Das versagt aber hier...
>>
>> Irgendwann, nachdem ich mir mehrere Beispiele angeschaut habe, hatte
>> ich die Idee: Da sind immer 2 gerade Zahlen dabei, eine ist immer
>> durch 4 teilbar und es ist auch immer eine Zahl dabei, die durch 3
>> teilbar ist...
>> Eigentlich habe ich also immer die Faktoren 2, 4 und 3 dabei, die mir
>> die 24 liefern.
>>
>> Mein Problem ist nur, wie schreibt man das mathematisch korrekt auf?
>
> Das reicht doch eigentlich schon. Der Beweis wird nicht dadurch besser
> oder schöner, dass man ihn in 'mathematisch' aufschreibt.
Finde ich auch. Du könntest ja noch eine Fallunterscheidung machen, ob n
gerade (2n durch 4 teilbar) oder ungerade (2n+2 durch 4 teilbar) ist.
Grüße
Jutta
Carsten Schultz
> Folgende Problemstellung: Man beweise, dass das Produkt aus 3
> aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen, die erste Zahl soll eine gerade
> Zahl sein, stets durch 24 teilbar ist.
>
> Ich habe lange gegrübelt...
>
> Der übliche Weg ist ja eigentlich, den Term mal aufzustellen und zu
> schauen. Also: 2n*(2n+1)*(2n+2) ausmultiplizieren und schauen, ob man da
> irgendwo den Faktor 24 findet. Das versagt aber hier...
Der ganz dumme Weg, wenn einem nichts anderes einfällt, ist das modulo
24 zu rechnen und alle Möglichkeiten (hier 12) auszuprobieren. Dann
überlegt man sich, dass es wegen 24=2^3*3 genügt, zuerst modulo 8 (4
Möglichkeiten) und dann modulo 3 (3 Möglichkeiten) zu rechnen (s.u.).
Und irgendwo fällt einem dann auf, dass es ganz einfach ist:
> Irgendwann, nachdem ich mir mehrere Beispiele angeschaut habe, hatte ich
> die Idee: Da sind immer 2 gerade Zahlen dabei, eine ist immer durch 4
> teilbar und es ist auch immer eine Zahl dabei, die durch 3 teilbar ist...
> Eigentlich habe ich also immer die Faktoren 2, 4 und 3 dabei, die mir
> die 24 liefern.
>
> Mein Problem ist nur, wie schreibt man das mathematisch korrekt auf?
>
Ich stimme Oliver zu, dass das das beste Argument ist. Was hältst Du
denn an Deiner Argumentation für ungenau?
Ich würde lediglich noch darauf hinweisen, dass daraus, dass die Zahl
durch 8 (=2*4, Dein erstes Argument) und durch 3 (Dein zweites Argument)
teilbar ist, sie auch durch 24 teilbar sein muss, da 3 und 8 relativ
prim sind.
Und wenn Du magst, kannst Du für das erste Argument 2n*(2n+1)*(2n+2) als
4*(2n+1)*n(n+1) schreiben und bemerken, dass n(n+1) immer gerade ist.
[Es ist ja 2 mal n+1 über 2, aber das verschleiert nur den Grund ;)]
Gruß
Carsten
--
Carsten Schultz (2:38, 33:47)
http://carsten.codimi.de/
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Klaus Stein
> Folgende Problemstellung: Man beweise, dass das Produkt aus 3
> aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen, die erste Zahl soll eine gerade
> Zahl sein, stets durch 24 teilbar ist.
> Irgendwann, nachdem ich mir mehrere Beispiele angeschaut habe, hatte ich
> die Idee: Da sind immer 2 gerade Zahlen dabei, eine ist immer durch 4
> teilbar und es ist auch immer eine Zahl dabei, die durch 3 teilbar ist...
> Eigentlich habe ich also immer die Faktoren 2, 4 und 3 dabei, die mir
> die 24 liefern.
>
> Mein Problem ist nur, wie schreibt man das mathematisch korrekt auf?
Wie auch schon andere finde ich, daß das in dieser Form vollständig
ausreicht. Wenn Du es unbedingt formalisieren willst, dann vielleicht
mit folgenden Fallunterscheidungen:
p = a*(a+1)*(a+2) mit a e 2*N
Behauptung: p = a*(a+1)*(a+2) == 0 (mod 3) also durch 3 teilbar.
Beweis:
Fall 1: a == 0 (mod 3) ok.
Fall 2: a == 1 (mod 3) => (a+1) == 2 (mod 3) => (a+2) == 0 (mod 3) ok.
Fall 3: a == 2 (mod 3) => (a+1) == 0 (mod 3) ok.
Behauptung: p = a*(a+1)*(a+2) == 0 (mod 8) also durch 8 teilbar.
Beweis:
Fall 1:
a == 0 (mod 4) => (a+2) == 2 (mod 4)
=> (a+2) == 0 (mod 2) => a*(a+2) == 0 (mod 8) ok.
Fall 2: a == 2
a == 2 (mod 4) => a == 0 (mod 2) und (a+2) == 0 (mod 4)
=> a*(a+2) == 0 (mod 8) ok.
Zusammen: p == 0 (mod 3) und p == 0 (mod 8) => p == 0 (mod 24). q.e.d.
Formalisieren hilft beim nochmal exakt hinschauen, weil einem
gegebenenfalls Sachen (Sonderfälle) auffallen, aber es ist nicht
zwingend besser, und auch nicht unbedingt "mathematischer" oder
"richtiger".
Klaus
The Answer is 42. And I am the Answer. Now I am looking for the Question.
Jan Fricke
> Folgende Problemstellung: Man beweise, dass das Produkt aus 3
> aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen, die erste Zahl soll eine gerade
> Zahl sein, stets durch 24 teilbar ist.
>
> Ich habe lange gegrübelt...
>
> Der übliche Weg ist ja eigentlich, den Term mal aufzustellen und zu
> schauen. Also: 2n*(2n+1)*(2n+2) ausmultiplizieren und schauen, ob man da
> irgendwo den Faktor 24 findet. Das versagt aber hier...
========= Einschub, bei Bedarf ignorieren ===============
Die ganzwertigen Polynome bilden ein Z-Ideal in Q[x], und eine
Ideal-Basis ist durch die Binomialkoeffizienten (x über k), k=0,1,..
gegeben. Mit anderen Worten: Um zu prüfen, ob ein Polynom in Q[x] für
jedes ganzzahlige x einen ganzzahligen Wert liefert, schreibt man es in
der Form b_0 * (x über 0) + b_1 * (x über 1) + ... + b_n * (x über n)
und überprüft, ob alle b_k ganzzahlig sind.
========= Einschub Ende, ab hier wieder mitlesen ========
Es gilt nämlich:
/n\ /n\ /n\
2n*(2n+1)*(2n+2) = 48 * | | + 72 * | | + 24 * | |,
\3/ \2/ \1/
und hier ist der Faktor 24 sehr gut zu sehen.
Viele Grüße Jan
Rainer Rosenthal
Warum schreibst Du nicht auch mal ein Kalenderblatt, Jan?
Jede Woche eins, das reicht ja. Motto: Highlight der Woche.
Lieber einmal in der Woche ein Kalenderblatt lesen als alle Tage
den Filter auf Hochtouren laufen zu lassen (winke-winke an den
Amok-Schreiber).
Ich hatte den Ignorier-Bedarf nicht und bedanke mich herzlich.
Gruß,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
Klaus Loeffler
Oder 2n(2n+1)(2n+2) = 4*n(n+1)(2n+1)
= 24 * n(n+1)(2n+1)/6.
Da n(n+1)(2n+1)/6 bekanntlich die Summer der Quadrate der ersten n
positven ganzen Zahlen ist, kann man auch hier die Teilbarkeit des
betrachteten Ausdrucks durch 24 sehen.
Klaus-R.
Franz Fritsche
> Folgende Problemstellung: Man _beweise_, dass das Produkt aus 3
> aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen - die erste Zahl soll
> eine gerade Zahl sein - stets durch 24 teilbar ist.
>
> Ich habe lange gegrübelt...
>
> [Ein] übliche[r] Weg ist ja eigentlich, den Term mal aufzustellen
> und zu schauen.
Ja.
> Also: 2n*(2n+1)*(2n+2) ausmultiplizieren und schauen, ob man da
> irgendwo den Faktor 24 findet. Das versagt aber hier...
Ja, das ist mir -auf Anhieb- auch nicht gelungen.
Machen wir das doch mal:
2n*(2n+1)*(2n+2) = (4n^2 + 2n)*(2n+2) = 8n^3 + 4n^2 + 8n^2 + 4n =
= 8n^3 + 12n^2 + 4n.
Was man sofort sieht, ist, dass der Ausdruck (um den es geht) für n = 1
durch 24 teilbar ist; denn dann erhält man auf der rechten Seiten obiger
Gleichung: 8 + 12 + 4 = 24; also ist 2n*(2n+1)*(2n+2) für n = 1 durch 24
teilbar. Viel mehr sehe ich da auf den ersten Blick nicht.
> Irgendwann, nachdem ich mir mehrere Beispiele angeschaut habe, hatte ich
> die Idee: Da sind immer 2 gerade Zahlen dabei, eine ist immer durch 4
> teilbar und es ist auch immer eine Zahl dabei, die durch 3 teilbar ist...
> Eigentlich habe ich also immer die Faktoren 2, 4 und 3 dabei, die mir
> die 24 liefern.
>
> Mein Problem ist nur, wie schreibt man das mathematisch korrekt auf?
Das "Problem" besteht weniger darin, das von Dir oben _beobachtete_ "mathe-
matisch aufzuschreiben", als vielmehr darin, es präzise zu BEWEISEN. Die
Betrachtung einiger Fälle (für die das stimmt, was man zeigen will) kann
einen strengen Beweis nicht ersetzen. (Dabei kann man böse auf die Nase
fallen.)
Also müssen wir uns für die Behauptung
24 teilt 2n*(2n+1)*(2n+2) für alle n e IN
einen präzisen Beweis verschaffen. Hier bietet sich m. E. die sog. /voll-
ständige Induktion/ geradezu an: WENN wir zeigen können, dass eine Aussage
"A(n)" für n = 1 gilt, und wir zudem zeigen können, dass aus der Annahme,
die Aussage würde für n gelten, folgt, dass sie (dann) auch für n + 1 gilt,
DANN dürfen wir schließen, dass A(n) für ALLE natürlichen Zahlen 1, 2, 3,
... gilt.
Dieser Beweis macht hier keinerlei Schwierigkeiten. Für n = 1 haben wir die
Behauptung schon gezeigt. Jetzt nehmen wir für ein bel. (aber festes) n e
IN an, dass gilt: 24 teilt 2n*(2n+1)*(2n+2) = 8n^3 + 12n^2 + 4n.
Wir wollen/müssen nun zeigen, dass dann auch gilt: 24 teilt
2(n+1)*(2(n+1)+1)*(2(n+1)+2). Damit hätten wir dann alles gezeigt!
Nun ist 2(n+1)*(2(n+1)+1)*(2(n+1)+2) = (2n+2)*(2n+3)*(2n+4) = (4n^2 + 4n +
6n + 6)*(2n+4) = (4n^2 + 10n + 6)*(2n+4) = 8n^3 + 20n^2 + 12n + 16n^2 + 40n
+ 24 = 8n^3 + 36n^2 + 52n + 24. (*)
Wir hatten oben vorausgesetzt, dass 8n^3 + 12n^2 + 4n durch 24 teilbar ist;
wenn wir also nun (*) zerlegen in
(8n^3 + 12n^2 + 4n) + (24n^2 + 48n + 24) ,
dann sehen wir, dass (nach Voraussetzung) sowohl der erste Term als auch
der zweite Term durch 24 teilbar ist, mithin der gesamte Ausdruck durch 24
teilbar ist. q e d (was zu zeigen war).
MfG,
FF
Franz Fritsche
> On Tue, 09 Aug 2011 22:04:30 +0200, Thomas Weisbach wrote:
>>
>> Da sind immer 2 gerade Zahlen dabei, eine ist immer durch 4
>> teilbar und es ist auch immer eine Zahl dabei, die durch 3 teilbar ist...
>> Eigentlich habe ich also immer die Faktoren 2, 4 und 3 dabei, die mir
>> die 24 liefern.
>>
>> Mein Problem ist nur, wie schreibt man das mathematisch korrekt auf?
>
> Das "Problem" besteht weniger darin, das von Dir oben _beobachtete_ "mathe-
> matisch aufzuschreiben", als vielmehr darin, es pr�zise zu BEWEISEN. Die
> Betrachtung einiger F�lle (f�r die das stimmt, was man zeigen will) kann
> einen strengen Beweis nicht ersetzen. (Dabei kann man b�se auf die Nase
> fallen.)
Sorry, ich sehe gerade, dass ich da nicht genau genug gelesen habe. Du hast
Recht: Deine Beobachtung ist eigentlich _hinreichend_ f�r einen Beweis der
fraglichen Aussage/Behauptung.
MfG,
FF
Vogel
371.news.uni-berlin.de:
> Thomas Weisbach <spam2w...@gmx.de> writes:
>
>> Folgende Problemstellung: Man beweise, dass das Produkt aus 3
>> aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen, die erste Zahl soll eine
>> gerade Zahl sein, stets durch 24 teilbar ist.
>>
>> Ich habe lange gegrübelt...
>>
>> Der übliche Weg ist ja eigentlich, den Term mal aufzustellen und zu
>> schauen. Also: 2n*(2n+1)*(2n+2) ausmultiplizieren und schauen, ob man
>> da irgendwo den Faktor 24 findet. Das versagt aber hier...
>>
>> Irgendwann, nachdem ich mir mehrere Beispiele angeschaut habe, hatte
>> ich die Idee: Da sind immer 2 gerade Zahlen dabei, eine ist immer
>> durch 4 teilbar und es ist auch immer eine Zahl dabei, die durch 3
>> teilbar ist...
>> Eigentlich habe ich also immer die Faktoren 2, 4 und 3 dabei, die mir
>> die 24 liefern.
>>
>> Mein Problem ist nur, wie schreibt man das mathematisch korrekt auf?
>
> Das reicht doch eigentlich schon. Der Beweis wird nicht dadurch besser
> oder schöner, dass man ihn in 'mathematisch' aufschreibt.
>
> Andererseits - vollständige Induktion tut es auch:
>
> n=1:
> 2n*(2n+1)*(2n+2) = 2*3*4 = 24
>
Hier zwischendrin fehlt ein Schritt.
>
"Seit Richard Dedekind ist die vollständige Induktion folgendermaßen
festgelegt: Um zu beweisen, dass ein Satz für alle natürlichen Zahlen n = m
gilt, genügt es zu zeigen, dass er für n = m gilt und dass aus der
Gültigkeit des Satzes für eine Zahl n = m stets seine Gültigkeit auch für
die folgende Zahl n+1 folgt."
http://de.wikipedia.org/wiki/Vollständige_Induktion
>
> n->n+1
>
> 2(n+1)*(2(n+1)+1)*(2(n+1)+2) = 24 + 52*n + 36*n^2 + 8*n^3
> = 24 + 48*n *24*n^2 + 4*n + 12*n^2 + 8*n^3
> = 24*(n+1)^2 + 2n*(2n+1)*(2n+2)
>
> Der erste Summand ist trivialerweise durch 24 teilbar, der zweite nach
> Induktionsvoraussetzung.
>
Diese Induktionsvorausetzung ist aber nicht allgmein gültig. Dies sollte
sie erst durch den Beweis werden. Das nennt man eine Ringinduktion.
Die Methode der vollständigen Induktion funktioniert anders.
>
Allgemein gültig wird der Beweis erst wenn der zweite Schritt für
>
n -> n+i bewiesen wäre.
>
Dein Beweis ist nicht vollständig. Es heisst nämlich "Methode der
vollständigen Induktion". Man beweisst da die Gültigkeit einer Aussage für
ein beliebiges "n" und seinen Nachfolger "n+1".
>
Du hingegen hast lediglich bewiesen, dass die Aussage für 2*3*4 und deren
direkten Nachfolger gilt. So funktioniert die Methode der vollständigen
Induktion nicht. Nur damit hier mitlesende Schüler nicht was falsches
lernen.
>
Schönen Tach noch
>
Vogel
news:1k5ssqi.1pg9fug1mw1z9wN%mathe...@web.de:
>
> Oder 2n(2n+1)(2n+2) = 4*n(n+1)(2n+1)
>
> = 24 * n(n+1)(2n+1)/6.
>
> Da n(n+1)(2n+1)/6 bekanntlich die Summer der Quadrate der ersten n
> positven ganzen Zahlen ist, kann man auch hier die Teilbarkeit des
> betrachteten Ausdrucks durch 24 sehen.
>
Jo, der Beweis ist ok und eigentlich der einzig richtige der bisher
gelieferten Beweise.
>
Carsten Schultz
Du faselst wirres Zeug.
Vogel
@mid.dfncis.de:
>
> Du faselst wirres Zeug.
>
Wusste ich doch, dass sich wieder ein Dummkopf findet der einen blöd
anmacht.
>
"Seit Richard Dedekind ist die vollständige Induktion folgendermaßen
festgelegt: Um zu beweisen, dass ein Satz für alle natürlichen Zahlen n = m
gilt, genügt es zu zeigen, dass er für n = m gilt und dass aus der
Gültigkeit des Satzes für eine Zahl n = m stets seine Gültigkeit auch für
die folgende Zahl n+1 folgt."
>
Wenn du das gelernt und begriffen hast melde dich nochmal.
>
Carsten Schultz
Du könntest erst einmal an einigen Stellen "=" durch ">=" ersetzen.
Aber eigentlich ist mir auch egal, wieviel Blödsinn Du hier schreibst.
Klaus Loeffler
Richtig sind wohl alle hier angegebenen Beweise; und die vom
Fragesteller vorgestellte Argumentation, mit der die Teilbarkeit eines
Faktors durch 3 und zweier Faktoren durch 2 bzw. 4 begründet wird, ist
wohl auch die nächstlegende und in gewisser Weise natürlichste.
Bei den Jan Fricke und mir angegebenen Nachweisen ist im Vergleich dazu
mehr Rechnen bzw. Vorwissen erforderlich; das Ziel war halt eine
algebraische Umformung zu einem Ausdruck, bei dem man unmittelbar den
Faktor 24 sieht.
Klaus-R.
roa...@online.de
Du bist wirklich zu blöd.
Aus (2n)(2n+1)(2n+2) +24*(n+1)^2 ==> (2n+2)(2n+3)(2n+4)
und das ist vollständige Induktion
Viel Spass weiterhin
Rolf
Vogel
> Am 11.08.11 10:37, schrieb Vogel:
>> Carsten Schultz <car...@codimi.de> wrote in news:9ahie7Foe8U1
>> @mid.dfncis.de:
>>>
>>> Du faselst wirres Zeug.
>>>
>> Wusste ich doch, dass sich wieder ein Dummkopf findet der einen bloed
>> anmacht.
>>>
>> "Seit Richard Dedekind ist die vollstaendige Induktion
>> folgendermassen festgelegt: Um zu beweisen, dass ein Satz fuer alle
>> natuerliche n Zahlen n >= m gilt, genuegt es zu zeigen, dass er fuer n
>> = m gilt und dass aus der Gueltigkeit des Satzes fuer eine Zahl n = m
>> stets seine Gueltigkeit auch fuer die folgende Zahl n+1 folgt."
>>>
>> Wenn du das gelernt und begriffen hast melde dich nochmal.
>>>
>
> Du koenntest erst einmal an einigen Stellen "=" durch ">=" ersetzen.
>
Das stammt aus Wikipedia. Also beschwer dich bei denen.
Steht doch schon im vorigen Beitrag.
>
> Aber eigentlich ist mir auch egal, wieviel Bloedsinn Du hier
> schreibst.
>
Ja klar doch, mach nur deinen Offenbarungseid. Wie gesagt stammt das nicht
von mir.
>
Vogel
Matthias Rosenkranz
> Carsten Schultz<car...@codimi.de> wrote in
>>> "Seit Richard Dedekind ist die vollstaendige Induktion
>>> folgendermassen festgelegt: Um zu beweisen, dass ein Satz fuer alle
>>> natuerliche n Zahlen n>= m gilt, genuegt es zu zeigen, dass er fuer n
>>> = m gilt und dass aus der Gueltigkeit des Satzes fuer eine Zahl n = m
>>> stets seine Gueltigkeit auch fuer die folgende Zahl n+1 folgt."
>> Du koenntest erst einmal an einigen Stellen "=" durch ">=" ersetzen.
>>
> Das stammt aus Wikipedia.
In Wikipedia steht es aber mit den von Carsten geforderten ">="-Zeichen.
Matthias
Klaus Stein
> [...]
> >>> Du faselst wirres Zeug.
> >>Wusste ich doch, dass sich wieder ein Dummkopf findet der einen blöd
> >>anmacht.
> >>[...]
> >>Wenn du das gelernt und begriffen hast melde dich nochmal.
> > Du bist wirklich zu blöd.
> > [...]
> Du ahnungslose Pfeiffe!
Könnt ihr die Pöbeleien nicht wenigstens außerhalb der unsäglichen
Pseudometamatheunendlichkeitsthreads sein lassen? (wenn ihr euch
derartig austoben müßt, dann von mir aus dort.)
Ich freu mich ja schon, daß hier auch noch interessante Sachen
stattfinden, aber bei sowas machen auch diese Threads keinen Spaß
mehr.
Danke.
Matthias Rosenkranz
Ups, ich sehe gerade, dass im Zitat oben auch ein (von zwei) ">=" steht.
Das war aber in Vogels Originalposting (Message-ID:
<Xns9F3E6BFE...@130.133.4.10>)
nicht drin, das hat er erst in seinem Reply (Message-ID:
<Xns9F3E895F9...@130.133.4.10>)
auf Carsten reingeschummelt. Tststs...
Matthias
WM
Bewußt mit Namensnennung:
> Könnt ihr die Pöbeleien nicht wenigstens außerhalb der unsäglichen
> Pseudometamatheunendlichkeitsthreads sein lassen? (wenn ihr euch
> derartig austoben müßt, dann von mir aus dort.)
Was Du nicht willst, das man Dir tu',
das füg' auch keinem andern zu.
Gruß, WM
roa...@online.de
>roa...@online.de wrote in
>news:dmc7471c3utmbvf6e...@4ax.com:
>
>> On 11 Aug 2011 08:37:41 GMT, Vogel <vo...@hotmail.com> wrote:
>>
>>>Carsten Schultz <car...@codimi.de> wrote in news:9ahie7Foe8U1
>>>@mid.dfncis.de:
>>>
>>>
>>>>
>>>> Du faselst wirres Zeug.
>>>>
>>>Wusste ich doch, dass sich wieder ein Dummkopf findet der einen bl�d
>>>anmacht.
>>>>
>>>"Seit Richard Dedekind ist die vollst�ndige Induktion folgenderma�en
>>>festgelegt: Um zu beweisen, dass ein Satz f�r alle nat�rlichen Zahlen
>>>n = m gilt, gen�gt es zu zeigen, dass er f�r n = m gilt und dass aus
>>>der G�ltigkeit des Satzes f�r eine Zahl n = m stets seine G�ltigkeit
>>>auch f�r die folgende Zahl n+1 folgt."
>>>>
>>>Wenn du das gelernt und begriffen hast melde dich nochmal.
>>>>
>> Du bist wirklich zu bl�d.
>>
>> Aus (2n)(2n+1)(2n+2) +24*(n+1)^2 ==> (2n+2)(2n+3)(2n+4)
>>
>> und das ist vollst�ndige Induktion
>>
>Du ahnungslose Pfeiffe!
Ach, Deutsch kannste auch nicht!
Cranke Dumpfbacke
Viel Spass weiterhin
Rolf
Ralf Bader
> Bewußt ohne Namensnennung:
>
>> [...]
>> >>> Du faselst wirres Zeug.
>> >>Wusste ich doch, dass sich wieder ein Dummkopf findet der einen blöd
>> >>anmacht.
>> >>[...]
>> >>Wenn du das gelernt und begriffen hast melde dich nochmal.
>> > Du bist wirklich zu blöd.
>> > [...]
>> Du ahnungslose Pfeiffe!
>
> Könnt ihr die Pöbeleien nicht wenigstens außerhalb der unsäglichen
> Pseudometamatheunendlichkeitsthreads sein lassen? (wenn ihr euch
> derartig austoben müßt, dann von mir aus dort.)
>
> Ich freu mich ja schon, daß hier auch noch interessante Sachen
> stattfinden, aber bei sowas machen auch diese Threads keinen Spaß
> mehr.
>
> Danke.
Diese Gruppe hatte mal so etwas wie ein Niveau. Das begann sich mit dem
Auftreten von Storz und Mückenheim zu ändern. Inzwischen wird hier
eigentlich nur noch wirres Zeug gefaselt, und diese Veranstaltung gehört an
sich beendet. Löschantrag für diese Gruppe mit der Begründung, daß die noch
stattfindenden sinnvollen und zum Gruppenthema gehörenden Diskussionen nur
mehr einen kleinen Bruchteil des ohnehin geschrumpften Postingaufkommens
einnehmen. Hinzu kommt, daß es für jeden mit einer gewissen Ahnung, sagen
wir mal 1, 2 Semester Fachstudium, absolut klar ist, wer hier wirres Zeug
faselt. Deine Neutralität ("Bewußt ohne Namensnennung") läßt vermuten, daß
Du eine solche Ahnung nicht hast, und somit zu einem, zahlenmäßig
hoffentlich kleinen, Publikum gehörst, für das diese Gruppe direkt
schädlich ist. Danke für die Aufmerksamkeit, allfälliges Geschwalle über
Zensur, Gehirnwäsche usw. ist geschenkt.
Ralf
Klaus Loeffler
> Klaus Stein wrote:
>
> > Bewu�t ohne Namensnennung:
> >
> >> [...]
> >> >>> Du faselst wirres Zeug.
> >> >>Wusste ich doch, dass sich wieder ein Dummkopf findet der einen bl�d
> >> >>anmacht.
> >> >>[...]
> >> >>Wenn du das gelernt und begriffen hast melde dich nochmal.
> >> > Du bist wirklich zu bl�d.
> >> > [...]
> >> Du ahnungslose Pfeiffe!
> >
> > K�nnt ihr die P�beleien nicht wenigstens au�erhalb der uns�glichen
> > Pseudometamatheunendlichkeitsthreads sein lassen? (wenn ihr euch
> > derartig austoben m��t, dann von mir aus dort.)
> >
> > Ich freu mich ja schon, da� hier auch noch interessante Sachen
> > stattfinden, aber bei sowas machen auch diese Threads keinen Spa�
> > mehr.
> >
> > Danke.
>
> Diese Gruppe hatte mal so etwas wie ein Niveau. Das begann sich mit dem
> Auftreten von Storz und M�ckenheim zu �ndern. Inzwischen wird hier
> eigentlich nur noch wirres Zeug gefaselt, und diese Veranstaltung geh�rt an
> sich beendet. L�schantrag f�r diese Gruppe mit der Begr�ndung, da� die noch
> stattfindenden sinnvollen und zum Gruppenthema geh�renden Diskussionen nur
> mehr einen kleinen Bruchteil des ohnehin geschrumpften Postingaufkommens
> einnehmen. Hinzu kommt, da� es f�r jeden mit einer gewissen Ahnung, sagen
> wir mal 1, 2 Semester Fachstudium, absolut klar ist, wer hier wirres Zeug
> faselt. Deine Neutralit�t ("Bewu�t ohne Namensnennung") l��t vermuten, da�
> Du eine solche Ahnung nicht hast, und somit zu einem, zahlenm��ig
> hoffentlich kleinen, Publikum geh�rst, f�r das diese Gruppe direkt
> sch�dlich ist. Danke f�r die Aufmerksamkeit, allf�lliges Geschwalle �ber
> Zensur, Gehirnw�sche usw. ist geschenkt.
>
Hallo Ralf,
auch wenn deiner Diagnose zuzustimmen ist, halte ich den
Therapievorschlag (Liquidierung des Patienten) f�r verfehlt. Alle
regelm��ig in die Gruppe schauenden Leser kennen mittlerweile den Grad
der Seriosit�t der dort Schreibenden, und wenn auch der M�ll und die
P�beleien ein unangenehmees Ausma� erreicht haben, sind sie doch jeweils
nur einen Mausklick vom M�lleimer entfernt, falls sie nicht schon vorher
im Filter landen.
Ich m�chte jedenfalls nicht auf die meistens sehr interessenten Beitr�ge
von Jan, Jutta, Carsten, Thomas, Christopher und und und verzichten,
auch wenn sie rarer geworden sind.
Klaus-R.
Vogel
news:j20gsn$3ik$1...@news.sap-ag.de:
Renk dich wieder ein, es war eine 'einzige' Stelle und nicht 'an einigen
Stellen', wo es beim kopieren verloren gegangen ist. In Wiki ist es
drin. Aber sei es drum, es ging um das Prinzip und die Methode der
vollst�ndigen Induktion, welche hier 'unvollst�ndig' angwandt wurde.
>
Dazu habe ich hier bisher nichts geh�rt, ausser P�beleien ad personam.
Genau die beschweren sich dann.
>
Wer nicht nass werden will, soll nicht unter die Traufe treten.
>
Klaus Stein
> Klaus Stein wrote:
>
> > Bewußt ohne Namensnennung:
> >
> >> [...]
> >> >>> Du faselst wirres Zeug.
> >> >>Wusste ich doch, dass sich wieder ein Dummkopf findet der einen blöd
> >> >>anmacht.
> >> >>[...]
> >> >>Wenn du das gelernt und begriffen hast melde dich nochmal.
> >> > Du bist wirklich zu blöd.
> >> > [...]
> >> Du ahnungslose Pfeiffe!
> >
> > Könnt ihr die Pöbeleien nicht wenigstens außerhalb der unsäglichen
> > Pseudometamatheunendlichkeitsthreads sein lassen? (wenn ihr euch
> > derartig austoben müßt, dann von mir aus dort.)
> >
> > Ich freu mich ja schon, daß hier auch noch interessante Sachen
> > stattfinden, aber bei sowas machen auch diese Threads keinen Spaß
> > mehr.
> >
> > Danke.
>
> Hinzu kommt, daß es für jeden mit einer gewissen Ahnung, sagen
> wir mal 1, 2 Semester Fachstudium, absolut klar ist, wer hier wirres Zeug
> faselt. Deine Neutralität ("Bewußt ohne Namensnennung") läßt vermuten, daß
> Du eine solche Ahnung nicht hast, und somit zu einem, zahlenmäßig
> hoffentlich kleinen, Publikum gehörst, für das diese Gruppe direkt
> schädlich ist. Danke für die Aufmerksamkeit, allfälliges Geschwalle über
> Zensur, Gehirnwäsche usw. ist geschenkt.
Ich finde es ja herzallerliebst daß du mein "Bewußt ohne
Namensnennung" als Neutralität interpretierst.
Vielleicht liegt der Gedanke nicht so fern, daß ich genau deswegen
keine Namen genannt habe, weil es mir in dieser einen Bemerkung um den
Umgang miteinander und nicht darum geht, wer "Recht" hat. Ich bin
inhaltlich keineswegs neutral, trotzdem wünsch ich mir von allen
Beteiligten, daß sie nicht rumpöbeln. Oder hat Deiner Meinung nach die
"richtige" Seite die Lizenz zur Unflätigkeit?
Natürlich weiß ich deine Besorgtheit ob meiner mathematischen
Unfähigkeit zu schätzen. Die Gruppe hat mich in den letzten Jahren
sicher hinreichend geschädigt daß zu weiterer mathematischer Arbeit
nicht mehr fähig bin. Vielleicht sollte ich kündigen und Putzfrau
werden.
Die Gruppe hatte einstmal nicht nur Niveau sondern auch Anstand und
Respekt. Was solls.
Jutta Gut
"Vogel" <vo...@hotmail.com> schrieb im Newsbeitrag
news:Xns9F3F8408F...@130.133.4.10...
> vollständigen Induktion, welche hier 'unvollständig' angwandt wurde.
>>
> Dazu habe ich hier bisher nichts gehört, ausser Pöbeleien ad personam.
> Genau die beschweren sich dann.
Also nochmal ganz langsam!
Es ist zu zeigen, dass P(n) = 2n*(2n+1)*(2n+2) für alle natürlichen Zahlen n
(>= 1) durch 24 teilbar ist.
Induktionsanfang: n = 1
P(1) = 2*3*4 = 24, für n = 1 ist die Aussage also richtig.
Induktionsschluss: P(n+1) = (2n+2)*(2n+3)*(2n+4) = P(n) + 24*(n+1)^2
Wenn P(n) durch 24 teilbar ist (für ein beliebiges n), ist also auch P(n+1)
durch 24 teilbar.
Daher gilt die Ausage für alle n >= 1.
Was ist daran unvollständig?
Grüße
Jutta
Matthias Rosenkranz
> Also nochmal ganz langsam!
>
> Es ist zu zeigen, dass P(n) = 2n*(2n+1)*(2n+2) für alle natürlichen
> Zahlen n (>= 1) durch 24 teilbar ist.
>
> Induktionsanfang: n = 1
> P(1) = 2*3*4 = 24, für n = 1 ist die Aussage also richtig.
>
> Induktionsschluss: P(n+1) = (2n+2)*(2n+3)*(2n+4) = P(n) + 24*(n+1)^2
Die letzte Umformung ist zwar richtig, für viele nicht so Geübte aber
vielleicht etwas kurz gefasst ;-)
Da ist ja gerade der Schritt drin, der die Induktion "ausmacht".
Wir haben den Formalismus für den Induktionsschluss auch etwas anders
gelernt, "formaler".
Also allgemein:
Ind.-voraussetzung: Die Behauptung gilt für ein beliebiges n = k
Ind.-behauptung: Die Behauptung gilt auch für n = k+1
Speziell hier:
Vor.: p(k) = 2k*(2k+1)*(2k+2) = 24p (p sei eine natürlich Zahl)
= (2k+2) * (4k²+2k) (den Sinn dieser Umformung erkennt
man gleich)
Beh.: p(k+1) = (2k+2)*(2k+3)*(2k+4) = 24q (q sei eine natürlich Zahl)
Bew.: p(k+1) = (2k+2)*(2k+3)*(2k+4)
= (2k+2)*(4k²+14k+12)
= (2k+2)*(4k²+2k+12k+12)
= (2k+2)*(4k²+2k) + (2k+2)*(12k+12)
= 24p + 2*(k+1)*12*(k+1) (hier fließt die Ind.vor. ein)
= 24*(p+(k+1)²) q.e.d., da (p+(k+1)²) natürlich eine
natürliche Zahl ist
Gruß Matthias
Carsten Schultz
> Am 12.08.2011 15:35, schrieb Jutta Gut:
>
>> Also nochmal ganz langsam!
>>
>> Es ist zu zeigen, dass P(n) = 2n*(2n+1)*(2n+2) für alle natürlichen
>> Zahlen n (>= 1) durch 24 teilbar ist.
>>
>> Induktionsanfang: n = 1
>> P(1) = 2*3*4 = 24, für n = 1 ist die Aussage also richtig.
>>
>> Induktionsschluss: P(n+1) = (2n+2)*(2n+3)*(2n+4) = P(n) + 24*(n+1)^2
>
> Die letzte Umformung ist zwar richtig, für viele nicht so Geübte aber
> vielleicht etwas kurz gefasst ;-)
Ja, aber das stand ja schon irgendwo ausführlicher, hier ging es nur
darum, dass Vogel wieder einmal dumm dazwischenbrabbeln musste.
Gruß
Carsten
Gus Gassmann
> "Vogel" <vo...@hotmail.com> schrieb im Newsbeitragnews:Xns9F3F8408F...@130.133.4.10...
>
>
>
>
>
>
>
>
>
> > Matthias Rosenkranz <matthias.rosenkr...@gmx.de> wrote in
> >news:j20gsn$3ik$1...@news.sap-ag.de:
>
> >> Am 11.08.2011 14:05, schrieb Matthias Rosenkranz:
> >>> Am 11.08.2011 13:31, schrieb Vogel:
>
> >>>>>> "Seit Richard Dedekind ist die vollstaendige Induktion
> >>>>>> folgendermassen festgelegt: Um zu beweisen, dass ein Satz fuer
> >>>>>> alle natuerliche n Zahlen n>= m gilt, genuegt es zu zeigen, dass
> >>>>>> er fuer n = m gilt und dass aus der Gueltigkeit des Satzes fuer
> >>>>>> eine Zahl n = m stets seine Gueltigkeit auch fuer die folgende
> >>>>>> Zahl n+1 folgt."
>
> >>>>> Du koenntest erst einmal an einigen Stellen "=" durch ">="
> >>>>> ersetzen.
>
> >>>> Das stammt aus Wikipedia.
>
> >>> In Wikipedia steht es aber mit den von Carsten geforderten
> >>> ">="-Zeichen.
>
> >>> Matthias
>
> >> Ups, ich sehe gerade, dass im Zitat oben auch ein (von zwei) ">="
> >> steht. Das war aber in Vogels Originalposting (Message-ID:
> >> seinem Reply (Message-ID: <Xns9F3E895F98363matah...@130.133.4.10>) auf
> >> Carsten reingeschummelt. Tststs...
>
> > Renk dich wieder ein, es war eine 'einzige' Stelle und nicht 'an einigen
> > Stellen', wo es beim kopieren verloren gegangen ist. In Wiki ist es
> > drin. Aber sei es drum, es ging um das Prinzip und die Methode der
> > vollständigen Induktion, welche hier 'unvollständig' angwandt wurde.
>
> > Dazu habe ich hier bisher nichts gehört, ausser Pöbeleien ad personam.
> > Genau die beschweren sich dann.
>
> Also nochmal ganz langsam!
>
> Es ist zu zeigen, dass P(n) = 2n*(2n+1)*(2n+2) für alle natürlichen Zahlen n
> (>= 1) durch 24 teilbar ist.
>
> Induktionsanfang: n = 1
> P(1) = 2*3*4 = 24, für n = 1 ist die Aussage also richtig.
>
> Induktionsschluss: P(n+1) = (2n+2)*(2n+3)*(2n+4) = P(n) + 24*(n+1)^2
> Wenn P(n) durch 24 teilbar ist (für ein beliebiges n), ist also auch P(n+1)
> durch 24 teilbar.
>
> Daher gilt die Ausage für alle n >= 1.
>
> Was ist daran unvollständig?
Vermutlich mokiert er sich darueber, dass die Induktionsvoraussetzung
nicht ausfuehrlich hingeschrieben wurde, sondern nur so kurz als n->n
+1. _Der_ Einwand ist natuerlich aeusserst kleinlich. Aber Oliver
Jennrichs Beweis enthaelt in der Tat einen Tippfehler.
Detlef Bosau
> Das stammt aus Wikipedia. Also beschwer dich bei denen.
> Steht doch schon im vorigen Beitrag.
Das wird Carsten bestimmt nicht tun.
Wikipedia ist keine Quelle. Punkt.
Carlos Naplos
Bei drei aufeinander folgenden natürlichen Zahlen ist (genau) eine durch
3 teilbar. (Die anderen haben Rest 1 und 2.)
Einer der beiden geraden Faktoren ist durch 4 teilbar, der andere
immerhin durch zwei. (Entweder ist n oder n+1 gerade, entweder 2n oder
2(n+1) durch 4 teilbar.)
Das Produkt ist also durch 8 teilbar.
Da nun 24 = 3 * 8 ist, ...
... kannst Du die Vollständige-Induktions-Kanone getrost in der Tasche
lassen.
Gruß
Carlos
Vogel
$1...@news.sap-ag.de:
> Am 12.08.2011 15:35, schrieb Jutta Gut:
>
>> Also nochmal ganz langsam!
>>
>> Es ist zu zeigen, dass P(n) = 2n*(2n+1)*(2n+2) für alle natürlichen
>> Zahlen n (>= 1) durch 24 teilbar ist.
>>
>> Induktionsanfang: n = 1
>> P(1) = 2*3*4 = 24, für n = 1 ist die Aussage also richtig.
>>
>> Induktionsschluss: P(n+1) = (2n+2)*(2n+3)*(2n+4) = P(n) + 24*(n+1)^2
>
> Die letzte Umformung ist zwar richtig, für viele nicht so Geübte aber
> vielleicht etwas kurz gefasst ;-)
> Da ist ja gerade der Schritt drin, der die Induktion "ausmacht".
>
> Wir haben den Formalismus für den Induktionsschluss auch etwas anders
> gelernt, "formaler".
> Also allgemein:
> Ind.-voraussetzung: Die Behauptung gilt für ein beliebiges n = k
> Ind.-behauptung: Die Behauptung gilt auch für n = k+1
>
Yep! Genau darum ging es.
>
Vogel
@mid.dfncis.de:
>
> Ja, aber das stand ja schon irgendwo ausführlicher,...
>
Blödsinn!
>
> ...hier ging es nur
> darum, dass Vogel wieder einmal dumm dazwischenbrabbeln musste.
>
Beleidigende Arschlöcher können z.Bsp. hier nachschauen
>
http://www.mathematik.hu-berlin.de/
~jkoven/mathe/induktionsbsp/induktionsbsp.html
>
Vogel
news:271e1$4e452c42$5472d39f$83...@news.chello.at:
>
> Also nochmal ganz langsam!
>
Ok, machen wir es ganz langsam.
>
> Es ist zu zeigen, dass P(n) = 2n*(2n+1)*(2n+2) für alle natürlichen
> Zahlen n (>= 1) durch 24 teilbar ist.
>
1.) ok
>
> Induktionsanfang: n = 1
> P(1) = 2*3*4 = 24, für n = 1 ist die Aussage also richtig.
>
2.) Hoppenla, da fehlt ein Schritt der Induktion
>
3.)
>
> Induktionsschluss: P(n+1) = (2n+2)*(2n+3)*(2n+4) = P(n) + 24*(n+1)^2
> Wenn P(n) durch 24 teilbar ist (für ein beliebiges n), ist also auch
> P(n+1) durch 24 teilbar.
>
Wenn, dann ja. Es wurde aber nicht gezeigt, dass die Teilbarkeit allgemein
für P(n=m) besteht. Es wurde lediglich gezeigt, dass sie für den konkreten
Fall P(1) besteht.
>
> Daher gilt die Ausage für alle n >= 1.
>
Dafür hätte es bei uns keine 1 gegeben ;-)
>
> Was ist daran unvollständig?
>
Der Formalismus. Der beinhaltet 3 Beweisschritte plus einen 4., die
Schlussfolgerung.
>
1.) Induktionsanfang: n=n0=1
>
n=1: P(1) = 2*3*4 = 24
>
Rekurenz für n=m>n0=1
>
n=2: P(2) = 4*5*6 = P(1) + 24*2^2
>
.......
>
n=m: P(m) = 2m*(2m+1)*(2m+2) = P(m-1) + 24*m^2
>
2.) Induktionsannahme: Aussage ist richtig für 'alle' (n=<m>n0)
>
3.) Induktionsbehauptung(zu beweisen): Aussage ist wahr für n+1>n=m
>
4.) Beweis für n+1>n=m und Schlussfolgerung:
>
n=m+1: P(m+1) = (2m+2)*(2m+3)*(2m+4) = P(m) + 24*(m+1)^2
>
Die Aussage gilt für 'alle' n=<m>n0 UND n>m, also für 'alle' n>n0.
>
Mathematische Rigurosität scheint hier auf beleidigende Unkenntnis zu
stossen.
>
Vollständige Induktion
-----------------------
Das Prinzip der vollständigen Induktion lautet:
Ist eine Aussage für eine konkrete natürliche Zahl n0 wahr, und folgt
daraus, aus der Wahrheit der Aussage für eine beliebige natürliche Zahl
n=m>n0, die Wahrheit der Aussage für n+1, dann ist die Aussage auch für
alle natürlichen Zahlen n>m gültig, also für alle n>n0.
(n0 muss nicht notwendigerweise =1 sein)
>
Demnach erfolgt der Beweis in folgenden Schritten:
>
1.) Induktionsanfang: Die Wahrheit der Aussage wird für ein konkretes n=n0
gezeigt und durch Rekurenz bis zu einem bliebigen n=m>n0. (n=n0 könnte nur
partikulär war sein)
>
2.) Induktionsannahme, bewiesen durch Rekurenz: Die Wahrheit der Aussage
gilt für 'alle' (n<=m>n0);
>
3. Induktionsbehauptung: Die Aussage sei für n>m, also für n+1, wahr
(Behauptung zu beweisen, denn die Aussage könnte partikulär nur für n<=m
wahr sein).
>
4. Beweis für n+1 und Schlussfolgerung der Implikation: Aussage ist wahr
für 'alle' n<=m>n0 UND n>m, also für 'alle' n>n0.
>
Beispiel:
>
http://www.mathematik.hu-berlin.de/
~jkoven/mathe/induktionsbsp/induktionsbsp.html
>
Sieht man sich allerdings so an, was da alles im Internet zu diesem Thema
kursiert, merkt man, dass das Verfahren in Schulen, ja selbst beim Studium,
wohl nur schlampig vorgetragen wird.
>
Schöne Grüsse noch
>
Vogel
news:1metjm4ljy8cw.kg4uc3vl950k$.d...@40tude.net:
> Am Fri, 12 Aug 2011 15:35:51 +0200 schrieb Jutta Gut:
>
>> [...]
>>
>> Daher gilt die Ausage für alle n >= 1.
>>
>> Was ist daran unvollständig?
>
> Sein Verständnis der mathem. Induktion. :-P
>
Sei mal unbesorgt.
>
Aus n=1 lässt sich nicht auf die Teilbarkeit von P(n=m) schliessen, in:
>
P(m+1) = (2m+2)*(2m+3)*(2m+4) = P(m) + 24*(m+1)^2
>
Es muss erst einmal die Teilbarkeit von P(n=m) durch Rekurenz _bewiesen_
werden.
>
Jutta Gut
"Vogel" <vo...@hotmail.com> schrieb im Newsbeitrag
news:Xns9F4086980...@130.133.4.10...
> "Jutta Gut" <gut.jutt...@chello.at> wrote in
> news:271e1$4e452c42$5472d39f$83...@news.chello.at:
>
>>
>> Also nochmal ganz langsam!
>>
> Ok, machen wir es ganz langsam.
>>
>> Es ist zu zeigen, dass P(n) = 2n*(2n+1)*(2n+2) für alle natürlichen
>> Zahlen n (>= 1) durch 24 teilbar ist.
>>
> 1.) ok
>>
>> Induktionsanfang: n = 1
>> P(1) = 2*3*4 = 24, für n = 1 ist die Aussage also richtig.
>>
> 2.) Hoppenla, da fehlt ein Schritt der Induktion
>>
> 3.)
>>
>> Induktionsschluss: P(n+1) = (2n+2)*(2n+3)*(2n+4) = P(n) + 24*(n+1)^2
>> Wenn P(n) durch 24 teilbar ist (für ein beliebiges n), ist also auch
>> P(n+1) durch 24 teilbar.
>>
> Wenn, dann ja. Es wurde aber nicht gezeigt, dass die Teilbarkeit allgemein
> für P(n=m) besteht. Es wurde lediglich gezeigt, dass sie für den konkreten
> Fall P(1) besteht.
Das ist doch gerade der Witz! Ich habe die Induktionsvoraussetzung nicht
ausdrücklich hingeschrieben, sie steckt in dem "Wenn P(n) durch 24 teilbar
ist ...". Damit ist bewiesen:
P(1) ist durch 24 teilbar (wurde bewiesen) => P(2) ist durch 24 teilbar
P(2) ist durch 24 teilbar => P(3) ist durch 24 teilbar
P(3) ist durch 24 teilbar => P(4) ist durch 24 teilbar
P(4) ist durch 24 teilbar => P(5) ist durch 24 teilbar
usw. für alle natürlichen Zahlen.
>>
> Vollständige Induktion
> -----------------------
> Das Prinzip der vollständigen Induktion lautet:
> Ist eine Aussage für eine konkrete natürliche Zahl n0 wahr, und folgt
> daraus, aus der Wahrheit der Aussage für eine beliebige natürliche Zahl
> n=m>n0, die Wahrheit der Aussage für n+1, dann ist die Aussage auch für
> alle natürlichen Zahlen n>m gültig, also für alle n>n0.
> (n0 muss nicht notwendigerweise =1 sein)
>>
> Demnach erfolgt der Beweis in folgenden Schritten:
>>
> 1.) Induktionsanfang: Die Wahrheit der Aussage wird für ein konkretes n=n0
> gezeigt und durch Rekurenz bis zu einem bliebigen n=m>n0. (n=n0 könnte nur
> partikulär war sein)
>>
> 2.) Induktionsannahme, bewiesen durch Rekurenz: Die Wahrheit der Aussage
> gilt für 'alle' (n<=m>n0);
"bewiesen durch Rekurenz" steht aber nicht in dem von dir genannten Link.
(Dort ist übrigens auch die Induktionsvoraussetzung nicht ausdrücklich
hingeschrieben, es heißt nur "nach IV".) Der Beweis durch Rekurrenz (d.h.
zurückführen auf das um 1 kleiner n) erfolgt doch gerade im nächsten
Schritt.
>>
> 3. Induktionsbehauptung: Die Aussage sei für n>m, also für n+1, wahr
> (Behauptung zu beweisen, denn die Aussage könnte partikulär nur für n<=m
> wahr sein).
Es ist zu beweisen: WENN die Aussage für ein n wahr ist, DANN ist sie auch
für n+1 wahr.
>>
> 4. Beweis für n+1 und Schlussfolgerung der Implikation: Aussage ist wahr
> für 'alle' n<=m>n0 UND n>m, also für 'alle' n>n0.
>>
Grüße
Jutta
H. Vetinari
> Aber vielleicht lernt er ja was? (-Scherz!!!)
Wozu sollte er etwas lernen?
Vogel ist modern. Er hält sein gesamtes mathematisches
Wissen in der Cloud - überwiegend Wikipedia.
Das ist zwar sehr unflexibel, aber man hat den Kopf frei.
--- Posted via news://freenews.netfront.net/ - Complaints to ne...@netfront.net ---
Detlef Bosau
> Detlef Bosau<detlef...@Use-Author-Supplied-Address.invalid> wrote in
> news:201108122035.UTC.j242pk$5i8$1...@tioat.net:
>
>> On 08/11/2011 01:31 PM, Vogel wrote:
>>
>>> Das stammt aus Wikipedia. Also beschwer dich bei denen.
>>> Steht doch schon im vorigen Beitrag.
>>
>>
>> Das wird Carsten bestimmt nicht tun.
>>
Nein. Aber ich gehe dennoch davon aus, daß Carsten nicht anfängt, den
Leuten von Wikipedia das Rechnen beizubringen.
>>
> Ich gehe davon aus, dass er erwachsen genug ist, um selber zu wissen was er
> tun wird, ohne dich als Vormund zu benötigen. Ebenfalls gehe ich davon aus,
> dass er erwachsen genug ist, um sich nicht von dir bevormunden zu lassen.
>>
>> Wikipedia ist keine Quelle. Punkt.
>>
> Wenn sie korrekt ist, schon. Punkt. Punkt. Punkt.
Erstens ist Wikipedai keine Quelle. Punkt. Ich bin es nicht gewohnt, daß
man mir widerspricht, vor allem nicht von inkompetenter Seite.
Zweitens ist das, was Du da zitiert hast, schlicht falsch.
Vielleicht setzt Du Dich erstmal mit dem auseinander, was auf Deinem
Niveau liegt.
Kindergartenmathematik für drei bis vierjährige. Im Kindergarten für
Lernbehinderte.
Detlef Bosau
Hottchen, Du kannst gerne unter Klarnamen schreiben.
Wir wissen schon länger, daß Du Dich gerne mit "Induktion" auseinandersetzt.
Meine Güte, gibt es _eine_ Newsgropu, die Nietowski nicht zuscheißt?
Detlef Bosau
> http://www.mathematik.hu-berlin.de/
> ~jkoven/mathe/induktionsbsp/induktionsbsp.html
Und was steht da nun drin, das Deine Kritik untermauern w�rde?
Erz�hl mal.
Detlef Bosau
>>
> Yep! Genau darum ging es.
>>
Nietowski, du weißt nicht, worum es ging.
Und nun schlaf endlich Deinen Suff aus, erhol Dich vom vielen Bumsen und
erscheine wenigstens _einmal_ am Montag pünktlich zur Feststellungsmaßahme.
Himmel, sind die beim Amt in Langenfeld denn völlig unterbelichtet?
Vogel
> Am Fri, 12 Aug 2011 16:43:07 +0200 schrieb Matthias Rosenkranz:
>
>> Die letzte Umformung ist zwar richtig, für [manche] nicht so Geübte
>> aber vielleicht etwas kurz gefasst[.]
>
> So what?
>
Der schon wieder. Manche Witzfiguren hören nie auf zu existieren.
>
> "A proof only becomes a proof after the social act
> of 'accepting it as a proof'." (Yuri Manin)
>
> Außer einem Vogel sind sich hier ALLE über die "Beweishaftigkeit" der
> (bislang) vorgelegten Argumente einig.
>
Yep! ;-)
>
1+1=3
>
Stimmen wir ab?
>
Die Methode der vollständigen Induktion gilt nicht nur im Bereich der
natürlichen Zahlen sondern für alle Fälle in denen eine deduktive
Rekurenz zu beweisen ist. Dazu ist Schritt 2.) unabdingbar.
>
z.Bsp.
>
Man Beweise durch die MVI die Regel zur Ableitung eines Produktes von
Funktionen.
>
F(n) = f1*f2*....*fn
>
Bekannt:
>
F'(2) = f1'*f2 + f1*f2'
>
Vogel
Die Methode der vollständigen Induktion ist par excellence die
beweismethode für deduktive Rekurenz, auch wenn dies nicht ausdrücklich
erwähnt wird.
>
> (Dort ist übrigens auch die Induktionsvoraussetzung nicht
> ausdrücklich hingeschrieben, es heißt nur "nach IV".) Der Beweis durch
> Rekurrenz (d.h. zurückführen auf das um 1 kleiner n) erfolgt doch
> gerade im nächsten Schritt.
>
Nein, im nächsten Schritt erfolgt der Beweis von n nach n+1.
Durch Rekurenz erfolgt der Beweis von n0=1 nach n=m.
>
>>>
>> 3. Induktionsbehauptung: Die Aussage sei für n>m, also für n+1, wahr
>> (Behauptung zu beweisen, denn die Aussage könnte partikulär nur für
>> n<=m wahr sein).
>
> Es ist zu beweisen: WENN die Aussage für ein n wahr ist, DANN ist sie
> auch für n+1 wahr.
>
Dazu muss allerdings erwiesen sein, dass sei für n wahr ist. Eine reine
Annahme dazu, kann nichts beweisen.
>>>
>> 4. Beweis für n+1 und Schlussfolgerung der Implikation: Aussage ist
>> wahr für 'alle' n<=m>n0 UND n>m, also für 'alle' n>n0.
>>>
>
So ausführlich hat man das zu meiner Zeit gelernt. Wie ich jedoch aus
Recherchen gesehen habe, kondensiert man heutzutage einige Schritte.
Mathematik scheint also doch mehr Konvention als Logik zu sein.
>
Schönen Sonntag noch
>
Jutta Gut
"Vogel" <vo...@hotmail.com> schrieb
> "Jutta Gut" <gut.jutt...@chello.at> wrote
>> Es ist zu beweisen: WENN die Aussage für ein n wahr ist, DANN ist sie
>> auch für n+1 wahr.
>>
> Dazu muss allerdings erwiesen sein, dass sei für n wahr ist. Eine reine
> Annahme dazu, kann nichts beweisen.
Ich gebs auf.
Jutta
Vogel
> Am Thu, 11 Aug 2011 10:33:11 +0200 schrieb Carsten Schultz:
>
>> Am 11.08.11 09:59, schrieb Vogel:
>>>
>>> Oliver Jennrich <oliver....@gmx.net> wrote:
>>>>
>>>> Vollständige Induktion tut es auch:
>>>>
>>>> n = 1:
>>>>
>>>> 2n*(2n+1)*(2n+2) = 2*3*4 = 24
>>>>
>>> Hier zwischen drin fehlt ein Schritt.
>
> Herr Vogel..., es empfiehlt sich auch in Ihrem Fall: Wenn man von
> einer Sache keine Ahnung hat, einfach mal die Klappe halten!
>
Wohl eher in deinem Fall. Das Kompliment gebe ich gerne zurück.
Wenn du aber Ahnung von der Sache hättest, müsstest du nicht unverschämt
werden.
>
>>> "Seit Richard Dedekind ist die vollständige Induktion folgendermaßen
>>> festgelegt: Um zu beweisen, dass ein Satz für _alle_ natürlichen
>>> Zahlen n >= m gilt, genügt es zu zeigen, dass er für n = m gilt,
>>> und dass aus der [Annahme der] Gültigkeit des Satzes für eine
>>> [bel.] Zahl n >= m seine Gültigkeit auch für die folgende Zahl n +
>>> 1 folgt." (Wikipedia)
>
> *Gähn* Ja, ja, das hat man so, oder so ähnlich, schon viele Male
> gehört, gelesen oder SELBST formuliert... *sigh*
>
Das wird's wohl sein. Hier fehlt bei dir noch, "verstanden".
>
>>>> n |-> n+1:
>>>>
>>>> 2(n+1)*(2(n+1)+1)*(2(n+1)+2) = 24 + 52*n + 36*n^2 + 8*n^3
>>>> = 24 + 48*n + 24*n^2 + 4*n + 12*n^2 + 8*n^3
>>>> :
>>>> = 24*(n+1)^2 + 2n*(2n+1)*(2n+2)
>
> Das was Du, Vogel, als "fehlend" ansiehst, wird HIER (nachfolgend)
> formuliert:
>
>>>> Der erste Summand ist trivialerweise durch 24 teilbar, der zweite
>>>> nach Induktionsvoraussetzung.
>
Der zweite Summand ist nicht jener aus der "Induktionsvorarussetzung".
>
>>> Man beweist [bei der vollst. Induktion] die Gültigkeit einer Aussage
>>> für ein beliebiges "n" und seinen Nachfolger "n+1".
>
> Nö. Man NIMMT AN, dass die Aussage für ein bel. (aber festes) n
> richtig ist.
>
Quatsch! Das braucht man nicht und das wurde ja auch nicht getan. Es wurde
ja schliesslich die Richtigkeit für n=1 geprüft, nicht nur angenommen.
>
n=1: 2*3*4 = 24
>
Allerdings wurde die Richtigkeit für ein _beliebiges_ festes n=m weder
angenommen noch gezeigt. Die Richtigkeit für ein festes "n0<n<=m" geht aus
der Rekurenz hervor. Da braucht man also nichts anzunehmen, was bereits
bekannt ist. Das kannst du doch noch verstehen? Was nicht bekannt ist, das
ist die Richtigkeit für n>m. Dafür trifft man die Annahme der Richtigkeit.
>
Man nimmt die erwiesene "Richtigkeit" bis n0<n=m, als "Induktionsannahme"
für n>m an. Man prüft dann die Richtigkeit der Annahme für n+1>m.
Würde man die "Unrichtigkeit" für n>m annehmen bräuchte man nichts mehr zu
prüfen.
>
Mit unerwiesenen Annahmen kann man nichts beweisen, es sei denn man
beweist, dass die Annahme richtig ist, oder zumindest nicht falsch ist,
oder der Schlussfolgerung nicht widerspricht. In den beiden letzten Fällen
ist die Beweisführung aber nicht vollständig, sondern lediglich zulässig.
>
> Wenn man von dieser ANNAHME ausgehend zeigen/beweisen
> kann, dass (dann) auch die Aussage für n+1 richtig ist, ist man fertig
> (=hat alles gezeigt).
>
Das ist erwiesener Unsinn was du da erzählst! Aus der Beweisführung müsste
hervorgehen, dass die Annahme auch richtig ist. Dann wäre so eine indirekte
Beweisführung in Ordnung. Das ist aber nicht der Fall und auch nicht
notwendig, denn die Richtigkeit für n<=m ist bereits aus der Rekurenz
bekannt. Was aber als "richtig" bekannt ist, braucht man nicht mehr als
"richtig" anzunehmen. Das begreifst du doch? Es wird lediglich die Aussage
für n>m geprüft auf der Basis von n<=m. Das sagt aber über die Richtigkeit
der Annahme für n<=m nichts aus. Lediglich die Annahme der Richtigkeit
einer Annahme kann nichts beweisen.
>
Ist das für dich zu hoch?
>
>> Du faselst wirres Zeug.
>
> In der Tat.
>
Mann kann die Richtigkeit einer Aussage für "n+1", nur auf der Annahme der
Richtigkeit für "n", schlichtweg nicht beweisen. Das wäre dann für "n+1"
auch nur eine angenommene Richtigkeit. Das müsste doch selbst so ein
bornierter und geistig beschränkter Hansel wie du begreifen können.
>
Ich geb's auf.
>
Der mathematische Dünnpfiff hier, von eingebildeten Experten wie dir, wird
wohl nur noch durch deren eingebildete Kenntnisse und deren hohles
Geschwafel darüber, übertroffen.
>
Vogel
news:j268bp$6ps$1...@adenine.netfront.net:
> Franz Fritsche wrote:
>> Aber vielleicht lernt er ja was? (-Scherz!!!)
>
> Wozu sollte er etwas lernen?
> Vogel ist modern. Er hält sein gesamtes mathematisches
> Wissen in der Cloud - überwiegend Wikipedia.
>
Unverschämtheit auf der Basis von dummen Unterstellungen ist sinnfrei und
ohne Beweiskraft.
>
Diese Cloud ist für Typen wie dich gedacht. Wie ich das schon mehrmals hier
kundtat halte ich vom Wissensniveau von Wikipedia so gut wie nichts.
>
> Das ist zwar sehr unflexibel, aber man hat den Kopf frei.
>
Du darfst gerne mal meinen Bücherschrank oder meinen Computer besuchen
kommen.
>
Vogel
$.1te1v4ioxvpf4$.d...@40tude.net:
> Am Sat, 13 Aug 2011 18:00:52 +0200 schrieb Jutta Gut:
>
>> Der Beweis durch Rekurrenz ...
>
> Was soll das sein?
>
Das ist so eine geistige Banalität wie, wenn:
>
a2=a1; a3=a2; ...;a_n=a_n-1
>
Dann a_n=a1
>
Für den Beweis brauchst du noch nicht einmal Verstand
>
a_n=a_n-1= ....=a3=a2=a1
>
Etwaige sprachliche Unzulänglichkeiten deinerseits dürften auch nicht
hinderlich sein. Erklärt sich von allein.
>
Vogel
>
Man du Wichser verpiss dich doch von hier!
>
Deine Erzieher müsste man verklagen wegen geistiger Unzucht mit
Minderjährigen, aber zumindest wegen Vernachlässigung der Prügelstrafe.
>
EOD
>
Detlef Bosau
> Detlef Bosau<detlef...@Use-Author-Supplied-Address.invalid> wrote in
> news:201108131635.UTC.j26940$otg$1...@tioat.net:
>
>>
> Man du Wichser verpiss dich doch von hier!
Wenn Du etwas von mir willst, steht Dir der Rechtsweg offen, Nietowski.
Und nun schreib bitte wieder unter Deinem richtigen Namen. Als der, der
Du bist. Der aus der Puffgasse kommt und damit prahlt, und der sich sein
Leben lang nie vom Puff-Niveau erholt hat.
Und der den ganzen Tag Wissen "ergooglet" und mit seiner
Google-Halbbildung nervt.
Oder willst Du jetzt sagen, Du seist wer anders?
Detlef Bosau
> Am Fri, 12 Aug 2011 22:34:53 +0200 schrieb Detlef Bosau:
>
>> Wikipedia ist keine Quelle.
>
> Zumindest keine "Primärquelle"; man kann allerdings durchaus aus der
> Wikipedia zitieren, _zuweilen_ ist das darin Gesagte/Dargelegte auch
> korrekt (bzw. hat Hand und Fuß).
Das steht außer zweifel.
Aber erstens setzt das verstehendes Lesen voraus und zweitens wird man
in einer Veröffentlichung auch auf die Primärquelle (die man
selbstverständlich geprüft hat) bezug nehmen.
Im übrigen darf bei den Lesern von d.s.m. vorausgesetzt werden, daß die
Vollständige Induktion bekannt ist.
(Zumindest bei dem Teil der d.s.m. Leser, die an die Existenz der
natürlichen Zahlen glauben und von dieser matheologischen Irrlehre
weiterhin vehement Gebrauch machen.)
Vogel
> Am 13 Aug 2011 09:20:37 GMT schrieb Vogel:
>
>> Beleidigende Arschlöcher können z. B. hier nachschauen:
>> http://www.mathematik.hu-berlin.de/~jkoven/mathe/induktionsbsp/indukti
>> onsbsp.html
>
> Und was soll _dort_ stehen, was man Dir _hier_ nicht schon _mehrfach_
> zu erklären versucht hat?
>
Komm mir doch nicht so blöd von oben herab.
Lieber Herr Fritsche was glaubst du eigentlich was für eine mathematische
Ausbildung ich habe?
>
Da gibt es überhaupt nichts zu erklären. Wir sind uns uneins über die
rigurose Metodik bei der vollständigen Induktion. Mit etwas Schlamperei
kann man auch die nicht von mir angeführte Methodik akzeptieren.
>
Auch im hier vorgeführten verkürzten Beweis steckt das drin was ich
ausführlicher gemacht habe.
>
Um nicht mehr und nicht weniger geht es. Das Aufheben darüber ist
schlichtweg unerklärlich.
>
Vogel
> Am Sat, 13 Aug 2011 16:53:44 +0200 schrieb Franz Fritsche:
>
>>
>> "A proof only becomes a proof after the social act
>> of 'accepting it as a proof'." (Yuri Manin)
>>
>> Außer einem Vogel sind sich hier ALLE über die "Beweishaftigkeit" der
>> (bislang) vorgelegten Argumente einig.
>
> Hint@Vogel:
>
> Die Ansicht von Cranks, Crackpots und mathematischen Laien fällt dabei
> naturgemäß weniger ins Gewicht als die Meinung von ausgewiesenen
> Experten und/oder Koryphäen auf diesem Gebiet (also z. B.
> Berufsmathematikern); insbesondere wenn letztere sich auch eingehender
> mit dem "Beweis" (if so) auseinander gesetzt haben.
>
Da stimme ich dir voll zu ;-)
Blöde Anmache gehört jedoch nicht zu den Methoden der Mathematik.
>
Es jetzt zwar schon Jahrzehnte her, dass ich mich mit der vollständigen
Induktion ausführlich auseinandersetzen musste, ich habe aber noch keine
Anzeichen von Alzheimer.
>
Vogel
> Am 14 Aug 2011 09:13:49 GMT schrieb Vogel:
>
> ??? "Beweis durch Rekurrenz" ???
>
>> Das ist so eine geistige Banalität wie, wenn:
>>
>> a2=a1; a3=a2; ...; a_n=a_n-1
>>
>> Dann a_n=a1
>>
>> Für den Beweis brauchst du noch nicht einmal Verstand
>>
>> a_n=a_n-1= ....=a3=a2=a1
>
> Junge, ich würde sagen, dass Du nicht so viel saufen, oder Dir ein
> anderes Hobby als "Internet" zulegen solltest.
>
Ich würde sagen dass du ein eingebildeter aber kotziger Maulaffe bist,
der von Mathematik keine Ahung hat.
>
>
> In diesem Fall ist aber doch _ein wenig_ Mathematik involviert, ...
>
Da du davon nicht wirklich eine Ahnung hast, lass' es bleiben.
>
> ... und zwar die Eigenschaft der _Transitivität_: Die Gleichheit ist
> _transitiv_. Das spielt in diesem Beweis eine Rolle, und erst das
> erlaubt die etwas frag- würdige Notation in Deinem "Beweis".
>
Blödsinn! Fragwürdig ist bloss das was du dir als mathematisches Wissen
einbildest!
>
Man kommt hierbei sehr wohl ohne diese Eigenschaft aus die du nicht
verstanden hast. Schlichtweg aus:
>
a_n = a_n
>
> Wie wollen also zeigen, dass (für ein bel. aber festes n) die Aussagen
>
Blödsinn!
>
a2 = a1, a3 = a2, ..., a_n = a_n-1
>
a_n=a_n-1 = n_n-1=....=a3 = a3=a2 = a2=a1
>
Mehr braucht man nicht.
>
Wichtig aber ist, dass du jetzt hoffentlich weisst was "Beweis durch
Rekurenz" ist. Deine Hinterherklugscheisserei ist lediglich erbärmlich.
>
Gus Gassmann
wrote:
> Am 24 Aug 2011 07:49:03 GMT schrieb Vogel:
>
> > a_n = a_n
>
> Diese Eigenschaft der Gleichheitsrelation hei t /Reflexivit t/; ist aber,
> anders als die Transitivit t, f r den Beweis dessen, was Du zeigen wolltes,
> weder notwendig, noch hinreichend.
>
> > ... "Beweis durch Rekurenz" ...
>
> Was soll das sein? Kannst Du vielleicht mal eine REFERENZ (also einen
> Literaturverweis) posten?
Ich dachte, das sei ein REFERAT...
>
> MfG,
> FF
>
> --
Florian Paul Schmidt
Hey, beleidigt nicht das Puff-Niveau. Viele Huren und Gigolos verstehen
die vollstaendige Induktion..
Gruss,
Flo