Ulrich D i e z schrieb am Sonntag, 17. Juli 2022 um 23:44:47 UTC+2:
> Ganzhinterseher schrieb:
> > Drei Hinweise für Kinder, die die grundlegendsten Teile der Mengenlehre schon kennen.
> >
> > (1)
> > Jede Menge positiver gerader natürlicher Zahlen enthält eine natürliche Zahl, die größer als ihre Anzahl ist. Das gilt für alle diese Mengen, also für unendlich viele,
> Es handelt sich da um unendlich viele Mengen von denen jede die
> Eigenschaft hat, aus einer endlichen Anzahl an Elementen zu bestehen.
> > also auch für die unendliche Menge aller positiven geraden natürlichen Zahlen.
> Die jetzt in die Betrachtung einbezogene "unendliche Menge" hat diese
> Eigenschaft nicht.
Doch! Die unendliche Menge der definierbaren Zahlen ist nichts weiter als die potentiell unendliche Folge der endlichen Mengen.
>
> Woher nimmst Du die Gewissheit, dass der Schluss, es gäbe in der
> betreffenden Menge eine natürliche Zahl, die größer als ihre Anzahl ist,
> auch bei Mengen richtig ist, die aus unendlich vielen Elementen bestehen?
1) Aus der Gewissheit, dass es lediglich potentiell unendliche Mengen sind.
2) Aus der Tatsache, dass gewisse mathematische Gesetze überall gelten, wo die Mathematik nicht sinnlos wird.
> > (2)
> > Auf der reellen Achse findet sich zwischen zwei beliebigen irrationalen Zahlen immer eine rationale Zahl. Also ist die Anzahl der irrationalen Zahlen nicht größer als die der rationalen Zahlen.
> Besagte beliebige irrationale Zahlen seien der Größe nach verschieden.
> Sei A die kleinere, B die größere dieser beiden irrationalen Zahlen.
> Es befindet sich nicht nur eine rationale und auch nicht nur eine
> irrationale Zahl zwischen A und B.
Richtig. Aber man kann nicht mehr irrationale finden als rationale. Das gilt für _jede_ auffindbare Irrationalzahl. Zwei irrationale Zahlen _können_ sich gar nicht dezimal unterscheiden, ohne dass dieser Unterschied eine rationale Zahl ist. Beispiel
0,3985729485723867...
und
0,3985729485724867...
unterscheiden sich zum Beispiel durch
0,3985729485724
Und was sollten nicht dezimal unterscheidbare Irrationalzahlen sein?
> > (3)
> > Für jede natürliche Zahl n findet sich ein Endsegment, E(n+1) = {n+1, n+2, n+3, ...} der natürlichen Zahlen, das n nicht enthält. Daraus schließen manche, dass der Schnitt aller Endsegmente leer ist. Sie übersehen oder verdrängen aber, dass jedes zum Beweis herangezogene Endsegment E(n+1) unendlich viele Zahlen enthält, so dass der Schnitt in keinem der unendlich viele Fälle leer ist.
> Es reicht nicht, _irgendwelche_ Zusammenstellungen mit endlich vielen
> Endsegmenten "heranzuziehen", von denen jedes unendlich viele Elemente
> enthält, sondern man man muss, ausgehend von n=m, _alle_ Endesgmente
> E(k) für den Beweis "heranziehen", bei denen k > m ist, und das sind
> unendlich viele Endsegmente.
Alle Endsegmente, die mit ihren Vorgängern einen unendlichen Schnitt bilden, zusammengenommen, können keinen leeren Schnitt bilden.
∀k ∈ ℕ: ∩{E(1), E(2), ..., E(k)} = E(k) /\ |E(k)| = ℵ₀
|∩{E(k) : k ∈ ℕ_def}| = ℵ₀
>
> Für k >=0 enthält jedes Endsegment E(k) eine natürliche Zahl k+1, die
> die Eigenschaft hat, im Endsegment E(k+1) nicht enthalten zu sein und
> von daher auch nicht in der Schnittmenge aller Endsegmente enthalten zu
> sein. Somit hat jede natürliche Zahl die Eigenschaft, nicht in der
> Schnittmenge _aller_ Endsegmente enthalten zu sein.
Nein, denn alle diese Endsegmente enthalten unendlich viele natürliche Zahlen, also mehr als sie entfernen.
> Mengen, die Endsegmente darstellen, haben unendlich viele Elemente.
Deswegen können sie als inklusionsmonotone Mengenfolge auch keinen leeren Schnitt haben. Wo blieben denn die überall vorhandenen unendlich vielen Elemente?
> Mengen, die Endsegmente darstellen und unendlich viele Elemente haben,
> sind allesamt etwas anderes als die Schnittmenge aller dieser Mengen.
Die Schnittmenge aller definierbaren Mengen ist |∩{E(k) : k ∈ ℕ_def}| = ℵ₀ .
Beweis: Niemand kann ein Endsegment definieren, das diese Gleichung verletzt. Definierbar heißt dabei: Es gibt einen endlichen Anfangsabschnitt 1, 2, 3, ..., n, der den Index des Endsegmentes enthält.
> Die Schnittmenge aller dieser Mengen ist selbst kein Endsegment, denn
> sie ist leer,
Nicht jedenfalls die Schnittmenge aller unendlichen Endsegmente, denn sie ist nach Inklusionsmonotonie unendlich. Das ist Mathematik, die für alle Mengen gilt.
Gruß, WM