Was heisst Menge hoch Menge
Sebastian Knauer
bin Mathestudent im ersten Semster und verzweifel langsam an Lineare
Algebra.
Kann mir jemand von euch erklären was es bedeutet, wenn eine Menge
hoch eine andere Menge genommen wird bzw. wenn z.B. ein Ring hoch
einer Menge genommen wird.
(z.B.:
- Es sei R ein Ring und M eine Menge, was ist dann R^M?
- + ist symmetrische Differenz, M ist Menge was ist die Gruppe(2^M,+)?
- Gibt es auch |N^M? )
Wäre nett wenn ihr mir ein paar Beispiele geben könntet, mir das
anschaulich erklärt oder mir ne Adresse im Internet geben könntet wo
man nachschauen kann
Danke im voraus
--
Sebastian Knauer
xan...@tzk.qr
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Sven Blumberg
> Kann mir jemand von euch erklären was es bedeutet, wenn eine Menge
> hoch eine andere Menge genommen wird bzw. wenn z.B. ein Ring hoch
> einer Menge genommen wird.
Im allgemeinen meint man mit A^B:={f: B->A}, soll heißen die Menge aller
Abbildungen von B nach A (ohne zusätzliche Voraussetzungen wie Stetigkeit
oder Linearität, o.ä.).
> - + ist symmetrische Differenz, M ist Menge was ist die Gruppe(2^M,+)?
2^M ist nun speziell die Menge aller charakteristischen Funktionen, d.h.
ist A eine Teilmenge von M so ist die charakteristische Funktion genau auf A
gleich 1 und sonst 0.
Jetzt ist aber eine charakteristische Funktion eindeutig durch seine Menge definiert,
es gibt also eine 1 zu 1 Korrespondenz, dementsprechend kann man
Mengen mit Ihren charakteristischen Funktionen identifizieren.
Damit ist aber 2^M nichts anderes als die Menge aller Teilmenge von M
also die Potenzmenge von M!
> - Gibt es auch |N^M? )
Ja
Im Allgemeinen gilt sogar für die Kardinaltät von A^B
card(A^B)=card(A)^card(B),
vielleicht hilft das ja noch.
HTH
Sven
Rainer Rosenthal
Sebastian Knauer
> Kann mir jemand von euch erklären was es bedeutet, wenn eine Menge
> hoch eine andere Menge genommen wird
> ...
> Wäre nett wenn ihr mir ein paar Beispiele geben könntet, mir das
> anschaulich erklärt ...
Hallo Sebastian,
zu dem Thema hatte ich erst kürzlich was geschrieben und kopiere
es hierher, weil es mir zu passen scheint. Ich habe es aus dem
Thread "Kombinatorik", geschrieben am 7. November:
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Michael Erkens wrote
> Kann mir jemand sagen, wieviele Abb. es von der
> Indexmenge {1,..,n} in eine Menge M gibt?
Nimm n Zettel z1, ... zn und male auf jeden den
Namen eines Elements aus M.
Das liefert eine Abbildung von {1,..,n} in M.
Und jede solche Abbildung entspricht einer solchen
Zettel-Mal-Aktion.
Da Du "wieviele" fragst, unterstelle ich mal, dass
M eine endliche Menge mit, sagen wir mal, m Elementen
ist.
Wieviele unterschiedliche Zettel-Malereien sind möglich?
Du kannst m verschiedene Bemalungen auf z1 vornehmen.
Jede davon kannst Du mit den m verschiedenen Bemalungen
auf z2 kombinieren, was schon mal m^2 Kombinationen gibt.
Nimmst Du die m Bemalungsmöglichkeiten für z3 dazu, dann
gibt das schon m^3 usw. Für alle n Zettel gibt es also
m^n Möglichkeiten:
Es gibt m^n Abbildungen einer n-elementigen
Menge in eine m-elementige.
Wenn man das weiss, dann wundert man sich auch weniger über
die Schreibweise M^N, die man manchmal sieht zur Bezeichnung
der Menge aller Abbildungen von N in M, wobei es nicht mal
nötig ist, dass es sich dabei um endliche Mengen handeln
muss (dann kann man aber nicht mehr so einfach "wieviel"
fragen).
Sind M und N beide endlich, dann lässt sich der Sachverhalt
aber auch so ausdrücken:
|M^N| = |M|^|N|
Sprich: Die Anzahl von M^N ist gleich der Anzahl von M
potenziert mit der Anzahl von N.
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Gruss,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de