lim sup/inf von Funktionenfolgen
Markus Bachmayr
würde man das dann normalerweise definieren?
lg, mb
Roland Mosler
> Ist so etwas wie der limes superior einer Funktionenfolge sinnvoll
Ja.
> und wie würde man das dann normalerweise definieren?
s/Zahl/Funktion/ in der Definition für Zahlenfolgen.
Gruß,
Roland
--
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Markus Bachmayr
>
> Ja.
>
> > und wie würde man das dann normalerweise definieren?
>
> s/Zahl/Funktion/ in der Definition für Zahlenfolgen.
Definition von Häufungspunkt wäre noch klar, aber um ein Supremum/Infimum
der Menge der Häufungspunkte definieren zu können müsste ich diese Menge ja
erst einmal anordnen, dh wie?
(Hier geht es übrigens nur um punktweise Konvergenz)
lg markus
Paul Ebermann
> > > Ist so etwas wie der limes superior einer Funktionenfolge sinnvoll
> >
> > Ja.
> >
> > > und wie wrde man das dann normalerweise definieren?
> >
> > s/Zahl/Funktion/ in der Definition f r Zahlenfolgen.
>
> Definition von Hufungspunkt w re noch klar, aber um ein Supremum/Infimum
> der Menge der Hufungspunkte definieren zu k nnen msste ich diese Menge ja
> erst einmal anordnen, dh wie?
> (Hier geht es brigens nur um punktweise Konvergenz)
Man kann die Definition punktweise anwenden.
D.h.
(limsup[n->oo] f_n)(x) := limsup[n->oo] f_n(x)
liminf analog.
HTH
Paul
Roland Mosler
>> > und wie würde man das dann normalerweise definieren?
>>
>> s/Zahl/Funktion/ in der Definition für Zahlenfolgen.
>
> Definition von Häufungspunkt wäre noch klar, aber um ein Supremum/Infimum
> der Menge der Häufungspunkte definieren zu können müsste ich diese Menge
> ja erst einmal anordnen, dh wie?
> (Hier geht es übrigens nur um punktweise Konvergenz)
Arrgh, Funktionalanalysis liegt so weit zurück ;-)
Hast Du nicht zuerst etwas von einer Funktionefolge erzählt?
IIRC wird der Grenzwert als eine Fuktion definiert, die dem Grenzwert in
jedem Argument entspricht.
Horst Kraemer
sup inf lim sup und lim inf sind fuer Funktionenfolgen natuerlich nur
dann sinnvoll "punktweise" definierbar, wenn die entsprechenden
Begriffe fuer jede Wertefolge f_n(x) existieren. In diesen Faellen
definiert man schlicht
[bla f_n](x) := [bla f_n(x)]
genau so wie man die Summe von zwei Funktion punktweise definiert.
(f+g)(x) := f(x) + g(x)
N.B.:Die Definition von lim sup ueber Haeufungspunkte ist manchmal
laestig. Etwas schnittiger ist folgende aequivalente Definition: Sei
(a_n),n>=0 ein Folge.
lim sup a_n := inf sup a_n
k>=0 n>=k
lim inf a_n := sup inf a_n
k>=0 n>=k
lim sup|inf ist also das Infimum|Supremum der Suprema|Infima der bei k
beginnenden "Schwaenze" der Folge.
Dies laesst sich dann auch woertlich auf Funktionen uebertragen:
[lim sup f_n] (x) = inf sup f_n(x)
k>=0 n>=k
MfG
Horst