Simultan diagonalisierbare Matrizen
Bernd Hannaske
In article <4p9cao$c...@news.rrz.uni-koeln.de>,
az...@mi.uni-koeln.de (Andreas Zapp) wrote:
>es seien A und B simultan diagonalisierbare reele Matrizen, d.h.
>insbesondere,
> da"s sie die gleichen Eigenvektoren besitzen. Kann man Aussagen "uber die
>Eigenwerte von A und B machen ? Oder kann das Spektrum von A vollkommen
>unabh"angig zu dem Spektrum von B sein, insbesondere kann Spektrum von A reel
>sein und Spektrum von B komplex ?
Hi Andreas,
also wenn ich das richtig interpretiere, dann besteht keine Hoffnung auf einen
allgemeinen Zusammenhang. TeX-Text wie folgt:
Seien $A,B \in\R^{n\times n}$ und $U\in\R^{n\times n}$ regul"ar mit
$$ A=ULU^{-1} , \quad B=UMU^{-1^} ,$$
wobei $L,M$ Diagonalmatrizen mit den Eigenwerten von $A$ bzw.\ $B$ sind.
Entspricht dies Deiner Annahme bzgl.\ simultaner Diagonalisierung?
Dann betrachte etwa $A=I_n$ (Einheitsmatrix), dann ist (da alle EWe 1) auch
$L$ die Einheitsmatrix, so da"s $U$ als beliebige regul"are Matrix gew"ahlt
werden kann! Somit kann kein Zusammenhang zwischen $A$ und $B$ bestehen.
Analog geht das ganze bei "Ahnlichkeitstransformationen mit orthogonalem bzw.\
unit"arem $U$!
Sorry, aber das tut es wohl nicht.
Literatur f"allt mir keine ein. Bellmann (1960), Introd. to Matrix Analysis,
erw"ahnt eine simultane Diagonalisierung f"ur symmetrische Matrizen $A,B$,
Theorem 5, p. 56. Dies geht "ubrigens gdw. AB=BA ist.
cu,
Bernd.
|Abteistr. 12, D-52066 Aachen | e-mail: hann...@stochastik.rwth-aachen.de|
Thomas Probst
In <4p9cao$c...@news.rrz.uni-koeln.de> az...@mi.uni-koeln.de (Andreas Zapp) writes:
>Hallo,
>es seien A und B simultan diagonalisierbare reelle Matrizen, d.h. insbesondere,
> da"s sie die gleichen Eigenvektoren besitzen. Kann man Aussagen "uber die
>Eigenwerte von A und B machen ? Oder kann das Spektrum von A vollkommen
>unabh"angig zu dem Spektrum von B sein,
Ja: Sei T die Matrix mit den Eigenvektoren (EV) als Spalten, S ihre
Inverse, und sei D eine Diagonalmatrix, in der die Eigenwerte (EW)
stehen . Dann hat A:= T*D*S genau diese EV und EW. Nimmst Du ein D'
mit anderen EW, aber dieselben Matrizen T und S, dann hat A'=T*D'*S
dieselben EV, aber die neuen EW aus D'.
> insbesondere kann Spektrum von A reell sein und Spektrum von B komplex ?
Glaub' ich nicht: Sei D eine Diagonalmatrix mit reellen EW, und T und S
die dazugehoerigen Transformationsmatrizen (die dann auch reell sind),
mit den (reellen) EV. Wenn Du eine komplexwertige Diagonalmatrix D'
einsetzt, soll ja B= T*D'*S gelten, und da B reell ist auch
B=B_=T_*D'_*S_ (B_ ist die konjugierte Matrix B, T_, S_,D'_
ebenso). Dann gilt also D'_=D'
>Wer kennt Literatur zu diesem Thema ?
Hm, nicht so richtig, aber probier mal
Hackbusch, W.: Iterative Loesung grosser schwachbesetzter
Gleichungssysteme, Teubner 1993, Kapitel 2.8.3. Ansonsten kann ich mir
vorstellen, dass in anderen Buecher ueber "Iterative Verfahren" sowas steht.
Gruss, Thomas
Olaf Schneider
Hallo Andreas,
ehe ich noch mehr Zeit damit verplempere drueber nachzudenken,
schreib ich lieber auf, was mir bis jetzt eingefallen ist.
Vielleicht bringt das ja jemand anderen auf die entscheidende
Idee.
Rekapitulieren wir also:
Andreas Zapp (az...@ElFi.MI.Uni-Koeln.DE) wrote:
: : : A und B simultan diagonalisierbare reele Matrizen,
: : : Kann man Aussagen "uber die Eigenwerte von A und B machen ?
: :
: Bei vorgegebenem Spektrum von A will ich Eigenschaften von Spektrum(B)
: untersuchen.
Meine Konstruktion bezog sich in der Tat auf allgemeine komplexe
Matrizen (Das Woertchen reell habe ich schlicht ueberlesen.)
Aber auch in diesem Fall ist (mir) folgendes klar:
1. Falls die Aehnlichkeitstransformation S, die A und B in
Diagonalform ueberfuehrt, ebenfalls reell ist, haben
A und B nur reelle Eigenwerte.
2. Meine Konstruktion laesst sich im Prinzip auch auf den
reellen Fall abwandeln. Allerdings nur unter gewissen
Einschraenkungen:
Gegeben sei eine regulaere reelle nxn-Matrix R.
Ausserdem geben wir uns eine Menge von n komplexen
Zahlen vor, die nur der Einschraenkung genuegen muss,
dass mit jeder Zahl auch ihr konjugiert Komplexes
enthalten ist (die Eigenwerte von A). Denn die Eigenwerte
mit nichtverschwindendem Imaginaerteil muessen natuerlich
in konjugiert komplexen Paaren auftreten. Gibt es mehrfache
reelle Eigenwerte, so lassen sie sich ebenfalls
zu solchen konjugiert komplexen Paaren zusammenfassen
(bei ungerader Vielfachheit bleibt ein einzelner reeller
Eigenwert uebrig). Das Spektrum von A besteht also aus einer
Anzahl (=0 moeglich) von reellen "einfachen" Eigenwerten
und solchen konjugiert komplexen Paaren.
Jetzt waehlen wir das Spektrum von B, wobei wir im
obigen Sinne die gleiche Anzahl von reellen EW und
konjugiert komplexen Eigenwertpaaren fordern.
(B kann durchaus nur reelle EW besitzen, aber diese muessen
dann z.T. mehrfach sein.)
Jetzt laesst sich die von mir im letzten Posting vorgeschlagene
Konstruktion wiederholen:
Wir schreiben die Eigenwerte in Diagonalmatrizen D und F,
wobei die "Struktur" gleich sein muss, also z.B. erst alle
reellen Eigenwerte, danach die komplexen paarweise.
Darauf lassen wir zunaechst eine unitaere Aehnlichkeits-
transformation U los, die eine direkte Summe ist aus einer
Einheitsmatrix (entsprechend der Anzahl der rellen EW)
und entsprechend vielen 2x2-Matrizen der Form:
( i 1 )
sqrt(1/2) * ( )
( 1 i )
Das ergibt eine reelle Matrix, die noch mit T transformiert wird.
A=T*U*D*inv(T*U) und B=T*U*F*inv(T*U)
Ich vermute, dass es nicht anders geht, als oben beschrieben.
D.H. falls A und B simultan Diagonalisierbar sind, muessen ihre
Spektren gleich strukturiert sein im obigen Sinne. Das haette
insbesondere zur Folge, dass aus simultaner Diagonalisierbarkeit
von A und B und A nur reelle einfache Eigenwerte folgt, dass
auch B nur relle und einfache Eigenwerte hat.
Faellt jemandem ein Gegenbeispiel, oder noch besser ein Beweis,
dazu ein?
: Aus LA folgt, dass
: A und B vertauschbar (AB=BA) => A,B simultan diagonalisierbar. Trotzdem
: weiss ich immer noch nichts ueber das Spektrum(B). Gibt es Einschränkungen ?
: A,B symmetrisch: dann gilt oben auch die Rueckrichtung.
In dem schon erwaehnten Buch von Horn und Johnson steht ein etwas
anderer Satz:
Wenn A und B zwei diagonalisierbare NxN-Matrizen sind, so gilt:
A und B kommutieren gdw. A und B simultan diagonalisierbar sind.
Mit grueblerischem Gruss,
--
Ole <URL:http://mm2.mathe.tu-freiberg.de/~schneid/>
Olaf Schneider
Hallo Leute,
das Problem hat mich doch nicht losgelassen. Deshalb kann ich heute
gleich mein eigenes Posting beantworten. Ich bin mir jetzt sicher,
dass die von mir geaesserte Vermutung stimmt.
Ausserdem hatte sich ein kleiner Fehler eingeschlichen. Ich schrieb:
: Ich vermute, dass es nicht anders geht, als oben beschrieben.
: D.H. falls A und B simultan Diagonalisierbar sind, muessen ihre
: Spektren gleich strukturiert sein im obigen Sinne. Das haette
: insbesondere zur Folge, dass aus simultaner Diagonalisierbarkeit
: von A und B und A nur reelle einfache Eigenwerte folgt, dass
: auch B nur relle und einfache Eigenwerte hat.
^^^^^^^^^^^^
Das ist sicher falsch, wie das Beispiel B=
Vielfaches der Einheitsmatrix zeigt.
Aber der Rest stimmt. Es gelten die beiden folgenden Aussagen:
Seien A und B simultan diagonalisierbare reelle Matrizen.
1. Falls A nur einfache reelle Eigenwerte hat, sind alle
Eigenwerte von B reell.
2. A und B haben dieselbe Anzahl komplexer Eigenwerte,
wobei Vielfachheiten mitgezaehlt und mehrfache reelle
Eigenwerte zu konjugiert komplexen Eigenwertpaaren
zusammengefasst werden. (Sei \lambda ein reeller EW
der Vielfachheit m, dann werden [m/2] Paare konjugiert
komplexer Eigenwerte gezaehlt, und ein reeller, falls
m ungerade ist.)
Natuerlich ist 1 eine Folgerung von 2. Trotzdem will ich mal den
Beweis von 1 skizzieren, weil 2 im Prinzip genauso funktioniert
und man mit 1 schon einen von vier Faellen erschlagen hat.
Beweis zu 1:
Aus den Voraussetzungen folgt, dass A und B vertauschbar sind
(vgl. den von mir im letzten Posting zitierten Satz von Horn/Johnson).
A ist nach Voraussetzung diagonalisierbar. Da A nur reelle EW hat,
kann die Transformationsmatrix reell gewaehlt werden. Wir wenden
diese reelle Aehnlichkeitsrtansformation auch auf B an. Die beiden
so entstandenen Matrizen sind wieder vertauschbar (simutan diagonalisierbar).
Wir koennen also o.B.d.A. A=diag(\lambda_1,...,\lambda_n) voraussetzen.
Die Vertauschbarkeit liefert \lambda_i b_{ij} = \lambda_j b_{ij}.
Fuer i ungleich j folgt b_{ij}=0. B ist also ebenfalls eine reelle
Diagonalmatrix. q. e. d.
Falls man fuer A auch mehrfache reelle EW zulaesst, ergibt sich B
als Blockdiagonalmatrix (direkte Summe) mit Blockgroessen entsprechend
den Vielfachheiten der EW von A. Damit ist fuer diesen Fall auch
Aussage 2 bewiesen.
Beim Beweis von 2 kann man o.B.d.A. A als "Fast-Diagonalmatrix"
voraussetzen, wobei ein konjugiert komplexes EW-Paar a+-ib mit
( a -b )
einem 2x2-Diagonalblock ( ) korrespondiert. (Auch in diesem
( b a )
Fall kann die Transformationsmatrix reelle gewaehlt werden.)
Jetzt benutzt man wieder die Vertauschbarkeit und untersucht
die einzelnen Faelle. Das ist etwas langwierig aufzuschreiben,
deshalb lass ich es erst mal. Wird aber auf Wunsch nachgeholt,
meinetwegen auch als PM, um die Leute hier nicht so zu langweilen :-).
Mit "hoffentlich liest das ueberhaupt einer" Gruss,
--
Ole <URL:http://mm2.mathe.tu-freiberg.de/~schneid/>
----- Methoden zur mathematischen Beweisfuehrung, Teil 1 ----------
| BEWEIS DURCH SCHEINVERWEIS: |
| Nichts dem zitierten Satz auch nur entfernt ähnliches |
| erscheint in der angegebenen Quelle. |
----- http://mm2.mathe.tu-freiberg.de/~schneid/mathebeweis.html ---