Wie kann Wolfram alpha: hier eine "integer solution" finden?

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Udo

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Sep 30, 2021, 11:18:27 AMSep 30
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Hallo,
beim spielerischen Üben von Umformungen sind wir auf eine Berechnung
oder besser Ausgabe von Wolfram alpha gestoßen, die wir nicht
verstehen.
Ausgangspunkt war der Term

2^x + 3^x + 4^x

Setzt man für x=2, so ergibt sich 99 als Ergebnis. Ich kann also
eine Bestimmungsgleichung für x hinschreiben mit

2^x + 3^x + 4^x = 99

Wolfram alpha gibt die Lösung sofort an mit x=2 (was wir ja wissen).
Interessanterweise bietet Wolfram alpha aber keine numerische Lösung
an, sondern eine "integer Solution".
Dies hat uns auf den Gedanken gebracht, dass es vielleicht eine
Umformung geben könnte, die wir nur nicht sehen:

Den Term 2^x + 3^x + 4^x kann man schreiben als

2^x + (1+2)^x + 2^(2x)

Jetzt haben wir versucht, (1+2)^x binomial zu entwickeln, was uns aber
auch nicht weiter gebracht hat.

Deshalb die Frage:
Gibt es für den Term 2^x + 3^x + 4^x evtl. eine weitere Umformung, die
Wolfram alpha womöglich verwendet und die wir einfach nicht sehen?
Wenn nicht - verfügt Wolfram alpha intern über eine Datenbank mit
Lösungen für Aufgaben solcher Art, wo einfach die verschieden x
eingesetzt und die Ergebnisse zusammen mit dem Term in einer DB
abgespeichert werden?
Bei der Anfrage nach einer Lösung würde dann Wplfram alpha einfach in
seiner Lösungs-Datenbank nachschauen, um welchen Term es geht und
das zugehörige x nur auslesen.
So könnte eine "integer solution" ausgegeben werden, ohne weitere
Umformungen vorzunehmen.

Spannender ist natürlich die Frage, ob es eine mögliche Umformung für den
o.g. Term gibt.

Danke und Grüße
Udo

Alfred Flaßhaar

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Sep 30, 2021, 11:30:45 AMSep 30
to
Am 30.09.2021 um 17:18 schrieb Udo:
(...)
>
> 2^x + 3^x + 4^x
>
> Setzt man für x=2, so ergibt sich 99 als Ergebnis.

??? x=3 ???
(...)

Udo

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Sep 30, 2021, 11:38:11 AMSep 30
to
Sorry, Asche auf mein Haupt ...
Natürlich x = 3
Das kommt vom vielen Rumrechnen und falsch kopieren :-)

Alfred Flaßhaar

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Sep 30, 2021, 11:43:15 AMSep 30
to
Am 30.09.2021 um 17:38 schrieb Udo:
> Alfred Flaßhaar schrieb am Donnerstag, 30. September 2021 um 17:30:45 UTC+2:
>> Am 30.09.2021 um 17:18 schrieb Udo:
>> (...)
>>>
Wozu weiter umformen? x=3 ist wegen Monotonie die einzige Lösung.

Gruß, Alfred

Udo

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Sep 30, 2021, 11:58:32 AMSep 30
to
Hallo Alfred,
ich verstehe nicht so ganz, was Du genau meinst.
Uns geht es darum, wie man auf die Lösung kommt der Exponentialgleichung
kommt. Wenn ich Dich bitten würde, die Gleichung

2^x + 3^x + 4^x = 72353

zu lösen, könntest Du natürlich der Reihe nach die natürlichen Zahlen
durchprobieren und kämst so relativ schnell auf die Lösung x = 8
Das wäre aber keine "geschlossene" Lösungsstrategie.

Spätestens, wenn ich relle Zahlen als Exponenten zulasse, wird's mit dem
Durchprobieren schwierig.

Daher kam unsere Frage, ob es eine (mögliche) geschickte Umformung geben
kann, die ein Berechnen auf andere Weise als Probieren und numerische
Lösungsverfahren (die natürlich immer gehen) geben kann.
Gruß Udo
>
> Gruß, Alfred

Jens Kallup

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Sep 30, 2021, 12:32:44 PMSep 30
to
da dieses hoch x für sich alleine steht, kann man für
das x eins (1) einsetzen was dann zu:

x := 1:
2^1 + 3^1 + 4^1 =
2 * 1 = 2
3 * 1 = + 3
4 * 1 = + 4
------------
= 9
------------

führt.

x := 3:
2^3 + 3^3 + 4^3 =
2 * 2 * 2 = + 8
3 * 3 * 3 = + 27
4 * 4 * 4 = + 64
------------------
= 99
------------------

weiß zwar jetzt nicht was Ihr da macht, aber:

https://imgur.com/ZCTJGU1 (für Aufgabe 1)
https://imgur.com/OadzPGO (für Aufgabe 2)

Jens

Alfred Flaßhaar

unread,
Sep 30, 2021, 12:54:28 PMSep 30
to
Am 30.09.2021 um 17:58 schrieb Udo:
> Alfred Flaßhaar schrieb am Donnerstag, 30. September 2021 um 17:43:15 UTC+2:
>> Am 30.09.2021 um 17:38 schrieb Udo:
>>> Alfred Flaßhaar schrieb am Donnerstag, 30. September 2021 um 17:30:45 UTC+2:
>>>> Am 30.09.2021 um 17:18 schrieb Udo:
>>>> (...)
>>>>>
> Daher kam unsere Frage, ob es eine (mögliche) geschickte Umformung geben
> kann, die ein Berechnen auf andere Weise als Probieren und numerische
> Lösungsverfahren (die natürlich immer gehen) geben kann.

Da muß ich die Flinte in den Korn werfen. Auf Anhieb fallen mir nur
graphische Lösung und numerische Keule (Fixpunktiteration, Taylorreihe,
Sekantenverfahren, ...) ein. Eine blitzgescheite Umformung sehe ich nicht.

Gus Gassmann

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Sep 30, 2021, 1:29:16 PMSep 30
to
Umformen lässt sich deine Gleichung offenbar nicht. Eine Datenbank halte ich auch für eher unwahrscheinlich. Aber ich könnte mir folgende Lösungsstrategien vorstellen:
1. Numerische Lösung. Stelle fest, dass die Lösung bis auf Lösungsgenauigkeit integral ist.
a. Runden und als integral kennzeichnen.
b. Runden, die gerundete Zahl in die Gleichung einsetzen, dann als integrale Lösung ausgeben.
2. Gleichung analysieren, feststellen, dass die Daten alle integral sind, einfach eine Handvoll von ganzen Zahlen einsetzen. Wenn das nicht klappt, mit 1. weitermachen. In diesem Fall: Integrale Lösung ausgeben.

Ich würde am ehesten auf 1.a. tippen.

Dieter Heidorn

unread,
Sep 30, 2021, 1:57:33 PMSep 30
to
Udo schrieb:
> Alfred Flaßhaar schrieb am Donnerstag, 30. September 2021 um 17:43:15 UTC+2:
>> Am 30.09.2021 um 17:38 schrieb Udo:
>>> Alfred Flaßhaar schrieb am Donnerstag, 30. September 2021 um 17:30:45 UTC+2:
>>>> Am 30.09.2021 um 17:18 schrieb Udo:
>>>> (...)
>>>>>
>> Wozu weiter umformen? x=3 ist wegen Monotonie die einzige Lösung.
>
> Hallo Alfred,
> ich verstehe nicht so ganz, was Du genau meinst.
> Uns geht es darum, wie man auf die Lösung kommt der Exponentialgleichung
> kommt.
> Wenn ich Dich bitten würde, die Gleichung
>
> 2^x + 3^x + 4^x = 72353
>
> zu lösen, könntest Du natürlich der Reihe nach die natürlichen Zahlen
> durchprobieren und kämst so relativ schnell auf die Lösung x = 8
> Das wäre aber keine "geschlossene" Lösungsstrategie.
>
> Spätestens, wenn ich relle Zahlen als Exponenten zulasse, wird's mit dem
> Durchprobieren schwierig.
>

Was Wolfram alpha macht, lässt sich erschließen, wenn man sich die
Ausgaben in zwei Fällen ansieht:

1. 2^x + 3^x + 4^x = 99

liefert:

Solution

x = 3

Integer solution

x = 3

2. 2^x + 3^x + 4^x = 8.123

liefert:

Solution

x = 0.909518

Numerical solution

x ≈ 0.909517980239823...

Das spricht m.E. für die von Gus genannte Vermutung: Es wird die
Gleichung numerisch gelöst, und im Fall 1 festgestellt, dass die Lösung
ganzzahlig ist.

> Daher kam unsere Frage, ob es eine (mögliche) geschickte Umformung geben
> kann,

Auch ich kann wie meine Vorredner keine einfache Umformung erkennen.

Dieter Heidorn

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