Normen und Metriken. Was ist der Unterschied und wo bemerkt man ihn?
Stefan Behrens
in meiner Ana II Vorlesung wurden gerade metrische Räume eingeführt.
Im ersten Semester haben wir mit normierten Räumen gearbeitet.
Natürlich kam sofort der einleuchtende Beweis, dass jeder normierte
Raum metrisch ist ( d(x,y) := ||x-y|| ), allerdings leuchtet mir nicht
ganz ein, warum die Umkehrung nicht gilt. Wird nicht in jedem
metrischen Raum durch d(x,0) eine Norm definiert?
Danke im Voraus.
Gruß, Stefan
Lukas-Fabian Moser
On Thu, 13 May 2004 17:56:05 +0200, Stefan Behrens <F-i...@gmx.net>
wrote:
Warum sollte ein metrischer Raum eine "Null" besitzen? Warum sollte
man in einem metrischen Raum die Summe zweier Elemente berechnen
können (-> Dreiecksungleichung)?
Grüße, Lukas
Thiery Balser
Nein,
Betrachte zum Beispiel die diskrete Metrik
d(x,y) = 0 wenn x=y und 1, wenn x\neq y ist.
Die erfüllt die Axiome einer Metrik.
Setzst du aber ||x|| = d(0,x) hast du keine Chance auf Homegnität der Norm,
i.e. dass
||\lambda x||=|\lambda| ||x||
ist.
Grüsse,
Thiery
Stefan Behrens
allgemeineres Gebilde zu sein als eine Norm. Bleibt noch die Frage
offen in welchen Fällen, oder genauer gefragt in welchen konkreten
Sätzen, es einen Unterschied macht, ob man sich für Metrik oder Norm
entscheidet?
Thomas Nordhaus
Es geht eigentlich weniger darum, ob man Metrik oder Norm "wählt",
sondern welche Struktur der zu Grunde liegende Raum hat. Wie willst du
auf der Oberfläche einer Kugel in vernünftiger Weise die Struktur
eines Vektorraums (d.h *linearen* Raums) einführen? Eine
Vektorraum-Struktur ist ja notwendig für die Definition einer Norm.
Thomas
Horst Kraemer
wrote:
> okay, ich seh's ein. Die Metrik scheint also doch ein etwas
Die Frage stellt sich eigentlich nicht.
Wenn von einer *Norm* die Rede ist, dann ist die zu Grunde liegende
Menge zunaechst ein Vektorraum - hat also eine bestimmte algebraische
Struktur. Die Norm ist dann eine Art "Laengenmass" fuer Vektoren, das
der Dreiecksungleichung genuegt. Ausgehend von dieser Norm ist dann
d(x,y):=||x-y|| eine Metrik.
Saetze ueber normierte Raeume sind Saetze ueber Vektorraeume, die
zusaetzlich als metrische Raeume bezueglich der durch die Norm
induzierten Metrik betrachtet werden - sind also
algebraisch-topologische Saetze.
Saetze ueber metrische Raeume setzen nicht voraus, dass die zu Grunde
liegende Menge ein Vektorraum ist, Sie sind also rein topologische
Saetze, die *auch* fuer normierte Raeume gelten.
--
Horst
Martin Vaeth
Jein: Man kann sich die Kugeloberfläche als Teilmenge des R^3 vorstellen
und dann immer noch die Metrik d(x,y) = ||x-y|| wählen, halt eingeschränkt
für x,y aus der Kugeloberfläche. Man muss sich allerdings darüber im klaren
sein, dass "x-y" dann kein Element des Raums (also der Kugeloberfläche)
mehr ist, sondern nur eine "externe" Hilfsgröße.
Ein erstaunlicher Satz von Arens-Eells besagt, dass dieses Beispiel
die typische Situation ist: Jeder metrische Raum lässt sich in einen
geeigneten normierten (meist allerdings nur unendlichdimensionalen) Raum
so einbetten, dass die Metrik die Gestalt d(x,y) = ||x-y|| hat.
Insofern ist es Geschmackssache, ob man von einem metrischen Raum oder
von einer *Teilmenge* eines normierten Raums spricht.
Jakob Creutzig
Das ist in einem Vektorraum ueber |R/|C genau dann der Fall,
wenn die Metrik
(a) translationsinvariant ist, d(x + y, z + y) = d(x,z)
(b) skaliert, d( \lambda x, \lambda y) = |\lambda| d(x,y).
Und das tun halt nicht alle Metriken.
HTH,
Jakob
Lukas-Fabian Moser
On 14 May 2004 07:22:30 GMT, Martin Vaeth
<va...@mathematik.uni-wuerzburg.de> wrote:
>Ein erstaunlicher Satz von Arens-Eells besagt, dass dieses Beispiel
>die typische Situation ist: Jeder metrische Raum lässt sich in einen
>geeigneten normierten (meist allerdings nur unendlichdimensionalen) Raum
>so einbetten, dass die Metrik die Gestalt d(x,y) = ||x-y|| hat.
Hast Du dafür eine Literaturangabe? Auf die Schnelle konnte ich
zumindest mit Google keinen Hinweis auf einen Beweis finden.
Grüße, Lukas
Boudewijn Moonen
E. Michael, A short proof of the Arens-Eells embedding theorem, Proc.
Amer. Math. Soc.,15 (1964), 415–416.
Gruss Boudewijn
Thomas Nordhaus
>Thomas Nordhaus <thnor...@yahoo.de> schrieb:
>> Stefan Behrens <F-i...@gmx.net> schrieb:
>>
>>>okay, ich seh's ein. Die Metrik scheint also doch ein etwas
>>>allgemeineres Gebilde zu sein als eine Norm. Bleibt noch die Frage
>>>offen in welchen Fällen, oder genauer gefragt in welchen konkreten
>>>Sätzen, es einen Unterschied macht, ob man sich für Metrik oder Norm
>>>entscheidet?
>>
>> Es geht eigentlich weniger darum, ob man Metrik oder Norm "wählt",
>> sondern welche Struktur der zu Grunde liegende Raum hat. Wie willst du
>> auf der Oberfläche einer Kugel in vernünftiger Weise die Struktur
>> eines Vektorraums (d.h *linearen* Raums) einführen? Eine
>> Vektorraum-Struktur ist ja notwendig für die Definition einer Norm.
>
>Jein: Man kann sich die Kugeloberfläche als Teilmenge des R^3 vorstellen
>und dann immer noch die Metrik d(x,y) = ||x-y|| wählen, halt eingeschränkt
>für x,y aus der Kugeloberfläche.
Interessante Metrik. Könnt man vielleicht "Tunnel-Metrik" nennen ;-)
> Man muss sich allerdings darüber im klaren
>sein, dass "x-y" dann kein Element des Raums (also der Kugeloberfläche)
>mehr ist, sondern nur eine "externe" Hilfsgröße.
>Ein erstaunlicher Satz von Arens-Eells besagt, dass dieses Beispiel
>die typische Situation ist: Jeder metrische Raum lässt sich in einen
>geeigneten normierten (meist allerdings nur unendlichdimensionalen) Raum
>so einbetten, dass die Metrik die Gestalt d(x,y) = ||x-y|| hat.
>Insofern ist es Geschmackssache, ob man von einem metrischen Raum oder
>von einer *Teilmenge* eines normierten Raums spricht.
Es wäre aber sicherlich schwierig einen normierten Vektorraum zu
finden, so dass z.B. die geodätische Metrik von der Norm induziert
wird.
Thomas
Thomas Mautsch
>> On 14 May 2004 07:22:30 GMT, Martin Vaeth
>> <va...@mathematik.uni-wuerzburg.de> wrote:
>>
>>>Ein erstaunlicher Satz von Arens-Eells besagt, dass dieses Beispiel
>>>die typische Situation ist: Jeder metrische Raum lässt sich in einen
>>>geeigneten normierten (meist allerdings nur unendlichdimensionalen) Raum
>>>so einbetten, dass die Metrik die Gestalt d(x,y) = ||x-y|| hat.
>>
>> Hast Du dafür eine Literaturangabe? Auf die Schnelle konnte ich
>> zumindest mit Google keinen Hinweis auf einen Beweis finden.
>
Oder
H.Federer, Geometric Measure Theory, Springer-Verlag, 1969,
2.5.16, Seite 110
Fuer beschraenkte metrische Raeume kann man die folgende Abbildung benutzen:
Man bettet in den Banachraum der stetigen Funktionen des metrischen Raums
(mit der Supremumsnorm) ein
mittels der Abbildung x |--> d(x,_)
Thomas Mautsch
> Martin Vaeth <va...@mathematik.uni-wuerzburg.de> schrieb:
>>Thomas Nordhaus <thnor...@yahoo.de> schrieb:
>>>
>>> sondern welche Struktur der zu Grunde liegende Raum hat. Wie willst du
>>> auf der Oberfläche einer Kugel in vernünftiger Weise die Struktur
>>> eines Vektorraums (d.h *linearen* Raums) einführen? Eine
>>> Vektorraum-Struktur ist ja notwendig für die Definition einer Norm.
>>Ein erstaunlicher Satz von Arens-Eells besagt, dass dieses Beispiel
>>die typische Situation ist: Jeder metrische Raum lässt sich in einen
>>geeigneten normierten (meist allerdings nur unendlichdimensionalen) Raum
>>so einbetten, dass die Metrik die Gestalt d(x,y) = ||x-y|| hat.
>>Insofern ist es Geschmackssache, ob man von einem metrischen Raum oder
>>von einer *Teilmenge* eines normierten Raums spricht.
>
> Es wäre aber sicherlich schwierig einen normierten Vektorraum zu
> finden, so dass z.B. die geodätische Metrik von der Norm induziert
> wird.
Noe, ueberhaupt nicht,
jedenfalls, solange die zugrundeliegende Mannigfaltigkeit kompakt ist:
Du bettest in den Banachraum der beschraenkten Funktionen auf der
Mannigfaltigkeit ein, wobei Du jedem Punkt die Funktion des Abstandes
zu diesem Punkt zuordnest.
Wenn Du dann noch Michael Gromov heisst,
faengt der Spass damit erst richtig an,
denn dann definierst Du aus den Eigenschaften des Bildes dieser Einbettung
huebsche Riemannsche Invarianten der Mannigfaltigkeit
wie Fuellungsradius und Fuellungsvolumen,
die Du dann zum Beweisen von extrem coolen Theoremen benutzt
(voellig ungeachtet der Tatsache,
dass bisher kein Mensch auf der Welt auch nur das Fuellungsvolumen
des Kreises oder einer anderen Mannigfaltigkeit berechnen kann...).
Martin Vaeth
>>>
>>> Hast Du dafür eine Literaturangabe? Auf die Schnelle konnte ich
>>> zumindest mit Google keinen Hinweis auf einen Beweis finden.
>>
>> E. Michael, A short proof of the Arens-Eells embedding theorem, Proc.
>> Amer. Math. Soc.,15 (1964), 415-416.
Die Originalarbeit ist
Richard F. Arens and James Eells Jr., "On Embedding Uniform and
Topological Spaces", Pacific J. Math., 6 (1956), 397-403.
>
> Oder
> H.Federer, Geometric Measure Theory, Springer-Verlag, 1969,
> 2.5.16, Seite 110
oder (ein sehr einfach lesbarer Beweis)
James Dugundji and Andrzej Granas, Fixed Point Theory, Polish
Scientific Publ., Warsaw, 1982
oder
Lech Gorniewicz, Topological Fixed Point Theory of Multivalued
Mappings, Kluwer, Dordrecht 1999
oder wahrscheinlich noch 20 weitere Lehrbuecher ueber Topologie
oder Fixpunkttheorie - ich werde sie nicht alle aufzaehlen.
> Fuer beschraenkte metrische Raeume kann man die folgende Abbildung benutzen:
>
> Man bettet in den Banachraum der stetigen Funktionen des metrischen Raums
> (mit der Supremumsnorm) ein
> mittels der Abbildung x |--> d(x,_)
Ist das nicht die Original-Konstruktion von Arens/Eells?
Das erstaunliche ist, dass der metrische Raum sogar stets *abgeschlossen*
ist, wenn man den Bildraum auf die lineare Huelle des Bildes der obigen
Abbildung einschraenkt.
Thomas Mautsch
> Thomas Mautsch <mau...@math.ethz.ch> schrieb:
[ ... ]
> Die Originalarbeit ist
> Richard F. Arens and James Eells Jr., "On Embedding Uniform and
> Topological Spaces", Pacific J. Math., 6 (1956), 397-403.
>> Fuer beschraenkte metrische Raeume kann man die folgende Abbildung benutzen:
>>
>> Man bettet in den Banachraum der stetigen Funktionen des metrischen Raums
^^^^^^^^^^
Das muss wohl eher "beschraenkten"
heissen, falls der Raum nicht
kompakt ist, oder???
>> (mit der Supremumsnorm) ein
>> mittels der Abbildung x |--> d(x,_)
>
> Ist das nicht die Original-Konstruktion von Arens/Eells?
Weiss nicht, glaube es aber nicht,
weil in unbeschraenkten metrischen Raeumen Punkte x existieren koennen,
fuer die d(x,_) keine beschraenkte Funktion mehr ist
und damit keine endliche Supremumsnorm hat...
> Das erstaunliche ist, dass der metrische Raum sogar stets *abgeschlossen*
> ist, wenn man den Bildraum auf die lineare Huelle des Bildes der obigen
> Abbildung einschraenkt.
Darueber muss ich erst einmal in Ruhe nachdenken...
Jedenfalls erst einmal danke fuer die Literaturhinweise!
Martin Vaeth
> In news:<slrncaa545...@ferro.math.fu-berlin.de> schrieb Martin Vaeth:
>> Thomas Mautsch <mau...@math.ethz.ch> schrieb:
> [ ... ]
>> Die Originalarbeit ist
>> Richard F. Arens and James Eells Jr., "On Embedding Uniform and
>> Topological Spaces", Pacific J. Math., 6 (1956), 397-403.
>
>>> Fuer beschraenkte metrische Raeume kann man die folgende Abbildung benutzen:
>>>
>>> Man bettet in den Banachraum der stetigen Funktionen des metrischen Raums
> ^^^^^^^^^^
> Das muss wohl eher "beschraenkten"
> heissen, falls der Raum nicht
> kompakt ist, oder???
>>> (mit der Supremumsnorm) ein
>>> mittels der Abbildung x |--> d(x,_)
>>
>> Ist das nicht die Original-Konstruktion von Arens/Eells?
>
> Weiss nicht, glaube es aber nicht,
> weil in unbeschraenkten metrischen Raeumen Punkte x existieren koennen,
> fuer die d(x,_) keine beschraenkte Funktion mehr ist
> und damit keine endliche Supremumsnorm hat...
Ja, das Posting hatte ich viel zu kurz angeschaut. In der Tat,
die Konstruktion, die ich meinte, ging doch deutlich anders:
Erstens nimmt man nicht den Raum der stetigen Funktionen,
sondern nur einen gewissen Unterraum, der sich normieren laesst.
Wenn ich mich recht entsinne, tut es der Raum der beschraenkten
stetigen Funktionen nicht einmal (obwohl ich irgendwo auch duester
in Erinnerung habe, dass ich mal eine Modifikation des Beweises
gesehen habe, die diesen Raum benutzt), sondern man muss auf den Raum
der lipschitzstetigen Funktionen, die in einem festgehaltenen Punkt
verschwinden, mit der Lipschitz-Konstante als Norm, zurueckgreifen.
Und zweitens bettet man dann nicht in diesen Raum ein, sondern in
dessen Dualraum (indem man zu x das Auswertungsfunktional f->f(x)
assoziiert). [Alles ist nur aus der Erinnerung und nicht neu
ueberprueft - ich gebe also keine Gewaehr fuer die Korrektheit].
Hat mit der vorherigen Beschreibung also nicht allzuviel zu tun;
merkwuerdig, dass ich es auf den ersten Blick fuer das selbe hielt.
>> Das erstaunliche ist, dass der metrische Raum sogar stets *abgeschlossen*
>> ist, wenn man den Bildraum auf die lineare Huelle des Bildes der obigen
>> Abbildung einschraenkt.
>
> Darueber muss ich erst einmal in Ruhe nachdenken...
Das ist eigentlich der viel wichtigere Teil des Arens-Eells-Satzes:
Dass man seinen metrischen Raum als *abgeschlossene* Teilmenge eines
normierten Raums wiederfindet - dadurch sind Fortsetzungssaetze anwendbar.
(Wenn der metrische Raum nicht vollstaendig war, kann der normierte Raum
natuerlich kein Banachraum sein).
Zumindest in Gorniewicz' Buch ist dieser Teil der Aussage auch ausfuehrlich
bewiesen (der Beweis ist nicht trivial), bei der anderen zitierten
Literatur kann ich mich nicht mehr erinnern.
Thomas Mautsch
>> In news:<slrncaa545...@ferro.math.fu-berlin.de> schrieb Martin Vaeth:
>>> Thomas Mautsch <mau...@math.ethz.ch> schrieb:
>> [ ... ]
>>> Die Originalarbeit ist
>>> Richard F. Arens and James Eells Jr., "On Embedding Uniform and
>>> Topological Spaces", Pacific J. Math., 6 (1956), 397-403.
>>
>>>> Fuer beschraenkte metrische Raeume kann man die folgende Abbildung benutzen:
>>>>
>>>> des metrischen Raums (mit der Supremumsnorm) ein
>>>
>>> Ist das nicht die Original-Konstruktion von Arens/Eells?
>>
>> Weiss nicht, glaube es aber nicht,
>> weil in unbeschraenkten metrischen Raeumen Punkte x existieren koennen,
>> fuer die d(x,_) keine beschraenkte Funktion mehr ist
>> und damit keine endliche Supremumsnorm hat...
>
> Ja, das Posting hatte ich viel zu kurz angeschaut. In der Tat,
> die Konstruktion, die ich meinte, ging doch deutlich anders:
> Erstens nimmt man nicht den Raum der stetigen Funktionen,
> sondern nur einen gewissen Unterraum, der sich normieren laesst.
> Wenn ich mich recht entsinne, tut es der Raum der beschraenkten
> stetigen Funktionen nicht einmal (obwohl ich irgendwo auch duester
> in Erinnerung habe, dass ich mal eine Modifikation des Beweises
> gesehen habe, die diesen Raum benutzt), sondern man muss auf den Raum
> der lipschitzstetigen Funktionen, die in einem festgehaltenen Punkt
> verschwinden, mit der Lipschitz-Konstante als Norm, zurueckgreifen.
> Und zweitens bettet man dann nicht in diesen Raum ein, sondern in
> dessen Dualraum (indem man zu x das Auswertungsfunktional f->f(x)
> assoziiert). [Alles ist nur aus der Erinnerung und nicht neu
> ueberprueft - ich gebe also keine Gewaehr fuer die Korrektheit].
> Hat mit der vorherigen Beschreibung also nicht allzuviel zu tun;
> merkwuerdig, dass ich es auf den ersten Blick fuer das selbe hielt.
Ja. Ich kam auch bloss drauf, weil die oben angegebene Abbildung die
ist, die Gromov zur Definition seiner Riemannschen Fuellungsinvarianten
benutzt.
Ausserdem hatte ich noch irgendwo im Hinterkopf, dass man
diese Einbettung benutzen kann, um die Vervollstaendigung
eines metrischen Raumes zu konstruieren:
Zitat Ron Bruck
http://www.math.niu.edu/~rusin/known-math/96/makin.complete
"Let (M,d) be a metric space. Consider the space C(M) of all
bounded continuous functions from M to the reals R, with the sup norm.
This is a Banach space, i.e. is complete in the sup norm (requires brief
proof -- essentially, it says that the uniform limit of continuous
functions is continuous).
Fix an element m_0 \in M. For m \in M, define
f_m : M --> R by f_m(x) = d(m,x) - d(m_0,x).
Them f_m \in C(M), and the mapping m |--> f_m is an isometry of M into C(M).
The closure (in C(M)) of the image of M under this isometry
may be regarded as the completion of M."
Martin Vaeth
>>>>> des metrischen Raums (mit der Supremumsnorm) ein
>>>>> mittels der Abbildung x |--> d(x,_)
>>
>> Wenn ich mich recht entsinne, tut es der Raum der beschraenkten
>> stetigen Funktionen nicht einmal (obwohl ich irgendwo auch duester
>> in Erinnerung habe, dass ich mal eine Modifikation des Beweises
>> gesehen habe, die diesen Raum benutzt)
>
> Ausserdem hatte ich noch irgendwo im Hinterkopf, dass man
> diese Einbettung benutzen kann, um die Vervollstaendigung
> eines metrischen Raumes zu konstruieren:
>
> Zitat Ron Bruck
> http://www.math.niu.edu/~rusin/known-math/96/makin.complete
> "Let (M,d) be a metric space. Consider the space C(M) of all
> bounded continuous functions from M to the reals R, with the sup norm.
> This is a Banach space, i.e. is complete in the sup norm (requires brief
> proof -- essentially, it says that the uniform limit of continuous
> functions is continuous).
> Fix an element m_0 \in M. For m \in M, define
> f_m : M --> R by f_m(x) = d(m,x) - d(m_0,x).
> Them f_m \in C(M), and the mapping m |--> f_m is an isometry of M into C(M).
> The closure (in C(M)) of the image of M under this isometry
> may be regarded as the completion of M."
Ja, jetzt wo ich die korrekte Version mit der Differenz sehe, kommt
mir die Konstruktion auch wieder sehr bekannt vor - das ist die
"Modifikation des Beweises", die ich ebenfalls im Hinterkopf hatte
(und das erklaert auch, weshalb mir die Konstruktion das ersten Postings
trotz des Fehlers auf Anhieb so bekannt vorkam).
J.M.
Wenn die Menge, die zugrunde liegt, kein Vektorraum ist - eine Metrik kann
ja auf einer beliebigen Menge definiert werden - was soll dann bitte 0
sein? Der Ausdruck d(x,0) ist dann schon recht sinnlos...
Gruß
Jan