Wohlordnung für R
Benno Hartwig
z.B. mit welcher Ordnungsrelation die
reellen Zahlen wohlgeordnet werden können?
(ich vermute einfach mal, dass solch eine
Relation bekannt ist.)
Benno
Brian M. Scott
<benno....@gmx.de> wrote in
<news:i7anbm$8r3$1...@news.eternal-september.org> in
de.sci.mathematik:
<http://de.wikipedia.org/wiki/Wohlordnungssatz>:
Bis heute ist keine explizite Konstruktion einer
Wohlordnung auf der Menge der reellen Zahlen
bekannt, und tatsächlich lässt sich zeigen, dass
zumindest die Axiome der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre
allein (inklusive des Auswahlaxioms) die explizite
Konstruktion einer solchen Wohlordnung nicht
zulassen.
Es gibt Modellen von ZF, in denen die reellen Zahlen keine
Wohlordnung haben. (In solchen Modellen gilt die
Auswahlaxiom natürlich nicht.)
Brian
Carsten Schultz
> On Tue, 21 Sep 2010 18:43:35 +0200, Benno Hartwig
> <benno....@gmx.de> wrote in
> <news:i7anbm$8r3$1...@news.eternal-september.org> in
> de.sci.mathematik:
>
>> Weiß jemand, wo ich nachlesen kann,
>> z.B. mit welcher Ordnungsrelation die
>> reellen Zahlen wohlgeordnet werden können?
>> (ich vermute einfach mal, dass solch eine
>> Relation bekannt ist.)
>
> <http://de.wikipedia.org/wiki/Wohlordnungssatz>:
>
> Bis heute ist keine explizite Konstruktion einer
> Wohlordnung auf der Menge der reellen Zahlen
> bekannt,
Auch schon wieder eine sehr unglückliche Formulierung auf Wikipedia.
> und tatsächlich lässt sich zeigen, dass
> zumindest die Axiome der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre
> allein (inklusive des Auswahlaxioms) die explizite
> Konstruktion einer solchen Wohlordnung nicht
> zulassen.
>
> Es gibt Modellen von ZF, in denen die reellen Zahlen keine
> Wohlordnung haben. (In solchen Modellen gilt die
> Auswahlaxiom natürlich nicht.)
>
> Brian
Gruß
Carsten
--
Carsten Schultz (2:38, 33:47)
http://carsten.codimi.de/
PGP/GPG key on the pgp.net key servers,
fingerprint on my home page.
Benno Hartwig
"Carsten Schultz" <car...@codimi.de> schrieb
>> Bis heute ist keine explizite Konstruktion einer
>> Wohlordnung auf der Menge der reellen Zahlen
>> bekannt,
> Auch schon wieder eine sehr unglückliche Formulierung auf Wikipedia.
Carsten, was stört dich an der Formulierung,
welche Formulierung fändst du passender/korrekter?
(und Thanx, Brian, für den HInweis)
Benno
Jutta Gut
"Brian M. Scott" <b.s...@csuohio.edu> schrieb
>> z.B. mit welcher Ordnungsrelation die
>> reellen Zahlen wohlgeordnet werden können?
>> (ich vermute einfach mal, dass solch eine
>> Relation bekannt ist.)
>
> <http://de.wikipedia.org/wiki/Wohlordnungssatz>:
>
> Bis heute ist keine explizite Konstruktion einer
> Wohlordnung auf der Menge der reellen Zahlen
> bekannt, und tatsächlich lässt sich zeigen, dass
> zumindest die Axiome der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre
> allein (inklusive des Auswahlaxioms) die explizite
> Konstruktion einer solchen Wohlordnung nicht
> zulassen.
Ich habe da auch noch eine Frage dazu: Mir ist der Unterschied zwischen
"wohlgeordnet" und "abzählbar" klar, aber mit dem Gegenbeispiel auf
Wikipedia 1 < 3 < 5 < ... < 2 < 4 < 6 bin ich ncith ganz glücklich, weil man
eine so geordnete Menge ja leicht zu einer abzählbaren umordnen kann. Auch
alle anderen Beispiele, die mir einfallen, kann man umordnen. Gibt es ein
explizites Beispiel für eine Wohlordnung auf einer nicht abzählbaren Menge,
oder kann man das prinzipiell nur theoretisch feststellen?
Wo kann ich den Beweis für den Wohlordnungssatz nachlesen?
Grüße
Jutta
WM
> "Brian M. Scott" <b.sc...@csuohio.edu> schrieb
>
>
>
>
>
> > On Tue, 21 Sep 2010 18:43:35 +0200, Benno Hartwig
>
> >> Weiß jemand, wo ich nachlesen kann,
> >> z.B. mit welcher Ordnungsrelation die
> >> reellen Zahlen wohlgeordnet werden können?
> >> (ich vermute einfach mal, dass solch eine
> >> Relation bekannt ist.)
Das vermuten die meisten Matheologieanwärter, und das ist von den
Obermatheologen auch so beabsichtigt, aber es ist von den
Obermatheologen gelogen.
>
> > <http://de.wikipedia.org/wiki/Wohlordnungssatz>:
>
> > Bis heute ist keine explizite Konstruktion einer
> > Wohlordnung auf der Menge der reellen Zahlen
> > bekannt, und tatsächlich lässt sich zeigen, dass
> > zumindest die Axiome der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre
> > allein (inklusive des Auswahlaxioms) die explizite
> > Konstruktion einer solchen Wohlordnung nicht
> > zulassen.
Also hat Zermelo, als er seinen "Beweis" und seinen "neuen Beweis"
veröffentlichte, zumindest geirrt (so wie Hilbert, als er die
Kontinuumhypothese "bewies").
>
> Ich habe da auch noch eine Frage dazu: Mir ist der Unterschied zwischen
> "wohlgeordnet" und "abzählbar" klar, aber mit dem Gegenbeispiel auf
> Wikipedia 1 < 3 < 5 < ... < 2 < 4 < 6 bin ich nicth ganz glücklich, weil man
> eine so geordnete Menge ja leicht zu einer abzählbaren umordnen kann. Auch
> alle anderen Beispiele, die mir einfallen, kann man umordnen. Gibt es ein
> explizites Beispiel für eine Wohlordnung auf einer nicht abzählbaren Menge,
Nein. Das ist schon deswegen unmöglich, weil es nicht überabzählbar
viele endliche Definitionen von Elementen gibt.
> oder kann man das prinzipiell nur theoretisch feststellen?
Heutzutage nur noch, wenn man bewusst lügt.
>
> Wo kann ich den Beweis für den Wohlordnungssatz nachlesen?
Das Kalenderblatt 091009 in
http://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/KB/
Gruß, WM
fiesh
> Ich habe da auch noch eine Frage dazu: Mir ist der Unterschied zwischen
> "wohlgeordnet" und "abzählbar" klar, aber mit dem Gegenbeispiel auf
> Wikipedia 1 < 3 < 5 < ... < 2 < 4 < 6 bin ich ncith ganz glücklich, weil man
> eine so geordnete Menge ja leicht zu einer abzählbaren umordnen kann. Auch
Die Menge ist doch abzaehlbar, was willst du da umordnen?
Abzaehlbarkeit hat nichts mit einer eventuell vorhandenen Ordnung zu
tun, und abzaehlbare Mengen sind ganz offensichtlich immer wohlordbar.
> alle anderen Beispiele, die mir einfallen, kann man umordnen. Gibt es ein
> explizites Beispiel für eine Wohlordnung auf einer nicht abzählbaren Menge,
> oder kann man das prinzipiell nur theoretisch feststellen?
Ich wuerde auch nicht sagen, dass die natuerlichen Zahlen "explizit
gegeben" sind, von dem her ist die Frage, was mit dieser Frage genau
gemeint ist. Die Zahl Ordinalzahl omega_1 ist per definitionem nicht
abzaehlbar aber natuerlich wohlgeordnet durch die Epsilon Relation, also
das einfachte Beispiel fuer deine Frage.
Vermutlich ist die Antwort auf das, was du meinst, aber nein. Denn wie
zeigt man, dass es omega_1 gibt? Man weiss, dass 2^omega > omega ist.
Damit existiert nach dem Wohlordnungssatz also eine Ordinalzahl, die
ueberabzaehlbar ist, somit existiert auch eine minimale, welche eben
omega_1 ist. (Das Argument verwendet hier den Wohlordnungssatz, also
das Auswahlaxiom. Das ist aber nicht notwendig. Man kann auch ohne
Auswahlaxiom zeigen, dass die Hartogszahl zu hier etwa omega
existiert. Falls du mehr dazu wissen willst, kann ich das erklaeren,
oder du suchst einfach im Internet.)
Im Gegenzug ist es aber so, dass man zu jedem Modell der Mengentheorie V
und einer darin liegenden Menge x leicht eine generische Erweiterung
(was du dir wie eine Koerpererweiterung vorstellen kannst) V[G] finden
kann, in der x abzaehlbar ist. Insbesondere auch fuer x = omega_1. Das
heisst, dass Ueberabzaehlbarkeit nichts "Absolutes" ist.
Meintest du das so in etwa?
> Wo kann ich den Beweis für den Wohlordnungssatz nachlesen?
Findest du sicher hundertfach im Internet, ich wuerde aber wegen der
Einfachheit des Beweises ihn zur Uebung empfehlen!
--
fiesh
Karlheinz
fiesh schrieb:
> Man weiss, dass 2^omega > omega ist
Na klar, und man weiss auch, dass 2^1 > 1 ist
und 2^100 > 100 und dass 100 + 1 > 100, bravo...
Karlheinz
fiesh schrieb:
Vor Jahren hatte ich (der in der Kindheit ohne Gebete an einen
Gott aufwuchs) mal diese eine Phase (die gar nicht unüblich ist,
z.B. nach Lesen von Hesses Sidharta...), eine "höhere Intelligenz"
(wenn nicht gar mehr) als erwiesen ansehen zu wollen und daraufhin
viele der religiösen Systeme nachzuvollziehen, auch mit dem
wirklich (!) ehrlichen Versuch innerer "Zuwendung" zu dieser "Kraft".
Aber wie ich es auch gedreht und gewendet habe - es war unmöglich
diese theologischen Systeme halbwegs widerspruchsfrei auch nur
aufzunehmen, und am Ende, nach Jahren, musste ich "aufgeben" wonach
sich ein ganz ekliger Knoten-Komplex in meiner Gedankenwelt wieder
in Nichts auflöste und ich endlich wieder frei, entspannt und
in Frieden, ohne all den Nebel und diesen unvorstellbar kranken
Djungel von Unsinn atmen und denken konnte.
Mit der gleichen inneren Zuversicht und Vorfreude wollte ich
Cantors transfinite "Lehre" aufnehmen und hatte das gleiche
Ergebnis wie oben: man kann in dieses widersprüchliche System
beim allerbesten Willen keinen Sinn bringen und muss aufgeben,
und seitdem bin ich wieder gesund und frei von den Nebeln und
unentwirrbaren Knoten des Cantorschen Unsinns.
Als nur ein Beispiel kann man mal sehen, dass Cantors DA I von
der "potenziellen" Vorstellung unendlicher Mengen lebt, also dass
immer Nachschub da ist, wie in Hilberts Hotel, und Cantors DA II
eben GENAU vom Gegenteil, nämlich von der "aktualen" Vorstellung,
nach der Schluss ist, wenn die Diagonalzahl vorgezeigt wird, die dann
eben gerade NICHT mehr untergebracht werden darf - da ist dann Cantors
Ende der Unendlichkeit und er erfindet eine und sogar "überabzählbar"
viele neue davon... Cantor war krank, seine ML und diese Welt auch.)
Vogel
@mid.dfncis.de:
> Am 21.09.10 19:35, schrieb Brian M. Scott:
>> On Tue, 21 Sep 2010 18:43:35 +0200, Benno Hartwig
>> <benno....@gmx.de> wrote in
>> <news:i7anbm$8r3$1...@news.eternal-september.org> in
>> de.sci.mathematik:
>>
>>> Weiss jemand, wo ich nachlesen kann,
>>> z.B. mit welcher Ordnungsrelation die
>>> reellen Zahlen wohlgeordnet werden können?
>>> (ich vermute einfach mal, dass solch eine
>>> Relation bekannt ist.)
>>
>> <http://de.wikipedia.org/wiki/Wohlordnungssatz>:
>>
>> Bis heute ist keine explizite Konstruktion einer
>> Wohlordnung auf der Menge der reellen Zahlen
>> bekannt,
>
> Auch schon wieder eine sehr unglückliche Formulierung auf Wikipedia.
>
Deine glückliche Formulierung lautet wie?
Muss wohl beim Versenden verloren gegangen sein ;-)
>
Vogel
news:1d4dyy5m79saa.1pgjdj5n3d7jb$.d...@40tude.net:
Nicht besonders erhellend das zitieren von nichtprofessionellen Quellen wie
wikipedia.
>
Man muss bezweifeln, dass es keine Wohlordnung in der Menge der rellen
Zahlen gibt. Schliesslich gibt es ja die "relle Axe" ohne Schleifen und
Schnörkel.
>
Was also genau soll man unter der Wohlordnung einer Menge verstehen?
Das scheint in der Mathematik nur vage festgelegt zu sein.
>
Doch wohl, dass alle und jedes Element in einer einzigen Relation
zueinander stehen. Dies bedeutet, dass dies für jede beliebige Untermenge
gelten muss. Jedes Element einer Untermenge muss also einen "Linksnachbar"
und "Rechtsnachbar" haben, um dafür mal deutsche Worte zu benutzen.
>
In einer endlich abzählbaren Menge muss es also sowohl ein Element und nur
eines ohne Vorgänger und eines und nur eines ohne Nachfolger geben.
>
In einer unendlich abzählbaren Menge gibt kein Element ohne Nachfolger,
aber immer ein "kleinstes" Element.
>
Für eine nichtabzählbaren Menge gilt das gleiche wie für eine unendlich
abzählbare Menge.
>
Brian M. Scott
in <news:Xns9DFB42D0B...@130.133.4.10> in
de.sci.mathematik:
> "Brian M. Scott" <b.s...@csuohio.edu> wrote in
> news:1d4dyy5m79saa.1pgjdj5n3d7jb$.d...@40tude.net:
>> On Tue, 21 Sep 2010 18:43:35 +0200, Benno Hartwig
>> <benno....@gmx.de> wrote in
>> <news:i7anbm$8r3$1...@news.eternal-september.org> in
>> de.sci.mathematik:
>>> Weiß jemand, wo ich nachlesen kann,
>>> z.B. mit welcher Ordnungsrelation die
>>> reellen Zahlen wohlgeordnet werden können?
>>> (ich vermute einfach mal, dass solch eine
>>> Relation bekannt ist.)
>> <http://de.wikipedia.org/wiki/Wohlordnungssatz>:
>> Bis heute ist keine explizite Konstruktion einer
>> Wohlordnung auf der Menge der reellen Zahlen
>> bekannt, und tatsächlich lässt sich zeigen, dass
>> zumindest die Axiome der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre
>> allein (inklusive des Auswahlaxioms) die explizite
>> Konstruktion einer solchen Wohlordnung nicht
>> zulassen.
>> Es gibt Modellen von ZF, in denen die reellen Zahlen keine
>> Wohlordnung haben. (In solchen Modellen gilt d[as]
>> Auswahlaxiom natürlich nicht.)
> Nicht besonders erhellend das zitieren von
> nichtprofessionellen Quellen wie wikipedia.
Erhellend sollte es nicht sein. Das es solche Modellen gibt
ist ein wohlbekanntes Resultat von Paul Cohen.
> Man muss bezweifeln, dass es keine Wohlordnung in der
> Menge der rellen Zahlen gibt.
Vielleicht -- wenn man keine Ahnung von axiomatischer
Mengenlehre hat.
[...]
Brian
Carsten Schultz
>
> "Brian M. Scott" <b.s...@csuohio.edu> schrieb
>> On Tue, 21 Sep 2010 18:43:35 +0200, Benno Hartwig
>> <benno....@gmx.de> wrote
>>
>>> Weiß jemand, wo ich nachlesen kann,
>>> z.B. mit welcher Ordnungsrelation die
>>> reellen Zahlen wohlgeordnet werden können?
>>> (ich vermute einfach mal, dass solch eine
>>> Relation bekannt ist.)
>>
>> <http://de.wikipedia.org/wiki/Wohlordnungssatz>:
>>
>> Bis heute ist keine explizite Konstruktion einer
>> Wohlordnung auf der Menge der reellen Zahlen
>> bekannt, und tatsächlich lässt sich zeigen, dass
>> zumindest die Axiome der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre
>> allein (inklusive des Auswahlaxioms) die explizite
>> Konstruktion einer solchen Wohlordnung nicht
>> zulassen.
>
> Ich habe da auch noch eine Frage dazu: Mir ist der Unterschied zwischen
> "wohlgeordnet" und "abzählbar" klar, aber mit dem Gegenbeispiel auf
> Wikipedia 1 < 3 < 5 < ... < 2 < 4 < 6 bin ich ncith ganz glücklich, weil
> man eine so geordnete Menge ja leicht zu einer abzählbaren umordnen
> kann.
„Abgezählten” meinst Du, abzählbar ist sie.
> Auch alle anderen Beispiele, die mir einfallen, kann man umordnen.
> Gibt es ein explizites Beispiel für eine Wohlordnung auf einer nicht
> abzählbaren Menge, oder kann man das prinzipiell nur theoretisch
> feststellen?
Gute Frage. So weit ich mich erinnere lässt sich in ZF zumindest die
Existenz einer überabzählbaren Menge beweisen, ich erinnere mich aber
nicht mehr daran, wie das geht.
> Wo kann ich den Beweis für den Wohlordnungssatz nachlesen?
Sicher in Mengenlehrelehrbüchern. Ansonsten:
Aus dem Zornschen Lemma: Als Übungsaufgabe ;-)
Aus dem Auswahlaxiom: In der Tat ist Zermelos Originalarbeit recht gut
lesbar, und ich glaube, hier in der Gruppe hat auch mal jemand eine
modernere Formulierung des Beweises (teilweise?) gepostet.
Herman Jurjus
> Gibt es ein explizites Beispiel für eine Wohlordnung auf einer nicht
> abzählbaren Menge, oder kann man das prinzipiell nur theoretisch
> feststellen?
Die Menge aller abzählbare Wohlordnungen 'modulo isomorphismus'?
Herman Jurjus
Rudolf Sponsel
> On 2010-09-21, Jutta Gut <gut.jutt...@chello.at> wrote:
>> Ich habe da auch noch eine Frage dazu: Mir ist der Unterschied zwischen
>> "wohlgeordnet" und "abzählbar" klar, aber mit dem Gegenbeispiel auf
>> Wikipedia 1 < 3 < 5 < ... < 2 < 4 < 6 bin ich ncith ganz glücklich, weil man
>> eine so geordnete Menge ja leicht zu einer abzählbaren umordnen kann. Auch
>
> Die Menge ist doch abzaehlbar, was willst du da umordnen?
>
> Abzaehlbarkeit hat nichts mit einer eventuell vorhandenen Ordnung zu
> tun, und abzaehlbare Mengen sind ganz offensichtlich immer wohlordbar.
>
Rudolf Sponsel, Erlangen
Karlheinz
Rudolf Sponsel schrieb:
>> Abzaehlbarkeit hat nichts mit einer eventuell vorhandenen Ordnung zu
>> tun, und abzaehlbare Mengen sind ganz offensichtlich immer wohlordbar.
>>
> Fraenkel (1946, S, 167) ist hier anderer Meinung und bestreitet dies.
Der tot narkotisierte Michael Jackson, war glaube ich ehrlich,
ebenfalls anderer Meinung, tja, Schicksal.
Aber kannst du nicht bitte gleich die relevanten Sätze zitieren?
Dann könnte man das lesen. Danke.
Benno Hartwig
"Vogel" <vo...@hotmail.com> schrieb
> Nicht besonders erhellend das zitieren von nichtprofessionellen Quellen wie
> wikipedia.
Meinst du nicht auch, dass als erste Info auch ein
Wikipedia-Text taugen kann? Ich nehme den meist
deutlich ernster als die bloße Meinung eines
mir unbekannten, der in Newsgroups postet.
Dass es ernster zu nehmende Quellen gibt, will
sicher niemand bestreiten. Diese sollten dann aber
Wikipedia sehr konkret entgegengestellt werden,
und dann magst du in jenem Fall auf Wikipedia
schimpfen. (und ggf. verbessern)
Benno
Karlheinz
Benno Hartwig schrieb:
> "Vogel" <vo...@hotmail.com> schrieb
>
>> Nicht besonders erhellend das zitieren von nichtprofessionellen Quellen wie
>> wikipedia.
>
> Meinst du nicht auch, dass als erste Info auch ein
> Wikipedia-Text taugen kann?
Benno, ich verstehe das nicht... Du müsstest doch so etwas von
selbst begreifen, und nicht erst jetzt, dass Vogel ein sehr
ernsthafter (und natürlich überdurchnschittlich genial hochbegabter)
Wissenschaftler ist. Was du da verlangst, wirkt wie eine Beleidigung.
Das ist doch kein Pillepalle auf einem Kindergeburtstag was Vogel erörtert!
Ralf Bader
> fiesh schrieb:
>> On 2010-09-21, Jutta Gut <gut.jutt...@chello.at> wrote:
>>> Ich habe da auch noch eine Frage dazu: Mir ist der Unterschied zwischen
>>> "wohlgeordnet" und "abzählbar" klar, aber mit dem Gegenbeispiel auf
>>> Wikipedia 1 < 3 < 5 < ... < 2 < 4 < 6 bin ich ncith ganz glücklich, weil
>>> man eine so geordnete Menge ja leicht zu einer abzählbaren umordnen
>>> kann. Auch
>>
>> Die Menge ist doch abzaehlbar, was willst du da umordnen?
>>
>> Abzaehlbarkeit hat nichts mit einer eventuell vorhandenen Ordnung zu
>> tun, und abzaehlbare Mengen sind ganz offensichtlich immer wohlordbar.
>>
> Fraenkel (1946, S, 167) ist hier anderer Meinung und bestreitet dies.
"Fraenkel (1946, S, 167)" - bereits zu blöd, um ordentlich zu zitieren. Das
ist ein Nachdruck der 3. Auflage der "Einleitung in die Mengenlehre".
Und zu blöd zum Lesen auch, denn es ist beim besten Willen nicht zu
erkennen, wo a.a.O. etwas stehen sollte, was fieshs Aussage widerspricht.
Es steht z.B. da "...von jeder abzählbaren Menge, eine solche braucht ja
überhaupt nicht geordnet zu sein."
Fraenkel definiert auf p.16, daß zwei Mengen M, N äquivalent sind, wenn es
eine Bijektion N->M gibt; auf p. 28, daß eine Menge abzählbar ist, wenn sie
zur Menge der natürlichen Zahlen äquivalent ist; eine abgezählte Menge ist
laut p.27 eine GEORDNETE Menge, die als GEORDNETE Menge ORDNUNGSisiomorph
zur GEORDNETEN Menge der natürlichen Zahlen ist.
Vogel
Ich glaube in der Bibel steht auch etwas davon.
Mathematik sollte allerdings keine Glaubenslehre sein.
>
>> Man muss bezweifeln, dass es keine Wohlordnung in der
>> Menge der rellen Zahlen gibt.
>
> Vielleicht -- wenn man keine Ahnung von axiomatischer
> Mengenlehre hat.
>
Du meinst wohl, du hast Ahnung von dogmatischer Mengenlehre.
>
--
Selber denken macht klug.
Christopher Creutzig
>
> "Carsten Schultz" <car...@codimi.de> schrieb
>
>>> Bis heute ist keine explizite Konstruktion einer
>>> Wohlordnung auf der Menge der reellen Zahlen
>>> bekannt,
>
>> Auch schon wieder eine sehr unglückliche Formulierung auf Wikipedia.
>
> Carsten, was stört dich an der Formulierung,
> welche Formulierung fändst du passender/korrekter?
Der Hinweis, dass in Cohens Forcing-Hierarchie ganz nebenbei eine
(hüstel) explizite (hüstel) Konstruktion für die Modelle mit V=L
abfällt, wäre vielleicht nicht uninteressant. Wobei „explizit“ nicht so
zu verstehen ist, dass man damit die Frage PI << 1 entscheiden können
müsste, sondern vermutlich nur Mengentheoretiker befriedigt … Und dass
es auch äquikonsistente Erweiterungen von ZFC gibt, in denen kein Modell
eine explizite Wohlordnung der rellen Zahlen zulässt. Letzteres bedeutet
in einem gewissen Sinne, dass man keine solche angeben kann. Jedenfalls
offensichtlich keine, die in allen Modellen von ZFC „funktioniert“ (wenn
ZFC überhaupt Modelle hat).
--
Man kann auf seinem Standpunkt stehen, aber man sollte nicht darauf
sitzen. (Erich Kästner)
Christopher Creutzig
Der Beweis (in Zermelos Originalform) ist sehr leicht nachvollziehbar,
aber meinst Du wirklich, es sei leicht, darauf zu kommen?
@Jutta: http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002260018
--
Was es alles gibt, das ich nicht brauche!
(Aristoteles, gr. Philosoph, 384-322 v.Chr.)
Brian M. Scott
in <news:Xns9DFBCE69B...@130.133.4.10> in
de.sci.mathematik:
>>>> <http://de.wikipedia.org/wiki/Wohlordnungssatz>:
Von Wohlordnungen, Modellen von ZF, und Paul Cohen? Ja,
gewiss, daran liess sich nichts zweifeln.
Das kannst du anderen weismachen.
> Mathematik sollte allerdings keine Glaubenslehre sein.
Was sie auch nicht ist. Um die Mathematik zu verstehen muss
man das Gehirn einschalten; kein Glaubensorgan wird dabei
benötigt.
>>> Man muss bezweifeln, dass es keine Wohlordnung in der
>>> Menge der rellen Zahlen gibt.
>> Vielleicht -- wenn man keine Ahnung von axiomatischer
>> Mengenlehre hat.
> Du meinst wohl, du hast Ahnung von dogmatischer
> Mengenlehre.
Ja, gewiss; hier findet man ein gute Auswahl davon. Zwei
Dogmen der dogmatische Mengenlehre:
1. Cantor war ein Spinner.
2. 0.999... <> 1.
Basta. So viel Unsinn, so wenig Zeit.
Brian
Vogel
news:i7cqhg$ii6$1...@news1.nefonline.de:
> fiesh schrieb:
>> On 2010-09-21, Jutta Gut <gut.jutt...@chello.at> wrote:
>>> Ich habe da auch noch eine Frage dazu: Mir ist der Unterschied
>>> zwischen "wohlgeordnet" und "abzählbar" klar, aber mit dem
>>> Gegenbeispiel auf Wikipedia 1 < 3 < 5 < ... < 2 < 4 < 6 bin ich
>>> ncith ganz glücklich, weil man eine so geordnete Menge ja leicht zu
>>> einer abzählbaren umordnen kann. Auch
>>
>> Die Menge ist doch abzaehlbar, was willst du da umordnen?
>>
>> Abzaehlbarkeit hat nichts mit einer eventuell vorhandenen Ordnung zu
>> tun, und abzaehlbare Mengen sind ganz offensichtlich immer
>> wohlordbar.
>>
> Fraenkel (1946, S, 167) ist hier anderer Meinung und bestreitet dies.
>
War das die linke oder die rechte Hand Gottes?
Du willst nun das Gehirn von Fraenkel an Stelle von deinem benutzen?
>
Für jede abzählbare Menge M existiert eine Bijektion:
>
N->M
>
Existiert so eine Bijektion, so nennt man die Menge M abzählbar.
Diese Eigenschaft der Menge M eine Bijektion zu der Menge der natürlichen
Kardinalzahlen zu bilden, nennt sich Abzählbarkeit.
>
Auf der Menge M selber braucht keine Ordnung definiert zu sein.
>
Vogel
news:i7d6up$pfa$1...@news1.nefonline.de:
> Rudolf Sponsel wrote:
>
>> fiesh schrieb:
>>> On 2010-09-21, Jutta Gut <gut.jutt...@chello.at> wrote:
>>>> Ich habe da auch noch eine Frage dazu: Mir ist der Unterschied
>>>> zwischen "wohlgeordnet" und "abzählbar" klar, aber mit dem
>>>> Gegenbeispiel auf Wikipedia 1 < 3 < 5 < ... < 2 < 4 < 6 bin ich
>>>> ncith ganz glücklich, weil man eine so geordnete Menge ja leicht
>>>> zu einer abzählbaren umordnen kann. Auch
>>>
>>> Die Menge ist doch abzaehlbar, was willst du da umordnen?
>>>
>>> Abzaehlbarkeit hat nichts mit einer eventuell vorhandenen Ordnung zu
>>> tun, und abzaehlbare Mengen sind ganz offensichtlich immer
>>> wohlordbar.
>>>
>> Fraenkel (1946, S, 167) ist hier anderer Meinung und bestreitet dies.
>
> "Fraenkel (1946, S, 167)" - bereits zu blöd, um ordentlich zu
> zitieren.
>
Bereits zu blöd um zu wissen was ein Zitat ist. Der Rudolf hat nichts
zitiert, sondern lediglich eine Stellenangabe selber gemacht.
Aber du scheinst hier so deine persönlichen Sympathien zu haben.
What los Ralf, mal wieder ein Negativerlebnis beim wichsen gehabt?
Sprichst du mit deinen Schülern in der Grundschule auch so?
>
> Das ist ein Nachdruck der 3. Auflage der "Einleitung in die
> Mengenlehre".
>
> Und zu blöd zum Lesen auch, denn es ist beim besten Willen nicht zu
> erkennen, wo a.a.O. etwas stehen sollte, was fieshs Aussage
> widerspricht. Es steht z.B. da "...von jeder abzählbaren Menge, eine
> solche braucht ja überhaupt nicht geordnet zu sein."
>
Wieso man über so eine unbestreitbare triviale Banalität streiten muss,
liegt wohl im ewigen deutschen Weltschmerz.
>
--
Selber denken macht klug.
Dann braucht man keine Zitate
Vogel
news:8e111$4c990edf$5472d39f$15...@news.chello.at:
>
> Gibt es ein explizites Beispiel für eine
> Wohlordnung auf einer nicht abzählbaren Menge, oder kann man das
> prinzipiell nur theoretisch feststellen?
>
Auf einer nichtabzählbaren Menge kann es prinzipiell keine Wohlordnung
geben. So eine Menge ist nur stückweise Wohlordenbar.
Wenn keine Farbe mehr da ist, kann man auch nichts mehr anstreichen.
>
Abzählbarkeit einer Menge M bedeutet die Existenz einer Bijektion für all
ihre Elemente mit der Menge der natürlichen Zahlen:
>
N->M
>
Wohlordnung bedeutet eine Ordnungsrelation auf M zu haben, welche von N
herrührt, also sozusagen ein Isomorsphismus.
>
Im überabzählbaren Bereich einer Menge gibt es keine
Zuordnungsmöglichkeit mehr zu N, so dass man weder eine Abzählbarkeit
noch eine Ordnung, geschweige denn eine Wohlordnung, definieren kann.
>
Vogel
news:4b178ae5-7af9-414d...@q18g2000vbm.googlegroups.com:
>>
>> > Bis heute ist keine explizite Konstruktion einer
>> > Wohlordnung auf der Menge der reellen Zahlen
>> > bekannt, und tatsächlich lässt sich zeigen, dass
>> > zumindest die Axiome der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre
>> > allein (inklusive des Auswahlaxioms) die explizite
>> > Konstruktion einer solchen Wohlordnung nicht
>> > zulassen.
>
> Also hat Zermelo, als er seinen "Beweis" und seinen "neuen Beweis"
> veröffentlichte, zumindest geirrt (so wie Hilbert, als er die
> Kontinuumhypothese "bewies").
>
Beweis zu was? Wo hat er dabei geirrt?
>
Auf der Menge der reellen Zahlen ist keine Wohlordnung möglich, weil sie
überabzählbar ist.
>
Rudolf Sponsel
Fraenkel 1928 bzw. Nachdruck 1946, S. 167, ist auf dem gdz einsehbar:
http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN373206852
"...; dies gilt aber keineswegs von jeder abzählbaren Menge, eine solche
braucht ja überhaupt nicht geordnet zu sein. ..."
Rudolf Sponsel, Erlangen
Benno Hartwig
"Vogel" <vo...@hotmail.com> schrieb im
> Im überabzählbaren Bereich einer Menge gibt es keine
> Zuordnungsmöglichkeit mehr zu N, so dass man weder eine Abzählbarkeit
> noch eine Ordnung, geschweige denn eine Wohlordnung, definieren kann.
Was ist 'der überabzählbare Bereich' zum Beispiel von R?
Wenn ich versuche, in R mal loszuzählen, kann ich ja sehr
wohl anfangen mit sqrt(3), pi, e, e^2, ln(sqrt(2)^pi),...
keine Ordnung? Erstaunlich: Bitte beweise.
:-)
Soviel wird von einer Relation nicht verlangt, damit
sie Ordnung genannt wird.
Und du wirst zeigen müssen, dass jede mögliche
Relation in M letztlich nicht 'Ordnung' sein kann.
keine Wohlordnung? Auch erstaunlich mit Blick auf
http://de.wikipedia.org/wiki/Wohlordnungssatz
Begründe, besser: beweise bitte.
Bei Erfolg wäre dir ein Kapitel in den
Mathematik-Lehrbüchern gewiss.
Benno
Vogel
@news01.versatel.de:
>
> "Vogel" <vo...@hotmail.com> schrieb im
>
>> Im überabzählbaren Bereich einer Menge gibt es keine
>> Zuordnungsmöglichkeit mehr zu N, so dass man weder eine Abzählbarkeit
>> noch eine Ordnung, geschweige denn eine Wohlordnung, definieren kann.
>
> Was ist 'der überabzählbare Bereich' zum Beispiel von R?
>
Jene Teilmenge von R die überzählig ist bei einer bijektiven Abbildung
auf N. Es gibt immer eine. Da können wir uns doch drauf einigen?
>
> Wenn ich versuche, in R mal loszuzählen, kann ich ja sehr
> wohl anfangen mit sqrt(3), pi, e, e^2, ln(sqrt(2)^pi),...
>
Und? Du kannst anfangen mit was du willst, es bleibt immer eine Teilmenge
übrig die überzählig ist.
>
> keine Ordnung? Erstaunlich: Bitte beweise.
>
Muss ich dass? Die Menge R ist nicht wohlordenbar, war meine Aussage.
>
>:-)
In der Tat ist das kein mathematischer Beweis, aber doch logisch
verständlich. Ich habe daher keine Lust einen Beweis adhoc zu basteln
welcher dann aus Unachtsamkeit falsch wäre.
>
>
> Soviel wird von einer Relation nicht verlangt, damit
> sie Ordnung genannt wird.
> Und du wirst zeigen müssen, dass jede mögliche
> Relation in M letztlich nicht 'Ordnung' sein kann.
>
Sorry, was willst du damit sagen?
>
> keine Wohlordnung? Auch erstaunlich mit Blick auf
> http://de.wikipedia.org/wiki/Wohlordnungssatz
> Begründe, besser: beweise bitte.
>
Was soll ich beweisen? Dass eine nichtabzählbare Menge wohlordenbar ist?
>
> Bei Erfolg wäre dir ein Kapitel in den
> Mathematik-Lehrbüchern gewiss.
>
Weiss leider noch nicht wofür du mir eine Statue errichten würdest.
>
Vogel
$.1vtqeqka...@40tude.net:
> On 22 Sep 2010 18:17:45 GMT, Vogel <vo...@hotmail.com> wrote
> in <news:Xns9DFBCE69B...@130.133.4.10> in
> de.sci.mathematik:
>
>> "Brian M. Scott" <b.s...@csuohio.edu> wrote in
>> news:1o2656cqzez6x.y...@40tude.net:
>
>>> On 22 Sep 2010 04:34:35 GMT, Vogel <vo...@hotmail.com> wrote
>>> in <news:Xns9DFB42D0B...@130.133.4.10> in
>>> de.sci.mathematik:
>
>>>> "Brian M. Scott" <b.s...@csuohio.edu> wrote in
>>>> news:1d4dyy5m79saa.1pgjdj5n3d7jb$.d...@40tude.net:
>
>
>>>>> Es gibt Modellen von ZF, in denen die reellen Zahlen keine
>>>>> Wohlordnung haben. (In solchen Modellen gilt d[as]
>>>>> Auswahlaxiom natürlich nicht.)
>
>>>> Nicht besonders erhellend das zitieren von
>>>> nichtprofessionellen Quellen wie wikipedia.
>
>>> Erhellend sollte es nicht sein. Das es solche Modellen gibt
>>> ist ein wohlbekanntes Resultat von Paul Cohen.
>
>> Ich glaube in der Bibel steht auch etwas davon.
>
> Von Wohlordnungen, Modellen von ZF, und Paul Cohen? Ja,
> gewiss, daran liess sich nichts zweifeln.
>
> Das kannst du anderen weismachen.
>
War lediglich ein Fingerzeig mit dem Zaunpfahl.
>
>> Mathematik sollte allerdings keine Glaubenslehre sein.
>
> Was sie auch nicht ist. Um die Mathematik zu verstehen muss
> man das Gehirn einschalten; kein Glaubensorgan wird dabei
> benötigt.
>
Eben, dann sollte man sich nicht andauernd auf Jünger und Propheten
berufen, sondern selber erklären können.
>
>>>> Man muss bezweifeln, dass es keine Wohlordnung in der
>>>> Menge der rellen Zahlen gibt.
>
>>> Vielleicht -- wenn man keine Ahnung von axiomatischer
>>> Mengenlehre hat.
>
Bevor du weiter ausflipst, obiges war eine Denkhypothese.
>