Aus Gödels Unvollständikeitssatz folgt die Nichtexistenz der Menge aller natürlichen Zahlen
Albrecht
widerspruchsfreien Axiomensystem, das genügend reichhaltig ist, um die
Arithmetik (natürliche Zahlen) in der üblichen Weise aufzubauen und
das überdies hinreichend einfach ist, es immer Aussagen gibt, die aus
diesem weder bewiesen noch widerlegt werden können."
Nimmt man die Peano-Arithmetik und dazu das Prädikat
"xIstNatürlicheZahl", also INZ(x), so muss es nach Gödel für
mindestens ein n eine Aussage der Form INZ(n) geben, die innerhalb
dieses Systems weder beweisbar noch widerlegbar ist. Eine Menge ist
durch ihre Elemente bestimmt. Die Menge der natürlichen Zahlen enthält
somit mindestens ein Element für das nicht beweisbar ist ob es sich
um eine natürliche Zahl handelt oder nicht. Damit lässt sich aber
nicht mehr von der Menge der natürlichen Zahlen sprechen, da
mindestens ein Objekt existiert für das nicht geklärt werden kann ob
es eine natürliche Zahl ist oder nicht.
Gruß
Albrecht
Rainer Rosenthal
> "Der erste gï¿œdelsche Unvollstï¿œndigkeitssatz besagt, dass in einem
> widerspruchsfreien Axiomensystem, das genï¿œgend reichhaltig ist, um die
> Arithmetik (natï¿œrliche Zahlen) in der ï¿œblichen Weise aufzubauen und
> das ï¿œberdies hinreichend einfach ist, es immer Aussagen gibt, die aus
> diesem weder bewiesen noch widerlegt werden kï¿œnnen."
>
> Nimmt man die Peano-Arithmetik und dazu das Prï¿œdikat
> "xIstNatï¿œrlicheZahl", also INZ(x), so muss es nach Gï¿œdel fï¿œr
> mindestens ein n eine Aussage der Form INZ(n) geben, die innerhalb
> dieses Systems weder beweisbar noch widerlegbar ist. Eine Menge ist
> somit mindestens ein Element fï¿œr das nicht beweisbar ist ob es sich
> um eine natï¿œrliche Zahl handelt oder nicht. Damit lï¿œsst sich aber
> nicht mehr von der Menge der natï¿œrlichen Zahlen sprechen, da
> mindestens ein Objekt existiert fï¿œr das nicht geklï¿œrt werden kann ob
> es eine natï¿œrliche Zahl ist oder nicht.
>
Das war ein Beweisversuch. Er verdient also eine Widerlegung.
Wer sagt denn bitte, dass INZ(x) zu diesen fiesen Prï¿œdikaten
gehï¿œrt, von denen es gemï¿œss Gï¿œdel welche gibt?
Gruss,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
Herbert Newman
> Albrecht schrieb: [...].
Oh je...
> Das war ein Beweisversuch.
WAS war das?! :-)))
Gru�,
Herbert
P.S. Ich frage mich nur, wie G�DEL (und alle Mathematiker nach ihm) diese
einfache Schlussfolgerung aus seinen S�tzen hat �bersehen k�nnen!!? Gott
sei Dank haben wir ja jetzt Albrecht; was w�rden wir nur ohne ihn tun?!
Markus Wichmann
>> "Der erste gödelsche Unvollständigkeitssatz besagt, dass in einem
>> widerspruchsfreien Axiomensystem, das genügend reichhaltig ist, um die
>> Arithmetik (natürliche Zahlen) in der üblichen Weise aufzubauen und
>> diesem weder bewiesen noch widerlegt werden können."
>>
>> Nimmt man die Peano-Arithmetik und dazu das Prädikat
>> "xIstNatürlicheZahl", also INZ(x), so muss es nach Gödel für
>> mindestens ein n eine Aussage der Form INZ(n) geben, die innerhalb
>> dieses Systems weder beweisbar noch widerlegbar ist. Eine Menge ist
>> somit mindestens ein Element für das nicht beweisbar ist ob es sich
>> um eine natürliche Zahl handelt oder nicht. Damit lässt sich aber
>> nicht mehr von der Menge der natürlichen Zahlen sprechen, da
>> mindestens ein Objekt existiert für das nicht geklärt werden kann ob
>> es eine natürliche Zahl ist oder nicht.
Da ich Albrecht filtere, kann ich nur auf Antworten auf ihn antworten.
Darum also diese Variante.
Nun zu obigem Geschreibsel: Das beweist gar nichts: Zum Einen ist nicht
einwandfrei bewiesen, dass INZ(x) zu den nicht entscheidbaren
Eigenschaften nach Gödel gehört, und selbst wenn es das wäre, würde das
nicht die Existenz der Menge widerlegen. Es hieße lediglich, dass die
charakteristische Funktion der natürlichen Zahlen nicht berechenbar ist,
d.h. die natürlichen Zahlen wären nicht entscheidbar. Supi! Das bedeutet
aber nicht, dass sie nicht semi-entscheidbar sein kann, geschweige denn,
dass sie zu existieren aufhört.
Nebenbei bemerkt stieße sich die Tatsache, dass INZ(x) nicht
entscheidbar wäre, an den Peano-Axiomen, die schließlich festlegen:
1. 0 \in N
2. n \in N -> n+1 \in N
Daraus folgend:
n \in N <-> E m \in N: n - m = 0
Somit habe ich eine entscheidbare Aussage über jede mögliche Zahl n:
Entweder dieses m existiert oder nicht. Man kann meine Folgerung auch
anders interpretieren: Wenn man oft genug von n die 1 subtrahiert, muss
man irgendwann auf 0 kommen. 1 ist ja erwiesenermaßen eine natürliche
Zahl, das folgt direkt aus dem zweiten Axiom.
Tschö,
Markus
--
GUI - ein Hintergrundbild und zwölf XTerms
vim -c "exec \"norm iwHFG#NABGURE#IVZ#UNPXRE\"|%s/#/ /g|norm g??g~~"
WM
> > Albrecht schrieb:
> >> "Der erste gödelsche Unvollständigkeitssatz besagt, dass in einem
> >> widerspruchsfreien Axiomensystem, das genügend reichhaltig ist, um die
> >> Arithmetik (natürliche Zahlen) in der üblichen Weise aufzubauen und
> >> das überdies hinreichend einfach ist, es immer Aussagen gibt, die aus
> >> diesem weder bewiesen noch widerlegt werden können."
>
> >> Nimmt man die Peano-Arithmetik und dazu das Prädikat
> >> "xIstNatürlicheZahl", also INZ(x), so muss es nach Gödel für
> >> mindestens ein n eine Aussage der Form INZ(n) geben, die innerhalb
> >> dieses Systems weder beweisbar noch widerlegbar ist. Eine Menge ist
> >> durch ihre Elemente bestimmt. Die Menge der natürlichen Zahlen enthält
> >> somit mindestens ein Element für das nicht beweisbar ist ob es sich
> >> um eine natürliche Zahl handelt oder nicht. Damit lässt sich aber
> >> nicht mehr von der Menge der natürlichen Zahlen sprechen, da
> >> mindestens ein Objekt existiert für das nicht geklärt werden kann ob
> >> es eine natürliche Zahl ist oder nicht.
>
> Da ich Albrecht filtere, kann ich nur auf Antworten auf ihn antworten.
Dieses zu betonen wird Dir sicher die Sympathien aller (Ein-)
gebildeten eintragen. Ich frage mich zwar, wozu braucht ein Mensch
Filter, der den Absender lesen kann und nicht zu geistes- oder
charakterschwach ist, um nicht zu lesen, was er nicht lesen will? Aber
ja, es zeigt, dass Du technisch aufgeklärt bist. Und da Du mich
vermutlich auch filterst, erspart es Dir Ärger, falls nicht ein
Unbedachtling auf meinen Beitrag antwortet.
> Darum also diese Variante.
>
> Nun zu obigem Geschreibsel: Das beweist gar nichts:
Es beweist genau so viel wie Dein Geschreibsel.
> Zum Einen ist nicht
> einwandfrei bewiesen, dass INZ(x) zu den nicht entscheidbaren
> Eigenschaften nach Gödel gehört, und selbst wenn es das wäre, würde das
> nicht die Existenz der Menge widerlegen. Es hieße lediglich, dass die
> charakteristische Funktion der natürlichen Zahlen nicht berechenbar ist,
> d.h. die natürlichen Zahlen wären nicht entscheidbar. Supi! Das bedeutet
> aber nicht, dass sie nicht semi-entscheidbar sein kann,
Welches Femininum sprichst Du hier an? Die Funktion oder die Menge
der ...? Aber was solls! Selbst wenn nicht semi-entscheidbar, könnte
es ja immer noch semi-semi-entscheidbar sein, oder? Und im Notfall
bliebe noch manch ein omega-semi, um irgendwelche Paranomien zu
antidozieren.
> geschweige denn,
> dass sie zu existieren aufhört.
Dann geht ein Bild hinein,
Geht durch der Glieder angespannte Stille -
Und hört im Herzen auf zu sein.
(Rilke)
>
> Nebenbei bemerkt stieße sich die Tatsache, dass INZ(x) nicht
> entscheidbar wäre, an den Peano-Axiomen, die schließlich festlegen:
>
> 1. 0 \in N
> 2. n \in N -> n+1 \in N
>
> Daraus folgend:
>
> n \in N <-> E m \in N: n - m = 0
Nein, s. u.
>
> Somit habe ich eine entscheidbare Aussage über jede mögliche Zahl n:
> Entweder dieses m existiert oder nicht. Man kann meine Folgerung auch
> anders interpretieren: Wenn man oft genug von n die 1 subtrahiert, muss
> man irgendwann auf 0 kommen. 1 ist ja erwiesenermaßen eine natürliche
> Zahl,
Ja. Und dazu bedarf es keines Axioms.
> das folgt direkt aus dem zweiten Axiom.
Aber es folgt nicht, dass man 1 überhaupt subtrahieren kann bzw. dass
das Resultat der Subtraktion (immmer) eine (natürliche) Zahl ist. Da
hast Du also Unfug verzapft.
(Die angegebenen) Axiome vermitteln also lediglich dem nicht sehr tief
Denkenden eine trügerische Sicherheit. Sie sind allenfalls ein
Anästhetikum, nicht einmal ein Antiseptikum und gegen mathematische
Frakturen völlig nutzlos.
Gruß, WM
Rainer Rosenthal
> ... falls nicht ein
> Unbedachtling auf meinen Beitrag antwortet.
Hier ist ein solcher Unbedachtling. Der Zufall will es, dass Dein
Posting als Nachfolge-Posting meiner Antwort an Albrecht erscheint.
Ich hatte Albrecht auf einen Fehler in seinem Beweisversuch hingewiesen.
Bei Deiner Auseinandersetzung mit Markus ist leider das Thema ausser
Acht gelassen worden. Markus hat in einer Dir nicht passenden Weise
ebenfalls auf den Fehler in Albrechts Beweisversuch hingewiesen.
Dass er (und ich) sachlich recht haben mit der Zurï¿œckweisung des
Beweisversuchs von Albrecht, wirst Du doch hoffentlich nicht
bestreiten.
Gruss,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
WM
> WM schrieb:
>
> > ... falls nicht ein
> > Unbedachtling auf meinen Beitrag antwortet.
>
> Hier ist ein solcher Unbedachtling. Der Zufall will es, dass Dein
> Posting als Nachfolge-Posting meiner Antwort an Albrecht erscheint.
Hättest Du doch wenigstens die schönen Zeilen von Rilke stehen lassen.
(An der HSA wird ALLGEMEINBILDUNG GANZ GROSS GESCHRIEBEN.)
>
> Ich hatte Albrecht auf einen Fehler in seinem Beweisversuch hingewiesen.
> Bei Deiner Auseinandersetzung mit Markus ist leider das Thema ausser
> Acht gelassen worden.
Nicht ganz.
MW: Nun zu obigem Geschreibsel: Das beweist gar nichts:
WM: Es beweist genau so viel wie Dein Geschreibsel.
Alle Beweisversuche, welche die "einfache" Unendlichkeit als
vollendet annehmen, also explizit als Axiom oder implizit als
gottgegeben oder in der Gesamtnatur [1] enthalten voraussetzen und
Überabzählbarkeit folgern oder verwenden, müssen scheitern. Die von
Gödel und Cantor ebenso wie dieser von Albrecht.
Deswegen ist Gödels Ergebnis auch keineswegs entmutigend oder
bedrückend. Es gilt allenfalls unter einer unerfüllbaren und damit
immer falschen Prämisse. Demnach wäre es zwar logisch richtig, ohne
jedoch die geringste Aussagekraft für Logik und Mathematik zu
besitzen. Und nun kann man elegant abschließen und folgern: Wenn
Gödels Beweis die Mathematik betrifft, dann ist jeder Beweis richtig,
also auch der von Albrecht.
[1] Ich erkläre an Eides statt, dass das Kalenderblatt 090906 bereits
fertig formuliert war, bevor ich Deinen Beitrag gesehen habe.
Gruß, WM
Rainer Rosenthal
> [1] Ich erklï¿œre an Eides statt, dass das Kalenderblatt 090906 bereits
> fertig formuliert war, bevor ich Deinen Beitrag gesehen habe.
Das glaube ich gerne.
Allerdings hatte ich erwartet, dass Du bestï¿œtigen wï¿œrdest, dass Albrecht
einen simplen Irrtum beim Gebrauch von "es gibt" und "fï¿œr alle" gemacht
hat. Das ist doch tï¿œgliches Brot fï¿œr Lehrende, denke ich mal.
Gï¿œdel sagt: es gibt einen Satz mit Eigenschaft X.
Albrecht meint daraus schliessen zu kï¿œnnen, dass jeder beliebige Satz
diese Eigenschaft haben mï¿œsse, oder doch zumindest der Satz IN(x), weil
ihm das gut passen wï¿œrde.
Mit dem falschen Quantor
schlug er auf Herrn Cantor.
Gruss,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
Ralf Bader
> WM schrieb:
>
>> [1] Ich erkläre an Eides statt, dass das Kalenderblatt 090906 bereits
>> fertig formuliert war, bevor ich Deinen Beitrag gesehen habe.
>
> Das glaube ich gerne.
> Allerdings hatte ich erwartet, dass Du bestätigen würdest, dass Albrecht
> einen simplen Irrtum beim Gebrauch von "es gibt" und "für alle" gemacht
> hat. Das ist doch tägliches Brot für Lehrende, denke ich mal.
Ich hätte erwartet, daß du irgendwann kapierst, wie Mückenheim tickt.
--
How lucky we are that Cantor introduced curly brackets! But it was no
he who introduced the silly distinction between a and {a} that enables
so called mathematicians to build card houses on nothing.
(Prof. Dr. Wolfgang Mückenheim, FH Augsburg, in sci.math, 03/13/09)
WM
> > fertig formuliert war, bevor ich Deinen Beitrag gesehen habe.
>
> Das glaube ich gerne.
> einen simplen Irrtum beim Gebrauch von "es gibt" und "für alle" gemacht
> hat. Das ist doch tägliches Brot für Lehrende, denke ich mal.
>
> Gödel sagt: es gibt einen Satz mit Eigenschaft X.
> Albrecht meint daraus schliessen zu können, dass jeder beliebige Satz
> diese Eigenschaft haben müsse, oder doch zumindest der Satz IN(x), weil
> ihm das gut passen würde.
Albrecht hat vermutlich den simplen Irrtum begangen, nur Sätze der
Form "es gibt die und die natürliche Zahl" in einer Theorie der
minimalen Gödelschen Komplexität vorauszusetzen.
>
> Mit dem falschen Quantor
> schlug er auf Herrn Cantor.
Cantor und Gödel haben den viel schlimmeren Irrtum begangen, in der
Natur oder zumindest als Grundlage der Mathematik das vollendet
Unendliche vorauszusetzen (denn das nur potentiell Unendliche erlaubt
nicht den falschen Cantorquantor "A n in |N" und damit wird Cantors
"Beweis" hinfällig; dies ist u.a. im Kalenderblatt 090814 genauer
erklärt.) Es ist aber bei nüchterner Betrachtung unverständlich, warum
die von einer verschwindend kleinen Matheologengruppe geglaubte
kontrafaktuale Voraussetzung irgendwelche grundlegenden Folgen für die
Mathematik implizieren sollte, soweit sie allen denkenden Menschen zur
Verfügung steht, also von solchen Minoritäts-Glaubenssätzen
unbeeindruckt existiert.
Gruß, WM
Ralf Bader
> On 4 Sep., 22:38, Rainer Rosenthal <r.rosent...@web.de> wrote:
>> WM schrieb:
>>
>> > ... falls nicht ein
>> > Unbedachtling auf meinen Beitrag antwortet.
>>
>> Hier ist ein solcher Unbedachtling. Der Zufall will es, dass Dein
>> Posting als Nachfolge-Posting meiner Antwort an Albrecht erscheint.
>
> Hättest Du doch wenigstens die schönen Zeilen von Rilke stehen lassen.
> (An der HSA wird ALLGEMEINBILDUNG GANZ GROSS GESCHRIEBEN.)
Was ist "HSA"? Halbbildungsanstalt?
Marc Olschok
Da werden "gefragte Persönlichkeiten" gebildet.
--
Marc
Rainer Rosenthal
> On 5 Sep., 16:20, Rainer Rosenthal <r.rosent...@web.de> wrote:
>> Gï¿œdel sagt: es gibt einen Satz mit Eigenschaft X.
>> Albrecht meint daraus schliessen zu kï¿œnnen, dass jeder beliebige Satz
>> diese Eigenschaft haben mï¿œsse, oder doch zumindest der Satz IN(x), weil
>> ihm das gut passen wï¿œrde.
>
> Albrecht hat vermutlich den simplen Irrtum begangen, nur Sï¿œtze der
> Form "es gibt die und die natï¿œrliche Zahl" in einer Theorie der
> minimalen Gï¿œdelschen Komplexitï¿œt vorauszusetzen.
Wir werden ja sehen, welche Art von Irrtum ihm besser gefï¿œllt.
Er schrieb (1):
"Der erste gï¿œdelsche Unvollstï¿œndigkeitssatz besagt, dass in einem
widerspruchsfreien Axiomensystem, das genï¿œgend reichhaltig ist, um die
Arithmetik (natï¿œrliche Zahlen) in der ï¿œblichen Weise aufzubauen und
das ï¿œberdies hinreichend einfach ist, es immer Aussagen gibt, die aus
diesem weder bewiesen noch widerlegt werden kï¿œnnen."
Und folgerte daraus (2):
Nimmt man die Peano-Arithmetik und dazu das Prï¿œdikat
"xIstNatï¿œrlicheZahl", also INZ(x), so muss es nach Gï¿œdel fï¿œr
mindestens ein n eine Aussage der Form INZ(n) geben, die innerhalb
dieses Systems weder beweisbar noch widerlegbar ist.
Ich sehe da keine Gï¿œdelscher Komplexitï¿œt, sondern ein gewisses
Wunschdenken. Denn wï¿œhrend in (1) steht, dass es gewisse Aussagen
gibt, wird in (2) postuliert, es mï¿œsse auch welche der Form IN(n)
geben. Das ist ein unzulï¿œssiger Schluss.
Gruss,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
Peter
> "Der erste gödelsche Unvollständigkeitssatz besagt, dass in einem
> widerspruchsfreien Axiomensystem, das genügend reichhaltig ist, um die
> Arithmetik (natürliche Zahlen) in der üblichen Weise aufzubauen und
> das überdies hinreichend einfach ist, es immer Aussagen gibt, die aus
> diesem weder bewiesen noch widerlegt werden können."
Ich sehe zwar die Anführungszeichen, es wäre aber trotzdem
schön, wenn Sie die Quelle angeben würden von der Sie abschreiben.
Ich finde der Anstand allein fordert das.
Ralf Bader
> On 5 Sep., 16:20, Rainer Rosenthal <r.rosent...@web.de> wrote:
>> WM schrieb:
>>
>> > [1] Ich erkläre an Eides statt, dass das Kalenderblatt 090906 bereits
>> > fertig formuliert war, bevor ich Deinen Beitrag gesehen habe.
>>
>> Das glaube ich gerne.
>> Allerdings hatte ich erwartet, dass Du bestätigen würdest, dass Albrecht
>> einen simplen Irrtum beim Gebrauch von "es gibt" und "für alle" gemacht
>> hat. Das ist doch tägliches Brot für Lehrende, denke ich mal.
>
>>
>> Gödel sagt: es gibt einen Satz mit Eigenschaft X.
>> Albrecht meint daraus schliessen zu können, dass jeder beliebige Satz
>> diese Eigenschaft haben müsse, oder doch zumindest der Satz IN(x), weil
>> ihm das gut passen würde.
>
> Albrecht hat vermutlich den simplen Irrtum begangen, nur Sätze der
> Form "es gibt die und die natürliche Zahl" in einer Theorie der
> minimalen Gödelschen Komplexität vorauszusetzen.
Nein, denn aus dieser unzutreffenden Hypothese ergibt sich immer noch
nicht, daß ausgerechnet eine der Aussagen, die Albrecht ins Konzept
passen, "gödelsch" ist (und selbst wenn sie es wäre, würde das dem
Albrechtschen "Beweis" trotzdem nicht weiterhelfen)
>> Mit dem falschen Quantor
>> schlug er auf Herrn Cantor.
>
> Cantor und Gödel haben den viel schlimmeren Irrtum begangen, in der
> Natur oder zumindest als Grundlage der Mathematik das vollendet
> Unendliche vorauszusetzen (denn das nur potentiell Unendliche erlaubt
> nicht den falschen Cantorquantor "A n in |N" und damit wird Cantors
> "Beweis" hinfällig; dies ist u.a. im Kalenderblatt 090814 genauer
> erklärt.) Es ist aber bei nüchterner Betrachtung unverständlich, warum
> die von einer verschwindend kleinen Matheologengruppe geglaubte
> kontrafaktuale Voraussetzung irgendwelche grundlegenden Folgen für die
> Mathematik implizieren sollte, soweit sie allen denkenden Menschen zur
> Verfügung steht, also von solchen Minoritäts-Glaubenssätzen
> unbeeindruckt existiert.
Gödels Satz läßt sich als Aussage über die Kombinatorik gewisser
Symbolspiele verstehen. Diese Spiele beginnen mit den "Axiomen", in
formalisierter Form sind das gewisse Symbolfolgen, und es gibt gewisse
Umformungsregeln für Symbolfolgen, und es ist die Frage, ob sich mit diesen
"Spielzügen" gewisse andere Symbolfolgen erreichen lassen. Das alles, also
die Aussage des Gödelschen Unvollständigkeitssatzes, spielt ausschließlich
im potentiell unendlichen Bereich (die Symbolfolgen und Anzahl der
Spielzüge sind endlich, aber nicht von vornherein beschränkt).
Mit anderen Worten, Mückenheims Gefasel ist von vorn bis hinten gewohnt
vollidiotischer Schwachsinn. Das Geschwätz über die "verschwindend kleine
Matheologengruppe" erweckt den Eindruck pathologischen Realitätsverlusts.
Herr Professor Mückenheim ist selbstverständlich auch mit der Unterscheidung
von "aktual" und "potentiell" unendlich überfordert. "Aktuale"
Unendlichkeit wird nicht in solchen Aussagen vorausgesetzt, die eine jeder
einzelnen natürlichen Zahl zukommende Eigenschaft konstatieren. Auch nicht
dann, wenn zur Formulierung der Aussage der "Cantorquantor" (eine neue
Blüte auf dem Mückenheimschen Misthaufen) verwendet wird. "Aktuale"
Unendlichkeit würde dann verwendet, wenn eine natürliche Zahl unter
Bezugnahme auf die gesamte Menge aller natürlichen Zahlen, also
imprädikativ, definiert wird.
Albrecht
> > widerspruchsfreien Axiomensystem, das genügend reichhaltig ist, um die
> > Arithmetik (natürliche Zahlen) in der üblichen Weise aufzubauen und
> > diesem weder bewiesen noch widerlegt werden können."
>
> > Nimmt man die Peano-Arithmetik und dazu das Prädikat
> > "xIstNatürlicheZahl", also INZ(x), so muss es nach Gödel für
> > mindestens ein n eine Aussage der Form INZ(n) geben, die innerhalb
> > dieses Systems weder beweisbar noch widerlegbar ist. Eine Menge ist
> > um eine natürliche Zahl handelt oder nicht. Damit lässt sich aber
> > nicht mehr von der Menge der natürlichen Zahlen sprechen, da
> > mindestens ein Objekt existiert für das nicht geklärt werden kann ob
> > es eine natürliche Zahl ist oder nicht.
>
> Das war ein Beweisversuch. Er verdient also eine Widerlegung.
> gehört, von denen es gemäss Gödel welche gibt?
>
> Gruss,
> Rainer Rosenthal
> r.rosent...@web.de
Warum sollte es denn erforderlich sein, dass INZ(x) zu "diesen fiesen
Prädikaten" gehört? Laut Gödel, und darin ist er doch wohl
unbestritten, besitzt jedes ausreichen große System unentscheidbare
Sätze. Die natürlichen Zahlen + INZ(x) ist ausreichend groß, oder?
Welche Aussage in diesem System sollte nun unentscheidbar sein als
eine Aussage der Form "INZ(m)" wobei m ein natürliche Zahl ist????
Gruß
Albrecht
Rainer Rosenthal
>>> widerspruchsfreien Axiomensystem, das genï¿œgend reichhaltig ist, um die
>>> Arithmetik (natï¿œrliche Zahlen) in der ï¿œblichen Weise aufzubauen und
>>> diesem weder bewiesen noch widerlegt werden kï¿œnnen."
>>> Nimmt man die Peano-Arithmetik und dazu das Prï¿œdikat
>>> "xIstNatï¿œrlicheZahl", also INZ(x), so muss es nach Gï¿œdel fï¿œr
>>> mindestens ein n eine Aussage der Form INZ(n) geben, die innerhalb
>>> dieses Systems weder beweisbar noch widerlegbar ist. Eine Menge ist
>>> somit mindestens ein Element fï¿œr das nicht beweisbar ist ob es sich
>>> um eine natï¿œrliche Zahl handelt oder nicht. Damit lï¿œsst sich aber
>>> nicht mehr von der Menge der natï¿œrlichen Zahlen sprechen, da
>>> es eine natï¿œrliche Zahl ist oder nicht.
>> Das war ein Beweisversuch. Er verdient also eine Widerlegung.
>>
>> Gruss,
>> Rainer Rosenthal
>> r.rosent...@web.de
>
>
>
> Warum sollte es denn erforderlich sein, dass INZ(x) zu "diesen fiesen
> unbestritten, besitzt jedes ausreichen groï¿œe System unentscheidbare
> Sￜtze. Die natￜrlichen Zahlen + INZ(x) ist ausreichend groￜ, oder?
> Welche Aussage in diesem System sollte nun unentscheidbar sein als
>
Du hast doch geschrieben:
dazu das Prï¿œdikat "xIstNatï¿œrlicheZahl", also INZ(x),...
und Du wolltest gerne einen Widerspruch konstruieren. Da Du aber nicht
weisst, *welcher* Satz in diesem ausreichend grossen System unentscheidbar
ist, fehlt doch etwas in Deinem Beweis, oder? Ich verstehe ihn zumindest
nicht. Fï¿œr mich ist INZ(x) das, was Du geschrieben hast, also ein mehr
oder weniger harmloses Prï¿œdikat. Warum ausgerechnet dies Prï¿œdikat so schlimm
sein soll, will mir nicht einleuchten.
Ah, ich habe eine Idee, wie Du es gemeint haben kï¿œnntest:
Das System "Peano-Arithmetik" als frei von unentscheidbaren Sï¿œtzen annehmend
fï¿œgst Du ihm Dein INZ(x) zu und folgerst daraus, dass das neue System recht
komplex ist, dass nun Gï¿œdel zuschlagen mï¿œsste. Und Schuld kann dann nur dieses
neue INZ(x) sein.
Ist es das, worauf Du hinauswillst?
Gruss,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
Albrecht
> Albrecht schrieb:
>
>
>
> > On 2 Sep., 14:33, Rainer Rosenthal <r.rosent...@web.de> wrote:
> >> Albrecht schrieb:
>
> >>> widerspruchsfreien Axiomensystem, das genügend reichhaltig ist, um die
> >>> Arithmetik (natürliche Zahlen) in der üblichen Weise aufzubauen und
> >>> diesem weder bewiesen noch widerlegt werden können."
> >>> Nimmt man die Peano-Arithmetik und dazu das Prädikat
> >>> "xIstNatürlicheZahl", also INZ(x), so muss es nach Gödel für
> >>> mindestens ein n eine Aussage der Form INZ(n) geben, die innerhalb
> >>> dieses Systems weder beweisbar noch widerlegbar ist. Eine Menge ist
> >>> um eine natürliche Zahl handelt oder nicht. Damit lässt sich aber
> >>> nicht mehr von der Menge der natürlichen Zahlen sprechen, da
> >>> mindestens ein Objekt existiert für das nicht geklärt werden kann ob
> >>> es eine natürliche Zahl ist oder nicht.
> >> Das war ein Beweisversuch. Er verdient also eine Widerlegung.
>
> >> Gruss,
> >> Rainer Rosenthal
> >> r.rosent...@web.de
>
> > Warum sollte es denn erforderlich sein, dass INZ(x) zu "diesen fiesen
> > unbestritten, besitzt jedes ausreichen große System unentscheidbare
> > Welche Aussage in diesem System sollte nun unentscheidbar sein als
>
> Du hast doch geschrieben:
>
> dazu das Prädikat "xIstNatürlicheZahl", also INZ(x),...
>
> und Du wolltest gerne einen Widerspruch konstruieren. Da Du aber nicht
> weisst, *welcher* Satz in diesem ausreichend grossen System unentscheidbar
> ist, fehlt doch etwas in Deinem Beweis, oder? Ich verstehe ihn zumindest
> oder weniger harmloses Prädikat. Warum ausgerechnet dies Prädikat so schlimm
> sein soll, will mir nicht einleuchten.
>
> Das System "Peano-Arithmetik" als frei von unentscheidbaren Sätzen annehmend
> fügst Du ihm Dein INZ(x) zu und folgerst daraus, dass das neue System recht
> komplex ist, dass nun Gödel zuschlagen müsste. Und Schuld kann dann nur dieses
> neue INZ(x) sein.
>
> Ist es das, worauf Du hinauswillst?
>
So ähnlich. Noch einmal:
"Der erste gödelsche Unvollständigkeitssatz besagt, dass in einem
widerspruchsfreien Axiomensystem, das genügend reichhaltig ist, um die
Arithmetik (natürliche Zahlen) in der üblichen Weise aufzubauen und
das überdies hinreichend einfach ist, es immer Aussagen gibt, die aus
diesem weder bewiesen noch widerlegt werden können."
Die Peano-Arithmetik erfüllt offensichtlich die geforderten
Bedingungen. Mit INZ(x) besitzt das System eine Aussageform und laut
Gödel mindestens eine unentscheidbare Aussage. Genügt Dir das nicht?
Gruß
Albrecht
Rainer Rosenthal
> On 6 Sep., 13:56, Rainer Rosenthal <r.rosent...@web.de> wrote:
>> Ah, ich habe eine Idee, wie Du es gemeint haben kï¿œnntest:
>> Das System "Peano-Arithmetik" als frei von unentscheidbaren Sï¿œtzen annehmend
>> fï¿œgst Du ihm Dein INZ(x) zu und folgerst daraus, dass das neue System recht
>> komplex ist, dass nun Gï¿œdel zuschlagen mï¿œsste. Und Schuld kann dann nur dieses
>> neue INZ(x) sein.
>>
>> Ist es das, worauf Du hinauswillst?
>>
>
>
> So ï¿œhnlich. Noch einmal:
>
> "Der erste gï¿œdelsche Unvollstï¿œndigkeitssatz besagt, dass in einem
> widerspruchsfreien Axiomensystem, das genï¿œgend reichhaltig ist, um die
> Arithmetik (natï¿œrliche Zahlen) in der ï¿œblichen Weise aufzubauen und
> das ï¿œberdies hinreichend einfach ist, es immer Aussagen gibt, die aus
> diesem weder bewiesen noch widerlegt werden kï¿œnnen."
>
> Die Peano-Arithmetik erfï¿œllt offensichtlich die geforderten
> Bedingungen. Mit INZ(x) besitzt das System eine Aussageform und laut
> Gï¿œdel mindestens eine unentscheidbare Aussage. Genï¿œgt Dir das nicht?
Kommt Dir das nicht selbst ein wenig billig vor?
Es dï¿œrfte Zeit sein, die Dinge zu prï¿œzisieren, denn "die Peano-Arithmetik"
kï¿œnnte ja schon selbst reichhaltig genug sein, um Gï¿œdelsche Gemeinheiten
zu enthalten - und dann nï¿œtzt das hinzugefï¿œgte INZ(x) gar nichts.
Oder aber das blosse Hinzufï¿œgen von INZ(x) bringt doch nicht den erforderlichen
Reichtum ins System - und dann ist's wieder nichts mit der Schlussfolgerung.
Falls einer mitliest, der sich nicht zu schade ist, klï¿œrende Worte mit
einem Minimum an Polemik einzustreuen, lade ich ihn herzlich dazu ein.
Gruss,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
Ralf Bader
> Albrecht schrieb:
>> On 6 Sep., 13:56, Rainer Rosenthal <r.rosent...@web.de> wrote:
>
>>> Ah, ich habe eine Idee, wie Du es gemeint haben könntest:
>>> Das System "Peano-Arithmetik" als frei von unentscheidbaren Sätzen
>>> annehmend fügst Du ihm Dein INZ(x) zu und folgerst daraus, dass das neue
>>> System recht komplex ist, dass nun Gödel zuschlagen müsste. Und Schuld
>>> kann dann nur dieses neue INZ(x) sein.
>>>
>>> Ist es das, worauf Du hinauswillst?
>>>
>>
>>
>> So ähnlich. Noch einmal:
>>
>> "Der erste gödelsche Unvollständigkeitssatz besagt, dass in einem
>> widerspruchsfreien Axiomensystem, das genügend reichhaltig ist, um die
>> Arithmetik (natürliche Zahlen) in der üblichen Weise aufzubauen und
>> das überdies hinreichend einfach ist, es immer Aussagen gibt, die aus
>> diesem weder bewiesen noch widerlegt werden können."
>>
>> Die Peano-Arithmetik erfüllt offensichtlich die geforderten
>> Bedingungen. Mit INZ(x) besitzt das System eine Aussageform und laut
>> Gödel mindestens eine unentscheidbare Aussage. Genügt Dir das nicht?
>
> Kommt Dir das nicht selbst ein wenig billig vor?
> Es dürfte Zeit sein, die Dinge zu präzisieren, denn "die Peano-Arithmetik"
> könnte ja schon selbst reichhaltig genug sein, um Gödelsche Gemeinheiten
> zu enthalten - und dann nützt das hinzugefügte INZ(x) gar nichts.
> Oder aber das blosse Hinzufügen von INZ(x) bringt doch nicht den
> erforderlichen Reichtum ins System - und dann ist's wieder nichts mit der
> Schlussfolgerung.
>
> Falls einer mitliest, der sich nicht zu schade ist, klärende Worte mit
> einem Minimum an Polemik einzustreuen, lade ich ihn herzlich dazu ein.
Ja, ich lese mit, denn ich möchte ein neues Kaffeefleckenmuster auf meiner
Tischdecke kreieren. Tip: Herr Storz hat um 12:48:04 mit aller
wünschenswerten Deutlichkeit erklärt, daß er nicht den Hauch einer Ahnung
davon hat, was ein formales System (im Gödelschen Sinne) ist. "Die
natürlichen Zahlen + INZ(x) ist ausreichend groß, oder?" Einfach die
natürlichen Zahlen, also das Storzsche Geixel, nicht einmal eine Theorie
über diese, geschweige denn eine formale. Mehr ohne Polemik gelingt mir
nicht.
Ralf
Rainer Rosenthal
> Ja, ich lese mit, denn ich mï¿œchte ein neues Kaffeefleckenmuster auf meiner
> Tischdecke kreieren. Tip: Herr Storz hat um 12:48:04 mit aller
> wￜnschenswerten Deutlichkeit erklￜrt, daￜ er nicht den Hauch einer Ahnung
> davon hat, was ein formales System (im Gï¿œdelschen Sinne) ist. "Die
> natￜrlichen Zahlen + INZ(x) ist ausreichend groￜ, oder?" Einfach die
> natï¿œrlichen Zahlen, also das Storzsche Geixel, nicht einmal eine Theorie
> ï¿œber diese, geschweige denn eine formale. Mehr ohne Polemik gelingt mir
> nicht.
War aber immerhin ein netter Versuch, danke.
"Die natￜrlichen Zahlen + INZ(x) ist ausreichend groￜ, oder?" ist
fï¿œr sich genommen schon schwach genug, da braucht es also gar keine
falschen Quantoren.
@Albrecht: siehst Du, wir haben beide zu wenig Ahnung, um hier was
Vernï¿œnftiges debattieren zu kï¿œnnen. Ich dachte ich kï¿œnnte Dir bei
der Quantorenverwendung helfen, aber das war nix.
Ziehe mich zurï¿œck,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
WM
> WM schrieb:
>
> > On 5 Sep., 16:20, Rainer Rosenthal <r.rosent...@web.de> wrote:
> >> Albrecht meint daraus schliessen zu können, dass jeder beliebige Satz
> >> diese Eigenschaft haben müsse, oder doch zumindest der Satz IN(x), weil
> >> ihm das gut passen würde.
>
> > Albrecht hat vermutlich den simplen Irrtum begangen, nur Sätze der
> > Form "es gibt die und die natürliche Zahl" in einer Theorie der
> > minimalen Gödelschen Komplexität vorauszusetzen.
>
> Wir werden ja sehen, welche Art von Irrtum ihm besser gefällt.
>
> Er schrieb (1):
> "Der erste gödelsche Unvollständigkeitssatz besagt, dass in einem
> widerspruchsfreien Axiomensystem, das genügend reichhaltig ist, um die
> Arithmetik (natürliche Zahlen) in der üblichen Weise aufzubauen und
> diesem weder bewiesen noch widerlegt werden können."
>
> Und folgerte daraus (2):
> Nimmt man die Peano-Arithmetik und dazu das Prädikat
> "xIstNatürlicheZahl", also INZ(x), so muss es nach Gödel für
> mindestens ein n eine Aussage der Form INZ(n) geben, die innerhalb
> dieses Systems weder beweisbar noch widerlegbar ist.
>
> Wunschdenken. Denn während in (1) steht, dass es gewisse Aussagen
> gibt, wird in (2) postuliert, es müsse auch welche der Form IN(n)
> geben. Das ist ein unzulässiger Schluss.
Ja, aber viel wichtiger ist doch, dass die ganze Gödelei hinfällig
ist. Die einzige Rechtfertigung für Cantors und Gödels Sätze wäre,
dass es das Aktual-Unendliche, also zum Beispiel die Menge aller
natürlichen Zahlen, der keine weitere hinzugefügt werden könnte, in
der Gesamtnatur (Cantor) oder "in Wirklichkeit" oder wenigstens
aufgrund irgendeiner sinnvollen Überlegung *gibt*. Das ist aber nicht
der Fall. Es gibt nichts dergleichen. Zu jeder Menge natürlicher
Zahlen (die tatsächlich angegeben und nicht hochstaplerisch hergelogen
werden) gibt es eine natürliche Zahl, die darin nicht enthalten ist.
Es gibt lediglich das dieser Tatsache widersprechende, von einer
verschwindend kleinen Gruppe von Menschen angenommene Postulat, das
auch als Unendlichkeitsaxiom bekannt ist. 99 % aller Mathematik
betreibenden Menschen benötigen es niemals und und 90 % kennen es
überhaupt nicht. Für die Mathematik selbst bietet es keinerlei
Vorteil, sondern liefert lediglich Paradoxien, wie sie schon immer von
Menschen bedacht wurden, die dem täglichen Lebenskampf weitgehend
überhoben sind, über viel müßige Zeit verfügen und für sowas ein
Faible besitzen (s. Kalenderblatt 090707).
Je mehr ich darüber nachdenke, umso unverständlicher wird mir, dass
darüber schon so viele so viel nachgedacht und scheinbar ernsthafte
Konsequenzen daraus gezogen haben.
Gruß, WM
Hermann Jurksch
> Mit dem falschen Quantor
> schlug er auf Herrn Cantor.
Und das erz�hlst Du einem Quantorenlegastheniker ... Rainer, Rainer
MfG
Hermann
Albrecht
Rainer Rosenthal <r.ros...@web.de> wrote:
> Ralf Bader schrieb:
>
> > Ja, ich lese mit, denn ich m�chte ein neues Kaffeefleckenmuster auf meiner
> > Tischdecke kreieren. Tip: Herr Storz hat um 12:48:04 mit aller
> > w�nschenswerten Deutlichkeit erkl�rt, da� er nicht den Hauch einer Ahnung
> > davon hat, was ein formales System (im G�delschen Sinne) ist. "Die
> > nat�rlichen Zahlen + INZ(x) ist ausreichend gro�, oder?" Einfach die
> > nat�rlichen Zahlen, also das Storzsche Geixel, nicht einmal eine Theorie
> > �ber diese, geschweige denn eine formale. Mehr ohne Polemik gelingt mir
> > nicht.
>
> War aber immerhin ein netter Versuch, danke.
> "Die nat�rlichen Zahlen + INZ(x) ist ausreichend gro�, oder?" ist
> f�r sich genommen schon schwach genug, da braucht es also gar keine
> falschen Quantoren.
Du scheinst ja von dem Durchblicker RB gro�e St�cke zu halten. Leider
liefert Ralf Bader nicht mehr als ein SalBader, n�mlich Salbaderei.
Falls dessen "Kommentar" doch irgendeine Substanz enthalten sollte,
kannst Du mich gerne darauf hinweisen.
Zur Info: Die nat�rlichen Zahlen k�nnen nicht "f�r sich", also als die
nat�rlichen Zahlen selbst, vorliegen (wie denn auch, sie sind
unendlich), sondern nur in Form eines entsprechenden Axiomensystems.
Damit ist, entgegen der Meinung eines Salbaders , alles vorhanden was
notwendig ist, um G�dels Satz anwendbar zu machen.
Noch ein kleiner, kl�render Hinweis: Entgegen der Illusion einiger
Mathe-Adepten muss den nat�rlichen Zahlen keine Arithmetik hinzugef�gt
werden. Wenn man es tut ist es ein rein formaler Vorgang weil irgend
welche Phantasten glauben wollen, dass die nat�rlichen Zahlen als
ungeordnete Menge vorliegen k�nnten und ohne die Existenz von Ordnung,
der Addition (und damit auch Multiplikation) zur Existenz gebracht
werden k�nnten. Das ist nat�rlich bodenloser Unsinn, und die Ansicht,
eine Nachfolgeroperation liese sich ohne Addition definieren ist
haltloser Quatsch.
Tatsache ist aber, dass die nat�rlichen Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, ... in der
Welt vorgefunden werden und die nat�rliche Ordnung, die Addition (und
damit auch die Multiplikation) beinhalten.
F�r alle Formalisten wiederhole ich aber gerne noch einmal meine
zentrale Aussage:
"
Nimmt man die Peano-Arithmetik und dazu das Pr�dikat
"xIstNat�rlicheZahl", also INZ(x), so muss es nach G�del f�r
mindestens ein n eine Aussage der Form INZ(n) geben, die innerhalb
dieses Systems weder beweisbar noch widerlegbar ist.
"
Das ist hier Thema, sonst nichts.
>
> @Albrecht: siehst Du, wir haben beide zu wenig Ahnung, um hier was
> Vern�nftiges debattieren zu k�nnen. Ich dachte ich k�nnte Dir bei
> der Quantorenverwendung helfen, aber das war nix.
>
> Ziehe mich zur�ck,
Schade. Vielleicht h�tte Deine Teilnahme an der Diskussion immerhin zu
einem K�rnchen von Ernsthaftigkeit beitragen k�nnen.
Gru�
Albrecht
> Rainer Rosenthal
> r.ros...@web.de
Albrecht
> Albrecht schrieb:
>
> > Tatsache ist aber, dass die natürlichen Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, ... in der
> > Welt vorgefunden werden
>
> Huch! Woran liegt das?
>
> Ulrich
Vielleicht daran, dass Zahlen den Urgrund unseres Seins bilden???
Gruß
Albrecht
Ralf Bader
VERDAMMTE SCHEISSE! Ich wollte doch nur mal ein anderes Kaffeefleckendesign
auf der Tischdecke! Aber doch kein Linsen- und Spätzledesign auf dem
Monitor!
Ralf
Rainer Rosenthal
> Je mehr ich darï¿œber nachdenke, umso unverstï¿œndlicher wird mir, dass
> darï¿œber schon so viele so viel nachgedacht und scheinbar ernsthafte
> Konsequenzen daraus gezogen haben.
Es ist auch nicht unbedingt leicht nachzuvollziehen, was Dich umtreibt,
dem nicht existierenden Unendlich so viel Zeit zu widmen. Immer wenn
es konkret wird (in diesem Fall ging es um die richtige Schlussfolge-
rung aus einer "es gibt" Aussage), holst Du die grosse Unendlich-ist-doof-
Keule heraus. Dass es seit etwa 150 Jahren mï¿œglich ist, ï¿œber Unendlich
auf nicht-metaphysische Weise zu reden, ist doch aber eine erstaunliche
und erfrischende Tatsache - auch wenn man nicht gleich mit Hilbert ï¿œber
ein Pardies schwï¿œrmen muss.
Eine gute Woche wï¿œnschend,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
Herbert Newman
> Albrecht schrieb:
>>
>> Tatsache ist aber, dass die nat�rlichen Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, ... in der
>> Welt vorgefunden werden
Ah, ja. Wo denn? Wo hat man denn diese Zahlen neuerdings entdeckt?
> Huch! [...]
Jo.
Herbert
Rainer Rosenthal
>> @Albrecht: siehst Du, wir haben beide zu wenig Ahnung, um hier was
>> Vernï¿œnftiges debattieren zu kï¿œnnen. Ich dachte ich kï¿œnnte Dir bei
>> der Quantorenverwendung helfen, aber das war nix.
>>
>> Ziehe mich zurï¿œck,
>
> Schade. Vielleicht hï¿œtte Deine Teilnahme an der Diskussion immerhin zu
> einem Kï¿œrnchen von Ernsthaftigkeit beitragen kï¿œnnen.
ï¿œberredet, ein (letzter?) Satz dazu:
Du beziehst Dich einerseits auf Gï¿œdel, bezeichnest aber zugleich
dessen Theorie-Unterbau als Quatsch und verunglimpfst Leute, die
sich damit auseinendersetzen und es gelernt habe als Mathe-Adepten.
Ich habe ein Mathe-Diplom und habe immerhin soviel gelernt, dass
ich unterscheiden kann, ob jemand nur so daherredet (und sei es mit
den besten weltanschaulichen Absichten) oder ob er was von der
Materie versteht.
War das ernsthaft genug?
Gruss,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
Herbert Newman
> Falls einer mitliest, der sich nicht zu schade ist, kl�rende Worte mit
> einem Minimum an Polemik einzustreuen, lade ich ihn herzlich dazu ein.
Hallo Rainer!
Nehmen wir als System mal ZFC (das ist ausreichend komplex). Nun gibt es
(wie wir wissen) in ZFC in der Tat nicht-entscheidbare Aussagen, d. h.
Aussagen, wo weder die Aussage selbst, noch deren Negation aus den Axiomen
hergeleitet werden kann. (Z. B. ist die sog. "Kontinuumshypothese" so eine
Behauptung.) Andererseits kann man aber in ZFC eine Menge N definieren, die
man �blicherweise /die Menge der nat�rlichen Zahlen/ nennt. F�r diese Menge
(zusammen mit der Menge 0, die leere Menge, und eine entsprechend defi-
nierte Nachfolgeroperation s) kann man zeigen, dass sie die Peano-Axiome
erf�llt. Au�erdem kann man definieren:
x ist eine nat�rliche Zahl :<-> x e N.
Warum jetzt "der G�delsche Satz" zeigt (bzw. zeigen soll), dass es eine/die
Menge der nat�rlichen Zahlen (N) in ZFC _nicht_ gibt, w�re jetzt von Sancho
Albrecht Pansa noch zu zeigen/erkl�ren.
Ich kann mich nur Ralf Baders Meinung anschlie�en, dass "Herr Storz [...]
nicht den Hauch einer Ahnung davon hat", worum es bei G�dels S�tzen geht.
MfG,
Herbert
P.S. Mehr als einen Hauch Ahnung hab ich zwar auch nicht. Aber das ist
immerhin mehr als GAR KEINE Ahnung... ;-)
Herbert Newman
> Dass es seit etwa 150 Jahren m�glich ist, �ber Unendlich auf nicht-
> metaphysische Weise zu reden, ist doch aber eine erstaunliche und
> erfrischende Tatsache
Sehr sch�n formuliert / auf den Punkt gebracht!
> - auch wenn man nicht gleich mit Hilbert �ber ein Paradies schw�r-
> men muss.
Nun aus mathematischer Sicht hat er aber doch Recht (gehabt)!
Die moderne Mathematik ist ohne Mengenlehre _undenkbar_.
MfG,
Herbert
Albrecht
> Albrecht schrieb:
>
> >> @Albrecht: siehst Du, wir haben beide zu wenig Ahnung, um hier was
> >> der Quantorenverwendung helfen, aber das war nix.
>
>
> > Schade. Vielleicht hätte Deine Teilnahme an der Diskussion immerhin zu
> > einem Körnchen von Ernsthaftigkeit beitragen können.
>
> Überredet, ein (letzter?) Satz dazu:
> Du beziehst Dich einerseits auf Gödel, bezeichnest aber zugleich
> dessen Theorie-Unterbau als Quatsch und verunglimpfst Leute, die
> sich damit auseinendersetzen und es gelernt habe als Mathe-Adepten.
> Ich habe ein Mathe-Diplom und habe immerhin soviel gelernt, dass
> ich unterscheiden kann, ob jemand nur so daherredet (und sei es mit
> den besten weltanschaulichen Absichten) oder ob er was von der
> Materie versteht.
>
> War das ernsthaft genug?
>
> Gruss,
> Rainer Rosenthal
Wo nimmt Gödel aktuale Unendlichkeit in Anspruch? Du quatscht doch nur
halbgares Zeug daher. Leider ist anscheinend kein dsm-Teilnehmer fähig
oder willens zu meiner Aussage inhaltlich Stellung zu nehmen.
Was bitte ist an meiner Argumentation falsch? Du, und die Üblichen
Durchblicker, zeigt bisher keinen Fatz von Argument.
Noch einen Hinweis: Ein System, das die von Gödel nachgewiesenen
Eigenschaften besitzt muss nicht so komplex sein, wie das von Gödel
untersuchte. Die von Gödel geforderte Bedingung ist nur, dass das
System mächtig genug sein muss, um die Arithmetik zu beinhalten.
Geanus das ist in meinem Argument gewährleistet.
Gruß
Albrecht
Rainer Rosenthal
> Wo nimmt Gï¿œdel aktuale Unendlichkeit in Anspruch? Du quatscht doch nur
> halbgares Zeug daher.
Das habe ich ja auch bereits zugestanden. Aber das einzige, was bei Dir
kocht, bist Du selbst.
Und Tschￜ
Herbert Newman
>> Tatsache ist aber, dass die nat�rlichen Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, ... in der
>> Welt vorgefunden werden. (Sancho Albrecht Pansa)
Wobei sich mir allerdings die Frage stellt, wie etwas, das nicht der Fall
ist, eine Tatsache sein kann. :-)
"Die Zahlen sind freie Sch�pfungen des menschlichen Geistes..."
(Richard Dedekind, Was sind und was sollen Zahlen?)
Herbert
P.S. Sind neuerdings die _Naturforscher_ dabei, nach nat�rliche Zahlen zu
suchen? Welches ist denn die gr��te, die man bisher (vor-)gefunden hat? :-)
Herbert Newman
> Aber das einzige, was bei Dir kocht, bist Du selbst.
Aber, aber.
Wo doch seine These ist, dass
"mindestens ein Objekt existiert, f�r das nicht gekl�rt werden kann,
ob es eine nat�rliche Zahl ist oder nicht."
Woraus nat�rlich zwingend folgt, dass es die Menge der nat�rlichen Zahlen
nicht gibt (!!!), ja gar nicht geben kann!!!
Du musst Dir das so vorstellen: Da steht eine Gruppe von Mathematikern
zusammen, und einer h�lt ein mathematisches Objekt hoch und fragt (sich und
die anderen): Ist das eine nat�rliche Zahl (oder nicht)? Nach eingehender
Begutachtung des Objekts (Untersuchung des Gewichts, der Farbe, der
Oberfl�chenbeschaffenheit, etc.) kommen die Mathematiker zu dem Schluss,
dass sie nicht kl�ren k�nnen, ob es sich dabei um eine nat�rliche Zahl
handelt oder nicht, und sie m�ssen zugestehen, dass sie (daher) auch nicht
wissen, ob das Objekt nun Element der Menge der nat�rlichen Zahlen ist oder
nicht. Schlimm, schlimm das!!! (Usw. usf.)
Man merkt an obiger Bemerkung unschwer, dass Sancho Albrecht Pansa so viel
Ahnung von Mathematik hat, wie ein Fisch vom Fahrradfahren.
Herbert
Herbert Newman
> Es ist auch nicht unbedingt leicht nachzuvollziehen, was Dich umtreibt,
Ich denke, ein Psychiater (der mit dem Fall vertraut ist) k�nnte Dir da
mehr dazu sagen.
Herbert
Ulrich D i e z
> Am Sun, 6 Sep 2009 20:11:04 +0200 schrieb Ulrich D i e z:
Keiner der im folgenden von dir zitierten S�tze stammt von mir,
aber einer davon stammt von Albrecht. Warum hast du nicht auf
Albrecht direkt geantwortet, sondern auf mich Bezug genommen?
> >> Tatsache ist aber, dass die nat�rlichen Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, ... in der
> >> Welt vorgefunden werden. (Sancho Albrecht Pansa)
Den "(Sancho Albrecht Pansa)" da oben hast _du_ hinzugef�gt.
Die Art und Weise, wie du dabei quotest, deutet f�r mich darauf
hin, dass du wolltest, dass damit verbundene Kritik weniger dir
angelastet, daf�r aber mehr mit mir in Verbindung gebracht wird.
> Wobei sich mir allerdings die Frage stellt, wie etwas, das nicht der Fall
> ist, eine Tatsache sein kann. :-)
[Was soll eigentlich der Smiley?]
Es kommt vielleicht darauf an, was alles unter "Welt" subsummiert
wird und welchen Umst�nden man das Merkmal zuschreibt,
"vorfindbar" zu sein.
Ich finde "nat�rliche Zahlen" in von mir gehabten und/oder nachvoll-
zogenen Ideen, aber die sind ja vielleicht nicht jederwesens/die Welt...
> "Die Zahlen sind freie Sch�pfungen des menschlichen Geistes..."
>
> (Richard Dedekind, Was sind und was sollen Zahlen?)
(Wie) Hat Dedekind diese Aussage bewiesen?
Ulrich
Herbert Newman
> Ich habe ein Mathe-Diplom und habe immerhin soviel gelernt, dass
> ich unterscheiden kann, ob jemand nur so daherredet (und sei es mit
> den besten weltanschaulichen Absichten) oder ob er was von der
> Materie versteht.
Aber das tut Albrecht doch!
"Tatsache ist aber, dass die nat�rlichen Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, ...
in der Welt vorgefunden werden."
Das liegt ("vielleicht") daran,
"dass Zahlen den Urgrund unseres Seins bilden".
Eine weitere Albrechtsche Einsicht:
"Die Null negiert die Einheit. Null mal ein Etwas ist nichts. Erst die
Einheit bringt etwas hervor."
(Daher ist die Null, laut Albrecht, auch keine nat�rliche Zahl!)
Wie hier schon mal jemand schrieb: Das ist _ganz gro�e Mathematik_!
Herbert
Roalto
wrote:
>[snip]
>Wo nimmt G�del aktuale Unendlichkeit in Anspruch? Du quatscht doch nur
>halbgares Zeug daher. Leider ist anscheinend kein dsm-Teilnehmer f�hig
>oder willens zu meiner Aussage inhaltlich Stellung zu nehmen.
>[Snip]
>Gru�
>Albrecht
Viel Spass weiterhin
Rolf
--
Wo Frauen geehrt werden,
sind die G�tter zufrieden.
WM
> In article <7ghrq3F2oqh1...@mid.individual.net>,> > > Ja, ich lese mit, denn ich möchte ein neues Kaffeefleckenmuster auf meiner
> > > Tischdecke kreieren. Tip: Herr Storz hat um 12:48:04 mit aller
> > > davon hat, was ein formales System (im Gödelschen Sinne) ist. "Die
> > > natürlichen Zahlen + INZ(x) ist ausreichend groß, oder?" Einfach die
> > > über diese, geschweige denn eine formale. Mehr ohne Polemik gelingt mir
> > > nicht.
>
> > War aber immerhin ein netter Versuch, danke.
> > für sich genommen schon schwach genug, da braucht es also gar keine
> > falschen Quantoren.
>
> Du scheinst ja von dem Durchblicker RB große Stücke zu halten.
Tatsächlich verwechselt er aktuale Unendlichkeit und imprädikable
Definition, was schon deshalb, wie leicht ersichtlich, falsch sein
muss, weil imprädikable Definitionen auf endlichen Mengen stattfinden
können.
Gruß, WM
Ralf Bader
Ihre einzig erkennbare Kompetenz besteht in verleumderischer
Wortverdreherei.
--
How lucky we are that Cantor introduced curly brackets! But it was no
he who introduced the silly distinction between a and {a} that enables
so called mathematicians to build card houses on nothing.
(Prof. Dr. Wolfgang Mückenheim, FH Augsburg, in sci.math, 03/13/09)
Herbert Newman
>> "Die Zahlen sind freie Sch�pfungen des menschlichen Geistes..."
>>
>> (Richard Dedekind, Was sind und was sollen Zahlen?)
>>
> Hat Dedekind diese Aussage bewiesen?
??? Es handelt sich hier ganz offenbar nicht um eine _beweisbare_ bzw.
mathematische Aussage, sondern eine _philosophische_ Aussage - also um
etwas, wovon er als denkender Mensch und Mathematiker �berzeugt war.
Und in der Tat gibt es viele gute Gr�nde "die Dinge" so zu
sehen/betrachten; zumindest ist diese Auffassung -anders als Albrechts
Geschwalle- nicht offensichtlich unsinnig. :-)
Hier ein etwas vollst�ndigeres Zitat:
"Die Zahlen sind freie Sch�pfungen des menschlichen Geistes, sie dienen als
Mittel, um die Verschiedenheit der Dinge leichter und sch�rfer aufzufassen.
Durch den rein logischen Aufbau der Zahlenwissenschaft und durch das in ihr
gewonnene stetige Zahlenreich sind wir erst in den Stand gesetzt, unsere
Vorstellungen von Raum und Zeit genau zu untersuchen, indem wir dieselben
auf dieses in unserem Geiste geschaffene Zahlenreich beziehen."
(Richard Dedekind, Was sind und was sollen Zahlen?)
Herbert
WM
> > Konsequenzen daraus gezogen haben.
>
> Es ist auch nicht unbedingt leicht nachzuvollziehen, was Dich umtreibt,
> dem nicht existierenden Unendlich so viel Zeit zu widmen.
Das ist mein Steckenpferd (wie man früher zu sagen pflegte).
> Immer wenn
> es konkret wird (in diesem Fall ging es um die richtige Schlussfolge-
> rung aus einer "es gibt" Aussage), holst Du die grosse Unendlich-ist-doof-
> Keule heraus.
Rainer, das ist nun ungerecht! Erstens habe ich zu Deinen Argumenten
dreimal "ja" gesagt - das letzte Mal sogar wörtlich.
Zweitens benutze ich keine Keule sondern allenfalls ein Florett.
Drittens argumentiere ich meistens nicht selbst, sondern zeige die
Meinung vieler kluger Menschen. (Siehe dazu auch das Kalenderblatt von
übermorgen.) Denn bei Lektüre der veröffentlichte Meinung, kann man
sich wirklich, wie Eckardt Blumschein einstens bemerkte, bei ML an
Marxismus-Leninismus erinnert fühlen.
> Dass es seit etwa 150 Jahren möglich ist, über Unendlich
> auf nicht-metaphysische Weise zu reden, ist doch aber eine erstaunliche
> und erfrischende Tatsache
Das hat man vorher auch schon und genau so wissenschaftlich getan. (s.
das übermorgige Kalenderblatt).
- auch wenn man nicht gleich mit Hilbert über
> ein Pardies schwärmen muss.
>
> Eine gute Woche wünschend,
Die wünsche ich Dir auch. Ich bin noch in einem wunderschönen
Harzurlaub, dort wo auch Cantor zuweilen gern zu weilen pflegte.
Gruß, WM
Rainer Rosenthal
> Rainer Rosenthal wrote:
>> Er schrieb (1): [...]
>>
>> Und folgerte daraus (2): [...]
>>
>> Denn wï¿œhrend in (1) steht, dass es gewisse Aussagen
>> gibt, wird in (2) postuliert, es mï¿œsse auch welche der Form IN(n)
>> geben. Das ist ein unzulï¿œssiger Schluss.
>
> Ja, aber viel wichtiger ist doch, dass ...
Oh, sorry - bzw. nach ï¿œlterer Sprechweise Verzeihung - dieses "Ja"
war mir tatsï¿œchlich entgangen.
Schï¿œnen Urlaub im Harz,
Gruss,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
P.S. an Albrecht: ï¿œtsch!
Albrecht
> On Mon, 7 Sep 2009 11:09:08 +0200, Ulrich D i e z wrote:
>
>
> >> (Richard Dedekind, Was sind und was sollen Zahlen?)
>
> > Hat Dedekind diese Aussage bewiesen?
>
> ??? Es handelt sich hier ganz offenbar nicht um eine _beweisbare_ bzw.
> mathematische Aussage, sondern eine _philosophische_ Aussage - also um
> Und in der Tat gibt es viele gute Gründe "die Dinge" so zu
> sehen/betrachten; zumindest ist diese Auffassung -anders als Albrechts
> Geschwalle- nicht offensichtlich unsinnig. :-)
Franzicus weiß zwar selbst, dass es genaus so viele gute Gründe gibt
anzunehmen, dass unsere Welt auf Zahlen basiert und dass es genau so
viele herausragende Denker gibt, die diese Ansicht unterstützen (z.B.
R. Taschner), aber
for the sake of Dummschwatz
wird diese Tatsache in Franzicus Kopf einfach kurzerhand verdrängt.
Ein klassischer Fall von doublethink.
Um etwas Substanz dagegenzuhalten: Die Ansicht Dedekinds leidet an der
Tatsache, dass die Zahlen auf unsere Wirklichkeit angewendet werden
können. Wie ist das möglich, wenn sie doch willkürliche, von der
Realität völlig unabhängige Setzungen darstellen?
Gruß
Albrecht
>
> Hier ein etwas vollständigeres Zitat:
>
> "Die Zahlen sind freie Schöpfungen des menschlichen Geistes, sie dienen als
> Mittel, um die Verschiedenheit der Dinge leichter und schärfer aufzufassen.
Herbert Newman
> WM schrieb:
>>
>> Rainer Rosenthal wrote:
>>>
>>> Er [Albrecht] schrieb (1): [...]
>>> Und folgerte daraus (2): [...]
>>>
>>> Denn w�hrend in (1) steht, dass es gewisse Aussagen gibt,
>>> wird in (2) postuliert, es m�sse auch welche der Form IN(n)
>>> geben. Das ist ein unzul�ssiger Schluss.
>>>
>> Ja, aber viel wichtiger ist doch, dass ...
>>
> Oh, sorry - bzw. nach �lterer Sprechweise Verzeihung - dieses "Ja"
> war mir tats�chlich entgangen.
Weil Du eben das "gelesen" hast, was er _meinte_, und nicht das, was er
_schrieb_, denke ich mal.
Gru�,
Herbert
Rainer Willis
> On 7 Sep., 19:17, Herbert Newman <nomail@invalid> wrote:
[...]
> Um etwas Substanz dagegenzuhalten: Die Ansicht Dedekinds leidet an der
> Tatsache, dass die Zahlen auf unsere Wirklichkeit angewendet werden
> k�nnen. Wie ist das m�glich, wenn sie doch willk�rliche, von der
> Realit�t v�llig unabh�ngige Setzungen darstellen?
Das ist in der Tat eine berechtigte Frage, die mich manchmal auch
umtreibt. Warum l�sst sich die Mathematik "so sch�n" auf die
Wirklichkeit anwenden? W�r sie der Natur einfach abgekuckt, h�tten wir
keine Probleme, aber das ist sie ja nicht.
Wieso finden sich zun�chst exotisch anmutende Objekte wie komplexe
Zahlen oder nicht-euklidische Geometrien (etwa in Form imagin�rer Massen
oder Raumkr�mmung) in der Wirklichkeit wieder? Ganz zu schweigen von der
Quantenmechanik. Selbstverst�ndlich ist das nicht.
Dennoch zweifel ich nicht daran, das Zahlen (im besten Sinne)
Hirngespinste, eben "freie Sch�pfungen des Geistes" sind.
>> Hier ein etwas vollst�ndigeres Zitat:
>>
>> "Die Zahlen sind freie Sch�pfungen des menschlichen Geistes, sie dienen als
>> Mittel, um die Verschiedenheit der Dinge leichter und sch�rfer aufzufassen.
>> Durch den rein logischen Aufbau der Zahlenwissenschaft und durch das in ihr
>> gewonnene stetige Zahlenreich sind wir erst in den Stand gesetzt, unsere
>> Vorstellungen von Raum und Zeit genau zu untersuchen, indem wir dieselben
>> auf dieses in unserem Geiste geschaffene Zahlenreich beziehen."
>>
>> (Richard Dedekind, Was sind und was sollen Zahlen?)
Die Idee, dass sie und die daraus folgende Mathematik der Wirklichkeit
irgendwie entnommen wurden, halt ich n�mlich f�r noch abstruser.
Gru� Rainer
private.scholar
> Albrecht schrieb:
>>
> > Wo nimmt Gödel aktuale Unendlichkeit in Anspruch? Du quatscht doch nur
> > halbgares Zeug daher.
>
> Das habe ich ja auch bereits zugestanden. Aber das einzige, was bei Dir
> kocht, bist Du selbst.
Bevor die Wogen zu hoch gehen will ich einmal versuchen zu
vermitteln :-)
Rainer, lass dir doch einfach von Herrn Albrecht die Gödel-Nummer
der von ihm nachgewiesenen kontradiktorischen Aussage geben.
(Schließlich reden wir ja über Eigenschaften formaler Systeme und
nicht über Bäcker Kunzes Rechenregeln.)
Dann rechnest du mit deinem geliebten Excel-Programm aus, welche
Zahl sich dahinter verbirgt.
Wenn diese Zahl jenseits der WM'schen Existenzgrenze liegt, dann
hat Herr Albrecht gewonnen, ansonsten der Rest der Welt.
Ein fairer Kompromiss?
Rainer Rosenthal
> Rainer Rosenthal wrote:
>> Albrecht schrieb:
>>> halbgares Zeug daher.
>> Das habe ich ja auch bereits zugestanden. Aber das einzige, was bei Dir
>> kocht, bist Du selbst.
>
> Bevor die Wogen zu hoch gehen will ich einmal versuchen zu
> vermitteln :-)
>
> der von ihm nachgewiesenen kontradiktorischen Aussage geben.
> nicht ï¿œber Bï¿œcker Kunzes Rechenregeln.)
>
> Dann rechnest du mit deinem geliebten Excel-Programm aus, welche
> Zahl sich dahinter verbirgt.
>
> Wenn diese Zahl jenseits der WM'schen Existenzgrenze liegt, dann
> hat Herr Albrecht gewonnen, ansonsten der Rest der Welt.
>
> Ein fairer Kompromiss?
Ja, durchaus. Allerdings ist Albrecht der Vorname, und der Herr heisst
Storz, Albrecht Storz. Im ï¿œbrigen haben formale Systeme nur dann eine
Existenzberechtigung, wenn darin Bï¿œcker Kunzes Rechenregeln im unitï¿œren
Zahlensystem formulierbar und unmittelbar einsichtig sind. Da bin ich
mit Herrn Storz einig, wollte lediglich auf den Unterschied von "es gibt"
und "fï¿œr alle" hinweisen. Bisher haben noch *alle* anderen Diskutanten
beigepflichtet, dass im Ursprungsposting eine solche Verwechslung vor-
lag. Es ging mir also nur darum, Albrecht darauf hinzuweisen, dass
diese kontradiktorische Aussage nicht vom Baum fï¿œllt, bloss weil er meint,
das mï¿œsse aber nach alledem der Fall sein, was er von Herrn Gï¿œdel gehï¿œrt
bzw. gelesen habe (aus n-ter Hand, n > 0).
Gruss,
Rainer
________________________________________________________________________
Rainer Rosenthal r.ros...@web.de
Dï¿œdel-Nummer 62 in http://www.azspcs.net/Contest/PointPacking/Standings
private.scholar
> Ja, durchaus. Allerdings ist Albrecht der Vorname, und der Herr heisst
> Storz, Albrecht Storz.
Interessiert mich nicht, ich rede die Leute so an, wie sie sich selbst
bezeichnen,
und 'Herr' ist ein Ehrentitel, den ich hier höchstens zweimal vergeben
habe.
Ich habe außerdem immer versucht zu vermeiden den vollen Namen in
einem Posting
zu schreiben -- es gibt gute Gründe dafür, wie du den einschlägigen
Newsgroup-FAQs
entnehmen kannst.
> Im übrigen haben formale Systeme nur dann eine
> Existenzberechtigung, wenn darin Bäcker Kunzes Rechenregeln im unitären
> Zahlensystem formulierbar und unmittelbar einsichtig sind.
Formal Systeme sind ein weites Feld... Bäcker Kunzes und Herrn
Albrechts
Rechenregeln sind da aber keine bekannten Beispiele.
> .. wollte lediglich auf den Unterschied von "es gibt"
> und "für alle" hinweisen. Bisher haben noch *alle* anderen Diskutanten
> beigepflichtet, dass im Ursprungsposting eine solche Verwechslung vorlag.
Das ist mir schon klar. Und ja auch nicht falsch. Nur in einem
formalen System könnte und sollte man grundsätzlich den Finger
genauer auf die Wunde legen können. Wurde nicht eine Zeitlang
die goldbachsche Vermutung als ein ernsthafter Kandidat für so
eine Aussage gehandelt?
> das müsse aber nach alledem der Fall sein, was er von Herrn Gödel gehört
> bzw. gelesen habe (aus n-ter Hand, n > 0).
Auf Wikipedia steht's. Die Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0
hat nur
zwei Bedingungen: die eine ist Namensnennung, also Wikipedia hier.
> Dödel-Nummer 62 inhttp://www.azspcs.net/Contest/PointPacking/Standings
Wahsinn, wen du alles abgehängt hast! Sogar den Müncher Ing.
Düsentrieb ;-))
Eben der tägliche Wahsinn hier, zwischen Dödel und Gödel.
Rainer Rosenthal
> Wahnsinn, wen du alles abgehï¿œngt hast! Sogar den Mï¿œncher Ing.
> Dï¿œsentrieb ;-))
> Eben der tï¿œgliche Wahsinn hier, zwischen Dï¿œdel und Gï¿œdel.
Nee, nee, Dï¿œsentrieb hat ein Labor voller fieser Dinge, die er genï¿œsslich
poliert, bevor er sie in die Vitrine stellt. Diese Dinger sind ï¿œdel,
ï¿œh, edel!
Gruss,
Rainer
Albrecht
>
>
>
>
>
> > Rainer Rosenthal wrote:
> >> Albrecht schrieb:
> >>> halbgares Zeug daher.
> >> Das habe ich ja auch bereits zugestanden. Aber das einzige, was bei Dir
> >> kocht, bist Du selbst.
>
> > Bevor die Wogen zu hoch gehen will ich einmal versuchen zu
> > vermitteln :-)
>
> > der von ihm nachgewiesenen kontradiktorischen Aussage geben.
> > nicht über Bäcker Kunzes Rechenregeln.)
>
> > Dann rechnest du mit deinem geliebten Excel-Programm aus, welche
> > Zahl sich dahinter verbirgt.
>
> > Wenn diese Zahl jenseits der WM'schen Existenzgrenze liegt, dann
> > hat Herr Albrecht gewonnen, ansonsten der Rest der Welt.
>
> > Ein fairer Kompromiss?
>
> Ja, durchaus. Allerdings ist Albrecht der Vorname, und der Herr heisst
> Existenzberechtigung, wenn darin Bäcker Kunzes Rechenregeln im unitären
> mit Herrn Storz einig, wollte lediglich auf den Unterschied von "es gibt"
> beigepflichtet, dass im Ursprungsposting eine solche Verwechslung vor-
> lag. Es ging mir also nur darum, Albrecht darauf hinzuweisen, dass
> das müsse aber nach alledem der Fall sein, was er von Herrn Gödel gehört
> bzw. gelesen habe (aus n-ter Hand, n > 0).
>
> Gruss,
> Rainer
> ________________________________________________________________________
> Dödel-Nummer 62 inhttp://www.azspcs.net/Contest/PointPacking/Standings- Zitierten Text ausblenden -
>
> - Zitierten Text anzeigen -
Okay, ich akzeptiere mal als Arbeitshypothese, dass meine Behauptung
falsch ist. Ich möchte nur noch gerne verstehen, warum das so sein
soll.
Also noch einmal: jedes Axiomensystem, dass mächtig genug ist die
Arithmetik zu enthalten, enthält unentscheidbare Aussagen.
Stimmt das so, oder nicht?
Nun nehmen wir mein vorgeschlagenes System: Peano-Arithmetik + INZ(x):
Entspricht dieses System dem von Gödel geforderten Axiomensystem, oder
entspricht es dem nicht?
Enthält dieses System dann Aussagen der Form INZ(m) mit m ist
natürliche Zahl die unentscheidbar sind oder nicht?
Wenn dieses System nicht Aussagen dieser Form enthält die
unentscheidbar sind, welche Art von Aussagen in diesem System
entprechen dann dem Satz von Gödel?
Vielleicht mag darauf jemand kompetent und inhaltlich Antworten.
Danke.
Gruß
Albrecht
Rainer Rosenthal
> Okay, ich akzeptiere mal als Arbeitshypothese, dass meine Behauptung
> falsch ist. Ich mï¿œchte nur noch gerne verstehen, warum das so sein
> soll.
> Also noch einmal: jedes Axiomensystem, dass mï¿œchtig genug ist die
> Arithmetik zu enthalten, enthï¿œlt unentscheidbare Aussagen.
> Stimmt das so, oder nicht?
Das ist schon mal garantiert falsch. Eine Aussage des Systems, das
auf dem Axiomensystem beruht, wird entscheidbar genannt, wenn sie
sich aus den Axiomen ableiten lï¿œsst. Das Axiomensystem selbst
enthï¿œlt also keine unentscheidbaren Aussagen, weil die Herleitung
ja trivial ist.
> Nun nehmen wir mein vorgeschlagenes System: Peano-Arithmetik + INZ(x):
>
> Entspricht dieses System dem von Gï¿œdel geforderten Axiomensystem, oder
> entspricht es dem nicht?
Ja, so ungefï¿œhr.
Gruss,
RR
Albrecht
> Albrecht schrieb:
>
> > Okay, ich akzeptiere mal als Arbeitshypothese, dass meine Behauptung
> > soll.
> > Also noch einmal: jedes Axiomensystem, dass mächtig genug ist die
> > Arithmetik zu enthalten, enthält unentscheidbare Aussagen.
> > Stimmt das so, oder nicht?
>
> Das ist schon mal garantiert falsch. Eine Aussage des Systems, das
> auf dem Axiomensystem beruht, wird entscheidbar genannt, wenn sie
> enthält also keine unentscheidbaren Aussagen, weil die Herleitung
> ja trivial ist.
Ich lese z.B. hier (R. Goldstein: Kurt Gödel, München (Piper, 2006),
S. 186:
"In jedem formalen System, das zumindest die elementare Zahlentheorie
umfaßt, gibt es beweisbar unbeweisbare Sätze, die unter der
Voraussetzung der Widerspruchsfreiheit des Systems dennoch wahr sind.
Das ist Gödels erster Unvollständigkeitssatz."
?
Gruß
Albrecht
>
> > Nun nehmen wir mein vorgeschlagenes System: Peano-Arithmetik + INZ(x):
>
> > Entspricht dieses System dem von Gödel geforderten Axiomensystem, oder
> > entspricht es dem nicht?
>
> Ja, so ungefähr.
>
> Gruss,
> RR
WM
> Albrecht schrieb:
>
> > On 7 Sep., 19:17, Herbert Newman <nomail@invalid> wrote:
>
> [...]
>
> > Um etwas Substanz dagegenzuhalten: Die Ansicht Dedekinds leidet an der
> > Tatsache, dass die Zahlen auf unsere Wirklichkeit angewendet werden
>
> Das ist in der Tat eine berechtigte Frage, die mich manchmal auch
> Wirklichkeit anwenden? Wär sie der Natur einfach abgekuckt, hätten wir
> keine Probleme, aber das ist sie ja nicht.
Natürlich ist sie das. Andernfalls könnten wir, wie in Träumen, alle
beliebigen Resultate erhalten.
> Wieso finden sich zunächst exotisch anmutende Objekte wie komplexe
> Zahlen oder nicht-euklidische Geometrien (etwa in Form imaginärer Massen
> oder Raumkrümmung) in der Wirklichkeit wieder? Ganz zu schweigen von der
> Quantenmechanik. Selbstverständlich ist das nicht.
Wo finden sich imaginäre Zahlen? Wo findet sich Raumkrümmung? Und was
ist mit der Quantenmechanik?
Imaginäre Zahlen sind zweckmäßig, um z.B. in der Elektrodynamik oder
in der Quantenmechanik Dinge zu beschreiben, die andernfalls etwas
mehr Aufwand erfordern würden. Ich merke das jedes Jahr sehr deutlich,
wenn ich die DGL der erzwungenen Schwingung ohne komplexe Zahlen
behandeln muss (weil die Studiosi in Mathematik noch nicht so weit
sind). Die Annahme eines "gekrümmten Raums" ist zweckmäßig, wenn man
ART betreibt. Eine Berechnung der Bahnen ohne diese Annahme ist
lediglich komplizierter.
>
> Dennoch zweifel ich nicht daran, das Zahlen (im besten Sinne)
> Hirngespinste, eben "freie Schöpfungen des Geistes" sind.
Und warum ist 1 + 2 immer gleich 2 + 1? Wenn wir frei wären, könnte
auch mal 5 oder ein Gedicht rauskommen.
>
> >> Hier ein etwas vollständigeres Zitat:
>
> >> "Die Zahlen sind freie Schöpfungen des menschlichen Geistes, sie dienen als
> >> Mittel, um die Verschiedenheit der Dinge leichter und schärfer aufzufassen.
> >> Durch den rein logischen Aufbau der Zahlenwissenschaft und durch das in ihr
> >> gewonnene stetige Zahlenreich sind wir erst in den Stand gesetzt, unsere
> >> Vorstellungen von Raum und Zeit genau zu untersuchen, indem wir dieselben
> >> auf dieses in unserem Geiste geschaffene Zahlenreich beziehen."
>
> >> (Richard Dedekind, Was sind und was sollen Zahlen?)
>
> Die Idee, dass sie und die daraus folgende Mathematik der Wirklichkeit
> irgendwie entnommen wurden, halt ich nämlich für noch abstruser.
Das Gerüst wurde der Wirklichkeit entnommen. Es begann mit dem
Erfinden von Zahlwörtern und dem Zählen. Die Addition ist an der
Wirklichkeit orientiert. Besitzt der Bräutigam 30 Schafe und die Braut
20 Schafe, so haben beide zusammen 50 Schafe, jedenfalls wenn die
Zählung unmittelbar vor der Hochzeit erfolgte. Mit Morgen Landes ist
es unproblematischer. 3 und 4 ergeben 7. Das ist eine Definition von
7. Natürlich hätte man das Zahlwort auch anders nennen können. Da die
Realität konsistent ist, ist jedenfalls sicher, dass auch 2 und 5 =
anders = 1 und 6. Mit Axiomen von Peano oder sonst wem hat das
überhaupt nichts zu tun. Die bilden allenfalls die Realität nach.
(Falls die Mathematik realitätsfrei wäre, könnte ja 3 + 4 = 8 der
zuweilen 9 sein. Allein die harte Realität verhindert dies, denn sie
allein *beweist*, dass (mit den gewählten Bezeichnungen) 3 + 4 = 7. Da
beißt kein Mathematiker einen Faden ab.
Das Gerüst ist also der Wirklichkeit entnommen. Dann gab es sinnvolle
(z. B. negative Zahlen) und sinnlose (z. B. unendliche Zahlen)
Extrapolationen.
Gruß, WM
Rainer Rosenthal
> On 9 Sep., 15:18, Rainer Rosenthal <r.rosent...@web.de> wrote:
>> Albrecht schrieb:
>>
>>> Okay, ich akzeptiere mal als Arbeitshypothese, dass meine Behauptung
>>> soll.
>>> Also noch einmal: jedes Axiomensystem, dass mï¿œchtig genug ist die
>>> Arithmetik zu enthalten, enthï¿œlt unentscheidbare Aussagen.
>>> Stimmt das so, oder nicht?
>> Das ist schon mal garantiert falsch. Eine Aussage des Systems, das
>> auf dem Axiomensystem beruht, wird entscheidbar genannt, wenn sie
>> ja trivial ist.
>
>
> Ich lese z.B. hier (R. Goldstein: Kurt Gï¿œdel, Mï¿œnchen (Piper, 2006),
> S. 186:
> "In jedem formalen System, das zumindest die elementare Zahlentheorie
> Voraussetzung der Widerspruchsfreiheit des Systems dennoch wahr sind.
>
> ?
>
Ja, gut, schon klar. Aber Du wolltest darauf hinaus, dass Dein spezielles
INZ(x) ein solcher unbeweisbarer Satz sein mï¿œsse. Und das kannst Du hieraus
nun mal nicht ableiten. Wenn Du die elementare Zahlentheorie erweitern
willst, dann genï¿œgt es nicht, ein solches INZ(x) dazu zu rï¿œhren, denn damit
hast Du noch lange kein formales System. Ein formales System, das Dein INZ(x)
und die elementare Zahlentheorie umfasst, ist so komplex, dass es darin
fiese (d.h. unbeweisbare) Sï¿œtze gibt. Warum aber muss nun ausgerechnet INZ(x)
fies sein?
Gruss,
RR
Herbert Newman
> Wurde nicht eine Zeitlang die goldbachsche Vermutung als ein
> ernsthafter Kandidat f�r so eine Aussage gehandelt?
Naja, _ausschlie�en_ kann man das ja (bislang) auch nicht. (Wenn ich mich
recht erinnere, habe ich mal eine Spekulation in dieser Richtung in Bezug
auf den letzten Fermatschen Satz gesehen, bevor... :-)
Herbert
Herbert Newman
>> Die Ansicht Dedekinds leidet an der Tatsache, dass die Zahlen
>> auf unsere Wirklichkeit angewendet werden k�nnen. Wie ist das
>> m�glich, wenn sie doch willk�rliche, von der Realit�t v�llig
>> unabh�ngige Setzungen darstellen? [Albrecht]
???
Leseschw�che auch noch?
Hier nochmal:
"Die Zahlen sind freie Sch�pfungen des menschlichen Geistes, sie dienen als
Mittel, um die Verschiedenheit der Dinge leichter und sch�rfer aufzufassen.
Durch den rein logischen Aufbau der Zahlenwissenschaft und durch das in ihr
gewonnene stetige Zahlenreich sind wir erst in den Stand gesetzt, unsere
Vorstellungen von Raum und Zeit genau zu untersuchen, indem wir dieselben
auf dieses in unserem Geiste geschaffene Zahlenreich beziehen."
(Richard Dedekind, Was sind und was sollen Zahlen?)
Aber ich gestehe zu, dass das Wort "frei" hier eventuell Verwirrung
stiftet, die eigentliche Aussage ist also:
"Die Zahlen sind [...] Sch�pfungen des menschlichen Geistes, sie dienen als
Mittel, um die Verschiedenheit der Dinge leichter und sch�rfer aufzufassen.
Durch den rein logischen Aufbau der Zahlenwissenschaft und durch das in ihr
gewonnene stetige Zahlenreich sind wir erst in den Stand gesetzt, unsere
Vorstellungen von Raum und Zeit genau zu untersuchen, indem wir dieselben
auf dieses in unserem Geiste geschaffene Zahlenreich beziehen."
@Albrecht: Klarer jetzt?
> Dennoch zweifel ich nicht daran, das Zahlen (im besten Sinne)
> Hirngespinste, eben "freie Sch�pfungen des Geistes" sind.
Ja.
Allerdings eben zu einem bestimmten Zweck "geschaffen": "Sie dienen als
Mittel, um die Verschiedenheit der Dinge leichter und sch�rfer aufzu-
fassen."
Das leuchtet ein.
Wenn ich vor mir eine Kiste mit �pfeln habe, kann ich ohne Zahlen
allenfalls feststellen: leer / nichtleer. Das erscheint mir doch etwas
d�rftig... Insbesondere wenn ich mit zwei Kisten zu tun habe, sind Zahlen
recht n�tzlich: unter Zuhilfennahme von Zahlw�rter kann ich sagen: In der
Kiste A befinden sich 20 �pfel und in der Kiste B 30. Kurz: "[Die Zahlen]
dienen als Mittel, um die Verschiedenheit der Dinge leichter und sch�rfer
aufzufassen." :-)
Herbert
Ralf Goertz
> Wurde nicht eine Zeitlang die goldbachsche Vermutung als ein
> ernsthafter Kandidat für so eine Aussage gehandelt?
Daran habe ich auch gleich gedacht. Allerdings frage ich mich, wie diese
Vermutung unentscheidbar sein könnte. Wenn die Hypothese falsch ist,
findet sich ein Gegenbeispiel, wenn sie wahr ist, sucht man vergeblich,
aber das heißt nicht, dass man nicht für jedes n € N zeigen, dass
2*n=p+q, für gewisse p,q prim. Insofern ist die Goldachsche Vermutung
von anderer Qualität als die Kontinuumshypothese. Denn für erste
existiert ein Test für jedes in Frage kommende Gegenbeispiel, bei
letzterer kann ich mir gar nicht vorstellen, wie ein solcher Test für
eine gegebene Menge aussehen könnte.
Ralf
Herbert Newman
> private.scholar wrote:
>
>> Wurde nicht eine Zeitlang die Goldbachsche Vermutung als ein
>> ernsthafter Kandidat f�r so eine Aussage gehandelt?
>
> Daran habe ich auch gleich gedacht. Allerdings frage ich mich, wie diese
> Vermutung unentscheidbar sein k�nnte. Wenn die Hypothese falsch ist,
> findet sich ein Gegenbeispiel, wenn sie wahr ist, sucht man vergeblich, ...
Ja. Bemerkenswert ist noch folgender Umstand: Daraus ergibt sich, dass die
Goldbachsche Vermutung _wahr_ ist, wenn sie (sagen wir in ZFC) unentscheid-
bar ist. Mit anderen Worten: Wenn wir zeigen k�nnten, dass die GV in ZFC
unentscheidbar ist, dann w�ssten wir, dass sie wahr ist! :-)
Grund: Wenn GV in ZFC unentscheidbar ist, dann kann es kein Gegenbeispiel
geben (denn ein solches lie�e sich in in ZFC formulieren und als solches
nachweisen), also ist GV wahr.
Wenn ich das recht sehe, w�re es dann (mehr als) sinnvoll, die GV
(nach Einf�hrung der Addition und Multiplikation) als Axiom (z. B.)
zu den Peanoaxiomen hinzu zu nehmen. :-)
Herbert
P.S. Ganz so ungew�hnlich ist das auch nicht, wie es vielleicht zuerst
scheint. Vom G�delsatz G (der seine eigene Unbeweisbarkeit behauptet),
wissen wir ja auch, dass er wahr ist, obwohl (oder besser _weil_) er nicht
beweisbar ist.
Albrecht
> private.scholar wrote:
> > Wurde nicht eine Zeitlang die goldbachsche Vermutung als ein
> > ernsthafter Kandidat für so eine Aussage gehandelt?
>
> Daran habe ich auch gleich gedacht. Allerdings frage ich mich, wie diese
> Vermutung unentscheidbar sein könnte. Wenn die Hypothese falsch ist,
> findet sich ein Gegenbeispiel,
besser: "_gibt_ es ein Gegenbeispiel". Ob sich ein solches finden
lässt ist fraglich, da das entsprechende n wohl immens groß sein muß.
> wenn sie wahr ist, sucht man vergeblich,
> aber das heißt nicht, dass man nicht für jedes n € N zeigen [kann], dass
WM
> > Wurde nicht eine Zeitlang die goldbachsche Vermutung als ein
> > ernsthafter Kandidat für so eine Aussage gehandelt?
>
> Daran habe ich auch gleich gedacht. Allerdings frage ich mich, wie diese
> Vermutung unentscheidbar sein könnte. Wenn die Hypothese falsch ist,
> findet sich ein Gegenbeispiel, wenn sie wahr ist, sucht man vergeblich,
> aber das heißt nicht, dass man nicht für jedes n € N zeigen, dass
> 2*n=p+q, für gewisse p,q prim. Insofern ist die Goldachsche Vermutung
> von anderer Qualität als die Kontinuumshypothese. Denn für erste
> existiert ein Test für jedes in Frage kommende Gegenbeispiel,
für jedes in Frage kommende Gegenbeispiel, das mit den zur Verfügung
stehende Bits behandelt werden kann. Das sind aber verschwindend
wenige - schon zwischen 0 und 10^10^10^10 und erst recht im Bereich
großer Zahlen.
Gruß, WM
Martin Vaeth
>
> Ja. Bemerkenswert ist noch folgender Umstand: Daraus ergibt sich, dass die
> Goldbachsche Vermutung _wahr_ ist, wenn sie (sagen wir in ZFC) unentscheid-
> bar ist.
Nein. Unentscheidbar kann sie (in ZFC) schon sein, ohne dass sie wahr
sein muss. Das Argument zeigt nur, dass die Unentscheidbarkeit der
Goldbachschen Vermutung prinzipiell nicht in ZFC *bewiesen* werden kann.
Klaus Cammin
> Vielleicht daran, dass Zahlen den Urgrund unseres Seins bilden???
http://de.wikipedia.org/wiki/Tristan_und_Isolde_(Oper)
Dieses schw�lstige Geschwalle, oder auch diese schwallende Geschwulst vom
"Urgrund des Seins" hat echt Wagner'sche Qualit�t. Habe k�rzlich Tristan
und Isolde geh�rt, und da ist es �hnlich: Tristan und Isolde wollen st�ndig
sterben und Isolde verabschiedet sich "in des Welt-Atems wehendem All" von
dieser Welt.
Der Wikipedia-Text sagt dann weiter:
> Die Schlussmusik, die heute meist f�lschlich als Liebestod bezeichnet
> wird, nannte Wagner selbst "Isoldes Verkl�rung".
und genau das ist es, was Albrecht hier betreibt: Verkl�rung der
nat�rlichen Zahlen zum "Urgrund allen Seins". Heutige Mathematiker sind da
wesentlich n�chterner und lehnen dieses Herbeiphantasieren
au�ermathematischer Interessen in die Mathematik zu Recht ab. F�r sie ist
das Funktionieren ihrer Objekte wichtiger, und dieser Gedankenschlamm taugt
sowieso nix, wenn nicht am Ende wenigstens Vollst�ndigkeit der reellen
Zahlen herausschaut.
Aber ich will nicht beckmessern, man k�nnte die Todessehnsucht bei der Oper
auch als Verlangen nach ewiger Aussdehnung eines Moments deuten, aber auch
hier gibt es durchaus Parallelen: Albrecht glaubt anscheinend an die
universelle, ewig w�hrende G�ltigkeit nat�rlicher Zahlen, wohl auch, da�
Zahlen schon vorhanden waren, als es uns noch gar nicht gab, weil sie
integraler Bestandteil des Universums seien.
Frage ist nur, was das mit Mathematik zu tun hat. Ich will (und k�nnte das
auch nicht) ja gar nicht in Abrede stellen, da� Zahlen eine wie auch immer
geartete Entsprechung in der Realit�t haben, aber die gegenteilige Annahme
ist mindestesten genauso konsistent oder wahrscheinlich, und das weist
darauf hin, da� es sich um ein au�ermathematisches Problem handelt.
Viele Gr��e
Klaus
Klaus-R. Loeffler
Die Motive, die einige Diskutanten dazu treiben, auch noch nach Einsicht
in die Unbelehrbarkeit immer noch in neue Argumentationsrunden
einzusteigen, waren mir lange r�tselhaft. Ich kenne von mathemtischen
Instituten die Praxis, Kreisquadrierer, Winkeldreiteiler etc. auf
Gleichgesinnte zu verweisen, ihnen die Korrepondenz mit diesen zu
empfehlen und sich ansonsten den Kopf frei f�r Mathematik zu halten.
Vielleicht liegt aber hier ein Ph�nomen vor wie bei den Unterst�tzern
der Gedichtver�ffentlichungen des "Schlesischen Schwans" Frederike
Kempner, deren Familie teilweise ganze Auflagen ihrer B�cher aufkaufte,
um Peinichkeiten zu entgehen, die aber immer wieder von vermeintlichen
Fans aufgrund ihres Unterhaltungswertes ermuntert wurde, nicht
aufzugeben und ihre gro�e Kunst weiter zu verbreiten, was sie dann auch
tat, wie z.B. in ihrem Lobgesang auf Kepler:
"Du hattest herrliche Gesichte in dunkler Nacht,
ein ganzes Blatt der Weltgeschichte: Du hast es vollgemacht" (aus dem
Ged�chtnis zitiert).
Andererseits k�nnte nat�rlich der Lacher auch ein Ignorant sein. Kurz
nach dem Erscheinen des Gedichts schrieb Karoline Schlegel "�ber ein
Gedicht von Schiller 'Das Lied von der Glocke' sind wir gestern mittag
fast von den St�hlen gefallen vor Lachen ...".
Und dabei ist die Glocke doch ein ernsthaftes und bewegendes Gedicht
;-).
Klaus-R.
private.scholar
Jedenfalls zeigt der Klaus dem Uwe /wo der Bartl an Moscht holt/. ;-))
Bobo
> Wenn GV in ZFC unentscheidbar ist,
dann ist ZFC konsistent und dann nat�rlich auch die Peano-Arithmetik PA.
> dann kann es kein Gegenbeispiel geben (denn ein solches lie�e sich in
> in ZFC formulieren und als solches nachweisen),
Ja, denn die Negation der GV ist eine Sigma_1-Aussage, und PA ist
Sigma_1-vollst�ndig.
> also ist GV wahr.
Sie ist dann ein Theorem der Theorie T(IN), also der Theorie des
Standardmodells.
Meintest Du das mit "wahr"?
--
Bobo
Bobo
> Wenn GV in ZFC unentscheidbar ist,
dann ist ZFC konsistent und dann nat�rlich auch die Peano-Arithmetik PA.
> dann kann es kein Gegenbeispiel
in der Theorie T(IN) (der Theorie des Standardmodells)
> geben (denn ein solches lie�e sich in in ZFC formulieren und als
> solches nachweisen),
Ja, denn die Negation der GV ist eine Sigma_1-Aussage, und PA ist
WM
> Frage ist nur, was das mit Mathematik zu tun hat. Ich will (und könnte das
> auch nicht) ja gar nicht in Abrede stellen, daß Zahlen eine wie auch immer
> geartete Entsprechung in der Realität haben,
ganz sicher
> aber die gegenteilige Annahme
> ist mindestesten genauso konsistent
ganz sicher, zumindest wenn Konsistenz im Sinne von ZFC+FOPL gemeint
ist
> oder wahrscheinlich,
zumindest semi-wahrscheinlich, wenn nicht sogar semi-semi-
wahrscheinlich
> und das weist
> darauf hin, daß es sich um ein außermathematisches Problem handelt.
genau wie bei den Mengenlehrern mit ihren natürlichen Zahlen.
Erst behaupten sie, es gäbe alle und sie hätten alle.
Dann, ritsch-ratsch, rutscht jede um eins weiter, und es stellt sich
heraus, dass es doch nicht alle gab oder dass sie nicht alle hatten.
Gruß, WM
WM
> Klaus Cammin <netzkl...@klaca.de> wrote:
> > Albrecht schrieb:
> > > Vielleicht daran, dass Zahlen den Urgrund unseres Seins bilden???
>
> >http://de.wikipedia.org/wiki/Tristan_und_Isolde_(Oper)
>
> > "Urgrund des Seins" hat echt Wagner'sche Qualität. Habe kürzlich Tristan
> > und Isolde gehört, und da ist es ähnlich: Tristan und Isolde wollen ständig
> > sterben und Isolde verabschiedet sich "in des Welt-Atems wehendem All" von
> > dieser Welt.
>
> > Der Wikipedia-Text sagt dann weiter:
> > > wird, nannte Wagner selbst "Isoldes Verklärung".
>
> > und genau das ist es, was Albrecht hier betreibt: Verklärung der
> > natürlichen Zahlen zum "Urgrund allen Seins". Heutige Mathematiker sind da
> > wesentlich nüchterner und lehnen dieses Herbeiphantasieren
> > außermathematischer Interessen in die Mathematik zu Recht ab. Für sie ist
> > das Funktionieren ihrer Objekte wichtiger, und dieser Gedankenschlamm taugt
> > Zahlen herausschaut.
>
> > Aber ich will nicht beckmessern, man könnte die Todessehnsucht bei der Oper
> > auch als Verlangen nach ewiger Aussdehnung eines Moments deuten, aber auch
> > hier gibt es durchaus Parallelen: Albrecht glaubt anscheinend an die
> > Zahlen schon vorhanden waren, als es uns noch gar nicht gab, weil sie
> > integraler Bestandteil des Universums seien.
>
> > auch nicht) ja gar nicht in Abrede stellen, daß Zahlen eine wie auch immer
> > geartete Entsprechung in der Realität haben, aber die gegenteilige Annahme
> > ist mindestesten genauso konsistent oder wahrscheinlich, und das weist
>
> Die Motive, die einige Diskutanten dazu treiben, auch noch nach Einsicht
> in die Unbelehrbarkeit immer noch in neue Argumentationsrunden
> Instituten die Praxis, Kreisquadrierer, Winkeldreiteiler etc. auf
> Gleichgesinnte zu verweisen,
Ja, das kenne ich, war selbst mal eine Zeitlang Amateurbetreuer.
> ihnen die Korrepondenz mit diesen zu
> empfehlen und sich ansonsten den Kopf frei für Mathematik zu halten.
Der Geist ist willig ...
>
> Vielleicht liegt aber hier ein Phänomen vor wie bei den Unterstützern
> der Gedichtveröffentlichungen des "Schlesischen Schwans" Frederike
> Kempner, deren Familie teilweise ganze Auflagen ihrer Bücher aufkaufte,
> um Peinichkeiten zu entgehen, die aber immer wieder von vermeintlichen
> Fans aufgrund ihres Unterhaltungswertes ermuntert wurde,
Einen gewissen Unterhaltungswert haben die ZFClubberer doch
zweifellos.
> nicht
> aufzugeben und ihre große Kunst weiter zu verbreiten, was sie dann auch
> tat, wie z.B. in ihrem Lobgesang auf Kepler:
> "Du hattest herrliche Gesichte in dunkler Nacht,
> ein ganzes Blatt der Weltgeschichte: Du hast es vollgemacht" (aus dem
> Gedächtnis zitiert).
>
> Andererseits könnte natürlich der Lacher auch ein Ignorant sein. Kurz
> nach dem Erscheinen des Gedichts schrieb Karoline Schlegel "Über ein
> Gedicht von Schiller 'Das Lied von der Glocke' sind wir gestern mittag
> fast von den Stühlen gefallen vor Lachen ...".
> Und dabei ist die Glocke doch ein ernsthaftes und bewegendes Gedicht
> ;-).
Ja und ohne Ironicon. Ich habe das deshalb auch immer für höchstes
Banausentum erachtet und nicht verstanden, dass sogar ihre Brüder an
der Blasphemie teilnahmen --- bis bei einem Besuch auf einer
Intensivstation ein mit den dortigen Unannehmlichkeiten à la Kepler/
Kempner konfrontierter Patient die folgenden Zeilen rezitierte.
Stoßt den Zapfen aus!
Gott bewahr das Haus!
Rauchend in den Henkels Bogen
schießt's mit feuerbraunen Wogen.
Gruß, WM
Herbert Newman
> Meintest Du das mit "wahr"?
Nein, mit "wahr" meinte ich, dass es sich so verh�lt, wie es die GV sagt.
(Wenn wir mal -nur so zum Spa�- annehmen wollen, ich sei Platonist. :-P
Herbert
P.S. Was meinst DU eigentlich mit der Theorie T(IN)? Ich meine ZFC kenne
ich, aber T(IN) ist mir noch nicht bekannt. Kannst Du n�here Details dazu
erl�utern? Welches logische System liegt dieser Theorie zugrunde, und wie
lauten seine Axiome und (wichtigen) Definitionen?
Bobo
>
> P.S. Was meinst DU eigentlich mit der Theorie T(IN)?
Die Theorie des Standardmodells der PA, d.h.
T(IN) = {p : p ist ein {+,*,S,0}-Satz und IN |= p}
Dabei sei IN := (omega,+,*,S,0), wobei omega die Menge der nat�rlichen
Zahlen bezeichnet; Mit '|=' sei die Modellbeziehung bezeichnet, welche
man auch in ZFC formalisieren kann.
> Welches logische System liegt dieser Theorie zugrunde, und wie
> lauten seine Axiome und (wichtigen) Definitionen?
Man kann die S�tze von T(IN) als Axiome auffassen. T(IN) ist
vollst�ndig, woraus mit dem 1. Unvollst�ndigkeitssatz G�dels folgt,
dass T(IN) nicht axiomatisierbar ist, d.h. /kein entscheidbares/
Axiomensystem besitzt. All das kann man in ZFC+FOPL formalisieren.
Weitere Details kann man der einschl�gigen Literatur entnehmen
(Mathematische Logik, Mengenlehre, Peano-Strukturen etc.)
--
Bobo
Albrecht
>
> > Vielleicht daran, dass Zahlen den Urgrund unseres Seins bilden???
>
> http://de.wikipedia.org/wiki/Tristan_und_Isolde_(Oper)
>
> "Urgrund des Seins" hat echt Wagner'sche Qualität.
Du wirst sicher nicht ableugnen können, dass es Bereiche des
menschlichen Vermögens der Fragestellung gibt wo Antworten vage und
sonstwie verdächtig werden müssen. Die Lösung pseudoseriöser
Mathematiker, solche Fragestellungen einfach auszublenden, lässt sich
vielleicht nicht so einfach vorführen, ist aber deshalb nicht besser
oder redlicher.
Du reisst hier eine Anwort aus dem Kontext und willst sie lächerlich
machen. Von mir aus.
Ausgangspunkt war aber meine Behauptung, dass wir Zahlen in unserer
Realität vorfinden, wie wir auch andere Eigenschaften vorfinden. Wäre
dem nicht so, so liese sich keinerlei Aussage über die sogenannte
Realität treffen. Von mir aus kannst Du Dich als Mathematiker darauf
ausruhen, dass Du nur abstrakte Setzungen als fest und sicher
annimmst, und nur von diesen ausgehend sogenannte konsistente oder
zumindest wahrscheinliche Aussagen machen zu wollen. Ich finde diesen
Ansatz dürftig. Während man dann nämlich nicht einmal sich selbst
sicher sein kann, nimmt man aber dass, was man annimmt als sicher an.
Irgend etwas beisst sich da in den Schwanz.
Allen, die behaupten, Zahlen wären Setzungen des menschlichen Geistes
stelle ich die Frage, ob damit z.B. auch das dreiblättrige Kleeblatt
eine Setzung des menschlichen Geistes ist? Oder ein Paar Schuhe? Oder
ein vierrädriges Auto?
Missverständnisse mögen darin liegen, dass man sich nicht darüber
einig ist, was eine natürliche Zahl ausmacht. Sicher nicht das
Zahlzeichen. Und ich werde sofort zustimmen, wenn jemand sagt, dass
etwa "2" eine Setzung des menschlichen Geistes ist. Aber die Zweiheit,
die z.B. in der Zahl "XX" ihren Ausdruck findet, kann nur der als
menschliche Setzung behaupten, der Glaubt, wir lebten in einem rein
imaginierten Universum. Und dessen einziger Bewohner ist der selbst,
der das glaubt.
[Völlig fehl am Platz befindliches Geschwalle pseudokulturellen
Bildungsattitüdengetue gesnipt]
>
> Frage ist nur, was das mit Mathematik zu tun hat. Ich will (und könnte das
> auch nicht) ja gar nicht in Abrede stellen, daß Zahlen eine wie auch immer
> geartete Entsprechung in der Realität haben, aber die gegenteilige Annahme
> ist mindestesten genauso konsistent oder wahrscheinlich, und das weist
> darauf hin, daß es sich um ein außermathematisches Problem handelt.
>
>
Nein, es ist kein außermathematisches Problem, da dieses Problem
direkten Einfluß darauf hat, wie man auf die Mathematik zugeht, wie
man Mathematik konstituiert. Wer erkennt, dass die natürlichen Zahlen
die Basis jeder vernünftigen Mathematik bilden, wird nicht auf die
schwachsinnige Idee kommen, die Mathematik auf einem so künstlichen
Konzept wie Mengen aufzubauen. Die natürlichen Zahlen kommen vor
Mengen. Keine Mengentheorie ohne die Vorraussetzung der natürlichen
Zahlen. Zahlen sind elementar. Mengen sind konstruiert und aufgesetzt.
Gruß
Albrecht
Jens Schweikhardt
in <108b71a6-695a-4cc2...@j4g2000yqa.googlegroups.com>:
...
# Ausgangspunkt war aber meine Behauptung, dass wir Zahlen in unserer
# Realit�t vorfinden, wie wir auch andere Eigenschaften vorfinden. W�re
# dem nicht so, so liese sich keinerlei Aussage �ber die sogenannte
# Realit�t treffen.
Welche Zahlen mu� man in der Realit�t vorfinden, um folgende
Aussagen �ber die sogenannte Realit�t zu treffen:
* Quadrate haben Ecken.
* Heute scheint die Sonne.
* Ich existiere.
* Das Thema dieses Threads ist eine falsche Aussage.
Regards,
Jens
--
Jens Schweikhardt http://www.schweikhardt.net/
SIGSIG -- signature too long (core dumped)
Herbert Newman
> Albrecht:
>>
>> Ausgangspunkt war aber meine Behauptung, dass wir Zahlen in unserer
>> Realit�t vorfinden, wie wir auch andere Eigenschaften vorfinden.
@Albrecht:
Wir finden keine Eigenschaften in "in unserer Realit�t vor". Allerdings
kann man es so sehen, das Gegenst�nde gewisse Eigenschaften haben: z. B.
ist ein Ball rund, oder eine bestimmte Oberfl�che rauh, etc. Aber kein
Gegenstand ist oder hat eine Zahl. (*sigh*) Lies halt endlich mal Frege
oder halt die Klappe, Mann (denn Du redest echt nur Schrott daher)!
>> W�re dem nicht so, so liese sich keinerlei Aussage �ber die sogenannte
>> Realit�t treffen.
Was f�r ein Schwachsinn! (*)
Und richtig:
> Welche Zahlen mu� man in der Realit�t vorfinden, um [obige]
> Aussage [*] �ber die sogenannte Realit�t zu treffen[?]
Bemerkenswert in diesem Zusammenhang ist, dass es irgendwo in S�damerika
einen Indianerstamm gibt, der nur Zahlbegriffe f�r /1/, /2/ und /viele/
hat. Man m�chte meinen (selbst wenn wir nicht Albrechts unsinnige Be-
hauptung in Anschlag bringen), dass diese Leute in der "sogenannten
Realit�t" nur nur schwer zurechtkommen k�nnen. ( Aber offenbar k�nnen sie
es doch einigerma�en. ;-P )
Herbert
Ralf Bader
> On 10 Sep., 20:05, Klaus Cammin <netzkl...@klaca.de> wrote:
>> Albrecht schrieb:
>>
>> > Vielleicht daran, dass Zahlen den Urgrund unseres Seins bilden???
>>
>> http://de.wikipedia.org/wiki/Tristan_und_Isolde_(Oper)
>>
>> Dieses schwülstige Geschwalle, oder auch diese schwallende Geschwulst vom
>> "Urgrund des Seins" hat echt Wagner'sche Qualität.
>
>
> Du wirst sicher nicht ableugnen können, dass es Bereiche des
> menschlichen Vermögens der Fragestellung gibt wo Antworten vage und
> sonstwie verdächtig werden müssen. Die Lösung pseudoseriöser
> Mathematiker, solche Fragestellungen einfach auszublenden, lässt sich
> vielleicht nicht so einfach vorführen, ist aber deshalb nicht besser
> oder redlicher.
>
> Du reisst hier eine Anwort aus dem Kontext und willst sie lächerlich
> machen. Von mir aus.
> Ausgangspunkt war aber meine Behauptung, dass wir Zahlen in unserer
> Realität vorfinden, wie wir auch andere Eigenschaften vorfinden.
1. Mit Schwulst à la "Urgrund des Seins" und zugehöriger
Selbstbeweihräucherung wurde schon allerhand Unsinn getrieben. Allerdings
war da etwas weniger Profanes als Zahlen gemeint. Wenn ausgerechnet diese
im Vorübergehen zum "Urgrund des Seins" ernannt werden, dann mutet das
ebenso komisch wie befremdlich an.
2. In dem Büchlein von Frege (das du nicht liest,aber vielleicht andere)
sind die §§21-25 der Frage "Ist die Anzahl eine Eigenschaft der äußern
Dinge?" gewidmet. Freges Ansichten darüber müssen nicht unbedingt richtig
sein, aber für eine Gegenposition kann man seit Erscheinen dieses Buches
Argumente verlangen, die die Fregeschen ausstechen. Bislang hast du solche
Argumente nicht geliefert, aber sehr überzeugend den Eindruck befestigt,
daß du dazu auch nicht fähig bist.
3. Die Frage, ob Mengen oder Zahlen vorrangig sind, ist insbesondere dann
eindeutig zugunsten ersterer zu beantworten, wenn Zahlen Eigenschaften
sind; denn dann muß es auch etwas geben, wovon sie Eigenschaften sind. Das
dreiblättrige Kleeblatt mag die Eigenschaft "grün" haben; wenn es die
Eigenschaft "drei" hat, dann hat es ebenso die Eigenschaft "vier", da man
es als aus 4 Teilen (3 Blätter und ein Stiel) bestehend ansehen kann; und
es hat noch einige andere "Zahleigenschaften"; also hat es keine von ihnen,
und scheidet somit als Träger einer hypothetischen Zahleigenschaft aus.
Viel interessanter als solchen Kram pseudophilosophisch zu bequackeln, ist
z.B. das hier:
http://arxiv.org/abs/math/0004133
wo u.a. beschrieben wird, "how the natural numbers and the familiar
operations of arithmetic arise from decategorifying the category of finite
sets."
--
W. Hughes, in sci.math.: "No set of natural numbers without a last element
[is finite]"
Prof. Dr. W. Mückenheim, mathematical mastermind of "Augsburg University of
Applied Science": "There is no natural number called "out a last element".
Albrecht
> Albrecht <albst...@gmx.de> wrote
> in <108b71a6-695a-4cc2-a095-f5af36108...@j4g2000yqa.googlegroups.com>:
> ...
> # Ausgangspunkt war aber meine Behauptung, dass wir Zahlen in unserer
> # dem nicht so, so liese sich keinerlei Aussage über die sogenannte
> # Realität treffen.
>
> Welche Zahlen muß man in der Realität vorfinden, um folgende
> Aussagen über die sogenannte Realität zu treffen:
>
> * Quadrate haben Ecken.
> * Heute scheint die Sonne.
> * Ich existiere.
> * Das Thema dieses Threads ist eine falsche Aussage.
>
Lies genau!
Ich habe geschrieben: Zahlen sind Eigenschaften die wir in unserer
Realität vorfinden wie wir auch andere Eigenschaften vorfinden. Ich
habe _nicht_ geschrieben, Zahlen wären die einzigen Eigenschaften,
die wir in unserer Realität vorfinden.
Und weiter habe ich geschrieben, dass wir, wenn wir keine
Eigenschaften in unserer Realität vorfinden würden, wir keine Aussagen
über die Realität machen könnten. Ich habe _nicht_ geschrieben, dass
wir, wenn wir keine Aussagen über die Zahleneigenschaften in unserer
Realität machen könnten, wir keine Aussagen machen könnten.
Gruß
Albrecht
Albrecht
> Am Sun, 13 Sep 2009 16:28:55 +0200 (CEST) schrieb Jens Schweikhardt:
>
> > Albrecht:
>
> >> Ausgangspunkt war aber meine Behauptung, dass wir Zahlen in unserer
>
> @Albrecht:
>
> Wir finden keine Eigenschaften in "in unserer Realität vor". Allerdings
> kann man es so sehen, das Gegenstände gewisse Eigenschaften haben: z. B.
> ist ein Ball rund, oder eine bestimmte Oberfläche rauh, etc. Aber kein
> Gegenstand ist oder hat eine Zahl. (*sigh*) Lies halt endlich mal Frege
> oder halt die Klappe, Mann (denn Du redest echt nur Schrott daher)!
>
> >> Realität treffen.
>
> Was für ein Schwachsinn! (*)
>
> Und richtig:
>
> > Welche Zahlen muß man in der Realität vorfinden, um [obige]
> > Aussage [*] über die sogenannte Realität zu treffen[?]
>
> Bemerkenswert in diesem Zusammenhang ist, dass es irgendwo in Südamerika
> einen Indianerstamm gibt, der nur Zahlbegriffe für /1/, /2/ und /viele/
> hat. Man möchte meinen (selbst wenn wir nicht Albrechts unsinnige Be-
> hauptung in Anschlag bringen), dass diese Leute in der "sogenannten
> es doch einigermaßen. ;-P )
>
> Herbert
Ich finde zum Beispiel die Eigenschaft eines sich mal Herbert mal auch
anders nennenden Subjekts in der Realität vor, dumm und arrogant zu
sein.
Nutzloser weise erwähne ich bei der Gelegenheit noch, dass es
verschiedene philosophische Ansätze gibt, die unser Verhältnis
gegenüber der Welt beschreiben. Ob Gegenstände gewisse Eigenschaften
haben, und wie wir diese Eigeschaften apperzeptieren können, um dann
darüber zu räsonieren und zu sprechen, ist ein weites Feld, das ein
Fritz oder Franz oder Amicus ganz gewiss nicht annähernd überschauen
kann.
Albrecht
> Albrecht wrote:
> > On 10 Sep., 20:05, Klaus Cammin <netzkl...@klaca.de> wrote:
> >> Albrecht schrieb:
>
> >> > Vielleicht daran, dass Zahlen den Urgrund unseres Seins bilden???
>
> >>http://de.wikipedia.org/wiki/Tristan_und_Isolde_(Oper)
>
> >> Dieses schwülstige Geschwalle, oder auch diese schwallende Geschwulst vom
> >> "Urgrund des Seins" hat echt Wagner'sche Qualität.
>
> > Du wirst sicher nicht ableugnen können, dass es Bereiche des
> > menschlichen Vermögens der Fragestellung gibt wo Antworten vage und
> > sonstwie verdächtig werden müssen. Die Lösung pseudoseriöser
> > Mathematiker, solche Fragestellungen einfach auszublenden, lässt sich
> > vielleicht nicht so einfach vorführen, ist aber deshalb nicht besser
> > oder redlicher.
>
> > Du reisst hier eine Anwort aus dem Kontext und willst sie lächerlich
> > machen. Von mir aus.
> > Ausgangspunkt war aber meine Behauptung, dass wir Zahlen in unserer
> > Realität vorfinden, wie wir auch andere Eigenschaften vorfinden.
>
> 1. Mit Schwulst à la "Urgrund des Seins" und zugehöriger
> Selbstbeweihräucherung wurde schon allerhand Unsinn getrieben. Allerdings
> war da etwas weniger Profanes als Zahlen gemeint. Wenn ausgerechnet diese
> im Vorübergehen zum "Urgrund des Seins" ernannt werden, dann mutet das
> ebenso komisch wie befremdlich an.
Du wirst wissen was Du damit meinst. Für einen Teil: belassen wir es
dabei.
>
> 2. In dem Büchlein von Frege (das du nicht liest,aber vielleicht andere)
> sind die §§21-25 der Frage "Ist die Anzahl eine Eigenschaft der äußern
> Dinge?" gewidmet. Freges Ansichten darüber müssen nicht unbedingt richtig
> sein, aber für eine Gegenposition kann man seit Erscheinen dieses Buches
> Argumente verlangen, die die Fregeschen ausstechen. Bislang hast du solche
> Argumente nicht geliefert, aber sehr überzeugend den Eindruck befestigt,
> daß du dazu auch nicht fähig bist.
Das Buch werde ich sicher lesen, wenn es mir in die Finger gerät.
>
> 3. Die Frage, ob Mengen oder Zahlen vorrangig sind, ist insbesondere dann
> eindeutig zugunsten ersterer zu beantworten, wenn Zahlen Eigenschaften
> sind; denn dann muß es auch etwas geben, wovon sie Eigenschaften sind. Das
> dreiblättrige Kleeblatt mag die Eigenschaft "grün" haben; wenn es die
> Eigenschaft "drei" hat, dann hat es ebenso die Eigenschaft "vier",
Es hat bisher noch niemand ein solches Problem mit nat. Zahlen gehabt,
wie Du es beschreibst. Die Zahleigenschaft eines durchschnittlichen
Klees beträgt bezüglich Blättern ganz gewiss drei. Ausser Dir weist
niemand dem Klee in dieser Hinsicht eine vier zu, ausser er ist ein
Glückspilz.
Vielleicht ist Dir schon einmal aufgefallen, dass gerade bezüglich
der, wie ich es nenne, Zahleigenschaft, eine überraschend hohe
Überseinstimmung nicht nur unter den heute lebenden, sondern auch den
jemals lebenden Menschen herrscht. Nimm nur einmal die
Zahleigenschaften von Dreiecken, Seesternen, Geweihen, Fingern der
menschlichen Hand, ...
Gruß
Albrecht
> da man
> es als aus 4 Teilen (3 Blätter und ein Stiel) bestehend ansehen kann; und
> es hat noch einige andere "Zahleigenschaften"; also hat es keine von ihnen,
> und scheidet somit als Träger einer hypothetischen Zahleigenschaft aus.
> Viel interessanter als solchen Kram pseudophilosophisch zu bequackeln, ist
> z.B. das hier:http://arxiv.org/abs/math/0004133
> wo u.a. beschrieben wird, "how the natural numbers and the familiar
> operations of arithmetic arise from decategorifying the category of finite
> sets."
>
> --
> W. Hughes, in sci.math.: "No set of natural numbers without a last element
> [is finite]"
> Prof. Dr. W. Mückenheim, mathematical mastermind of "Augsburg University of
> Applied Science": "There is no natural number called "out a last element".- Zitierten Text ausblenden -
>
> - Zitierten Text anzeigen -
Herbert Newman
Aus der etwas obskuren Behauptung Albrechts, dass
>> Zahlen den Urgrund unseres Seins bilden
schlie�e ich, dass er ein moderner Pythagoreer sein muss; lautete das Motto
dieser Sekte doch:
"Alles ist Zahl."
:-)
Herbert
Klaus Cammin
> Ausgangspunkt war aber meine Behauptung, dass wir Zahlen in unserer
Mit dem letzten Teil hat Du recht. Es gibt aber genausowenig Eigenschaften
in der Realit�t wie Zahlen. ME gibt's Autos, es gibt rote Autos, es gibt
aber nicht "R�te" oder "das Rote" an sich. Eigenschaften m�ssen immer mit
dem zugeh�rigen Substantiv genannt werden, an und f�r sich machen sie
keinen Sinn und deswegen kann man sie in der Realit�t nicht feststellen.
> W�re dem nicht so, so liese sich keinerlei Aussage
> �ber die sogenannte Realit�t treffen.
Das erscheint Dir nur so, weil die Frage falsch gestellt ist. Zahlen m�ssen
keineswegs in der Realit�t existieren, damit man Aussagen �ber sie machen
kann.
Ich komme auf das Beispiel Werkzeug und Werkst�ck zur�ck.
Mit einem 17-ner Schl�ssel ziehe ich eine Mutter fest. Was ist die Realit�t
der Schraube? Vorher war sie locker, jetzt ist sie fest. Welche Rolle
spielt der Schl�ssel in der Realit�t der Schraube? Ist der Schl�ssel deren
integraler und absolut notwendiger Bestandteil? Nein, man mu� den Schl�ssel
sogar aus der Realit�t herauslassen, um sie korrekt zu beschreiben.
> Von mir aus kannst Du Dich als Mathematiker darauf
> ausruhen, dass Du nur abstrakte Setzungen als fest und sicher
> annimmst,
"nur abstrakt" ist Bl�dsinn. "Funktionierend" w�re besser. Da ist wieder
Deine schwachsinnige Unterstellung, da� Mathematiker sich frei irgendein
Zeug herbeiphantasieren. Diese von Dir als bequem, fest und sicher
verleumdeten Setzungen werden es n�mlich erst durch Beweise.
> und nur von diesen ausgehend sogenannte konsistente oder
> zumindest wahrscheinliche Aussagen machen zu wollen.
Was h�ttest Du denn au�erdem gerne als Grundlage der Mathematik?
Schwammiger, durch nichts bewiesener Glaube an den universalen Charakter
der Zahlen?
> Ich finde diesen Ansatz d�rftig.
Ich finde jedwede Mathematik d�rftig, die keine Vollst�ndigkeit der reellen
Zahlen kennt. Wenn der Ansatz d�rftig ist, dann mu� man doch �ber die
Reichhaltigkeit des Resultats staunen.
Nein, dieser Ansatz ist nicht d�rftig - wir sprechen �ber die axiomatische
Methode - er ist u.a. ordnend, er sagt genau, wenn was nicht geht, wo es
nicht geht, und was man tun mu�, damit es geht. Und er gibt der Heuristik
in der Mathematik einen Platz. IMHO ist in diesem Sinne die Aussage "man
kann alles definieren" zu verstehen.
> W�hrend man dann n�mlich nicht einmal sich selbst
> sicher sein kann, nimmt man aber dass, was man annimmt als sicher an.
Da Du Dir nur einbildest, da� das wesentliche bei Axiomen sei, da� man sie
als sicher annimmt bzw. da� Axiome etwas �ber die Welt aussagten, ist
jedweder Schlu� aus Deiner Einbildung trivialerweise wahr und vom
philosophischen Standpunkt bedeutungslos.
Axiome werden schmerzfrei fallengelassen oder ge�ndert, wenn andere
Setzungen besser funktionieren oder h�ufig findet man die interessante
Situation, da� Axiome durch andere ersetzt werden k�nnen, wobei dann die
Ersteren als Folgerung aus Letzteren erscheinen. Das ist dann beinharter
Erkenntniszuwachs.
> Irgend etwas beisst sich da in den Schwanz.
Nein, da bei�t sich gar nichts in den Schwanz. Du mu�t nur unterscheiden
zwischen dem Mittel und dem, worauf es angewendet wird, dann vermindern
sich Deine Verst�ndnisschwierigkeiten.
Es hat schon seinen Grund, warum Dedekind-Zitate bei mir immer so ein
Gef�hl tiefer Befriedigung hinterlassen, denn anscheinend verstand auch er
die mathematischen Objekte haupts�chlich als "Denkzeug", wie ich es mal bei
mir genannt habe, d.h. als Spezialwerkzeug des Menschen (bzw. denkendem
Wesens) f�r den Umgang mit seiner Umwelt.
Realit�t haben diese Dinge dann nur in dem Ma�e, in dem sie im Zusammenhang
mit Objekten der Wirklichkeit stehen bzw. durch das Handeln des Subjekts
die Realit�t sich �ndert. Und wenn - wie Dedekind sagt - "die
Verschiedenheit der Dinge leichter und sch�rfer" aufgefa�t werden, dann
wird auch die auf diesem Denken folgende Handlung durchdachter, letztlich
leichter und effektiver ausfallen.
> Aber die Zweiheit, die z.B. in der Zahl "XX" ihren Ausdruck findet,
> kann nur der als menschliche Setzung behaupten, der Glaubt, wir lebten in
> einem rein imaginierten Universum.
Auch das ist ein Fehlschlu�. Mathematiker imaginieren nichts, sie wollen
nur sch�rfer, genauer, d.h. differenzierter denken. Da� dabei ein gr��erer
Abstand zwischen Denken und der Anwendung des Denkens auf die Umwelt
entsteht, ist wohl folgerichtig.
Und: es gibt Klee, es gibt Bl�tter, es gibt keine Dreiheit.
> die Mathematik auf einem so k�nstlichen Konzept wie Mengen aufzubauen.
Warum sind Mengen k�nstlich? Und nichts anderes? Was ist weniger k�nstlich
bzw. ausgedacht an potentieller Unendlichkeit als bei �berabz�hlbarkeit?
Ein so willk�rliches und schwachsinniges Argument gegen eine Diziplin sucht
wirklich seinesgleichen. Du wirst ein Terrorregime errichten und alle
Mathematiker mit gegenteiliger Meinung hinrichten lassen m�ssen, bevor
jemand Deinen Glauben als sinnvoll ansieht.
> Die nat�rlichen Zahlen kommen vor Mengen.
> Keine Mengentheorie ohne die Vorraussetzung der nat�rlichen Zahlen.
Boo nee, die Beweiskette von FOPL bis Vollst�ndigkeit ist l�ckenlos.
Beweise hast Du nicht, und wenn, wirst Du nach 2 Postings formal widerlegt.
Solange Du keine Beweise hast, ist Dein Unsinn nur Schei�dreck.
Solange man keine Vollst�ndigkeit hat, ist die Mathematik schei�e.
Wenn die Philosophie schei�e ist, wird die Mathematik auch nicht besser.
Du siehst, ich urteile nach praktischen Gesichtspunkten.
Viele Gr��e
Klaus
Ralf Bader
"Zurück in den Urgrund, das war die Generalrichtung der
nationalsozialistischen Kulturpolitik. 1944 versuchte sich die Germanistin
Elisabeth Frenzel in einer reichlich gequälten Argumentation, um die
deutsch-völkischen Prinzipien mit der Begeisterung für die Antike in
Einklang zu bringen: "dass, wie wir heute wissen, wir in der griechischen
Kunst ja nicht ein uns artfremdes und -fernes Ideal aufstellen, sondern
dass sich drin derselbe nordische Geist in einer anderen Variante
offenbarte, der auch in unseren germanischen Schöpfungen seinen
Niederschlag fand.""
http://www.scienzz.de/magazin/art9097.html
Statt "artfremd" könnte da auch "seinsfremd" stehen.
>> 2. In dem Büchlein von Frege (das du nicht liest,aber vielleicht andere)
>> sind die §§21-25 der Frage "Ist die Anzahl eine Eigenschaft der äußern
>> Dinge?" gewidmet. Freges Ansichten darüber müssen nicht unbedingt richtig
>> sein, aber für eine Gegenposition kann man seit Erscheinen dieses Buches
>> Argumente verlangen, die die Fregeschen ausstechen. Bislang hast du
>> solche Argumente nicht geliefert, aber sehr überzeugend den Eindruck
>> befestigt, daß du dazu auch nicht fähig bist.
>
>
> Das Buch werde ich sicher lesen, wenn es mir in die Finger gerät.
Oooch, wenn es dir in die Finger gerät. Wenn ich ein Gesetzbuch finde,
schaue ich sicher mal rein, sagt der Rechtsverdreher zum Mandanten. Eines
deiner Probleme ist, daß du nicht lesen kannst. Ich bin mir ziemlich
sicher, den Link
http://www.ac-nancy-metz.fr/enseign/philo/textesph/Frege.pdf
schon einmal genannt zu haben.
>> 3. Die Frage, ob Mengen oder Zahlen vorrangig sind, ist insbesondere dann
>> eindeutig zugunsten ersterer zu beantworten, wenn Zahlen Eigenschaften
>> sind; denn dann muß es auch etwas geben, wovon sie Eigenschaften sind.
>> Das dreiblättrige Kleeblatt mag die Eigenschaft "grün" haben; wenn es die
>> Eigenschaft "drei" hat, dann hat es ebenso die Eigenschaft "vier",
>
>
> Es hat bisher noch niemand ein solches Problem mit nat. Zahlen gehabt,
> wie Du es beschreibst. Die Zahleigenschaft eines durchschnittlichen
> Klees beträgt bezüglich Blättern ganz gewiss drei. Ausser Dir weist
> niemand dem Klee in dieser Hinsicht eine vier zu, ausser er ist ein
> Glückspilz.
Du kannst schon wieder nicht lesen. Die "Eigenschaft vier" hat das
Kleeblatt, weil ----- siehe unten.
> Vielleicht ist Dir schon einmal aufgefallen, dass gerade bezüglich
> der, wie ich es nenne, Zahleigenschaft, eine überraschend hohe
> Überseinstimmung nicht nur unter den heute lebenden, sondern auch den
> jemals lebenden Menschen herrscht. Nimm nur einmal die
> Zahleigenschaften von Dreiecken, Seesternen, Geweihen, Fingern der
> menschlichen Hand, ...
Achso, das wird jetzt per Mehrheitsentscheidung festgestellt, also
demokratisch, statt nazimäßig aus dem Urgrund erahnt.
>> da man
>> es als aus 4 Teilen (3 Blätter und ein Stiel) bestehend ansehen kann; und
>> es hat noch einige andere "Zahleigenschaften"; also hat es keine von
>> ihnen, und scheidet somit als Träger einer hypothetischen Zahleigenschaft
>> aus. Viel interessanter als solchen Kram pseudophilosophisch zu
>> bequackeln, ist z.B. das hier:http://arxiv.org/abs/math/0004133
>> wo u.a. beschrieben wird, "how the natural numbers and the familiar
>> operations of arithmetic arise from decategorifying the category of finite
>> sets."
>>
>> --
>> W. Hughes, in sci.math.: "No set of natural numbers without a last
>> element
>> [is finite]"
>> Prof. Dr. W. Mückenheim, mathematical mastermind of "Augsburg University
>> of Applied Science": "There is no natural number called "out a last
>> element".- Zitierten Text ausblenden -
>>
>> - Zitierten Text anzeigen -
Und deinen Mist räumst du gefälligst selber auf.
Ralf
Albrecht
>
> - Zitierten Text anzeigen -- Zitierten Text ausblenden -
>
> - Zitierten Text anzeigen -
Du hast echt eine Schraube locker. Trotzdem Danke für den Link. Alles
ausser dem LINK kann ich ja getrost LINKs liegen lassen.
AS
Albrecht
Ralf Bader <ba...@nefkom.net> wrote:
Es wird hier die Ansicht vertreten, die Farbe des Klee wäre
bedingungslos "grün", andererseits komme Klee die Zahleigenschaft "drei"
nicht bedingungslos zu, vielmehr könnte man Klee genauso die Zahl "vier"
zuordnen, indem man z.B. drei Blätter und einen Stängel zählt, es also
von der Willkür des Betrachters abhängt, welche Zahl er dem Klee
zuordnet, während die Farbe Grün dem Klee ohne jede Willkür, also
tatsächlich objektiv zukommt.
Dem kann ich nicht zustimmen. Was für die Zahleigenschaft gilt, gilt
nämlich genauso der Farbeigenschaft und jeder anderen Eigenschaft. Wer
ein Kleeblatt schon einmal genauer angeschaut hat, muss dabei
festgestellt haben, dass Klee keineswegs einfach grün ist. Vielmehr sind
auf den Blättern Strukturen zu erkennen, die oftmals ins rötliche oder
bräunliche spielen. Wie kann man also die Behauptung aufstellen, Klee
wäre grün, wenn er doch zugleich rot oder braun ist. Ganz zu schweigen
von den Farbveränderungen, die er in seinem Lebenslauf durchmacht. Ist
ein vertrockneter Klee kein Klee mehr nur weil er jetzt gänzlich braun
oder schwarz ist? Was ist eigentlich mit der Blüte des Klees? Ist die
Blüte nicht auch ein Teil vom Klee? Ist die Blüte des Klee etwa grün?
Und was ist, wenn man Klee unter einem starken Mikroskop betrachtet. Ist
der Klee auf jeder Größenstufe grün? Sind die Moleküle und Atome des
Klees grün? Und was ist, wenn man Klee unter rotem Licht betrachtet? Ist
der Klee auch dann grün?
Die Farbe von Klee hängt genauso von den Betrachtungsumständen ab wie
auch die Zahleigenschaft des Klees. Die Behauptung, dass
Farbeigenschaften objektiv, Zahleigenschaften aber subjektiv sind, da
diese der Willkür des Betrachters unterliegen, jene aber nicht, ist
haltlos.
Ich habe großen Respekt vor G. Frege, und kann teilweise nachvollziehen,
dass er manchen ein GOTT, anderen aber immerhin LIEB und teuer ist. Aber
Frege als der Weisheit letzter Schluss anzuführen ist doch sehr
kurzsichtig. In dem Punkt, dass Zahlen keine Eigenschaften wären im
Gegensatz zu Attributen wie Farbe, Form, Beschaffenheit, etc. hat Frege
nicht recht, wie ich oben klar zeigen konnte.
Gruß
Albrecht
Albrecht
> Albrecht schrieb:
>
> > Ausgangspunkt war aber meine Behauptung, dass wir Zahlen in unserer
>
> Mit dem letzten Teil hat Du recht. Es gibt aber genausowenig Eigenschaften
> aber nicht "Röte" oder "das Rote" an sich. Eigenschaften müssen immer mit
> dem zugehörigen Substantiv genannt werden, an und für sich machen sie
> keinen Sinn und deswegen kann man sie in der Realität nicht feststellen.
Diese Aussage ist zumindest erklärungsbedürftig. Du redest also von
roten Autos, ohne das Rote der Autos in der Realität feststellen zu
können? Deine Realität ist folglich eigenschaftslos. Ich frage mich,
wie ein eigenschaftsloses Auto aussieht.
>
> > Wäre dem nicht so, so liese sich keinerlei Aussage
> > über die sogenannte Realität treffen.
>
> Das erscheint Dir nur so, weil die Frage falsch gestellt ist. Zahlen müssen
> keineswegs in der Realität existieren, damit man Aussagen über sie machen
> kann.
>
> Ich komme auf das Beispiel Werkzeug und Werkstück zurück.
> Mit einem 17-ner Schlüssel ziehe ich eine Mutter fest. Was ist die Realität
> der Schraube? Vorher war sie locker, jetzt ist sie fest. Welche Rolle
> spielt der Schlüssel in der Realität der Schraube? Ist der Schlüssel deren
> integraler und absolut notwendiger Bestandteil? Nein, man muß den Schlüssel
> sogar aus der Realität herauslassen, um sie korrekt zu beschreiben.
Dem Schlüssel kommt die Zahl 17 zu, weil er der siebzehnte in einer
Reihe ist. Dies ist eine Eigenschaft des Schlüssels, erst einmal, eine
Eigenschft der Schraube nur vermittelt. Freillich ist die Schraube
auch eine siebzehnte Schraube einer Folge.
>
> > Von mir aus kannst Du Dich als Mathematiker darauf
> > ausruhen, dass Du nur abstrakte Setzungen als fest und sicher
> > annimmst,
>
> "nur abstrakt" ist Blödsinn. "Funktionierend" wäre besser. Da ist wieder
> Deine schwachsinnige Unterstellung, daß Mathematiker sich frei irgendein
> Zeug herbeiphantasieren. Diese von Dir als bequem, fest und sicher
> verleumdeten Setzungen werden es nämlich erst durch Beweise.
Funktionierend solange, bis sich Fehler in das System einschleichen.
Fehler wie beispielsweise die Idee - bzw. deren Konsequenzen -, dass
die Zahlen eine freie Setzung des menschlichen Geistes wären (und
damit auch das Unendliche eine Zahl besitzt).
>
> > und nur von diesen ausgehend sogenannte konsistente oder
> > zumindest wahrscheinliche Aussagen machen zu wollen.
>
> Was hättest Du denn außerdem gerne als Grundlage der Mathematik?
> Schwammiger, durch nichts bewiesener Glaube an den universalen Charakter
> der Zahlen?
>
> > Ich finde diesen Ansatz dürftig.
>
> Ich finde jedwede Mathematik dürftig, die keine Vollständigkeit der reellen
> Zahlen kennt. Wenn der Ansatz dürftig ist, dann muß man doch über die
> Reichhaltigkeit des Resultats staunen.
Die reellen Zahlen sind in jedem Falle vollständig. Die überabzählbar
vielen nichtangebbaren Zahlen tun da nichts zur Sache. Ziemlich
ignoriert wird die Tatsache, dass der größte und wichtigste Teil der
Mathematik (wenn nicht alles, was überhaupt konsistent aufgebaut
werden kann) konstruktiv aufgebaut werden kann.
>
> Nein, dieser Ansatz ist nicht dürftig - wir sprechen über die axiomatische
> Methode - er ist u.a. ordnend, er sagt genau, wenn was nicht geht, wo es
> nicht geht, und was man tun muß, damit es geht. Und er gibt der Heuristik
> in der Mathematik einen Platz. IMHO ist in diesem Sinne die Aussage "man
> kann alles definieren" zu verstehen.
>
> > Während man dann nämlich nicht einmal sich selbst
> > sicher sein kann, nimmt man aber dass, was man annimmt als sicher an.
>
> Da Du Dir nur einbildest, daß das wesentliche bei Axiomen sei, daß man sie
> als sicher annimmt bzw. daß Axiome etwas über die Welt aussagten, ist
> jedweder Schluß aus Deiner Einbildung trivialerweise wahr und vom
> philosophischen Standpunkt bedeutungslos.
Axiome sollten deshalb als sicher angenommen werden, da nur dann
gewährleistet ist, dass das System in jedem Fall funktioniert. Die
Konsistenz eines Systemes muß an der Realität gemessen werden, da es
keine andere Garantie, keinen anderen Maßsstab für die Konsistenz
eines Systems gibt. Letztlich hat genau das Gödel bewiesen. Wenn man
für jedes System nur in einem Metasystem entscheiden kann, ob es
widerspruchsfrei ist oder nicht, so kann man sich entweder in eine
unendliche Regression schicken, oder erkennen, dass Konsistenz genau
das ist, was unsere Wirklichkeit ausmacht (Konsistenz ist genau das,
was Wirklichkeit ausmacht, in vergleich z.B. mit Traum) und deshalb
die Realität sozusagen das Supersystem ist, in dem jedes System
entschieden werden kann.
I+I=II ist konsistent da Realität abgebildet wird. I+I=III ist nur
kosistent, wenn wir eine sehr komplexe Betrachtungsweise anwenden.
Anscheinend spielt hier Komplexität bei der Einordnung eine gewisse
Rolle. Das ändert aber nichts an der Tatsache, dass wir auf I+I=II
aufbauen in jedem Moment, in dem wir irgend etwas tun, denken, reden,
schweigen, montieren, hören, ... weiss der Geier.
>
> Axiome werden schmerzfrei fallengelassen oder geändert, wenn andere
> Setzungen besser funktionieren oder häufig findet man die interessante
> Situation, daß Axiome durch andere ersetzt werden können, wobei dann die
> Ersteren als Folgerung aus Letzteren erscheinen. Das ist dann beinharter
> Erkenntniszuwachs.
Hier kann man aber keine Willkür wallten lassen. Axiome müssen mühsam
erkämpft werden. Woran liegt es denn, dass Axiome nicht willkürlich
ersetzt werden können?
>
> > Irgend etwas beisst sich da in den Schwanz.
>
> Nein, da beißt sich gar nichts in den Schwanz. Du mußt nur unterscheiden
> zwischen dem Mittel und dem, worauf es angewendet wird, dann vermindern
> sich Deine Verständnisschwierigkeiten.
>
> Es hat schon seinen Grund, warum Dedekind-Zitate bei mir immer so ein
> Gefühl tiefer Befriedigung hinterlassen, denn anscheinend verstand auch er
> die mathematischen Objekte hauptsächlich als "Denkzeug", wie ich es mal bei
> mir genannt habe, d.h. als Spezialwerkzeug des Menschen (bzw. denkendem
> Wesens) für den Umgang mit seiner Umwelt.
und diese Denkwerkeuge müssen genauso mit der Wirklichkeit
korrespondieren, wie der Schraubenschlüssel mit der Schraube
korrespondiert.
>
> Realität haben diese Dinge dann nur in dem Maße, in dem sie im Zusammenhang
> mit Objekten der Wirklichkeit stehen bzw. durch das Handeln des Subjekts
> die Realität sich ändert. Und wenn - wie Dedekind sagt - "die
> Verschiedenheit der Dinge leichter und schärfer" aufgefaßt werden, dann
> wird auch die auf diesem Denken folgende Handlung durchdachter, letztlich
> leichter und effektiver ausfallen.
>
> > Aber die Zweiheit, die z.B. in der Zahl "XX" ihren Ausdruck findet,
> > kann nur der als menschliche Setzung behaupten, der Glaubt, wir lebten in
> > einem rein imaginierten Universum.
>
> Auch das ist ein Fehlschluß. Mathematiker imaginieren nichts, sie wollen
> nur schärfer, genauer, d.h. differenzierter denken. Daß dabei ein größerer
> Abstand zwischen Denken und der Anwendung des Denkens auf die Umwelt
> entsteht, ist wohl folgerichtig.
>
> Und: es gibt Klee, es gibt Blätter, es gibt keine Dreiheit.
Siehe mein Posting aufs RB's Einwurf.
Der Rest in den Gulli, wo es hingehört.
Gruß
Albrecht
WM
Ist
> ein vertrockneter Klee kein Klee mehr nur weil er jetzt gänzlich braun
> oder schwarz ist? Was ist eigentlich mit der Blüte des Klees? Ist die
> Blüte nicht auch ein Teil vom Klee? Ist die Blüte des Klee etwa grün?
> Und was ist, wenn man Klee unter einem starken Mikroskop betrachtet. Ist
> der Klee auf jeder Größenstufe grün? Sind die Moleküle und Atome des
> Klees grün? Und was ist, wenn man Klee unter rotem Licht betrachtet? Ist
> der Klee auch dann grün?
Dasselbe Argument ist auch mir eingefallen: Der Stängel besitzt in
vielen Fällen ein anderes Grün oder eine andere Farbe als die Blätter.
Die grundsätzliche Unterscheidung von grün und drei als Eigenschaften
ist nicht stichhaltig. Frege irrt in vielen Punkten. Er vergleicht zum
Beispiel die Sonne und einen wahren Satz. Da ist ein sehr großer
Unterschied. Die Sonne existiert auch ohne unser Darandenken, die
meisten Sätzen dagegen werden nie existieren, auch die meisten wahren
nicht, eben weil niemand daran denkt, sie zu denken.
Frege macht auch den großen Fehler, das psychologische Moment in der
Existenzfrage von Zahlen zu negieren. Und schließlich behauptet er,
Kant "widersprechend", dass 0 und 1 uns nicht sinnlich gegeben wären.
Ohne Sinne wäre uns gar nichts gegeben --- und das ist nicht die Null.
Ich denke, dass Baumann der modernen Definition des MatheRealismus
viel mehr entspricht: Zahlgesetze, die eine praktische Bewährung nicht
bestehen, taugen nichts. Darunter fallen alle überendlichen.
>
> Die Farbe von Klee hängt genauso von den Betrachtungsumständen ab wie
> auch die Zahleigenschaft des Klees. Die Behauptung, dass
> Farbeigenschaften objektiv, Zahleigenschaften aber subjektiv sind, da
> diese der Willkür des Betrachters unterliegen, jene aber nicht, ist
> haltlos.
Absolut!
>
> Ich habe großen Respekt vor G. Frege, und kann teilweise nachvollziehen,
> dass er manchen ein GOTT, anderen aber immerhin LIEB und teuer ist. Aber
> Frege als der Weisheit letzter Schluss anzuführen ist doch sehr
> kurzsichtig. In dem Punkt, dass Zahlen keine Eigenschaften wären im
> Gegensatz zu Attributen wie Farbe, Form, Beschaffenheit, etc. hat Frege
> nicht recht, wie ich oben klar zeigen konnte.
Genau so ist es.
Er schreibt: Der Psychloge bilde sich nicht ein, zur Begründung der
Arithmetik etwas beitragen zu können. Mehr als Frege allemal! Wenn er
von einem "vernünftigen" Verfahren spricht, so muss ihm doch klar
sein, welche Wissenschaft die Grundlagen der Vernunft erforscht. Es
ist gewiss nicht die Mathematik.
Frege findet zwar einen Fehler in Leibniz' Definition der natürlichen
Zahlen, weil dieser stillschweigend die Assoziativität der Addition
vorausgesetzt hat. Dass seine eigene Erklärung (und jede andere)
ebenfalls lückenhaft ist und bleiben muss, bleibt ihm dagegen
verborgen.
Ein großer Fortschritt für Mathematik und Logik würde darin liegen,
die Erkenntnis endlich zu akzeptieren, dass nirgends lückenlosigkeit
erreichbar ist - und wenn es heute Maschinen gibt, die FOPL-haft etwas
"beweisen", dann mangelt den Akzeptoren solcher "Beweise" lediglich
das Verständnis für diese Lücken so wie Frege die Lücke in seiner
Definition der Null nicht bemerkt hat. Er schreibt
a ist nicht gleich a
und definiert damit die Zwei.
Denn natürlich ist das rechte a nicht dem linken gleich, weil jenes
eben ein rechtes und dieses ein linkes ist. Symbole und mathematische
Zeichen dürfen nicht aus dem Kontext gerissen werden.
Frege ist eine interessante aber bei weitem überschätzte Episode in
der Lehre von den Grundlagen der Arithmetik. Ein Bach oder Beethoven
der Mathematik ist er nicht - auch kein Wagner. Vielleicht ein Spohr
oder von Dittersdorf.
Gruß, WM
Ralf Bader
> On 15 Sep., 22:11, Albrecht <albst...@gmx.de> wrote:
>
> Ist
>> ein vertrockneter Klee kein Klee mehr nur weil er jetzt gänzlich braun
>> oder schwarz ist? Was ist eigentlich mit der Blüte des Klees? Ist die
>> Blüte nicht auch ein Teil vom Klee? Ist die Blüte des Klee etwa grün?
>> Und was ist, wenn man Klee unter einem starken Mikroskop betrachtet. Ist
>> der Klee auf jeder Größenstufe grün? Sind die Moleküle und Atome des
>> Klees grün? Und was ist, wenn man Klee unter rotem Licht betrachtet? Ist
>> der Klee auch dann grün?
>
> Dasselbe Argument ist auch mir eingefallen: Der Stängel besitzt in
> vielen Fällen ein anderes Grün oder eine andere Farbe als die Blätter.
> Die grundsätzliche Unterscheidung von grün und drei als Eigenschaften
> ist nicht stichhaltig.
"Ausgangspunkt war aber meine Behauptung, dass wir Zahlen in unserer
Realität vorfinden, wie wir auch andere Eigenschaften vorfinden." So Herr
Storz noch kürzlich. Schon merkwürdig, wie die Eigenschaft "grün" jetzt auf
einmal zu verschwimmen beginnt. Scheint eine ziemlich flüchtige
"Realität" zu sein, in der sich die Storzschen "Eigenschaften" "vorfinden".
> Frege irrt in vielen Punkten. Er vergleicht zum
> Beispiel die Sonne und einen wahren Satz. Da ist ein sehr großer
> Unterschied.
Ach nee. Ihre dämlichen Kolportagegeschichten können Sie sich, genauso wie
Ihre doofe Zitatenfledderei, sonstwo hinstecken.
Albrecht
> WM wrote:
> > On 15 Sep., 22:11, Albrecht <albst...@gmx.de> wrote:
>
> > Ist
> >> ein vertrockneter Klee kein Klee mehr nur weil er jetzt gänzlich braun
> >> oder schwarz ist? Was ist eigentlich mit der Blüte des Klees? Ist die
> >> Blüte nicht auch ein Teil vom Klee? Ist die Blüte des Klee etwa grün?
> >> Und was ist, wenn man Klee unter einem starken Mikroskop betrachtet. Ist
> >> der Klee auf jeder Größenstufe grün? Sind die Moleküle und Atome des
> >> Klees grün? Und was ist, wenn man Klee unter rotem Licht betrachtet? Ist
> >> der Klee auch dann grün?
>
> > Dasselbe Argument ist auch mir eingefallen: Der Stängel besitzt in
> > vielen Fällen ein anderes Grün oder eine andere Farbe als die Blätter.
> > Die grundsätzliche Unterscheidung von grün und drei als Eigenschaften
> > ist nicht stichhaltig.
>
> "Ausgangspunkt war aber meine Behauptung, dass wir Zahlen in unserer
> Realität vorfinden, wie wir auch andere Eigenschaften vorfinden." So Herr
> Storz noch kürzlich. Schon merkwürdig, wie die Eigenschaft "grün" jetzt auf
> einmal zu verschwimmen beginnt. Scheint eine ziemlich flüchtige
> "Realität" zu sein, in der sich die Storzschen "Eigenschaften" "vorfinden".
_Unsere_ Realität halt. Ich kenne keine andere.
>
> > Frege irrt in vielen Punkten. Er vergleicht zum
> > Beispiel die Sonne und einen wahren Satz. Da ist ein sehr großer
> > Unterschied.
>
> Ach nee. Ihre dämlichen Kolportagegeschichten können Sie sich, genauso wie
> Ihre doofe Zitatenfledderei, sonstwo hinstecken.
>
> --
> W. Hughes, in sci.math.: "No set of natural numbers without a last element
> [is finite]"
> Prof. Dr. W. Mückenheim, mathematical mastermind of "Augsburg University of
> Applied Science": "There is no natural number called "out a last element".- Zitierten Text ausblenden -
>
> - Zitierten Text anzeigen -
Es ist mir schon klar, dass man mit einer Person, die nicht fähig ist
auf Argumente einzugehen, nicht diskutieren kann. Grundlage jedes
verstandesmäßigen Fortschritts ist die Fähigkeit, die eigene Position
kritisch zu hinterfragen und haltlose Positionen aufzugeben. Eine
Tugend, die hier im Netz anscheinend keine große Rolle spielt. Als
Ersatz wird dann leider allzuoft auf Pöpelei zurückgegriffen.
Gruß
Albrecht
Rainer Willis
> On 16 Sep., 05:32, Ralf Bader <ba...@nefkom.net> wrote:
[...]
>> "Ausgangspunkt war aber meine Behauptung, dass wir Zahlen in unserer
>> Realit�t vorfinden, wie wir auch andere Eigenschaften vorfinden." So Herr
>> Storz noch k�rzlich. Schon merkw�rdig, wie die Eigenschaft "gr�n" jetzt auf
>> einmal zu verschwimmen beginnt. Scheint eine ziemlich fl�chtige
>> "Realit�t" zu sein, in der sich die Storzschen "Eigenschaften" "vorfinden".
>
> _Unsere_ Realit�t halt. Ich kenne keine andere.
"Unsere Realit�t" gibt es nicht, jeder hat seine eigene, sonst g�be es
u.a. keine Missverst�ndnisse. Um ihnen zu entgehen muss man eindeutig
definieren, wie man es etwa in der Mathematik tut. In der Realit�t ist
das praktisch unm�glich, �berzeuge dich davon, indem du z.B.
Einfuhrbestimmungen der EU liest: da wird seitenlang beschrieben, was
man sich etwa unter einer Banane oder einem Pullover vorzustellen hat.
Gesetzestexte allgemein, je spezieller umso schlimmer, die strotzen nur
so vor Ausnahmeregelungen und Unklarheiten.
Oder Taxonomien, etwa in der Biologie: da gibt's z.B. Paarhufer und
Unpaarhufer und jede Menge Hufformen mit verschiedenen Anzahlen von
Zehen. Aber doch keine *Zahlen*!
Sind dir Freges "Grundlagen" denn inzwischen mal untergekommen und hast
du die empfohlenen �� 21 ff. gelesen? Das ist klare, verst�ndliche Sprache.
Am wenigsten hilfreich ist jedenfalls dein Geschwurbel geradezu
Hegel'schen Ausma�es (wobei ich bei Hegel manchmal denke, er wollte sich
einfach einen Riesenspa� machen). Studentenulk: "Was ist die partielle
Negation des An- und Umseins der Kausalit�t des Unendlichen?" - "Ein
Loch im Hemd der Mutter Gottes!"
[...]
> Es ist mir schon klar, dass man mit einer Person, die nicht f�hig ist
> auf Argumente einzugehen, nicht diskutieren kann. Grundlage jedes
> verstandesm��igen Fortschritts ist die F�higkeit, die eigene Position
> kritisch zu hinterfragen und haltlose Positionen aufzugeben.
Ganz richtig. Und warum h�ltst du dich nicht daran?
Gru� Rainer
WM
> Albrecht schrieb:
> > _Unsere_ Realität halt. Ich kenne keine andere.
>
> "Unsere Realität" gibt es nicht, jeder hat seine eigene, sonst gäbe es
> u.a. keine Missverständnisse.
Nach meiner Meinung gibt es nur eine Realität. Aber jeder hat seine
eigene Interpretation der durch sie verursachten Sinneseindrücke.
> Um ihnen zu entgehen muss man eindeutig
> definieren, wie man es etwa in der Mathematik tut. In der Realität ist
> das praktisch unmöglich, überzeuge dich davon, indem du z.B.
> Einfuhrbestimmungen der EU liest: da wird seitenlang beschrieben, was
> man sich etwa unter einer Banane oder einem Pullover vorzustellen hat.
>
> Gesetzestexte allgemein, je spezieller umso schlimmer, die strotzen nur
> so vor Ausnahmeregelungen und Unklarheiten.
In der Mathematik ist es nur graduell anders. Was ist z. B. "linear"?
Die Funktion
p(x) = a + bx
wird in der Regel als linear bezeichnet? Der Linearitätsbedingung
p(x + y) = p(x)+ p(y)
gehorcht sie aber nicht (für a =/= 0).
Es gibt mehr solche Beispiele. Aber was schlimmer ist: Jede Definition
benutzt Wörter. Jedes Wort bedarf einer Definition. Deshalb ist die
Mathematik genau so zirkulär aufgebaut wie jede Sprache. Die
mathematische Zuverlässigkeit irgendwelcher "Beweise" ist eine
Illusion. (Siehe Leibniz' Herleitung der natürlichen Zahlen, die von
Frege kritisiert wurde, oder siehe die aberwitzige Behauptung des
vollendet unendlichen.) Nur wer das versteht, kann die mathematischen
Ergebnisse angemessen würdigen.
Es wäre ein sicher sehr mathematisches Thema, eine Menge M von Bits so
in zwei Mengen A und B aufzuteilen, dass ein Mathematiker aus A
Definitionen bilden könnte, die ein anderer Mathematiker ohne jegliche
Zusatzinformation lesen könnte, um dann mit Hilfe von B möglichst
viele Zahlen zu erzeugen (konstruieren, benennen, adressieren). Die
Aufgabe besteht darin, die Aufteilung so zu wählen, dass die Menge der
konstruierten Zahlen maximal wird. Für sehr große M wird die Aufgabe
anscheinen leicht, weil nur ein sehr kleiner Teil für A benötigt wird.
Die Menge der konstruierten Zahlen ist selbstverständlich immer
endlich --- genau wie unsere Realität, womit wir wieder beim Thema
wären.
Gruß, WM
Ralf Bader
> On 15 Sep., 03:21, Klaus Cammin <netzkl...@klaca.de> wrote:
>> Albrecht schrieb:
>>
>> > Ausgangspunkt war aber meine Behauptung, dass wir Zahlen in unserer
>> > Realität vorfinden, wie wir auch andere Eigenschaften vorfinden.
>>
>> Mit dem letzten Teil hat Du recht. Es gibt aber genausowenig
>> Eigenschaften in der Realität wie Zahlen. ME gibt's Autos, es gibt rote
>> Autos, es gibt aber nicht "Röte" oder "das Rote" an sich. Eigenschaften
>> müssen immer mit dem zugehörigen Substantiv genannt werden, an und für
>> sich machen sie keinen Sinn und deswegen kann man sie in der Realität
>> nicht feststellen.
>
> Diese Aussage ist zumindest erklärungsbedürftig. Du redest also von
> roten Autos, ohne das Rote der Autos in der Realität feststellen zu
> können? Deine Realität ist folglich eigenschaftslos. Ich frage mich,
> wie ein eigenschaftsloses Auto aussieht.
Das Rote der Autos kann man also im Gegensatz zum Grünen der Kleeblätter
"feststellen". Ich sehe, daß wir uns auf großartige Erkenntnisse zubewegen.
>> > Wäre dem nicht so, so liese sich keinerlei Aussage
>> > über die sogenannte Realität treffen.
>>
>> Das erscheint Dir nur so, weil die Frage falsch gestellt ist. Zahlen
>> müssen keineswegs in der Realität existieren, damit man Aussagen über sie
>> machen kann.
>>
>> Ich komme auf das Beispiel Werkzeug und Werkstück zurück.
>> Mit einem 17-ner Schlüssel ziehe ich eine Mutter fest. Was ist die
>> Realität der Schraube? Vorher war sie locker, jetzt ist sie fest. Welche
>> Rolle spielt der Schlüssel in der Realität der Schraube? Ist der
>> Schlüssel deren integraler und absolut notwendiger Bestandteil? Nein, man
>> muß den Schlüssel sogar aus der Realität herauslassen, um sie korrekt zu
>> beschreiben.
>
> Dem Schlüssel kommt die Zahl 17 zu, weil er der siebzehnte in einer
> Reihe ist. Dies ist eine Eigenschaft des Schlüssels, erst einmal, eine
> Eigenschft der Schraube nur vermittelt. Freillich ist die Schraube
> auch eine siebzehnte Schraube einer Folge.
Das wird ja immer besser. Bisher dachte ich, der 17er Schlüssel hat seinen
Namen daher, daß er 17mm Maulweite hat. War offenbar ein Irrtum.
> Siehe mein Posting aufs RB's Einwurf.
>
> Der Rest in den Gulli, wo es hingehört.
Deine "Argumente" und dein vorbildlich sachlicher Diskussionsstil sind
wirklich faszinierend.
Rainer Willis
>> "Unsere Realit�t" gibt es nicht, jeder hat seine eigene, sonst g�be es
>> u.a. keine Missverst�ndnisse.
>
> eigene Interpretation der durch sie verursachten Sinneseindr�cke.
D'accord. Das Problem ist, dass wir an die Realit�t gar nicht
herankommen, an dieses Ding an sich, sondern eben nur an die
Sinneseindr�cke. Wo ist der Sinnesreiz? Im Gegenstand, im Auge, im
Gehirn? Kant bezog sich mit seinen synthetischen a-priori-Urteilen ja
explizit auf die Mathematik, seinem Zeitgenossen, dem Empiristen David
Hume zufolge haben mathematische Erkenntnisse absolute Gewissheit.
Keiner der beiden hat behauptet, Zahlen w�rden der Realit�t entstammen.
[...]
>> Gesetzestexte allgemein, je spezieller umso schlimmer, die strotzen nur
>> so vor Ausnahmeregelungen und Unklarheiten.
>
> In der Mathematik ist es nur graduell anders. Was ist z. B. "linear"?
Eine Mischung aus Kontextabh�ngigkeit und nachl�ssiger
Begriffsverwendung, da hast du recht.
> Die Funktion
> p(x) = a + bx
> wird in der Regel als linear bezeichnet?
Ja, eigentlich m�sste es affin-linear hei�en.
> Der Linearit�tsbedingung
> p(x + y) = p(x)+ p(y)
> gehorcht sie aber nicht (f�r a =/= 0).
Stimmt, gilt nur f�r a = 0.
> Es gibt mehr solche Beispiele. Aber was schlimmer ist: Jede Definition
> benutzt W�rter. Jedes Wort bedarf einer Definition. Deshalb ist die
> Mathematik genau so zirkul�r aufgebaut wie jede Sprache.
Die W�rter einer Sprache sind nicht zirkul�r sondern gegenseitig
bedeutungsverleihend. Es gibt keine im Wort liegende Qualit�t, die eine
bestimmte Bedeutung rechtfertigt.
> Die
> mathematische Zuverl�ssigkeit irgendwelcher "Beweise" ist eine
> Illusion. (Siehe Leibniz' Herleitung der nat�rlichen Zahlen, die von
> Frege kritisiert wurde, oder siehe die aberwitzige Behauptung des
> vollendet unendlichen.) Nur wer das versteht, kann die mathematischen
> Ergebnisse angemessen w�rdigen.
Und dem kann ich nun �berhaupt nicht mehr folgen, ich versteh nicht mal
den Zusammenhang.
[...]
Gru� Rainer
Albrecht
> WM schrieb:
>
> > On 16 Sep., 15:44, Rainer Willis <rainerwil...@web.de> wrote:
> >> Albrecht schrieb:
>
> >> "Unsere Realität" gibt es nicht, jeder hat seine eigene, sonst gäbe es
> >> u.a. keine Missverständnisse.
>
> > eigene Interpretation der durch sie verursachten Sinneseindrücke.
>
> D'accord. Das Problem ist, dass wir an die Realität gar nicht
> herankommen, an dieses Ding an sich, sondern eben nur an die
> Gehirn?
Und aus diesem einfachen Grunde verzichten wir einfach darüber zu
sprechen "Was der Fall ist" und sprechen eben über das, was wir
wahrnehmen. Wahrnehmen heißt aber wiederum genau darum WAHRnehmen, da
wir uns durchaus auf eine gemeinsame Realität einigen können, die aber
anscheinend an den Randbereichen diffus bleiben muss (wie lange ist
exakt dieser Strich: - ?).
Auffallend ist aber, dass wir uns aber über die Aspekte oder
Eigenschaften der Wirklichkeit, die durch natürliche Zahlen
beschrieben werden, exakt im klaren sind und auch eine 100%ige
Einigung erzielen können, während zum Beispiel Eigenschaften wie
Größe, Härte, Festigkeit, Farbe, etc. immer vage bleiben.
Oder sollten wir uns etwa nicht darüber einig werden können, dass hier
" III III " sechs Striche dargestellt sind, die zwischen den
Anführungszeichen eingeschlossen sind? Ich hoffe doch.
Über die geneue Länge der einzelnen Striche werden wir uns kaum
einigen können. Bei mir sind sie etwa 3 mm lang. Aber ist das genau?
Und jemand mit einer anderen Bildschirmauflösung (oder gar mit einem
anderen Zeichensatz)sieht sie ganz anders. Aber auf jedem Falle (wenn
die Codierung, Übertragung, Decodierung richtig läuft) sollten sechs
Zeichen dargestellt werden, exakt sechs.
Gruß
Albrecht
> Kant bezog sich mit seinen synthetischen a-priori-Urteilen ja
> explizit auf die Mathematik, seinem Zeitgenossen, dem Empiristen David
> Hume zufolge haben mathematische Erkenntnisse absolute Gewissheit.
> Keiner der beiden hat behauptet, Zahlen würden der Realität entstammen.
>
> [...]
>
> >> Gesetzestexte allgemein, je spezieller umso schlimmer, die strotzen nur
> >> so vor Ausnahmeregelungen und Unklarheiten.
>
> > In der Mathematik ist es nur graduell anders. Was ist z. B. "linear"?
>
> Eine Mischung aus Kontextabhängigkeit und nachlässiger
> Begriffsverwendung, da hast du recht.
>
> > Die Funktion
> > p(x) = a + bx
> > wird in der Regel als linear bezeichnet?
>
> Ja, eigentlich müsste es affin-linear heißen.
>
> > Der Linearitätsbedingung
> > p(x + y) = p(x)+ p(y)
> > gehorcht sie aber nicht (für a =/= 0).
>
> Stimmt, gilt nur für a = 0.
>
> > Es gibt mehr solche Beispiele. Aber was schlimmer ist: Jede Definition
> > benutzt Wörter. Jedes Wort bedarf einer Definition. Deshalb ist die
> > Mathematik genau so zirkulär aufgebaut wie jede Sprache.
>
> Die Wörter einer Sprache sind nicht zirkulär sondern gegenseitig
> bedeutungsverleihend. Es gibt keine im Wort liegende Qualität, die eine
> bestimmte Bedeutung rechtfertigt.
>
> > Die
> > mathematische Zuverlässigkeit irgendwelcher "Beweise" ist eine
> > Illusion. (Siehe Leibniz' Herleitung der natürlichen Zahlen, die von
> > Frege kritisiert wurde, oder siehe die aberwitzige Behauptung des
> > vollendet unendlichen.) Nur wer das versteht, kann die mathematischen
> > Ergebnisse angemessen würdigen.
>
> Und dem kann ich nun überhaupt nicht mehr folgen, ich versteh nicht mal
> den Zusammenhang.
>
> [...]
>
> Gruß Rainer
Albrecht
17 mm? Oder 17,1754885 mm? oder 16,96938654 mm? Oder sqrt(288) mm?
Zeig mir EINEN Schraubenschlüssel, der 17,000000... mm Maulweite hat.
(Wir sind hier in dsm, nicht in
bastlerundaufbohrerfreundequatschecke).
Feststehende, unverrückbare und exakte Tatsache ist aber, dass der 17-
Schlüssel der 17. Schlüssel in einer Folge ist. Und nichts anderes
(dazu braucht es keine 1er- oder 2er-Schlüssel, die Folge ist
tatsächlich virtuell, na und?)
>
> > Siehe mein Posting aufs RB's Einwurf.
>
> > Der Rest in den Gulli, wo es hingehört.
>
> Deine "Argumente" und dein vorbildlich sachlicher Diskussionsstil sind
> wirklich faszinierend.- Zitierten Text ausblenden -
>
> - Zitierten Text anzeigen -- Zitierten Text ausblenden -
Albrecht
> > On 15 Sep., 03:21, Klaus Cammin <netzkl...@klaca.de> wrote:
> >> Albrecht schrieb:
>
> >> > Ausgangspunkt war aber meine Behauptung, dass wir Zahlen in unserer
> >> > Realität vorfinden, wie wir auch andere Eigenschaften vorfinden.
>
> >> Mit dem letzten Teil hat Du recht. Es gibt aber genausowenig
> >> Eigenschaften in der Realität wie Zahlen. ME gibt's Autos, es gibt rote
> >> Autos, es gibt aber nicht "Röte" oder "das Rote" an sich. Eigenschaften
> >> müssen immer mit dem zugehörigen Substantiv genannt werden, an und für
> >> sich machen sie keinen Sinn und deswegen kann man sie in der Realität
> >> nicht feststellen.
>
> > Diese Aussage ist zumindest erklärungsbedürftig. Du redest also von
> > roten Autos, ohne das Rote der Autos in der Realität feststellen zu
> > können? Deine Realität ist folglich eigenschaftslos. Ich frage mich,
> > wie ein eigenschaftsloses Auto aussieht.
>
> Das Rote der Autos kann man also im Gegensatz zum Grünen der Kleeblätter
> "feststellen". Ich sehe, daß wir uns auf großartige Erkenntnisse zubewegen.
Die zwei Dinge stehen in völlig unterschiedlichen Kontexte. Es ist mir
schleierhaft, wie Du dazu kommst, einen solchen Zusammenhang
herzustellen. Beim "grünen Klee" ging es darum die Behauptung Freges
zu untersuchen, inwiefern Zahleigenschaften und anderweitige
Eigenschaften von der Willkür des Betrachters abhängen. Freges
Ansicht, dass nur die Zahleingeschaft von der Willkür des Betrachters
abhängt ist offensichtlich falsch. Vielmehr sind die Zahleigenschaften
eines Objektes sogar noch jene Eigenschaften, die am leichtesten
definitiv auszusagen sind während andere Eigenschaften (Farbe) auch
von der Willkür des Betrachters abhängen (die Farbe von welchem Teil)
und oft eher vage sind.
Beim Stichwort "Rote Autos" ging es um die Ansicht von RW, dass es
überhaupt keine Eigenschaften gäbe. Ich habe nie behauptet, dass man
das Grün von Klee nicht feststellen könnte, wie Du mir unterstellst.
Die Aussage "Ein Feld von Klee im Frühjahr weist eine grüne Farbe auf"
ist durchaus korrekt und natürlich feststellbar.
Irgendwie hast Du es nicht so mit der Logik.
Gruß
Albrecht
>
>
>
>
>
> >> > Wäre dem nicht so, so liese sich keinerlei Aussage
> >> > über die sogenannte Realität treffen.
>
> >> Das erscheint Dir nur so, weil die Frage falsch gestellt ist. Zahlen
> >> müssen keineswegs in der Realität existieren, damit man Aussagen über sie
> >> machen kann.
>
> >> Ich komme auf das Beispiel Werkzeug und Werkstück zurück.
> >> Mit einem 17-ner Schlüssel ziehe ich eine Mutter fest. Was ist die
> >> Realität der Schraube? Vorher war sie locker, jetzt ist sie fest. Welche
> >> Rolle spielt der Schlüssel in der Realität der Schraube? Ist der
> >> Schlüssel deren integraler und absolut notwendiger Bestandteil? Nein, man
> >> muß den Schlüssel sogar aus der Realität herauslassen, um sie korrekt zu
> >> beschreiben.
>
> > Dem Schlüssel kommt die Zahl 17 zu, weil er der siebzehnte in einer
> > Reihe ist. Dies ist eine Eigenschaft des Schlüssels, erst einmal, eine
> > Eigenschft der Schraube nur vermittelt. Freillich ist die Schraube
> > auch eine siebzehnte Schraube einer Folge.
>
> Das wird ja immer besser. Bisher dachte ich, der 17er Schlüssel hat seinen
> Namen daher, daß er 17mm Maulweite hat. War offenbar ein Irrtum.
>
> > Siehe mein Posting aufs RB's Einwurf.
>
> > Der Rest in den Gulli, wo es hingehört.
>
> Deine "Argumente" und dein vorbildlich sachlicher Diskussionsstil sind