Rang von Matrizen: rg (A * B) <= min { rg(A), rg(B)} ?
shroom
wie kann ich beweisen, dass der Rang des Produkts zweier Matrizen A, B
kleiner oder gleich ist als als Minimum von {rg(A), rg(B)} ?!
rg (A * B) <= min { rg(A), rg(B)} ?
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shroom
kleiner oder gleich ist als als Minimum von {rg(A), rg(B)} ?
Christian Ohn
Am einfachsten betrachtest Du die Matrizen als lineare Abbildungen B:V->W
und A:W->X, wo V,W,X Vektorräume sind. Das Bild von B ist bekanntlich ein
Untervektorraum von W, und rg(B) ist die Dimension dieses Unterraumes.
Ditto für A.
Jetzt wird die Überlegung sehr einfach...
--
Christian Ohn
email: fr.rei...@ohn.christian (Reihenfolge umdrehen)
Web: http://christian.ohn.free.fr/organ/
shroom
die matrizen repräsentiert werden ?
wenn ja, ist dann rg( A * B) = rg (A) weil A die als letzte ausgeführte
Abbildung ist ?
shroom
seien B: V -> W und A: W -> X für V,W,X Vektorräume
rg (A * B) = Dimension des Bildes von V unter der lin. Abb. A*B in W
wenn das soweit richtig ist versteh ich aber immer noch nicht, wieso rg (A *
B) <= min { rg(A), rg(B)} ist ?
Paul Ebermann
>
> seien B: V -> W und A: W -> X für V,W,X Vektorräume
>
> rg (A * B) = Dimension des Bildes von V unter der lin. Abb. A*B in W
Das ist richtig.
Gleiches gilt auch für die Einzel-Abbildungen:
rg(A) = dim(im(A))
rg(B) = dim(im(B))
> wenn das soweit richtig ist versteh ich aber immer noch nicht,
> wieso rg (A * B) <= min { rg(A), rg(B)} ist ?
Du musst eigentlich nur zeigen:
rg(A*B) <= rg(A)
und
rg(A*B) <= rg(B)
Was weißt du über die Dimension des Definitions-Bereiches
im Vergleich zur Dimension des Bildes?
HTH
Paul
shroom
seien B: V -> W und A: W -> X für V,W,X Vektorräume
dann gilt:
rg(A*B) <= rg(A) => dim(im(A*B)) <= dim(im(A))
begründung: die A*B bildet von V direkt nach X ab,
die Abb. A von W nach X hat als Definitionsbereich
hingegen nicht nur Elemente des Bildbereichs von B: V->W
sondern evtl. auch weitere Elemente aus W die nicht in
im(B)
liegen. deshalb gilt dim(im(A*B)) <= dim(im(A))
stimmt dieser teil des beweises ?
Paul Ebermann
>
> seien B: V -> W und A: W -> X für V,W,X Vektorräume
> dann gilt:
> rg(A*B) <= rg(A) => dim(im(A*B)) <= dim(im(A))
>
> begründung: die A*B bildet von V direkt nach X ab,
> die Abb. A von W nach X hat als Definitionsbereich
> hingegen nicht nur Elemente des Bildbereichs von B: V->W
> sondern evtl. auch weitere Elemente aus W die nicht in
> im(B) liegen. deshalb gilt dim(im(A*B)) <= dim(im(A))
>
> stimmt dieser teil des beweises ?
Vielleicht bekommst du eine schönere Formulierung, wenn du
im(A*B) = im(A, 'eingeschränkt auf' im(B)) 'Teilmenge von' im(A)
betrachtest.
Paul
--
Im deutschen Usenet ist es üblich, seinen Realnamen (Vor- + Nachname)
anzugeben. Mehr dazu in den regelmäßigen Postings in de.newusers.infos.
Thomas Wieser
habe bis jetzt folgendes festgestellt:
B: V->W A: W-X A*B: V-X für V,W,X VR
dann gilt:
rg B = dim im(B) <= dim W
(<=, weil im(B) UVR von W)
rg A = dim im(A) <= dim X
(<=, weil im(A) UVR von X)
1. dim W = dim KernW + dim im(A)
2. dim V = dim Kern V + dim im(A*B)
3. dim V = dim Kern V + dim im(B)
aus 2. und 3. folgt:
dim im(A*B) = dim im(B)
da im(B) ein UVR von W und im(A*b) ein UVR von X ist,
und beide gleiche Dimension haben existiert ein Isomorphismus
i: im(B) -> im(A*B)
und (wegen Bijektivität) i^-1: im(A*B)->im(B)
daraus ergibt sich: dim X = kern(X) + rg i^-1 =
= kern(X) + dim im(B)
aber irgendwie rede ich nur um den heißen brei herum ...
Paul Ebermann
> habe bis jetzt folgendes festgestellt:
>
> B: V->W A: W-X A*B: V-X für V,W,X VR
>
> dann gilt:
> rg B = dim im(B) <= dim W
> (<=, weil im(B) UVR von W)
> rg A = dim im(A) <= dim X
> (<=, weil im(A) UVR von X)
Soweit gut.
> 1. dim W = dim KernW + dim im(A)
> 2. dim V = dim Kern V + dim im(A*B)
> 3. dim V = dim Kern V + dim im(B)
Besser:
1. dim(W) = dim(ker(A)) + dim(im(A))
2. dim(V) = dim(ker(A*B)) + dim(im(A*B))
3. dim(V) = dim(ker(B)) + dim(im(B))
> aus 2. und 3. folgt:
>
> dim im(A*B) = dim im(B)
Das ist damit natürlich Unsinn.
Besser: Aus 1,2,3 folgt:
1'. rg(A) = dim(im(A)) <= dim(W)
2'. rg(A*B) = dim(im(A*B)) <= dim(V)
3'. rg(B) = dim(im(B)) <= dim(V)
3' hilft uns nicht so viel, wir können aber 2 und 3
zusammensetzten:
4. dim(im(A*B)) + dim(ker(A*B)) = dim(ker(B)) + dim(im(B))
rg(A*B) = Rg(B) - (dim(ker(A*B)) - dim(ker(B)))
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
Was kannst du jetzt über diesen
Term aussagen?
Genauer: Warum ist er nichtnegativ?
HTH
Paul
Thomas Wieser
vorzeichen gesetzt; müsste eigentlich "+ dim(ker(B)) heissen, weil
es ja nicht die seiten wechselt, dann würde sich folgendes ergeben:
rg(A*B) = rg(B) + dim(ker(B)) - dim(ker(A*B))
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
kann ich folgern dass das markierte sich aufhebt, weil der Kern der
beiden Abbildungen sich im gleichen Vektorraum befindet
(ker(B) = ker(A*B) ? ) und die beiden dimensionen deshalb gleich sind?
dann wäre rg(A*B) = rg(B) ist.
Christian Ohn
> shroom wrote:
>
>> wie kann ich beweisen, dass der Rang des Produkts zweier Matrizen A, B
>> kleiner oder gleich ist als als Minimum von {rg(A), rg(B)} ?
>> bin für jede Hilfe dankbar
>>
>> rg (A * B) <= min { rg(A), rg(B)}
>
> Am einfachsten betrachtest Du die Matrizen als lineare Abbildungen B:V->W
> und A:W->X, wo V,W,X Vektorräume sind. Das Bild von B ist bekanntlich ein
> Untervektorraum von W, und rg(B) ist die Dimension dieses Unterraumes.
> Ditto für A.
>
> Jetzt wird die Überlegung sehr einfach...
Mensch, Leute, ihr könnt Euch vielleicht das Leben schwermachen. Also: zu
zeigen sind die beiden Ungleichungen
rg(A*B)<=rg(A) (i),
rg(A*B)<=rg(B) (ii).
Zu (i): B(V) Unterraum von W, also A(B(V)) Unterraum von A(W), daher gilt
dim A(B(V)) <= dim A(W), m.a.W. (i).
Zu (ii): für jeden Unterraum U in W gilt dim A(U) <= dim U (Beweis: das
Bild einer Basis von U erzeugt A(U)). Für U=B(V) ergibt sich (ii).
Paul Ebermann
> > ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
>
> vorzeichen gesetzt; müsste eigentlich "+ dim(ker(B)) heissen, weil
> es ja nicht die seiten wechselt, dann würde sich folgendes ergeben:
>
> rg(A*B) = rg(B) + dim(ker(B)) - dim(ker(A*B))
> ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
Genau das ergibt sich auch bei mir, du hast meine Klammer übersehen.
> > Was kannst du jetzt über diesen
> > Term aussagen?
> > Genauer: Warum ist er nichtnegativ?
>
> kann ich folgern dass das markierte sich aufhebt, weil der Kern der
> beiden Abbildungen sich im gleichen Vektorraum befindet
> (ker(B) = ker(A*B) ? ) und die beiden dimensionen deshalb gleich sind?
>
> dann wäre rg(A*B) = rg(B) ist.
Nein. Du kannst aber zeigen:
ker(B) 'Teilmenge von' ker(A*B)
Und da beides Untervektorräume von V sind, ist
dim(ker(B)) <= dim(ker(A*B)),
also
dim(ker(A*B) - dim(ker(B)) >= 0.
Damit gilt dann
Rg(B) - ( dim(ker(A*B) - dim(ker(B)) ) <= Rg(B),
und den Rest schaffst du bestimmt selbst.
HTH
Paul
--
Beim Posten und Lesen von Formeln oder Quelltexten macht es sich
gut, wenn eine Fixed-width-Schriftart (wie etwa Courier [new])
sowie Leerzeichen für die Einrückung verwendet werden.
Dann kann man das in jedem Newsreader problemlos lesen.