Volumen einen Zysterne berechnen?
Christian Aurich
Ich möchte das Volumen einer Zysterne berechnen anhand der Füllhöhe.
Es ist zwar ein einfacher Körper (Zylinder) dieser liegt aber.
Wie berechnet man dies?
Rainer Rosenthal
Zur Schreibweise:
http://de.wikipedia.org/wiki/Zyste mit "y": Ausdruck in der Medizin
http://de.wikipedia.org/wiki/Zisterne mit "i": Wasserbehälter
Gegeben ist sicherlich der Durchmesser d der Zisterne sowie ihre
Länge L. Weiterhin ist die Höhe h des Wasserstands gegeben.
Das Volumen ist gleich Seitenfläche mal Länge, und die Seitenfläche
musst Du nun in Abhängigkeit von der Höhe h berechnen.
Schau mal unter "Kreisabschnitt (Segment)" hier nach:
http://de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Geometrie#Fl.C3.A4chen
Wenn Du den Winkel alpha dort aus Höhe h und Radius r = d/2
bestimmen kannst, dann hast Du auch die Fläche A.
Gruß,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
Rainer Rosenthal
> Wenn Du den Winkel alpha dort aus Höhe h und Radius r = d/2
> bestimmen kannst, dann hast Du auch die Fläche A.
Das ist hier bereits vorgerechnet:
http://de.wikipedia.org/wiki/Kreissegment
Das h, was Du brauchst, ist auch das h, das dort benutzt wird.
Das gesuchte Volumen ist also: V = A * L und dabei ist
A = r^2 * arccos(1-h/r) - (r-h)*sqrt(2rh-h^2)
arccos ist die Funktion auf dem Taschenrechner, die man bekommt,
wenn man cos und Inv gleichzeitig drückt; das ist "der inverse
Kosinus". Probe: Für h=0 erwarten wir V=0, egal wie groß L ist.
Für h=0 ist 1-h/r = 1-0/r = 1 und wir müssen arccos(1) berechnen.
Wir suchen also den Winkel (kleiner als 180 Grad), dessen Kosinus
gleich 1 ist. Das ist der Winkel 0. Damit ist tatsächlich A=0.
Probe bestanden.
Gruß,
RR
Christian Aurich
> Zur Schreibweise:
> http://de.wikipedia.org/wiki/Zyste mit "y": Ausdruck in der Medizin
> http://de.wikipedia.org/wiki/Zisterne mit "i": Wasserbehälter
Zur NG:
Hier Mathematik, nix deutsch. ;-)
> Gegeben ist sicherlich der Durchmesser d der Zisterne sowie ihre
> Länge L. Weiterhin ist die Höhe h des Wasserstands gegeben.
> Das Volumen ist gleich Seitenfläche mal Länge, und die Seitenfläche
> musst Du nun in Abhängigkeit von der Höhe h berechnen.
> Schau mal unter "Kreisabschnitt (Segment)" hier nach:
> http://de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Geometrie#Fl.C3.A4chen
> Wenn Du den Winkel alpha dort aus Höhe h und Radius r = d/2
> bestimmen kannst, dann hast Du auch die Fläche A.
Thx, damit sollte es gehen.
Interpretiere ich dies richtig, dass dies nur bis 180° funktioniert.
D und h von dem Ding habe ich natürlich nicht.
Abgelesen wird mittels Differenzdruck auf eine kalibrierten Anzeige von
0-100%.
Nur damit komme ich nicht auf alpha und r.
r und h "kürzen" sich doch irgendwie raus ...
Die Füllmenge ist mit 2.000l bekannt.
Da stehe ich aber etwas auf dem Schlauch um dies in eine Formel umzusetzen,
dass wenn Füllhöhe 60cm bei eine Zisterne D 100cm (= 60%) ein Volumen
rauskommt.
Also so was wie:
Füllhöhe 50% = Volumen 50%
Füllhöhe 70% = Volumen 85% (geschätzt) ...
Gruß
Waldemar Krzok
> "Rainer Rosenthal" <r.ros...@web.de> schrieb im Newsbeitrag
>
>> Zur Schreibweise:
>> http://de.wikipedia.org/wiki/Zyste mit "y": Ausdruck in der Medizin
>> http://de.wikipedia.org/wiki/Zisterne mit "i": Wasserbehälter
>
> Zur NG:
> Hier Mathematik, nix deutsch. ;-)
>> Gegeben ist sicherlich der Durchmesser d der Zisterne sowie ihre
>> Länge L. Weiterhin ist die Höhe h des Wasserstands gegeben.
>> Das Volumen ist gleich Seitenfläche mal Länge, und die Seitenfläche
>> musst Du nun in Abhängigkeit von der Höhe h berechnen.
>> Schau mal unter "Kreisabschnitt (Segment)" hier nach:
>> http://de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Geometrie#Fl.C3.A4chen
>> Wenn Du den Winkel alpha dort aus Höhe h und Radius r = d/2
>> bestimmen kannst, dann hast Du auch die Fläche A.
>
> Thx, damit sollte es gehen.
>
> Interpretiere ich dies richtig, dass dies nur bis 180° funktioniert.
Nö. Wenn weniger als 180°, dann wird die Fläche des Dreiecks von der
Fläche des Kreissegmentes abgezogen, bei mehr als 180° dazuaddiert.
Passiert in der Formel "automagisch", wenn h > r.
> D und h von dem Ding habe ich natürlich nicht.
D müßtest du schon irgendwie haben. Hilfsweise Aussendurchmesser
einsetzen. "h" ist dannD mal deine Prozente. Wenn du Wanddicke des Tanks
hast, dann kannst du sie von dem Aussendurchmesser abziehen (x2) dann
ist es noch genauer.
> Abgelesen wird mittels Differenzdruck auf eine kalibrierten Anzeige von
> 0-100%.
> Nur damit komme ich nicht auf alpha und r.
Die Formel hat die Rainer in vorgekauter Version schon angegeben.
Waldemar
--
My jsme Borgové. Sklopte štíty a vzdejte se. Odpor je marný.
Rainer Rosenthal
> Füllhöhe 50% = Volumen 50%
> Füllhöhe 70% = Volumen 85% (geschätzt) ...
Wenn Du die Höhe in Prozent rechnen willst, dann
ist D offenbar 100, nicht wahr? Also ist r=50.
Das Volumen V(h) bei Füllstand h willst Du in
Relation setzen zu dem Volumen V(100) des
ganzen Tanks.
In Prozenten ist das dann also:
VolumenInProzent = V(FüllhöheInProzent)/V(100) * 100,
Jetzt klar?
Gruß,
RR
Andreas Fischer
> Die Füllmenge ist mit 2.000l bekannt.
Wäre es nicht einfacher, die Zisterne einmal mit Leitungswasser
aufzufüllen und dabei mit der Wasseruhr im Keller und der angezeigten
Druckdifferenz eine Tabelle zu erstellen?
Andreas
Christian Aurich
news:9454pq...@mid.uni-berlin.de...
Hallo!
> Tabelle:
>
> FH/% := Füllhöhe in Prozent
> FS/% := Füllstand in Prozent
> FS/l := Füllstand in Litern
>
> FH/% FS/% FS/l FH/% FS/% FS/l
> ---------------------- ----------------------
Wie kommst Du darauf? Die Werte kommen nicht hin.
> FH/% FS/% FS/l
> ----------------------
> 2,2 5,0 100
> 90,4 87,5 1750
Das kann auch nicht sein. Es ist ja klar, dass bei konstantem Wasserzufluß
die Füllhöhe bei leerer und später bei voller Zisterne sehr schnell steigt.
2% können niemals 100l Wasser sein.
Selbst bei linearerm Verhalten (Zylinder stehend) wären 2% FH nur 40l FS.
Real müsten 2% eher um 10-20 Lieter sein ...
Christian Aurich
> Weiß der Geier, was da in die Grütze gegangen ist. Paßt das besser?
Thx, dass ist ja schon Mundgerecht.
Der Rechenweg interessiert aber auch.
btw: wieso interpoliert und die Formel umgestellt?
Stephan Gerlach
>> Länge L. Weiterhin ist die Höhe h des Wasserstands gegeben.
>> Das Volumen ist gleich Seitenfläche mal Länge, und die Seitenfläche
>> musst Du nun in Abhängigkeit von der Höhe h berechnen.
>> Schau mal unter "Kreisabschnitt (Segment)" hier nach:
>> http://de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Geometrie#Fl.C3.A4chen
>> Wenn Du den Winkel alpha dort aus Höhe h und Radius r = d/2
>> bestimmen kannst, dann hast Du auch die Fläche A.
>
> Thx, damit sollte es gehen.
>
> Interpretiere ich dies richtig, dass dies nur bis 180° funktioniert.
Warum sollte es bei alpha > 180° nicht funktionieren? In diesem Fall ist
sin(alpha) nämlich negativ. Was die Konsequenz hat, daß in der Formel in
der Klammer letztenendes "+" statt "-" gerechnet wird.
> D und h von dem Ding habe ich natürlich nicht.
Das ist komisch. Was für Daten hast du denn überhaupt gegeben von deinem
Zylinder? Aus "keine Daten" kann man schlecht ein Volumen ausrechnen.
> Abgelesen wird mittels Differenzdruck auf eine kalibrierten Anzeige von
> 0-100%.
100% heißt vermutlich "Zylinder voll" und 0% "Zylinder leer"?
> Nur damit komme ich nicht auf alpha und r.
>
> r und h "kürzen" sich doch irgendwie raus ...
> Die Füllmenge ist mit 2.000l bekannt.
>
> Da stehe ich aber etwas auf dem Schlauch um dies in eine Formel
> umzusetzen, dass wenn Füllhöhe 60cm bei eine Zisterne D 100cm (= 60%)
> ein Volumen rauskommt.
Mir ist ehrlich gesagt noch nicht ganz klar, *was* für Informationen
denn nun gegeben sind:
- im Zylinder befinden sich V_w = 2000 l Wasser
- die Füllhöhe beträgt x = 60cm?
Aus diesen beiden Daten allein läßt sich natürlich das Volumen V des
gesamten Zylinders *nicht* bestimmen. Es wäre z.B. möglich, daß bei 60cm
Füllhöhe der Zylinder komplett gefüllt ist, weil der Radius des
Zylinders vielleicht r = 30cm beträgt. Dann wäre V_w = V = 2000 l. Es
wäre aber auch denkbar, daß der Zylinder einen größeren Radius r hat,
dann wäre auch V größer.
Oder ist vielleicht D ebenfalls gegeben?
Oder irgendeine andere Information?
--
> Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.
gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)
Maximilien de Robespierre
Ich möchte das auch mal versuchen.
Allgemein gilt: Volumen = Querschnittsfläche mal Zylinderlänge.
Somit reduziert sich die Aufgabe in der Berechnung der
Querschnittstfläche in Abhänngigkeit der Füllhöhe h.
Diese Fläche ist ein Kreissegment. Diese Fläche ist zu berechnen.
FK: Kreisfläche
FK = R^2*pi
FA: Fläche des Kreisabschnitts außerhalb des Segmentes
alpha: Winkel des Segmentes
h: Füllhöhe
cos(alpha/2) = (R - h)/R
sin(alpha/2) = sqrt[1 - ((R - h)/R)^2]
FA = R^2*(pi - alpha/2) = R^2*{pi - arcos[(R - h)/R]/2}
FD: Fläche des innenliegenden Dreiecks oberhalb des Segments
FD = (R - h)*R*sin(alpha/2)/2 = (R - h)*R*sqrt[1 - ((R - h)/R)^2]/2
FS: gesuchte Fläche des Segmentes
FK = FA + FD + FS
FS = FK - FA - FD
FS = R^2*pi-R^2*{pi-arcos[(R-h)/R]/2}-(R-h)*R*sqrt[1-((R-h)/R)^2]/2
Probe für h=0
FS = R^2*pi-R^2*{pi-arcos[(R)/R]/2}-(R)*R*sqrt[1-((R)/R)^2]/2
FS = R^2*pi-R^2*{pi-arcos[1]/2}-(R)*R*sqrt[1-(1)^2]/2
FS = R^2*pi-R^2*{pi-0}-(R)*R*sqrt[0]/2
FS = 0
o.K.
Probe für h=R
FS = R^2*pi-R^2*{pi-arcos[(R-R)/R]/2}-(R-R)*R*sqrt[1-((R-R)/R)^2]/2
FS = R^2*pi-R^2*{pi-arcos[(0)/R]/2}-(0)*R*sqrt[1-((0)/R)^2]/2
FS = R^2*pi-R^2*{pi-arcos[(0)/R]/2}
FS = R^2*pi-R^2*pi/2 = FK/2
o.K.
Somit berechnet sich das Volumen V in Abhängigkiet von der Füllhöhe h:
V(h) = l*R^2*pi-l*R^2*{pi-arcos[(R-h)/R]/2}-l*(R-h)*R*sqrt[1-((R-h)/R)^2]/2
l ist die Zylinderlänge
%V(h) = V(h)/(r^2*pi*l)*100
%V(h) = 100 -
100*{1-arcos[(R-h)/(R*pi)]/2}-(R-h)*sqrt[1-((R-h)/R)^2]/(2*R*pi)
Der Rest ist Programmierung
Maximilien
Christopher Creutzig
> (Wie invertiert man eigentlich zweckmäßigerweise eine gegebene Fkt.
> durch Reihenentwicklung unter Ausnutzung ihrer bekannten analytischen
> Eigenschaften? Ich fürchte, daß ich das nicht weiß.)
Mit dem Inversionssatz von Lagrange für Potenzreihen bekommst Du die
Potenzreihe der inversen Funktion.
--
Konsequent weitergedacht müssten auch Wohnungsdurchsuchungen verboten
werden, weil sich der Verdächtige durch den Besitz von Diebesgut de
facto ebenso belastet wie durch ein (Teil-)Geständnis. (Stefan Schmitz)