Tiefer oder Höher-Spiel
Hauke Reddmann
1. Es gibt n Zahlen von 1-n, die in zufälliger Reihenfolge
gezogen werden, und 1 Opfer, äh, Rater.
2. Die erste Zahl ist gratis. Bei den nächsten muß der
Rater vorher "Tiefer" oder "Höher" (als die zuvor gezogene
Zahl) sagen. Rät er falsch, hat er verloren.
3. Die Zahl ist dann "weg". (Bei der praktischen Ausführung
wurden einfach gemischte Karten der Reihe nach umgedreht.)
Schafft er es bis zur letzten Zahl, hat er gewonnen.
4. Wie groß ist die Siegchance? (n=12)
A. Eine Karte ist trivial gewonnen.
B. Zwei auch, außer bei totaler Verblödung. :-)
C. Drei ist einfach: Wenn die 2 als erstes kommt und man
falsch rät (1/3*1/2), hat man verloren.
D. Vier schon nicht mehr. Wenn die 1 oder 4 gezogen
wird, sind wir bei C. Falls aber die 2, so
ist es entgegen dem flüchtigen Blick egal, ob man
"Höher" oder "Tiefer" sagt: In beiden Fällen hat
man 1/3 Gewinnwahrscheinlichkeit, weil die
niedrigere für "Tiefer" durch die bessere Situation
danach kompensiert wird. (Zusammen 7/12 Gewinn)
D.h., man darf bei der Analyse keinesfalls davon ausgehen,
daß es die richtige Strategie ist, einfach "Höher" zu sagen,
wenn noch mehr höhere Zahlen im Spiel sind.
Stellt mal einer die komplette Markov-Matrix auf? :-)
--
Hauke Reddmann <:-EX8 fc3...@uni-hamburg.de
Er-a svo gott sem gott kveða
öl alda sonum, því að færra veit
er fleira drekkur síns til geðs gumi.
Stefan Kirchner
> War grad auf dem Alstervergnügen...
>
> 1. Es gibt n Zahlen von 1-n, die in zufälliger Reihenfolge
> gezogen werden, und 1 Opfer, äh, Rater.
> 2. Die erste Zahl ist gratis. Bei den nächsten muß der
> Rater vorher "Tiefer" oder "Höher" (als die zuvor gezogene
> Zahl) sagen. Rät er falsch, hat er verloren.
> 3. Die Zahl ist dann "weg". (Bei der praktischen Ausführung
> wurden einfach gemischte Karten der Reihe nach umgedreht.)
> Schafft er es bis zur letzten Zahl, hat er gewonnen.
> 4. Wie groß ist die Siegchance? (n=12)
>
> A. Eine Karte ist trivial gewonnen.
> B. Zwei auch, außer bei totaler Verblödung. :-)
> C. Drei ist einfach: Wenn die 2 als erstes kommt und man
> falsch rät (1/3*1/2), hat man verloren.
> D. Vier schon nicht mehr. Wenn die 1 oder 4 gezogen
> wird, sind wir bei C. Falls aber die 2, so
> ist es entgegen dem flüchtigen Blick egal, ob man
> "Höher" oder "Tiefer" sagt: In beiden Fällen hat
> man 1/3 Gewinnwahrscheinlichkeit, weil die
> niedrigere für "Tiefer" durch die bessere Situation
> danach kompensiert wird.
Sicher?
Angenommen Du sagst "höher", dann gibt es drei Fälle für die als nächste
gezogene Zahl.
a) 1: mit Wahrscheinlichkeit 1 verloren
b) 3: mit Wahrscheinlichkeit 1/2 gewonnen
c) 4: mit Wahrscheinlichkeit 1 gewonnen; du sagst "tiefer" und im
nächsten Schritt höher (bzw. tiefer), wenn die Zahl 1 (bzw. 3) gezogen
wurde.
Gewinnwahrscheinlichkeit bei 2 im ersten Zug und anschließendem
"höher": Fall a + Fall b + Fallc = 0 + 1/3 * 1/2 + 1/3 * 1 = 1/2 > 1/3.
Ingesamt ergibt sich damit eine Gewinnwahrscheinlichkeit von 1/2 * 5/6 +
1/2 * 1/2 = 2/3 bei vier Karten.
Vielleicht hilft für den allgemeinen Fall eine rekursive Berechnung von
P[k,n] = Gewinnwahrscheinlichkeit (bei optimaler Strategie), wenn n Karten
übrig sind, wobei k kleiner und n-k Karten größer als die soeben gezogene
Karte ist.
Viele Grüße
Stefan
Hauke Reddmann
Die Rekursion sollte nicht übermäßig schwierig sein -
da ja nur "tiefer" oder "höher" relevant ist, ist z.B.
5 (2, 8, 9) und 3 (1, 10, 12) äquivalent und für
m Restkarten gibt es nur m Zustände (und davon sind
wieder rund die Hälfte äquivalent).
Stefan Kirchner
> Stimmt, ich konnte mal wieder nicht rechnen :-)
>
> Die Rekursion sollte nicht übermäßig schwierig sein -
> da ja nur "tiefer" oder "höher" relevant ist, ist z.B.
> 5 (2, 8, 9) und 3 (1, 10, 12) äquivalent und für
> m Restkarten gibt es nur m Zustände (und davon sind
> wieder rund die Hälfte äquivalent).
Genau. Nebenbei erhält man durch ein analoges Symmetrieargument auch noch,
dass die optimale Strategie darin besteht, pro Schritt "tiefer" ("höher")
zu sagen, wenn es mehr kleinere (größere) als größere (kleinere)
Restkarten bezüglich der gerade aufgedeckten Zahlen gibt. Mit anderen
Worten: Man verläuft sich nicht in ein lokales Optimum, das nicht auch
global optimal ist. Bei "Gleichstand" ist es egal, ob man "tiefer oder
"höher" sagt.
Du kannst die (linearen) Rekursionsgleichungen ja mal aufschreiben und
dann die Werte für die ersten Zahlen hier mitteilen.
Viele Grüße
Stefan