Behauptung A: Jede Abbildung {0} U N --> N ist nicht injektiv

[Rainer Rosenthal]

Immer, wenn's konkret wird ...

Die im Titel genannte Behauptung A ist falsch.
Gegenbeispiel ist die Abbildung f: {0} U N --> N, definiert durch
f(n) = n+1 für n = 0, 1, 2, ...

Es ist nicht so schwierig, die Injektivität von f zu zeigen.
Wie schwierig es ist, das dann auch zu verstehen, hängt vom Leser oder
der Leserin ab.

Behauptung B:
Die Abbildung f: {0} U N --> N mit f(n) = n+1 ist injektiv.

Beweis:
Seien x und y verschiedene Elemente von {0} U N, also x /= y.
Dann sind f(x) = x+1 und f(y) = y+1 ebenfalls verschieden, denn wäre

x + 1 = y + 1

so wäre (subtrahiere 1 auf beiden Seiten) x = y.

q.e.d.

[Ganzhinterseher]

Rainer Rosenthal schrieb am Montag, 8. November 2021 um 10:16:59 UTC+1:
> Immer, wenn's konkret wird ...
>
> Die im Titel genannte Behauptung A ist falsch.
> Gegenbeispiel ist die Abbildung f: {0} U N --> N, definiert durch
> f(n) = n+1 für n = 0, 1, 2, ...
>
> Es ist nicht so schwierig, die Injektivität von f zu zeigen.
> Wie schwierig es ist, das dann auch zu verstehen, hängt vom Leser oder
> der Leserin ab.

Bitte zeige das für alle Elemente von ℕ. Ich vermute doch stark, das alle Deine Kandidaten ℵ₀ Nachfolger haben, also zu einem verschwindend kleinen Anfangsabschnitt von ℕ gehören. Oder willst Du es nur für die potentiell unendliche Menge der endlichen Anfangsabschnitte zeigen? Ja, dafür ist es richtig.

>
> Behauptung B:
> Die Abbildung f: {0} U N --> N mit f(n) = n+1 ist injektiv.
>
> Beweis:
> Seien x und y verschiedene Elemente von {0} U N, also x /= y.
> Dann sind f(x) = x+1 und f(y) = y+1 ebenfalls verschieden, denn wäre
>
> x + 1 = y + 1
>
> so wäre (subtrahiere 1 auf beiden Seiten) x = y.
>
> q.e.d.

Alle Deine verschiedenen Elemente haben ℵ₀ Nachfolger. oper edei deixai.

Deine Behauptung soll aber auch für diese Nachfolger richtig sein. Warum glaubst bzw. behauptest Du das?

Gruß, WM

[Rainer Rosenthal]

Am 08.11.2021 um 10:34 schrieb Ganzhinterseher:
> Rainer Rosenthal schrieb am Montag, 8. November 2021 um 10:16:59 UTC+1:
>> Immer, wenn's konkret wird ...
>>
>> Die im Titel genannte Behauptung A ist falsch.
>> Gegenbeispiel ist die Abbildung f: {0} U N --> N, definiert durch
>> f(n) = n+1 für n = 0, 1, 2, ...
>>
>> Es ist nicht so schwierig, die Injektivität von f zu zeigen.
>> Wie schwierig es ist, das dann auch zu verstehen, hängt vom Leser oder
>> der Leserin ab.
>
> Bitte zeige das für alle Elemente von ℕ.

Ich habe gezeigt, dass f injektiv ist, und nur darum geht es.
Der Beweis funktioniert so, dass für x /= y gezeigt wird, dass auch
f(x) /= f(y) ist. Verstanden?

Gruß,
RR

[Ganzhinterseher]

Rainer Rosenthal schrieb am Montag, 8. November 2021 um 10:55:27 UTC+1:
> Am 08.11.2021 um 10:34 schrieb Ganzhinterseher:
> > Rainer Rosenthal schrieb am Montag, 8. November 2021 um 10:16:59 UTC+1:
> >> Immer, wenn's konkret wird ...
> >>
> >> Die im Titel genannte Behauptung A ist falsch.
> >> Gegenbeispiel ist die Abbildung f: {0} U N --> N, definiert durch
> >> f(n) = n+1 für n = 0, 1, 2, ...
> >>
> >> Es ist nicht so schwierig, die Injektivität von f zu zeigen.
> >> Wie schwierig es ist, das dann auch zu verstehen, hängt vom Leser oder
> >> der Leserin ab.
> >
> > Bitte zeige das für alle Elemente von ℕ.
> Ich habe gezeigt, dass f injektiv ist, und nur darum geht es.

Es geht aber nicht nur um die wenigen Elemente mit ℵ₀ Nachfolgern.

> Der Beweis funktioniert so, dass für x /= y gezeigt wird, dass auch
> f(x) /= f(y) ist. Verstanden?

Du beweist etwas für ein paar natürliche Zahlen, aber behauptest es für alle. Kannst Du das verstehen? Hast Du denn inzwischen wenigstens Eulers Fehler verstanden? Oder auch noch nicht?

Gruß, WM

[Rainer Rosenthal]

Am 08.11.2021 um 11:51 schrieb Ganzhinterseher:
> Hast Du denn inzwischen wenigstens Eulers Fehler verstanden? Oder auch noch nicht?
>

Doch, ich habe ihn verstanden. Aber ich habe ihm verziehen.

[Gus Gassmann]

On Monday, 8 November 2021 at 05:34:26 UTC-4, Ganzhinterseher wrote:
> Rainer Rosenthal schrieb am Montag, 8. November 2021 um 10:16:59 UTC+1:
> > Immer, wenn's konkret wird ...
> >
> > Die im Titel genannte Behauptung A ist falsch.
> > Gegenbeispiel ist die Abbildung f: {0} U N --> N, definiert durch
> > f(n) = n+1 für n = 0, 1, 2, ...
> >
> > Es ist nicht so schwierig, die Injektivität von f zu zeigen.
> > Wie schwierig es ist, das dann auch zu verstehen, hängt vom Leser oder
> > der Leserin ab.
> Bitte zeige das für alle Elemente von ℕ. Ich vermute doch stark, das alle Deine Kandidaten ℵ₀ Nachfolger haben, also zu einem verschwindend kleinen Anfangsabschnitt von ℕ gehören.

*JEDES* Element von ℕ hat ℵ₀ Nachfolger. (Das kannst du hoffentlich selber durch vollständige Induktion beweisen, vor allem seit du einlässt, dass die natürliche Zahl 1 ℵ₀ Nachfolger hat.) Allerdings ist richtig, dass ein Endsegment wesentlich grössere Kardinalität besitzt als ein Anfangsabschnitt.

[...]

[Ganzhinterseher]

Gus Gassmann schrieb am Montag, 8. November 2021 um 12:25:54 UTC+1:
> On Monday, 8 November 2021 at 05:34:26 UTC-4, Ganzhinterseher wrote:

> > Bitte zeige das für alle Elemente von ℕ. Ich vermute doch stark, das alle Deine Kandidaten ℵ₀ Nachfolger haben, also zu einem verschwindend kleinen Anfangsabschnitt von ℕ gehören.
> *JEDES* Element von ℕ hat ℵ₀ Nachfolger.

Nein, nicht alle Elemente, die an einer Bijektion von ℕ beteiligt sind, haben ℵ₀ Nachfolger, denn ohne die Vollständigkeit könnte man Surjektivität bzw. "links total" nicht beweisen. Stell Dir vor, man würde bei Cantors Abzählversuchen immer darauf hinweisen, dass ja noch ℵ₀ Elemente fehlen.

Gruß, WM

[Ganzhinterseher]

Keine Ursache, denke ich. Jeder macht Fehler, und Euler war bestimmt einer der Besten.
Allerdings hat er für die Summe aller natürlichen Zahlen neben -1/12 auch noch
(oo+1)*oo/2 angegeben, wobei er oo wie eine feste Zahl behandelt hat. Hätte er |ℕ| gewählt und |ℕ|*(|ℕ| +1)/2 geschrieben, so hätte er's getroffen, meine ich.

Gruß, WM

[Rainer Rosenthal]

Schon recht, aber das heben wir uns für ein anderes Mal auf.
Lass uns einfach beim Thema bleiben.
Einer von uns wird dabei sicher noch recht viel lernen.

Gruß,
RR

[Gus Gassmann]

Du armer Irrer. Du meinst also, dass es natürliche Zahlen gibt, zu denen man die 1 nicht addieren kann. Das heisst, dass in deinem Wahnsystem Addition nicht definiert ist, deshalb auch keine Multiplikation, generelle Arithmetik, und so ziemlich alles, was Zahlen ausmacht. So ein System kann doch nicht einmal Kleingeister befriedigen. Geistig bist du offensichtlich eine Null.

[Juergen Ilse]

Hallo,

Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:
> Rainer Rosenthal schrieb am Montag, 8. November 2021 um 10:55:27 UTC+1:
>> Am 08.11.2021 um 10:34 schrieb Ganzhinterseher:
>> > Rainer Rosenthal schrieb am Montag, 8. November 2021 um 10:16:59 UTC+1:
>> >> Immer, wenn's konkret wird ...
>> >>
>> >> Die im Titel genannte Behauptung A ist falsch.
>> >> Gegenbeispiel ist die Abbildung f: {0} U N --> N, definiert durch
>> >> f(n) = n+1 für n = 0, 1, 2, ...
>> >>
>> >> Es ist nicht so schwierig, die Injektivität von f zu zeigen.
>> >> Wie schwierig es ist, das dann auch zu verstehen, hängt vom Leser oder
>> >> der Leserin ab.
>> >
>> > Bitte zeige das für alle Elemente von ℕ.
>> Ich habe gezeigt, dass f injektiv ist, und nur darum geht es.
>
> Es geht aber nicht nur um die wenigen Elemente mit ℵ₀ Nachfolgern.

*JEDE* natuerliche Zahl hat nur endlich viele Vorgaenger und unendlich
viele Nchfolger.

>> Der Beweis funktioniert so, dass für x /= y gezeigt wird, dass auch
>> f(x) /= f(y) ist. Verstanden?
>
> Du beweist etwas für ein paar natürliche Zahlen, aber behauptest es für alle. Kannst Du das verstehen?

Seine Behauptung gilt offeensichtlich fuer eine induktive Menge (auch wenn
er nicht vollstaeendige Induktion als Beweisverfahren eingesetzt hat, haette
er das tun koennen, und damit gilt seine Behauptung fuer eine induktive
Menge). Da die natuerichen Zahlen der Schnitt aller induktiven Mengen
(eben eine "minimale induktive Menge) ist, waere die Aussage spaetestens
dann fuer *alle* natuerlichen Zahlen gezeigt, wenn man den Nachweis mit
vollstaendiger Induktion gefuehrt haette. Nein, da fuehrt kein Weg dran
vorbei, wirklich nicht.

> Hast Du denn inzwischen wenigstens Eulers Fehler verstanden? Oder auch noch nicht?

Welcher Fehler sollte das denn sein? Versuchen SIE doch erst einmal
IHRE eigenen Fehler zu verstehen.

Tschuess,
Juergen Ilse (jue...@usenet-verwaltung.de)

[Ganzhinterseher]

Das ist das Thema! Es gibt zwei Arten von Unendlichkeit, die potentielle und die vollendete. Vollendet heißt fertig. Nichts geht mehr. Es ist mir erst im Rahmen dieser Diskussionen aufgefallen, dass die aktual unendlichen Mengen fest sein müssen. Cantor hat das auch so gesehen:

Ich glaube aber auch ferner, und das ist der erste Punct, in welchem ich mich über die Punctatomistik erhebe, dass die Gesammtheit der Körperatome von der ersten Mächtigkeit, die Gesammtheit der Ätheratome von der zweiten Mächtigkeit ist und hierin besteht meine erste Hypothese. [Cantor an Mittag-Leffler (1884)]

Können die Körperatome in ihrer Anzahl nicht fest sein? Kann die vollständige Menge aller natürlichen Zahlen nicht fest sein? WENN es sie gibt, dann gibt es sie ganz. Deswegen behaupte ich, dass die Anzahl aller natürlichen Zahlen kein aberwitziger Begriff ist, sondern existiert, aber nicht durch arithmetische Operationen mit irgendwelchen endlichen Zahlen verknüpfbar ist. Die Bedeutung von unendlich ist also nicht eine elastische immer wieder veränderbare Menge, sondern eine fest Größe, für die natürlichen Zahlen zum Beispiel gilt dann:
|ℕ| + 1 =/= |ℕ|.
Unendlich bezieht sich lediglich darauf, dass man ohne Ende zählen kann ohne jemals |ℕ| zu erreichen. Deswegen kannst Du f(n) = n+1 oder f(n) = n^n^n^n wählen,ohne auf einen Widerspruch zu stoßen. Für alle wählbaren Zahlen gilt |ℕ| - n = ℵo, weil |ℕ| eben unvorstellbar groß ist.

Ein Argument für diese Anschauung besteht in der allbekannten Tatsache, dass die ganze unendliche Menge ganz andere Eigenschaften hat als alle endlichen Teile. Alle Schnitte über endliche Mengen von Endsegmenten sind unendlichen, Schnitte über aktual unendlich viele oder sogar alle Endsegmente sind aber leer. Die Mengenlehre sagt "über endlich viele". Das bedeutet aber und ist gleichlautend mit "über definierbare".

Wären alle Zahlen in Endsegmenten definierbar und wären alle Endsegmente unendlich, so ergäbe sich der unauflösbare Widerspruch, das der Schnitt aller nicht leer sein kann.

Gruß, WM

[Ganzhinterseher]

Juergen Ilse schrieb am Montag, 8. November 2021 um 20:18:12 UTC+1:

> Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:

> >> Der Beweis funktioniert so, dass für x /= y gezeigt wird, dass auch
> >> f(x) /= f(y) ist. Verstanden?
> >
> > Du beweist etwas für ein paar natürliche Zahlen, aber behauptest es für alle. Kannst Du das verstehen?
> Seine Behauptung gilt offeensichtlich fuer eine induktive Menge (auch wenn
> er nicht vollstaeendige Induktion als Beweisverfahren eingesetzt hat, haette
> er das tun koennen, und damit gilt seine Behauptung fuer eine induktive
> Menge).

Ja. Die aktual unendlich Menge |ℕ| ist aber nicht induktiv, sondern eine feste Größe mit einer festen Anzahl |ℕ| < |ℕ| +1. Als Beispiel empfehle ich die Stammbrüche im ersten Einheitsintervall. (Das ist anschaulicher als die natürlichen Zahlen selbst.) Sie liegen als Punkte absolut fest. Kein einziger darf fehlen und kein einziger darf zu viel sein. Du kannst auch alle endlichen Anfangsabschnitte betrachten. Damit hast Du alle definierbaren und zur induktiven Menge gehörenden.

> > Hast Du denn inzwischen wenigstens Eulers Fehler verstanden? Oder auch noch nicht?
> Welcher Fehler sollte das denn sein?

Unwichtig. Aber interessant ist sein Summe aller natürlichen Zahlen. Könnte sie existieren, wenn die Menge nicht fest wäre?

Gruß, WM

[Ganzhinterseher]

Gus Gassmann schrieb am Montag, 8. November 2021 um 15:27:18 UTC+1:
> On Monday, 8 November 2021 at 07:41:25 UTC-4, Ganzhinterseher wrote:
>
> > > *JEDES* Element von ℕ hat ℵ₀ Nachfolger.
> > Nein, nicht alle Elemente, die an einer Bijektion von ℕ beteiligt sind, haben ℵ₀ Nachfolger, denn ohne die Vollständigkeit könnte man Surjektivität bzw. "links total" nicht beweisen. Stell Dir vor, man würde bei Cantors Abzählversuchen immer darauf hinweisen, dass ja noch ℵ₀ Elemente fehlen.

> Du meinst also, dass es natürliche Zahlen gibt, zu denen man die 1 nicht addieren kann.

Nein, das meine ich nicht. wenn Du zu x gekommen bist, schreibe x 1. Aber Du wirst niemals zu |ℕ| oder auch nur in die Nähe kommen. Dann könntest Du auch |ℕ| + 1 schreiben und hättest eine größere Zahl.

> Das heisst, dass in deinem Wahnsystem Addition nicht definiert ist, deshalb auch keine Multiplikation, generelle Arithmetik, und so ziemlich alles, was Zahlen ausmacht. So ein System kann doch nicht einmal Kleingeister befriedigen. Geistig bist du offensichtlich eine Null.

Nun das wäre doch auch eine interessante Bekanntschaft. Die Null ist schließlich keine gewöhnliche Zahl.

Gruß, WM

[Gus Gassmann]

On Monday, 8 November 2021 at 15:36:28 UTC-4, Ganzhinterseher wrote:
> Gus Gassmann schrieb am Montag, 8. November 2021 um 15:27:18 UTC+1:
> > On Monday, 8 November 2021 at 07:41:25 UTC-4, Ganzhinterseher wrote:
> >
> > > > *JEDES* Element von ℕ hat ℵ₀ Nachfolger.
> > > Nein, nicht alle Elemente, die an einer Bijektion von ℕ beteiligt sind, haben ℵ₀ Nachfolger, denn ohne die Vollständigkeit könnte man Surjektivität bzw. "links total" nicht beweisen. Stell Dir vor, man würde bei Cantors Abzählversuchen immer darauf hinweisen, dass ja noch ℵ₀ Elemente fehlen.
> > Du meinst also, dass es natürliche Zahlen gibt, zu denen man die 1 nicht addieren kann.
> Nein, das meine ich nicht. wenn Du zu x gekommen bist, schreibe x 1. Aber Du wirst niemals zu |ℕ| oder auch nur in die Nähe kommen. Dann könntest Du auch |ℕ| + 1 schreiben und hättest eine größere Zahl.

Du bist echt nicht mehr dicht. aleph_0 ist genausowenig eine natürliche Zahl wie omega. Und trotzdem meinst du, es gäbe natürliche Zahlen, die weniger als ℵ₀ Nachfolger haben. Das ist zum einen unkonsequent und zum andern hirnrissig. Deine Gehirnfunktionen sind imminent am Ableben.

[Stephan Gerlach]

Rainer Rosenthal schrieb:

Oder (didaktisch) noch einfacher:

Seien f(x) und f(y) 2 Elemente aus dem Wertebereich
W_f = {f(n) | n Element {0} U N}
mit
f(x) = f(y).
Nach Definition der Abbildung f gilt
x + 1 = y + 1.
Subtraktion von 1 auf beiden Seiten ergibt
x = y,
und das bedeutet (per Definition), daß f injektiv ist.

(D.h. man braucht nicht unbedingt mit verschiedenen Elementen
argumentieren, sondern kann "direkt" die Injektivität beweisen.)

Insgesamt ist die Aussage aber sehr trivial.


--
> Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.
gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)

[Stephan Gerlach]

Ganzhinterseher schrieb:

> Rainer Rosenthal schrieb am Montag, 8. November 2021 um 10:16:59 UTC+1:
>> Immer, wenn's konkret wird ...
>>
>> Die im Titel genannte Behauptung A ist falsch.
>> Gegenbeispiel ist die Abbildung f: {0} U N --> N, definiert durch
>> f(n) = n+1 für n = 0, 1, 2, ...
>>
>> Es ist nicht so schwierig, die Injektivität von f zu zeigen.
>> Wie schwierig es ist, das dann auch zu verstehen, hängt vom Leser oder
>> der Leserin ab.
>
> Bitte zeige das für alle Elemente von ℕ.

Bei der Injektivität einer Abbildung geht es überhaupt nicht darum,
etwsa für alle Elemente einer der beiden beteiligten Mengen zu zeigen.
--> Thema verfehlt

Sei f: M_1 --> M_2
irgendeine Abbildung. f ist injektiv genau dann, wenn für alle f(x1),
f(x2) aus dem Wertebereich
W_f = {f(x) | x Element M_1}
mit f(x1) = f(x2)
notwendig
x1 = x2
folgt.

Wenn hier überhaupt die Terminologie "für alle" eine Rolle spielt, dann
in dem Sinne, daß x1=x2 für alle Wertepaare(!)
(f(x1), f(x2))
aus dem kartesischen Produkt W_f × W_f mit f(x1)=f(x2) zu zeigen ist.

> Ich vermute doch stark, das alle Deine Kandidaten ℵ₀ Nachfolger haben,
> also zu einem verschwindend kleinen Anfangsabschnitt von ℕ gehören.
> Oder willst Du es nur für die potentiell unendliche Menge der endlichen
> Anfangsabschnitte zeigen? Ja, dafür ist es richtig.

Hat nichts mit dem Thema zu tun. (Thema verfehlt, wie relativ oft...)

>> Behauptung B:
>> Die Abbildung f: {0} U N --> N mit f(n) = n+1 ist injektiv.
>>
>> Beweis:
>> Seien x und y verschiedene Elemente von {0} U N, also x /= y.
>> Dann sind f(x) = x+1 und f(y) = y+1 ebenfalls verschieden, denn wäre
>>
>> x + 1 = y + 1
>>
>> so wäre (subtrahiere 1 auf beiden Seiten) x = y.
>>
>> q.e.d.
>
> Alle Deine verschiedenen Elemente haben ℵ₀ Nachfolger. oper edei deixai.
>
> Deine Behauptung soll aber auch für diese Nachfolger richtig sein. Warum glaubst bzw. behauptest Du das?

Hinweis:
Versuche erstmal zu verstehen, was eine injektive Abbildung ist.
Versuche im zweiten Schritt, zu verstehen, was man machen muß, um zu
prüfen, ob eine Abbildung injektiv ist oder nicht.

[Ganzhinterseher]

Stephan Gerlach schrieb am Dienstag, 9. November 2021 um 00:53:21 UTC+1:
> Ganzhinterseher schrieb:
> > Rainer Rosenthal schrieb am Montag, 8. November 2021 um 10:16:59 UTC+1:
> >> Immer, wenn's konkret wird ...
> >>
> >> Die im Titel genannte Behauptung A ist falsch.
> >> Gegenbeispiel ist die Abbildung f: {0} U N --> N, definiert durch
> >> f(n) = n+1 für n = 0, 1, 2, ...
> >>
> >> Es ist nicht so schwierig, die Injektivität von f zu zeigen.
> >> Wie schwierig es ist, das dann auch zu verstehen, hängt vom Leser oder
> >> der Leserin ab.
> >
> > Bitte zeige das für alle Elemente von ℕ.
> Bei der Injektivität einer Abbildung geht es überhaupt nicht darum,
> etwsa für alle Elemente einer der beiden beteiligten Mengen zu zeigen.
> --> Thema verfehlt

Hast Du schon einmal den Satz "links total, rechts eindeutig" gehört? Kannst Du Dir etwas darunter vorstellen, was mit total gemeint ist? Und Injektivität beweist, dass die Bildmenge mindestens so viele Elemente wie die Urbildmenge besitzt.

Gruß, WM

[Rainer Rosenthal]

Am 08.11.2021 um 20:25 schrieb Ganzhinterseher:
...

>>>>> Hast Du denn inzwischen wenigstens Eulers Fehler verstanden? Oder auch noch nicht?

...

>>> Keine Ursache, denke ich. Jeder macht Fehler, und Euler war bestimmt einer der Besten.

>>> Allerdings hat er für die Summe aller natürlichen Zahlen ...
>>> Hätte er ..., so hätte er's getroffen, meine ich.
>>>
>
> Das ist das Thema! Es gibt zwei Arten von Unendlichkeit, ...
>
Nein! Das Thema ist die Behauptung A, die Du ausgesprochen hattest:
WM: Jede Abbildung {0} U N --> N ist nicht injektiv.

Immer wenn's konkret wird, weichst Du aus.
Bei "Assoziativität und Transitivität" hat es Wochen gedauert, bis Du
zugegeben hast, dass die Beweiskraft der Formeln gleich Null war. Dass
Du die Begriffe verwechselt hast, konntest Du allerdings auch dann nicht
zugeben.

So, jetzt war ich gerade etwas vom Thema abgekommen. Also dann: munter
zurück auf den Pfad der gepflegten Diskussion mit Erkenntnisgewinn.
Aber einen Schritt nach dem anderen, bitte!

Du musst deazu nur zugeben, dass aus x+1 = y+1 notwendig x = y folgt.

Gruß,
RR

[Rainer Rosenthal]

Am 08.11.2021 um 23:55 schrieb Stephan Gerlach:
>
> Oder (didaktisch) noch einfacher:
>
In der einfachen Form hatte ich es gerade an den Meister der Verwirrung
geschrieben. Dein Posting habe ich erst danach gelesen, danke trotzdem.

Gruß,
Rainer

[Ganzhinterseher]

Gus Gassmann schrieb am Montag, 8. November 2021 um 22:49:19 UTC+1:
> On Monday, 8 November 2021 at 15:36:28 UTC-4, Ganzhinterseher wrote:
> > Gus Gassmann schrieb am Montag, 8. November 2021 um 15:27:18 UTC+1:
> > > On Monday, 8 November 2021 at 07:41:25 UTC-4, Ganzhinterseher wrote:
> > >
> > > > > *JEDES* Element von ℕ hat ℵ₀ Nachfolger.
> > > > Nein, nicht alle Elemente, die an einer Bijektion von ℕ beteiligt sind, haben ℵ₀ Nachfolger, denn ohne die Vollständigkeit könnte man Surjektivität bzw. "links total" nicht beweisen. Stell Dir vor, man würde bei Cantors Abzählversuchen immer darauf hinweisen, dass ja noch ℵ₀ Elemente fehlen.
> > > Du meinst also, dass es natürliche Zahlen gibt, zu denen man die 1 nicht addieren kann.
> > Nein, das meine ich nicht. wenn Du zu x gekommen bist, schreibe x 1. Aber Du wirst niemals zu |ℕ| oder auch nur in die Nähe kommen. Dann könntest Du auch |ℕ| + 1 schreiben und hättest eine größere Zahl.

> aleph_0 ist genausowenig eine natürliche Zahl wie omega.

Richtig. Es ist ein Maß für unendliche Mengen.

> Und trotzdem meinst du, es gäbe natürliche Zahlen, die weniger als ℵ₀ Nachfolger haben.

WENN Cantors Abzählung oder irgendeine Bijektion zwischen unendlichen Mengen möglich wäre, dann müssten alle Zahlen darin vorkommen, so dass keine übrig bleibt - und erst recht nicht unendlich viele.

Das funktioniert nicht, wie man erstens daran sieht, dass keine definierbare natürliche Zahle weniger als ℵo Nachfolger hat. Diese Nachfolger existieren aber alle, zum Beispiel als Punkte auf der reellen Achse. Die Menge der Stammbruchpunkte im Einheitsintervall (0, 1] ist vollständig. Da fehlt keiner und schon gar nicht unendlich viele. Aber man kann nicht alle erkennen. Sie sind dunkel. Das beste Beispiel für dunkle Zahlen bilden die Endsegmente, deren jedes unendlich viele Zahlen enthält. Wären diese alle definierbar und von Beginn, E(1), an enthalten, dann wäre der Schnitt über alle Endsegmente natürlich unendlich. Man kann sie aber nicht angeben. Sie sind dunkel.

Deswegen kann man auch keine Abzählung oder Bijektion über alle natürlichen Zahlen machen. Cantors Ansatz zeigt für alle Mengen dieselbe Mächtigkeit, was so offensichtlich falsch ist, das es schmerzt. Die Menge aller Stammbrüche ist kleiner ist als die Menge aller rationalen Punkte im ersten Einheitsintervall (oder gar in allen Intervallen). Das sieht man mit bloßem (geistigen) Auge. Cantor behauptet, dass beide Mengen dieselbe Mächtigkeit hätten. Wäre Mächtigkeit tatsächlich ein Maß für Anzahlen, dann wäre dieses Maß extrem ungenau. Es muss ein besseres Maß geben, in dem sich die Größenunterschiede korrekt ausdrücken. Einfach zu behaupten, dass Euklids 8. Axiom totum est majus suâ parte nicht mehr gilt, ist eine billige Ausflucht, die besonders deutlich am obigen Beispiel widerlegt wird. Das hat nichts mit dem "anderen Verhalten" unendlicher Mengen zu tun, sondern mit dem völlig verfehlten Ansatz.

WENN aktual unendliche Mengen existieren, dann gibt es ganz genau so viele Stammbrüche wie natürliche Zahlen. Die Symmetrie zwischen den Mengen oder Folgen (n), (n/1), (1/n) ist entweder mathematische auswertbar, oder es gibt keinen Zugang zu aktual unendlichen Mengen. Deren Anzahlen sind feste Größen.

Cantors Abzählung ist eigentlich nur eine Anzählung. Hilberts Hotel und Dedekind-Unendlichkeit sind ganz klar richtig für potentiell unendliche Mengen und falsch für aktual unendliche Mengen. Die sind, wenn überhaupt, fest wie die Anzahl der Stammbruchpunkte. Und Eulers Ergebnis für die Summe aller natürlichen Zahlen, das in modernen Form |ℕ|*(|ℕ|+1)/2 zu schreiben wäre, ist durchaus in Erwägung zu ziehen.

Gruß, WM

[Ganzhinterseher]

Rainer Rosenthal schrieb am Dienstag, 9. November 2021 um 08:48:15 UTC+1:
> Am 08.11.2021 um 20:25 schrieb Ganzhinterseher:
> ...
> >>>>> Hast Du denn inzwischen wenigstens Eulers Fehler verstanden? Oder auch noch nicht?
> ...
> >>> Keine Ursache, denke ich. Jeder macht Fehler, und Euler war bestimmt einer der Besten.
> >>> Allerdings hat er für die Summe aller natürlichen Zahlen ...
> >>> Hätte er ..., so hätte er's getroffen, meine ich.
> >>>
> >
> > Das ist das Thema! Es gibt zwei Arten von Unendlichkeit, ...
> >
> Nein! Das Thema ist die Behauptung A, die Du ausgesprochen hattest:
> WM: Jede Abbildung {0} U N --> N ist nicht injektiv.
>
> Immer wenn's konkret wird, weichst Du aus.

Ich habe es gerade erklärt: Eine Abbildung ist "links total, rechts eindeutig". Es muss also für eine injektive Abbildung (sie beweist, dass die Bildmenge mindestens so viele Elemente wie die Urbildmenge besitzt) also für
{0} U ℕ --> ℕ
im rechten ℕ ein Element mehr als im linken geben. Das ist ausgeschlossen, wenn |ℕ| eine feste Quantität ist.

>
> So, jetzt war ich gerade etwas vom Thema abgekommen. Also dann: munter
> zurück auf den Pfad der gepflegten Diskussion mit Erkenntnisgewinn.
> Aber einen Schritt nach dem anderen, bitte!
>

> Du musst dazu nur zugeben, dass aus x+1 = y+1 notwendig x = y folgt.

Das ist für definierbare Zahlen der Fall, aber fast alle Zahlen in ℕ sind nicht definierbar.

Gruß, WM

[Rainer Rosenthal]

Wie Du die Zahlen nennst, ist mir ziemlich egal, und den Zahlen selbst
ist es erst recht egal.
Da es sich um Zahlen handelt, folgt nun einmal aus x+1 = y+1, dass x = y
ist.
Wie Du diese Tatsache in Dein Weltbild einbaust, ist nicht mein Problem.

Gruß,
RR

[Ganzhinterseher]

Rainer Rosenthal schrieb am Dienstag, 9. November 2021 um 09:18:18 UTC+1:
> Am 09.11.2021 um 09:06 schrieb Ganzhinterseher:
> > Rainer Rosenthal schrieb am Dienstag, 9. November 2021 um 08:48:15 UTC+1:
> >>
> >> Du musst dazu nur zugeben, dass aus x+1 = y+1 notwendig x = y folgt.
> >
> > Das ist für definierbare Zahlen der Fall, aber fast alle Zahlen in ℕ sind nicht definierbar.
> >
> Wie Du die Zahlen nennst, ist mir ziemlich egal, und den Zahlen selbst
> ist es erst recht egal.

Nicht der Name ist von Belang, sondern die Eigenschaften.

> Da es sich um Zahlen handelt, folgt nun einmal aus x+1 = y+1, dass x = y
> ist.

Natürlich gilt das für alle definierbaren Zahlen, also für alle Zahlen, die ℵ₀ Nachfolger haben. Für die anderen kann man es zumindest nicht prüfen, oder hast Du schon einmal eine Zahl mit weniger als ℵ₀ Nachfolgern gefunden oder angenommen?

> Wie Du diese Tatsache in Dein Weltbild einbaust, ist nicht mein Problem.

Ich kann es so einbauen, dass Widersprüche verschwinden. Ich kann es so einbauen, dass es Sinn macht, von weniger geraden Zahlen als ganzen Zahlen zu sprechen.

Gruß, WM

[JVR]

Warum lasst ihr euch auf Diskussionen mit diesem Vollidioten ein?
Als nächstes müsste man ihn fragen was +1 in Mückenhausen bedeutet.
Ist das interessant?
In seinem Bestseller wird, nebenbeigesagt, bei der Definition der natürlichen Zahlen
Nachfolger (x) = Nachfolger (y) während x !=y nicht ausgeschlossen.

[Rainer Rosenthal]

Am 09.11.2021 um 11:58 schrieb Ganzhinterseher:

> Rainer Rosenthal schrieb am Dienstag, 9. November 2021 um 09:18:18 UTC+1:
>
>> Wie Du diese Tatsache in Dein Weltbild einbaust, ist nicht mein Problem.
>
> Ich kann es so einbauen, dass Widersprüche verschwinden. Ich kann es so einbauen, dass es Sinn macht, von weniger geraden Zahlen als ganzen Zahlen zu sprechen.
>

Schön für Dich, aber trotzdem ist f(n) = n+1 injektive Abbildung
f: {0} U N --> N
um mal wieder zum Thema zurückzukehren.

Denn aus f(x) = f(y) folgt x = y:
Aus x+1 = y+1 folgt für alle Zahlen x, y, dass x = y ist.
Oder gilt es nur, wenn das Plus-Zeichen genügend groß geschrieben ist?

Gruß,
RR

[Gus Gassmann]

On Tuesday, 9 November 2021 at 03:57:54 UTC-4, Ganzhinterseher wrote:
[...]

> WENN Cantors Abzählung oder irgendeine Bijektion zwischen unendlichen Mengen möglich wäre, dann müssten alle Zahlen darin vorkommen, so dass keine übrig bleibt - und erst recht nicht unendlich viele.
>
> Das funktioniert nicht, wie man erstens daran sieht, dass keine definierbare natürliche Zahle weniger als ℵo Nachfolger hat. Diese Nachfolger existieren aber alle, zum Beispiel als Punkte auf der reellen Achse. Die Menge der Stammbruchpunkte im Einheitsintervall (0, 1] ist vollständig. Da fehlt keiner und schon gar nicht unendlich viele. Aber man kann nicht alle erkennen. Sie sind dunkel. Das beste Beispiel für dunkle Zahlen bilden die Endsegmente, deren jedes unendlich viele Zahlen enthält. Wären diese alle definierbar und von Beginn, E(1), an enthalten, dann wäre der Schnitt über alle Endsegmente natürlich unendlich. Man kann sie aber nicht angeben. Sie sind dunkel.
>
> Deswegen kann man auch keine Abzählung oder Bijektion über alle natürlichen Zahlen machen. Cantors Ansatz zeigt für alle Mengen dieselbe Mächtigkeit, was so offensichtlich falsch ist, das es schmerzt.

Es ist klar, dass dein Spatzenhirn den grundlegenden Unterschied zwischen endlichen und unendlichen Mengen nicht verarbeiten kann. Es gibt zwei verschiedene Ansätze, die Grösse von Mengen zu messen: Ein Ansatz kommt durch Teilmengen zustande: Wenn eine Menge strikte Untermenge einer anderen ist, dann ist die Teilmenge "kleiner" als die Obermenge. Zum Beispiel ist {a,b,c} eine strikte Teilmenge von {a, b, c, d}. Desgleichen ist die Menge {1, 4, 9, 16, ...} eine strikte Untermenge der natürlichen Zahlen. Offensichtlich gibt es --- in diesem Sinne --- weniger Quadratzahlen als natürliche Zahlen.

Die Kardinalität der Menge ist ein zweiter Ansatz. Wenn zwischen zwei Mengen eine Bijektion existiert, dann haben zwei Mengen dieselbe Kardinalität. Wenn so eine Bijektion *NICHT* bestehen kann, dann ist eine der beiden Mengen "kleiner" als die andere. Zum Beispiel besteht keine Bijektion zwischen {a,b,c} und {a, b, c, d}. Die Kardinalität der ersen Menge ist kleiner ist die der zweiten. Für endliche Mengen sind beide Ansätze equivalent.

Aber es besteht eine Bijektion zwischen {1, 2, 3, 4, ...} und {1/1, 1/2, 1/3, 1/4, ...}, zum Beispiel R, definiert durch R(n) = n^(-1) für jede natürliche Zahl n. Also haben diese zwei Mengen dieselbe Kardinalität und sind in diesem Sinne "gleich gross". Desgleichen existiert eine Bijektion zwischen {1, 2, 3, 4, ...} und {1^2, 2^2, 3^2, 4^2, ...}, zum Beispiel S, definiert durch S(n) = n^2 für jede natürliche Zahl n. In diesem Sinne ist offensichtlich, dass es *ebenso viele* Quadratzahlen gibt wie natürliche Zahlen. Für unendliche Mengen geben die zwei Ansätze *VERSCHIEDENE* Grössenmasse.

> Die Menge aller Stammbrüche ist kleiner ist als die Menge aller rationalen Punkte im ersten Einheitsintervall (oder gar in allen Intervallen). Das sieht man mit bloßem (geistigen) Auge. Cantor behauptet, dass beide Mengen dieselbe Mächtigkeit hätten.

Ja, haben sie. Zwei verschieden Arten, Grösse zu messen, zwei verschiedene Antworten.

> Wäre Mächtigkeit tatsächlich ein Maß für Anzahlen, dann wäre dieses Maß extrem ungenau.

Nun, das ist Ansichtssache. Darzulegen, wie Galileos Paradox (im Rückblick sehr einfach) erklärt werden kann, ist durchaus nützlich.

> Es muss ein besseres Maß geben, in dem sich die Größenunterschiede korrekt ausdrücken. Einfach zu behaupten, dass Euklids 8. Axiom totum est majus suâ parte nicht mehr gilt, ist eine billige Ausflucht, die besonders deutlich am obigen Beispiel widerlegt wird.

Niemand behauptet das. Selbstverständlich kannst du strikte Teilmengen als solche erkennen und aufzeigen. Nur ist das eben für unendliche Mengen nicht die ganze Wahrheit.

> WENN aktual unendliche Mengen existieren, dann gibt es ganz genau so viele Stammbrüche wie natürliche Zahlen. Die Symmetrie zwischen den Mengen oder Folgen (n), (n/1), (1/n) ist entweder mathematische auswertbar, oder es gibt keinen Zugang zu aktual unendlichen Mengen. Deren Anzahlen sind feste Größen.

Deren *Kardinalitäten* sind feste Größen. Was "mathematisch auswertbar" bedeuten soll, musst du mir allerdings noch erklären. Desgleichen hast du in deiner Aufzählung ein paar Folgen unterschlagen. (Dass du sie hier als "Folgen" bezeichnest, ist sehr aufschlussreich!) Zum Beispiel fehlen die Folgen (n*1), (n^1), (n+1), (n*2), (n^2), etc.

> Cantors Abzählung ist eigentlich nur eine Anzählung. Hilberts Hotel und Dedekind-Unendlichkeit sind ganz klar richtig für potentiell unendliche Mengen und falsch für aktual unendliche Mengen.

Nachdem es keine potentiell unendlichen Mengen gibt (wie wolltest du die überhaupt definieren???), ist das offensichtlich ein Wunschtraum.

> Die sind, wenn überhaupt, fest wie die Anzahl der Stammbruchpunkte. Und Eulers Ergebnis für die Summe aller natürlichen Zahlen, das in modernen Form |ℕ|*(|ℕ|+1)/2 zu schreiben wäre, ist durchaus in Erwägung zu ziehen.

Was auch immer du dir darunter vorstellen magst. Jedenfalls is ℵ₀+1 = ℵ₀, ℵ₀*ℵ₀ = ℵ₀, ℵ₀/2 = ℵ₀, und deshalb ist |ℕ|*(|ℕ|+1)/2 = |ℕ|. Aber nur zu, schreib halt |ℕ|*(|ℕ|+1)/2, wenn dir das dein Leben besser macht. Jeder vernünftige Mensch weiss schon, was er davon zu halten hat.

[Gus Gassmann]

On Tuesday, 9 November 2021 at 07:02:44 UTC-4, JVR wrote:
[...]

> Warum lasst ihr euch auf Diskussionen mit diesem Vollidioten ein?

Touche'. Es ist halt irgendwo doch so etwas wie eine Sucht. Man versucht wegzukommen, wird aber doch regelmässig rückfällig.:(

[JVR]

Ich kenne das; habe es auch schon durchexerziert. In dem Augenblick, wo man meint, jedes Kind sieht, wo der Fehler steckt, haut
Mücke noch eien undefinierten Begriff drauf und man ist wieder am Anfang. Unweigerlich, ausnahmslos.
You can't nail a pudding to the wall.

[Juergen Ilse]

Hallo,

JVR <jrenne...@googlemail.com> wrote:
> You can't nail a pudding to the wall.

Ich glaube mit der roten Gruetze bei der Bundeswehr wuerde das
funktionieren (die wurde bei uns in der Kaserne damals aus gutem
Grund ein Quader geschnitten, und diese Quder durften nicht auf den
Teller fallen gelassen werden, sonst waeren sie dabei vom Teller
gesprungen dank ihrer "Flummi-artigen Konsistenz").

Tschuess,
Juergen Ilse (jue...@usenet-verwaltung.de)

[Rainer Rosenthal]

Am 09.11.2021 um 12:02 schrieb JVR:

> Warum lasst ihr euch auf Diskussionen [...] ein?

> Als nächstes müsste man ihn fragen was +1 in Mückenhausen bedeutet.
> Ist das interessant?

Ich habe früher Geld mit Programmierung verdient, und dabei hatte ich es
nicht nur mit selbstverschuldeten Fehlern zu tun, die ich mit Freude
beseitigt habe, sondern ich hatte es auch mit nicht ganz ausgereiften
Compilern und frisch entwickelter Hardware zu tun. Das war interessant.
Und in diesem Sinne ist auch die "Diskussion" interessant, denn
irgendwas ist ja offenbar kaputt :-)
Sollte sich herausstellen, dass es bereits bei "+1" klemmt, dann wäre es
doch nett, das herauszufinden.

> In seinem Bestseller wird, nebenbeigesagt, bei der Definition der natürlichen Zahlen
> Nachfolger (x) = Nachfolger (y) während x !=y nicht ausgeschlossen.

So weit reicht meine Geduld nicht, und ich weiß, dass bereits Franz
Lemmermeyer, ein begnadeter Mathematiker, sich wütend über dies Werk
hergemacht und es in Grund und Boden gestampft hat. Was sollte es mir
bringen, da auch nur einen Blick hinein zu werfen? Beim Friseur lese ich
die Bunte ja auch nicht.

Deine Bemerkung eben zeigt, falls sie zutrifft, wie gut es ist, diese
Lektüre zu überspringen. Sachlich-fachlich ist die Bemerkung aber
durchaus interessant und relevant für das aktuelle Thema. Ich lese
gerne, ob es darüber noch zu einer Diskussion kommt, und von mir aus
dürfen dabei Vermutungen über Charakter oder Geisteszustand des
Diskussionspartners gerne weggelassen werden.

Gruß,
RR

[Ralf Goertz]

Am Tue, 9 Nov 2021 15:58:09 +0100
schrieb Rainer Rosenthal <r.ros...@web.de>:

> Am 09.11.2021 um 12:02 schrieb JVR:
>
> Und in diesem Sinne ist auch die "Diskussion" interessant, denn
> irgendwas ist ja offenbar kaputt :-) Sollte sich herausstellen, dass
> es bereits bei "+1" klemmt, dann wäre es doch nett, das
> herauszufinden.

> > In seinem Bestseller wird, nebenbeigesagt, bei der Definition der
> > natürlichen Zahlen Nachfolger (x) = Nachfolger (y) während x !=y
> > nicht ausgeschlossen.
>

> […] Deine Bemerkung eben zeigt, falls sie zutrifft, wie gut es ist,

> diese Lektüre zu überspringen. Sachlich-fachlich ist die Bemerkung
> aber durchaus interessant und relevant für das aktuelle Thema. Ich
> lese gerne, ob es darüber noch zu einer Diskussion kommt, und von mir
> aus dürfen dabei Vermutungen über Charakter oder Geisteszustand des
> Diskussionspartners gerne weggelassen werden.

Aber gerade letzteres ist doch das, was kaputt ist. Dass die +1 im
Prinzip nicht das Problem ist, wurde ja schon eingestanden. Und die
Unendlichkeitsdyskalkulie an sich ist ja auch nicht wirklich spannend.
Da ist jemand, dem das Unendliche unbehaglich ist und der es auf Biegen
und Brechen aus der Welt schaffen will und sich dabei solcher Argumente
bedient, die diesen Namen eigentlich nicht verdienen. Wirklich spannend
ist doch, wie diese Haltung über Jahrzehnte hinweg stabil bleiben kann,
obwohl sich ihr Hunderte mit guten Repliken entgegengestellt haben. Was
muss in einem Menschen vorgehen, der so fest von sich überzeugt ist,
dass er meint, seinen dunklen Pudding an die Wand genagelt zu haben, und
dabei nicht merkt, wie ihm eben dieser auf die Schuhe tropft?

[Rainer Rosenthal]

Am 09.11.2021 um 16:55 schrieb Ralf Goertz:

> ... Wirklich spannend

> ist doch, wie diese Haltung über Jahrzehnte hinweg stabil bleiben kann,
>

Sehe ich halt nicht so, und die dsm-Charta übrigens auch nicht.
Spannend ist für mich, wie stabil mathematische Denkweise gegenüber
irrationalen, überheblichen, auf Verwirrung zielenden und
Pudding-artigen Schwätzereien ist.

Bisher ist es mir, glaube ich, ganz gut gelungen, nicht zum Thema
gehörende Provokationen wegzulächeln und das im Titel genannte Thema
nicht aus den Augen zu verlieren. Dass es sich dabei um eine Trivialität
handelt, ist ja gerade das Wichtige.
Da muss ein sich als mathematisches Schwergewicht gerierender Geist
schon ordentlich rotieren, um x+1 = y+1 ==> x = y wegzudiskutieren :-)

Gruß,
RR

[Mostowski Collapse]

Für quadratzahlen is der Predecessor besonders lustig.

Also wenn x+1 = z^2, dann x = (z+1)*(z-1).

Beispiel x+1 = 25, dann x = 4*6 = 24.

[Mostowski Collapse]

Aber man könnte jetzt x+1=y+1 => x=y so beweisen,
indem man z Realzahl zulässt. Dann hat man zwei Lemmas:

Lemma 1: x+1 = z^2 => x = (z+1)*(z-1)

Lemma 2: y+1 = z^2 => y = (z+1)*(z-1)

Man kann auch beweisen:

Lemma 4: x+1 = y+1 => exists z(x+1=z^2 & z^2 = y+1)

Lemma 5: x = (z+1)*(z-1) & (z+1)*(z-1)=y => x = y

Fasst man alles Zusammen erhält man:

Lemma 6: x+1 = y+1 => exists z(x = y)

Aber den Quantor kann man streichen, da z nicht mehr vorkommt:

Theorem: x+1 = y+1 => x = y

[Mostowski Collapse]

Noch ein Beispiel: Der Vorgänger von 2:

1 = 0.414213562373095... * 2.414213562373095...

LoL

[Ganzhinterseher]

Rainer Rosenthal schrieb am Dienstag, 9. November 2021 um 12:25:46 UTC+1:
> Am 09.11.2021 um 11:58 schrieb Ganzhinterseher:
> > Rainer Rosenthal schrieb am Dienstag, 9. November 2021 um 09:18:18 UTC+1:
> >
> >> Wie Du diese Tatsache in Dein Weltbild einbaust, ist nicht mein Problem.
> >
> > Ich kann es so einbauen, dass Widersprüche verschwinden. Ich kann es so einbauen, dass es Sinn macht, von weniger geraden Zahlen als ganzen Zahlen zu sprechen.
> >
> Schön für Dich, aber trotzdem ist f(n) = n+1 injektive Abbildung
> f: {0} U N --> N
> um mal wieder zum Thema zurückzukehren.
>
> Denn aus f(x) = f(y) folgt x = y:
> Aus x+1 = y+1 folgt für alle Zahlen x, y, dass x = y ist.

Für alle Zahlen? Welch ein Anspruch! Logik magst Du nicht?
Für alle Zahlen, die Du in Abbildungen verwenden kannst, gilt
∀n ∈ ℕ_def: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵ₀.
Das heißt, sie alle kratzen die unendliche Menge der verbleibenden Zahlen nicht an. Diese ist und bleibt unendlich. Und ℕ ist fest, so fest dass eine Bijektion mit nicht gleichzahligen Mengen ausgeschlossen ist. Oder glaubst Du, dass sich die Menge der Punkte die zu Stammbrüchen gehören, ändert, wenn Du eine Bijektion mit allen algebraischen Zahlen planst? Oder wenn Du eine Bijektion mit allen Primzahlen planst? Diese Mengen sind deutlich verschieden und wirkliche Bijektionen würden Gleichzahligkeit beweisen, nicht Gleichmächtigkeit.

Gruß, WM

[Ganzhinterseher]

Gus Gassmann schrieb am Dienstag, 9. November 2021 um 13:01:59 UTC+1:
> On Tuesday, 9 November 2021 at 03:57:54 UTC-4, Ganzhinterseher wrote:
> [...]
> > WENN Cantors Abzählung oder irgendeine Bijektion zwischen unendlichen Mengen möglich wäre, dann müssten alle Zahlen darin vorkommen, so dass keine übrig bleibt - und erst recht nicht unendlich viele.
> >
> > Das funktioniert nicht, wie man erstens daran sieht, dass keine definierbare natürliche Zahle weniger als ℵo Nachfolger hat. Diese Nachfolger existieren aber alle, zum Beispiel als Punkte auf der reellen Achse. Die Menge der Stammbruchpunkte im Einheitsintervall (0, 1] ist vollständig. Da fehlt keiner und schon gar nicht unendlich viele. Aber man kann nicht alle erkennen. Sie sind dunkel. Das beste Beispiel für dunkle Zahlen bilden die Endsegmente, deren jedes unendlich viele Zahlen enthält. Wären diese alle definierbar und von Beginn, E(1), an enthalten, dann wäre der Schnitt über alle Endsegmente natürlich unendlich. Man kann sie aber nicht angeben. Sie sind dunkel.
> >
> > Deswegen kann man auch keine Abzählung oder Bijektion über alle natürlichen Zahlen machen. Cantors Ansatz zeigt für alle Mengen dieselbe Mächtigkeit, was so offensichtlich falsch ist, das es schmerzt.

> Es gibt zwei verschiedene Ansätze, die Grösse von Mengen zu messen: Ein Ansatz kommt durch Teilmengen zustande: Wenn eine Menge strikte Untermenge einer anderen ist, dann ist die Teilmenge "kleiner" als die Obermenge. Zum Beispiel ist {a,b,c} eine strikte Teilmenge von {a, b, c, d}. Desgleichen ist die Menge {1, 4, 9, 16, ...} eine strikte Untermenge der natürlichen Zahlen. Offensichtlich gibt es --- in diesem Sinne --- weniger Quadratzahlen als natürliche Zahlen.
>
> Die Kardinalität der Menge ist ein zweiter Ansatz.

Das ist ein falscher Ansatz. Für Abbildungen können nur wählbare Zahlen gewählt werden. Das sind nach ∀n ∈ ℕ_def: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵ₀ verschwindend wenige. Deswegen kommt für jede abzählbare Menge dasselbe Ergebnis zustande.

> Wenn zwischen zwei Mengen eine Bijektion existiert, dann haben zwei Mengen dieselbe Kardinalität.

Eine Bijektion kann nur zwischen den potentiell unendlichen Anfangsabschnitten bestehen, für die eben gilt: ∀n ∈ ℕ_def: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵ₀.

>
> Aber es besteht eine Bijektion zwischen {1, 2, 3, 4, ...} und {1/1, 1/2, 1/3, 1/4, ...},

Nein, auch da besteht keine Bijektion, weill fast alle diese Zahlen nicht wählbar sind. Es besteht Gleichzahligkeit aus Symmetriegründen.

> > Die Menge aller Stammbrüche ist kleiner ist als die Menge aller rationalen Punkte im ersten Einheitsintervall (oder gar in allen Intervallen). Das sieht man mit bloßem (geistigen) Auge. Cantor behauptet, dass beide Mengen dieselbe Mächtigkeit hätten.
> Ja, haben sie. Zwei verschieden Arten, Grösse zu messen, zwei verschiedene Antworten.

Eine richtige, eine falsche.

> > Wäre Mächtigkeit tatsächlich ein Maß für Anzahlen, dann wäre dieses Maß extrem ungenau.

> Nun, das ist Ansichtssache. Darzulegen, wie Galileos Paradox (im Rückblick sehr einfach) erklärt werden kann, ist durchaus nützlich.

Das habe ich dargelegt. Der Schlüssel ist ∀n ∈ ℕ_def: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵ₀.

> > Es muss ein besseres Maß geben, in dem sich die Größenunterschiede korrekt ausdrücken. Einfach zu behaupten, dass Euklids 8. Axiom totum est majus suâ parte nicht mehr gilt, ist eine billige Ausflucht, die besonders deutlich am obigen Beispiel widerlegt wird.

> Niemand behauptet das. Selbstverständlich kannst du strikte Teilmengen als solche erkennen und aufzeigen. Nur ist das eben für unendliche Mengen nicht die ganze Wahrheit.

Jedenfalls sind aktual unendliche Mengen fest, fix und fertig.

> > WENN aktual unendliche Mengen existieren, dann gibt es ganz genau so viele Stammbrüche wie natürliche Zahlen. Die Symmetrie zwischen den Mengen oder Folgen (n), (n/1), (1/n) ist entweder mathematische auswertbar, oder es gibt keinen Zugang zu aktual unendlichen Mengen. Deren Anzahlen sind feste Größen.

> Deren *Kardinalitäten* sind feste Größen.

Die Kardinalzahl ist irrelevant.

> Was "mathematisch auswertbar" bedeuten soll, musst du mir allerdings noch erklären.

Mathematisch auswertbar sind jedenfalls Symmetriebetrachtungen, woraus unter anderem folgt, dass die Mengen ℕ und ℕ genau gleichzahlig sind und die Mengen ℕ und ℕ U {0} also nicht gleichzahlig sind. Es gibt genau halb so viele gerade Zahlen wie ganze Zahlen und genau so viele Stammbrüche wie natürlichen Zahlen.

> Desgleichen hast du in deiner Aufzählung ein paar Folgen unterschlagen. (Dass du sie hier als "Folgen" bezeichnest, ist sehr aufschlussreich!) Zum Beispiel fehlen die Folgen (n*1), (n^1),

derartige Folgen sind aus Symmetriegründen gleichzahlig mit ℕ.

> (n+1), (n*2), (n^2), etc.

Diese Folgen sind es nicht. ℕ ist fest. Wird eine Zahl ausgelassen, so ist der Rest kleiner als |ℕ|.

> > Cantors Abzählung ist eigentlich nur eine Anzählung. Hilberts Hotel und Dedekind-Unendlichkeit sind ganz klar richtig für potentiell unendliche Mengen und falsch für aktual unendliche Mengen.
> Nachdem es keine potentiell unendlichen Mengen gibt (wie wolltest du die überhaupt definieren???), ist das offensichtlich ein Wunschtraum.

Sie sind definiert durch die Basisbedingung: ∀n ∈ ℕ_def: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵ₀. Die definierbaren Zahlen sind eine potentiell unendlich Menge. Sie reichen niemals auch nur entfernt an ℕ heran. Ich verstehe nicht, wie man diese einfache und unwiderlegbare Gleichung missverstehen kann.

> > Die sind, wenn überhaupt, fest wie die Anzahl der Stammbruchpunkte. Und Eulers Ergebnis für die Summe aller natürlichen Zahlen, das in modernen Form |ℕ|*(|ℕ|+1)/2 zu schreiben wäre, ist durchaus in Erwägung zu ziehen.
> Was auch immer du dir darunter vorstellen magst. Jedenfalls is ℵ₀+1 = ℵ₀, ℵ₀*ℵ₀ = ℵ₀, ℵ₀/2 = ℵ₀,

Das liegt daran, dass ℵ₀ eine schwammige Angabe ist.

> und deshalb ist |ℕ|*(|ℕ|+1)/2 = |ℕ|.

Nein, das ist grundfalsch. Ein klares und anschauliches Beispiel für |ℕ| ist die Menge der Stammbrüche. Die verändert sich nicht um ein Jota geschweige denn um den Faktor |ℕ|.

> Aber nur zu, schreib halt |ℕ|*(|ℕ|+1)/2, wenn dir das dein Leben besser macht. Jeder vernünftige Mensch weiss schon, was er davon zu halten hat.

Ich will meine Hand nicht dafür ins Feuere legen. Es fiel mir nur auf, wie Euler dachte. Aber dass die Menge ℕ eine feste Anzahl |ℕ| von Elementen besitzt, das ist der Dreh-und Angelpunkt der transfiniten Mathematik. Mit Cantors Anzählungen kann man nichts anfangen.

Gruß, WM

[Ganzhinterseher]

Rainer Rosenthal schrieb am Dienstag, 9. November 2021 um 15:58:13 UTC+1:

> So weit reicht meine Geduld nicht, und ich weiß, dass bereits Franz
> Lemmermeyer, ein begnadeter Mathematiker,

Ein gescheiterter und dazu verlogener Mathematiker, der ohne Komplizen beim Verlag seine Besudelungen niemals hätte anbringen können. Er hat absurde Behauptungen aufgestellt, die klar widerlegt wurden, aber wie man an Dir sieht, bleibt immer etwas kleben. Das wussten schon die alten Lateiner.

Gruß, WM

[Ganzhinterseher]

Ralf Goertz schrieb am Dienstag, 9. November 2021 um 16:55:52 UTC+1:

> Unendlichkeitsdyskalkulie an sich ist ja auch nicht wirklich spannend.

∀n ∈ ℕ_def: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵ₀.

Gruß, WM

[Rainer Rosenthal]

Am 09.11.2021 um 22:35 schrieb Ganzhinterseher:
> Rainer Rosenthal schrieb am Dienstag, 9. November 2021 um 12:25:46 UTC+1:
>> Am 09.11.2021 um 11:58 schrieb Ganzhinterseher:
>>> Rainer Rosenthal schrieb am Dienstag, 9. November 2021 um 09:18:18 UTC+1:
>>>
>>>> Wie Du diese Tatsache in Dein Weltbild einbaust, ist nicht mein Problem.
>>>
>>> Ich kann es so einbauen, dass Widersprüche verschwinden. Ich kann es so einbauen, dass es Sinn macht, von weniger geraden Zahlen als ganzen Zahlen zu sprechen.
>>>
>> Schön für Dich, aber trotzdem ist f(n) = n+1 injektive Abbildung
>> f: {0} U N --> N
>> um mal wieder zum Thema zurückzukehren.
>>
>> Denn aus f(x) = f(y) folgt x = y:
>> Aus x+1 = y+1 folgt für alle Zahlen x, y, dass x = y ist.
>
> Für alle Zahlen? Welch ein Anspruch! Logik magst Du nicht?

Dass Du sie nicht alle hast, zeigst Du gerne immer wieder.
"Alle" heißt selbstverständlich "alle im Definitionsbereich", aber Dir
ist kein Einwand zu billig, um Verwirrung zu stiften.
Ich schrieb was zum Thema, und das wird mit der injektiven Abbildung
f: {0} U N --> N, definiert durch f(x) = x+1, beantwortet.

Die Injektivität von f ist gegeben, weil aus f(x) = f(y) folgt, dass x+1
= y+1 ist. Und ob es sich bei x und y um Quadrat-, Prim- oder sonstige
natürliche Zahlen (sowie der 0) handelt, ist völlig unerheblich, denn es
folgt unweigerlich daraus, dass x = y ist. Von mir aus dürfen es auch
Märchenfrosch-Zahlen sein, solange sie nur zu {0} U N gehören.

Hör mit den Märchen auf und formuliere echte Zweifel an der Injektivität
von f, ok? Was Du bisher gebracht hast, lässt sich umschreiben mit:
"Das ist alles so schwierig mit den unendlich vielen Zahlen, und wenn es
wirklich so wäre, dass f injektiv ist, dann hätte das massive
Auswirkungen auf das Weltklima oder gar auf meinen Seelenfrieden".

Verwende bitte gescheite mathematische Schreibweisen.
Es hat ja bereits einen guten Ansatz gegeben: noch vor nicht allzu
langer Zeit (geschätzt 10 Jahren) hast Du {0} als lächerliche
Schreibweise für 0 bezeichnet. Jetzt verwendest Du {0} völlig korrekt.
Wenn das nichts ist, gratuliere!

Gruß,
RR

[JVR]

Was Mücke allenfalls interessant macht ist, dass er ein ungewöhnlich reines Exemplar
des Sektierers mit narzisstischer Persönlichkeitsstörung darstellt. Er erfüllt alle Kriterien
nach dem 'Handbook of Personality Disorders' und auch die Merkmale, die in Gardners
'Fads and Fallacies' aufgeführt werden. Die Mückmeatik andererseits ist so stumpfsinnig,
dass es sich nicht lohnt, die endlose Kette der endlos wiederholten Fehlüberlegungen
zur Kenntnis zu nehmen.

[Ralf Bader]

Das vermutlich einzige mathematische Anfängerbuch, in dem schon die
Definition der Stetigkeit einer reellen Funktion in einem Punkt kaputt
ist - Ihr verschissenes Machwerk gehört in die Tonne.

[Ganzhinterseher]

JVR schrieb am Dienstag, 9. November 2021 um 12:02:44 UTC+1:

> In seinem Bestseller wird, nebenbeigesagt, bei der Definition der natürlichen Zahlen
> Nachfolger (x) = Nachfolger (y) während x !=y nicht ausgeschlossen.

Da muss ich leider schon wieder etwas richtigstellen. In meinem Buch [W. Mückenheim: "Mathematik für die ersten Semester", 4th ed., De Gruyter, Berlin (2015)] wird nicht die Nachfolgerregelung sondern die Addition angewandt. Das ist eine Operation, die vor Einführung der Mereologie noch simpel durch + bezeichnet worden ist. Sie entspricht dem Hinzufügen von gleichartigen Elementen und kann deshalb nicht zu dem o.g. Widerspruch führen. Man vergleiche Zermelos und von Neumanns Definitionen der natürlichen Zahlen, wobei auch keine Vorkehrungen gegen diesen Fall getroffen worden sind oder getroffen werden müssen.
Das ist nur bei Peanos umständlichem und im Ergebnis sogar verfehltem Ansatz erforderlich.

Gruß, WM

[Ganzhinterseher]

Ralf Bader schrieb am Dienstag, 9. November 2021 um 23:59:31 UTC+1:

> Das vermutlich einzige mathematische Anfängerbuch,

[W. Mückenheim: "Mathematik für die ersten Semester", 4th ed., De Gruyter, Berlin (2015)]

> in dem schon die
> Definition der Stetigkeit einer reellen Funktion

korrekt ist, weil Punktfolgen als nicht stetig ausgewiesen werden. Was für ein Schwachsinn wäre das auch! Alle übrigen Eigenschaften der gewöhnlichen Stetigkeitsdefinition bleiben erhalten.

Immerhin 4 Auflagen - und schon vorher als Bestseller angepriesen:
https://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/Transfinity/Bestseller.pdf

Das schlägt die Meinungen von Neidhammeln und orthodoxen Matheologen, die einfach nicht einsehen können oder wollen, dass alle natürlichen Zahlen, die in Aussagen, Beweise oder Folgen eingesetzt und geprüft werden können, zu einer verschwindend kleinen Menge ℕ_def gehören
∀n ∈ ℕ_def: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo
während alle anderen natürlichen Zahlen, also die große Mehrheit, nicht individuell behandelt werden können. Deswegen ergibt sich für unendliche Mengen ein deutlich anderes Verhalten als für alle endlichen Anfangsabschnitte. Aber die Ursache dafür wollt Ihr einfach nicht anerkennen.

Gruß, WM

[Ganzhinterseher]

JVR schrieb am Dienstag, 9. November 2021 um 23:46:19 UTC+1:
> Die Mückmeatik andererseits ist so stumpfsinnig,
> dass es sich nicht lohnt, die endlose Kette der endlos wiederholten Fehlüberlegungen
> zur Kenntnis zu nehmen.

Die Unterschlagung der Bedeutungen von Schubfachprinzip und Inklusionsmonotonie, ein Delikt der Matheologie, wird jedenfalls korrigiert.

Die Bedeutung der Aussage

∀n ∈ ℕ_def: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo

wird gewürdigt und nicht behauptet, dass "im Unendlichen" doch alle natürlichen Zahlen individuell abgebildet werden können, wenn auch nur kollektiv individuell.

Der klarste Beweis dunkler Zahlen ergibt sich aus einer einfachen Frage: Wenn der Schnitt aller Endsegmente leer ist, aber alle Endsegmente unendlich sind: Was für Zahlen sind darin? Warum tragen sie nicht zu einem unendlichen Schnitt bei? Aber wie immer, wenn Du nicht weiter weißt, wirst Du in den Dadaismus-Modus verfallen, bis die Frage vergessen ist und Du wieder Deinem Hobby frönen kannst.

Gruß, WM

[Ganzhinterseher]

Rainer Rosenthal schrieb am Dienstag, 9. November 2021 um 23:09:52 UTC+1:
> Am 09.11.2021 um 22:35 schrieb Ganzhinterseher:
> > Rainer Rosenthal schrieb am Dienstag, 9. November 2021 um 12:25:46 UTC+1:
> >> Am 09.11.2021 um 11:58 schrieb Ganzhinterseher:
> >>> Rainer Rosenthal schrieb am Dienstag, 9. November 2021 um 09:18:18 UTC+1:
> >>>
> >>>> Wie Du diese Tatsache in Dein Weltbild einbaust, ist nicht mein Problem.
> >>>
> >>> Ich kann es so einbauen, dass Widersprüche verschwinden. Ich kann es so einbauen, dass es Sinn macht, von weniger geraden Zahlen als ganzen Zahlen zu sprechen.
> >>>
> >> Schön für Dich, aber trotzdem ist f(n) = n+1 injektive Abbildung
> >> f: {0} U N --> N
> >> um mal wieder zum Thema zurückzukehren.
> >>
> >> Denn aus f(x) = f(y) folgt x = y:
> >> Aus x+1 = y+1 folgt für alle Zahlen x, y, dass x = y ist.
> >
> > Für alle Zahlen? Welch ein Anspruch! Logik magst Du nicht?
> Dass Du sie nicht alle hast, zeigst Du gerne immer wieder.

Es ist ja auch wichtig, um zu erkennen, weshalb Cantors angebliche Bijektionen versagen, die, wenn sie tatsächlich welche wären, Gleichzahligkeit und nicht nur Gleichmächtigkeit beweisen würden. Sie würden beweisen, dass es genau so viele durch Stammbrüche definierte Punkte gibt wie algebraisch definierte auf der gesamten Zahlengeraden.

> "Alle" heißt selbstverständlich "alle im Definitionsbereich",

Der Definitionsbereich ℕ_def in der richtigen Mathematik ist die durch
∀n ∈ ℕ_def: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo
definierte potentiell unendliche Kollektion. Aber in meinen Threads geht es meistens um alle natürlichen Zahlen. Die bilden eine aktual unendliche Menge. Da niemals zwei konsekutive aktual unendliche Mengen in der natürlichen Anordnung von ℕ möglich sind, ist die Behauptung, "im Unendlichen" seien alle natürlichen Zahlen definierbare Zahlen, falsch.

> Ich schrieb was zum Thema, und das wird mit der injektiven Abbildung
> f: {0} U N --> N, definiert durch f(x) = x+1, beantwortet.

Für die potentiell unendliche Menge ℕ_def ist das wie gesagt richtig. Das könntest Du schon auf S. 19 meines Buches finden: "Eine Abbildung f von X nach Y heißt
– surjektiv (oder Abbildung auf Y), wenn jedes y ∈ Y ein Bild ist,
– injektiv (oder eindeutig), wenn aus f (x1) = f (x2) folgt x1 = x2,
– bijektiv (oder eineindeutig), wenn f injektiv und surjektiv ist.

[W. Mückenheim: "Mathematik für die ersten Semester", 4th ed., De Gruyter, Berlin (2015)]

Aber es ging um mehr, nämlich um die aktual unendliche Menge ℕ. Und die hat, wenn es sie überhaupt gibt, eine feste Anzahl von Elementen, die man zwar nicht durch Abzählen auffinden kann, die aber sicher nicht gleich einer ihrer echten Teilmengen ist.

>
> Die Injektivität von f ist gegeben, weil aus f(x) = f(y) folgt, dass x+1
> = y+1 ist. Und ob es sich bei x und y um Quadrat-, Prim- oder sonstige
> natürliche Zahlen (sowie der 0) handelt, ist völlig unerheblich, denn es
> folgt unweigerlich daraus, dass x = y ist. Von mir aus dürfen es auch
> Märchenfrosch-Zahlen sein, solange sie nur zu {0} U N gehören.

Du verwechselst den Definitionsbereich mit allen natürlichen Zahlen.

>
> Hör mit den Märchen auf und formuliere echte Zweifel an der Injektivität
> von f, ok?

Das habe ich bereits getan.
∀n ∈ ℕ_def: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo

Dunkle Zahlen kann man nicht abbilden. Deswegen versagen dort alle Versuche dazu. Der einfachster Beweis für die Existenz dunkler Zahlen, wenn die die obige Gleichung nicht genügt, ist der Schnitt aller unendlichen Endsegmente. Er ist leer. Wären aber nur definierbare Zahlen in allen unendlichen Endsegmenten, dann wäre der Schnitt natürlich unendlich.

> Verwende bitte gescheite mathematische Schreibweisen.

Verstehst Du sie denn? Hier ist sie
∀n ∈ ℕ_def: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo
und auch hier, wo E(k) = {k, k+1, k+2, ...}
∀k ∈ ℕ_def: ∩{E(1), E(2), ..., E(k)} = E(k) /\ |E(k)| = ℵ₀ (*)
==> |∩{E(k) : k ∈ ℕ_def}| = ℵ₀
wo der Schnitt nur über alle Endsegmente aus (*) gebildet ist und daher nicht verschwinden kann. Für alle Endsegmente hingegen gilt
|∩{E(k) : k ∈ ℕ}| = 0 .

Gruß WM

[JVR]

Ja, Mücke, Sie addieren Objekte, die Sie noch garnicht definiert haben. Intelligentere Leute würden den Nachfolger von x (beim Zählen) vielleicht provisorisch mit 'x+1' bezeichnen. Dabei geht es noch nicht um eine Addition im Sinne einer binären Operation mit bestimmten Eigenschaften. Erst nachher, bei der Definition der Addition beliebiger natürlicher Zahlen, nachdem die natürlichen Zahlen definiert wurden, bekommt das '+' seine übliche Bedeutung, wobei dann "+1 <=> Nachfolger" mit "+1 <=> 'addiere das Basiselement'" übereinstimmen.
Ich weiß, Sie können nicht verstehen, warum das notwendig ist. Das macht aber nichts, denn Sie verstehen das Übrige ja auch nicht.

Selbstverständlich sind Zermelos und von Neumanns Definitionen konsistent und führen zwangsläufig zu einer unendlichen Menge, im Gegensatz zu der fehlerhaften Definition in Ihrem Bestseller, der übrigens tatsächlich voller Fehler ist.

Lemmermeyer ist, soweit ich feststellen kann, kein 'gescheiterter Mathematiker' sondern Mathematiklehrer an einem Gymnasium. Er hat offenbar Ihr
Anfängerbuch gelesen, vielleicht hat man ihn sogar um eine Rezension gebeten. Er hat viele Fehler gefunden, aber bei weitem nicht alle.

[JVR]

Wahrlich, wahrlich, ich sage euch: Wer Unsinn schwätzt, dem gebühret unsinnige Gegenrede.

Matthäus 5, 11-12:
Selig seid ihr, wenn euch die Menschen schmähen und verfolgen und reden allerlei Übles gegen euch, so sie daran lügen. Seid fröhlich und getrost; es wird euch im Himmel wohl belohnt werden. Denn also haben sie verfolgt die Propheten, die vor euch gewesen sind.

[Ganzhinterseher]

JVR schrieb am Mittwoch, 10. November 2021 um 11:00:52 UTC+1:
> On Wednesday, November 10, 2021 at 8:44:01 AM UTC+1, Ganzhinterseher wrote:
> > JVR schrieb am Dienstag, 9. November 2021 um 12:02:44 UTC+1:
> >
> > > In seinem Bestseller wird, nebenbeigesagt, bei der Definition der natürlichen Zahlen
> > > Nachfolger (x) = Nachfolger (y) während x !=y nicht ausgeschlossen.
> > Da muss ich leider schon wieder etwas richtigstellen. In meinem Buch [W. Mückenheim: "Mathematik für die ersten Semester", 4th ed., De Gruyter, Berlin (2015)] wird nicht die Nachfolgerregelung sondern die Addition angewandt. Das ist eine Operation, die vor Einführung der Mereologie noch simpel durch + bezeichnet worden ist. Sie entspricht dem Hinzufügen von gleichartigen Elementen und kann deshalb nicht zu dem o.g. Widerspruch führen. Man vergleiche Zermelos und von Neumanns Definitionen der natürlichen Zahlen, wobei auch keine Vorkehrungen gegen diesen Fall getroffen worden sind oder getroffen werden müssen.
> > Das ist nur bei Peanos umständlichem und im Ergebnis sogar verfehltem Ansatz erforderlich.
> >

> Sie addieren Objekte, die Sie noch garnicht definiert haben.

Doch, die 1 ist definiert. Und sie wird zur 1 addiert. Das ergibt die 2. Und so weiter. So hat es Cantor übrigens auch gemacht: "Die hierbei vorkommende hilfsweise Verwendung derselben Zahlen als Indizes rechtfertigt sich daraus, daß eine Zahl erst dann in dieser Bedeutung gebraucht wird, nachdem sie als Kardinalzahl definiert worden ist."

Und genau so wird bei mir eine Zahl erst als n definiert, nachdem aus dem Vorgänger durch Addition von 1 entstanden ist.

> Intelligentere Leute würden den Nachfolger von x (beim Zählen) vielleicht provisorisch mit 'x+1' bezeichnen. Dabei geht es noch nicht um eine Addition im Sinne einer binären Operation mit bestimmten Eigenschaften.

Doch, diese grundlegende Operation der Mathematik wird vorausgesetzt.

Ich weiß, Du kannst das nicht verstehen. Das macht aber nichts, denn alle intelligtenten Studenten verstehen es. Und dafür habe ich mein Buch ja geschrieben.

>
> Selbstverständlich sind Zermelos und von Neumanns Definitionen konsistent und führen zwangsläufig zu einer unendlichen Menge,

Zermelo addiert Mengenklammern, ich Einsen. Da ist kein Unterschied.

> Lemmermeyer ist, soweit ich feststellen kann, kein 'gescheiterter Mathematiker' sondern Mathematiklehrer an einem Gymnasium.

Er hat es selbst einmal auf seiner Homepage geschrieben. Ich habe den Wortlaut nicht mehr genau in Erinnerung. Schließlich ist er mir als Person gleichgültig.

> Er hat offenbar Ihr
> Anfängerbuch gelesen, vielleicht hat man ihn sogar um eine Rezension gebeten. Er hat viele Fehler gefunden, aber bei weitem nicht alle.

Das was Du nicht verstehst, geht auf deine Defizite zurück, wie man oben schon wieder sieht. Das, was er gefunden hat, konnte ich leicht widerlegen:

Bedauerlicherweise konnte im Zentralblatt die Rezension meines Buches "Mathematik für die ersten Semester", 2. Aufl., Oldenbourg 2010, von Dr. Franz Lemmermeyer erscheinen, offenbar ohne auf ihren Wahrheitsgehalt geprüft worden zu sein. Er schreibt:

“Mathematik für die ersten Semester” enthält den Teil der Mathematik, der für ein Studium technischer Fächer ausreicht: etwas elementare Geometrie, lineare Algebra, Infinitesimalrechnung, sowie die Anfangsgründe der Vektoranalysis und der Differentialgleichungen. Die Darstellung geht für ein Buch dieser Art im großen und ganzen in Ordnung, und zahlreichen Übungsaufgaben runden es ab. Hätte der Autor es dabei belassen, wäre außer einigen größeren und kleineren Fehlern nicht viel zu bemängeln gewesen.

Der Satz trifft genau den Kern dieser "Rezension".

Unglücklicherweise setzt der Autor aber seinen Feldzug gegen die moderne Mathematik (dazu zählen die Errungenschaften der letzten 2500 Jahre: die Existenz von Geraden, Kreisen, oder der Primfaktorzerlegung einiger natürlicher Zahlen wird ebenso bestritten wie die von irrationalen Zahlen) auch in diesem “Lehrbuch” fort.

Das ist falsch. Ich bestreite weder die Existenz von irrationalen Zahlen noch die von Geraden, Kreisen usw. Die Menge der reellen Zahlen besteht aus allen rationalen und allen irrationalen Zahlen (S. 36). Man stelle die Menge der Punkte eines Kreises um den Ursprung (0 | 0) in kartesischen Koordinaten dar (S. 49). Was ich bestreite ist die Existenz einer vollendeten Unendlichkeit. Diese Mathematik ist 2500 Jahre ohne aktual unendliche Mengen ausgekommen.

Das beginnt mit dem unsäglichen Vorwort, in dem den Lesern erklärt wird, dass praktisch alle Sätze, die in diesem Buch bewiesen werden (oder auch nicht), falsch sind; in den Worten des Autors: sie “leiden Ausnahmen”.

Dieser Satz ist ein bekanntes Zitat von Abel zu Sätzen Cauchys. Mein Satz bezieht sich darauf, dass es unmöglich ist und für immer bleiben wird, Irrationalzahlen wie 2 oder  mit einem relativen Fehler < 1/210100 ihres Wertes darzustellen. An dieser Tatsache bin ich unschuldig. Ihre Erkenntnis sollte nicht verdrängt oder bestraft werden.

Das Problem liegt in den Augen des Autors daran, dass z.B. die Funktion f(x) = x2−2 stetig ist und das Vorzeichen wechselt, aber mangels der Existenz von 2 keine Nullstelle hat.

Selbstverständlich existieren irrationale Zahlen, aber nicht ihre vollständigen Dezimaldarstellungen. Das sollte ein Mathematiker zu unterscheiden wissen.

Diese Schlampigkeit im Großen setzt sich im Kleinen fort: Funktionen f: X  Y werden ordentlich erklärt (mit Hilfe der vom Autor abgelehnten Mengenlehre),

Ich lehne die Mengenlehre nicht ab. Ich lehne ihre transfiniten Teile ab. Auch das sollte ein Mathematiker zu unterscheiden wissen.

doch dann erscheint auf S. 20 aus heiterem Himmel folgende Definition: “Sei eine reelle Zahl. Eine lineare Abbildung f ist eine Abbildung mit den Eigenschaften f(x1 + x2) = f(x1)+f(x2) und f(x) = f(x).” Bei dieser Definition ist so ziemlich alles falsch, was man falsch machen kann: reelle Zahlen wurden noch nicht eingeführt;

Die Zahlenmengen einschließlich der natürlichen, ganzen, rationalen, reellen und komplexen Zahlen werden auf S. 8 eingeführt - übrigens in allen drei Auflagen.

Definitionsbereich und Bildbereich der Abbildung sind nicht festgelegt, wodurch die Addition x1+x2, die der Bilder oder die Multiplikation mit  keinen Sinn macht;

Auf S. 19 ist definiert: Abbildungen von Zahlenmengen auf Zahlenmengen bezeichnet man meist als Funktionen. Alle Folgen und alle Funktionen sind also Abbildungen. Danach folgen Beispiele für Relationen mit Zahlen. Offensichtlich sind die Objekte aus Definitionsbereich und Bildbereich solche, für die Addition und Multiplikation definiert sind. Es kann nicht erwartet werden, dass alle relevanten Definitionen auf jeder Seite wiederholt werden.

Die Schlampigkeit des Rezensenten setzt sich noch eine Weile fort. Um den Leser nicht zu ermüden, hier nur noch ein Beispiel:

Da der Autor der Meinung ist, dass Funktionen N  R nicht stetig sein sollten, ersetzt er die übliche Definition der Stetigkeit auf S. 199 durch eine eigene, die sich aber schon bei oberflächlicher Betrachtung als vollkommen sinnfrei herausstellt.

Nur bei oberflächlicher Betrachtung! Denn meine explizit nur für reelle Funktionen gegeben Stetigkeitsdefinition leistet alles, was in der reellen Analysis benötigt wird, vermeidet aber das geradezu perverse Ergebnis, wonach diskreten Folgen Stetigkeit bescheinigt wird.

Einige Fragen bleiben. Muss man solche Werke ausführlich besprechen?

Man sollte es jedenfalls nicht tun, ohne das Werk gelesen zu haben, wie es offenbar hier geschehen ist. Und nach einem Schwall unsachlicher Rhetorik stellt Lemmermeyer die abschließende Frage:

Und zu guter Letzt eine Frage an den Oldenbourg-Verlag, der dieses Machwerk auf dem Rückumschlag als “solides Fundament” auch für “Studierende der Mathematik” anpreist: olet pecunia?

Audacter calumniare - semper aliquid haeret wäre hier wohl ein passenderer Schluss.

Gruß, WM

[Ralf Goertz]

Am Tue, 9 Nov 2021 00:06:53 -0800 (PST)
schrieb Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de>:

> Rainer Rosenthal schrieb am Dienstag, 9. November 2021 um 08:48:15
> UTC+1:

>
> > So, jetzt war ich gerade etwas vom Thema abgekommen. Also dann:
> > munter zurück auf den Pfad der gepflegten Diskussion mit
> > Erkenntnisgewinn. Aber einen Schritt nach dem anderen, bitte!
> >
> > Du musst dazu nur zugeben, dass aus x+1 = y+1 notwendig x = y
> > folgt.
>
> Das ist für definierbare Zahlen der Fall, aber fast alle Zahlen in ℕ
> sind nicht definierbar.

Warum ist das für die rationalen Zahlen in den Intervallen [0,1) und
[1,2) egal, von denen du vor ein paar Wochen noch behauptet hast, sie
wären bijektiv aufeinander abbildbar vermöge der Funktion f: [0,1) -->
[1,2), x->x+1? Warum also ist die Abbildung {0} ∪ ℕ --> ℕ mit derselben
Funktionsvorschrift nicht injektiv?

[Ganzhinterseher]

Ralf Goertz schrieb am Mittwoch, 10. November 2021 um 11:39:25 UTC+1:
> Am Tue, 9 Nov 2021 00:06:53 -0800 (PST)
> schrieb Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de>:

> > Das ist für definierbare Zahlen der Fall, aber fast alle Zahlen in ℕ
> > sind nicht definierbar.
> Warum ist das für die rationalen Zahlen in den Intervallen [0,1) und
> [1,2) egal, von denen du vor ein paar Wochen noch behauptet hast, sie
> wären bijektiv aufeinander abbildbar vermöge der Funktion f: [0,1) -->
> [1,2), x->x+1?

Habe ich das so gesagt? Macht der Gewohnheit. Es ist natürlich falsch. Es gibt keine Abbildung von undefinierbaren Zahlen oder zu undefinierbaren Zahlen, nicht einmal von ℕ auf ℕ. Ich behaupte Gleichzahligkeit, übrigens exakte, aufgrund der Symmetrie, hier der Translationssymmetrie auf der reellen Achse.

> Warum also ist die Abbildung {0} ∪ ℕ --> ℕ mit derselben
> Funktionsvorschrift nicht injektiv?

Wie gesagt, nicht einmal ℕ --> ℕ ist eine Abbildung. Aber selbst wenn es eine wäre, wäre in {0} ∪ ℕ --> ℕ links ein Element mehr als rechts vorhanden, und wegen "links total rechts eindeutig" müsste dieses eine überzählige Element auf eine natürliche Zahl abgebildet werden, die bereits ein Urbild hat.

Gruß, WM

[JVR]

Vor einigen Jahren habe ich Sie auf viele Fehler in Ihrem Bestseller aufmerksam gemacht. Ich habe jeweils am Morgen das Buch irgendwo geöffnet und bis zum nächsten groben Fehler gelesen. Einige waren wirklich haarstreubend. Bedankt haben Sie sich nicht dafür.

Bestseller Rang auf Amazon.de:
Best Sellers Rank: 2,970,401 in Books (See Top 100 in Books)
13,849 in Computer Science (Books)
32,965 in Popular Mathematics
163,490 in Engineering Science & Technology

Die Definition der Stetigkeit in der heute üblichen Form: Das Urbild jeder offenen Menge ist offen.
Analog - Definition einer messbaren Funktion: Das Urbild jeder messbaren Menge ist messbar.
Einfach, klar und direkt.

[Ralf Bader]

On 11/10/2021 09:45 AM, Ganzhinterseher wrote:

Scheißdreck

[Juergen Ilse]

Hallo,

Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:
> Ralf Bader schrieb am Dienstag, 9. November 2021 um 23:59:31 UTC+1:
>
>> Das vermutlich einzige mathematische Anfängerbuch,
>
> [W. Mückenheim: "Mathematik für die ersten Semester", 4th ed., De Gruyter, Berlin (2015)]

Dieses Machwerk ist (nach allem, was ich *darueber* gelesen habe) anscheinend
so uebel, dass man jedem an Mathematik interessierten Menschen nur abraten
kann, es zu lesen (um die eigene geistige Gesundheit nicht zu gefaehrden).

>> in dem schon die
>> Definition der Stetigkeit einer reellen Funktion
>
> korrekt ist, weil Punktfolgen als nicht stetig ausgewiesen werden. Was für ein Schwachsinn wäre das auch! Alle übrigen Eigenschaften der gewöhnlichen Stetigkeitsdefinition bleiben erhalten.

Untersuchen SIE doch die folgende Funktion f(x) von |R auf |R auf Stetigkeit:

f(x) = 1/q falls x rational ist und die gekuerzte Bruchdarstellung p/q besitzt
f(x) = 0 falls x irrational ist.

Ist die Funktion irgendwo stetig (und falls ja, wo ist sie stetig)?

> Immerhin 4 Auflagen - und schon vorher als Bestseller angepriesen:
> https://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/Transfinity/Bestseller.pdf

Es gibt sehr viele Buecher, die nur absoluten Schwachsinn enthalten und
dennoch Bestseller sind.

> ∀n ∈ ℕ_def: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo

Diese Aussage ist fuer *alle* natuerlichen Zahlen korrekt und definiert
*gar* nichts* (erst recht keine Menge) SIE sind offenbar noch nicht einnmal
in der Lage eine Mengendefinition fehlerfrei hinzuschreiben. Lernen SIE
doch erst einmal die Sprache "Mathematik", bevor SIE darueber zu rreferieren
versuchen.

Tschuess,
Juergen Ilse (jue...@usenet-verwaltung.de)

[Juergen Ilse]

Hallo,

JVR <jrenne...@googlemail.com> wrote:
> Wahrlich, wahrlich, ich sage euch: Wer Unsinn schwätzt, dem gebühret unsinnige Gegenrede.
>
> Matthäus 5, 11-12:
> Selig seid ihr, wenn euch die Menschen schmähen und verfolgen und reden allerlei Übles gegen euch, so sie daran lügen. Seid fröhlich und getrost; es wird euch im Himmel wohl belohnt werden. Denn also haben sie verfolgt die Propheten, die vor euch gewesen sind.

Zu Herrn Mueckenheim passt vielleicht eher Matthaeus 5, 3:
Selig sind, die Armen im Geiste, denn ihrer ist das Himmelreich.

(Ja, ich weiss, dass eigentlich "Selig sind die *geistlich* Armen" gemeint
ist, aber die oeben angegebene Uebersetzung passt vielleicht eher ...).

Tschuess,
Juergen Ilse (jue...@usenet-verwaltung.de)

[Juergen Ilse]

Hallo,

Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:
> JVR schrieb am Dienstag, 9. November 2021 um 12:02:44 UTC+1:
>
>> In seinem Bestseller wird, nebenbeigesagt, bei der Definition der natürlichen Zahlen
>> Nachfolger (x) = Nachfolger (y) während x !=y nicht ausgeschlossen.
>
> Da muss ich leider schon wieder etwas richtigstellen. In meinem Buch [W. Mückenheim: "Mathematik für die ersten Semester", 4th ed., De Gruyter, Berlin (2015)] wird nicht die Nachfolgerregelung sondern die Addition angewandt.

Die Peano Axiome dienen der Definition der natuerlichen Zahlen. Deswegen
koennen Operationen auf der Menge der natuerlichen Zahlen zur Formulierung
der Peano Axiome nicht verwendet werden, ohne einem Zirkelschluss aufzusitzen.
Deswegen ist ein Definitionsversuch der Peano Axiome mittels Addition noch
nicht einmal den BRennwert des Papiers wert, das man benoetigt um diesen
Unfug aufzuschreiben.

Tschuess,
Juergen Ilse (jue...@usenet-verwaltung.de)
PS: Bevor man die Operation + auf den natuerlichen Zahlen verwenden kann,
muss diese Operation definiert sein. Bevor man diese definieren kann,
muessen zuerst einmal die natuerlichen Zahlen definiert sein. Solange
also die Peano Axiome nicht vorhanden sind, gibt es noch keine natuer-
lichen Zahlen, ohne natuerliche Zahlen noch keine Operation + auf den
natuerlichen Zahlen.a Die Addition auf den natuerlichen Zahlen wird
dann ueblicherweise aus der Nachfolgerfunktion der Peano Axiome her-
geleitet.

Tschuess,
Juergen Ilse (jue...@useet-verwaltung.de)

[Dieter Heidorn]

Juergen Ilse schrieb:

> Hallo,
>
> Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:
>> Ralf Bader schrieb am Dienstag, 9. November 2021 um 23:59:31 UTC+1:
>>
>>> Das vermutlich einzige mathematische Anfängerbuch,
>>
>> [W. Mückenheim: "Mathematik für die ersten Semester", 4th ed., De Gruyter, Berlin (2015)]
>

> Dieses Machwerk ist [...]

Empfehlung:
https://www.amazon.de/Mathematik-ersten-Semester-Gruyter-Studium/dp/3110377330/ref=cm_cr_arp_d_pl_foot_top?ie=UTF8

dort "Blick ins Buch" anklicken, und den Abschnitt "Über Mathematik und
Wirklichkeit und dieses Buch" lesen. Mir hat es jedenfalls geholfen, WMs
Vorstellungen besser einzuordnen.

Dieter Heidorn

[Ganzhinterseher]

JVR schrieb am Mittwoch, 10. November 2021 um 12:53:13 UTC+1:

> Vor einigen Jahren habe ich Sie auf viele Fehler in Ihrem Bestseller aufmerksam gemacht. Ich habe jeweils am Morgen das Buch irgendwo geöffnet und bis zum nächsten groben Fehler gelesen.

Was davon zu halten ist, was Du für einen Fehler hältst, das haben wir gerade an Deinem Einwand gegen die Axiome der natürlichen Zahlen gesehen. Du solltest Dich bedanken, dass Deine Irrtümer aufgeklärt wurden.

> Bestseller Rang auf Amazon.de:
> Best Sellers Rank: 2,970,401 in Books (See Top 100 in Books)
> 13,849 in Computer Science (Books)
> 32,965 in Popular Mathematics
> 163,490 in Engineering Science & Technology

Das Buch wurde nicht über Amazon verkauft, sondern über den Buchhandel. Dort war es ein Bestseller: https://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/Transfinity/Bestseller.pdf

Und damit nun Schluss zu diesem leidigen, leider wieder vom Autor eingeführten Nebenthema.

Gruß, WM

[Ganzhinterseher]

Juergen Ilse schrieb am Mittwoch, 10. November 2021 um 19:03:15 UTC+1:

> > ∀n ∈ ℕ_def: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo
> Diese Aussage ist fuer *alle* natuerlichen Zahlen korrekt und definiert
> *gar* nichts*

Doch, sie definiert alle definierbaren natürlichen Zahlen. Fange an mit 1, dann 2, dann 3, und so weiter. Wäre sie dagegen für alle natürlichen Zahlen korrekt, dann hätte man wieder zwei konsekutive unendliche Mengen und damit einen Widerspruch.

Gruß, WM

[Ganzhinterseher]

Juergen Ilse schrieb am Mittwoch, 10. November 2021 um 19:22:34 UTC+1:
> Hallo,
> Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:
> > JVR schrieb am Dienstag, 9. November 2021 um 12:02:44 UTC+1:
> >
> >> In seinem Bestseller wird, nebenbeigesagt, bei der Definition der natürlichen Zahlen
> >> Nachfolger (x) = Nachfolger (y) während x !=y nicht ausgeschlossen.
> >
> > Da muss ich leider schon wieder etwas richtigstellen. In meinem Buch [W. Mückenheim: "Mathematik für die ersten Semester", 4th ed., De Gruyter, Berlin (2015)] wird nicht die Nachfolgerregelung sondern die Addition angewandt.
> Die Peano Axiome dienen der Definition der natuerlichen Zahlen. Deswegen
> koennen Operationen auf der Menge der natuerlichen Zahlen zur Formulierung
> der Peano Axiome nicht verwendet werden, ohne einem Zirkelschluss aufzusitzen.

Ich formuliere nicht die Peano Axiome, sondern Axiome für die natürlichen Zahlen.

> Deswegen ist ein Definitionsversuch der Peano Axiome mittels Addition noch

Dann hat die Akkumulation von Mengenklammern wohl auch keinen Wert? Schade, dass bisher noch niemand dieses Versagen von Zermelo und v. Neumann bemerkt hat.

Gruß, WM

[Rainer Rosenthal]

Am 10.11.2021 um 10:44 schrieb Ganzhinterseher:

> Rainer Rosenthal schrieb am Dienstag, 9. November 2021 um 23:09:52 UTC+1:
>>>>
>>>> Denn aus f(x) = f(y) folgt x = y:
>>>> Aus x+1 = y+1 folgt für alle Zahlen x, y, dass x = y ist.
>>>
>

> Das könntest Du schon auf S. 19 meines Buches finden: "Eine Abbildung f von X nach Y heißt
> – surjektiv (oder Abbildung auf Y), wenn jedes y ∈ Y ein Bild ist,
> – injektiv (oder eindeutig), wenn aus f (x1) = f (x2) folgt x1 = x2,
> – bijektiv (oder eineindeutig), wenn f injektiv und surjektiv ist.
> [W. Mückenheim: "Mathematik für die ersten Semester", 4th ed., De Gruyter, Berlin (2015)]
>

Sage ich doch:
"injektiv (oder eindeutig), wenn aus f (x1) = f (x2) folgt x1 = x2."

f(x1) = x1 + 1
f(x2) = x2 + 1

Bei Gleichheit von f(x1) und f(x2) ist x1 + 1 = x2 + 1.
Somit ist x1 = x2.

Gemäß "Mathematik für die ersten Semester" also: f ist injektiv.

Gruß,
RR

[Ganzhinterseher]

Ja, in der klassischen Mathematik der potentiell unendlichen Mengen ist f injektiv. Du hast die Titelzeile aber aus folgendem Abschnitt entnommen:

"Die Bijektion ℕ --> ℕ, also eine surjektive und injektive Abbildung, egal mit welcher Funktion, beweist dass ℕ eine vollständige und fertige Menge ist. (*) Das ist ein leicht beweisbarer Satz, der sogar von Matheologen als bewiesen akzeptiert wird, obwohl sie auch hier fehlgehen (**) und nur zufällig ein richtiges Ergebnis vorweisen können. Jede Abbildung ℕ --> ℕ U {0} ist also nicht surjektiv, jede Abbildung {0} U ℕ --> ℕ ist nicht injektiv. (***) QED."

Da ging es um die aktual unendliche Menge aller natürlichen Zahlen. Und dazu möchte ich noch folgendes erklären, alles noch ein wenig unausgegoren, aber hoffentlich verständlich:
(*) Dieser Satz ist wackelig, denn die meisten natürlichen Zahlen kann man nicht individuell verwenden, sondern nur die definierbaren, also die hier definierten:
∀n ∈ ℕ_def: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo.
Wären in ℕ_def bereits ℵo natürliche Zahlen, dann hätte man zwei konsekutive aktual unendliche Mengen |ℕ \ ℕ_def| = ℵo, was nicht geht. In ℕ_def spielt sich die klassische Mathematik ab, und da ist die Abbildung f(x) = x+1 injektiv
Man kann aber in der wesentlich umfangreicheren Menge ℕ, wenn man von Bijektion spricht, nur einen gewissen Automatismus f(n) = n voraussetzen, der grundsätzlich fraglich ist, weil die meisten Elemente undefinierbar sind. Die Konstanz der Zahl |ℕ| in ℕ --> ℕ geht aber sicher aus der Symmetrieüberlegung hervor.
(**) Diese Bemerkung bezieht sich auf die Behandlung aller natürlichen Zahlen als individuell adressierbar und die Bijektion ℕ --> ℕ mit f(n) = n.
(***) Da |ℕ| eine feste, nicht variable Zahl ist, ist |ℕ| + 1 davon verschieden. Deswegen wäre eine Injektion {0} U ℕ --> ℕ, selbst wenn alle Zahlen definierbar wären, nicht möglich.

Gruß, WM

[Gus Gassmann]

On Wednesday, 10 November 2021 at 17:42:18 UTC-4, Ganzhinterseher wrote:
[...]

> Und dazu möchte ich noch folgendes erklären, alles noch ein wenig unausgegoren, aber hoffentlich verständlich:

Mückenheim, tu dir selbst und allen anderen hier einen ganz grossen Gefallen und verpiss dich, jedenfalls so lange, bis dein Scheiss ganz ausgegoren ist. Der Blödsinn, den du hier immer abgibst, stinkt zum Himmel. Keiner hier will ihn.

[...]

[JVR]

Du siehst, dass Mückenheim im zitierten Erguss Fehler an Fehler reiht und die einfachsten Tatsachen nicht versteht.
Die Lösung ist, diesen kranken Volltrottel zu ignorieren. Im Usenet palavern ist sein Lebensinhalt. Er wird nicht aufhören,
weil er nicht aufhören kann. Jede moderierte Diskusskionsgruppe hat ihn gesperrt. Das total von Spinnern dominierte
Usenet ist genau der richtige Ort für die Mückmeatik.

[JVR]

On Wednesday, November 10, 2021 at 12:17:12 PM UTC+1, Ganzhinterseher wrote:
[...]

> Habe ich das so gesagt? Macht der Gewohnheit. Es ist natürlich falsch.

[...]
> Gruß, WM

ROFL

[Andreas Leitgeb]

Rainer Rosenthal <r.ros...@web.de> wrote:
> Sage ich doch:
> "injektiv (oder eindeutig), wenn aus f (x1) = f (x2) folgt x1 = x2."

Wenn du dich nicht in den WM-Sumpf ziehen lassen willst, dann ergänze
die notwendigen Quantoren, ohne die das hier nämlich keinen Sinn hat.

[Rainer Rosenthal]

Am 11.11.2021 um 12:26 schrieb Andreas Leitgeb:

> Rainer Rosenthal <r.ros...@web.de> wrote:
> Am 10.11.2021 um 10:44 schrieb Ganzhinterseher:
> Das könntest Du schon auf S. 19 meines Buches finden: "Eine Abbildung f von X nach Y heißt

> – surjektiv [...]
> – injektiv (oder eindeutig), wenn aus f (x1) = f (x2) folgt x1 = x2,
> – bijektiv [...]

> [W. Mückenheim: "Mathematik für die ersten Semester", 4th ed., De Gruyter, Berlin (2015)]

>> Sage ich doch:
>> "injektiv (oder eindeutig), wenn aus f (x1) = f (x2) folgt x1 = x2."
>
> Wenn du dich nicht in den WM-Sumpf ziehen lassen willst, dann ergänze
> die notwendigen Quantoren, ohne die das hier nämlich keinen Sinn hat.
>

Das war ein Zitat(*) und hat von daher automatisch Beweis-Charakter.
Quantoren werden überbewertet.

Gruß,
RR

(*) ich habe die von Dir weggelassenen Zeilen eingefügt.

[Rainer Rosenthal]

Am 10.11.2021 um 22:42 schrieb Ganzhinterseher:
> Rainer Rosenthal schrieb am Mittwoch, 10. November 2021 um 22:00:25 UTC+1:

>> WM: "injektiv (oder eindeutig), wenn aus f (x1) = f (x2) folgt x1 = x2."
>>
[Nehmen wir f: {0} U N --> N, definiert durch f(x) = x+1.]

>> f(x1) = x1 + 1
>> f(x2) = x2 + 1
>>
>> Bei Gleichheit von f(x1) und f(x2) ist x1 + 1 = x2 + 1.
>> Somit ist x1 = x2.
>>
>> Gemäß "Mathematik für die ersten Semester" also: f ist injektiv.
>>
> Ja, in der klassischen Mathematik der potentiell unendlichen Mengen ist f injektiv.

Also ist f ein bisschen injektiv. Immerhin doch schon eine Aufweichung
der Behauptung A im Thema. Sie ist also schon ein bisschen falsch.

Gruß,
RR

[Ralf Bader]

Nein.

Es liegt genug Material vor, um die bei Mückenheim gegebene Denkstörung
ziemlich konkret zu beschreiben. M. ist zum mentalen Umgang mit
Unendlichkeiten nicht befähigt. Eine Menge kommt bei M. dadurch
zustande, daß ihre Elemente eines nach dem anderen eingefügt werden
(oder adressiert oder benannt oder wie auch immer M. das zu nennen
pflegt). Das geht relativ gut bei endlichen Mengen. "Potentiell,
unendlich" heißt, M. verliert irgendwann die Lust, obwohl es noch
weiterginge - die Menge ist endlich, aber sie kann oder könnte
weiterwachsen. Die Mückenheimsche "potentielle Unendlichkeit" ist eine
Methode zur Verwechslung von endlich und unendlich. "Aktual unendlich"
wäre eine fertiggestellte unendliche Menge, fertig im Sinne der
individuellen Einfügung ihrer Elemente. Das geht natürlich nicht. Aber
einmal unterstellt, es ginge doch, dann hätte diese Menge ein "zuletzt"
eingefügtes Element, und ein zuvorletzt eingefügtes Element usw.,
aufgrund der für die Mückenheimsche Denkstörung typischen Unterschiebung
von Eigenschaften des Endlichen für alles Unendliche. Diese "letzten"
Elemente sind jedoch "dunkel". Das obige bißchen Injektivität findet
noch im Bereich des Endlichen statt. An der Behauptung im Thema ändert
sich somit nichts.

Es ist allerdings charakteristisch für Mückenheimdauerdiskutierer, immer
wieder in Mückenheimschen Äußerungen Anzeichen für eine Besserung
erkennen zu wollen, obwohl diese Äußerungen so überhaupt nicht gemeint
waren und sich ebenso zwanglos wie alles andere ins Bild der
Mückenheimschen Unendlichkeitsdyskalkulie einfügen.

[Juergen Ilse]

Hallo,

Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:
> JVR schrieb am Mittwoch, 10. November 2021 um 11:00:52 UTC+1:
>> On Wednesday, November 10, 2021 at 8:44:01 AM UTC+1, Ganzhinterseher wrote:
>> > JVR schrieb am Dienstag, 9. November 2021 um 12:02:44 UTC+1:
>> >
>> > > In seinem Bestseller wird, nebenbeigesagt, bei der Definition der natürlichen Zahlen
>> > > Nachfolger (x) = Nachfolger (y) während x !=y nicht ausgeschlossen.
>> > Da muss ich leider schon wieder etwas richtigstellen. In meinem Buch [W. Mückenheim: "Mathematik für die ersten Semester", 4th ed., De Gruyter, Berlin (2015)] wird nicht die Nachfolgerregelung sondern die Addition angewandt. Das ist eine Operation, die vor Einführung der Mereologie noch simpel durch + bezeichnet worden ist. Sie entspricht dem Hinzufügen von gleichartigen Elementen und kann deshalb nicht zu dem o.g. Widerspruch führen. Man vergleiche Zermelos und von Neumanns Definitionen der natürlichen Zahlen, wobei auch keine Vorkehrungen gegen diesen Fall getroffen worden sind oder getroffen werden müssen.
>> > Das ist nur bei Peanos umständlichem und im Ergebnis sogar verfehltem Ansatz erforderlich.
>> >
>> Sie addieren Objekte, die Sie noch garnicht definiert haben.
>
> Doch, die 1 ist definiert. Und sie wird zur 1 addiert.

Das geht mit der natuerlichen Zahl 1 erst, wenn die Addition auf der Menge
der natuerlichen Zahlen definiert ist. Das kann aber fruehestens dann der
Fall sein, wenn die natuerlichen Zahlen definiert sind. Das ist aber bei
der Formulierung der Peano Axiome, die der Definition der natuerlichen
Zahlen DIENEN SOLLEN; NOCH NICHT DWER fALL:

>> Intelligentere Leute würden den Nachfolger von x (beim Zählen) vielleicht provisorisch mit 'x+1' bezeichnen. Dabei geht es noch nicht um eine Addition im Sinne einer binären Operation mit bestimmten Eigenschaften.
>
> Doch, diese grundlegende Operation der Mathematik wird vorausgesetzt.

SIE haben offenbar noch nicht *eine* *einzige* Vorlesung Mathematik fuer
Mathematiker gehoert. Ansonsten muessten SIE wissen, dass die Addition
als Operation auf einer Menge erst dann definiert sein kann, wenn die
Menge definiert ist, und daher zur Definition dieser Menge (auf der die
Addition definiert sein soll) *noch* *nicht* verwendet werden darf.

>> Selbstverständlich sind Zermelos und von Neumanns Definitionen konsistent und führen zwangsläufig zu einer unendlichen Menge,
>
> Zermelo addiert Mengenklammern, ich Einsen. Da ist kein Unterschied.

Zermelo addiert keine Mengenklammern. Die Definition der natuerlichen
Zahlen auf Basis der Mengenlehre nach von Neumann basiert auf der
Bildung von Mengen, nicht auf der Addition von Klammern. Ja, in der
Mathematik ist das ein *Unterschied*.

Tschuess,
Juergen Ilse (jue...@usenet-verwaltung.de)

[Rainer Rosenthal]

Am 11.11.2021 um 22:47 schrieb Ralf Bader:
> Es ist allerdings charakteristisch für Mückenheimdauerdiskutierer, immer
> wieder in Mückenheimschen Äußerungen Anzeichen für eine Besserung

> erkennen zu wollen,...

Tut mir Leid, wenn dieser Eindruck entstanden ist.
Es sollte deutlich geworden sein, dass ich Herrn WM seine Behauptung A
nicht durchgehen lasse.
Wenn ich sie als "ein bisschen falsch" bezeichne, darf das gerne
ironisch gesehen werden.

An der Unendlichkeits-Dykalkulie lässt sich nichts ändern, und auch
Cantor hat achselzuckend davon gesprochen, dass nicht jeder Korinth
besuchen kann.
Allein die Tatsache, dass das früher verteufelte {0} in einer WM-Formel
auftaucht, ist bemerkenswert. Und immer wenn's konkret wird, juckt es
mich, mich zu den "Mückenheimdauerdiskutierern" zu gesellen.
Ich halte es dabei für angemessen, nicht allzu eklatant von der
dsm-Charta abzuweichen, die Gastgeber Tjark Weber uns des Öfteren postet.

Gruß,
RR

[Andreas Leitgeb]

Rainer Rosenthal <r.ros...@web.de> wrote:
> Am 11.11.2021 um 12:26 schrieb Andreas Leitgeb:
>> Rainer Rosenthal <r.ros...@web.de> wrote:
>>> Sage ich doch:
>>> "injektiv (oder eindeutig), wenn aus f (x1) = f (x2) folgt x1 = x2."
>> Wenn du dich nicht in den WM-Sumpf ziehen lassen willst, dann ergänze
>> die notwendigen Quantoren, ohne die das hier nämlich keinen Sinn hat.
>
> Das war ein Zitat(*) und hat von daher automatisch Beweis-Charakter.

Das war mir schon klar, aber durch "Sage ich doch" hast du es dir
sozusagen angeeignet...

> Quantoren werden überbewertet.

Und damit präsentierst du explizit deine eigene Affinität zum Sumpf. ;-)

[Rainer Rosenthal]

Sümpfe werden unterbewertet ;-)

[Ganzhinterseher]

Hier sind genugsam Quantoren, so hoffe ich doch:

∀ n∈ℕ ∃ m∈ℕ: m > n .
Das ist richtig. Falsch hingegen ist
∃ m∈ℕ ∀ n∈ℕ : m > n
mit vertauschten Quantoren. Hinweis: Den Unterschied macht das ∀ n∈ℕ an der zweiten Stelle aus. Es schließt alle natürlichen Zahlen ein, nicht nur die in der ersten Zeile festgelegten oder wählbaren aus ℕ_def.

Nun betrachten wir die Realität der Endsegmente E(n) = {n, n+1, n+2, ...}:
∀ n∈ℕ ∃ M⊂ℕ: M ⊂ E(n) ∧ |M| = ℵo .
Das ist richtig. Falsch hingegen ist
∃ M⊂ℕ ∀ n∈ℕ : M ⊂ E(n) ∧ |M| = ℵo
mit vertauschten Quantoren.

Wie gesagt, das ist falsch. Also muss die Menge M bei Betrachtung der gesamten Menge ℕ (d.h. ∀ n∈ℕ an zweiter Stelle) verschwinden, M darf jedenfalls nicht unendlich sein. Wie kann das geschehen, wenn M für jede betrachtete natürliche Zahl aus ℕ_def existiert? Die Antwort ist klar: Nicht alle natürlichen Zahlen können betrachtet werden. Diejenigen, die M bevölkern, können nicht betrachtet werden. Sie sind dunkel. Sie können in der ersten Zeile (wo ℕ_def stehen könnte, wenn es den intendierten Leser nicht sofort abstoßen würde) nicht auftreten.

Gruß, WM

[Ganzhinterseher]

Du hast den Unterschied zwischen der potentiell unendlichen Menge und der vollendet unendlichen noch nicht verstanden, obwohl er das Entscheidende für Cantors Fehler ist. Ich versuche es noch einmal, ihn zu erklären:

[Jens Kallup]

Hallo,

ich weiß gerade nicht genau, was IHR gegen Wolfgang nur habt... ?!?
Er versucht das nicht Endliche zu Papier zu bringen - in Form von
Formeln.
Das dies schief geht ist natürlich klar - weil die meisten Menschen
ja überhaupt nichts mit den Formeln anfangen können, und graphische
Darstellungen besser eignen.
Wenn man aber dem Fußvolk diese graphische Form vorlegt, dann haben
diese Personenkreise fast des Rätzels Lösung, und besinnen sich da-
rauf (weil a: es eindeutig scheint, und b: der da gesagt hat).
Schaut Euch mal das Video vom Edmund an !
Der hat auch ein Buch über Kardinalitäten geschrieben darüber !
IHR findet es unter YouTube zur *freien* _visuellen_ Betrachtung.
Und ich kann auch für nicht Endliche Mengen sagen, dass diese an
einen Anfangsstadium wohlgeordnet sein können, und auf einen Zahlen
strahl dargestellt werden können. Allerdings wird das dann nicht
praktischer wenn die Zahlen immer größer werden.
Dann zeigt auch der Edmund eine andere Art der Darstellung: eine
Kreisform - nicht gerade einen perfekten Kreis, wohl aber eine Kreis-
form, die dann die Form einer Spirale animmt.
Durch Skalierung können dann immer größere Zahlen in Form von Strichen
oder Punkten dargestellt werden - also gut, nicht direkt Zahlen,
sondern Abstände.
Diese Abstände kann man definieren durch lateinische Buchstaben oder
andere geeignete Mittel. Die Römer hatten Striche für ihre Zahlen.
Sie hatten aber das Problem mit Fließkommazahlen.
Ich schwurbel zwar gerade rum. Aber ich bin mir sicher, das der Text-
inhalt so in die Richtung geht, die WM einschlagen bzw. schriftlich
aufzeigen will.
Ist schon komisch, das im 21. Jhr. immernoch Briefe und Texte
geschrieben werden, anstelle mit möglichen Mitteln graphosche Ansätze
zu Zeigen.
Aber klar, der hat dann ein doppeltes an Arbeitsaufwand, als mal
schnell, ein paar kleine Textpassagen zu Schreiben.
Tjor, so wandelt sich die Zeit ...

Gruß, Jens

[Ganzhinterseher]

Rainer Rosenthal schrieb am Freitag, 12. November 2021 um 09:39:40 UTC+1:

> Allein die Tatsache, dass das früher verteufelte {0} in einer WM-Formel
> auftaucht, ist bemerkenswert.

Ich habe es nicht verteufelt! Es ist lediglich überflüssig und wird ja auch von Cantor schon in seiner Konstruktion der endlichen Kardinalzahlen weggelassen.

Übrigens sollte das auch in ZFC gelten, denn dort ist bekanntlich alles eines Menge. Also ist auch 0 eine Menge, die mit |N vereinigt werden kann. Oder?

Gruß, WM

[Jens Kallup]

Hallo Wolfgang,

Du verwendest immer aleph_0 in Deinen Ausführungen.
Wie kommst Du dazu?

Wenn man von aleph_0 spricht, ist das ja die erste
oo, und aleph_1 die zweite oo.

Wenn der Zahlenraum 0..1.. nicht Endlich ist, was würde
man da für ein Zeichen nehmen ?

Epsilon, oder Sigma, oder andere ?

Im lateinischen Alphabet hat man ja einen Zeichenvorrat
von 26.

Also von A-Z.

weitere können dann:

A1-Z1
AA1-ZZ1
AAA1-ZZZ1

wenn man positive Objekte betrachten möchte.

wenn man nun aber auch negative Objekte betrachten möchte,
könnte man ja die Bandbreite, die bei den positiven, auch
auf die negativen erweitern.

Aölso so:

0
-1 0 +1
-2 -1 9 +1 +2
-3 -2 -1 0 +1 +2 +3
... 0 ...

dann könnte man doch sagen, gut, wir haben eine Grundmenge von
10 (0..9) an alephs. zwei müssen wir abziehen, weil wir ja dann
das kleinste und das größte aleph charakterisieren möchten, mit
den Zahlenvorrat von 0..9.

dann wurde man also 8 aleph's haben, die dann Untergruppen
bilden können (auch wieder von 0..9 (10 (8))) ....

Bis dann eine kritische Marke überschritten wird, an der sich
möglicherweise zwei benachbarte aleph's berühren, dadurch mit-
einander verschmelzen und das eine aleph's verschwindet, und
ein neues, größeres entsteht.

Der selbe Platz, den die zuvor 2 aleph's eingenommen haben
verschwindet oder vermehrt sich ja nicht.
Es wird nur eine andere Form angenommen.
Und die muss ja nicht rund sein.

Mathematiker lieben ja den Stil der Minimalistik, so dass kleine
Begrenzungen einfach durch hinzugabe von weiteren Eigenschaften
erweitert wird, und ein Neues, Ganzes ergibt.

Man darf sich dann mit der "kleinen" Mathematik, die man als
Schulmädchen oder Schuljunge betreibt, indem einfach weggefratzt
wird, indem der Lehrer einfach sagt:
"So Kinners, jetzt setzen wir links, und rechts einen Strich.
Und wir haben damit die negativen Bereiche in positive Bereiche
umgeschrieben."

Klar, "positive" Erwartungen sind immer besser als "negative"
allerdings wird da in der Mathematik so viel weggelassen, das es
keiner mehr schafft, zu Erklären, wie denn nun dieses Apfelmännchen
grafik entsteht.
Oder warum man auf 2 Seiten von CD's, Daten speichern kann.

Das gleiche verstehe ich nicht, warum viele Musikpiraten die mp3
Songs im Netz piraten, und dann wieder bei anderen Providern
MASSEN an Speicher belegen.
Dabei wurde ja das MP3 Format deswegen erfunden, um Daten zu
reduzieren.
Wie genau das alles funktioniert würde hier den Rahmen sprengen.
Aber vieles ergibt sich auch aus reiner Logik, nicht durch
ab(lesen) oder abschreiben.

Gruß, Jens

[Ganzhinterseher]

Juergen Ilse schrieb am Freitag, 12. November 2021 um 07:38:12 UTC+1:

> Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:

> >> > Da muss ich leider schon wieder etwas richtigstellen. In meinem Buch [W. Mückenheim: "Mathematik für die ersten Semester", 4th ed., De Gruyter, Berlin (2015)] wird nicht die Nachfolgerregelung sondern die Addition angewandt. Das ist eine Operation, die vor Einführung der Mereologie noch simpel durch + bezeichnet worden ist. Sie entspricht dem Hinzufügen von gleichartigen Elementen und kann deshalb nicht zu dem o.g. Widerspruch führen. Man vergleiche Zermelos und von Neumanns Definitionen der natürlichen Zahlen, wobei auch keine Vorkehrungen gegen diesen Fall getroffen worden sind oder getroffen werden müssen.
> >> > Das ist nur bei Peanos umständlichem und im Ergebnis sogar verfehltem Ansatz erforderlich.
> >> >
> >> Sie addieren Objekte, die Sie noch garnicht definiert haben.
> >
> > Doch, die 1 ist definiert. Und sie wird zur 1 addiert.
> Das geht mit der natuerlichen Zahl 1 erst, wenn die Addition auf der Menge
> der natuerlichen Zahlen definiert ist.

Das ging schon Jahrtausende vor jeder Mengendefinition und wird auch Jahrtausende später noch so gehen.

> Das kann aber fruehestens dann der
> Fall sein, wenn die natuerlichen Zahlen definiert sind.

Sie sind es durch die von mir verwendeten Axiome. Ohne die Addition von 1 oder, was dasselbe ist, das Abzählen, können die natürlichen Zahlen gar nicht definiert werden. Das erkennt man leicht daran, dass Peano scheitert.

> Das ist aber bei
> der Formulierung der Peano Axiome, die der Definition der natuerlichen
> Zahlen DIENEN SOLLEN

aber weit vor dem Ziel steckbleiben.

> >> Intelligentere Leute würden den Nachfolger von x (beim Zählen) vielleicht provisorisch mit 'x+1' bezeichnen. Dabei geht es noch nicht um eine Addition im Sinne einer binären Operation mit bestimmten Eigenschaften.
> >
> > Doch, diese grundlegende Operation der Mathematik wird vorausgesetzt.

> Ansonsten muessten SIE wissen, dass die Addition
> als Operation auf einer Menge erst dann definiert sein kann, wenn die
> Menge definiert ist,

Die Menge wird mit Hilfe der Operation definiert.

> >> Selbstverständlich sind Zermelos und von Neumanns Definitionen konsistent und führen zwangsläufig zu einer unendlichen Menge,
> >
> > Zermelo addiert Mengenklammern, ich Einsen. Da ist kein Unterschied.
> Zermelo addiert keine Mengenklammern. Die Definition der natuerlichen
> Zahlen auf Basis der Mengenlehre nach von Neumann basiert auf der
> Bildung von Mengen, nicht auf der Addition von Klammern.

Die Folge }, }}, }}}, ... entsteht durch Anfügung von Klammer an Klammer. Das ist eine Form der Addition, genau wie die Folge I, II, III, ... und die Folge 1, 2, 3, ... sie verwenden.

Gruß, WM

[Jens Kallup]

Am 12.11.2021 um 16:41 schrieb Ganzhinterseher:

> Übrigens sollte das auch in ZFC gelten, denn dort ist bekanntlich alles eines Menge. Also ist auch 0 eine Menge, die mit |N vereinigt werden kann. Oder?

Das natürlich richtig.
Die Menge Null, also auch als Leere Menge bezeichnet muss ja irgendwie
das *NICHTS* aufgenommen haben, das dann immer größer wird, was wir
Menschleins darein interpretieren.
Alles ist Eins (1) sagt der Buddist - und damit hat er Recht !

Wenn man nun also das NICHTS oder die NULL (0) in der Menge haben,
und nun durch nicht begreiflichen Ausmaßes die 1 darein interpretiert
wird (weil wir Menschen ja immer irgendwas und NICHTS suchen), dann
haben wir schon 2 Elemente in der Menge.
Und diese 2 Elemente bezeichnet man dann auch als Mächtigkeit - nicht
zu vergleichen mit deren Größe der einzelnen Elemente.
So kann Nuill (0) 1.000.000 Meter und Eins (1) 10.000.000 Quarks sein.

Da nun 2 Elemente in dieser "einen SUPER" Menge enthalten sind,
können diese durchaus durch weiteres schwurbelieren ihre eigene
Mächtigkeit verlieren oder vergrößern.

Das dann die never ending story ....

Diese Super-Menge kann dann durch Kernfusion in noch kleinere Mengen
aufgesplittet werden, bis dann die kleinen Menschlein entstehen.
Die dann natürlich auch nichts weiteres als ein kleiner Pfurz zum
Vergleich der anderen Elemente sind.

> Gruß, WM

Jens

[Ganzhinterseher]

Ralf Bader schrieb am Donnerstag, 11. November 2021 um 22:47:12 UTC+1:
> Eine Menge kommt bei M. dadurch
> zustande, daß ihre Elemente eines nach dem anderen eingefügt werden
> (oder adressiert oder benannt oder wie auch immer M. das zu nennen
> pflegt). Das geht relativ gut bei endlichen Mengen. "Potentiell,
> unendlich" heißt, M. verliert irgendwann die Lust, obwohl es noch
> weiterginge - die Menge ist endlich, aber sie kann oder könnte
> weiterwachsen. Die Mückenheimsche "potentielle Unendlichkeit" ist eine
> Methode zur Verwechslung von endlich und unendlich.

Es ehrt mich, dass Du sie nach mir benennst, aber diese Art der Unendelichkeit ist seit Jahrtausenden bekannt.

"Aktual unendlich"
> wäre eine fertiggestellte unendliche Menge, fertig im Sinne der
> individuellen Einfügung ihrer Elemente. Das geht natürlich nicht. Aber
> einmal unterstellt, es ginge doch, dann hätte diese Menge ein "zuletzt"
> eingefügtes Element, und ein zuvorletzt eingefügtes Element usw.,

So sollte man meinen, aber es gibt einen Ausweg: Die dunklen Zahlen.

> Diese "letzten"
> Elemente sind jedoch "dunkel". Das obige bißchen Injektivität findet
> noch im Bereich des Endlichen statt.

Anderswo ist es nicht möglich.

> Es ist allerdings charakteristisch für Mückenheimdauerdiskutierer, immer
> wieder in Mückenheimschen Äußerungen Anzeichen für eine Besserung
> erkennen zu wollen, obwohl diese Äußerungen so überhaupt nicht gemeint
> waren

Auch das hast Du sehr gut erkannt.

> und sich ebenso zwanglos wie alles andere ins Bild der
> Mückenheimschen Unendlichkeitsdyskalkulie einfügen.

Ich nehme dieses Wort in dem Sinne, in dem es tatsächlich richtig wäre: Ich glaube nicht an das Versagen der Mathematik "im Unendlichen", insbesondere nicht an:
- Zwei unendliche Mengen in der natürlichen Ordnung von ℕ.
- Versagen der Inklusionsmonotonie: Unendliche Endsegmente mit leerem Schnitt.
- Versagen des Schubfachprinzip: Unendlich viele Strings von den nur endlich viele verschieden sind.

Gruß, WM

[Jens Kallup]

Am 12.11.2021 um 16:52 schrieb Ganzhinterseher:
> Die Folge }, }}, }}}, ... entsteht durch Anfügung von Klammer an Klammer. Das ist eine Form der Addition, genau wie die Folge I, II, III, ... und die Folge 1, 2, 3, ... sie verwenden.

Hallo Wolfgang,

das ist richtig.
Nur eine andere Form (Keilschrift(Zahlen)).
kannten schon die etwas späteren Urmenschen.

Jens

[Ganzhinterseher]

kallu...@web.de schrieb am Freitag, 12. November 2021 um 16:50:11 UTC+1:

> Du verwendest immer aleph_0 in Deinen Ausführungen.
> Wie kommst Du dazu?

Ich verwende es, weil es eine aktuale, wenn auch sehr elastische Angabe zur Anzahl der Elemente einer aktual unendlichen Menge macht, im Gegensatz zu oo, das lediglich potentiellen Charakter hat, und im Gegensatz zur Anzahl |ℕ| der natürlichen Zahlen ℕ, die ebenfalls fest und invariabel ist. Deswegen kann man schreiben:

∀n ∈ ℕ_def: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo

Man könnte kurz sagen:
|ℕ| = oo + ℵo .

Danke für die Inspiration zu dieser Gleichung, die hier wohl Weltpremiere hat.

Gruß, WM

[Ralf Bader]

On 11/12/2021 05:02 PM, Ganzhinterseher wrote:
> Ralf Bader schrieb am Donnerstag, 11. November 2021 um 22:47:12
> UTC+1:
>> Eine Menge kommt bei M. dadurch zustande, daß ihre Elemente eines
>> nach dem anderen eingefügt werden (oder adressiert oder benannt
>> oder wie auch immer M. das zu nennen pflegt). Das geht relativ gut
>> bei endlichen Mengen. "Potentiell, unendlich" heißt, M. verliert
>> irgendwann die Lust, obwohl es noch weiterginge - die Menge ist
>> endlich, aber sie kann oder könnte weiterwachsen. Die
>> Mückenheimsche "potentielle Unendlichkeit" ist eine Methode zur
>> Verwechslung von endlich und unendlich.
>
> Es ehrt mich, dass Du sie nach mir benennst, aber diese Art der
> Unendelichkeit ist seit Jahrtausenden bekannt.

Ich habe Ihre von Ihnen als "potentielle Unendlichkeit" bezeichnete
Wahnidee nach Ihnen benannt, um sie von jenem anderen, "seit
Jahrtausenden bekannten" zu unterscheiden.

[Rainer Rosenthal]

Am 12.11.2021 um 16:22 schrieb Jens Kallup:
>
> ich weiß gerade nicht genau, was IHR gegen Wolfgang nur habt... ?!?
> Er versucht das nicht Endliche zu Papier zu bringen - in Form von
> Formeln.

Ich habe nichts gegen Wolfgang, außer dass mich seine Ignoranz und
Überheblichkeit befremden.
Ignoranz: das ist die absichtliche Missachtung vorangegangener
Leistungen anderer Leute.
Überheblichkeit: das ist die ungerechtfertigte Hochachtung vor
vermeintlichen eigenen Leistungen.

> Ich schwurbel zwar gerade rum.

Ich will Dir da nicht widersprechen.
Das Thema sind injektive Abbildungen.

> Aber ich bin mir sicher, das der Textinhalt so in die Richtung geht > die WM einschlagen bzw. schriftlich aufzeigen will.

Ja, das ist leider wahr.

Gruß,
RR

[Rainer Rosenthal]

Am 12.11.2021 um 16:14 schrieb Ganzhinterseher:
> Rainer Rosenthal schrieb am Donnerstag, 11. November 2021 um 21:41:46 UTC+1:

>> [Nehmen wir f: {0} U N --> N, definiert durch f(x) = x+1.]

>>>> Bei Gleichheit von f(x1) und f(x2) ist x1 + 1 = x2 + 1.
>>>> Somit ist x1 = x2.
>>>> Gemäß "Mathematik für die ersten Semester" also: f ist injektiv.
>>>>

> Du hast den Unterschied zwischen der potentiell unendlichen Menge und der vollendet unendlichen noch nicht verstanden, obwohl er das Entscheidende für Cantors Fehler ist.

Komm mir doch nicht mit "Cantors Fehler". Eins nach dem anderen: f ist
injektiv, OK? Ob ich dies oder jenes verstanden oder nicht verstanden
habe, können wir ein andermal besprechen.

Gruß,
RR

[Rainer Rosenthal]

Am 12.11.2021 um 17:15 schrieb Ganzhinterseher:

> Man könnte kurz sagen:
> |ℕ| = oo + ℵo .
>
> Danke für die Inspiration zu dieser Gleichung, die hier wohl Weltpremiere hat.
>

Humor ist, wenn man trotzdem lacht.

Gruß,
RR

[Stephan Gerlach]

Ganzhinterseher schrieb:
> Stephan Gerlach schrieb am Dienstag, 9. November 2021 um 00:53:21 UTC+1:
>> Ganzhinterseher schrieb:
>>> Rainer Rosenthal schrieb am Montag, 8. November 2021 um 10:16:59 UTC+1:
>>>> Immer, wenn's konkret wird ...
>>>>
>>>> Die im Titel genannte Behauptung A ist falsch.
>>>> Gegenbeispiel ist die Abbildung f: {0} U N --> N, definiert durch
>>>> f(n) = n+1 für n = 0, 1, 2, ...
>>>>
>>>> Es ist nicht so schwierig, die Injektivität von f zu zeigen.
>>>> Wie schwierig es ist, das dann auch zu verstehen, hängt vom Leser oder
>>>> der Leserin ab.
>>> Bitte zeige das für alle Elemente von ℕ.
>> Bei der Injektivität einer Abbildung geht es überhaupt nicht darum,
>> etwsa für alle Elemente einer der beiden beteiligten Mengen zu zeigen.
>> --> Thema verfehlt
>
> Hast Du schon einmal den Satz "links total, rechts eindeutig" gehört?

Nein; ich wüßte nicht, was das für ein Satz(??) sein soll.
Zumindest kenne ich keinen (mathematischen?) Satz mit diesem Namen. Auch
als reiner "Deutsch-Satz" ergibt er (syntaktisch) keinen Sinn, da z.B.
das Verb fehlt.

Ich wüßte auch nicht, was das nun wieder mit dem Thema (Injektivität
einer Abbildung) zu tun haben sollte, bzw. wieso das (wiederum) ein
Einwand auf meinen Einwand sein sollte, daß

> Kannst Du Dir etwas darunter vorstellen, was mit total gemeint ist?

Wenn der Kontext(!) klar ist, sicherlich.

Es erscheint allerdings eher so, daß du (wieder mal) vom Thema ablenkst.

> Und Injektivität...
[einer Abbildung]
> ... beweist, dass die Bildmenge mindestens so viele Elemente wie die Urbildmenge besitzt.

Sofern man den beteiligten Mengen "irgendwie" eine Anzahl von Elementen
zuordnen kann, ja.


--
> Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.
gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)

[Ganzhinterseher]

Stephan Gerlach schrieb am Samstag, 13. November 2021 um 02:23:34 UTC+1:
> Ganzhinterseher schrieb:
> > Stephan Gerlach schrieb am Dienstag, 9. November 2021 um 00:53:21 UTC+1:
> >> Ganzhinterseher schrieb:
> >>> Rainer Rosenthal schrieb am Montag, 8. November 2021 um 10:16:59 UTC+1:
> >>>> Immer, wenn's konkret wird ...
> >>>>
> >>>> Die im Titel genannte Behauptung A ist falsch.
> >>>> Gegenbeispiel ist die Abbildung f: {0} U N --> N, definiert durch
> >>>> f(n) = n+1 für n = 0, 1, 2, ...
> >>>>
> >>>> Es ist nicht so schwierig, die Injektivität von f zu zeigen.
> >>>> Wie schwierig es ist, das dann auch zu verstehen, hängt vom Leser oder
> >>>> der Leserin ab.
> >>> Bitte zeige das für alle Elemente von ℕ.
> >> Bei der Injektivität einer Abbildung geht es überhaupt nicht darum,
> >> etwsa für alle Elemente einer der beiden beteiligten Mengen zu zeigen.
> >> --> Thema verfehlt
> >
> > Hast Du schon einmal den Satz "links total, rechts eindeutig" gehört?
>
> Nein; ich wüßte nicht, was das für ein Satz(??) sein soll.

Er ist eine alte Merkregel für die Funktion von Abbildungen:
https://www.google.com/search?q=linkstotal+rechtseindeutig&rlz=1C1CHBF_deDE881DE881&oq=links+total%2C+rechts+eindeutig&aqs=chrome.1.69i57j0i19j69i59j0i5i13i19i30l2j0i8i13i19i30.7730j0j7&sourceid=chrome&ie=UTF-8
So wie man "Geh du alter Esel" zum Geigenstimmen benutzt.
Die Regel sagt aus, dass alle Elemente des Definitionsbereichs abzubilden sind. Da sie meistens links stehen, also "links total". Jeder Abbikldungspfeil darf nur zu einem Element der Bildmenge führen, daher rechts eindeutig.

> Zumindest kenne ich keinen (mathematischen?) Satz mit diesem Namen.

Das wundert mich. Bist Du denn Mathematiker?

> Ich wüßte auch nicht, was das nun wieder mit dem Thema (Injektivität
> einer Abbildung) zu tun haben sollte,

Das ist verständlich, wenn Du den Satz gar nicht kanntest. Aber nun kennst Du ihn. Alle Elemente des Definitionsbereichs der Abbildung sind abzubilden. Wenn mehr vorhanden sind als im Bildbereich, so geht das nicht injektiv. Das hat der Merksatz damit zu tun.

Gruß, WM

[Ganzhinterseher]

Ralf Bader schrieb am Freitag, 12. November 2021 um 18:32:13 UTC+1:
> On 11/12/2021 05:02 PM, Ganzhinterseher wrote:
> > Ralf Bader schrieb am Donnerstag, 11. November 2021 um 22:47:12
> > UTC+1:
> >> Eine Menge kommt bei M. dadurch zustande, daß ihre Elemente eines
> >> nach dem anderen eingefügt werden (oder adressiert oder benannt
> >> oder wie auch immer M. das zu nennen pflegt). Das geht relativ gut
> >> bei endlichen Mengen. "Potentiell, unendlich" heißt, M. verliert
> >> irgendwann die Lust, obwohl es noch weiterginge - die Menge ist
> >> endlich, aber sie kann oder könnte weiterwachsen. Die
> >> Mückenheimsche "potentielle Unendlichkeit" ist eine Methode zur
> >> Verwechslung von endlich und unendlich.
> >
> > Es ehrt mich, dass Du sie nach mir benennst, aber diese Art der

> > Unendlichkeit ist seit Jahrtausenden bekannt.

> Ich habe Ihre von Ihnen als "potentielle Unendlichkeit" bezeichnete
> Wahnidee nach Ihnen benannt, um sie von jenem anderen, "seit
> Jahrtausenden bekannten" zu unterscheiden.

Es gibt keinen Unterschied. Jedenfalls ist mir keiner bewusst. Wo meinst Du denn einen zu erkennen?

Gruß, WM

[Ganzhinterseher]

Rainer Rosenthal schrieb am Freitag, 12. November 2021 um 23:30:22 UTC+1:
> Am 12.11.2021 um 16:14 schrieb Ganzhinterseher:
> > Rainer Rosenthal schrieb am Donnerstag, 11. November 2021 um 21:41:46 UTC+1:
>
> >> [Nehmen wir f: {0} U N --> N, definiert durch f(x) = x+1.]
> >>>> Bei Gleichheit von f(x1) und f(x2) ist x1 + 1 = x2 + 1.
> >>>> Somit ist x1 = x2.
> >>>> Gemäß "Mathematik für die ersten Semester" also: f ist injektiv.
> >>>>
> > Du hast den Unterschied zwischen der potentiell unendlichen Menge und der vollendet unendlichen noch nicht verstanden, obwohl er das Entscheidende für Cantors Fehler ist.
> Komm mir doch nicht mit "Cantors Fehler".

Aber Rainer, Du hast mich aufgefordert, mich zu entschuldigen, weil ich Eulers Fehler erwähnt habe, übrigens nur beiläufig und um mir nicht vorwerfen lassen zu müssen, ihn in meinen Ausführungen selbst zu machen. Nun bestreitest Du Cantors Fehler, obwohl er noch viel offensichtlicher ist.

> Eins nach dem anderen:

Meiner von Dir zitierten Äußerung liegt Cantors Fehler zugrunde. Ohne diesen verstanden zu haben, kann man auch meine Äußerung nicht verstehen: Es gibt keine Abbildungen zwischen unendlichen Mengen! Also kann auch keine Abbildung injektiv sein. Der Beweis wurde schon oft gezeigt. Zum Beispiel: gäbe es eine bijektive Abbildung, dann wären Definitions- und Bildbereich gleichzahlig, nicht nur gleichmächtig.

> f ist injektiv, OK?

Das hängt vom Definitions- und vom Bildbereich ab. Zwischen zwei potentiell unendlichen Mengen ℕ ist f(x) = x+1 injektiv. Zwischen zwei aktual unendlichen Mengen ℕ aber nicht.

Gruß, WM

[Rainer Rosenthal]

Am 13.11.2021 um 01:38 schrieb Stephan Gerlach:
> Ganzhinterseher schrieb:

>>
>> Hast Du schon einmal den Satz "links total, rechts eindeutig" gehört?
>

> Ich wüßte auch nicht, was das nun wieder mit dem Thema (Injektivität
> einer Abbildung) zu tun haben sollte

Es handelt sich um eine Verwechslung(*). Für Injektivität benötigt man
"links eindeutig".

Es handelt sich um eine stichwortartige Kurzschreibweise mit folgendem
Hintergrund:

"links total, rechts eindeutig" charakterisiert Relationen, die zu
Funktionen gehören. Einer Funktion f:A->B zwischen Mengen A und B
entspricht die Relation F zwischen A und B, definiert durch

a F b genau dann, wenn f(a) = b

Man kann F auch als Menge der Paare (a,f(a)) betrachten, die eine
Teilmenge von A x B ist.
Diese Relation F zur Funktion f ist
1. "links total", weil es für jedes a in A ein (a,b) in F gibt
2. "rechts eindeutig", weil es keine Paare (a,b) und (a,b') gibt, bei
denen b ungleich b' ist.

Die Injektivität von f bedeutet, dass es keine Paare (a,b) und (a',b) in
der Relation F gibt, bei denen a ungleich a' ist (verschiedene Elemente
a und a' haben verschiedene Bilder f(a) und f(a')).
Dies bedeutet, dass F "links eindeutig" ist.

Gruß,
RR

(*) Ähnlich wie bei der Verwechslung von Assoziativität und
Transitivität wird eine Bestätigung ausbleiben. Siehe Thread mit diesem
Titel, begonnen 06.07.2021, 23:02.

[Rainer Rosenthal]

Am 13.11.2021 um 11:15 schrieb Ganzhinterseher:
> Rainer Rosenthal schrieb am Freitag, 12. November 2021 um 23:30:22 UTC+1:

>> Komm mir doch nicht mit "Cantors Fehler".
>

> Aber Rainer, Du hast ...

Beim Thema sollst Du bleiben!

>
>> f ist injektiv, OK?
>
Das hängt vom Definitions- und vom Bildbereich ab.

Nein, es hängt von der Abbildungsvorschrift ab.
Wenn diese so ist, dass unterschiedliche Elemente nicht auf das gleiche
Element abgebildet werden, dann ist f:A->B injektiv.
(Linkseindeutigkeit in der Paarmenge der (a,f(a)), a in A).

Die Abbildungsvorschrift f(x) = x+1 ist von dieser Art.

Gruß,
RR

[JVR]

Sie meinen also, die Funktion w = exp(z), wobei z = x + i*y, -\infty < x < +\infty, 0<= y < 2*pi, ist keine bijektive Abbildung des Streifens auf die punktierte Ebene?
Mücke, Sie haben keine Ahnung von nix.

[Ganzhinterseher]

Rainer Rosenthal schrieb am Samstag, 13. November 2021 um 11:29:20 UTC+1:
> Am 13.11.2021 um 01:38 schrieb Stephan Gerlach:
> > Ganzhinterseher schrieb:
> >>
> >> Hast Du schon einmal den Satz "links total, rechts eindeutig" gehört?
> >
> > Ich wüßte auch nicht, was das nun wieder mit dem Thema (Injektivität
> > einer Abbildung) zu tun haben sollte
> Es handelt sich um eine Verwechslung(*).

Nein, es handelt sich nicht um eine Verwechselung, sondern um den Nachweis, dass folgende Behauptung falsch ist:
*********
"Bei der Injektivität einer Abbildung geht es überhaupt nicht darum, etwas für alle Elemente einer der beiden beteiligten Mengen zu zeigen."
*********

> Für Injektivität benötigt man "links eindeutig".

Das ist die Definition. Und aus "links total" folgt damit, dass keine Injektivität möglich ist, wenn die Bildmenge weniger Elemente als die Urbildmenge enthält. Somit ist der zitierte Satz falsch. Darum ging es!

> (*) Ähnlich wie bei der Verwechslung von Assoziativität und
> Transitivität wird eine Bestätigung ausbleiben.

Deine aus purem Unverständnis resultierenden Beleidigungen werden langsam lästig.

Gruß, WM

[Ganzhinterseher]

Rainer Rosenthal schrieb am Samstag, 13. November 2021 um 11:52:06 UTC+1:
> Am 13.11.2021 um 11:15 schrieb Ganzhinterseher:
> > Rainer Rosenthal schrieb am Freitag, 12. November 2021 um 23:30:22 UTC+1:
>
> >> Komm mir doch nicht mit "Cantors Fehler".
> >
> > Aber Rainer, Du hast ...
>
> Beim Thema sollst Du bleiben!

Das ist das Thema!

> >
> >> f ist injektiv, OK?
> >
>> Das hängt vom Definitions- und vom Bildbereich ab.

> Nein, es hängt von der Abbildungsvorschrift ab.

Wenn Der Definitionsbereich mehr Elemente als der Bildbereich besitzt, dann gibt es keine injektive Abbildung.

> Wenn diese so ist, dass unterschiedliche Elemente nicht auf das gleiche
> Element abgebildet werden, dann ist f:A->B injektiv.

Wenn Der Definitionsbereich mehr Elemente als der Bildbereich besitzt, dann ist das nicht möglich.

> Die Abbildungsvorschrift f(x) = x+1 ist von dieser Art.
>

Für potentiell unendliche Mengen. Wenn die Mengen aktual unendlich sind und links mehr Elemente als rechts, dann gibt es keine Injektivität. Das Gegenteil anzunehmen ist Cantors Fehler.

Gruß, WM

[Ganzhinterseher]

JVR schrieb am Samstag, 13. November 2021 um 13:50:19 UTC+1:

> > Das hängt vom Definitions- und vom Bildbereich ab. Zwischen zwei potentiell unendlichen Mengen ℕ ist f(x) = x+1 injektiv. Zwischen zwei aktual unendlichen Mengen ℕ aber nicht.

> Sie meinen also, die Funktion w = exp(z), wobei z = x + i*y, -\infty < x < +\infty, 0<= y < 2*pi, ist keine bijektive Abbildung des Streifens auf die punktierte Ebene?

Für die potentiell unendliche Mathematik gibt es keine Probleme. Aber schon einfache aktual unendliche Mengen lassen keine vollständigen Abbildungen zu. Schau Dir das einmal genau an:
∀ n∈ℕ_def ∃ M⊂ℕ: M⊂E(n) ∧ |M| = ℵo
~∃ M⊂ℕ ∀ n∈ℕ : M⊂E(n) ∧ |M| = ℵo .
Für ℕ_def = ℕ ergäbe sich ein Widerspruch.
Gruß, WM

[JVR]

Sie haben weder N noch N_def definiert, noch die "potentiell unendliche Mathematik".
Die erste Zeile ist natürlich Unsinn.
Und was hat dieser Unsinn mit der Funktion exp(z) = Sum z^n/n! , z complex, zu tun?

[Jens Kallup]

Hallo Rainer,

Am 13.11.2021 um 11:52 schrieb Rainer Rosenthal:
> Am 13.11.2021 um 11:15 schrieb Ganzhinterseher:

>>> f ist  injektiv, OK?
>>
> Das hängt  vom Definitions- und vom Bildbereich ab.
>
> Nein, es hängt von der Abbildungsvorschrift ab.

Man kann keine "eindeutige" (und ggf. fixe) Abbildungsvorschrift
angeben, weil wir nicht Wissen (also ich zumindest) wie Groß die
eine oder die andere "dunkle" Menge ist.

Weiters können wir (also ich zumindest) auch keine Abbildung der
roten (oder weisen) Zahlen angeben weil diese auch nicht bekannt
ist.

Was man machen kann, ist eine Momentaufnahme im "Jetzt" und "Hier"
zu Machen, und diese Mächtigkeit zu diesen Zeitpunkt "erraten".
Da aber dieses "Jetzt" in dem Zeitpunkt, in dem es aufgeschrieben,
gemessen, ... wird, schon wieder die Vergangenheit ist, und dadurch
bedingt unterschiedliche Werte angenommen haben "kann" (ich weis
das zum Beispiel hier nicht).

Und wie Groß die "Zukunft" (nach dem Jetzt) wird, kann auch keiner
Wissen (jedenfalls von den Menschleins).
Ich singe mal (schriftlich: "Die Gedanken sind frei, und keiner
kann sie erraten !" oder:
"Das Ganze Leben ist ein Quiz, und wir sind nur die Kanidaten -
und wir raten raten....")

Man kann mathematische Modele aufstellen, und Wahrscheinlichkeiten
"erdenken", aber letzendlich "wir Wissen es nicht !".

> Die Abbildungsvorschrift f(x) = x+1 ist von dieser Art.

diese von Dir aufgestellte Formel, lieber Rainer, beschreibt ja nur

das f(x) = x+1 das selbe wie "y = y + 1".

Und weil IHR immer versucht zu Erkunden, wo und wann denn nun der
Zeitpunkt war, an dem ALLES angefangen hat, kann ich nur sagen:
"wir Wissen und werden es nie Wissen, wenn Wir nicht begreifen
wollen, das ALLES Endlich ist, aber nichts verloren geht.
In dem Sinne, wagt Euch doch mal etwas Verrückt zu sein, und schaut
mal auf die Zeit Eurer Kindheit zurück. Wie schön war es denn da?
Elfen, Trolle, Fehen, ...
Warum sollte man diese Träume aufgeben ?
Nur weil man denkt, "Träume sind Schäume !" ???

Zurück:
In unserer "modernen" Mathematik fangen wir ja bedingt durch die
Digitalisierung hier und da, bei Null (0) an.
Das war in der Mathematik nicht immer so !!!

Wenn man also mit Null beginnt, dann wird die obige Formel in
algebraischer Form zu:

y := 0
0 := 0 - 1

und wie IHR sehen könnt (ich nehme mal davon die Vorraussetzung,
das IHR die letzten paar Postings von mir berücksichtigt), haben
wir das Ei - Huhn Problem:

0 = 0 - 1 = -1 = -1

und wir sehen eigentlich nur noch NICHTS, das NICHTS oder das sich
daraus resultierende JETZT ist die Grundlage von weiteren JETZT-
Zustände, weil -1 und -1 sich gegenseitig aufheben - und also dann
wieder zum NICHTS vereint werden.

Ich kann zum Beispiel NICHTS darüber Wissen, was mein UrOpa genau
am 11.11.1914 gedacht hat oder gesehen hat.
Desweiteren kann ich von Nachbars Kind NICHT Wissen, wohing der Weg
dieser Person in 20 Jahren hinführt.

Das gleiche kann man aber auch optisch vergleichen:

Alle kennen und Reden von Einstein's Formel E := m * c^2

dieses "c" betrachtet:
Stellt Euch mal vor, IHR könnt die Flieh- und Gravitationskräfte so
aushalten, das IHR schneller - also diese Hoch Zwei (2) - als die
Lichtgeschwindkeit reisen.
Ich bin mir sehr sicher (wenn man davon ausgeht, das es im NICHTS,
keine weiteren Sterne und Sonnen gibt, die Licht abstrahlen),
das, wenn IHR auch nur 1 Sekunde schneller seid, nur noch das
NICHTS sehen könnte (oder auch nicht, weil das NICHTS - ich weiß es
nicht genau: dunkel, und weis, oder beides (wieder diese 3) sein
kann.
Und bedingt dadurch, weil der Raum "wahrscheinlich" existiert, in dem
sich das Licht ausbreiten kann, ALLES dunkel ist, und somit dunkle
Zahlen (rein virtuell gedacht) existieren könnten.
Oder wie könnt IHR Euch es erklären, wie Groß die "dunkle" Masse im
Universum ist?

Im NICHTS, ist somit NICHTS definiert oder festgehalten - es ist halt
so, und ALLES was man da rein schwurbelt sind sinnfreie Gedanken,
also Engergien, die sich in Masse (Bewegung ...) manifestieren.

Wo wir dann wieder bei E := m * c^2. sind.


> Gruß,
> RR
>

Jens