Behauptung A: Jede Abbildung {0} U N --> N ist nicht injektiv

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Rainer Rosenthal

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Nov 8, 2021, 4:16:59 AMNov 8
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Immer, wenn's konkret wird ...

Die im Titel genannte Behauptung A ist falsch.
Gegenbeispiel ist die Abbildung f: {0} U N --> N, definiert durch
f(n) = n+1 für n = 0, 1, 2, ...

Es ist nicht so schwierig, die Injektivität von f zu zeigen.
Wie schwierig es ist, das dann auch zu verstehen, hängt vom Leser oder
der Leserin ab.

Behauptung B:
Die Abbildung f: {0} U N --> N mit f(n) = n+1 ist injektiv.

Beweis:
Seien x und y verschiedene Elemente von {0} U N, also x /= y.
Dann sind f(x) = x+1 und f(y) = y+1 ebenfalls verschieden, denn wäre

x + 1 = y + 1

so wäre (subtrahiere 1 auf beiden Seiten) x = y.

q.e.d.


Ganzhinterseher

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Nov 8, 2021, 4:34:26 AMNov 8
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Rainer Rosenthal schrieb am Montag, 8. November 2021 um 10:16:59 UTC+1:
> Immer, wenn's konkret wird ...
>
> Die im Titel genannte Behauptung A ist falsch.
> Gegenbeispiel ist die Abbildung f: {0} U N --> N, definiert durch
> f(n) = n+1 für n = 0, 1, 2, ...
>
> Es ist nicht so schwierig, die Injektivität von f zu zeigen.
> Wie schwierig es ist, das dann auch zu verstehen, hängt vom Leser oder
> der Leserin ab.

Bitte zeige das für alle Elemente von ℕ. Ich vermute doch stark, das alle Deine Kandidaten ℵ₀ Nachfolger haben, also zu einem verschwindend kleinen Anfangsabschnitt von ℕ gehören. Oder willst Du es nur für die potentiell unendliche Menge der endlichen Anfangsabschnitte zeigen? Ja, dafür ist es richtig.
>
> Behauptung B:
> Die Abbildung f: {0} U N --> N mit f(n) = n+1 ist injektiv.
>
> Beweis:
> Seien x und y verschiedene Elemente von {0} U N, also x /= y.
> Dann sind f(x) = x+1 und f(y) = y+1 ebenfalls verschieden, denn wäre
>
> x + 1 = y + 1
>
> so wäre (subtrahiere 1 auf beiden Seiten) x = y.
>
> q.e.d.

Alle Deine verschiedenen Elemente haben ℵ₀ Nachfolger. oper edei deixai.

Deine Behauptung soll aber auch für diese Nachfolger richtig sein. Warum glaubst bzw. behauptest Du das?

Gruß, WM

Rainer Rosenthal

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Nov 8, 2021, 4:55:27 AMNov 8
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Am 08.11.2021 um 10:34 schrieb Ganzhinterseher:
> Rainer Rosenthal schrieb am Montag, 8. November 2021 um 10:16:59 UTC+1:
>> Immer, wenn's konkret wird ...
>>
>> Die im Titel genannte Behauptung A ist falsch.
>> Gegenbeispiel ist die Abbildung f: {0} U N --> N, definiert durch
>> f(n) = n+1 für n = 0, 1, 2, ...
>>
>> Es ist nicht so schwierig, die Injektivität von f zu zeigen.
>> Wie schwierig es ist, das dann auch zu verstehen, hängt vom Leser oder
>> der Leserin ab.
>
> Bitte zeige das für alle Elemente von ℕ.

Ich habe gezeigt, dass f injektiv ist, und nur darum geht es.
Der Beweis funktioniert so, dass für x /= y gezeigt wird, dass auch
f(x) /= f(y) ist. Verstanden?

Gruß,
RR



Ganzhinterseher

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Nov 8, 2021, 5:51:16 AMNov 8
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Rainer Rosenthal schrieb am Montag, 8. November 2021 um 10:55:27 UTC+1:
> Am 08.11.2021 um 10:34 schrieb Ganzhinterseher:
> > Rainer Rosenthal schrieb am Montag, 8. November 2021 um 10:16:59 UTC+1:
> >> Immer, wenn's konkret wird ...
> >>
> >> Die im Titel genannte Behauptung A ist falsch.
> >> Gegenbeispiel ist die Abbildung f: {0} U N --> N, definiert durch
> >> f(n) = n+1 für n = 0, 1, 2, ...
> >>
> >> Es ist nicht so schwierig, die Injektivität von f zu zeigen.
> >> Wie schwierig es ist, das dann auch zu verstehen, hängt vom Leser oder
> >> der Leserin ab.
> >
> > Bitte zeige das für alle Elemente von ℕ.
> Ich habe gezeigt, dass f injektiv ist, und nur darum geht es.

Es geht aber nicht nur um die wenigen Elemente mit ℵ₀ Nachfolgern.

> Der Beweis funktioniert so, dass für x /= y gezeigt wird, dass auch
> f(x) /= f(y) ist. Verstanden?

Du beweist etwas für ein paar natürliche Zahlen, aber behauptest es für alle. Kannst Du das verstehen? Hast Du denn inzwischen wenigstens Eulers Fehler verstanden? Oder auch noch nicht?

Gruß, WM

Rainer Rosenthal

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Nov 8, 2021, 5:55:06 AMNov 8
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Am 08.11.2021 um 11:51 schrieb Ganzhinterseher:
> Hast Du denn inzwischen wenigstens Eulers Fehler verstanden? Oder auch noch nicht?
>
Doch, ich habe ihn verstanden. Aber ich habe ihm verziehen.

Gus Gassmann

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Nov 8, 2021, 6:25:54 AMNov 8
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On Monday, 8 November 2021 at 05:34:26 UTC-4, Ganzhinterseher wrote:
> Rainer Rosenthal schrieb am Montag, 8. November 2021 um 10:16:59 UTC+1:
> > Immer, wenn's konkret wird ...
> >
> > Die im Titel genannte Behauptung A ist falsch.
> > Gegenbeispiel ist die Abbildung f: {0} U N --> N, definiert durch
> > f(n) = n+1 für n = 0, 1, 2, ...
> >
> > Es ist nicht so schwierig, die Injektivität von f zu zeigen.
> > Wie schwierig es ist, das dann auch zu verstehen, hängt vom Leser oder
> > der Leserin ab.
> Bitte zeige das für alle Elemente von ℕ. Ich vermute doch stark, das alle Deine Kandidaten ℵ₀ Nachfolger haben, also zu einem verschwindend kleinen Anfangsabschnitt von ℕ gehören.

*JEDES* Element von ℕ hat ℵ₀ Nachfolger. (Das kannst du hoffentlich selber durch vollständige Induktion beweisen, vor allem seit du einlässt, dass die natürliche Zahl 1 ℵ₀ Nachfolger hat.) Allerdings ist richtig, dass ein Endsegment wesentlich grössere Kardinalität besitzt als ein Anfangsabschnitt.

[...]

Ganzhinterseher

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Nov 8, 2021, 6:41:25 AMNov 8
to
Gus Gassmann schrieb am Montag, 8. November 2021 um 12:25:54 UTC+1:
> On Monday, 8 November 2021 at 05:34:26 UTC-4, Ganzhinterseher wrote:

> > Bitte zeige das für alle Elemente von ℕ. Ich vermute doch stark, das alle Deine Kandidaten ℵ₀ Nachfolger haben, also zu einem verschwindend kleinen Anfangsabschnitt von ℕ gehören.
> *JEDES* Element von ℕ hat ℵ₀ Nachfolger.

Nein, nicht alle Elemente, die an einer Bijektion von ℕ beteiligt sind, haben ℵ₀ Nachfolger, denn ohne die Vollständigkeit könnte man Surjektivität bzw. "links total" nicht beweisen. Stell Dir vor, man würde bei Cantors Abzählversuchen immer darauf hinweisen, dass ja noch ℵ₀ Elemente fehlen.

Gruß, WM

Ganzhinterseher

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Nov 8, 2021, 6:47:06 AMNov 8
to
Keine Ursache, denke ich. Jeder macht Fehler, und Euler war bestimmt einer der Besten.
Allerdings hat er für die Summe aller natürlichen Zahlen neben -1/12 auch noch
(oo+1)*oo/2 angegeben, wobei er oo wie eine feste Zahl behandelt hat. Hätte er |ℕ| gewählt und |ℕ|*(|ℕ| +1)/2 geschrieben, so hätte er's getroffen, meine ich.

Gruß, WM

Rainer Rosenthal

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Nov 8, 2021, 7:16:20 AMNov 8
to
Schon recht, aber das heben wir uns für ein anderes Mal auf.
Lass uns einfach beim Thema bleiben.
Einer von uns wird dabei sicher noch recht viel lernen.

Gruß,
RR


Gus Gassmann

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Nov 8, 2021, 9:27:18 AMNov 8
to
Du armer Irrer. Du meinst also, dass es natürliche Zahlen gibt, zu denen man die 1 nicht addieren kann. Das heisst, dass in deinem Wahnsystem Addition nicht definiert ist, deshalb auch keine Multiplikation, generelle Arithmetik, und so ziemlich alles, was Zahlen ausmacht. So ein System kann doch nicht einmal Kleingeister befriedigen. Geistig bist du offensichtlich eine Null.

Juergen Ilse

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Nov 8, 2021, 2:18:12 PMNov 8
to
Hallo,

Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:
> Rainer Rosenthal schrieb am Montag, 8. November 2021 um 10:55:27 UTC+1:
>> Am 08.11.2021 um 10:34 schrieb Ganzhinterseher:
>> > Rainer Rosenthal schrieb am Montag, 8. November 2021 um 10:16:59 UTC+1:
>> >> Immer, wenn's konkret wird ...
>> >>
>> >> Die im Titel genannte Behauptung A ist falsch.
>> >> Gegenbeispiel ist die Abbildung f: {0} U N --> N, definiert durch
>> >> f(n) = n+1 für n = 0, 1, 2, ...
>> >>
>> >> Es ist nicht so schwierig, die Injektivität von f zu zeigen.
>> >> Wie schwierig es ist, das dann auch zu verstehen, hängt vom Leser oder
>> >> der Leserin ab.
>> >
>> > Bitte zeige das für alle Elemente von ℕ.
>> Ich habe gezeigt, dass f injektiv ist, und nur darum geht es.
>
> Es geht aber nicht nur um die wenigen Elemente mit ℵ₀ Nachfolgern.

*JEDE* natuerliche Zahl hat nur endlich viele Vorgaenger und unendlich
viele Nchfolger.

>> Der Beweis funktioniert so, dass für x /= y gezeigt wird, dass auch
>> f(x) /= f(y) ist. Verstanden?
>
> Du beweist etwas für ein paar natürliche Zahlen, aber behauptest es für alle. Kannst Du das verstehen?

Seine Behauptung gilt offeensichtlich fuer eine induktive Menge (auch wenn
er nicht vollstaeendige Induktion als Beweisverfahren eingesetzt hat, haette
er das tun koennen, und damit gilt seine Behauptung fuer eine induktive
Menge). Da die natuerichen Zahlen der Schnitt aller induktiven Mengen
(eben eine "minimale induktive Menge) ist, waere die Aussage spaetestens
dann fuer *alle* natuerlichen Zahlen gezeigt, wenn man den Nachweis mit
vollstaendiger Induktion gefuehrt haette. Nein, da fuehrt kein Weg dran
vorbei, wirklich nicht.

> Hast Du denn inzwischen wenigstens Eulers Fehler verstanden? Oder auch noch nicht?

Welcher Fehler sollte das denn sein? Versuchen SIE doch erst einmal
IHRE eigenen Fehler zu verstehen.

Tschuess,
Juergen Ilse (jue...@usenet-verwaltung.de)

Ganzhinterseher

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Nov 8, 2021, 2:25:24 PMNov 8
to
Das ist das Thema! Es gibt zwei Arten von Unendlichkeit, die potentielle und die vollendete. Vollendet heißt fertig. Nichts geht mehr. Es ist mir erst im Rahmen dieser Diskussionen aufgefallen, dass die aktual unendlichen Mengen fest sein müssen. Cantor hat das auch so gesehen:

Ich glaube aber auch ferner, und das ist der erste Punct, in welchem ich mich über die Punctatomistik erhebe, dass die Gesammtheit der Körperatome von der ersten Mächtigkeit, die Gesammtheit der Ätheratome von der zweiten Mächtigkeit ist und hierin besteht meine erste Hypothese. [Cantor an Mittag-Leffler (1884)]

Können die Körperatome in ihrer Anzahl nicht fest sein? Kann die vollständige Menge aller natürlichen Zahlen nicht fest sein? WENN es sie gibt, dann gibt es sie ganz. Deswegen behaupte ich, dass die Anzahl aller natürlichen Zahlen kein aberwitziger Begriff ist, sondern existiert, aber nicht durch arithmetische Operationen mit irgendwelchen endlichen Zahlen verknüpfbar ist. Die Bedeutung von unendlich ist also nicht eine elastische immer wieder veränderbare Menge, sondern eine fest Größe, für die natürlichen Zahlen zum Beispiel gilt dann:
|ℕ| + 1 =/= |ℕ|.
Unendlich bezieht sich lediglich darauf, dass man ohne Ende zählen kann ohne jemals |ℕ| zu erreichen. Deswegen kannst Du f(n) = n+1 oder f(n) = n^n^n^n wählen,ohne auf einen Widerspruch zu stoßen. Für alle wählbaren Zahlen gilt |ℕ| - n = ℵo, weil |ℕ| eben unvorstellbar groß ist.

Ein Argument für diese Anschauung besteht in der allbekannten Tatsache, dass die ganze unendliche Menge ganz andere Eigenschaften hat als alle endlichen Teile. Alle Schnitte über endliche Mengen von Endsegmenten sind unendlichen, Schnitte über aktual unendlich viele oder sogar alle Endsegmente sind aber leer. Die Mengenlehre sagt "über endlich viele". Das bedeutet aber und ist gleichlautend mit "über definierbare".

Wären alle Zahlen in Endsegmenten definierbar und wären alle Endsegmente unendlich, so ergäbe sich der unauflösbare Widerspruch, das der Schnitt aller nicht leer sein kann.

Gruß, WM


Ganzhinterseher

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Nov 8, 2021, 2:31:30 PMNov 8
to
Juergen Ilse schrieb am Montag, 8. November 2021 um 20:18:12 UTC+1:
> Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:

> >> Der Beweis funktioniert so, dass für x /= y gezeigt wird, dass auch
> >> f(x) /= f(y) ist. Verstanden?
> >
> > Du beweist etwas für ein paar natürliche Zahlen, aber behauptest es für alle. Kannst Du das verstehen?
> Seine Behauptung gilt offeensichtlich fuer eine induktive Menge (auch wenn
> er nicht vollstaeendige Induktion als Beweisverfahren eingesetzt hat, haette
> er das tun koennen, und damit gilt seine Behauptung fuer eine induktive
> Menge).

Ja. Die aktual unendlich Menge |ℕ| ist aber nicht induktiv, sondern eine feste Größe mit einer festen Anzahl |ℕ| < |ℕ| +1. Als Beispiel empfehle ich die Stammbrüche im ersten Einheitsintervall. (Das ist anschaulicher als die natürlichen Zahlen selbst.) Sie liegen als Punkte absolut fest. Kein einziger darf fehlen und kein einziger darf zu viel sein. Du kannst auch alle endlichen Anfangsabschnitte betrachten. Damit hast Du alle definierbaren und zur induktiven Menge gehörenden.

> > Hast Du denn inzwischen wenigstens Eulers Fehler verstanden? Oder auch noch nicht?
> Welcher Fehler sollte das denn sein?

Unwichtig. Aber interessant ist sein Summe aller natürlichen Zahlen. Könnte sie existieren, wenn die Menge nicht fest wäre?

Gruß, WM

Ganzhinterseher

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Nov 8, 2021, 2:36:28 PMNov 8
to
Gus Gassmann schrieb am Montag, 8. November 2021 um 15:27:18 UTC+1:
> On Monday, 8 November 2021 at 07:41:25 UTC-4, Ganzhinterseher wrote:
>
> > > *JEDES* Element von ℕ hat ℵ₀ Nachfolger.
> > Nein, nicht alle Elemente, die an einer Bijektion von ℕ beteiligt sind, haben ℵ₀ Nachfolger, denn ohne die Vollständigkeit könnte man Surjektivität bzw. "links total" nicht beweisen. Stell Dir vor, man würde bei Cantors Abzählversuchen immer darauf hinweisen, dass ja noch ℵ₀ Elemente fehlen.
> Du meinst also, dass es natürliche Zahlen gibt, zu denen man die 1 nicht addieren kann.

Nein, das meine ich nicht. wenn Du zu x gekommen bist, schreibe x 1. Aber Du wirst niemals zu |ℕ| oder auch nur in die Nähe kommen. Dann könntest Du auch |ℕ| + 1 schreiben und hättest eine größere Zahl.

> Das heisst, dass in deinem Wahnsystem Addition nicht definiert ist, deshalb auch keine Multiplikation, generelle Arithmetik, und so ziemlich alles, was Zahlen ausmacht. So ein System kann doch nicht einmal Kleingeister befriedigen. Geistig bist du offensichtlich eine Null.

Nun das wäre doch auch eine interessante Bekanntschaft. Die Null ist schließlich keine gewöhnliche Zahl.

Gruß, WM

Gus Gassmann

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Nov 8, 2021, 4:49:19 PMNov 8
to
On Monday, 8 November 2021 at 15:36:28 UTC-4, Ganzhinterseher wrote:
> Gus Gassmann schrieb am Montag, 8. November 2021 um 15:27:18 UTC+1:
> > On Monday, 8 November 2021 at 07:41:25 UTC-4, Ganzhinterseher wrote:
> >
> > > > *JEDES* Element von ℕ hat ℵ₀ Nachfolger.
> > > Nein, nicht alle Elemente, die an einer Bijektion von ℕ beteiligt sind, haben ℵ₀ Nachfolger, denn ohne die Vollständigkeit könnte man Surjektivität bzw. "links total" nicht beweisen. Stell Dir vor, man würde bei Cantors Abzählversuchen immer darauf hinweisen, dass ja noch ℵ₀ Elemente fehlen.
> > Du meinst also, dass es natürliche Zahlen gibt, zu denen man die 1 nicht addieren kann.
> Nein, das meine ich nicht. wenn Du zu x gekommen bist, schreibe x 1. Aber Du wirst niemals zu |ℕ| oder auch nur in die Nähe kommen. Dann könntest Du auch |ℕ| + 1 schreiben und hättest eine größere Zahl.

Du bist echt nicht mehr dicht. aleph_0 ist genausowenig eine natürliche Zahl wie omega. Und trotzdem meinst du, es gäbe natürliche Zahlen, die weniger als ℵ₀ Nachfolger haben. Das ist zum einen unkonsequent und zum andern hirnrissig. Deine Gehirnfunktionen sind imminent am Ableben.

Stephan Gerlach

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Nov 8, 2021, 6:40:55 PMNov 8
to
Rainer Rosenthal schrieb:
Oder (didaktisch) noch einfacher:

Seien f(x) und f(y) 2 Elemente aus dem Wertebereich
W_f = {f(n) | n Element {0} U N}
mit
f(x) = f(y).
Nach Definition der Abbildung f gilt
x + 1 = y + 1.
Subtraktion von 1 auf beiden Seiten ergibt
x = y,
und das bedeutet (per Definition), daß f injektiv ist.

(D.h. man braucht nicht unbedingt mit verschiedenen Elementen
argumentieren, sondern kann "direkt" die Injektivität beweisen.)

Insgesamt ist die Aussage aber sehr trivial.


--
> Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.
gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)

Stephan Gerlach

unread,
Nov 8, 2021, 6:53:21 PMNov 8
to
Ganzhinterseher schrieb:
> Rainer Rosenthal schrieb am Montag, 8. November 2021 um 10:16:59 UTC+1:
>> Immer, wenn's konkret wird ...
>>
>> Die im Titel genannte Behauptung A ist falsch.
>> Gegenbeispiel ist die Abbildung f: {0} U N --> N, definiert durch
>> f(n) = n+1 für n = 0, 1, 2, ...
>>
>> Es ist nicht so schwierig, die Injektivität von f zu zeigen.
>> Wie schwierig es ist, das dann auch zu verstehen, hängt vom Leser oder
>> der Leserin ab.
>
> Bitte zeige das für alle Elemente von ℕ.

Bei der Injektivität einer Abbildung geht es überhaupt nicht darum,
etwsa für alle Elemente einer der beiden beteiligten Mengen zu zeigen.
--> Thema verfehlt

Sei f: M_1 --> M_2
irgendeine Abbildung. f ist injektiv genau dann, wenn für alle f(x1),
f(x2) aus dem Wertebereich
W_f = {f(x) | x Element M_1}
mit f(x1) = f(x2)
notwendig
x1 = x2
folgt.

Wenn hier überhaupt die Terminologie "für alle" eine Rolle spielt, dann
in dem Sinne, daß x1=x2 für alle Wertepaare(!)
(f(x1), f(x2))
aus dem kartesischen Produkt W_f × W_f mit f(x1)=f(x2) zu zeigen ist.

> Ich vermute doch stark, das alle Deine Kandidaten ℵ₀ Nachfolger haben,
> also zu einem verschwindend kleinen Anfangsabschnitt von ℕ gehören.
> Oder willst Du es nur für die potentiell unendliche Menge der endlichen
> Anfangsabschnitte zeigen? Ja, dafür ist es richtig.

Hat nichts mit dem Thema zu tun. (Thema verfehlt, wie relativ oft...)

>> Behauptung B:
>> Die Abbildung f: {0} U N --> N mit f(n) = n+1 ist injektiv.
>>
>> Beweis:
>> Seien x und y verschiedene Elemente von {0} U N, also x /= y.
>> Dann sind f(x) = x+1 und f(y) = y+1 ebenfalls verschieden, denn wäre
>>
>> x + 1 = y + 1
>>
>> so wäre (subtrahiere 1 auf beiden Seiten) x = y.
>>
>> q.e.d.
>
> Alle Deine verschiedenen Elemente haben ℵ₀ Nachfolger. oper edei deixai.
>
> Deine Behauptung soll aber auch für diese Nachfolger richtig sein. Warum glaubst bzw. behauptest Du das?

Hinweis:
Versuche erstmal zu verstehen, was eine injektive Abbildung ist.
Versuche im zweiten Schritt, zu verstehen, was man machen muß, um zu
prüfen, ob eine Abbildung injektiv ist oder nicht.

Ganzhinterseher

unread,
Nov 9, 2021, 2:36:42 AMNov 9
to
Stephan Gerlach schrieb am Dienstag, 9. November 2021 um 00:53:21 UTC+1:
> Ganzhinterseher schrieb:
> > Rainer Rosenthal schrieb am Montag, 8. November 2021 um 10:16:59 UTC+1:
> >> Immer, wenn's konkret wird ...
> >>
> >> Die im Titel genannte Behauptung A ist falsch.
> >> Gegenbeispiel ist die Abbildung f: {0} U N --> N, definiert durch
> >> f(n) = n+1 für n = 0, 1, 2, ...
> >>
> >> Es ist nicht so schwierig, die Injektivität von f zu zeigen.
> >> Wie schwierig es ist, das dann auch zu verstehen, hängt vom Leser oder
> >> der Leserin ab.
> >
> > Bitte zeige das für alle Elemente von ℕ.
> Bei der Injektivität einer Abbildung geht es überhaupt nicht darum,
> etwsa für alle Elemente einer der beiden beteiligten Mengen zu zeigen.
> --> Thema verfehlt

Hast Du schon einmal den Satz "links total, rechts eindeutig" gehört? Kannst Du Dir etwas darunter vorstellen, was mit total gemeint ist? Und Injektivität beweist, dass die Bildmenge mindestens so viele Elemente wie die Urbildmenge besitzt.

Gruß, WM

Rainer Rosenthal

unread,
Nov 9, 2021, 2:48:15 AMNov 9
to
Am 08.11.2021 um 20:25 schrieb Ganzhinterseher:
...
>>>>> Hast Du denn inzwischen wenigstens Eulers Fehler verstanden? Oder auch noch nicht?
...
>>> Keine Ursache, denke ich. Jeder macht Fehler, und Euler war bestimmt einer der Besten.
>>> Allerdings hat er für die Summe aller natürlichen Zahlen ...
>>> Hätte er ..., so hätte er's getroffen, meine ich.
>>>
>
> Das ist das Thema! Es gibt zwei Arten von Unendlichkeit, ...
>
Nein! Das Thema ist die Behauptung A, die Du ausgesprochen hattest:
WM: Jede Abbildung {0} U N --> N ist nicht injektiv.

Immer wenn's konkret wird, weichst Du aus.
Bei "Assoziativität und Transitivität" hat es Wochen gedauert, bis Du
zugegeben hast, dass die Beweiskraft der Formeln gleich Null war. Dass
Du die Begriffe verwechselt hast, konntest Du allerdings auch dann nicht
zugeben.

So, jetzt war ich gerade etwas vom Thema abgekommen. Also dann: munter
zurück auf den Pfad der gepflegten Diskussion mit Erkenntnisgewinn.
Aber einen Schritt nach dem anderen, bitte!

Du musst deazu nur zugeben, dass aus x+1 = y+1 notwendig x = y folgt.

Gruß,
RR

Rainer Rosenthal

unread,
Nov 9, 2021, 2:55:02 AMNov 9
to
Am 08.11.2021 um 23:55 schrieb Stephan Gerlach:
>
> Oder (didaktisch) noch einfacher:
>
In der einfachen Form hatte ich es gerade an den Meister der Verwirrung
geschrieben. Dein Posting habe ich erst danach gelesen, danke trotzdem.

Gruß,
Rainer

Ganzhinterseher

unread,
Nov 9, 2021, 2:57:54 AMNov 9
to
Gus Gassmann schrieb am Montag, 8. November 2021 um 22:49:19 UTC+1:
> On Monday, 8 November 2021 at 15:36:28 UTC-4, Ganzhinterseher wrote:
> > Gus Gassmann schrieb am Montag, 8. November 2021 um 15:27:18 UTC+1:
> > > On Monday, 8 November 2021 at 07:41:25 UTC-4, Ganzhinterseher wrote:
> > >
> > > > > *JEDES* Element von ℕ hat ℵ₀ Nachfolger.
> > > > Nein, nicht alle Elemente, die an einer Bijektion von ℕ beteiligt sind, haben ℵ₀ Nachfolger, denn ohne die Vollständigkeit könnte man Surjektivität bzw. "links total" nicht beweisen. Stell Dir vor, man würde bei Cantors Abzählversuchen immer darauf hinweisen, dass ja noch ℵ₀ Elemente fehlen.
> > > Du meinst also, dass es natürliche Zahlen gibt, zu denen man die 1 nicht addieren kann.
> > Nein, das meine ich nicht. wenn Du zu x gekommen bist, schreibe x 1. Aber Du wirst niemals zu |ℕ| oder auch nur in die Nähe kommen. Dann könntest Du auch |ℕ| + 1 schreiben und hättest eine größere Zahl.
> aleph_0 ist genausowenig eine natürliche Zahl wie omega.

Richtig. Es ist ein Maß für unendliche Mengen.

> Und trotzdem meinst du, es gäbe natürliche Zahlen, die weniger als ℵ₀ Nachfolger haben.

WENN Cantors Abzählung oder irgendeine Bijektion zwischen unendlichen Mengen möglich wäre, dann müssten alle Zahlen darin vorkommen, so dass keine übrig bleibt - und erst recht nicht unendlich viele.

Das funktioniert nicht, wie man erstens daran sieht, dass keine definierbare natürliche Zahle weniger als ℵo Nachfolger hat. Diese Nachfolger existieren aber alle, zum Beispiel als Punkte auf der reellen Achse. Die Menge der Stammbruchpunkte im Einheitsintervall (0, 1] ist vollständig. Da fehlt keiner und schon gar nicht unendlich viele. Aber man kann nicht alle erkennen. Sie sind dunkel. Das beste Beispiel für dunkle Zahlen bilden die Endsegmente, deren jedes unendlich viele Zahlen enthält. Wären diese alle definierbar und von Beginn, E(1), an enthalten, dann wäre der Schnitt über alle Endsegmente natürlich unendlich. Man kann sie aber nicht angeben. Sie sind dunkel.

Deswegen kann man auch keine Abzählung oder Bijektion über alle natürlichen Zahlen machen. Cantors Ansatz zeigt für alle Mengen dieselbe Mächtigkeit, was so offensichtlich falsch ist, das es schmerzt. Die Menge aller Stammbrüche ist kleiner ist als die Menge aller rationalen Punkte im ersten Einheitsintervall (oder gar in allen Intervallen). Das sieht man mit bloßem (geistigen) Auge. Cantor behauptet, dass beide Mengen dieselbe Mächtigkeit hätten. Wäre Mächtigkeit tatsächlich ein Maß für Anzahlen, dann wäre dieses Maß extrem ungenau. Es muss ein besseres Maß geben, in dem sich die Größenunterschiede korrekt ausdrücken. Einfach zu behaupten, dass Euklids 8. Axiom totum est majus suâ parte nicht mehr gilt, ist eine billige Ausflucht, die besonders deutlich am obigen Beispiel widerlegt wird. Das hat nichts mit dem "anderen Verhalten" unendlicher Mengen zu tun, sondern mit dem völlig verfehlten Ansatz.

WENN aktual unendliche Mengen existieren, dann gibt es ganz genau so viele Stammbrüche wie natürliche Zahlen. Die Symmetrie zwischen den Mengen oder Folgen (n), (n/1), (1/n) ist entweder mathematische auswertbar, oder es gibt keinen Zugang zu aktual unendlichen Mengen. Deren Anzahlen sind feste Größen.

Cantors Abzählung ist eigentlich nur eine Anzählung. Hilberts Hotel und Dedekind-Unendlichkeit sind ganz klar richtig für potentiell unendliche Mengen und falsch für aktual unendliche Mengen. Die sind, wenn überhaupt, fest wie die Anzahl der Stammbruchpunkte. Und Eulers Ergebnis für die Summe aller natürlichen Zahlen, das in modernen Form |ℕ|*(|ℕ|+1)/2 zu schreiben wäre, ist durchaus in Erwägung zu ziehen.

Gruß, WM

Ganzhinterseher

unread,
Nov 9, 2021, 3:06:54 AMNov 9
to
Rainer Rosenthal schrieb am Dienstag, 9. November 2021 um 08:48:15 UTC+1:
> Am 08.11.2021 um 20:25 schrieb Ganzhinterseher:
> ...
> >>>>> Hast Du denn inzwischen wenigstens Eulers Fehler verstanden? Oder auch noch nicht?
> ...
> >>> Keine Ursache, denke ich. Jeder macht Fehler, und Euler war bestimmt einer der Besten.
> >>> Allerdings hat er für die Summe aller natürlichen Zahlen ...
> >>> Hätte er ..., so hätte er's getroffen, meine ich.
> >>>
> >
> > Das ist das Thema! Es gibt zwei Arten von Unendlichkeit, ...
> >
> Nein! Das Thema ist die Behauptung A, die Du ausgesprochen hattest:
> WM: Jede Abbildung {0} U N --> N ist nicht injektiv.
>
> Immer wenn's konkret wird, weichst Du aus.

Ich habe es gerade erklärt: Eine Abbildung ist "links total, rechts eindeutig". Es muss also für eine injektive Abbildung (sie beweist, dass die Bildmenge mindestens so viele Elemente wie die Urbildmenge besitzt) also für
{0} U ℕ --> ℕ
im rechten ℕ ein Element mehr als im linken geben. Das ist ausgeschlossen, wenn |ℕ| eine feste Quantität ist.
>
> So, jetzt war ich gerade etwas vom Thema abgekommen. Also dann: munter
> zurück auf den Pfad der gepflegten Diskussion mit Erkenntnisgewinn.
> Aber einen Schritt nach dem anderen, bitte!
>
> Du musst dazu nur zugeben, dass aus x+1 = y+1 notwendig x = y folgt.

Das ist für definierbare Zahlen der Fall, aber fast alle Zahlen in ℕ sind nicht definierbar.

Gruß, WM

Rainer Rosenthal

unread,
Nov 9, 2021, 3:18:18 AMNov 9
to
Wie Du die Zahlen nennst, ist mir ziemlich egal, und den Zahlen selbst
ist es erst recht egal.
Da es sich um Zahlen handelt, folgt nun einmal aus x+1 = y+1, dass x = y
ist.
Wie Du diese Tatsache in Dein Weltbild einbaust, ist nicht mein Problem.

Gruß,
RR

Ganzhinterseher

unread,
Nov 9, 2021, 5:58:39 AMNov 9
to
Rainer Rosenthal schrieb am Dienstag, 9. November 2021 um 09:18:18 UTC+1:
> Am 09.11.2021 um 09:06 schrieb Ganzhinterseher:
> > Rainer Rosenthal schrieb am Dienstag, 9. November 2021 um 08:48:15 UTC+1:
> >>
> >> Du musst dazu nur zugeben, dass aus x+1 = y+1 notwendig x = y folgt.
> >
> > Das ist für definierbare Zahlen der Fall, aber fast alle Zahlen in ℕ sind nicht definierbar.
> >
> Wie Du die Zahlen nennst, ist mir ziemlich egal, und den Zahlen selbst
> ist es erst recht egal.

Nicht der Name ist von Belang, sondern die Eigenschaften.

> Da es sich um Zahlen handelt, folgt nun einmal aus x+1 = y+1, dass x = y
> ist.

Natürlich gilt das für alle definierbaren Zahlen, also für alle Zahlen, die ℵ₀ Nachfolger haben. Für die anderen kann man es zumindest nicht prüfen, oder hast Du schon einmal eine Zahl mit weniger als ℵ₀ Nachfolgern gefunden oder angenommen?

> Wie Du diese Tatsache in Dein Weltbild einbaust, ist nicht mein Problem.

Ich kann es so einbauen, dass Widersprüche verschwinden. Ich kann es so einbauen, dass es Sinn macht, von weniger geraden Zahlen als ganzen Zahlen zu sprechen.

Gruß, WM

JVR

unread,
Nov 9, 2021, 6:02:44 AMNov 9
to
Warum lasst ihr euch auf Diskussionen mit diesem Vollidioten ein?
Als nächstes müsste man ihn fragen was +1 in Mückenhausen bedeutet.
Ist das interessant?
In seinem Bestseller wird, nebenbeigesagt, bei der Definition der natürlichen Zahlen
Nachfolger (x) = Nachfolger (y) während x !=y nicht ausgeschlossen.

Rainer Rosenthal

unread,
Nov 9, 2021, 6:25:46 AMNov 9
to
Am 09.11.2021 um 11:58 schrieb Ganzhinterseher:
> Rainer Rosenthal schrieb am Dienstag, 9. November 2021 um 09:18:18 UTC+1:
>
>> Wie Du diese Tatsache in Dein Weltbild einbaust, ist nicht mein Problem.
>
> Ich kann es so einbauen, dass Widersprüche verschwinden. Ich kann es so einbauen, dass es Sinn macht, von weniger geraden Zahlen als ganzen Zahlen zu sprechen.
>
Schön für Dich, aber trotzdem ist f(n) = n+1 injektive Abbildung
f: {0} U N --> N
um mal wieder zum Thema zurückzukehren.

Denn aus f(x) = f(y) folgt x = y:
Aus x+1 = y+1 folgt für alle Zahlen x, y, dass x = y ist.
Oder gilt es nur, wenn das Plus-Zeichen genügend groß geschrieben ist?

Gruß,
RR

Gus Gassmann

unread,
Nov 9, 2021, 7:01:59 AMNov 9
to
On Tuesday, 9 November 2021 at 03:57:54 UTC-4, Ganzhinterseher wrote:
[...]
> WENN Cantors Abzählung oder irgendeine Bijektion zwischen unendlichen Mengen möglich wäre, dann müssten alle Zahlen darin vorkommen, so dass keine übrig bleibt - und erst recht nicht unendlich viele.
>
> Das funktioniert nicht, wie man erstens daran sieht, dass keine definierbare natürliche Zahle weniger als ℵo Nachfolger hat. Diese Nachfolger existieren aber alle, zum Beispiel als Punkte auf der reellen Achse. Die Menge der Stammbruchpunkte im Einheitsintervall (0, 1] ist vollständig. Da fehlt keiner und schon gar nicht unendlich viele. Aber man kann nicht alle erkennen. Sie sind dunkel. Das beste Beispiel für dunkle Zahlen bilden die Endsegmente, deren jedes unendlich viele Zahlen enthält. Wären diese alle definierbar und von Beginn, E(1), an enthalten, dann wäre der Schnitt über alle Endsegmente natürlich unendlich. Man kann sie aber nicht angeben. Sie sind dunkel.
>
> Deswegen kann man auch keine Abzählung oder Bijektion über alle natürlichen Zahlen machen. Cantors Ansatz zeigt für alle Mengen dieselbe Mächtigkeit, was so offensichtlich falsch ist, das es schmerzt.

Es ist klar, dass dein Spatzenhirn den grundlegenden Unterschied zwischen endlichen und unendlichen Mengen nicht verarbeiten kann. Es gibt zwei verschiedene Ansätze, die Grösse von Mengen zu messen: Ein Ansatz kommt durch Teilmengen zustande: Wenn eine Menge strikte Untermenge einer anderen ist, dann ist die Teilmenge "kleiner" als die Obermenge. Zum Beispiel ist {a,b,c} eine strikte Teilmenge von {a, b, c, d}. Desgleichen ist die Menge {1, 4, 9, 16, ...} eine strikte Untermenge der natürlichen Zahlen. Offensichtlich gibt es --- in diesem Sinne --- weniger Quadratzahlen als natürliche Zahlen.

Die Kardinalität der Menge ist ein zweiter Ansatz. Wenn zwischen zwei Mengen eine Bijektion existiert, dann haben zwei Mengen dieselbe Kardinalität. Wenn so eine Bijektion *NICHT* bestehen kann, dann ist eine der beiden Mengen "kleiner" als die andere. Zum Beispiel besteht keine Bijektion zwischen {a,b,c} und {a, b, c, d}. Die Kardinalität der ersen Menge ist kleiner ist die der zweiten. Für endliche Mengen sind beide Ansätze equivalent.

Aber es besteht eine Bijektion zwischen {1, 2, 3, 4, ...} und {1/1, 1/2, 1/3, 1/4, ...}, zum Beispiel R, definiert durch R(n) = n^(-1) für jede natürliche Zahl n. Also haben diese zwei Mengen dieselbe Kardinalität und sind in diesem Sinne "gleich gross". Desgleichen existiert eine Bijektion zwischen {1, 2, 3, 4, ...} und {1^2, 2^2, 3^2, 4^2, ...}, zum Beispiel S, definiert durch S(n) = n^2 für jede natürliche Zahl n. In diesem Sinne ist offensichtlich, dass es *ebenso viele* Quadratzahlen gibt wie natürliche Zahlen. Für unendliche Mengen geben die zwei Ansätze *VERSCHIEDENE* Grössenmasse.

> Die Menge aller Stammbrüche ist kleiner ist als die Menge aller rationalen Punkte im ersten Einheitsintervall (oder gar in allen Intervallen). Das sieht man mit bloßem (geistigen) Auge. Cantor behauptet, dass beide Mengen dieselbe Mächtigkeit hätten.

Ja, haben sie. Zwei verschieden Arten, Grösse zu messen, zwei verschiedene Antworten.

> Wäre Mächtigkeit tatsächlich ein Maß für Anzahlen, dann wäre dieses Maß extrem ungenau.

Nun, das ist Ansichtssache. Darzulegen, wie Galileos Paradox (im Rückblick sehr einfach) erklärt werden kann, ist durchaus nützlich.

> Es muss ein besseres Maß geben, in dem sich die Größenunterschiede korrekt ausdrücken. Einfach zu behaupten, dass Euklids 8. Axiom totum est majus suâ parte nicht mehr gilt, ist eine billige Ausflucht, die besonders deutlich am obigen Beispiel widerlegt wird.

Niemand behauptet das. Selbstverständlich kannst du strikte Teilmengen als solche erkennen und aufzeigen. Nur ist das eben für unendliche Mengen nicht die ganze Wahrheit.

> WENN aktual unendliche Mengen existieren, dann gibt es ganz genau so viele Stammbrüche wie natürliche Zahlen. Die Symmetrie zwischen den Mengen oder Folgen (n), (n/1), (1/n) ist entweder mathematische auswertbar, oder es gibt keinen Zugang zu aktual unendlichen Mengen. Deren Anzahlen sind feste Größen.

Deren *Kardinalitäten* sind feste Größen. Was "mathematisch auswertbar" bedeuten soll, musst du mir allerdings noch erklären. Desgleichen hast du in deiner Aufzählung ein paar Folgen unterschlagen. (Dass du sie hier als "Folgen" bezeichnest, ist sehr aufschlussreich!) Zum Beispiel fehlen die Folgen (n*1), (n^1), (n+1), (n*2), (n^2), etc.

> Cantors Abzählung ist eigentlich nur eine Anzählung. Hilberts Hotel und Dedekind-Unendlichkeit sind ganz klar richtig für potentiell unendliche Mengen und falsch für aktual unendliche Mengen.

Nachdem es keine potentiell unendlichen Mengen gibt (wie wolltest du die überhaupt definieren???), ist das offensichtlich ein Wunschtraum.

> Die sind, wenn überhaupt, fest wie die Anzahl der Stammbruchpunkte. Und Eulers Ergebnis für die Summe aller natürlichen Zahlen, das in modernen Form |ℕ|*(|ℕ|+1)/2 zu schreiben wäre, ist durchaus in Erwägung zu ziehen.

Was auch immer du dir darunter vorstellen magst. Jedenfalls is ℵ₀+1 = ℵ₀, ℵ₀*ℵ₀ = ℵ₀, ℵ₀/2 = ℵ₀, und deshalb ist |ℕ|*(|ℕ|+1)/2 = |ℕ|. Aber nur zu, schreib halt |ℕ|*(|ℕ|+1)/2, wenn dir das dein Leben besser macht. Jeder vernünftige Mensch weiss schon, was er davon zu halten hat.

Gus Gassmann

unread,
Nov 9, 2021, 7:04:56 AMNov 9
to
On Tuesday, 9 November 2021 at 07:02:44 UTC-4, JVR wrote:
[...]
> Warum lasst ihr euch auf Diskussionen mit diesem Vollidioten ein?

Touche'. Es ist halt irgendwo doch so etwas wie eine Sucht. Man versucht wegzukommen, wird aber doch regelmässig rückfällig.:(

JVR

unread,
Nov 9, 2021, 8:11:12 AMNov 9
to
Ich kenne das; habe es auch schon durchexerziert. In dem Augenblick, wo man meint, jedes Kind sieht, wo der Fehler steckt, haut
Mücke noch eien undefinierten Begriff drauf und man ist wieder am Anfang. Unweigerlich, ausnahmslos.
You can't nail a pudding to the wall.

Juergen Ilse

unread,
Nov 9, 2021, 8:44:00 AMNov 9
to
Hallo,

JVR <jrenne...@googlemail.com> wrote:
> You can't nail a pudding to the wall.

Ich glaube mit der roten Gruetze bei der Bundeswehr wuerde das
funktionieren (die wurde bei uns in der Kaserne damals aus gutem
Grund ein Quader geschnitten, und diese Quder durften nicht auf den
Teller fallen gelassen werden, sonst waeren sie dabei vom Teller
gesprungen dank ihrer "Flummi-artigen Konsistenz").

Tschuess,
Juergen Ilse (jue...@usenet-verwaltung.de)

Rainer Rosenthal

unread,
Nov 9, 2021, 9:58:13 AMNov 9
to
Am 09.11.2021 um 12:02 schrieb JVR:

> Warum lasst ihr euch auf Diskussionen [...] ein?
> Als nächstes müsste man ihn fragen was +1 in Mückenhausen bedeutet.
> Ist das interessant?

Ich habe früher Geld mit Programmierung verdient, und dabei hatte ich es
nicht nur mit selbstverschuldeten Fehlern zu tun, die ich mit Freude
beseitigt habe, sondern ich hatte es auch mit nicht ganz ausgereiften
Compilern und frisch entwickelter Hardware zu tun. Das war interessant.
Und in diesem Sinne ist auch die "Diskussion" interessant, denn
irgendwas ist ja offenbar kaputt :-)
Sollte sich herausstellen, dass es bereits bei "+1" klemmt, dann wäre es
doch nett, das herauszufinden.

> In seinem Bestseller wird, nebenbeigesagt, bei der Definition der natürlichen Zahlen
> Nachfolger (x) = Nachfolger (y) während x !=y nicht ausgeschlossen.

So weit reicht meine Geduld nicht, und ich weiß, dass bereits Franz
Lemmermeyer, ein begnadeter Mathematiker, sich wütend über dies Werk
hergemacht und es in Grund und Boden gestampft hat. Was sollte es mir
bringen, da auch nur einen Blick hinein zu werfen? Beim Friseur lese ich
die Bunte ja auch nicht.

Deine Bemerkung eben zeigt, falls sie zutrifft, wie gut es ist, diese
Lektüre zu überspringen. Sachlich-fachlich ist die Bemerkung aber
durchaus interessant und relevant für das aktuelle Thema. Ich lese
gerne, ob es darüber noch zu einer Diskussion kommt, und von mir aus
dürfen dabei Vermutungen über Charakter oder Geisteszustand des
Diskussionspartners gerne weggelassen werden.

Gruß,
RR


Ralf Goertz

unread,
Nov 9, 2021, 10:55:52 AMNov 9
to
Am Tue, 9 Nov 2021 15:58:09 +0100
schrieb Rainer Rosenthal <r.ros...@web.de>:

> Am 09.11.2021 um 12:02 schrieb JVR:
>
> Und in diesem Sinne ist auch die "Diskussion" interessant, denn
> irgendwas ist ja offenbar kaputt :-) Sollte sich herausstellen, dass
> es bereits bei "+1" klemmt, dann wäre es doch nett, das
> herauszufinden.

> > In seinem Bestseller wird, nebenbeigesagt, bei der Definition der
> > natürlichen Zahlen Nachfolger (x) = Nachfolger (y) während x !=y
> > nicht ausgeschlossen.
>
> […] Deine Bemerkung eben zeigt, falls sie zutrifft, wie gut es ist,
> diese Lektüre zu überspringen. Sachlich-fachlich ist die Bemerkung
> aber durchaus interessant und relevant für das aktuelle Thema. Ich
> lese gerne, ob es darüber noch zu einer Diskussion kommt, und von mir
> aus dürfen dabei Vermutungen über Charakter oder Geisteszustand des
> Diskussionspartners gerne weggelassen werden.

Aber gerade letzteres ist doch das, was kaputt ist. Dass die +1 im
Prinzip nicht das Problem ist, wurde ja schon eingestanden. Und die
Unendlichkeitsdyskalkulie an sich ist ja auch nicht wirklich spannend.
Da ist jemand, dem das Unendliche unbehaglich ist und der es auf Biegen
und Brechen aus der Welt schaffen will und sich dabei solcher Argumente
bedient, die diesen Namen eigentlich nicht verdienen. Wirklich spannend
ist doch, wie diese Haltung über Jahrzehnte hinweg stabil bleiben kann,
obwohl sich ihr Hunderte mit guten Repliken entgegengestellt haben. Was
muss in einem Menschen vorgehen, der so fest von sich überzeugt ist,
dass er meint, seinen dunklen Pudding an die Wand genagelt zu haben, und
dabei nicht merkt, wie ihm eben dieser auf die Schuhe tropft?

Rainer Rosenthal

unread,
Nov 9, 2021, 1:16:41 PMNov 9
to
Am 09.11.2021 um 16:55 schrieb Ralf Goertz:

> ... Wirklich spannend
> ist doch, wie diese Haltung über Jahrzehnte hinweg stabil bleiben kann,
>
Sehe ich halt nicht so, und die dsm-Charta übrigens auch nicht.
Spannend ist für mich, wie stabil mathematische Denkweise gegenüber
irrationalen, überheblichen, auf Verwirrung zielenden und
Pudding-artigen Schwätzereien ist.

Bisher ist es mir, glaube ich, ganz gut gelungen, nicht zum Thema
gehörende Provokationen wegzulächeln und das im Titel genannte Thema
nicht aus den Augen zu verlieren. Dass es sich dabei um eine Trivialität
handelt, ist ja gerade das Wichtige.
Da muss ein sich als mathematisches Schwergewicht gerierender Geist
schon ordentlich rotieren, um x+1 = y+1 ==> x = y wegzudiskutieren :-)

Gruß,
RR


Mostowski Collapse

unread,
Nov 9, 2021, 3:36:20 PMNov 9
to
Für quadratzahlen is der Predecessor besonders lustig.

Also wenn x+1 = z^2, dann x = (z+1)*(z-1).

Beispiel x+1 = 25, dann x = 4*6 = 24.

Mostowski Collapse

unread,
Nov 9, 2021, 3:45:09 PMNov 9
to
Aber man könnte jetzt x+1=y+1 => x=y so beweisen,
indem man z Realzahl zulässt. Dann hat man zwei Lemmas:

Lemma 1: x+1 = z^2 => x = (z+1)*(z-1)

Lemma 2: y+1 = z^2 => y = (z+1)*(z-1)

Man kann auch beweisen:

Lemma 4: x+1 = y+1 => exists z(x+1=z^2 & z^2 = y+1)

Lemma 5: x = (z+1)*(z-1) & (z+1)*(z-1)=y => x = y

Fasst man alles Zusammen erhält man:

Lemma 6: x+1 = y+1 => exists z(x = y)

Aber den Quantor kann man streichen, da z nicht mehr vorkommt:

Theorem: x+1 = y+1 => x = y

Mostowski Collapse

unread,
Nov 9, 2021, 3:48:26 PMNov 9
to
Noch ein Beispiel: Der Vorgänger von 2:

1 = 0.414213562373095... * 2.414213562373095...

LoL

Ganzhinterseher

unread,
Nov 9, 2021, 4:35:01 PMNov 9
to
Rainer Rosenthal schrieb am Dienstag, 9. November 2021 um 12:25:46 UTC+1:
> Am 09.11.2021 um 11:58 schrieb Ganzhinterseher:
> > Rainer Rosenthal schrieb am Dienstag, 9. November 2021 um 09:18:18 UTC+1:
> >
> >> Wie Du diese Tatsache in Dein Weltbild einbaust, ist nicht mein Problem.
> >
> > Ich kann es so einbauen, dass Widersprüche verschwinden. Ich kann es so einbauen, dass es Sinn macht, von weniger geraden Zahlen als ganzen Zahlen zu sprechen.
> >
> Schön für Dich, aber trotzdem ist f(n) = n+1 injektive Abbildung
> f: {0} U N --> N
> um mal wieder zum Thema zurückzukehren.
>
> Denn aus f(x) = f(y) folgt x = y:
> Aus x+1 = y+1 folgt für alle Zahlen x, y, dass x = y ist.

Für alle Zahlen? Welch ein Anspruch! Logik magst Du nicht?
Für alle Zahlen, die Du in Abbildungen verwenden kannst, gilt
∀n ∈ ℕ_def: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵ₀.
Das heißt, sie alle kratzen die unendliche Menge der verbleibenden Zahlen nicht an. Diese ist und bleibt unendlich. Und ℕ ist fest, so fest dass eine Bijektion mit nicht gleichzahligen Mengen ausgeschlossen ist. Oder glaubst Du, dass sich die Menge der Punkte die zu Stammbrüchen gehören, ändert, wenn Du eine Bijektion mit allen algebraischen Zahlen planst? Oder wenn Du eine Bijektion mit allen Primzahlen planst? Diese Mengen sind deutlich verschieden und wirkliche Bijektionen würden Gleichzahligkeit beweisen, nicht Gleichmächtigkeit.

Gruß, WM

Ganzhinterseher

unread,
Nov 9, 2021, 4:55:58 PMNov 9
to
Gus Gassmann schrieb am Dienstag, 9. November 2021 um 13:01:59 UTC+1:
> On Tuesday, 9 November 2021 at 03:57:54 UTC-4, Ganzhinterseher wrote:
> [...]
> > WENN Cantors Abzählung oder irgendeine Bijektion zwischen unendlichen Mengen möglich wäre, dann müssten alle Zahlen darin vorkommen, so dass keine übrig bleibt - und erst recht nicht unendlich viele.
> >
> > Das funktioniert nicht, wie man erstens daran sieht, dass keine definierbare natürliche Zahle weniger als ℵo Nachfolger hat. Diese Nachfolger existieren aber alle, zum Beispiel als Punkte auf der reellen Achse. Die Menge der Stammbruchpunkte im Einheitsintervall (0, 1] ist vollständig. Da fehlt keiner und schon gar nicht unendlich viele. Aber man kann nicht alle erkennen. Sie sind dunkel. Das beste Beispiel für dunkle Zahlen bilden die Endsegmente, deren jedes unendlich viele Zahlen enthält. Wären diese alle definierbar und von Beginn, E(1), an enthalten, dann wäre der Schnitt über alle Endsegmente natürlich unendlich. Man kann sie aber nicht angeben. Sie sind dunkel.
> >
> > Deswegen kann man auch keine Abzählung oder Bijektion über alle natürlichen Zahlen machen. Cantors Ansatz zeigt für alle Mengen dieselbe Mächtigkeit, was so offensichtlich falsch ist, das es schmerzt.
> Es gibt zwei verschiedene Ansätze, die Grösse von Mengen zu messen: Ein Ansatz kommt durch Teilmengen zustande: Wenn eine Menge strikte Untermenge einer anderen ist, dann ist die Teilmenge "kleiner" als die Obermenge. Zum Beispiel ist {a,b,c} eine strikte Teilmenge von {a, b, c, d}. Desgleichen ist die Menge {1, 4, 9, 16, ...} eine strikte Untermenge der natürlichen Zahlen. Offensichtlich gibt es --- in diesem Sinne --- weniger Quadratzahlen als natürliche Zahlen.
>
> Die Kardinalität der Menge ist ein zweiter Ansatz.

Das ist ein falscher Ansatz. Für Abbildungen können nur wählbare Zahlen gewählt werden. Das sind nach ∀n ∈ ℕ_def: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵ₀ verschwindend wenige. Deswegen kommt für jede abzählbare Menge dasselbe Ergebnis zustande.

> Wenn zwischen zwei Mengen eine Bijektion existiert, dann haben zwei Mengen dieselbe Kardinalität.

Eine Bijektion kann nur zwischen den potentiell unendlichen Anfangsabschnitten bestehen, für die eben gilt: ∀n ∈ ℕ_def: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵ₀.
>
> Aber es besteht eine Bijektion zwischen {1, 2, 3, 4, ...} und {1/1, 1/2, 1/3, 1/4, ...},

Nein, auch da besteht keine Bijektion, weill fast alle diese Zahlen nicht wählbar sind. Es besteht Gleichzahligkeit aus Symmetriegründen.

> > Die Menge aller Stammbrüche ist kleiner ist als die Menge aller rationalen Punkte im ersten Einheitsintervall (oder gar in allen Intervallen). Das sieht man mit bloßem (geistigen) Auge. Cantor behauptet, dass beide Mengen dieselbe Mächtigkeit hätten.
> Ja, haben sie. Zwei verschieden Arten, Grösse zu messen, zwei verschiedene Antworten.

Eine richtige, eine falsche.

> > Wäre Mächtigkeit tatsächlich ein Maß für Anzahlen, dann wäre dieses Maß extrem ungenau.

> Nun, das ist Ansichtssache. Darzulegen, wie Galileos Paradox (im Rückblick sehr einfach) erklärt werden kann, ist durchaus nützlich.

Das habe ich dargelegt. Der Schlüssel ist ∀n ∈ ℕ_def: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵ₀.

> > Es muss ein besseres Maß geben, in dem sich die Größenunterschiede korrekt ausdrücken. Einfach zu behaupten, dass Euklids 8. Axiom totum est majus suâ parte nicht mehr gilt, ist eine billige Ausflucht, die besonders deutlich am obigen Beispiel widerlegt wird.

> Niemand behauptet das. Selbstverständlich kannst du strikte Teilmengen als solche erkennen und aufzeigen. Nur ist das eben für unendliche Mengen nicht die ganze Wahrheit.

Jedenfalls sind aktual unendliche Mengen fest, fix und fertig.

> > WENN aktual unendliche Mengen existieren, dann gibt es ganz genau so viele Stammbrüche wie natürliche Zahlen. Die Symmetrie zwischen den Mengen oder Folgen (n), (n/1), (1/n) ist entweder mathematische auswertbar, oder es gibt keinen Zugang zu aktual unendlichen Mengen. Deren Anzahlen sind feste Größen.

> Deren *Kardinalitäten* sind feste Größen.

Die Kardinalzahl ist irrelevant.

> Was "mathematisch auswertbar" bedeuten soll, musst du mir allerdings noch erklären.

Mathematisch auswertbar sind jedenfalls Symmetriebetrachtungen, woraus unter anderem folgt, dass die Mengen ℕ und ℕ genau gleichzahlig sind und die Mengen ℕ und ℕ U {0} also nicht gleichzahlig sind. Es gibt genau halb so viele gerade Zahlen wie ganze Zahlen und genau so viele Stammbrüche wie natürlichen Zahlen.

> Desgleichen hast du in deiner Aufzählung ein paar Folgen unterschlagen. (Dass du sie hier als "Folgen" bezeichnest, ist sehr aufschlussreich!) Zum Beispiel fehlen die Folgen (n*1), (n^1),
derartige Folgen sind aus Symmetriegründen gleichzahlig mit ℕ.

> (n+1), (n*2), (n^2), etc.

Diese Folgen sind es nicht. ℕ ist fest. Wird eine Zahl ausgelassen, so ist der Rest kleiner als |ℕ|.

> > Cantors Abzählung ist eigentlich nur eine Anzählung. Hilberts Hotel und Dedekind-Unendlichkeit sind ganz klar richtig für potentiell unendliche Mengen und falsch für aktual unendliche Mengen.
> Nachdem es keine potentiell unendlichen Mengen gibt (wie wolltest du die überhaupt definieren???), ist das offensichtlich ein Wunschtraum.

Sie sind definiert durch die Basisbedingung: ∀n ∈ ℕ_def: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵ₀. Die definierbaren Zahlen sind eine potentiell unendlich Menge. Sie reichen niemals auch nur entfernt an ℕ heran. Ich verstehe nicht, wie man diese einfache und unwiderlegbare Gleichung missverstehen kann.

> > Die sind, wenn überhaupt, fest wie die Anzahl der Stammbruchpunkte. Und Eulers Ergebnis für die Summe aller natürlichen Zahlen, das in modernen Form |ℕ|*(|ℕ|+1)/2 zu schreiben wäre, ist durchaus in Erwägung zu ziehen.
> Was auch immer du dir darunter vorstellen magst. Jedenfalls is ℵ₀+1 = ℵ₀, ℵ₀*ℵ₀ = ℵ₀, ℵ₀/2 = ℵ₀,
Das liegt daran, dass ℵ₀ eine schwammige Angabe ist.

> und deshalb ist |ℕ|*(|ℕ|+1)/2 = |ℕ|.

Nein, das ist grundfalsch. Ein klares und anschauliches Beispiel für |ℕ| ist die Menge der Stammbrüche. Die verändert sich nicht um ein Jota geschweige denn um den Faktor |ℕ|.

> Aber nur zu, schreib halt |ℕ|*(|ℕ|+1)/2, wenn dir das dein Leben besser macht. Jeder vernünftige Mensch weiss schon, was er davon zu halten hat.

Ich will meine Hand nicht dafür ins Feuere legen. Es fiel mir nur auf, wie Euler dachte. Aber dass die Menge ℕ eine feste Anzahl |ℕ| von Elementen besitzt, das ist der Dreh-und Angelpunkt der transfiniten Mathematik. Mit Cantors Anzählungen kann man nichts anfangen.

Gruß, WM

Ganzhinterseher

unread,
Nov 9, 2021, 4:59:59 PMNov 9
to
Rainer Rosenthal schrieb am Dienstag, 9. November 2021 um 15:58:13 UTC+1:

> So weit reicht meine Geduld nicht, und ich weiß, dass bereits Franz
> Lemmermeyer, ein begnadeter Mathematiker,

Ein gescheiterter und dazu verlogener Mathematiker, der ohne Komplizen beim Verlag seine Besudelungen niemals hätte anbringen können. Er hat absurde Behauptungen aufgestellt, die klar widerlegt wurden, aber wie man an Dir sieht, bleibt immer etwas kleben. Das wussten schon die alten Lateiner.

Gruß, WM

Ganzhinterseher

unread,
Nov 9, 2021, 5:02:00 PMNov 9
to
Ralf Goertz schrieb am Dienstag, 9. November 2021 um 16:55:52 UTC+1:

> Unendlichkeitsdyskalkulie an sich ist ja auch nicht wirklich spannend.

∀n ∈ ℕ_def: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵ₀.

Gruß, WM

Rainer Rosenthal

unread,
Nov 9, 2021, 5:09:52 PMNov 9
to
Am 09.11.2021 um 22:35 schrieb Ganzhinterseher:
> Rainer Rosenthal schrieb am Dienstag, 9. November 2021 um 12:25:46 UTC+1:
>> Am 09.11.2021 um 11:58 schrieb Ganzhinterseher:
>>> Rainer Rosenthal schrieb am Dienstag, 9. November 2021 um 09:18:18 UTC+1:
>>>
>>>> Wie Du diese Tatsache in Dein Weltbild einbaust, ist nicht mein Problem.
>>>
>>> Ich kann es so einbauen, dass Widersprüche verschwinden. Ich kann es so einbauen, dass es Sinn macht, von weniger geraden Zahlen als ganzen Zahlen zu sprechen.
>>>
>> Schön für Dich, aber trotzdem ist f(n) = n+1 injektive Abbildung
>> f: {0} U N --> N
>> um mal wieder zum Thema zurückzukehren.
>>
>> Denn aus f(x) = f(y) folgt x = y:
>> Aus x+1 = y+1 folgt für alle Zahlen x, y, dass x = y ist.
>
> Für alle Zahlen? Welch ein Anspruch! Logik magst Du nicht?

Dass Du sie nicht alle hast, zeigst Du gerne immer wieder.
"Alle" heißt selbstverständlich "alle im Definitionsbereich", aber Dir
ist kein Einwand zu billig, um Verwirrung zu stiften.
Ich schrieb was zum Thema, und das wird mit der injektiven Abbildung
f: {0} U N --> N, definiert durch f(x) = x+1, beantwortet.

Die Injektivität von f ist gegeben, weil aus f(x) = f(y) folgt, dass x+1
= y+1 ist. Und ob es sich bei x und y um Quadrat-, Prim- oder sonstige
natürliche Zahlen (sowie der 0) handelt, ist völlig unerheblich, denn es
folgt unweigerlich daraus, dass x = y ist. Von mir aus dürfen es auch
Märchenfrosch-Zahlen sein, solange sie nur zu {0} U N gehören.

Hör mit den Märchen auf und formuliere echte Zweifel an der Injektivität
von f, ok? Was Du bisher gebracht hast, lässt sich umschreiben mit:
"Das ist alles so schwierig mit den unendlich vielen Zahlen, und wenn es
wirklich so wäre, dass f injektiv ist, dann hätte das massive
Auswirkungen auf das Weltklima oder gar auf meinen Seelenfrieden".

Verwende bitte gescheite mathematische Schreibweisen.
Es hat ja bereits einen guten Ansatz gegeben: noch vor nicht allzu
langer Zeit (geschätzt 10 Jahren) hast Du {0} als lächerliche
Schreibweise für 0 bezeichnet. Jetzt verwendest Du {0} völlig korrekt.
Wenn das nichts ist, gratuliere!

Gruß,
RR




JVR

unread,
Nov 9, 2021, 5:46:19 PMNov 9
to
Was Mücke allenfalls interessant macht ist, dass er ein ungewöhnlich reines Exemplar
des Sektierers mit narzisstischer Persönlichkeitsstörung darstellt. Er erfüllt alle Kriterien
nach dem 'Handbook of Personality Disorders' und auch die Merkmale, die in Gardners
'Fads and Fallacies' aufgeführt werden. Die Mückmeatik andererseits ist so stumpfsinnig,
dass es sich nicht lohnt, die endlose Kette der endlos wiederholten Fehlüberlegungen
zur Kenntnis zu nehmen.

Ralf Bader

unread,
Nov 9, 2021, 5:59:31 PMNov 9
to
Das vermutlich einzige mathematische Anfängerbuch, in dem schon die
Definition der Stetigkeit einer reellen Funktion in einem Punkt kaputt
ist - Ihr verschissenes Machwerk gehört in die Tonne.

Ganzhinterseher

unread,
Nov 10, 2021, 2:44:01 AMNov 10
to
JVR schrieb am Dienstag, 9. November 2021 um 12:02:44 UTC+1:

> In seinem Bestseller wird, nebenbeigesagt, bei der Definition der natürlichen Zahlen
> Nachfolger (x) = Nachfolger (y) während x !=y nicht ausgeschlossen.

Da muss ich leider schon wieder etwas richtigstellen. In meinem Buch [W. Mückenheim: "Mathematik für die ersten Semester", 4th ed., De Gruyter, Berlin (2015)] wird nicht die Nachfolgerregelung sondern die Addition angewandt. Das ist eine Operation, die vor Einführung der Mereologie noch simpel durch + bezeichnet worden ist. Sie entspricht dem Hinzufügen von gleichartigen Elementen und kann deshalb nicht zu dem o.g. Widerspruch führen. Man vergleiche Zermelos und von Neumanns Definitionen der natürlichen Zahlen, wobei auch keine Vorkehrungen gegen diesen Fall getroffen worden sind oder getroffen werden müssen.
Das ist nur bei Peanos umständlichem und im Ergebnis sogar verfehltem Ansatz erforderlich.

Gruß, WM

Ganzhinterseher

unread,
Nov 10, 2021, 3:45:16 AMNov 10
to
Ralf Bader schrieb am Dienstag, 9. November 2021 um 23:59:31 UTC+1:

> Das vermutlich einzige mathematische Anfängerbuch,

[W. Mückenheim: "Mathematik für die ersten Semester", 4th ed., De Gruyter, Berlin (2015)]

> in dem schon die
> Definition der Stetigkeit einer reellen Funktion

korrekt ist, weil Punktfolgen als nicht stetig ausgewiesen werden. Was für ein Schwachsinn wäre das auch! Alle übrigen Eigenschaften der gewöhnlichen Stetigkeitsdefinition bleiben erhalten.

Immerhin 4 Auflagen - und schon vorher als Bestseller angepriesen:
https://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/Transfinity/Bestseller.pdf

Das schlägt die Meinungen von Neidhammeln und orthodoxen Matheologen, die einfach nicht einsehen können oder wollen, dass alle natürlichen Zahlen, die in Aussagen, Beweise oder Folgen eingesetzt und geprüft werden können, zu einer verschwindend kleinen Menge ℕ_def gehören
∀n ∈ ℕ_def: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo
während alle anderen natürlichen Zahlen, also die große Mehrheit, nicht individuell behandelt werden können. Deswegen ergibt sich für unendliche Mengen ein deutlich anderes Verhalten als für alle endlichen Anfangsabschnitte. Aber die Ursache dafür wollt Ihr einfach nicht anerkennen.

Gruß, WM

Ganzhinterseher

unread,
Nov 10, 2021, 3:56:00 AMNov 10
to
JVR schrieb am Dienstag, 9. November 2021 um 23:46:19 UTC+1:
> Die Mückmeatik andererseits ist so stumpfsinnig,
> dass es sich nicht lohnt, die endlose Kette der endlos wiederholten Fehlüberlegungen
> zur Kenntnis zu nehmen.

Die Unterschlagung der Bedeutungen von Schubfachprinzip und Inklusionsmonotonie, ein Delikt der Matheologie, wird jedenfalls korrigiert.

Die Bedeutung der Aussage
∀n ∈ ℕ_def: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo
wird gewürdigt und nicht behauptet, dass "im Unendlichen" doch alle natürlichen Zahlen individuell abgebildet werden können, wenn auch nur kollektiv individuell.

Der klarste Beweis dunkler Zahlen ergibt sich aus einer einfachen Frage: Wenn der Schnitt aller Endsegmente leer ist, aber alle Endsegmente unendlich sind: Was für Zahlen sind darin? Warum tragen sie nicht zu einem unendlichen Schnitt bei? Aber wie immer, wenn Du nicht weiter weißt, wirst Du in den Dadaismus-Modus verfallen, bis die Frage vergessen ist und Du wieder Deinem Hobby frönen kannst.

Gruß, WM

Ganzhinterseher

unread,
Nov 10, 2021, 4:44:53 AMNov 10
to
Rainer Rosenthal schrieb am Dienstag, 9. November 2021 um 23:09:52 UTC+1:
> Am 09.11.2021 um 22:35 schrieb Ganzhinterseher:
> > Rainer Rosenthal schrieb am Dienstag, 9. November 2021 um 12:25:46 UTC+1:
> >> Am 09.11.2021 um 11:58 schrieb Ganzhinterseher:
> >>> Rainer Rosenthal schrieb am Dienstag, 9. November 2021 um 09:18:18 UTC+1:
> >>>
> >>>> Wie Du diese Tatsache in Dein Weltbild einbaust, ist nicht mein Problem.
> >>>
> >>> Ich kann es so einbauen, dass Widersprüche verschwinden. Ich kann es so einbauen, dass es Sinn macht, von weniger geraden Zahlen als ganzen Zahlen zu sprechen.
> >>>
> >> Schön für Dich, aber trotzdem ist f(n) = n+1 injektive Abbildung
> >> f: {0} U N --> N
> >> um mal wieder zum Thema zurückzukehren.
> >>
> >> Denn aus f(x) = f(y) folgt x = y:
> >> Aus x+1 = y+1 folgt für alle Zahlen x, y, dass x = y ist.
> >
> > Für alle Zahlen? Welch ein Anspruch! Logik magst Du nicht?
> Dass Du sie nicht alle hast, zeigst Du gerne immer wieder.

Es ist ja auch wichtig, um zu erkennen, weshalb Cantors angebliche Bijektionen versagen, die, wenn sie tatsächlich welche wären, Gleichzahligkeit und nicht nur Gleichmächtigkeit beweisen würden. Sie würden beweisen, dass es genau so viele durch Stammbrüche definierte Punkte gibt wie algebraisch definierte auf der gesamten Zahlengeraden.

> "Alle" heißt selbstverständlich "alle im Definitionsbereich",

Der Definitionsbereich ℕ_def in der richtigen Mathematik ist die durch
∀n ∈ ℕ_def: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo
definierte potentiell unendliche Kollektion. Aber in meinen Threads geht es meistens um alle natürlichen Zahlen. Die bilden eine aktual unendliche Menge. Da niemals zwei konsekutive aktual unendliche Mengen in der natürlichen Anordnung von ℕ möglich sind, ist die Behauptung, "im Unendlichen" seien alle natürlichen Zahlen definierbare Zahlen, falsch.

> Ich schrieb was zum Thema, und das wird mit der injektiven Abbildung
> f: {0} U N --> N, definiert durch f(x) = x+1, beantwortet.

Für die potentiell unendliche Menge ℕ_def ist das wie gesagt richtig. Das könntest Du schon auf S. 19 meines Buches finden: "Eine Abbildung f von X nach Y heißt
– surjektiv (oder Abbildung auf Y), wenn jedes y ∈ Y ein Bild ist,
– injektiv (oder eindeutig), wenn aus f (x1) = f (x2) folgt x1 = x2,
– bijektiv (oder eineindeutig), wenn f injektiv und surjektiv ist.
[W. Mückenheim: "Mathematik für die ersten Semester", 4th ed., De Gruyter, Berlin (2015)]

Aber es ging um mehr, nämlich um die aktual unendliche Menge ℕ. Und die hat, wenn es sie überhaupt gibt, eine feste Anzahl von Elementen, die man zwar nicht durch Abzählen auffinden kann, die aber sicher nicht gleich einer ihrer echten Teilmengen ist.
>
> Die Injektivität von f ist gegeben, weil aus f(x) = f(y) folgt, dass x+1
> = y+1 ist. Und ob es sich bei x und y um Quadrat-, Prim- oder sonstige
> natürliche Zahlen (sowie der 0) handelt, ist völlig unerheblich, denn es
> folgt unweigerlich daraus, dass x = y ist. Von mir aus dürfen es auch
> Märchenfrosch-Zahlen sein, solange sie nur zu {0} U N gehören.

Du verwechselst den Definitionsbereich mit allen natürlichen Zahlen.
>
> Hör mit den Märchen auf und formuliere echte Zweifel an der Injektivität
> von f, ok?

Das habe ich bereits getan.
∀n ∈ ℕ_def: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo

Dunkle Zahlen kann man nicht abbilden. Deswegen versagen dort alle Versuche dazu. Der einfachster Beweis für die Existenz dunkler Zahlen, wenn die die obige Gleichung nicht genügt, ist der Schnitt aller unendlichen Endsegmente. Er ist leer. Wären aber nur definierbare Zahlen in allen unendlichen Endsegmenten, dann wäre der Schnitt natürlich unendlich.

> Verwende bitte gescheite mathematische Schreibweisen.

Verstehst Du sie denn? Hier ist sie
∀n ∈ ℕ_def: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo
und auch hier, wo E(k) = {k, k+1, k+2, ...}
∀k ∈ ℕ_def: ∩{E(1), E(2), ..., E(k)} = E(k) /\ |E(k)| = ℵ₀ (*)
==> |∩{E(k) : k ∈ ℕ_def}| = ℵ₀
wo der Schnitt nur über alle Endsegmente aus (*) gebildet ist und daher nicht verschwinden kann. Für alle Endsegmente hingegen gilt
|∩{E(k) : k ∈ ℕ}| = 0 .

Gruß WM

JVR

unread,
Nov 10, 2021, 5:00:52 AMNov 10
to
Ja, Mücke, Sie addieren Objekte, die Sie noch garnicht definiert haben. Intelligentere Leute würden den Nachfolger von x (beim Zählen) vielleicht provisorisch mit 'x+1' bezeichnen. Dabei geht es noch nicht um eine Addition im Sinne einer binären Operation mit bestimmten Eigenschaften. Erst nachher, bei der Definition der Addition beliebiger natürlicher Zahlen, nachdem die natürlichen Zahlen definiert wurden, bekommt das '+' seine übliche Bedeutung, wobei dann "+1 <=> Nachfolger" mit "+1 <=> 'addiere das Basiselement'" übereinstimmen.
Ich weiß, Sie können nicht verstehen, warum das notwendig ist. Das macht aber nichts, denn Sie verstehen das Übrige ja auch nicht.

Selbstverständlich sind Zermelos und von Neumanns Definitionen konsistent und führen zwangsläufig zu einer unendlichen Menge, im Gegensatz zu der fehlerhaften Definition in Ihrem Bestseller, der übrigens tatsächlich voller Fehler ist.

Lemmermeyer ist, soweit ich feststellen kann, kein 'gescheiterter Mathematiker' sondern Mathematiklehrer an einem Gymnasium. Er hat offenbar Ihr
Anfängerbuch gelesen, vielleicht hat man ihn sogar um eine Rezension gebeten. Er hat viele Fehler gefunden, aber bei weitem nicht alle.

JVR

unread,
Nov 10, 2021, 5:30:32 AMNov 10
to
Wahrlich, wahrlich, ich sage euch: Wer Unsinn schwätzt, dem gebühret unsinnige Gegenrede.

Matthäus 5, 11-12:
Selig seid ihr, wenn euch die Menschen schmähen und verfolgen und reden allerlei Übles gegen euch, so sie daran lügen. Seid fröhlich und getrost; es wird euch im Himmel wohl belohnt werden. Denn also haben sie verfolgt die Propheten, die vor euch gewesen sind.

Ganzhinterseher

unread,
Nov 10, 2021, 5:31:03 AMNov 10
to
JVR schrieb am Mittwoch, 10. November 2021 um 11:00:52 UTC+1:
> On Wednesday, November 10, 2021 at 8:44:01 AM UTC+1, Ganzhinterseher wrote:
> > JVR schrieb am Dienstag, 9. November 2021 um 12:02:44 UTC+1:
> >
> > > In seinem Bestseller wird, nebenbeigesagt, bei der Definition der natürlichen Zahlen
> > > Nachfolger (x) = Nachfolger (y) während x !=y nicht ausgeschlossen.
> > Da muss ich leider schon wieder etwas richtigstellen. In meinem Buch [W. Mückenheim: "Mathematik für die ersten Semester", 4th ed., De Gruyter, Berlin (2015)] wird nicht die Nachfolgerregelung sondern die Addition angewandt. Das ist eine Operation, die vor Einführung der Mereologie noch simpel durch + bezeichnet worden ist. Sie entspricht dem Hinzufügen von gleichartigen Elementen und kann deshalb nicht zu dem o.g. Widerspruch führen. Man vergleiche Zermelos und von Neumanns Definitionen der natürlichen Zahlen, wobei auch keine Vorkehrungen gegen diesen Fall getroffen worden sind oder getroffen werden müssen.
> > Das ist nur bei Peanos umständlichem und im Ergebnis sogar verfehltem Ansatz erforderlich.
> >
> Sie addieren Objekte, die Sie noch garnicht definiert haben.

Doch, die 1 ist definiert. Und sie wird zur 1 addiert. Das ergibt die 2. Und so weiter. So hat es Cantor übrigens auch gemacht: "Die hierbei vorkommende hilfsweise Verwendung derselben Zahlen als Indizes rechtfertigt sich daraus, daß eine Zahl erst dann in dieser Bedeutung gebraucht wird, nachdem sie als Kardinalzahl definiert worden ist."

Und genau so wird bei mir eine Zahl erst als n definiert, nachdem aus dem Vorgänger durch Addition von 1 entstanden ist.

> Intelligentere Leute würden den Nachfolger von x (beim Zählen) vielleicht provisorisch mit 'x+1' bezeichnen. Dabei geht es noch nicht um eine Addition im Sinne einer binären Operation mit bestimmten Eigenschaften.

Doch, diese grundlegende Operation der Mathematik wird vorausgesetzt.

Ich weiß, Du kannst das nicht verstehen. Das macht aber nichts, denn alle intelligtenten Studenten verstehen es. Und dafür habe ich mein Buch ja geschrieben.
>
> Selbstverständlich sind Zermelos und von Neumanns Definitionen konsistent und führen zwangsläufig zu einer unendlichen Menge,

Zermelo addiert Mengenklammern, ich Einsen. Da ist kein Unterschied.

> Lemmermeyer ist, soweit ich feststellen kann, kein 'gescheiterter Mathematiker' sondern Mathematiklehrer an einem Gymnasium.

Er hat es selbst einmal auf seiner Homepage geschrieben. Ich habe den Wortlaut nicht mehr genau in Erinnerung. Schließlich ist er mir als Person gleichgültig.

> Er hat offenbar Ihr
> Anfängerbuch gelesen, vielleicht hat man ihn sogar um eine Rezension gebeten. Er hat viele Fehler gefunden, aber bei weitem nicht alle.

Das was Du nicht verstehst, geht auf deine Defizite zurück, wie man oben schon wieder sieht. Das, was er gefunden hat, konnte ich leicht widerlegen:

Bedauerlicherweise konnte im Zentralblatt die Rezension meines Buches "Mathematik für die ersten Semester", 2. Aufl., Oldenbourg 2010, von Dr. Franz Lemmermeyer erscheinen, offenbar ohne auf ihren Wahrheitsgehalt geprüft worden zu sein. Er schreibt:

“Mathematik für die ersten Semester” enthält den Teil der Mathematik, der für ein Studium technischer Fächer ausreicht: etwas elementare Geometrie, lineare Algebra, Infinitesimalrechnung, sowie die Anfangsgründe der Vektoranalysis und der Differentialgleichungen. Die Darstellung geht für ein Buch dieser Art im großen und ganzen in Ordnung, und zahlreichen Übungsaufgaben runden es ab. Hätte der Autor es dabei belassen, wäre außer einigen größeren und kleineren Fehlern nicht viel zu bemängeln gewesen.

Der Satz trifft genau den Kern dieser "Rezension".

Unglücklicherweise setzt der Autor aber seinen Feldzug gegen die moderne Mathematik (dazu zählen die Errungenschaften der letzten 2500 Jahre: die Existenz von Geraden, Kreisen, oder der Primfaktorzerlegung einiger natürlicher Zahlen wird ebenso bestritten wie die von irrationalen Zahlen) auch in diesem “Lehrbuch” fort.

Das ist falsch. Ich bestreite weder die Existenz von irrationalen Zahlen noch die von Geraden, Kreisen usw. Die Menge der reellen Zahlen besteht aus allen rationalen und allen irrationalen Zahlen (S. 36). Man stelle die Menge der Punkte eines Kreises um den Ursprung (0 | 0) in kartesischen Koordinaten dar (S. 49). Was ich bestreite ist die Existenz einer vollendeten Unendlichkeit. Diese Mathematik ist 2500 Jahre ohne aktual unendliche Mengen ausgekommen.

Das beginnt mit dem unsäglichen Vorwort, in dem den Lesern erklärt wird, dass praktisch alle Sätze, die in diesem Buch bewiesen werden (oder auch nicht), falsch sind; in den Worten des Autors: sie “leiden Ausnahmen”.

Dieser Satz ist ein bekanntes Zitat von Abel zu Sätzen Cauchys. Mein Satz bezieht sich darauf, dass es unmöglich ist und für immer bleiben wird, Irrationalzahlen wie 2 oder  mit einem relativen Fehler < 1/210100 ihres Wertes darzustellen. An dieser Tatsache bin ich unschuldig. Ihre Erkenntnis sollte nicht verdrängt oder bestraft werden.

Das Problem liegt in den Augen des Autors daran, dass z.B. die Funktion f(x) = x2−2 stetig ist und das Vorzeichen wechselt, aber mangels der Existenz von 2 keine Nullstelle hat.

Selbstverständlich existieren irrationale Zahlen, aber nicht ihre vollständigen Dezimaldarstellungen. Das sollte ein Mathematiker zu unterscheiden wissen.

Diese Schlampigkeit im Großen setzt sich im Kleinen fort: Funktionen f: X  Y werden ordentlich erklärt (mit Hilfe der vom Autor abgelehnten Mengenlehre),

Ich lehne die Mengenlehre nicht ab. Ich lehne ihre transfiniten Teile ab. Auch das sollte ein Mathematiker zu unterscheiden wissen.

doch dann erscheint auf S. 20 aus heiterem Himmel folgende Definition: “Sei eine reelle Zahl. Eine lineare Abbildung f ist eine Abbildung mit den Eigenschaften f(x1 + x2) = f(x1)+f(x2) und f(x) = f(x).” Bei dieser Definition ist so ziemlich alles falsch, was man falsch machen kann: reelle Zahlen wurden noch nicht eingeführt;

Die Zahlenmengen einschließlich der natürlichen, ganzen, rationalen, reellen und komplexen Zahlen werden auf S. 8 eingeführt - übrigens in allen drei Auflagen.

Definitionsbereich und Bildbereich der Abbildung sind nicht festgelegt, wodurch die Addition x1+x2, die der Bilder oder die Multiplikation mit  keinen Sinn macht;

Auf S. 19 ist definiert: Abbildungen von Zahlenmengen auf Zahlenmengen bezeichnet man meist als Funktionen. Alle Folgen und alle Funktionen sind also Abbildungen. Danach folgen Beispiele für Relationen mit Zahlen. Offensichtlich sind die Objekte aus Definitionsbereich und Bildbereich solche, für die Addition und Multiplikation definiert sind. Es kann nicht erwartet werden, dass alle relevanten Definitionen auf jeder Seite wiederholt werden.

Die Schlampigkeit des Rezensenten setzt sich noch eine Weile fort. Um den Leser nicht zu ermüden, hier nur noch ein Beispiel:

Da der Autor der Meinung ist, dass Funktionen N  R nicht stetig sein sollten, ersetzt er die übliche Definition der Stetigkeit auf S. 199 durch eine eigene, die sich aber schon bei oberflächlicher Betrachtung als vollkommen sinnfrei herausstellt.

Nur bei oberflächlicher Betrachtung! Denn meine explizit nur für reelle Funktionen gegeben Stetigkeitsdefinition leistet alles, was in der reellen Analysis benötigt wird, vermeidet aber das geradezu perverse Ergebnis, wonach diskreten Folgen Stetigkeit bescheinigt wird.

Einige Fragen bleiben. Muss man solche Werke ausführlich besprechen?

Man sollte es jedenfalls nicht tun, ohne das Werk gelesen zu haben, wie es offenbar hier geschehen ist. Und nach einem Schwall unsachlicher Rhetorik stellt Lemmermeyer die abschließende Frage:

Und zu guter Letzt eine Frage an den Oldenbourg-Verlag, der dieses Machwerk auf dem Rückumschlag als “solides Fundament” auch für “Studierende der Mathematik” anpreist: olet pecunia?

Audacter calumniare - semper aliquid haeret wäre hier wohl ein passenderer Schluss.

Gruß, WM

Ralf Goertz

unread,
Nov 10, 2021, 5:39:25 AMNov 10
to
Am Tue, 9 Nov 2021 00:06:53 -0800 (PST)
schrieb Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de>:

> Rainer Rosenthal schrieb am Dienstag, 9. November 2021 um 08:48:15
> UTC+1:
>
> > So, jetzt war ich gerade etwas vom Thema abgekommen. Also dann:
> > munter zurück auf den Pfad der gepflegten Diskussion mit
> > Erkenntnisgewinn. Aber einen Schritt nach dem anderen, bitte!
> >
> > Du musst dazu nur zugeben, dass aus x+1 = y+1 notwendig x = y
> > folgt.
>
> Das ist für definierbare Zahlen der Fall, aber fast alle Zahlen in ℕ
> sind nicht definierbar.

Warum ist das für die rationalen Zahlen in den Intervallen [0,1) und
[1,2) egal, von denen du vor ein paar Wochen noch behauptet hast, sie
wären bijektiv aufeinander abbildbar vermöge der Funktion f: [0,1) -->
[1,2), x->x+1? Warum also ist die Abbildung {0} ∪ ℕ --> ℕ mit derselben
Funktionsvorschrift nicht injektiv?

Ganzhinterseher

unread,
Nov 10, 2021, 6:17:12 AMNov 10
to
Ralf Goertz schrieb am Mittwoch, 10. November 2021 um 11:39:25 UTC+1:
> Am Tue, 9 Nov 2021 00:06:53 -0800 (PST)
> schrieb Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de>:

> > Das ist für definierbare Zahlen der Fall, aber fast alle Zahlen in ℕ
> > sind nicht definierbar.
> Warum ist das für die rationalen Zahlen in den Intervallen [0,1) und
> [1,2) egal, von denen du vor ein paar Wochen noch behauptet hast, sie
> wären bijektiv aufeinander abbildbar vermöge der Funktion f: [0,1) -->
> [1,2), x->x+1?

Habe ich das so gesagt? Macht der Gewohnheit. Es ist natürlich falsch. Es gibt keine Abbildung von undefinierbaren Zahlen oder zu undefinierbaren Zahlen, nicht einmal von ℕ auf ℕ. Ich behaupte Gleichzahligkeit, übrigens exakte, aufgrund der Symmetrie, hier der Translationssymmetrie auf der reellen Achse.

> Warum also ist die Abbildung {0} ∪ ℕ --> ℕ mit derselben
> Funktionsvorschrift nicht injektiv?

Wie gesagt, nicht einmal ℕ --> ℕ ist eine Abbildung. Aber selbst wenn es eine wäre, wäre in {0} ∪ ℕ --> ℕ links ein Element mehr als rechts vorhanden, und wegen "links total rechts eindeutig" müsste dieses eine überzählige Element auf eine natürliche Zahl abgebildet werden, die bereits ein Urbild hat.

Gruß, WM

JVR

unread,
Nov 10, 2021, 6:53:13 AMNov 10
to
Vor einigen Jahren habe ich Sie auf viele Fehler in Ihrem Bestseller aufmerksam gemacht. Ich habe jeweils am Morgen das Buch irgendwo geöffnet und bis zum nächsten groben Fehler gelesen. Einige waren wirklich haarstreubend. Bedankt haben Sie sich nicht dafür.

Bestseller Rang auf Amazon.de:
Best Sellers Rank: 2,970,401 in Books (See Top 100 in Books)
13,849 in Computer Science (Books)
32,965 in Popular Mathematics
163,490 in Engineering Science & Technology

Die Definition der Stetigkeit in der heute üblichen Form: Das Urbild jeder offenen Menge ist offen.
Analog - Definition einer messbaren Funktion: Das Urbild jeder messbaren Menge ist messbar.
Einfach, klar und direkt.

Ralf Bader

unread,
Nov 10, 2021, 12:14:10 PMNov 10
to
On 11/10/2021 09:45 AM, Ganzhinterseher wrote:

Scheißdreck

Juergen Ilse

unread,
Nov 10, 2021, 1:03:15 PMNov 10
to
Hallo,

Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:
> Ralf Bader schrieb am Dienstag, 9. November 2021 um 23:59:31 UTC+1:
>
>> Das vermutlich einzige mathematische Anfängerbuch,
>
> [W. Mückenheim: "Mathematik für die ersten Semester", 4th ed., De Gruyter, Berlin (2015)]

Dieses Machwerk ist (nach allem, was ich *darueber* gelesen habe) anscheinend
so uebel, dass man jedem an Mathematik interessierten Menschen nur abraten
kann, es zu lesen (um die eigene geistige Gesundheit nicht zu gefaehrden).

>> in dem schon die
>> Definition der Stetigkeit einer reellen Funktion
>
> korrekt ist, weil Punktfolgen als nicht stetig ausgewiesen werden. Was für ein Schwachsinn wäre das auch! Alle übrigen Eigenschaften der gewöhnlichen Stetigkeitsdefinition bleiben erhalten.

Untersuchen SIE doch die folgende Funktion f(x) von |R auf |R auf Stetigkeit:

f(x) = 1/q falls x rational ist und die gekuerzte Bruchdarstellung p/q besitzt
f(x) = 0 falls x irrational ist.

Ist die Funktion irgendwo stetig (und falls ja, wo ist sie stetig)?

> Immerhin 4 Auflagen - und schon vorher als Bestseller angepriesen:
> https://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/Transfinity/Bestseller.pdf

Es gibt sehr viele Buecher, die nur absoluten Schwachsinn enthalten und
dennoch Bestseller sind.

> ∀n ∈ ℕ_def: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo

Diese Aussage ist fuer *alle* natuerlichen Zahlen korrekt und definiert
*gar* nichts* (erst recht keine Menge) SIE sind offenbar noch nicht einnmal
in der Lage eine Mengendefinition fehlerfrei hinzuschreiben. Lernen SIE
doch erst einmal die Sprache "Mathematik", bevor SIE darueber zu rreferieren
versuchen.

Tschuess,
Juergen Ilse (jue...@usenet-verwaltung.de)

Juergen Ilse

unread,
Nov 10, 2021, 1:13:14 PMNov 10
to
Hallo,

JVR <jrenne...@googlemail.com> wrote:
> Wahrlich, wahrlich, ich sage euch: Wer Unsinn schwätzt, dem gebühret unsinnige Gegenrede.
>
> Matthäus 5, 11-12:
> Selig seid ihr, wenn euch die Menschen schmähen und verfolgen und reden allerlei Übles gegen euch, so sie daran lügen. Seid fröhlich und getrost; es wird euch im Himmel wohl belohnt werden. Denn also haben sie verfolgt die Propheten, die vor euch gewesen sind.

Zu Herrn Mueckenheim passt vielleicht eher Matthaeus 5, 3:
Selig sind, die Armen im Geiste, denn ihrer ist das Himmelreich.

(Ja, ich weiss, dass eigentlich "Selig sind die *geistlich* Armen" gemeint
ist, aber die oeben angegebene Uebersetzung passt vielleicht eher ...).

Tschuess,
Juergen Ilse (jue...@usenet-verwaltung.de)

Juergen Ilse

unread,
Nov 10, 2021, 1:22:34 PMNov 10
to
Hallo,

Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:
> JVR schrieb am Dienstag, 9. November 2021 um 12:02:44 UTC+1:
>
>> In seinem Bestseller wird, nebenbeigesagt, bei der Definition der natürlichen Zahlen
>> Nachfolger (x) = Nachfolger (y) während x !=y nicht ausgeschlossen.
>
> Da muss ich leider schon wieder etwas richtigstellen. In meinem Buch [W. Mückenheim: "Mathematik für die ersten Semester", 4th ed., De Gruyter, Berlin (2015)] wird nicht die Nachfolgerregelung sondern die Addition angewandt.

Die Peano Axiome dienen der Definition der natuerlichen Zahlen. Deswegen
koennen Operationen auf der Menge der natuerlichen Zahlen zur Formulierung
der Peano Axiome nicht verwendet werden, ohne einem Zirkelschluss aufzusitzen.
Deswegen ist ein Definitionsversuch der Peano Axiome mittels Addition noch
nicht einmal den BRennwert des Papiers wert, das man benoetigt um diesen
Unfug aufzuschreiben.

Tschuess,
Juergen Ilse (jue...@usenet-verwaltung.de)
PS: Bevor man die Operation + auf den natuerlichen Zahlen verwenden kann,
muss diese Operation definiert sein. Bevor man diese definieren kann,
muessen zuerst einmal die natuerlichen Zahlen definiert sein. Solange
also die Peano Axiome nicht vorhanden sind, gibt es noch keine natuer-
lichen Zahlen, ohne natuerliche Zahlen noch keine Operation + auf den
natuerlichen Zahlen.a Die Addition auf den natuerlichen Zahlen wird
dann ueblicherweise aus der Nachfolgerfunktion der Peano Axiome her-
geleitet.

Tschuess,
Juergen Ilse (jue...@useet-verwaltung.de)

Dieter Heidorn

unread,
Nov 10, 2021, 2:29:07 PMNov 10
to
Juergen Ilse schrieb:
> Hallo,
>
> Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:
>> Ralf Bader schrieb am Dienstag, 9. November 2021 um 23:59:31 UTC+1:
>>
>>> Das vermutlich einzige mathematische Anfängerbuch,
>>
>> [W. Mückenheim: "Mathematik für die ersten Semester", 4th ed., De Gruyter, Berlin (2015)]
>
> Dieses Machwerk ist [...]

Empfehlung:
https://www.amazon.de/Mathematik-ersten-Semester-Gruyter-Studium/dp/3110377330/ref=cm_cr_arp_d_pl_foot_top?ie=UTF8

dort "Blick ins Buch" anklicken, und den Abschnitt "Über Mathematik und
Wirklichkeit und dieses Buch" lesen. Mir hat es jedenfalls geholfen, WMs
Vorstellungen besser einzuordnen.

Dieter Heidorn

Ganzhinterseher

unread,
Nov 10, 2021, 2:31:00 PMNov 10
to
JVR schrieb am Mittwoch, 10. November 2021 um 12:53:13 UTC+1:

> Vor einigen Jahren habe ich Sie auf viele Fehler in Ihrem Bestseller aufmerksam gemacht. Ich habe jeweils am Morgen das Buch irgendwo geöffnet und bis zum nächsten groben Fehler gelesen.

Was davon zu halten ist, was Du für einen Fehler hältst, das haben wir gerade an Deinem Einwand gegen die Axiome der natürlichen Zahlen gesehen. Du solltest Dich bedanken, dass Deine Irrtümer aufgeklärt wurden.

> Bestseller Rang auf Amazon.de:
> Best Sellers Rank: 2,970,401 in Books (See Top 100 in Books)
> 13,849 in Computer Science (Books)
> 32,965 in Popular Mathematics
> 163,490 in Engineering Science & Technology

Das Buch wurde nicht über Amazon verkauft, sondern über den Buchhandel. Dort war es ein Bestseller: https://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/Transfinity/Bestseller.pdf

Und damit nun Schluss zu diesem leidigen, leider wieder vom Autor eingeführten Nebenthema.

Gruß, WM

Ganzhinterseher

unread,
Nov 10, 2021, 2:35:11 PMNov 10