Ungerechtigkeit beim Auswürfeln von Schulnoten minimieren?

[Ulrich Diez]

Ich habe eine Frage, für die ich die Antwort nicht kenne:

Ein Lehrer hat eine Schulklasse mit zwanzig Schülern
eine Mathe-Klassenarbeit schreiben lassen.

Nachdem er zuhause am Schreibtisch stundenlang bei
gebeugtem Rücken mühsam alle Klassenarbeiten korrigiert
und jede Arbeit mit einer der Noten 1, 2, 3, 4, 5, 6 benotet hat,
kommt er auf die Idee, dass er sich künftig die lästige
Korrigiererei ja vielleicht ersparen könnte, wenn er die Noten
einfach auswürfelt.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er die selben
Noten würfelt, die durch Korrigieren der Klassenarbeit
zustandekommen würden?
(Der Lehrer könnte spasseshalber auch zuerst würfeln
und dann erst die Arbeiten korrigieren.)

Man könnte sich auf folgenden Standpunkt stellen:

Die Wahrscheinlichkeit, ein bereits bestimmtes Notenspektrum
auch zu erwürfeln, ist (1/6)^(20). Die Methode zur Bestimmung
des Notenspektrums, zB Korrigieren von Klassenarbeiten, ist
dabei egal.

Aber jetzt etwas komplizierter:

Angenommen, der Lehrer ist bereit, ein gewisses Maß
an Ungerechtigkeit inkauf zu nehmen. Wie müsste er
seinen Zufallsmechanismus ändern, damit das Maß an
Ungerechtigkeit möglichst klein wird?

Er möchte also zB nicht nur, dass die Häufigkeit, mit der
Noten durch Korrigieren entstehen, auch der Häufigkeit
entsprechen, mit der sie erwürfelt werden, sondern er
möchte zB auch, dass bei möglichst vielen Schülern
die Abweichung der gewürfelten Note von der durch
Korrigieren der Klassenarbeit zustandekommenden
Note möglichst klein ist.

Ich habe ein Problem mit dieser Frage, und zwar unter
anderem, weil beim Korrigieren der Klassenarbeit die
Wahrscheinlichkeiten für bestimmte Notenspektren
nicht gleichverteilt sind.
Es werden zB vermutlich mehr Schüler eine 2 oder
eine 3 bekommen als Schüler eine 1 oder eine 6 bekommen
werden...

Mit freundlichem Gruß

Ulrich

[Stephan Gerlach]

Ulrich Diez schrieb:

> Ich habe eine Frage, für die ich die Antwort nicht kenne:
>
> Ein Lehrer hat eine Schulklasse mit zwanzig Schülern
> eine Mathe-Klassenarbeit schreiben lassen.
>
> Nachdem er zuhause am Schreibtisch stundenlang bei
> gebeugtem Rücken mühsam alle Klassenarbeiten korrigiert
> und jede Arbeit mit einer der Noten 1, 2, 3, 4, 5, 6 benotet hat,
> kommt er auf die Idee, dass er sich künftig die lästige
> Korrigiererei ja vielleicht ersparen könnte, wenn er die Noten
> einfach auswürfelt.
>
> Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er die selben
> Noten würfelt, die durch Korrigieren der Klassenarbeit
> zustandekommen würden?

Das hast du ja unten selber beantwortet.

> (Der Lehrer könnte spasseshalber auch zuerst würfeln
> und dann erst die Arbeiten korrigieren.)
>
> Man könnte sich auf folgenden Standpunkt stellen:
>
> Die Wahrscheinlichkeit, ein bereits bestimmtes Notenspektrum
> auch zu erwürfeln, ist (1/6)^(20).

Ja.

> Die Methode zur Bestimmung
> des Notenspektrums, zB Korrigieren von Klassenarbeiten, ist
> dabei egal.

Natürlich. Man setzt dabei einfach dieses bestimmte Notenspektrum als
gegeben voraus.

> Aber jetzt etwas komplizierter:
>
> Angenommen, der Lehrer ist bereit, ein gewisses Maß
> an Ungerechtigkeit inkauf zu nehmen. Wie müsste er
> seinen Zufallsmechanismus ändern, damit das Maß an
> Ungerechtigkeit möglichst klein wird?
>
> Er möchte also zB nicht nur, dass die Häufigkeit, mit der
> Noten durch Korrigieren entstehen, auch der Häufigkeit
> entsprechen, mit der sie erwürfelt werden, sondern er
> möchte zB auch, dass bei möglichst vielen Schülern
> die Abweichung der gewürfelten Note von der durch
> Korrigieren der Klassenarbeit zustandekommenden
> Note möglichst klein ist.

Ich bin mir gerade nicht ganz sicher, aber es könnte sein, daß (unter
zusätzlichen Annahmen?) die zweite Eigenschaft aus der ersten folgt.

Die erste Eigenschaft könnte man als irgendeine Form stochastischer
Konvergenz interpretieren, die zweite klingt nach minimaler Varianz
(oder so ähnlich).

> Ich habe ein Problem mit dieser Frage, und zwar unter
> anderem, weil beim Korrigieren der Klassenarbeit die
> Wahrscheinlichkeiten für bestimmte Notenspektren
> nicht gleichverteilt sind.

Ja. Man wird IMHO nicht daran vorbeikommen, irgendwelche konkreten
Annahmen über die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Noten zu machen.

Z.B. sowas hier:

> Es werden zB vermutlich mehr Schüler eine 2 oder
> eine 3 bekommen als Schüler eine 1 oder eine 6 bekommen
> werden...

Wobei das präzisiert werden müßte - was letztenendes in einer Annahme
einer (konkreten) "a-priori"-Verteilung für die Noten mündet.
Evtl. wäre hier eine Dreiecksverteilung sinnvoll.
Aber genaugenommen müßte man die Verteilung der Noten vorher durch eine
hinreichend große Stichprobe, d.h. bereits geschriebene Klassenarbeiten,
schätzen.


--
> Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.
gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)