Ruckfreie Positionierung
david peter
Ziel ruckfrei , d.h. mit einer linearen Beschleunigungsrampe
positionieren kann. Vorgegeben ist die Zielposition, die max.
Geschwindigkeit, die max. Beschleunigung, die max. Verzögerung und
die Steilheit der Beschleunigungs- resp. Verzögerungsrampe. Die Sart-
und Ziel-Geschwindigkeit ist 0. Wer kann mir weiterhelfen?
Roland Damm
david peter hat geschrieben:
Weiterhelfen nicht richtig, aber mal ein paar Ideen dazu:
Es gilt also
s=v*t - bekant
v=a*t - ebenfall klar
a=ap*t - ap ist die Ableitung der Beschleunigung, (a-Punkt)
Dann sollen ap, a und v jeweils (bzw. deren Beträge) ein
zulässiges Maximum nicht überschreiten. Aber der Zielort soll
doch sicherlich auch möglichst schnell erreicht werden. Und
daraus folgt schon mal, daß ap nur zwischen dem Maximum und
Minimum hin und herpendeln sollte, also nur die Werte +/-
ap_max annehmen sollte.
Jetzt werden vermutlich eine ganze Reihe Fallunterscheidungen
fällig.
Also man fährt mit ap_max los. Hält diesen Wert so lange, bis
a=a_max ist. Dann muß man ap auf Null setzen. So geht es so
lange weiter, bis v==v_max/2 ist - man braucht ja auch noch
Zeit, sich Ruckfrei an die Maximalgeschwindigkeit anzunähern.
Dann also geht's mit ap=-ap_max weiter und zwar genau so
lange, wie in der ersten Phase. Dadurch ist am Ende dieser
Phase die Beschleunigung wieder gleich Null. Folglich die
Geschwindigkeit konstant. So sollte jetzt weiter gefahren
werden bis die Hälfte der Strecke geschafft ist. Dann kommt
das Abbremsen, das logischerweise genauso nur mit umgekehrtem
Vorzeichen passiert.
Man muß also 3 Größen bestimmen, was mehr oder weniger einfach
ist: die Zeit zum Auf/abbau der Beschleunigung (die errechnet
sich aus der maximal erlaubten Beschleunigung), die Zeit der
konstanten Beschleunigung (die sich im Zusammenhang mit dem
ersten aus der maximalen Geschwindigkeit ergibt) und die Zeit,
in der mit konstanter Maximalgeschwindigkeit gefahren wird bis
die halbe Strecke zurückgelegt ist - diese Zeit errechnet sich
als einziges aus der tatsächlich zurückzulegenden Strecke.
Man kann also ein festes Beschleunigungsprofil verwenden und
muß nur die Strecke berücksichtigen, die man für diese
Beschleunigung braucht und von der Gesamtstrecke (/2
natürlich) abziehen.
Aber, das funktioniert natürlich nur, wenn die Strecke lang
genaug ist. Ist sie so kurz, daß man zwischendurch gar nicht
bis zur Maximalgeschwindigkeit hochfahren kann, ändert sich
natürlich die Sachlage.
Im Extremfall ist die Strecke so kurz, daß weder die Maximale
Beschleunigung noch die v_max erreicht werden können. Dann
sollte ap einen Verlauf haben, der +ap_max für die Zeit T ist,
dann -ap_max für 2T und wieder +ap_max für T ist. Es bleibt
wieder nur noch T auszurechnen. Hier errechnet sich T aus der
Strecke und es gibt einen kubischen Zusammenhang.
Dazwischen gibt es noch mindestens einen weiteren Fall,
mämlich wenn die Maximale Beschleunigung erreicht werden kann,
nicht jedoch die maximale Geschwindigkeit. In dem Fall hat ap
den Verlauf T1*(ap=ap_max), T2*(ap=0), 2*T1*(ap=-ap_max),
T2*(ap=0) und T1*(ap=ap_max). Hier ist T1 wieder durch das
Verhältnis aus ap_max/a_max vorgegeben (nicht die maximale
Beschleunigung überschreiten) und nur die Größe von T2 hängt
von der Strecke ab. In dem Fall übrigens quadratisch.
Es kann natürlich auch sein, daß die maximale Geschwindigkeit
erreicht wird, ohne daß überhaupt die maximale Beschleunigung
angekratzt werd. In dem Fall würde ich aber von einer
ungeschickten Wahl der Begrenzungen sprechen, z.B. ist dann
die Beschleunigungsrampe zu flach gewählt also ap_max zu klein.
Tcha, und jetzt müßte man mit Zettel und Bleistift sich doch
schon mal so einiges berechnen können.
Vieleicht hat's geholfen und sowieso alles ohne Garantie.
CU Rollo
david peter
Hallo Rollo
Du hast das Problem gut verstanden und zusammengefasst. Es gibt
tatsächlich sehr viele Fallunterscheidungen. Nur ein kleiner Punkt ist
etwas anders: Die maximale Verzögerung (amin) ist in meinem Fall nicht
gleich der maximalen Beschleunigung (amax). Somit funktioniert die
Idee nicht mehr bei s/2 das Beschleunigsprofil umzukehren. Lösbar ist
das aber trotzdem. Wo ich dann aber wirklich hängen geblieben bin ist
der Fall, wo vmax nicht erreicht wird und amax schon aber amin nicht.
Dabei bin ich auf eine biquadratische Gleichung für v gestossen, die
nur extrem unelegant gelöst werden kann (der Rechenaufwand wird immens
und ich will das in einem Prozessor realtime berechnen).
Vielleicht gibt es da einfachere Lösungen.
Deine Gedankengänge haben mich aber ermutigt das ganze nochmals
anzugehen.
David
Michael Kauffmann
> bin ich auf eine biquadratische Gleichung für v gestossen, die nur
> extrem unelegant gelöst werden kann (der Rechenaufwand wird immens
Biquadratische Gleichungen lassen sich doch durch zweimaliges Lösen einer
quadratischen lösen, wie der Name schon andeutet!?
Michael Kauffmann
Roland Damm
david peter hat geschrieben:
> amin nicht. Dabei bin ich auf eine biquadratische Gleichung
> für v gestossen, die nur extrem unelegant gelöst werden kann
> (der Rechenaufwand wird immens und ich will das in einem
> Prozessor realtime berechnen). Vielleicht gibt es da
> einfachere Lösungen. Deine Gedankengänge haben mich aber
> ermutigt das ganze nochmals anzugehen.
Du brauchst eine Lösung die sich in einem vermutlich kleinen
Rechner in Echtzeit realisieren lässt,.. hmm. Wie wäre es mit
einem ganz anderen Ansatz. Vieleicht brauchst du ja gar keine
optimale Lösung.
Ich denke da gerade an eine beschleunigte Fahrt, bei der die
Geschwindigkeit proportional zum Weg ist. Das läuft dann
darauf hinaus, daß s(t) = e^(t/T) ist. Und das ist Ruckfrei.
Vieleicht kann man ja daraus eine Lösung zusammen basteln.
könnte den Vorteil haben, daß es weniger Fallunterscheidungen
braucht. Und eine Geschwindigkeit aus dem Weg direkt zu
berechnen ist ja im Anwendungsfall vermutlich nicht so schwer.
CU Rollo
--
Hier entsteht in Kürze eine neue Sig-Präsenz.
david peter
unbedingt eine lineare Rampe bei der Beschleunigung. Und mit diesem
Ansatz wäre dann die Beschleunigungsrampe auch eine e-Funktion.
Allerdings bleiben die Begrenzungen amax, amin und vmax bestehen und
die generieren die vielen Fallunterscheidungen. Gibt es dazu
vielleicht gescheite Literatur?
David
david peter
Zum lösen der biquadratischen Gleichung habe ich folgende coole Seite
entdeckt:
http://home.t-online.de/home/arndt.bruenner/mathe/scripts/polynome.htm
Die Lösung wird zwar numerisch berechnet, der Lösungsweg wird aber
detailliert angegeben.
David
Michael Kauffmann
> "Michael Kauffmann" <ne...@koben.de> wrote
>> david peter verlautbarte:
>>
>> > bin ich auf eine biquadratische Gleichung für v gestossen, die nur
>> > extrem unelegant gelöst werden kann (der Rechenaufwand wird immens
>>
>> Biquadratische Gleichungen lassen sich doch durch zweimaliges Lösen einer
>> quadratischen lösen, wie der Name schon andeutet!?
>
> entdeckt:
Kann es sein, daß Du eine Gleichung vom Grad 4 meinst, mit x oder x^3 drin?
Unter einer biquadratischen verstehe ich (und mindestens mein Mathelehrer)
eine, die nur x^2 und x^4 enthält und als quadratische zu lösen ist.
Michael Kauffmann
Roland Damm
david peter hat geschrieben:
> Die Idee mit der nichtoptimalen Lösung ist gut. Ich brauche
Ist nicht diese Positionierungsangelegenheit das eine und
einzige Beispiel für die Existenzberechtigung von Fuzzy-Logik?
Ich meine schon mal von recht guten Lösungen gehört zu haben,
die genau so funktionierten. Der Vorteil von Fuzzy ist wohl,
daß es einfach zu rechnen ist. Begrenzungen lassen sich auch
einfach einbauen. Das Ganze mutiert dann von einer
Steuerungsaufgabe etwas zu einem Regelkreis, aber wieso nicht.
Das macht das System dann gleich auch noch
Störungs-unanfällig. Ist z.B. auch interessant, wenn sich das
Ziel der Fahrt ändert, bevor der Wagen zum Stillstand kommt.
david peter
> david peter verlautbarte:
>
> Kann es sein, daß Du eine Gleichung vom Grad 4 meinst, mit x oder x^3 drin?
> Unter einer biquadratischen verstehe ich (und mindestens mein Mathelehrer)
> eine, die nur x^2 und x^4 enthält und als quadratische zu lösen ist.
>
> Michael Kauffmann
Ja, ja genau es hat auch x^3 drin. Die Gleichung lässt sich aber doch
einfacher lösen als ich zuerst gedacht habe:
für den Fall dass vmax und amin nicht erreicht werden, amax aber
erreicht wird gilt: (s für Zielposition und x=sqr(vm);vm ist dann die
max Geschw., die erreicht wird)
x^4 + 2*amin/sqr(ap)*x^3 + amin^2/ap*x^2 - 2*s*amin = 0
-> x1 = -amin/(2*sqr(ap))+sqr(amin^2/(4*ap)+sqr(2*s*amin))
David
david peter
Einstieg in dieses Thema?
David
Mathias Schulz
> Ich suche die Berechnungsformel pos(t), wie man auf ein vorgegebenes
> Ziel ruckfrei ...
Normierte Bewegungsgesetze (u.a. für Bewegung von Rast in Rast) stehen in
der VDI-Richtlinie 2143.
einige Möglichkeiten der Realisierung:
a) direkte online-Berechnung
b) normierte Werte berechnen, in Tabelle hinterlegen und je nach Verfahrweg
skalieren
c) skalierte Werte berechnen und in Tabelle hinterlegen
Gruß
Mathias