negative Gruppenlaufzeiten

[Robert Cerny]

Liebe NG

Ich habe ein kleines Problem mit der Grösse der Gruppenlaufzeit. Per
Definition ist T_gr die negative Ableitung des Phasenganges nach der
Frequenz (w).

T_gr=-d/dw phi(jw)

Nun habe ich mir einige Filter angeschaut und Phasengänge gefunden,
welche eine positive Ableitung aufweisen, sprich eine negative
Gruppenlaufzeit.

Bsp:

G(s)=w1/w2 * (s+w2)/(s+w1)

A(jw)
Ś
Ś
Ś
0dBŚ--------------
Ś \
Ś \
Ś ---------------------

phi(jw)
Ś
Ś
Ś
0 Ś------------ --------------------
Ś \ /
Ś \___/
Ś

Nun haben wir den Salat, bzw. die pos. Ableitung.

Ich habe mir fogendes überlegt:

- Entweder besitz dieses Filter prädiktive eigenschaften an der Stelle
mit der pos. Ableitung.

- Oder die Definition der Gruppenlaufzeit ist nicht hinreichend.

Vielen Dank für jegliche Infos :-)

[Peter Niklaus]

Robert Cerny schrieb:

>
> Liebe NG
>
> Ich habe ein kleines Problem mit der Grösse der Gruppenlaufzeit. Per
> Definition ist T_gr die negative Ableitung des Phasenganges nach der
> Frequenz (w).
>
> T_gr=-d/dw phi(jw)
>
> Nun habe ich mir einige Filter angeschaut und Phasengänge gefunden,
> welche eine positive Ableitung aufweisen, sprich eine negative
> Gruppenlaufzeit.
>
> Bsp:
>
> G(s)=w1/w2 * (s+w2)/(s+w1)
>
> A(jw)

> ¦
> ¦
> ¦
> 0dB¦--------------
> ¦ \
> ¦ \
> ¦ ---------------------
>
> phi(jw)
> ¦
> ¦
> ¦
> 0 ¦------------ --------------------
> ¦ \ /
> ¦ \___/
> ¦

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> Nun haben wir den Salat, bzw. die pos. Ableitung.
>
> Ich habe mir fogendes überlegt:
>
> - Entweder besitz dieses Filter prädiktive eigenschaften an der Stelle
> mit der pos. Ableitung.
>
> - Oder die Definition der Gruppenlaufzeit ist nicht hinreichend.
>
> Vielen Dank für jegliche Infos :-)

Hallo Robert

Du machst dir Gedanken über ein "altes Problem", welches mich auch schon
beschäftigt hat. Es gibt tatsächlich Netzwerke, die über einen grösseren
Frequenzbereich (mehrere Dekaden sind möglich) negative Gruppenlaufzeit
aufweisen. Das ist weiter kein Problem und hat _nichts_ mit Prädiktion
oder Akausalität zu tun, da eben die Gruppenlaufzeit nur für harmonische
Anregung (mit deiner obigen Definition) definiert ist und das
Eingangssignal schon bei t=-infinity eingeschaltet wurde. Legst du einen
Puls (oder Schritt) an das System an, so wird die "Verzögerung" (und
Verformung) des Pulses nicht durch die Gruppenlaufzeit bestimmt
(welche?). Man muss den Puls in harmonische Frequenzkomponenten zerlegen
(Fourierspektrum) und dann jede einzelne Komponente mit der
entsprechenden Gruppenlaufzeit verzögern.
Der Name "Gruppenlaufeit" ist eigentlich schlecht gewählt, weil man das
Gefühl hat, das wäre gerade die Verzögerungszeit eines Pulses (ist es
aber nicht direkt!)
Du kannst mit einer Simulation probieren, wie sich das "System rettet",
wenn man einen Sinus mit einer Frequenz einschaltet, die im Bereich der
neg. Gruppenlaufzeit liegt (habe ich gemacht und wieder etwas gelernt).

Gruss
Peter

[Thomas Rehm]

Peter Niklaus wrote:
> Der Name "Gruppenlaufeit" ist eigentlich schlecht gewählt

Genau. In der Praxis nennt man das daher gerne Gruppenlaufzeit-
Verzerrung, wobei damit die Laufzeiten unterschiedlicher
Frequenzanteile bezogen auf eine (z.B.) mittlere Frequenz
gemeint ist.

Thomas.

[Erk Jensen]

Gute und richtige Antwort! Negative Gruppenlaufzeiten (oder
Gruppengeschwindigkeiten, die negativ oder größer c sind) sind in der Tat nichts
Besonderes im Bereich anomaler Dispersion - siehe etwa J. D. Jackson's
"Classical Electrodynamics", Bild 7.13! Es gibt Leute*), die daraus fälschlich
auf Ausbreitung von Signalen mit Überlichtgeschwindigkeit schließen (was
natürlich der Kausalität widerspricht!). Aber wie Peter schon erklärt hat, ist
die Gruppengeschwindigkeit im Frequenzbereich als eine Ableitung definiert, kann
daher nicht dem gesamten Spektrum Rechnung tragen, insbesondere ist sie nicht
generell die Ausbreitungsgeschwindikeit von Energie/Information!

Ciao
-erk-

*) Einer davon heißt Nimtz, siehe etwa
http://theory.gsi.de/~vanhees/faq/nimtz/nimtz.html