Was ist der Semiversus ?
Frank Sauer
der Funktion "semiversus" bedeutet ?
Mir ist schon klar, daß der Semiversus frueher fuer die Berechnung von
astronomischen Groessen verwendet wurde, doch leider findet man heute
nicht mehr viel Literatur ueber dieses Verfahren.
Mich interessiert insbesondere, was ist der Semiversus eines Winkels
mathematisch gesehen?
Gehen Logaritmus oder trigonometrische Funktionen in seine Berechnung
ein ?
Hat jemand Literaturtips ?
Servus - Frank
RaineR Beck
>
> Weiss einer von den klugen Astronomen, was die mathematische Bedeutung
> der Funktion "semiversus" bedeutet ?
sem(alpha) := (sin( alpha/2 ) )**2 ("hoch zwei")
> Mir ist schon klar, daß der Semiversus frueher fuer die Berechnung von
> astronomischen Groessen verwendet wurde, doch leider findet man heute
> nicht mehr viel Literatur ueber dieses Verfahren.
>
> Mich interessiert insbesondere, was ist der Semiversus eines Winkels
> mathematisch gesehen?
siehe oben
> Gehen Logaritmus oder trigonometrische Funktionen in seine Berechnung
> ein ?
siehe oben
>
> Hat jemand Literaturtips ?
z,B.: Walter Stein, Astronomische Navigation,
erschienen bei Klasing, enthält u.a. das
Semiversus-verfahren
(weis nicht ob es das Buch noch gibt)
Ein Gruß von
RaineR
--
RaineR Beck 06103/26261
Weserstrasse 11 rb...@stud.uni-frankfurt.de
63225 Langen
Frank Sauer
RaineR Beck schrieb in Nachricht
<36CDF5...@stud.uni-frankfurt.de>...
> sem(alpha) := (sin( alpha/2 ) )**2 ("hoch zwei")
Danke !!!
Woher kommt dann der Name "Semiversus"
SEMI hat sicherlich etwas damit zu tun, daß der Winkel zunächst durch 2
dividiert werden muß.
Aber VERSUS ??
Ich kann in dieser Funktion nichts entdecken, was auf VERSUS hinweisen
könnte
(wenn ich die lateinische Interpretation "Gegen..." betrachte)
> Z:B.: Walter Stein, Astronomische Navigation,
> erschienen bei Klasing, enthält u.a. das
> Semiversus-verfahren
> (weis nicht ob es das Buch noch gibt)
Ich kenne das Buch von Stein/Kumm "Astronomische Navigation" aus der
Reihe der Yacht-Buecherei, das allerdings nicht auf dieses Thema
eingeht - zumindest nicht in der zehnten Auflage von 1997.
Ich muss also weitersuchen nach den Buechern aelteren Baujahrs.
Frank
Ulrike Scharfenberger
sem(w) = ( sin(w/2) )^2
also das Quadrat des Sinus des halben Winkels.
Semiversus statt der gebräuchlicheren trigonometrischen Funktionen zu
verwenden, hatte den Vorteil, daß die Tafelwerke etwas kleiner waren.
Gruß
FHA
Frank Sauer schrieb:
> Weiss einer von den klugen Astronomen, was die mathematische Bedeutung
> der Funktion "semiversus" bedeutet ?
>
> Mir ist schon klar, daß der Semiversus frueher fuer die Berechnung von
> astronomischen Groessen verwendet wurde, doch leider findet man heute
> nicht mehr viel Literatur ueber dieses Verfahren.
>
> Mich interessiert insbesondere, was ist der Semiversus eines Winkels
> mathematisch gesehen?
> Gehen Logaritmus oder trigonometrische Funktionen in seine Berechnung
> ein ?
>
Günter Mayerhöfer
> Weiss einer von den klugen Astronomen, was die mathematische Bedeutung
> der Funktion "semiversus" bedeutet ?
>
> Hat jemand Literaturtips ?
>
> Servus - Frank
Hallo Frank,
ergaenzend zu Rainers Antwort noch:
1. die Verwendung einer so merkwuerdigen Funktion wie sem alpha = (sin
alpha/2)**2 geht zurueck auf die _graue Vorzeit_ (vor etwa 1975), als es
noch keine Taschenrechner mit Winkelfunktionen gab, geschweige denn
programmierbare Taschenrechner.
Mit Hilfe der sem Funktion liess sich die Berechnung der Höhe eines
Gestirns mit Hilfe von _relativ_ wenigen und einfachen Rechenschritten
(Multiplikation, Addition) durchfuehren, womit sie sich fuer die Rechnung
mit Logarithmentafeln geeignet hat:
sem y = sem LHA * cos phi * cos delta
sem z = sem y + sem (phi - delta)
LHA Local Hour Angel, Ortsstundenwinkel
phi Breite des Logggeortes
delta Abweichung des Gestirns
y Rechengroesse
z Zenitdistanz
Hoehe h = 90 - z
Die Logarithmen des Semiversus fanden sich in den NT (Nautischen Tafel) 17
und 18 - Fulst, Nautische Tafeln, Arthur Geist Verlag Bremen.
Bleibt dann nur noch die Berechnung des Azimuts, die gelingt ueber die
drei Abschnitte A, B und C der NT 19....
2. Eine Beschreibung der Rechnung fand sich noch in der 14. Auflage der
"Seemannschaft" (1971), ausserdem in:
Mueller/Krauss: Handbuch fuer die Schiffsfuehrung, 7. Auflage 1970,
Springer-Verlag
sowie kurz in
Boehm Winfried, Handbuch der Navigation, Busse Verlag Herford 1978. In
diesem Buch finden sich bereits Formeln fuer die direkte Berchnung von
Hoehe und Azimut mit Hilfe des "Elektronenrechners"
Bei Interesse kann ich Kopien aus den Buechern versenden.
Herzliche Gruesse
Guenter
*****************************************************************************
Guenter Mayerhoefer e-mail: guenter.m...@gmx.net
RaineR Beck
> Woher kommt dann der Name "Semiversus"
> SEMI hat sicherlich etwas damit zu tun, ...
> Aber VERSUS ??
Eine Erklaerungsmoeglichkeit :
Es gilt ( sin(a/2) )^2 = (1-cos(a))/2
(steht in jeder gescheiten Formelsammlung).
Im "Handbook of Mathematical Functions" vom
Abramowitz/Stegun
findet man folgende Funktionsdefinitionen bzw. zur
Abkuerzung verwendete
Funktionsnamen :
versine(a) = vers(a) = 1 - cos(a)
coversine(a) = covers(a) = 1 - sin(a)
haversine(a) = hav(a) = 0.5 * vers(a)
also ist haversine(a) = hav(a) = (1-cos(a))/2 = (sin(a/2))^2
= sem(a).
Das sind natuerlich die ami-Funktionsnamen, aber man
erkennt,
das "hversine" für "half versine" steht und zu "hav"
abgekuerzt wird
und bei uns halt (lateinisch vornehm, semi=halb) zu
"semiversus" bzw. "sem" .
Mit unserem "versus" ist dasselbe gemeint wie mit dem
amerikanischen
"vers", naemlich die Funktion 1-cos(a), und halbiert man
die, hat man sem(a).
"Semiversus" ist also nichts anderes als die "halbe
Versusfunktion".
Bleibt die Frage, warum man 1-cos(a) als "Versus"funktion
bezeichnet.
Wenn man sich die Funktion cos(a) aufzeichnet, und dazu
eine Gerade,
die im Abstand von 0.5 zur horizontalen Achse verläuft, und
in dasselbe
Koordinatensystem die "Versus"funktion 1-cos(a), dann sieht
man folgendes :
die Funktion 1-cos(a) geht aus der Funktion cos(a) durch
Spiegelung an dieser
Geraden hervor.
Mathematisch folgt das aus 1-cos(45 Grad) = cos(45 Grad) =
0.5 und
1-cos(a) -0.5 = 0.5 - cos(a).
Deutet man nun "versus", "vers" bzw. das amerikanische
Kürzel "vs." als
"gegen" so kann man die aus dieser Spiegelung resultierende
Funktion
1-cos(a) als die "gegen"ueberliegende Funktion bezeichnen,
die sozusagen
auf der anderen Seite des Spiegels liegt: die
"versus"funktion.
Eine etwas andere Deutung :
Diese Spiegelung der Kurve kann man auch als 180
Grad-"Drehung" um die
dann als Rotationsachse aufgefasste eingezeichnete Gerade
deuten, und
der Lateiner kennt versari (sich drehen um), vertere
(wenden) sowie
se vertere bzw. se convertere (sich drehen um), sodass sich
also hinter
"Versus"funktion die "gedrehte" Funktion verbirgt, die um
die genannte
Achse gedrehte Cosinusfunktion.
Wahrscheinlich ist der wahre Ursprung der Bezeichnung eine
Mischung aus
alldem, oder aber, da es frueher keine Fotokopierer und
keine Textverarbeitung
gab und die Kommunikation zwischen Mathematikern mittels
handschriftlicher
Briefe geschah, war u.U. einer der Beteiligten Legastheniker
oder hatte einfach
nur eine fuerchterliche Handschrift oder ein Tintenklecks
kleckste aus dem
Gaensefederekiel und es ist alles nur ein schrecklicher
Zufall, denn eigentlich
stand dort irgendwo
"Aufgabe 180 : Versuchen Sie, die Funktion 1-cos(a)
.......... " ,
und die Tintenkleckse oder die Traenen des verzweifelten
Lesers machten daraus
"Aufgabe 180 : Versu . . . . S . . . . . = . . . . . .
1-cos(a) ......... " .
Das ist jetzt natuerlich nur eine Interpretation von mir.
> > Z:B.: Walter Stein, Astronomische Navigation,
> > erschienen bei Klasing, enthält u.a. das Semiversus-verfahren
>
> Ich kenne das Buch von Stein/Kumm "Astronomische Navigation" aus der
> Reihe der Yacht-Buecherei, das allerdings nicht auf dieses Thema
> eingeht - zumindest nicht in der zehnten Auflage von 1997.
Das ist Band 88 der "Kleinen Yacht Buecherei".
Das Buch das ich meine, ist Band 21 der "Kleinen Yacht
Buecherei" und
ist nur von Walter Stein.
Intelligenterweise sind die Titel identisch, nicht aber der
Inhalt.
Ein Gruss von