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Was kommt als Nächstes? Oder das Elend der Zahlenfolgenfortsetzung! (Oder die Geheimnisse der Folge der Partitionen der natürlichen Zahlen)
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neu...@tuhh.de
Nov 22, 2022, 11:10:00 AM11/22/22
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Es war so lange so still hier:
Was kommt als Nächstes? Oder das Elend der Zahlenfolgenfortsetzung!
(Oder die Geheimnisse der Folge der Partitionen der natürlichen Zahlen)
Ein allg. geliebtes – auch von mir – Zahlenrätsel ist die Fortsetzung von Zahlenreihen - und die angebliche Gesetzmäßigkeit dahinter!
Ich nutze ein Video des „Mathologer“ Burkard Polster, einem deutschen Mathematiker (derzeit in Australien)
The hardest "What comes next?" (Euler's pentagonal formula)
https://youtu.be/iJ8pnCO0nTY
Ich finde diesen YouTube-Chanel „Mathologer“ großartig und habe ihn hier (Google Groups) schon einmal angeführt.
Welche Leistungen stecken hinter dem Aufzeigen (und Beweisen) dieser Strukturen!
Ein dreifach Hoch auf Euler, Ramanujan und wie sie alle heißen.
Man kann jede Zahlenfolge mit „42“ fortsetzen und das ist nicht falsch
– denn es ist ohne weitere Einschränkungen beliebig möglich!
Nett ist es natürlich, wenn sich die Fortsetzung aus einem einfachen Grund ergibt
- die Frage ist dann, was man als einfach (oder auch einfachst) akzeptiert.
Betrachte die Folge 1, 2, 3, 5, ?
Wenn man noch eine 1 davor stellt 1, 1, 2, 3, 5 … drängt sich die Fibonacci-Folge auf 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …
Aber, wenn man von der originär führenden 1 absieht, ist auch (1), 2, 3, 5, 7, 11, 13, … eine einfache Fortsetzung - die Primzahlfolge.
Die nächste Zahl wäre dann die 17, wenn …!? Aber wenn nicht 13, warum dann nicht auch „42“
- „Deep Thought“ hat die 42 jedenfalls als Antwort (auf the “Ultimate Question of Life, the Universe, and Everything”) gegeben.
Aber auch das soll’s nicht sein, jedenfalls dann nicht, wenn man die Folge der Partitionen von N, P(N), meint. Die Anzahl der verschiedenen Darstellungen der Zahl N als ganzzahlige Summe (z.B.: 4= 1+1+1+1= 2+1+1= 2+2= 3+1= 4; P(4)= 5!). Damit ergibt sich
P(N)= 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30, 42, … denn 1= 1; 2= 1+1= 2; 3= 1+1+1= 2+1= 3; …; 5= 1+1+1+1+1= 2+1+1+1= 2+2+1= 3+1+1= 3+2= 4+1= 5 …
Diese Folge ist etwas ganz besonderes, wenn ich auch auf viele theoretische Details aus der Physik, Informatik und Mathematik nicht eingehen will und kann, aber schon die „Rekursionsformel“ hat es in sich:
(1), 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30, 42, 56, 77, 101, 135, 176, 231, …
(1)+1=2; 1+2=3; 2+3=5 oder
3+5-1=7; 5+7-1=11; 7+11-2-1=15; 11+15-3-1=22; 15+22-5-2=30; 22+30-7-3=42; 30+42-11-5=56 oder
42+56 -15-7 +1=77; 56+77 -22-11 +1=101; 77+101 -30-15 +2=135; 101+135 -42-22 +3+1=176; 135+176 -56-30 +5+1=231; …
D.h. die Rekursion bekommt immer neue Terme angehängt, je weiter sie fortschreitet.
+1. +2. -5. -7. +12 +14 -… -… +… +… u.s.w., auch diese Werte bilden wieder eine Folge:
1, 2, 5, 7, 12, 15, … mit der Differenzenfolge
1, 3, 2, 5, 3, … weiter … 7, 4, 9, 5, 11, 6 d.h. mit 1, -, 2, -, 3, -, 4, -, 5, -, 6, … und -, 3, -, 5, -, 7, -, 9, -, 11, …
So daß man die laufenden Rekursionserweiterungen für die Partitionsfolge bis in beliebiger Weite berechnen kann
und damit natürlich auch die Partitionsfolge selbst auch!
Das ist etwas komplizierter, aber wer sagt denn daß es einfach sein muß, wenn die Logik dahinter evident ist! 😉
Aber schon die „Folge der Rekursionserweiterungen“ gibt Anlaß zu weiteren Anmerkungen.
Bezieht man den Folgenindex außerdem bei der Berechnung der Folgenglieder mit Hilfe der Rekursionserweiterungsfolge [*] (für die originäre Partitionsfolge) ein, also rechnet man (an 1. Stelle steht immer der Folgenindex |.|!):
Aus |1| folgt |1|, 1; folgt |2|, 1, (2+1); folgt |3|, 1, 3, (1+3); folgt |4|, 1, 3, 4, (3+4);
|5|, 1, 3, 4, 7, (4+7-5); folgt |6|, 1, 3, 4, 7, 6, (7+6-1);
folgt |7|, 1, 3, 4, 7, 6, 12, (6+12-7-3) folgt |8|, 1, 3, 4, 7, 6, 12, 8, (12+8-1-4)=15; … u.s.w.
Der Clou dieser Folge ist, daß das Folgenglied gleich die Summe der Teiler des Folgenindex ist!
Ein nahezu irrer Zusammenhang zwischen einer Zahl N und der Summe ihrer Teiler TS(N)!
Beispiele: Die Teiler von 2 sind 1 und 2 mit der Summe 1+2=3; 1|4 u. 2|4 u. 4|4 und 1+2+4=7; 1|6 u. 2|6 u. 3|6 u. 6|6 und 1+2+3+6=12
Und, man hat (vom originären [*] einen kleinen Schritt weiter) einen Primzahl-Detektor,
denn da eine Primzahl P nur P u. 1 als Teiler hat, ist N=P genau dann Prim, wenn N+1= TS(N) 😉
Z.B.: 2 Prim, da TS(2)= 3= 2+1; 5 Prim, da TS(5)= 6= 5+1; ebenso TS(7)= 8= 7+1 aber TS(6)= 12 > 7= 6+1 u.s.w.
Wie schick ist das denn!!!
Es gibt noch einen weiteren Zugang zu diesen Ergebnissen:
Die Summe der ersten natürlichen Zahlen 1+2+3+…+n= n(n+1)/2 nennt man auch Dreieckszahlen,
weil sie sich zu einem Dreieck anordnen lassen. Entsprechend nennt man 1, 4, 9, 16, … Quadratzahlen.
Daraus aufbauend, kommt man zu Fünfeckszahlen oder Pentagonalzahlen (Fünfeckszahl – Wikipedia): (0,) 1, 5, 12, 22, …
Als Summe der Punkte ineinander geschachtelter 5-Ecke, mit der Summenformel n(3n-1)/2.
Und, setzt man negative Werte in diese Formel ein, -1, -2, -3, … , erhält man: 2, 7, 15, …
Zusammen, also für (0,) 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4… folgt: (0,) 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22 erhält man wieder
die laufenden Rekursionserweiterungen für die Partitionsfolge und damit natürlich auch die Partitionsfolge selbst
und auch das Weitere.
Bildung der Folge der Summe der Teiler: 1, 3, 4, 7, 6, 12, 8, …
1, 1 2, 1, 3 3, 1, 3, 4 4, 1, 3, 4, 7 5, 1, 3, 4, 7, 6 6, 1, 3, 4, 7, 6, 12 7, 1, 3, 4, 7, 6, 12, 8 …
+ ^ + + ^ + + ^ + + ^ - + + ^ - + + ^ - - + + ^
1 2 1 2 1 2 1 5 2 1 5 2 1 7 5 2 1
Bildung der Folge der Anzahl der Partitionen: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, …
1, 1 1, 1, 2 1, 1, 2, 3 1, 1, 2, 3, 5 1, 1, 2, 3, 5, 7 1, 1, 2, 3, 5, 7, 11 1, 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15 …
+ ^ + + ^ + + ^ + + ^ - + + ^ - + + ^ - - + + ^
1 2 1 2 1 2 1 5 2 1 5 2 1 7 5 2 1
Ich hielt die Formel 0= 1-exp(n*2Pi*i) immer für ein Zeichen der Schönheit der Mathematik, weil sie
die mathematischen Größen 0, 1, 2, n, e, Pi und i zu einer wahren Aussage verbindet. Aber
welch‘ eine Macht zeigt sich hier wieder, versteckt hinter den Gebilden geometrischer Formen, Algorithmen und Zahlenfolgen!
Um eine Idee für „woher kommt das“ oder „wie laßt sich das beweisen“ zu bekommen, verweise ich auf besagtes Video (siehe Oben).
Ich denke bis hier reicht’s auch erstmal, und wer mag, siehe dort mehr!
Viele Grüße
Siggi N.
Was kommt als Nächstes? Oder das Elend der Zahlenfolgenfortsetzung!
(Oder die Geheimnisse der Folge der Partitionen der natürlichen Zahlen)
Ein allg. geliebtes – auch von mir – Zahlenrätsel ist die Fortsetzung von Zahlenreihen - und die angebliche Gesetzmäßigkeit dahinter!
Ich nutze ein Video des „Mathologer“ Burkard Polster, einem deutschen Mathematiker (derzeit in Australien)
The hardest "What comes next?" (Euler's pentagonal formula)
https://youtu.be/iJ8pnCO0nTY
Ich finde diesen YouTube-Chanel „Mathologer“ großartig und habe ihn hier (Google Groups) schon einmal angeführt.
Welche Leistungen stecken hinter dem Aufzeigen (und Beweisen) dieser Strukturen!
Ein dreifach Hoch auf Euler, Ramanujan und wie sie alle heißen.
Man kann jede Zahlenfolge mit „42“ fortsetzen und das ist nicht falsch
– denn es ist ohne weitere Einschränkungen beliebig möglich!
Nett ist es natürlich, wenn sich die Fortsetzung aus einem einfachen Grund ergibt
- die Frage ist dann, was man als einfach (oder auch einfachst) akzeptiert.
Betrachte die Folge 1, 2, 3, 5, ?
Wenn man noch eine 1 davor stellt 1, 1, 2, 3, 5 … drängt sich die Fibonacci-Folge auf 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …
Aber, wenn man von der originär führenden 1 absieht, ist auch (1), 2, 3, 5, 7, 11, 13, … eine einfache Fortsetzung - die Primzahlfolge.
Die nächste Zahl wäre dann die 17, wenn …!? Aber wenn nicht 13, warum dann nicht auch „42“
- „Deep Thought“ hat die 42 jedenfalls als Antwort (auf the “Ultimate Question of Life, the Universe, and Everything”) gegeben.
Aber auch das soll’s nicht sein, jedenfalls dann nicht, wenn man die Folge der Partitionen von N, P(N), meint. Die Anzahl der verschiedenen Darstellungen der Zahl N als ganzzahlige Summe (z.B.: 4= 1+1+1+1= 2+1+1= 2+2= 3+1= 4; P(4)= 5!). Damit ergibt sich
P(N)= 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30, 42, … denn 1= 1; 2= 1+1= 2; 3= 1+1+1= 2+1= 3; …; 5= 1+1+1+1+1= 2+1+1+1= 2+2+1= 3+1+1= 3+2= 4+1= 5 …
Diese Folge ist etwas ganz besonderes, wenn ich auch auf viele theoretische Details aus der Physik, Informatik und Mathematik nicht eingehen will und kann, aber schon die „Rekursionsformel“ hat es in sich:
(1), 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30, 42, 56, 77, 101, 135, 176, 231, …
(1)+1=2; 1+2=3; 2+3=5 oder
3+5-1=7; 5+7-1=11; 7+11-2-1=15; 11+15-3-1=22; 15+22-5-2=30; 22+30-7-3=42; 30+42-11-5=56 oder
42+56 -15-7 +1=77; 56+77 -22-11 +1=101; 77+101 -30-15 +2=135; 101+135 -42-22 +3+1=176; 135+176 -56-30 +5+1=231; …
D.h. die Rekursion bekommt immer neue Terme angehängt, je weiter sie fortschreitet.
+1. +2. -5. -7. +12 +14 -… -… +… +… u.s.w., auch diese Werte bilden wieder eine Folge:
1, 2, 5, 7, 12, 15, … mit der Differenzenfolge
1, 3, 2, 5, 3, … weiter … 7, 4, 9, 5, 11, 6 d.h. mit 1, -, 2, -, 3, -, 4, -, 5, -, 6, … und -, 3, -, 5, -, 7, -, 9, -, 11, …
So daß man die laufenden Rekursionserweiterungen für die Partitionsfolge bis in beliebiger Weite berechnen kann
und damit natürlich auch die Partitionsfolge selbst auch!
Das ist etwas komplizierter, aber wer sagt denn daß es einfach sein muß, wenn die Logik dahinter evident ist! 😉
Aber schon die „Folge der Rekursionserweiterungen“ gibt Anlaß zu weiteren Anmerkungen.
Bezieht man den Folgenindex außerdem bei der Berechnung der Folgenglieder mit Hilfe der Rekursionserweiterungsfolge [*] (für die originäre Partitionsfolge) ein, also rechnet man (an 1. Stelle steht immer der Folgenindex |.|!):
Aus |1| folgt |1|, 1; folgt |2|, 1, (2+1); folgt |3|, 1, 3, (1+3); folgt |4|, 1, 3, 4, (3+4);
|5|, 1, 3, 4, 7, (4+7-5); folgt |6|, 1, 3, 4, 7, 6, (7+6-1);
folgt |7|, 1, 3, 4, 7, 6, 12, (6+12-7-3) folgt |8|, 1, 3, 4, 7, 6, 12, 8, (12+8-1-4)=15; … u.s.w.
Der Clou dieser Folge ist, daß das Folgenglied gleich die Summe der Teiler des Folgenindex ist!
Ein nahezu irrer Zusammenhang zwischen einer Zahl N und der Summe ihrer Teiler TS(N)!
Beispiele: Die Teiler von 2 sind 1 und 2 mit der Summe 1+2=3; 1|4 u. 2|4 u. 4|4 und 1+2+4=7; 1|6 u. 2|6 u. 3|6 u. 6|6 und 1+2+3+6=12
Und, man hat (vom originären [*] einen kleinen Schritt weiter) einen Primzahl-Detektor,
denn da eine Primzahl P nur P u. 1 als Teiler hat, ist N=P genau dann Prim, wenn N+1= TS(N) 😉
Z.B.: 2 Prim, da TS(2)= 3= 2+1; 5 Prim, da TS(5)= 6= 5+1; ebenso TS(7)= 8= 7+1 aber TS(6)= 12 > 7= 6+1 u.s.w.
Wie schick ist das denn!!!
Es gibt noch einen weiteren Zugang zu diesen Ergebnissen:
Die Summe der ersten natürlichen Zahlen 1+2+3+…+n= n(n+1)/2 nennt man auch Dreieckszahlen,
weil sie sich zu einem Dreieck anordnen lassen. Entsprechend nennt man 1, 4, 9, 16, … Quadratzahlen.
Daraus aufbauend, kommt man zu Fünfeckszahlen oder Pentagonalzahlen (Fünfeckszahl – Wikipedia): (0,) 1, 5, 12, 22, …
Als Summe der Punkte ineinander geschachtelter 5-Ecke, mit der Summenformel n(3n-1)/2.
Und, setzt man negative Werte in diese Formel ein, -1, -2, -3, … , erhält man: 2, 7, 15, …
Zusammen, also für (0,) 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4… folgt: (0,) 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22 erhält man wieder
die laufenden Rekursionserweiterungen für die Partitionsfolge und damit natürlich auch die Partitionsfolge selbst
und auch das Weitere.
Bildung der Folge der Summe der Teiler: 1, 3, 4, 7, 6, 12, 8, …
1, 1 2, 1, 3 3, 1, 3, 4 4, 1, 3, 4, 7 5, 1, 3, 4, 7, 6 6, 1, 3, 4, 7, 6, 12 7, 1, 3, 4, 7, 6, 12, 8 …
+ ^ + + ^ + + ^ + + ^ - + + ^ - + + ^ - - + + ^
1 2 1 2 1 2 1 5 2 1 5 2 1 7 5 2 1
Bildung der Folge der Anzahl der Partitionen: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, …
1, 1 1, 1, 2 1, 1, 2, 3 1, 1, 2, 3, 5 1, 1, 2, 3, 5, 7 1, 1, 2, 3, 5, 7, 11 1, 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15 …
+ ^ + + ^ + + ^ + + ^ - + + ^ - + + ^ - - + + ^
1 2 1 2 1 2 1 5 2 1 5 2 1 7 5 2 1
Ich hielt die Formel 0= 1-exp(n*2Pi*i) immer für ein Zeichen der Schönheit der Mathematik, weil sie
die mathematischen Größen 0, 1, 2, n, e, Pi und i zu einer wahren Aussage verbindet. Aber
welch‘ eine Macht zeigt sich hier wieder, versteckt hinter den Gebilden geometrischer Formen, Algorithmen und Zahlenfolgen!
Um eine Idee für „woher kommt das“ oder „wie laßt sich das beweisen“ zu bekommen, verweise ich auf besagtes Video (siehe Oben).
Ich denke bis hier reicht’s auch erstmal, und wer mag, siehe dort mehr!
Viele Grüße
Siggi N.
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