Denksportaufgabe
Helmut Blass
ich tüftele zur Zeit an folgender Denksportaufgabe:
ein Seil ist straff um den Äquator gespannt. Der
Einfachheit halber kann man annehmen, daß die Erde
eine glatte Kugel sei mit einem Radius von 6378,5 km.
Man verlängere nun das Seil um einen (!) Meter und stelle
einen Stab zwischen Erde und Seil, so daß das Seil
wieder straff gespannt ist.
Preisfrage: wie lang ist der Stab?
Der Autor gibt eine Lösung an, die mir viel zu hoch
erscheint, ich selbst habe eine wesentlich geringere
Stabhöhe errechnet.
Jetzt würde mich mal interessieren, was die hellsten
Köpfe der Nation da rausbekommen....
Gruss, Helmut
Alfred Flaßhaar
Helmut Blass schrieb:
>
> Hallo,
> ich tüftele zur Zeit an folgender Denksportaufgabe:
> ein Seil ist straff um den Äquator gespannt. Der
> Einfachheit halber kann man annehmen, daß die Erde
> eine glatte Kugel sei mit einem Radius von 6378,5 km.
> Man verlängere nun das Seil um einen (!) Meter und stelle
> einen Stab zwischen Erde und Seil, so daß das Seil
> wieder straff gespannt ist.
> Preisfrage: wie lang ist der Stab?
(...)
Habe leider nur für einen Lösungsversuch die Zeit:
Sei U0=2*pi*r der Umfang, r der Erdradius, und U=2*pi*r+1
der Umfang nach Verlängerung. Wenn das Seil dehnsteif und
masselos ist, dann setzt sich U aus zwei
Tangentenabschnitten t und einem Bogen b zusammen. Beides
kann durch den Zentriewinkel alf zu den Tangentenpunkten
beschrieben werden. Damit
b=((2*pi-alf)/2*pi)*2*pi*r
t=r*tan(alf/2)
Aus U=2*t+b ist dann alf zu berechnen, eine unhandliche
Gleichung. Die Stablänge ergibt sich dann mit Hilfe alf auf
einfache Weise.
Gruß, Alfred
Stefan
"Helmut Blass" <helmut...@tweb.de> schrieb
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Nach einem Schnellschuss ca. 514 km...
Alfred Flaßhaar
Stefan schrieb:
(...)
> Nach einem Schnellschuss ca. 514 km...
Glaube ich nicht. Habe zwar keinen hellen Kopf, sondern eher
eine lichte Frisur, aber derive sagt ca. 3,086 m bei einem
Zentriwinkel von 0,01234...(Bogenmaß). Aber Numerik ist
nicht mein Fall.
Gruß, Alfred
Andreas Hoffmann
"Helmut Blass" <helmut...@tweb.de> schrieb im Newsbeitrag
news:3F1020E9...@tweb.de...
.
Also ich gehe mal davon aus, dass der Stab "oben" steht. Im unteren Teil
folgt das Seil der Kreisbahn. Irgendwo löst es sich dann aus der Kreibahn
und führt tangential zur Spitze des Stabes. Von dort geht es wieder
tangential zur Kreibahn. Das ganze ist symmetrisch zur Verlängerung des
Stabes. Ich betrachte nur die linke Seite. Die Strecke vom Mittelpunkt des
Kreises zum letzten Berührungspunkt des Seiles sei r, die Spitze des Stabes
sei S, der Mittelpunkt des Kreises M, der letzte Berührungspunkt des Seiles
sei B. Das Dreieck SMB hat bei B einen rechten Winkel. Somit kann man die
frei schwebende Länge des Seiles mit berechnen (BS sei a): tan(Winkel bei M,
alpha) = a/r
Die Gesamtlänge des (halben) Seiles ist auch bekannt und sei hier
l=Pi*6378,5 km + 0,5m
Nun gilt:
l=(180-alpha/180)*1/2U_Erde+a
l=(180-alpha/180)*1/2U_Erde+r*tan(alpha)
Diese Gleichung ist leider nicht so einfach aufzulösen. Der Computer verrät
mir, dass alpha ungefähr 0,35365° betragen muss.
Somit hat der Stab eine Länge von: s = r/cos(alpha) - radius(Erde) = 121,5
Meter
Ich hoffe, das stimmt...
Andreas
Andreas Hoffmann
"Alfred Flaßhaar" <BueroFl...@t-online.de> schrieb im Newsbeitrag
news:bepg1o$7qane$1...@ID-165483.news.uni-berlin.de...
Also den Winkel habe ich auch raus. Aber bei der Länge komme ich auf 121,5m
(siehe mein Posting):
Stablänge = Erdradius/cos(1/2*alpha) - Erdradius
= 6378500/cos(0,0061724) - 6378500 = 121,5 m
Andreas
Siegfried Neubert
Andreas Hoffmann <news3.2...@spamgourmet.com> schrieb in im Newsbeitrag: bephri$cfe$1...@news.eusc.inter.net...
Ich habe Deine Rechnung nicht nachfolzogen,
aber ein Meter Seilverlängerung soll 121,5 Meter Stab liefern!?
Könnten da ein paar Rundungsfehler eine Rolle spielen!?
Gruß Siggi
Reiner Rueckwald
Alfred, ich bin mit (fast) allem einverstanden. Fuer die Bogenlänge
wuerde ich aber stattdessen ansetzen:
b = (2*pi-alf)*r ,
so dass sich als verlaengerter Umfang ergibt:
U = 2*(pi-alf/2)*r + 2*t
= 2*pi*r + 2*(t-r*alf/2)
= 2*pi*r + 2*r*(tan(alf/2)-alf/2)
Damit ergibt sich als Bestimmungsgleichung für alf:
dU = 1 m = 2*(6378500 m)*(tan(alf/2) - alf/2)
Mit dem blossen Taschenrechner bewaffnet, schiesst man als Loesung
dieser transzendenten Gleichung:
alf/2 ~ 6,1724184428 * 10^(-3)
Die Hoehe h des Stabes ermittelt man am besten ueber den Cosinus:
cos(alf/2) = r/(r+h) ,
d.h.:
h = r*(1/cos(alf/2) - 1) ~ 121,5 m
Gruss, Reiner
Otto Roeschke
"Siegfried Neubert"
> > > Hallo,
> > > ich tüftele zur Zeit an folgender Denksportaufgabe:
> > > ein Seil ist straff um den Äquator gespannt. Der
> > > Einfachheit halber kann man annehmen, daß die Erde
> > > eine glatte Kugel sei mit einem Radius von 6378,5 km.
> > > Man verlängere nun das Seil um einen (!) Meter und stelle
> > > einen Stab zwischen Erde und Seil, so daß das Seil
> > > wieder straff gespannt ist.
> > > Preisfrage: wie lang ist der Stab?
> > > Der Autor gibt eine Lösung an, die mir viel zu hoch
> > > erscheint, ich selbst habe eine wesentlich geringere
> > > Stabhöhe errechnet.
> > > Jetzt würde mich mal interessieren, was die hellsten
> > > Köpfe der Nation da rausbekommen....
Die Formel für den Kreisumfang ist, wenn nicht bekannt, in jeder
simplen Formelsammlung nachzuschlagen.
Außer U und r kommen da keine Variablen vor. Pi ist,
auf zwei Kommastellen gerundet, bekannt.
Die Formel auf r umstellen, schon lässt sich das Ergebnis
mit Grundschulrechnen finden.
(Was sollen da irgendwelche Winkel?)
Gruß
Otto
- -
Beträchtlich weniger als 1m. :-)
Andreas Hoffmann
"Otto Roeschke" <52003038...@t-online.de> schrieb im Newsbeitrag
news:bepkmb$6uq$03$1...@news.t-online.com...
Kann es sein, dass Du davon ausgehst, dass das Seil danach noch kreisförmig
laufen soll (überall der gleiche Abstand zwischen Seil und Erde)?
Es soll aber ein Stab so drunter gestellt werden, dass gerade keine
Kreisform mehr entsteht.
Andreas
Andreas Hoffmann
"Siegfried Neubert" <neu...@hansenet.de> schrieb im Newsbeitrag
news:bepjj1$7ghqp$1...@ID-137637.news.uni-berlin.de...
> aber ein Meter Seilverlängerung soll 121,5 Meter Stab liefern!?
> Könnten da ein paar Rundungsfehler eine Rolle spielen!?
Die Rechnung habe ich komplett von Excel machen lassen (was besseres habe
ich hier nicht).
Der Trick ist, dass die Erde so groß ist.
Stell Dir das mal mit einem gerade gespannten Seil vor (ohne die Erde,
sondern einfach nur gerade).
Die Seillänge vorher sei l, die Stablänge s
Dann ist s^2 + l/2^2 = (l/2+0,5)^2 (Pythagoras)
Das ganze für verschiedene l:
l=1m -> s=0,87m
l=10m -> s=2,29m
l=100m -> s=7,08m
l=100km -> s=223m
l=1000km -> s=700m
l=6378,5km -> s=1786m
Wenn ich mir das so anschaue, würde ich eher vermuten, dass ein Kommafehler
in der anderen Richtung vorliegt ;-)
Andreas
Jürgen Press
Hallo,
Ich habe keine Ahnung wie die Anderen auf Ihre Formeln kommen, aber...
x = Stablänge
r = Radius
Umfang = 2*pi*r
2*pi*r+1 m= 2*pi*(r+x)
1 m = 2*pi*(r+x)-2*pi*r
1 m = 2*pi*x
x= 1 m /(2*pi) = 0.16 m
Das erstaunliche dabei ist, dass es egal ist, ob Du ein Seil um einen
Fußball oder um die Erde wickelst. Verlängerst Du das Seil um 1m, erhöht
sich der Abstand immer um ca.16 cm.
Gruß
Jürgen
Otto Roeschke
"Andreas Hoffmann" schrieb:
> Kann es sein, dass Du davon ausgehst, dass das Seil danach noch
kreisförmig
> laufen soll (überall der gleiche Abstand zwischen Seil und Erde)?
> Es soll aber ein Stab so drunter gestellt werden, dass gerade keine
> Kreisform mehr entsteht.
Jo, hatt' ich. An die andere Möglichkeit, die dem
Text zufolge auch gegeben scheint, hatte ich
gar nicht gedacht. :-(
Gruß
Otto
Reiner Rueckwald
PISA laesst gruessen. Lies bitte noch mal die Aufgabenstellung!
Es ist von EINEM Stab die Rede und NICHT von unendlich vielen, die
aneinandergereiht um den Aequator stehen und somit quasi den
Erdradius vergroessern.
Reiner Rueckwald
Andreas Hoffmann
> Fußball oder um die Erde wickelst. Verlängerst Du das Seil um 1m, erhöht
> sich der Abstand immer um ca.16 cm.
Du hast ein ganz anderes Rätsel gelöst, das nicht weniger erstaunlich ist.
Aber es ist halt ein anderes Rätsel ;-)
Hier geht es darum, dass der Abstand eben nicht überall gleich ist, sondern
dass das Seil an einer Stelle so hoch wie möglich über den Erdboden gehoben
wird.
Andreas
Jürgen Press
"Andreas Hoffmann" <news3.2...@spamgourmet.com> schrieb
Das mit "...so daß das Seil wieder straff gespannt ist." habe ich
übersehen. Dies kommt daher, dass die Aufgabe die ich gelöst habe
wirklich eine alter Hut ist und ich keine neue Variation erwartet habe.
Allerdings habe ich die Vermutung, dass diese neue Variation durch eine
ungenaue Wiedergabe der Originalaufgabe ist. Vielleicht kann Helmut
Blass das Ergebnis des Authors posten, dann wissen wir was gelöst werden
sollte :-).
Gruß
Jürgen
Helmut Blass
Reiner Rueckwald schrieb:
> Die Hoehe h des Stabes ermittelt man am besten ueber den Cosinus:
>
> cos(alf/2) = r/(r+h) ,
>
> d.h.:
>
> h = r*(1/cos(alf/2) - 1) ~ 121,5 m
>
Das ist auch die Lösung des Autors.
Aber überleg mal: wenn man den zusätzlichen Meter in einer
Art Schlaufe konzentrieren würde, wäre diese Schlaufe gerade
mal 0,5 m hoch!!! Und daraus sollen dann 121 m werden???
HB
Arnold Schiller
Wenn du das Seil um einen Meter verlängerst, dann hast du schätzungsweise
so einen einundreissigzentimeter grossen Spalt zwischen der Kugel und dem
Seil. Jetzt kannst du als einen Stab von 31 cm auf der Linken Seite
zwischen Seil und Kugel stellen und einen auf der Rechten Seite. Nähmen
wir nun an du stellst einen Stab von 62 cm auf der keinen Stab auf die
andere Seite. . Der Kreis verschiebt sich also um 31 cm in eine Richtung.
Wenn du nun links und rechts vorher einen Stab angeklebt hast dann wirst
du feststellen, das die sich 31 cm von der Mitte der kugel entfernt haben
und nun plötzlich in der Luft schweben. Das Seil ist also mit 62 cm nicht
straff gespannt oder?
Mir scheint zwar 121,5 m fast ein bischen wenig, aber da vertrau ich dann
doch der Mathematik.
Grüsse,
Arnold
Arnold Schiller
>
> Jo, hatt' ich. An die andere Möglichkeit, die dem
> Text zufolge auch gegeben scheint, hatte ich
> gar nicht gedacht. :-(
>
Wieso auch?
"so daß das Seil
wieder straff gespannt ist."
Grüsse,
Arnold
Stefan
"Alfred Flaßhaar" <BueroFl...@t-online.de> schrieb
Hast Recht. Zu schnell geschossen.
Ich liess mich von meiner Skizze dazu verleiten dass die Tangenten
an die Erdkugeln dem Erdradius entsprechen...
Stefan.
Otto Roeschke
"Arnold Schiller" schrieb.
> > Jo, hatt' ich. An die andere Möglichkeit, die dem
> > Text zufolge auch gegeben scheint, hatte ich
> > gar nicht gedacht. :-(
> Wieso auch?
>
> "so daß das Seil
> wieder straff gespannt ist."
Na ja, immerhin hieß es "Seil".
Hätte der OP "Reif" (starr) geschrieben, wäre meine Überlegung
die richtige gewesen.
"Seil" hebt sich aber nun mal nicht rund um den Erdball um den
gleichen Abstand, wie er am Unterstützungspunkt durch den Stab
gegeben ist.
Trotzdem werde ich den Verdacht nicht los, dass der OP
eigentlich auf dasvon mir Angenommene hinaus wollte.
Kann er ja mal hören lassen.
Gruß
Otto
Rainer Rosenthal
Helmut Blass
> Aber überleg mal: wenn man den zusätzlichen Meter in einer
> Art Schlaufe konzentrieren würde, wäre diese Schlaufe gerade
> mal 0,5 m hoch!!! Und daraus sollen dann 121 m werden???
Aber bedenke bitte folgendes:
o------------+--------------o Vorhanden
o--o Einzuflicken
Wenn Du die Enden fixierst und in der Mitte ein Stück
S einflickst, dann hängt die Höhe beim Straffziehen
von der Gesamtlänge ab!
Ist die Gesamtlänge gleich S wie in Deinem Gedanken-
experiment, dann kommst Du tatsächlich nur auf S/2.
(In Deinem Experiment ignorierst Du ja absichtlich
die langen Enden rechts und links!)
Schon wenn das vorhandene Stück gleich gross ist wie
das einzuflickende Stück, siehst Du den Unterschied,
(wenn Du Festbreitenschrift einstellst):
o
vorh. + hinein / \
o-+-o o---o =====> o o
Hier ist die Höhe fast so gross wie das eingeflickte
Stück.
Mit noch ein paar kleinen Beispielen machst Du Dir klar,
dass die erreichte Höhe ganz wesentlich von der Länge
des vorhandenen Stücks abhängt. Und das gibt Dir dann
das Gefühl dafür, dass diese Geschichte superparadox
aber doch eben kein Unsinn ist.
Ich darf dazu bemerken, dass mir diese Aufgabe seit
Jahr und Tag bombastisch gut gefällt. Die Veranschau-
lichung mit dem gleichseitigen Dreieck oben ist mir
gerade eben erst eingefallen und gefällt mir sehr gut.
Ist ein schöner Dosenöffner, um an das "Eingemachte"
zu kommen :-)
Die Tangens-Rechnungen sind dann gut für die exakten
Werte. Was man als Normalbürger aber gerne hätte, ist
ja *Verständnis*. Und da könnte dieser Beitrag hilfreich
sein.
Gruss,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
Rainer Rosenthal
Jürgen Press wrote
> Allerdings habe ich die Vermutung, dass diese
> neue Variation durch eine ungenaue Wiedergabe
> der Originalaufgabe ist. Vielleicht kann Helmut
> Blass das Ergebnis des Authors posten, dann
> wissen wir was gelöst werden sollte :-).
Nein, diese Aufgabe ist die Knaller-Aufgabe, die
nach der schon sehr erstaunlichen ersten Aufgabe
gestellt werden sollte, die Du kennst und für
die einzige in diesem Bereich gehalten hast.
=================================================
Situation 1: Seil wird um 1 m verlängert und
gleichmässig hochgehoben.
Effekt: Höhe ist etwa 16 cm.
(Vermutet wird gemeinhin irgendwas
im Millimeterbereich)
=================================================
In scheinbarer Kontinuität dazu kommt dann die in
diesem Thread behandelte Originalaufgabe:
=================================================
Situation 2: Seil wird um 1 m verlängert und
an einer Stelle straff in die Höhe
gezogen.
Effekt: Höhe ist weit über 100 m.
(Vermutet wird gemeinhin irgendwas
unter 10 m)
=================================================
Für eine Denksport-Gruppe wäre jetzt eigentlich der
Moment gekommen, sich mal eine andere Situation zu
erdenken. Ausrechnen können wir das ja dann immer
noch. Mit etwas Glück kommt da was Paradoxes zustande.
Gruss,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
Alfred Flaßhaar
Reiner Rueckwald schrieb:
(...)
> alf/2 ~ 6,1724184428 * 10^(-3)
>
> Die Hoehe h des Stabes ermittelt man am besten ueber den Cosinus:
>
> cos(alf/2) = r/(r+h) ,
>
> d.h.:
>
> h = r*(1/cos(alf/2) - 1) ~ 121,5 m
(...)
Hast recht, ich habe mit dem Pythagoras gerechnet und dabei
anstelle t^2 nur t eingesetzt. Blöder hastiger Fehler. Die
Lösung 121,5 m wird bestätigt.
Gruß, Alfred
Stefan
"Rainer Rosenthal" <r.ros...@web.de> schrieb
> Für eine Denksport-Gruppe wäre jetzt eigentlich der
> Moment gekommen, sich mal eine andere Situation zu
> erdenken. Ausrechnen können wir das ja dann immer
> noch. Mit etwas Glück kommt da was Paradoxes zustande.
Interessant wäre eine grafische Darstellung Radius/Stablänge.
Ich vermute es ergibt sich eine Kurve ähnlich der Funktion
sqrt(x), was aber relativ "Unparadox" ist.
Stefan.
Helmut Blass
Otto Roeschke schrieb:
> Trotzdem werde ich den Verdacht nicht los, dass der OP
> eigentlich auf dasvon mir Angenommene hinaus wollte.
> Kann er ja mal hören lassen.
Du irrst, als Einziger.
Die Aufgabe war sehr präzise formuliert und wurde
auch von allen anderen verstanden.
Helmut
Otto Roeschke
"Helmut Blass"schrieb:
> > Trotzdem werde ich den Verdacht nicht los, dass der OP
> > eigentlich auf das von mir Angenommene hinaus wollte.
> > Kann er ja mal hören lassen.
> Du irrst, als Einziger.
Nö. Waren zweieinhalb.
Exculpiert mich aber nicht. :-(
Rainer Rosenthal
Stefan wrote
> "Rainer Rosenthal" schrieb
> > Für eine Denksport-Gruppe wäre jetzt eigentlich der
> > Moment gekommen, sich mal eine andere Situation zu
> > erdenken.
> Interessant wäre eine grafische Darstellung Radius/Stablänge.
> Ich vermute es ergibt sich eine Kurve ähnlich der Funktion
> sqrt(x), was aber relativ "Unparadox" ist.
Hallo Stefan,
offenbar hatte ich meinen Vorschlag nicht genau genug
formuliert.
Mit "andere Situation" meinte ich, dass man sich ja mal
nach den beiden Situationen S1 und S2 eine *neue* ausdenken
könne, in der die Erde und ein Seil die Hauptrolle spielen.
Das ist sozusagen ein Meta-Rätsel. Nicht nur ein Meter-Rätsel.
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
Stefan
> Stefan wrote
> > "Rainer Rosenthal" schrieb
> > > Für eine Denksport-Gruppe wäre jetzt eigentlich der
> > > Moment gekommen, sich mal eine andere Situation zu
> > > erdenken.
>
> > Interessant wäre eine grafische Darstellung Radius/Stablänge.
> > Ich vermute es ergibt sich eine Kurve ähnlich der Funktion
> > sqrt(x), was aber relativ "Unparadox" ist.
>
> Hallo Stefan,
>
> offenbar hatte ich meinen Vorschlag nicht genau genug
> formuliert.
Doch, hast du schon, ich dachte nur meine Frage sei hier
am besten aufgehoben...
> Mit "andere Situation" meinte ich, dass man sich ja mal
> nach den beiden Situationen S1 und S2 eine *neue* ausdenken
> könne, in der die Erde und ein Seil die Hauptrolle spielen.
Naja also wir haben den Erdradius, ein Seil und einen Stab.
Die drei verlaengern/verkuerzen bringt 6 Moeglichkeiten, also
nicht gerade viel Spielraum fuer Kreativitaet. Das Seil in
verschiedenartigster Weise zu spannen ist mit der Formel fuer
den Winkel auch weitgehend abgedeckt...
Trotzdem kein Grund zur Entmutigung fuer kreativere Leute.
Stefan.
Martin Wittiger
Rainer Rosenthal schrieb:
> Für eine Denksport-Gruppe wäre jetzt eigentlich der
> Moment gekommen, sich mal eine andere Situation zu
> erdenken. Ausrechnen können wir das ja dann immer
> noch. Mit etwas Glück kommt da was Paradoxes zustande.
Hmm nun ja keine sehr kreative Idee aber immerhin eine Idee.
Auf der kugelrunden Erde mit einem Radius von 6378,5 km stehen zwei 800
m hohe Türme. Wie weit müssen sie auseinander stehen damit ein um a m
verlängertes Seil gerade auch noch um sie herumpasst und straff
anliegt.
Man müsste sich für a einen Wert suchen bei dem ein möglichst
spektakuläres Ergebnis herauskommt. (Hoffentlich gibt es überhaupt
einen!)
Martin
Alfred Flaßhaar
Rainer Rosenthal schrieb:
(...)
> Mit "andere Situation" meinte ich, dass man sich ja mal
> nach den beiden Situationen S1 und S2 eine *neue* ausdenken
> könne, in der die Erde und ein Seil die Hauptrolle spielen.
(...)
Ja, das Seil sollte eine endliche Dehnsteifigkeit und
Massebelegung haben. Zur Vereinfachung darf die
Gravitationskonstante über die Höhe als konstant und die
Massebelegung des Seiles bei Längenänderung als unverändert
angenommen werden. Wie lang ist der Stab, wenn das verformte
Seil im Gleichgewicht ist und welche Längskraft wirkt auf
ihn?
Bitte nicht ;-) übersehen.
Gruß, Alfred
Siegfried Neubert
Komme gerade von der Ostsee zurück
und das Bombenwetter hat mich nicht davon abgehalten
mir dort nochmals über den "Seiltrick" gedanken zu machen ...(s.u.)!
Siegfried Neubert <neu...@hansenet.de> schrieb in im Newsbeitrag: bepjj1$7ghqp$1...@ID-137637.news.uni-berlin.de...
Also, ich habe die Rechnung immer noch nicht nachfolzogen, aber ...
Lokal kann der Globus als flach angesehen werden,
macht man sich dann das "Seildreieck" als Dreieck mit der Basis x klar,
so erhält man für die "Hohe" h:
h = sqrt( ((x+1)/2)^2 -(x/2)^2 ) = sqrt( 2x+1 )/2 oder
z.B. für x=0m --> h=50cm klar!
x=4m --> h=1,5m
x=40m --> h=4,5m
x=312m --> h=12,5m
x=5100m --> h=50,5m
in diesen Bereichen ist der Erde lokal tatsächlich flach, aber für
h=121,5 --> x=((243)^2 -1)/2~29524m
Also, für die angegebene Höhe wäre eine "ebene Basis" x~30km,
da mag die Krümmung der Erde dann eine Rolle spielen
und den weiteren Zuwachs von h begrenzen!
Ich finde die Aufgabe toll,
wieder ein Beispiel
- ähnlich wie beim "Geburtstagsparadoxon" -,
wo die fehlende menschliche Altagserfahrung zu heftigen Fehleinschätzungen führt,
führen kann, bei mir geführt hat!
Ich danke für die Aufgabe - mein Glückwunsch!
Gruß Siggi Neubert
Ein gutes Nächtle aus Hamburg, äh Harburg! ;o)
Arnold Schiller
> Nö. Waren zweieinhalb.
> Exculpiert mich aber nicht. :-(
Also ich bestimmt nicht, ich habe mit Textaufgaben schon immer Probleme
gehabt, dass ist bei mir die Ausnahme, das ich eine Aufgabe richtig
begreife und ich frug, weil ich dachte, dass ich die zweite Möglichkeit
übersehen hätte.
Grüsse,
Arnold
Peter Ikier
"Rainer Rosenthal" <r.ros...@web.de> schrieb:
> Jürgen Press wrote
[Erde-Seil-Rätsel 1+2]
> Für eine Denksport-Gruppe wäre jetzt eigentlich der
> Moment gekommen, sich mal eine andere Situation zu
> erdenken. Ausrechnen können wir das ja dann immer
> noch. Mit etwas Glück kommt da was Paradoxes zustande.
OK, probieren wir mal was ähnliches.
Wie immer: Wers schon kennt, bitte raushalten! 8-)
Wir nehmen jetzt kein Seil, sondern Ziegelsteine.
Die Ziegel sind 30 cm lang, 20 cm breit und 10 cm hoch.
Sie wiegen 10 kg.
Aus diesen Ziegelsteinen wird eine Mauer um den Äquator gebaut,
1 m hoch und 80 cm breit.
Um wieviel wird die Erde dadurch schwerer?
Gruß
pi
--
Früher, wenn man sich keine Namen merken konnte, hieß das
vergeßlich. Inzwischen heißt das Alzheimer. Und wieder muß
man sich einen Namen merken. (Harry Rowohlt)
Ingo Leschnewsky
Peter Ikier schrieb:
[...]
> Um wieviel wird die Erde dadurch schwerer?
Das hängt davon ab, von welcher Firma Du die Ziegelsteine beziehst... ;)
Gruß,
Ingo
Thorsten Glebocki
Interessante Aufgabe. Wie weit sind den die Steine auseinander? Wird Mörtel
verwendet? Also: In der Annahme...
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...daß die Ziegelsteine von der Erde stammen, bleibt's beim alten Gewicht!
Grüße Thorsten
Jochen Ott
nachzuvollziehen, dem hilft vielleicht folgende Skizze, um die
Buchstaben richtig zuzuordnen:
http://moonclan.dyndns.org/~jochen/skizze.jpg
(ist zwar nur eine 128kbit anbindung (T-DSL), aber es sind ja auch nur
8KByte...)
Viele Grüße
Jochen
Otto Roeschke
"Peter Ikier"
> Wir nehmen jetzt kein Seil, sondern Ziegelsteine.
> Die Ziegel sind 30 cm lang, 20 cm breit und 10 cm hoch.
> Sie wiegen 10 kg.
>
> Aus diesen Ziegelsteinen wird eine Mauer um den Äquator gebaut,
> 1 m hoch und 80 cm breit.
>
> Um wieviel wird die Erde dadurch schwerer?
/Fast/ genau ändert sich gar nichts, da du den Lehm dazu
wahrscheinlich nicht vom Mars einfliegen lässt. :-)
Und wenn du den Kloß insgesamt an eine Federwaage hängst,
bleibt die schwere Masse, Randbedingungen eliminiert, von der
veränderten Form völlig unabhängig (es sei denn, du benutzt
die Federwaage an der gleichen Stelle wie vorher und eine
durch die Ziegelmauer noch nicht veränderte Erde steht dir
dafür - ex nihilo - zur Verfügung. :-)
Gruß
Otto
Jutta Gut
"Rainer Rosenthal" <r.ros...@web.de> schrieb
> Schon wenn das vorhandene Stück gleich gross ist wie
> das einzuflickende Stück, siehst Du den Unterschied,
> (wenn Du Festbreitenschrift einstellst):
>
> o
> vorh. + hinein / \
> o-+-o o---o =====> o o
>
> Hier ist die Höhe fast so gross wie das eingeflickte
> Stück.
... und wenn das ursprüngliche Seil 112 m lang ist und um 1 m verlängert
wird, beträgt die Höhe schon 7,5 m.
Vielleicht beruht die Verwirrung darauf, dass bei wachsender Seillänge die
absolute Höhe zwar zunimmt, aber die relative Höhe (Verhältnis Höhe:Länge)
abnimmt - was ja auch dem Gefühl entspricht, bei einem langen Seil macht ein
zusätzlicher Meter nicht so viel aus.
In Formeln:
(Ich habe der Einfachheit halber angenommen, dass das Seil nur an einem Ende
senkrecht in die Höhe gezogen wird. Wenn es in der Mitte hochgezogen wird,
muss man die Höhe einfach halbieren.)
ursprüngliche Länge: x
neue Länge: x + 1
Höhe: h = sqrt((x+1)^2 - x^2) = sqrt(2x+1), und das ist umso größer, je
größer x ist
relative Höhe: sqrt(2x+1)/x, das wird mit wachsenden x kleiner.
Grüße
Jutta
Jutta Gut
"Rainer Rosenthal" <r.ros...@web.de> schrieb
> Für eine Denksport-Gruppe wäre jetzt eigentlich der
> Moment gekommen, sich mal eine andere Situation zu
> erdenken. Ausrechnen können wir das ja dann immer
> noch. Mit etwas Glück kommt da was Paradoxes zustande.
Wie wärs damit:
Ein 300 km lange Schienenstrang aus Eisen, dessen Endpunkte fest mit dem
Boden verankert sind, dehnt sich in der Hitze um 1 m aus und wölbt sich
dadurch nach oben. Wie weit wäre der Schienenstrang an seiner höchsten
Stelle vom Erdboden entfernt?
(Es wird angenommen, dass der Schienenstrang einen Kreisbogen bildet. Die
Erdkrümmung ist zu berücksichtigen.)
Grüße
Jutta
Alfred Flaßhaar
Jutta Gut schrieb:
(...)
> Ein 300 km lange Schienenstrang aus Eisen, dessen Endpunkte fest mit dem
> Boden verankert sind, dehnt sich in der Hitze um 1 m aus und wölbt sich
> dadurch nach oben. Wie weit wäre der Schienenstrang an seiner höchsten
> Stelle vom Erdboden entfernt?
(...)
Diese Aufgabe ist mit "kleiner" Statiksoftware leicht zu
lösen (Zweigelenkbogen, Zwangschnittgrößen, ...).
Gruß, Alfred
Reiner Rueckwald
Vergiss bitte nicht Andreas Hoffmann, der schliesslich als ERSTER
die richtige Loesung bereits gepostet hatte, waehrend ich noch
eifrig an meinem Posting schrieb.
Viele Gruesse
Reiner
W. H. Greiner
<uvfu5c...@ikier.net>:
>Wir nehmen jetzt kein Seil, sondern Ziegelsteine.
>Die Ziegel sind 30 cm lang, 20 cm breit und 10 cm hoch.
>Sie wiegen 10 kg.
>
>Aus diesen Ziegelsteinen wird eine Mauer um den Äquator gebaut,
>1 m hoch und 80 cm breit.
>
>Um wieviel wird die Erde dadurch schwerer?
Um gar nichts, denn:
1.) Die Erde hat überhaupt kein Gewicht. Ein Gewicht hat nur ein
Gegenstand, der auf einer festen Unterlage aufliegt. Die Erde hat nur
Masse.
2.) Selbst die Masse der Erde wird dadurch nicht höher, weil der
Baustoff ja ebenfalls von der Erde stammt.
Gruß, Walter
Lars Kecke
Wir haben doch zwei Kereise; die flache Schiene: 2*R*\phi=L
die verlaengerte : 2*r*\theta=L+dL
Diese Kreise haben Mittelpunktsabstand d, also gibt es ein Dreieck mit
Seitenlaengen R,r und d und Winkeln \pi-\theta,\phi und \theta-\phi .
Sinussatz sagt uns jetzt
sin\theta/r=sin(\pi-\phi)/R=sin(\phi-\theta)/d
Der linke Teil ist eine harmlose (hier braucht man dann doch die
software) transzendente Gleichung fuer \phi, wenn wir \phi und r mit den
beiden Gleichungen oben eliminiert haben.
Am Ende ist natuerlich h=r+d-R.
Wer hat die Zahlen?
Lars
Andreas Hoffmann
> die richtige Loesung bereits gepostet hatte, waehrend ich noch
> eifrig an meinem Posting schrieb.
Was für eine Ehre ;-)
Vielen Dank :-)
Andreas
Winfried Bayer
> Hallo, Rainer; hallo, *!
> "Rainer Rosenthal" <r.ros...@web.de> schrieb:
>
>> noch. Mit etwas Glück kommt da was Paradoxes zustande.
>
> OK, probieren wir mal was ähnliches.
> Wie immer: Wers schon kennt, bitte raushalten! 8-)
Also, ich kannte es noch nicht
>
> Wir nehmen jetzt kein Seil, sondern Ziegelsteine.
> Die Ziegel sind 30 cm lang, 20 cm breit und 10 cm hoch.
> Sie wiegen 10 kg.
>
> Aus diesen Ziegelsteinen wird eine Mauer um den Äquator gebaut,
> 1 m hoch und 80 cm breit.
>
> Um wieviel wird die Erde dadurch schwerer?
>
> Gruß
> pi
4444
333
22
1
Die Erde wird gar nicht schwerer, es sei denn die Ziegelsteine werden mit
Raumschiffen eingeflogen.
Gruß
Winfried
--
mouse movement detected.
(a)bort (i)gnore (r)etry
Peter Ikier
Winfried Bayer <winfried...@t-online.de> schrieb:
> On 14 Jul 2003 10:58:36 +0200, Peter Ikier wrote:
>
> [Erde - Ziegelsteine - Mauer]
>
> Also, ich kannte es noch nicht
Boah! Willst du einen Gebrauchtwagen? 8-)
Spoiler gesnippt...
>
> Die Erde wird gar nicht schwerer, es sei denn die Ziegelsteine werden mit
> Raumschiffen eingeflogen.
Stellvertretend an dieser Stelle: Richtig.
Tja, ich habe es hier mit geübten Rätselknackern zu tun... in RL hab ich
schon Leute seitenweise Gleichungen aufstellen gesehen.
Immerhin hatte der OP nach "paradoxen" Sachen gefragt. 8-)
Gruß
pi
--
Statt zu klagen, daß wir nicht alles haben, was wir wollen,
sollten wir lieber dankbar sein, daß wir nicht alles bekommen,
was wir verdienen. (Dieter Hildebrandt)
Rainer Rosenthal
Peter Ikier wrote
> > Die Erde wird gar nicht schwerer, es sei denn
> > die Ziegelsteine werden mit Raumschiffen eingeflogen.
>
>
> Immerhin hatte der OP nach "paradoxen" Sachen gefragt. 8-)
>
Wenn mich meinen solltest, dann bin ich nicht der OP
sondern bloss ein ZP. Ich bin voll und ganz zufrieden
und erfreut über diese hübsche Frage. Ich gabe ganz
offen zu, dass ich auf Anhieb auch dachte, dass es
sich um eine etwas unangenehme Rechenaufgabe handele.
Um so schöner die Überraschung. Und auch die Erde spielt
dabei eine wichtige Rolle. Drumherum wird auch was
gelegt - also eine perfekte Zuschrift auf meine Bitte!
Das war aber offenbar auch schon fertig in einer
"Schublade" und wurde mit einer Assoziationskette
aus derselben gezogen :-)
Jetzt also noch einmal der Aufruf an Kreativ-Rätsler,
zu Seil, Stab und Mauer eine weitere Variante zu ersinnen
(oder ruhig auch andere passende Schubladen zu öffnen).
Gruss,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
Siegfried Neubert
Ein Mensch der denkt sich fromm und still
er hat die Lösung, die er will.
Bis er mit Panik dann erkennt,
das gegen eine Wand er rennt.
So helft ihm doch dem armen Mann
und seht die Rechnung Euch mal an!
Helmut Blass <helmut...@tweb.de> schrieb in im Newsbeitrag: 3F1020E9...@tweb.de...
> Hallo,
> ich tüftele zur Zeit an folgender Denksportaufgabe:
> ein Seil ist straff um den Äquator gespannt. Der
> Einfachheit halber kann man annehmen, daß die Erde
> eine glatte Kugel sei mit einem Radius von 6378,5 km.
> Man verlängere nun das Seil um einen (!) Meter und stelle
> einen Stab zwischen Erde und Seil, so daß das Seil
> wieder straff gespannt ist.
> Preisfrage: wie lang ist der Stab?
> Der Autor gibt eine Lösung an, die mir viel zu hoch
> erscheint, ich selbst habe eine wesentlich geringere
> Stabhöhe errechnet.
> Jetzt würde mich mal interessieren, was die hellsten
> Köpfe der Nation da rausbekommen....
>
> Gruss, Helmut
Sei r der Erdradius = 6378,5 km, h die Länge es Stabes,
l die Länge des Seilstücks von der Spitze des Stabes (S)
zu dem Punkt am Rand der Erde (T), von dem es sich tangential abhebt
(und mit dem vom Mittelpunkt der Erde(M) hinzeigenden
"Erdradiusvektor" einen rechten Winkel bildet).
Alfa (a) sei der Winkel zwischen den Strecken (MS) und (MT).
Wir betrachten also das rechtwinklige Dreieck (MST)!
Es gilt (Pythagoras, Symmetrie, Umfang u. Winkel am Kreis, ...):
l = a*r +0,5 und (r+h)^2 -r^2 = l^2 und tg(a) = l/r
Damit hat man l= r*tg(a) = a*r +0,5
oder: y(a) := tg(a) - a - 0,5/r != 0 zur Bestimmung von alfa!
Das geht z.B. itterativ nach Newton a := a -y(a)/y'(a),
wobei y'(a) = 1 + (tg(a))^2 -1 = ( tg(a) )^2,
und liefert mit einem natürlich kleinen Näherungswert (0,1)
nach 10 Schritten für a = 0,00617242, und damit l = 39371,271, also h = 121,508.. Meter!
Wer hätte das gedacht!?
Wenn man weiß, daß der Winkel alfa klein ist, kann man natürlich auch gleich mit etwas Näherungsrechnung an's Ziel kommen!
tg(a) = a + 1/3*a^3 + ... wenn a << 1, dann ist der nächste (ausgelassene) Term so gut wie Null!
Und cos(a) = 1 -1/2*a^2 + . (s.o.)
also: tg(a) = l/r = (a*r +0,5) = a + 0,5/r = a + 1/3*a^3
oder: a^3 = 3/(2r)
und: cos(a) = r/(r+h) = 1/(1+h/r) ~ 1 - h/r ~ 1 - 1/2*a^2
oder: a^2 = 2h/r
also: a^6 = 9 / (4r^2) = 8h^3 / r^3 oder: h^3 = 9r/32 und damit h= 121,507... Meter!
Nun muß ich zu meiner Schande - auf jeden Fall als Ausdruck meines Unverständnisses -
erklären, dass ich erst noch anders gerechnet habe:
Es gilt: (r+h)^2 - r^2 = 2rh + h^2 = l^2 = ( a*r + 0,5)^2 = .
. = a^2*r^2 + a*r + 0,25 = 2hr +sqrt(2hr) +0,25 ~ 2hr + sqrt(2hr)
also: h^2 = sqrt(2hr) oder h^3 = 2r und damit h~ 233,7 Meter!
Von meiner Rechnung überzeugt, führte das zu der Annahme
die Newtoniteration ist (auf Grund der Zahlendarstellung im Rechner)
instabil und liefert durch Rundungsfehler fehlerhafte Ergebnisse!?
Und nun mag ich nicht mehr. Wer weiß Rat?
Ich finde den Fehler nicht (so schnell),
wahrscheinlich schlage ich mir dann aber mit der flachen Hand an die Stirn!
- aber das mache ich dann selbst! ;o)
Mit freundlichen Grüßen
Siggi Neubert
Hermann Kremer
>Hi Helmut, hi Ihr.
>
>Ein Mensch der denkt sich fromm und still
>er hat die Lösung, die er will.
>Bis er mit Panik dann erkennt,
>das gegen eine Wand er rennt.
>So helft ihm doch dem armen Mann
>und seht die Rechnung Euch mal an!
Aber gerne ... bei so ´nem schönen Gedicht ...
>Damit hat man l = r*tg(a) = a*r +0,5
>oder: y(a) := tg(a) - a - 0,5/r != 0 zur Bestimmung von alfa!
>
>Das geht z.B. itterativ nach Newton a := a -y(a)/y'(a),
>wobei y'(a) = 1 + (tg(a))^2 -1 = ( tg(a) )^2,
>und liefert mit einem natürlich kleinen Näherungswert (0,1)
>nach 10 Schritten für a = 0,00617242, und damit l = 39371,271, also h = 121,508..
Meter!
>
>Wer hätte das gedacht!?
Ich ;-)) siehe news:b71tna$c4c$1...@online.de
>Wenn man weiß, daß der Winkel alfa klein ist, kann man natürlich auch gleich mit
>etwas Näherungsrechnung an's Ziel kommen!
>
> tg(a) = a + 1/3*a^3 + ... wenn a << 1, dann ist der nächste (ausgelassene) Term
>so gut wie Null!
>Und cos(a) = 1 -1/2*a^2 + . (s.o.)
>
>also: tg(a) = l/r = (a*r +0,5) = a + 0,5/r = a + 1/3*a^3
>oder: a^3 = 3/(2r)
>und: cos(a) = r/(r+h) = 1/(1+h/r) ~ 1 - h/r ~ 1 - 1/2*a^2
>oder: a^2 = 2h/r
>also: a^6 = 9 / (4r^2) = 8h^3 / r^3 oder: h^3 = 9r/32 und damit h= 121,507...
Meter!
OK
>Nun muß ich zu meiner Schande - auf jeden Fall als Ausdruck meines Unverständnisses -
>erklären, dass ich erst noch anders gerechnet habe:
>
>Es gilt: (r+h)^2 - r^2 = 2rh + h^2 = l^2 = ( a*r + 0,5)^2 = .
> . = a^2*r^2 + a*r + 0,25 = 2hr +sqrt(2hr) +0,25 ~ 2hr + sqrt(2hr)
>also: h^2 = sqrt(2hr) oder h^3 = 2r und damit h~ 233,7 Meter!
>
>Von meiner Rechnung überzeugt, führte das zu der Annahme
>die Newtoniteration ist (auf Grund der Zahlendarstellung im Rechner)
>instabil und liefert durch Rundungsfehler fehlerhafte Ergebnisse!?
Nee, der Newton hat schon richtig gerechnet ...
>Und nun mag ich nicht mehr. Wer weiß Rat?
>Ich finde den Fehler nicht (so schnell),
Hmmm, bis
h^2 + 2*r*h = (a*r + 1/2)^2
ist es OK. Jetzt nimmst Du von ganz oben die Näherung
a^2 = 2*h/r --> a^2*r^2 = 2*h*r
und wirfst damit denjenigen Wert, in welchem Deine ursprüngliche
1 m Seilverlängerung noch indirekt drinsteckt, nämlich den Winkel
a, einfach raus. Damit würde ja Deine Formel h^2 = 2*r für jede
beliebige (genügend kleine) Seilverlängerung gelten ...
Du hast aber oben noch eine andere Näherung:
a^3 = 3/(2*r) --> a^3*r^3 = 3*r^2/2 ,
und wenn wir damit rechnen, dann gilt
h^2 + 2*r*h = ( cbrt(3*r^2/2) + 1/2 )^2 ,
oder mit Zahlenwerten:
h^2 + 12'757'000*h - 1'550'112'731,6 = 0 ,
und dafür erhält man
h_1 = -12'757'121,51
h_2 = 121,509
und das h_2 sieht schon viel besser aus ;-)
Merke:
Eine Näherungsrechnung nähert dasjenige, was man annähern
möchte, nur dann an, wenn man bei der Näherung das zu Nähernde
auch wirklich an-nähert und es nicht weg-nähert ;-))
>wahrscheinlich schlage ich mir dann aber mit der flachen Hand an die Stirn!
>- aber das mache ich dann selbst! ;o)
OK, viel Spaß dabei + Grüße
Hermann
--
Rainer Rosenthal
Hermann Kremer
> Jemand anderes:
> > wahrscheinlich schlage ich mir dann aber mit der
> > flachen Hand an die Stirn!
> > - aber das mache ich dann selbst! ;o)
>
> OK, viel Spaß dabei + Grüße
> Hermann
ICH
-------
SCHMUN
( Ich schmunzel )
Rainer Rosenthal
Siegfried Neubert
Rainer Rosenthal <r.ros...@web.de> schrieb in im Newsbeitrag: bfci3v$d8psg$1...@ID-54909.news.uni-berlin.de...
>
> Hermann Kremer
> > Jemand anderes:
> > > wahrscheinlich schlage ich mir dann aber mit der
> > > flachen Hand an die Stirn!
> > > - aber das mache ich dann selbst! ;o)
> >
> > OK, viel Spaß dabei + Grüße
> > Hermann
>
>
>
> ICH
> -------
> SCHMUN
[...]
> ( Ich schmunzel )
>
> Rainer Rosenthal
Also Rainer, noch habe ich mir nicht vor die Stirn geschlagen,
dazu reichte es mir noch nicht
- aber das könnte schon noch kommen -,
aber über was genau "schmun'st" Du nun!?
Sag's, ich mache gern mit - auch über mich selbst!
Gruß Siggi Neubert
Siegfried Neubert
ich freue mich sehr, daß Du mir antwortest
- so als "Altmeister" de.sci.mathematik.
Ich habe da sehr viel respekt vor Dir!
Hermann Kremer <hermann...@online.de> schrieb in im Newsbeitrag: bfc3ju$t5c$1...@online.de...
> Siegfried Neubert schrieb in Nachricht ...
> >Hi Helmut, hi Ihr.
> >
> >Ein Mensch der denkt sich fromm und still
> >er hat die Lösung, die er will.
> >Bis er mit Panik dann erkennt,
> >das gegen eine Wand er rennt.
> >So helft ihm doch dem armen Mann
> >und seht die Rechnung Euch mal an!
>
>
> Aber gerne ... bei so ´nem schönen Gedicht ...
Ja, ich mag Eugen Roth sehr,
wenn ich ihn hier auch ein bißchen verbiege!
>
[...]
> >Damit hat man l = r*tg(a) = a*r +0,5
> >oder: y(a) := tg(a) - a - 0,5/r != 0 zur Bestimmung von alfa!
> >
> >Das geht z.B. itterativ nach Newton a := a -y(a)/y'(a),
> >wobei y'(a) = 1 + (tg(a))^2 -1 = ( tg(a) )^2,
> >und liefert mit einem natürlich kleinen Näherungswert (0,1)
> >nach 10 Schritten für a = 0,00617242, und damit l = 39371,271, also h = 121,508..
> Meter!
> >
> >Wer hätte das gedacht!?
>
>
> Ich ;-)) siehe news:b71tna$c4c$1...@online.de
>
Im April war ich noch eine Zeitlang "nicht am Platz",
habe es damals also nicht mitbekommen.
Nun verstehe ich aber Rainer Rosenthals Schmunzeln besser! ggf. auch richtig!?
Offenbar haben wir ja im Folgenden zur Problemlösung ähnliche Gedanken gehabt!?
> >Wenn man weiß, daß der Winkel alfa klein ist, kann man natürlich auch gleich mit
> >etwas Näherungsrechnung an's Ziel kommen!
> >
> > tg(a) = a + 1/3*a^3 + ... wenn a << 1, dann ist der nächste (ausgelassene) Term
> >so gut wie Null!
> >Und cos(a) = 1 -1/2*a^2 + . (s.o.)
> >
> >also: tg(a) = l/r = (a*r +0,5) = a + 0,5/r = a + 1/3*a^3
> >oder: a^3 = 3/(2r)
> >und: cos(a) = r/(r+h) = 1/(1+h/r) ~ 1 - h/r ~ 1 - 1/2*a^2
> >oder: a^2 = 2h/r
> >also: a^6 = 9 / (4r^2) = 8h^3 / r^3 oder: h^3 = 9r/32 und damit h= 121,507...
> Meter!
>
>
> OK
und wirklich nicht abgeschrieben ;-)
>
> >Nun muß ich zu meiner Schande - auf jeden Fall als Ausdruck meines Unverständnisses -
> >erklären, dass ich erst noch anders gerechnet habe:
> >
> >Es gilt: (r+h)^2 - r^2 = 2rh + h^2 = l^2 = ( a*r + 0,5)^2 = .
> > . = a^2*r^2 + a*r + 0,25 = 2hr +sqrt(2hr) +0,25 ~ 2hr + sqrt(2hr)
> >also: h^2 = sqrt(2hr) oder h^3 = 2r und damit h~ 233,7 Meter!
> >
> >Von meiner Rechnung überzeugt, führte das zu der Annahme
> >die Newtoniteration ist (auf Grund der Zahlendarstellung im Rechner)
> >instabil und liefert durch Rundungsfehler fehlerhafte Ergebnisse!?
>
>
> Nee, der Newton hat schon richtig gerechnet ...
(Ich habe da zuerst auch eher
- in meiner Not -
an eine schlechte Implementierung des Tangens gedacht!)
> >Und nun mag ich nicht mehr. Wer weiß Rat?
> >Ich finde den Fehler nicht (so schnell),
>
> Hmmm, bis
> h^2 + 2*r*h = (a*r + 1/2)^2
> ist es OK. Jetzt nimmst Du von ganz oben die Näherung
> a^2 = 2*h/r --> a^2*r^2 = 2*h*r
> und wirfst damit denjenigen Wert, in welchem Deine ursprüngliche
> 1 m Seilverlängerung noch indirekt drinsteckt, nämlich den Winkel
> a, einfach raus. ...
Also ne Hermann, bevor ich mich hier als potentiel _so_ dumm (*) oute,
habe ich schon ein bißchen nachgedacht,
wenn's auch noch nicht gereicht hat und (*) nun ggf. doppelt droht.
Also nochmal
a^2 = 2*h/r liefert a= 0,006172467 und
a^3 = 3/(2r) liefert a=0,00617245 beides doch sehr ähnlich - oder?,
und beide Ausdrücke zusammen (wie auch von Dir benutzt)
liefern h^3 = 9r/32 und damit h= 121,507...
> ... Damit würde ja Deine Formel h^2 = 2*r für jede
> beliebige (genügend kleine) Seilverlängerung gelten ...
Verstehe ich nicht, warum? (woher?)
Und in
(r+h)^2 - r^2 = 2rh + h^2 = l^2 = ( a*r + 0,5)^2 = ...
... = a^2*r^2 + a*r + 0,25 = 2hr +sqrt(2hr) +0,25 ~ 2hr + sqrt(2hr)
geht die Seillverlängerung "dl" ganz entscheident ein als
2*0,5*a*r = a*r ~ sqrt(2hr)
oder (a*r)^2 = 2*h/r = sqrt(2hr) doch nur, weil dl/2 = 0,5 und damit
h^3 = 2r (???) und damit h~ 233,7 Meter!
Also, bei mir bleiben (leider) noch Fragezeichen,
sind die bei Dir wirklich alle weg!?
>
> Du hast aber oben noch eine andere Näherung:
[...]
> h_2 = 121,509
> und das h_2 sieht schon viel besser aus ;-)
>
Ja, das war mir schon klar,
klärt nur den "Denkfehler" im anderen Ansatz nicht auf.
> Merke:
> Eine Näherungsrechnung nähert dasjenige, was man annähern
> möchte, nur dann an, wenn man bei der Näherung das zu Nähernde
> auch wirklich an-nähert und es nicht weg-nähert ;-))
Also, klar,
aber ob ich mich nun davon geistig er-nährt fühle, ;o)
bin ich mir nicht sicher.
Ich brauche zum zufrieden sein schon noch ein Tip!
Aber ich nehme ihn gerne auch nochmal von Dir - Hermann.
Und dieses bitte ohne jede Ironie!
>
> >wahrscheinlich schlage ich mir dann aber mit der flachen Hand an die Stirn!
> >- aber das mache ich dann selbst! ;o)
Noch habe ich nichtgeschlagen!
>
>
> OK, viel Spaß dabei + Grüße
> Hermann
Also das mit dem Spaß dabei - wobei -
ist mir dann ggf. doch etwas fremd ;o)
Aber nochmals, vielen Dank für die Antwort
eventuell hast'e ja noch eine für mich!?
Siggi Neubert
Hermann Kremer
Hi Siggi,
[ .... ]
>Ja, ich mag Eugen Roth sehr,
>wenn ich ihn hier auch ein bißchen verbiege!
*g*
>Offenbar haben wir ja im Folgenden zur Problemlösung ähnliche Gedanken gehabt!?
Yep
>> >Wenn man weiß, daß der Winkel alfa klein ist, kann man natürlich auch gleich mit
>> >etwas Näherungsrechnung an's Ziel kommen!
>> >
>> > tg(a) = a + 1/3*a^3 + ... wenn a << 1, dann ist der nächste (ausgelassene) Term
>> >so gut wie Null!
>> >also: tg(a) = l/r = (a*r +0,5) = a + 0,5/r = a + 1/3*a^3
>> >oder: a^3 = 3/(2r)
OK, bezeichnen wir mal die 1 m Seilverlängerung mit L, dann gilt:
( a + a^3/3 + ... = tan(a) ) = l/r = (a*r + L/2)/r = a + L/(2r),
also
a^3 ~= 3*L/(2*r) , a ~= cbrt(3*L/(2*r)) Gl.(1)
und hier steckt L noch in a unmittelbar drin.
>> >Und cos(a) = 1 - 1/2*a^2 + . (s.o.)
>> >und: cos(a) = r/(r+h) = 1/(1+h/r) ~ 1 - h/r ~ 1 - 1/2*a^2
>> >oder: a^2 = 2h/r
Jetzt gilt
(1 - a^2/2 + ... = cos(a) ) = r/(r + h) ~ 1 - h/r ,
also
a^2 ~= 2h/r , a ~= sqrt(2*h/r) Gl.(2)
und hier steckt L nicht mehr explizit in a ...
>> >also: a^6 = 9 / (4r^2) = 8h^3 / r^3 oder: h^3 = 9r/32 und damit h = 121,507...
>> >Meter!
a^6 = 9L^2/(4r^2) = 8h^3/r^3 --> h^3 = (9/32)*r*L^2 ,
hier enthält also die Formel für h noch unmittelbar die Seilverlängerung L ...
und liefert die richtige Näherung h ~= 121,5 ...
>und wirklich nicht abgeschrieben ;-)
*gg*
>> >Nun muß ich zu meiner Schande - auf jeden Fall als Ausdruck meines
Unverständnisses -
>> >erklären, dass ich erst noch anders gerechnet habe:
>> >
>> >Es gilt: (r+h)^2 - r^2 = 2rh + h^2 = l^2 = ( a*r + 0,5)^2 = .
>> > . = a^2*r^2 + a*r + 0,25 = 2hr +sqrt(2hr) +0,25 ~ 2hr + sqrt(2hr)
>> >also: h^2 = sqrt(2hr) oder h^3 = 2r und damit h ~ 233,7 Meter!
Hmm, wir haben jetzt
(r+h)^2 - r^2 = (a*r + L/2)^2
und das ist noch exakt.
Wenn wir jetzt für a die Gl.(1) einsetzen, dann erhalten wir
h^2 + 2rh = (r*cbrt(3*L/(2*r) + L/2)^2 = (cbrt(3*L*r^2/2) + L/2)^2 ,
und diese quadratische Gleichung liefert eine gute Näherung für das
richtige Ergebnis: h ~ 121,5 ...
Wenn wir aber für a die Gl.(2) einsetzen, dann erhalten wir
h^2 + 2rh = (sqrt(2rh) + L/2)^2 = 2rh + L*sqrt(2rh) + L^2/4 ,
also
h^2 = L*sqrt(2rh) + L^2/4 .
Wenn wir jetzt L^2/4 vernachlässigen, erhalten wir
h^4 = L^2 * 2rh --> h^3 = 2rL^2,
also Deine falsche Näherung ~233,7. Wenn wir es nicht tun, erhalten
wir die Gleichung
h^4 - (L^2/2)*h^2 - (2rL^2)*h + L^4/16 = 0 ,
und die hat die (ebenso falschen) reellen Wurzeln 232,553 und 3,288 ...
[ ... ]
>> ... Damit würde ja Deine Formel h^3 = 2*r für jede
>> beliebige (genügend kleine) Seilverlängerung gelten ...
>
>Verstehe ich nicht, warum? (woher?)
OK, kannst Du auch nicht ... meine Bemerkung war falsch ... ich hatte
nur die Gl.(2) im Auge ...
>Also, bei mir bleiben (leider) noch Fragezeichen,
>sind die bei Dir wirklich alle weg!?
Hmm, hmm ... wir haben jetzt einmal die brauchbare Näherung
h ~= cbrt( (9/32)*r*L^2 )
aus der Reihenentwicklung des Tangens, und dann die ganz offensichtlich
unbrauchbare Näherung
h ~= cbrt( 2*r*L^2 )
aus der Reihenentwicklung des Cosinus ...
... und die Faktoren 9/32 und 2 sind ja nicht gerade ähnlich ...
Oha, das wird ja regelrecht spannend ... die Sache muß ich mir wirklich
nochmals genau anschauen ... mit Konditionsabschätzungen und so ...
Hmm ...
OK, werde ich tun ......
>... klärt nur den "Denkfehler" im anderen Ansatz nicht auf.
Stimmt ;-))
Viele Grüße
Hermann
--
Siegfried Neubert
danke für die Mühe!
Hermann Kremer <hermann...@online.de> schrieb in im Newsbeitrag: bfh7ep$932$1...@online.de...
> Siegfried Neubert schrieb in Nachricht ...
> >Hermann Kremer <hermann...@online.de> schrieb in im Newsbeitrag ...
>
> Hi Siggi,
> [ .... ]
> >Ja, ich mag Eugen Roth sehr,
> >wenn ich ihn hier auch ein bißchen verbiege!
>
> *g*
>
> >Offenbar haben wir ja im Folgenden zur Problemlösung ähnliche Gedanken gehabt!?
>
>
> Yep
>
[ ich folge Dir in Deinen Argumenten, aber...]
> ... und die Faktoren 9/32 und 2 sind ja nicht gerade ähnlich ...
Nein, eben!
> Oha, das wird ja regelrecht spannend ... die Sache muß ich mir wirklich
> nochmals genau anschauen ... mit Konditionsabschätzungen und so ...
> Hmm ...
> OK, werde ich tun ......
>
> >... klärt nur den "Denkfehler" im anderen Ansatz nicht auf.
>
> Stimmt ;-))
>
> Viele Grüße
> Hermann
> --
Auch viele Grüße
Siggi
Hermann Kremer
>> Siegfried Neubert schrieb in Nachricht ...
Hallo Siggi,
>> Oha, das wird ja regelrecht spannend ... die Sache muß ich mir wirklich
>> nochmals genau anschauen ... Hmm ... OK, werde ich tun ......
>>
>> >... klärt nur den "Denkfehler" im anderen Ansatz nicht auf.
>>
>> Stimmt ;-))
OK, der "Denkfehler" liegt in den Näherungen 1/(1 + h/r) ~= 1 - h/r und
cos(a) ~= 1 - a^2/2 und ist ziemlich subtil ...
Wir haben die gegebenen Größen
r = 6378500 m
L = 1 m ,
die Unbekannten a [halber Sektorwinkel] und h [Stangenhöhe] und
die Gleichungen:
h^2 + 2*r*h = (r*a + L/2)^2 (1)
tan(a) = a + L/(2*r) (2)
cos(a) = 1/(1 + h/r) (3)
sin(a) = (r*a + L/2)/(r + h) (4)
Dabei nimmt Gl.(2) eine gewisse Sonderstellung ein, da sie nur die
eine Unbekannte a enthält; wir können a (egal wie) daraus ausrechnen:
a = 0,0061724 [Radian]
und damit aus einer der anderen Gleichungen auch h:
h = 121,51 m .
Wenn wir Gl.(2) nicht verwenden wollen, müssen wir aus Gl.(1) und einer der
Gleichungen (3) oder (4) eine Unbekannte eliminieren usw.; das führt in jedem
Fall auf eine transzendente Gleichung.
Nehmen wir die Gln. (1) und (3). Hier können wir entweder a eliminieren:
h^2 + 2*r*h = ( r*arccos(1/(1 + h/r)) + L/2)^2 , (5)
oder wir können h aus Gl.(1) eliminieren:
h = -r + sqrt(r^2 + (r*a + L/2)^2 ) ,
h/r = -1 + sqrt(1 + (a + L/(2*r))^2 ) (6)
cos(a) = 1/(1 + h/r) =
= 1/( 1 - 1 + sqrt( 1 + a^2 + a*L/r + L^2/(4*r^2) ) ,
also
cos(a) = 1/sqrt( 1 + a^2 + a*L/r + L^2/(4*r^2) ) . (7)
Sowohl Gl.(5) als auch Gl.(7) sind noch exakt, und wenn man sie
numerisch löst, kommt auch das richtige Ergebnis raus.
Da wir aber wissen, daß L < h << r und a << 1 gilt, können wir
in Gl.(3) Näherungen einführen:
cos(a) = 1 - a^2/2 + a^4/24 -+ ... Taylor-Reihe
1/(1 + h/r) = 1 - (h/r) + (h/r)^2 - (h/r)^3 +- ... Geom. Reihe
Genau dies hast Du jetzt bei Deinem "Denkfehler"-Ansatz gemacht:
cos(a) ~= 1 - a^2/2 ; 1/(1 + h/r) ~= 1 - h/r , also a^2 ~= 2*(h/r) .
Jetzt hast Du Gl.(1) umgeformt:
(h/r)^2 + 2*(h/r) = a^2 + L*(a/r) + (L/r)^2/4
(h/r)^2 + 2*(h/r) = 2*(h/r) + (L/r)*sqrt(2*h/r) ,
daraus die Näherung h^3 = 2*L*r hergeleitet und dabei nicht beachtet,
daß h noch von a abhängt. Die exakte Beziehung zwischen h und a
ist durch Gl.(6) gegeben, und diesen Ausdruck kann man durch
h/r ~= (1/2)*( a + L/(2*r) )^2 (8)
annähern. Setzt man dies in die geometrische Reihe
1/(1 - h/r) = 1 - (h/r) + (h/r)^2 - (h/r)^3 +- ...
ein, so erhält man
1/(1 - h/r) ~= 1 - a^2/2 - (a/2)*(L/r) - (1/8)*(L/r)^2 +
+ a^4/4 + (a^3/2)*(L/r) + (a^2/4)*(L/r)^2 + ... -
- (a^6/8) - (3*a^5/8)*(L/r) - (3*a^4/8)*(L/r)^2 -
(a^3/8)*(L/r)^3 - ... +
+ ... ,
und dies muß man jetzt mit der Taylor-Entwicklung von cos(a) gleichsetzen.
Da sich dabei die Terme 1 - a^2/2 herausheben, muß man sowohl den
Cosinus als auch die geometrische Reihe in jedem Fall mit mehr als zwei
Gliedern entwickeln ...
Die Rechnung wird ganz fürchterlich - drum habe ich jetzt auch nicht
weitergerechnet ;-)
Wenn wir aber die Gl.(2): tan(a) = a + L/(2*r) verwenden, dann tritt dieses
Problem nicht auf, denn hier haben wir nur eine Unbekannte, die wir beliebig
genau ausrechnen können, entweder als Lösung einer algebraischen Gleichung
a + (1/3)*a^3 + (2/15)*a^5 + (17/315)*a^7 + ... = a + L/(2*r)
oder mittel z.B. Newton-Iteration.
Siegfried Neubert
Hermann Kremer <hermann...@online.de> schrieb in im Newsbeitrag: bfk4h9$ptu$1...@online.de...
> Siegfried Neubert schrieb in Nachricht ...
> >Hermann Kremer <hermann...@online.de> schrieb ...
> >> Siegfried Neubert schrieb in Nachricht ...
> >> >Hermann Kremer <hermann...@online.de> schrieb ...
>
> Hallo Siggi,
>
> >> Oha, das wird ja regelrecht spannend ... die Sache muß ich mir wirklich
> >> nochmals genau anschauen ... Hmm ... OK, werde ich tun ......
> >>
> >> >... klärt nur den "Denkfehler" im anderen Ansatz nicht auf.
> >>
> >> Stimmt ;-))
>
>
> OK, der "Denkfehler" liegt in den Näherungen 1/(1 + h/r) ~= 1 - h/r und
> cos(a) ~= 1 - a^2/2 und ist ziemlich subtil ...
>
[snip]
>
> Grüße
> Hermann
Ich danke Dir für die Mühe die Du schon bisher für diese meine Frage aufgewandt hast.
Neben dem originären Rätsel für Rätselfreunde
- wie hoch ist der Stab, übrigens die Aufgabenformulierung mit dem Ballon gefällt mir besonders gut -,
ist die Frage nach "warum gilt nicht h^3 = 2r" mindestens so gut als Aufgabe an den Mathematiker - oder!?
Ich habe mir Deinen Erklärungsansatz oben angesehen, bin aber (für mich) immer noch nicht zufrieden.
Ich habe aber im Moment - heute, die nächsten Tage, aber auch schon in den letzten Tagen -
leider nicht die Zeit mich sehr intensiv (in Ruhe) damit auseinander zu setzen - ich werde es aber tun!
Mal sehen, wann ich dazu komme, denn
ich muß _mir_ selbst da Klarheit verschaffen, so macht es mich doch sehr unruhig.
Auch wenn ich wohl weiß, das ich irre! - Oder eben deshalb!
Aber irren ist menschlich, sprach der Igel und stieg von der Bürste ;o)
Also noch einmal, habe Dank,
und es befriedigt mich doch schon sehr, daß "der Fehler" eben nicht trivial ist
- wo er denn nun endgültig auch liegen mag,
ich denke die betrachtete Ecke ist schon sehr verdächtig!
Wenn ich noch etwas zustande bringe
- ggf. auch kurz und verständlich -,
würde ich mich gern noch mal melden (dürfen)
- ohne anzuecken, oder ein großes Aufstöhnen der "Gemeinde" zu provozieren!?
Mit ganz freundlichen Grüßen
Siggi
PS.: Ich habe da noch http://www.dsmath.org/news/dsmath_news.html entdeckt.
"...
Freitag, 4. Juli 2003
Hermann Kremer, der gute Geist auf dsm, feiert Geburtstag!
Hermann Kremer feiert heute Geburtstag! Wir wünschen ihm herzlich alles Gute!
..."
Ist zwar schon etwas her,
aber es ist mir eine Freude, wenn ich mich noch nachträglich anschließen dürfte!
Siegfried Neubert
wie ich schon sagte, ich musste es noch "für mich" verstehen.
Es hat mir zwar eine unruhige Nacht gebracht, aber jetzt bin ich zufriedener.
Hermann Kremer <hermann...@online.de> schrieb in im Newsbeitrag: bfk4h9$ptu$1...@online.de...
> Siegfried Neubert schrieb in Nachricht ...
> >Hermann Kremer <hermann...@online.de> schrieb ...
> >> Siegfried Neubert schrieb in Nachricht ...
> >> >Hermann Kremer <hermann...@online.de> schrieb ...
>
> Hallo Siggi,
>
> >> Oha, das wird ja regelrecht spannend ... die Sache muß ich mir wirklich
> >> nochmals genau anschauen ... Hmm ... OK, werde ich tun ......
> >>
> >> >... klärt nur den "Denkfehler" im anderen Ansatz nicht auf.
> >>
> >> Stimmt ;-))
>
Deine Blickrichtung war schon die Richtige, klar, oder ?
Aber an einem kleinen Details habe ich noch (für mich) genauer hinsehen müssen und hab's dann auch ausgerechnet und hoffe es hier
auch überzeugend rüber zu bringen!
>
> OK, der "Denkfehler" liegt in den Näherungen 1/(1 + h/r) ~= 1 - h/r und
> cos(a) ~= 1 - a^2/2 und ist ziemlich subtil ...
>
> Wir haben die gegebenen Größen
> r = 6378500 m
> L = 1 m ,
> die Unbekannten a [halber Sektorwinkel] und h [Stangenhöhe] und
> die Gleichungen:
>
> h^2 + 2*r*h = (r*a + L/2)^2 (1)
> tan(a) = a + L/(2*r) (2)
> cos(a) = 1/(1 + h/r) (3)
> sin(a) = (r*a + L/2)/(r + h) (4)
>
> Dabei nimmt Gl.(2) eine gewisse Sonderstellung ein, da sie nur die
> eine Unbekannte a enthält; wir können a (egal wie) daraus ausrechnen:
> a = 0,0061724 [Radian]
> und damit aus einer der anderen Gleichungen auch h:
> h = 121,51 m .
So is's! Aber:
aus (3) -> a^2 = 2h / r und aus (2) -> a^3 = 3L / 2r
folgt damit noch h^3 = 9/32 * r*L^2
bzw. eben auch h = cbrt(...) = 121,5... m .
Ganz so schlecht ist die Näherung
(2) cos(a) = 1/(1+h/r) ~= .
. ~= 1 - 1/2!*a^2 [ +1/4!*a^4 -... ] ~= ...
... ~= 1 - (h/r) [ +(h/r)^2 - ...]
offensichtlich nicht., denn es gilt auch noch
a= sqrt(2h/r) = 0,0061724... , wenn man h= 121,5... m einsetzt!?
Und das gab mir eben einfach weiterhin zu denken!!!
Aber es gilt eben h = h(a) !!!
Und das ist der "springende Punkt!" - aber der ist leider etwas "verdeckt" -,
wie Du Hermann, ja auch schon ausgeführt hast.
>
> Wenn wir Gl.(2) nicht verwenden wollen, müssen wir aus Gl.(1) und einer der
> Gleichungen (3) oder (4) eine Unbekannte eliminieren usw.; das führt in jedem
> Fall auf eine transzendente Gleichung.
>
> Nehmen wir die Gln. (1) und (3). Hier können wir entweder a eliminieren:
>
> h^2 + 2*r*h = ( r*arccos(1/(1 + h/r)) + L/2)^2 , (5)
>
> oder wir können h aus Gl.(1) eliminieren:
>
[...]
>
> cos(a) = 1/sqrt( 1 + a^2 + a*L/r + L^2/(4*r^2) ) . (7)
>
> Sowohl Gl.(5) als auch Gl.(7) sind noch exakt, und wenn man sie
> numerisch löst, kommt auch das richtige Ergebnis raus.
Ja!
> Da wir aber wissen, daß L < h << r und a << 1 gilt, können wir
> in Gl.(3) Näherungen einführen:
>
> cos(a) = 1 - a^2/2 + a^4/24 -+ ... Taylor-Reihe
> 1/(1 + h/r) = 1 - (h/r) + (h/r)^2 - (h/r)^3 +- ... Geom. Reihe
>
> Genau dies hast Du jetzt bei Deinem "Denkfehler"-Ansatz gemacht:
>
[...]
>
> und dies muß man jetzt mit der Taylor-Entwicklung von cos(a) gleichsetzen.
> Da sich dabei die Terme 1 - a^2/2 herausheben, muß man sowohl den
> Cosinus als auch die geometrische Reihe in jedem Fall mit mehr als zwei
> Gliedern entwickeln ...
> Die Rechnung wird ganz fürchterlich - drum habe ich jetzt auch nicht
> weitergerechnet ;-)
Ich habe das dann noch gemacht und _wieder_ etwas vereinfacht!
(Ist aber sonst ähnlich Deinem vorgehen!)
cos(a) = 1 / (1+h/r) = 1 - (h/r) + (h/r)^2 - . mit h/r = sqrt(1+(l/r)^2) -1
Und genau _hier_ liegt nach _meiner_ Meinung nun die Crux begraben!
Wg. sqrt(1+x) ~= 1 +1/2*x - 1/8*x^2 + . für x << 1 gilt
- dann eben doch anders als bei Dir:
cos(a) = 1 - [1/2*(l/r)^2 + 1/8*(l/r)^4 ] + ...
... + [1/4*(l/r)^4 - 1/8*(l/r)^6 + 1/64*(l/r)^8] - ...
vernachlässigt man alles "über" (l/r)^4, folgt:
cos(a) ~= 1 - 1/2*(l/r)^2 + 3/8*(l/r)^4 = . wg. l = a*r + L/2
. = 1 - 1/2*(a+L/2r)^2 + 3/8*(a+L/2r)^4 = .
. = 1-1/2*(a^2+2a*L/2r+(L/2r)^2 )+3/8*(a^4+ 4a^3*L/2r +.)
und vernachlässigt nun alles "über" a^4 (und (L/2r)^2), folgt:
cos(a) ~= 1-1/2*a^2-a*L/2r+3/8*a^4+4*a^3*L/2r*.... und
cos(a) ~= 1 - 1/2*a^2 + 1/24*a^4 -.und damit
1/3*a^4 = a*L/2r*(1-4a^2)
und setzt man dann (1-4a^2) ~= 1, folgt:
a^3 = 3L/2r wie wir es oben schon (richtig) hatten!
Aber nun weiß ich warum!
Ich denke es ist die Näherung für die Wurzel!
Rechnet man übrigens "nur" mit Gl. 8, wie Du Hermann (fast), mal "numerisch" durch
"...
Die exakte Beziehung zwischen h und a
ist durch Gl.(6) gegeben, und diesen Ausdruck kann man durch
h/r ~= (1/2)*( a + L/(2*r) )^2 (8)
annähern. Setzt man dies in die geometrische Reihe
1/(1 - h/r) = 1 - (h/r) + (h/r)^2 - (h/r)^3 +- ...
ein, so erhält man
1/(1 - h/r) ~= 1 - a^2/2 - (a/2)*(L/r) - (1/8)*(L/r)^2 +
+ a^4/4 + (a^3/2)*(L/r) + (a^2/4)*(L/r)^2 + ... -
- (a^6/8) - (3*a^5/8)*(L/r) - (3*a^4/8)*(L/r)^2 -
(a^3/8)*(L/r)^3 - ... +
+ ... ,
...",
so erhält man für a ~=0,007219... und damit fälschlich h~= 166,2... m ,
wenn ich - bzw. EXCEL - mich/sich nicht verrechnet habe/hat! ;o)
Und falls ja, dann ist die Wurzelnäherung wohl doch das Übel!
Ich möchte Dir aber sehr für Deine Mühe danken!
> Wenn wir aber die Gl.(2): tan(a) = a + L/(2*r) verwenden, dann tritt dieses
> Problem nicht auf, denn hier haben wir nur eine Unbekannte, die wir beliebig
> genau ausrechnen können, entweder als Lösung einer algebraischen Gleichung
>
> a + (1/3)*a^3 + (2/15)*a^5 + (17/315)*a^7 + ... = a + L/(2*r)
>
> oder mittel z.B. Newton-Iteration.
>
Klar!
> Grüße
> Hermann
> --
>
> >Auch viele Grüße
> > Siggi
>
>
Also, mag das noch mal jemand verifizieren!?
Ich finde, es ist ein "echt geiles Mathe.-Rätsel"!
- und natürlich schönes Rätsel sowieso!
Lohnt sich glatt noch mal sauber aufzuschreiben
- mal sehen, eventuell später!
Grüße und ein schönes Wochenende
Siggi
Hermann Kremer
>> Siegfried Neubert schrieb in Nachricht ...
>> >Hermann Kremer <hermann...@online.de> schrieb ...
>> >> Siegfried Neubert schrieb in Nachricht ...
>> >> >Hermann Kremer <hermann...@online.de> schrieb ...
Hallo Siggi,
>wie ich schon sagte, ich musste es noch "für mich" verstehen.
>Es hat mir zwar eine unruhige Nacht gebracht, aber jetzt bin ich zufriedener.
Fein, freut mich ...
>> Wir haben die gegebenen Größen
>> r = 6378500 m
>> L = 1 m ,
>> die Unbekannten a [halber Sektorwinkel] und h [Stangenhöhe] und
>> die Gleichungen:
>>
>> h^2 + 2*r*h = (r*a + L/2)^2 (1)
>> tan(a) = a + L/(2*r) (2)
>> cos(a) = 1/(1 + h/r) (3)
>> sin(a) = (r*a + L/2)/(r + h) (4)
>>
>> Dabei nimmt Gl.(2) eine gewisse Sonderstellung ein, da sie nur die
>> eine Unbekannte a enthält; wir können a (egal wie) daraus ausrechnen:
>> a = 0,0061724 [Radian]
>> und damit aus einer der anderen Gleichungen auch h:
>> h = 121,51 m .
>
>So is's! Aber:
>
>aus (3) -> a^2 = 2h / r und aus (2) -> a^3 = 3L / 2r
>folgt damit noch h^3 = 9/32 * r*L^2
>bzw. eben auch h = cbrt(...) = 121,5... m .
OK, mit Gl.(2) wird der Wert von a bestimmt, und mit diesem Wert
von a wird dann aus Gl.(3) der Wert für h ausgerechnet:
a = ....
h = (1/2) * r * a^2 .
Je genauer man a ausgerechnet hat, umso genauer wird dann h .
>Ganz so schlecht ist die Näherung
>(3) cos(a) = 1/(1+h/r) ~= .
> . ~= 1 - 1/2!*a^2 [ +1/4!*a^4 -... ] ~= ...
>... ~= 1 - (h/r) [ +(h/r)^2 - ...]
>
>offensichtlich nicht., denn es gilt auch noch
>
>a = sqrt(2h/r) = 0,0061724... , wenn man h= 121,5... m einsetzt!?
Ja, natürlich ... wenn man (irgendwoher) einen genügend genauen Wert für
a hat, dann kann man daraus h ausrechnen, und wenn man (irgendwoher)
einen genügend genauen Wert für h hat, dann kann man daraus a ausrechnen ...
>Und das gab mir eben einfach weiterhin zu denken!!!
>
>Aber es gilt eben h = h(a) !!!
>Und das ist der "springende Punkt!" - aber der ist leider etwas "verdeckt" -,
>wie Du Hermann, ja auch schon ausgeführt hast.
Ja, ganz genau.
Etwas abstrakter: Gegeben sei eine transzendente Gleichung
f(a) = g(a),
man bestimme die Lösung(en) a.
Wenn man jetzt f(a) und g(a) jeweils in Potenzreihen (z.B. Taylor-Reihen)
nach a entwickelt, dann muß man sehr genau aufpassen, bis zu welchen
Potenzen man entwickelt und welche Lösungen man nachher nimmt. Ein
ganz einfaches Beispiel:
3*sin(a) = a .
Das hat die Lösungen a = 0 und a ~= +-2,27886. Wenn man jetzt den Sinus
entwickelt, erhält man:
3*a = a ------> a = 0
3*a - a^3/2 = a ------> a = 0, a = +-2.0000
3*a - a^3/2 + a^5/40 = a ------> a = 0, a = +- 2.3511, a = +- 3.8042
usw.
>Ich habe das dann noch gemacht und _wieder_ etwas vereinfacht!
>(Ist aber sonst ähnlich Deinem vorgehen!)
>
> cos(a) = 1 / (1+h/r) = 1 - (h/r) + (h/r)^2 - . mit h/r = sqrt(1+(l/r)^2) -1
>
>Und genau _hier_ liegt nach _meiner_ Meinung nun die Crux begraben!
>Wg.
> sqrt(1+x) ~= 1 +1/2*x - 1/8*x^2 + ... für x << 1 gilt
>
> [ Rechnung gesnippt ]
>
>und setzt man dann (1 - 4a^2) ~= 1, folgt:
>
> a^3 = 3L/2r wie wir es oben schon (richtig) hatten!
>
>Aber nun weiß ich warum!
>Ich denke es ist die Näherung für die Wurzel!
Yep, sieht ganz danach aus.
>Rechnet man übrigens "nur" mit Gl. 8, wie Du Hermann (fast), mal "numerisch"
>durch
>
> h/r ~= (1/2)*( a + L/(2*r) )^2 (8)
>
> [ Rechnung gesnippt ]
>
>so erhält man für a ~=0,007219... und damit fälschlich h ~= 166,2... m ,
>wenn ich - bzw. EXCEL - mich/sich nicht verrechnet habe/hat! ;o)
>Und falls ja, dann ist die Wurzelnäherung wohl doch das Übel!
>Also, mag das noch mal jemand verifizieren!?
>Ich finde, es ist ein "echt geiles Mathe.-Rätsel"!
>- und natürlich schönes Rätsel sowieso!
>Lohnt sich glatt noch mal sauber aufzuschreiben
>- mal sehen, eventuell später!
Freut mich, daß es Dir Spaß gemacht hat.
Grüße
Hermann
--