Unendlich viele Kugeln
MYWY Becker
durchnumeriert sind mit 1,2,3...
Wir fuehren jetzt drei Experimente durch:
EXPERIMENT 1:
Zum Zeitpunkt 0 tun wir die ersten zehn Kugeln (Nr 1..10) in eine leere
Box und nehmen die Kugel Nr 10 wieder heraus.
Nach einer halben Minute tun wir die naechsten zehn Kugeln in die Box
und nehmen die Nr 20 wieder heraus.
Nach einer viertel Minute tun wir die naechsten zehn Kugeln in die Box
und nehmen die Nr 30 wieder heraus.
Und so weiter ad inf... Wieviele (und welche) Kugeln befinden sich nach
einer Minute in der Box (mal abgesehen davon, dass man den Vorgang in
der Realitaet nicht unendlich oft wiederholen kann)?
EXPERIMENT 2:
Zum Zeitpunkt 0 tun wir die ersten zehn Kugeln in eine leere Box und
nehmen die Kugel Nr 1 wieder heraus.
Nach einer halben Minute tun wir die naechsten zehn Kugeln in die Box
und nehmen die Nr 2 wieder heraus.
Nach einer viertel Minute tun wir die naechsten zehn Kugeln in die Box
und nehmen die Nr 3 wieder heraus.
Und so weiter ad inf... Wieviele (und welche) Kugeln befinden sich nach
einer Minute in der Box (mal abgesehen davon, dass man den Vorgang in
der Realitaet nicht unendlich oft wiederholen kann)?
EXPERIMENT 3:
Zum Zeitpunkt 0 tun wir die Kugeln Nr 1..9 in eine leere Box und haengen
an die "1" eine Null. Aus der Nr "1" wird also eine Nr "10".
Nach einer halben Minute tun wir die Kugeln Nr 11..19 in die Box und
haengen an die "2" eine Null.
Nach einer viertel Minute tun wir die Kugeln Nr 21..29 in die Box und
machen aus der "3" eine "30".
Bei jedem Schritt wird also die kleinste Kugelnummer in der Box mit 10
multipliziert.
Und so weiter ad inf...
Wieviele (und welche) Kugeln befinden sich nach einer Minute in der Box
(mal abgesehen davon, dass man den Vorgang in der Realitaet nicht
unendlich oft wiederholen kann)?
Mo
rewa
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ich bin mir zwar nicht sicher aber ich glaube das deine experimente alle
eines gemeinsam haben - sie gehen alle gegen unendlich (die anzahl der
wiederholungen)
experiment 1: null (mit der voraussetzung: n*unendlich - 1*unendlich=0)
experiment 2: null
experiment 3: unendlich viele kugeln
ich hoffe dass ist nicht total falsch...
mfg rene
ps: sorry wegen der mail - bin neu im netz ;-)
MYWY Becker
Das ist auf jeden Fall richtig.
> experiment 1: null (mit der voraussetzung: n*unendlich - 1*unendlich=0)
Das hiesse, das z.B. zu einem bestimmten Zeitpunkt die Kugel mit der
Beschriftung 1 aus der Box wieder herausgenommen wurde. Ist das
moeglich?
> experiment 2: null
Klingt zunaechst plausibel. Jede Zahl wird ja irgendwann herausgenommen,
man kann den Zeitpunkt sogar genau berechnen. Aber schauen wir uns nun
Experiment 3 an:
> experiment 3: unendlich viele kugeln
Klingt auch plausibel, denn es werden ja keine Kugeln herausgenommen.
Aber vergleiche mal die Beschriftungen der Kugeln, die zu einem
bestimmten Zeitpunkt in Experiment 3 in der Box sind, mit den
Beschriftungen der Kugeln, die zu dem selben Zeitpunkt in Experiment 2
in der Box sind.
Nach dem 1. Schritt haben wir die Kugeln 2..10 in EXPERIMENT 2.
Nach dem 1. Schritt haben wir die Kugeln 2..10 in EXPERIMENT 3.
Nach dem 2. Schritt haben wir die Kugeln 3..20 in EXPERIMENT 2.
Nach dem 2. Schritt haben wir die Kugeln 3..20 in EXPERIMENT 3.
Nach dem 3. Schritt haben wir die Kugeln 4..30 in EXPERIMENT 2.
Nach dem 3. Schritt haben wir die Kugeln 4..30 in EXPERIMENT 3.
Zu jedem Zeitpunkt befinden sich also bei Experiment 2 anscheinend die
gleichen Kugeln in der Box wie bei Experiment 3.
Was meinst du nun?
Moritz
Stefan Tillich
MYWY Becker schrieb:
S
P
O
I
L
E
R
S
P
O
I
L
E
R
1)
Unendlich viele in der Box. Alle Kugeln mit einer ganzzahlig durch 10
teilbaren Nummer fehlen. Diese Kugeln liegen jetzt außerhalb der Box herum
(wo immer sie auch hingelegt werden) und es sind ebenfalls unendlich viele.
2)
Unendlich viele drinnen, unendlich viele draußen. Zur Beschriftung kann man
nur sagen, daß die höchste Zahl außerhalb und die niedrigste Zahl in der Box
im Unendlichen liegt.
3)
Unendlich viele Kugeln in der Box. Die niedrigste Zahl in der Box liegt aber
im Unendlichen.
Hilbert und D'Hopital lassen grüßen. Tolles Spiel mit der Unendlichkeit.
Steve
MYWY Becker
Hmm...
> 1)
> Unendlich viele in der Box. Alle Kugeln mit einer ganzzahlig durch 10
> teilbaren Nummer fehlen. Diese Kugeln liegen jetzt außerhalb der Box herum
> (wo immer sie auch hingelegt werden) und es sind ebenfalls unendlich viele.
>
> 2)
> Unendlich viele drinnen, unendlich viele draußen. Zur Beschriftung kann man
> nur sagen, daß die höchste Zahl außerhalb und die niedrigste Zahl in der Box
> im Unendlichen liegt.
Wo liegt die Kugel mit der Beschriftung 3987937? Wo liegt die Kugel mit
der Beschriftung n, fuer eine beliebige natuerliche Zahl n? Gab es im
Sack Kugeln mit der Beschriftung "unendlich", oder jedenfalls mit
Beschriftungen, die keine natuerliche Zahl darstellen?
> 3)
> Unendlich viele Kugeln in der Box. Die niedrigste Zahl in der Box liegt aber
> im Unendlichen.
Gibt es einen Unterschied zwischen 2 und 3?
Mo
Stefan Tillich
MYWY Becker schrieb:
Die liegt auf jeden Fall außerhalb der Box.
> Wo liegt die Kugel mit
> der Beschriftung n, fuer eine beliebige natuerliche Zahl n? Gab es im
> Sack Kugeln mit der Beschriftung "unendlich", oder jedenfalls mit
> Beschriftungen, die keine natuerliche Zahl darstellen?
Tja, das ist das Problem mit der Unendlichkeit. Die Grenze kann nicht gezogen
werden. Du hast sowohl außerhalb der Box wie auch innerhalb der Box
Unendlichkeiten der gleichen Mächtigkeit. Keine ist größer als die andere, daher
kann n nicht bestimmt werden und eben höchstens die Aussage getroffen werden, daß
die Grenze im Unendlichen liegt. Das heißt ja nicht, daß da jetzt wirklich eine
Kugel mit der Aufschrift unendlich herumliegt.
>
> > 3)
> > Unendlich viele Kugeln in der Box. Die niedrigste Zahl in der Box liegt aber
> > im Unendlichen.
>
> Gibt es einen Unterschied zwischen 2 und 3?
Zwischen 2 und 3 gibts den Unterschied, daß bei 2 auch außerhalb der Box dann
unendlich viele Kugeln herumliegen, wenn man das außerhalb als relevant
betrachtet. Ansonsten gibts dann keinen Unterschied mehr.
ru
Steve
MYWY Becker
Stefan Tillich wrote:
> > > 1)
> > > Unendlich viele in der Box. Alle Kugeln mit einer ganzzahlig durch 10
> > > teilbaren Nummer fehlen. Diese Kugeln liegen jetzt außerhalb der Box herum
> > > (wo immer sie auch hingelegt werden) und es sind ebenfalls unendlich viele.
> > >
> > > 2)
> > > Unendlich viele drinnen, unendlich viele draußen. Zur Beschriftung kann man
> > > nur sagen, daß die höchste Zahl außerhalb und die niedrigste Zahl in der Box
> > > im Unendlichen liegt.
> >
> > Wo liegt die Kugel mit der Beschriftung 3987937?
>
> Die liegt auf jeden Fall außerhalb der Box.
>
> > Wo liegt die Kugel mit
> > der Beschriftung n, fuer eine beliebige natuerliche Zahl n? Gab es im
> > Sack Kugeln mit der Beschriftung "unendlich", oder jedenfalls mit
> > Beschriftungen, die keine natuerliche Zahl darstellen?
>
> Tja, das ist das Problem mit der Unendlichkeit. Die Grenze kann nicht gezogen
> werden. Du hast sowohl außerhalb der Box wie auch innerhalb der Box
> Unendlichkeiten der gleichen Mächtigkeit. Keine ist größer als die andere, daher
> kann n nicht bestimmt werden und eben höchstens die Aussage getroffen werden, daß
> die Grenze im Unendlichen liegt. Das heißt ja nicht, daß da jetzt wirklich eine
> Kugel mit der Aufschrift unendlich herumliegt.
Sicher haben die Unendlichkeiten die gleiche Maechtigkeit, wenn die
Antwort denn stimmen sollte.
Aber wie loest du diesen Widerspruch:
Du behauptest, in der Box liegen am Schluss unendlich viele Kugeln.
Dann gibt es natuerlich mindestens eine Kugel, die in der Box liegt.
Diese Kugel habe die Aufschrift n (alle Kugeln waren beschriftet mit
natuerlichen Zahlen).
Die Kugel mit der Aufschrift n wurde aber zum Zeitpunkt t aus der Box
genommen und nicht wieder hineingetan. Widerspruch.
Mo
Stefan Tillich
MYWY Becker schrieb:
Für jedes n, das du mir nennst, kann ich dir einen Zeitpunkt t sagen, zu dem die Kugel
n aus der Box genommen wurde. Nach einer Minute gilt für jedes noch so große n, das
genannt wird, daß es außerhalb der Box liegt . Dennoch liegen noch weiter unendlich
viele Kugeln in der Box. Damit ergibt sich die Situation, daß alle Kugeln n außerhalb
der Box liegen, obwohl noch immer unendlich viele Kugeln in der Box liegen.
Gegenparadoxon (ad 2 und 3)
Sollten nicht unendlich viele Kugeln nach einer Minute in der Box liegen, wie löst du
dann folgendes Paradoxon:
Bei jeder Aktion werden netto gesehen 9 Kugeln in die Box gelegt. Das wird unendlich
oft wiederholt und es wird nie eine Kugel netto herausgenommen. Wie sollen nun weniger
als unendlich viele Kugeln in der Box liegen?
>
> Die Kugel mit der Aufschrift n wurde aber zum Zeitpunkt t aus der Box
> genommen und nicht wieder hineingetan. Widerspruch.
Ist kein Widerspruch zur Aussage, daß unendlich viele Kugeln in der Box liegen.
ru
Steve
MYWY Becker
> > Die Kugel mit der Aufschrift n wurde aber zum Zeitpunkt t aus der Box
> > genommen und nicht wieder hineingetan. Widerspruch.
>
> Ist kein Widerspruch zur Aussage, daß unendlich viele Kugeln in der Box liegen.
mindestens eine gibt, von der wir beweisen koennen, dass sie nicht in
der Box ist. Das ist ein ganz klarer Widerspruch. Also liegen in der Box
keine Kugeln (weil es nicht mindestens eine Kugel in der Box gibt).
Und weiteres Paradoxon: wenn in der Box bei Experiment 2 keine Kugeln
sind, warum sind bei Experiment 3 auf jeden Fall unendlich viele Kugeln
in der Box, obwohl zu jedem Zeitpunkt nachweislich der Inhalt von 2 und
3 identisch sind (aufgrund der Konstruktion von Experiment 3)?
> Gegenparadoxon (ad 2 und 3)
> Sollten nicht unendlich viele Kugeln nach einer Minute in der Box liegen, wie löst du
> dann folgendes Paradoxon:
> Bei jeder Aktion werden netto gesehen 9 Kugeln in die Box gelegt. Das wird unendlich
> oft wiederholt und es wird nie eine Kugel netto herausgenommen. Wie sollen nun weniger
> als unendlich viele Kugeln in der Box liegen?
Auch plausibel, natuerlich. Also liegen in der Box unendlich viele
Kugeln.
Was machen wir daraus?
Mo
Bertram Felgenhauer
> Wir haben einen Sack voll mit unendlich vielen Kugeln, die
> durchnumeriert sind mit 1,2,3...
> Wir fuehren jetzt drei Experimente durch:
[SPOILER]
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> EXPERIMENT 1:
> Zum Zeitpunkt 0 tun wir die ersten zehn Kugeln (Nr 1..10) in eine leere
> Box und nehmen die Kugel Nr 10 wieder heraus.
> Nach einer halben Minute tun wir die naechsten zehn Kugeln in die Box
> und nehmen die Nr 20 wieder heraus.
> Nach einer viertel Minute tun wir die naechsten zehn Kugeln in die Box
> und nehmen die Nr 30 wieder heraus.
> Und so weiter ad inf... Wieviele (und welche) Kugeln befinden sich nach
> einer Minute in der Box (mal abgesehen davon, dass man den Vorgang in
> der Realitaet nicht unendlich oft wiederholen kann)?
Unendlich viele; es befinden sich alle die Kugeln in der Box, deren
Nummer nicht durch 10 teilbar ist.
> EXPERIMENT 2:
> Zum Zeitpunkt 0 tun wir die ersten zehn Kugeln in eine leere Box und
> nehmen die Kugel Nr 1 wieder heraus.
> Nach einer halben Minute tun wir die naechsten zehn Kugeln in die Box
> und nehmen die Nr 2 wieder heraus.
> Nach einer viertel Minute tun wir die naechsten zehn Kugeln in die Box
> und nehmen die Nr 3 wieder heraus.
> Und so weiter ad inf... Wieviele (und welche) Kugeln befinden sich nach
> einer Minute in der Box (mal abgesehen davon, dass man den Vorgang in
> der Realitaet nicht unendlich oft wiederholen kann)?
Null. Jede Kugel, die in die Kiste gepackt wurde, wurde ja spaeter wieder
herausgenommen.
> EXPERIMENT 3:
> Zum Zeitpunkt 0 tun wir die Kugeln Nr 1..9 in eine leere Box und haengen
> an die "1" eine Null. Aus der Nr "1" wird also eine Nr "10".
> Nach einer halben Minute tun wir die Kugeln Nr 11..19 in die Box und
> haengen an die "2" eine Null.
> Nach einer viertel Minute tun wir die Kugeln Nr 21..29 in die Box und
> machen aus der "3" eine "30".
> Bei jedem Schritt wird also die kleinste Kugelnummer in der Box mit 10
> multipliziert.
> Und so weiter ad inf...
> Wieviele (und welche) Kugeln befinden sich nach einer Minute in der Box
> (mal abgesehen davon, dass man den Vorgang in der Realitaet nicht
> unendlich oft wiederholen kann)?
Unendlich viele. Es sind die, die urspruenglich mit den nicht durch
10 teilbaren Zahlen beschriftet waren, allerdings werden diese
inzwischen jeweils von unendlich vielen 0-en gefolgt; die Beschriftungen
sind also keine natuerlichen Zahlen mehr.
Bertram
--
`.oo'
,. (`-'
'^\`-' ) Living on Earth may be expensive, but it includes
c-L'- an annual free trip around the Sun.
Arne Binder
> Arne Binder wrote in <98subh$3bk50$1...@ID-57425.news.dfncis.de>:
>
> S
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> #
> #
> #
> #
> >[...] Denn die Ansätze können logischerweise nicht beide
> >korrekt sein.
>
> Sei Dir da mal nicht so sicher!
Da bin ich mir ausnahmsweise sogar mal 100%-ig sicher! Es gibt keine Aussage,
die nicht entweder wahr oder falsch ist. Da die Ergebnisse beider Ansätze
verschieden sind, muß in einem von ihnen eine falsche Annahme oder eine falsche
Implikation durchgeführt worden sein.
Arne
Arne Binder
> Falls Du mit mir nicht übereingehst, bitte ich Dich, nicht beim
> schwammigen Begriff Grenzübergang zu bleiben, sondern diesen klar zu
> definieren.
Eigentlich habe ich das Wort "Grenzübergang" ja gar nicht verwendet.
> Was sagt Deine Definition des Grenzübergangs? Liegt bei ihr Kugel 1 in der
> Box, nicht in der Box oder ist das Ergebnis nicht definiert?
Nach meiner Definition ist es unter bestimmten Bedingungen nicht zulässig, von
der Betrachtung einer bestimmten Kugel auf den Ausgang des Experimentes (die
Menge der Kugeln in der Box zum Zeitpunkt t=1) zu schließen.
Genaueres steht in den anderen Postings. Das Ergebnis ist eine unendliche Menge
Kugeln in der Box, deren Indizes jedoch nicht definiert sind.
Arne
Arne 'Timwi' Heizmann
Arne Binder wrote:
>
> "Herbert Kremser" <kre...@flinux.tu-graz.ac.at> schrieb im Newsbeitrag news:98rb7v$fid$1...@fstgss02.tu-graz.ac.at...
> > [...]
> >
> > Bei unendlichen Mengen ist es halt so, dass man durchaus auch unendlich
> > viele rausnehmen kann und trotzdem noch unendlich viele drin bleiben
> > koennen.
>
> Ich weiß nicht, ob du bei Arne Heizmann mit dieser Ansicht sehr viel Erfolg
> haben wirst. Ich habe schon vergeblich versucht, verschiedene "Unendliche"
> einzuführen (-;
LOL! Kaum erscheint ein Unendlich-Thread, ist Arne Binder wieder da!
POPCORNF!!!!
SCNR :-)
Timwi
MYWY Becker
Arne Binder wrote:
> Da bin ich mir ausnahmsweise sogar mal 100%-ig sicher! Es gibt keine Aussage,
> die nicht entweder wahr oder falsch ist.
Na, und da bist du dir 100%ig sicher? Hmm...
Arne Binder ;)
Mo
MYWY Becker
Arne Binder wrote:
> Diese Behauptung, daß "jede" Kugel wieder herausgenommen wurde, ist falsch.
> Denn jeder Entnahme einer Kugel geht ein Hineinlegen von 10 Kugeln voraus.
> Daher kann man niemals jede Kugel entnommen haben. Das ist doch logisch
> korrekt, oder?
Nein, das ist nicht korrekt. Jede Kugel wird tatsaechlich zu einem
Zeitpunkt t<1 wieder herausgenommen. Das ist wahr.
> Ich versuch's mal. Genauso müßtest du allerdings auch in Ansatz 1 einen
> Fehler finden können. Denn die Ansätze können logischerweise nicht beide
> korrekt sein. Dein Rätsel besteht wahrscheinlich darin, den Fehler bei
> Ansatz 2 zu finden ;-)
Nein, eigentlich nicht, du wirst da keinen Fehler finden.
Mo
Juergen Reinfeldt
>MYWY Becker wrote in <3AAFB4EA...@cam.ac.uk>:
>
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>>
>
>Welche Folgen sind nun zu untersuchen?
>
>Für jedes Experiment E=1,2,3 gibt es je zwei Folgen:
>
>Die Folge fEM der Mengen der Kugeln in der Box.
>Die Folge fEA der Anzahlen der Kugeln in der Box.
>
>Die fEA konvergieren alle gegen oo.
>
>f1M konvergiert auch, wir können genau sagen, welche Kugeln
>in die Box kommen ohne (sogar sofort) herausgenommen zu werden,
>es sind die ohne Endziffer 0.
>
>Bei f2M fliegt jede Kugel irgendwann heraus und kehrt nie wieder
>zurück. Also wohl Konvergenz gegen { }.
>
>Ist das ein Widerspruch zu f2A -> oo ?
>Nur, wenn man behauptet, daß die Bedeutung "Anzahl" auch beim
>Grenzübergang erhalten bleibt. Dem ist also wohl nicht so.
>
>f3M lasse ich erst mal aus, da ich da die Folge wegen der
>Umnummerierung präziser definieren müßte und nicht einfach
>Kugeln mit Nummern identifizieren kann.
Naja, dann muß ich hier halt differenzieren:
f3M ist ja eine Folge von Mengen von Kugeln;
um über sie reden zu können, identifiziere
ich sie mit den *ursprünglichen* Nummern.
Dann gilt f3M=f1M. Also Konvergenz gegen die Menge der Kugeln
mit einer Ursprungsbezeichnung Nichtvielfache von 10.
Jetzt fehlen noch die Folgen der jeweils aktuellen
Bezeichnungen fEB, die ich nur im 3. Experiment gesondert
untersuchen muß.
f3B=f2B Also Konvergenz gegen { }.
Das ist wieder nur ein Widerspruch, wenn man annimmt, daß
die Bedeutung beim Grenzübergang erhalten bleibt,
dass ist also nicht so.
Tschüs Jürgen
Juergen Reinfeldt
>Und so weiter ad inf...
>Wieviele (und welche) Kugeln befinden sich nach einer Minute in der Box
>(mal abgesehen davon, dass man den Vorgang in der Realitaet nicht
>unendlich oft wiederholen kann)?
Gut, wir sollen davon absehen, ob man den Vorgang *in* *der* *Realität*
nicht unendlich oft wiederholen kann, also die *praktische* Unmöglichkeit
des Übergangs von einem Gedankenexperiment zu einem "echten" außer acht
lassen. Das hindert uns aber nicht daran, zu untersuchen, ob die
Folgen konvergieren.
Welche Folgen sind nun zu untersuchen?
Für jedes Experiment E=1,2,3 gibt es je zwei Folgen:
Die Folge fEM der Mengen der Kugeln in der Box.
Die Folge fEA der Anzahlen der Kugeln in der Box.
Die fEA konvergieren alle gegen oo.
f1M konvergiert auch, wir können genau sagen, welche Kugeln
in die Box kommen ohne (sogar sofort) herausgenommen zu werden,
es sind die ohne Endziffer 0.
Bei f2M fliegt jede Kugel irgendwann heraus und kehrt nie wieder
zurück. Also wohl Konvergenz gegen { }.
Ist das ein Widerspruch zu f2A -> oo ?
Nur, wenn man behauptet, daß die Bedeutung "Anzahl" auch beim
Grenzübergang erhalten bleibt. Dem ist also wohl nicht so.
f3M lasse ich erst mal aus, da ich da die Folge wegen der
Umnummerierung präziser definieren müßte und nicht einfach
Kugeln mit Nummern identifizieren kann.
Tschüs Jürgen
Juergen Reinfeldt
>>> EXPERIMENT 2:
...
>> Null. Jede Kugel, die in die Kiste gepackt wurde, wurde ja spaeter
>> wieder herausgenommen.>
>NACK, Es sind unendlich viele Kugeln in der Box, aber alle Kugeln in der
>Box haben eine unendlich grosse Ordnungsnummer.
>(Und da diese Nummern in der Box alle unendlich gross sind, ergibt sich
>auch kein Widerspruch, d.h. wenn du eine endlich grosse Nummer nennst
>dann ist die klarerweise ausserhalb der Box)
Kann man jetzt eine Kugel herausnehmen und untersuchen, was man
sicher über sie weiss?
Wir wissen doch, dass jede Kugel vor dem Hereinlegen eine endliche
Ordnungsnummer erhalten hat, und die hat sie behalten.
Tschüs Jürgen
Juergen Reinfeldt
>
>Wo ist das Problem?
>Bei Experiment 1 sind am Schluss unendlich viele Kugeln in der Box,
>bei Experiment 2 und 3 offensichtlich keine.
Es ist auch "offensichtlich", daß sich bei den Experimenten 2 und 3
immer, also doch wohl auch "am Schluß" genauso viele Kugeln in der
Box befinden wie bei Exp. 1.
Bei 3 werden nur Kugeln in die Box getan und keine herausgenommen.
Wieso sollten dann irgendwann keine mehr drin sein?
Tschüs Jürgen
Jens Voss
Wo ist das Problem?
Bei Experiment 1 sind am Schluss unendlich viele Kugeln in der Box,
bei Experiment 2 und 3 offensichtlich keine.
Gruß,
Jens
Juergen Reinfeldt
>Aber wie loest du diesen Widerspruch:
>Du behauptest, in der Box liegen am Schluss unendlich viele Kugeln.
>Dann gibt es natuerlich mindestens eine Kugel, die in der Box liegt.
>Diese Kugel habe die Aufschrift n (alle Kugeln waren beschriftet mit
>natuerlichen Zahlen).
>Die Kugel mit der Aufschrift n wurde aber zum Zeitpunkt t aus der Box
>genommen und nicht wieder hineingetan. Widerspruch.
>
Durch Nichtanerkennen des Auswahlaxioms.
Tschüs Jürgen
Carsten Peters
hab gerade die Diskussion hier entdeckt und würde mich da gerne dran
beteiligen.
MYWY Becker <myw...@cam.ac.uk> schrieb in im Newsbeitrag:
3AB009D7...@cam.ac.uk...
> Doch, weil unendlich viele Kugeln in der Box impliziert, dass es
> mindestens eine gibt, von der wir beweisen koennen, dass sie nicht in
> der Box ist. Das ist ein ganz klarer Widerspruch.
Ich bin dabei doch eher Stefans Ansicht, denn die "Schleife" wird unendlich
oft durchlaufen. Dabei lege ich in der Summe unendlich*9 Kugeln hinein und
nehme unendlich*1 Kugeln heraus. Den Widerspruch, den du oben angesprochen
hast, sehe ich nicht. Denn am Anfang (vor dem ersten Durchlauf) sind
unendlich viele Kugeln außerhalb der Kiste. Egal, wieviele Kugeln ich nun
von diesen wegnehme, bleiben es doch immer noch unendlich viele, begründet
durch die Definition der Unendlichkeit.
>Also liegen in der Box
> keine Kugeln (weil es nicht mindestens eine Kugel in der Box gibt).
Es gibt immer mindestens eine Kugel in der Box, da nie die Gesamtheit aller
Kugeln, sondern nur 1 von min. 10 Kugeln entfernt wird.
Gleiches gilt meiner Meinung nach für die Experimente 2&3, lediglich die
Zahlen auf den Kugeln inner- und außerhalb der Box unterscheiden sich, wobei
ich mich aber wieder Stefans Lösung anschließe.
Auf jeden Fall macht diese Aufgabe Spaß, und wenn ich mich mit meinen
Annahmen irren sollte, bin ich gespannt auf die Lösung.
Bis dann
Carsten
Juergen Reinfeldt
>>>>> EXPERIMENT 2:
>> ...
>>>NACK, Es sind unendlich viele Kugeln in der Box, aber alle Kugeln in der
>>>Box haben eine unendlich grosse Ordnungsnummer.
>>>(Und da diese Nummern in der Box alle unendlich gross sind, ergibt sich
>>>auch kein Widerspruch, d.h. wenn du eine endlich grosse Nummer nennst
>>>dann ist die klarerweise ausserhalb der Box)
>
>> Kann man jetzt eine Kugel herausnehmen und untersuchen, was man
>> sicher über sie weiss?
>
>Theoretisch ja. In der Praxis wirds aber daran scheitern dass du in einer
>endlichen Box nicht unendlich viel Kugeln reinbringst.
Ich meinte herausnehmen im Sinne von auswählen.
>> Wir wissen doch, dass jede Kugel vor dem Hereinlegen eine endliche
>> Ordnungsnummer erhalten hat, und die hat sie behalten.
>
>Nein. Woher willst du das denn wissen? Wir wissen das wir unendlich
>viel Kugeln reingetan haben, deshalb wissen wir eben nicht dass alle
>Kugeln eine endlich Nummer haben. Wir wissen sogar dass wir 9*
>unendlich viele Kugeln reingetan haben. ;-)
Evtl. verwendest Du eine exotische Axiomatik, dann oute das bitte.
Beantworte bitte folgendes:
Es gibt unendlich viele natürliche Zahlen 1,2,3,...
Wieviele davon sind unendlich groß?
Tschüs Jürgen
Thomas Popp
MYWY Becker schrieb:
>
> EXPERIMENT 1, 2 und 3
>
Zu der Diskussion um Exp. 2 zum Thema "kann ich nun eine Kugel aus der Box
nehmen (nach Ablauf der einen Minute) und diese betrachten" hätte ich
folgendes beizusteuern:
Ein "Untersuchen" einer Kugel IN der Box ist auf keinen Fall möglich, denn
dazu muss ich mir diese besagte Kugel "heraussuchen", sie mir also (weil es
ja ein Gedankenexperiment ist) vorstellen bzw. ausdenken.
Im selben Moment, wo ich die Kugel aber präzisiere (=herausnehmen oder.
ausdenken), liegt sie aber sicher außerhalb der Box und die Kugeln in der
Box entwischen wieder in die geheimnisvolle Unendlichkeit.
In der Box liegen daher alle "noch nicht ausgedachten/untersuchten"
natürlichen Zahlen, unendlich größer als die größte bisher untersuchte Zahl.
Durch den Grenzübergang im Gedankenkenexperiment entziehe ich mir bei
Experiment 2 einfach der Möglichkeit, eine Kugeln in der Box zu betrachten.
Auch eine gedankliche Untersuchung wird unmöglich :-)
BTW: Wieviele Kugeln sind eigentlich noch im Sack, aus dem diese ganze
Kugellawine entsprungen ist
Tom
--
Ob Sonne oder Regen, egal, ich bin dagegen!
http://www.sbox.tu-graz.ac.at/home/t/topo/ bzw. http://go.to/topo
Stefan Tillich
Juergen Reinfeldt schrieb:
Das siehst du richtig
>
> >
> >f1M konvergiert auch, wir können genau sagen, welche Kugeln
> >in die Box kommen ohne (sogar sofort) herausgenommen zu werden,
> >es sind die ohne Endziffer 0.
Das siehst du richtig.
>
> >
> >Bei f2M fliegt jede Kugel irgendwann heraus und kehrt nie wieder
> >zurück. Also wohl Konvergenz gegen { }.
Das siehst du falsch. Sagen wir, wir ordnen die Menge aufsteigend. Das
Herausfliegen einer Kugel hat das Hereinnehmen von 9 neuen Kugeln
ZWINGEND und IMMER zur Folge. Eine Konvergenz gegen die leere Menge ist
falsch.
>
> >
> >Ist das ein Widerspruch zu f2A -> oo ?
Ja natürlich. f2A ist die Mächtigkeit von f2M. Die Mächtigkeit der
leeren Menge ist 0 und nicht unendlich. Da spielen wir nicht mal in der
selben Liga :-)
>
> >Nur, wenn man behauptet, daß die Bedeutung "Anzahl" auch beim
> >Grenzübergang erhalten bleibt. Dem ist also wohl nicht so.
???
Die Bedeutung Anzahl bleibt auch beim Bilden des Grenzwert erhalten.
Warum sollte sie das denn nicht?
>
> >
> >f3M lasse ich erst mal aus, da ich da die Folge wegen der
> >Umnummerierung präziser definieren müßte und nicht einfach
> >Kugeln mit Nummern identifizieren kann.
>
> Naja, dann muß ich hier halt differenzieren:
>
> f3M ist ja eine Folge von Mengen von Kugeln;
> um über sie reden zu können, identifiziere
> ich sie mit den *ursprünglichen* Nummern.
>
> Dann gilt f3M=f1M. Also Konvergenz gegen die Menge der Kugeln
> mit einer Ursprungsbezeichnung Nichtvielfache von 10.
Korrekt.
>
> Jetzt fehlen noch die Folgen der jeweils aktuellen
> Bezeichnungen fEB, die ich nur im 3. Experiment gesondert
> untersuchen muß.
>
> f3B=f2B Also Konvergenz gegen { }.
Falsch. s.o.
>
> Das ist wieder nur ein Widerspruch, wenn man annimmt, daß
> die Bedeutung beim Grenzübergang erhalten bleibt,
> dass ist also nicht so.
Es gibt keinen Widerspruch, s.o.
>
>
> Tschüs Jürgen
ru
Steve
Juergen Reinfeldt
>
>
>MYWY Becker schrieb:
>
>>
>> EXPERIMENT 1, 2 und 3
>>
>
>Zu der Diskussion um Exp. 2 zum Thema "kann ich nun eine Kugel aus der
>Box nehmen (nach Ablauf der einen Minute) und diese betrachten" hätte
>ich folgendes beizusteuern:
>
>Ein "Untersuchen" einer Kugel IN der Box ist auf keinen Fall möglich,
>denn dazu muss ich mir diese besagte Kugel "heraussuchen", sie mir also
>(weil es ja ein Gedankenexperiment ist) vorstellen bzw. ausdenken.
>Im selben Moment, wo ich die Kugel aber präzisiere (=herausnehmen oder.
>ausdenken), liegt sie aber sicher außerhalb der Box und die Kugeln in
>der Box entwischen wieder in die geheimnisvolle Unendlichkeit.
Ich verstehe das als bewußt blumig gehaltenen Problemhinweis,
bei dem man nicht jedes Wort auf die Goldwaage legen sollte;
in diesem Sinne oK.
>In der Box liegen daher alle "noch nicht ausgedachten/untersuchten"
>natürlichen Zahlen, unendlich größer als die größte bisher untersuchte
>Zahl.
Das ist nach dem üblichem Zahlenverständnis der Mathematiker
Quatsch, aber das ist Dir wohl durchaus klar. (?)
>Durch den Grenzübergang im Gedankenkenexperiment entziehe ich mir bei
>Experiment 2 einfach der Möglichkeit, eine Kugeln in der Box zu
>betrachten. Auch eine gedankliche Untersuchung wird unmöglich :-)
Der Grenzübergang ist das Problem, insofern ja.
Siehe meine Lösung.
Tschüs Jürgen
Arne Binder
sicher haben mich schon ein paar Leute in dieser Diskussion vermisst ;-)
"MYWY Becker" <myw...@cam.ac.uk> schrieb im Newsbeitrag news:3AB009D7...@cam.ac.uk...
> Stefan Tillich wrote:
> > > Die Kugel mit der Aufschrift n wurde aber zum Zeitpunkt t aus der Box
> > > genommen und nicht wieder hineingetan. Widerspruch.
> >
> > Ist kein Widerspruch zur Aussage, daß unendlich viele Kugeln in der Box liegen.
>
> Doch, weil unendlich viele Kugeln in der Box impliziert, dass es
> mindestens eine gibt, von der wir beweisen koennen, dass sie nicht in
> der Box ist. Das ist ein ganz klarer Widerspruch. Also liegen in der Box
> keine Kugeln (weil es nicht mindestens eine Kugel in der Box gibt).
Soweit ich das sehe, gibt es zum Lösen von Experiment 2 zwei Ansätze:
____________________________________________________________________________________
Def.: n=ld(1/(1-t)), also 0,1,2,3,...
1. Betrachtung der Gesamtzahl der Kugeln
In der Box: zi(n)=n*9
Außerhalb der Box: za(n)=n
(Beweis durch vollständige Induktion durchführbar)
Man sieht sofort, die Folgen zi und za streben beide gegen unendlich. =>
In der Box befinden sich am Ende unendlich viele Kugeln.
2. Betrachtung einer bestimmten Kugel
Zu jedem Zeitpunkt t1, an dem eine Kugel in die Box gelegt wurde, existiert ein
Zeitpunkt t2, der zwischen 1 und t0 liegt, an dem die Kugel wieder herausgenommen
wurde. => In der Box befinden sich am Ende 0 Kugeln.
____________________________________________________________________________________
Das Problem bei der Aufgabe ist, daß die Zahl der Kugeln in der Box die Differenz
zweier divergenter unendlicher Reihen ist.
Es stellt sich nun die Frage, in welchem der beiden Lösungsansätze ein Fehler steckt.
Meiner Meinung nach ist Ansatz 2 falsch. Begründung:
Zur Begründung möchte ich das Problem erst einmal auf die Integralrechnung übertragen.
Ich betrachte dazu das uneigentliche Integral von -oo bis +oo der Funktion
| 9 für x>=0 |
f(x) = | |
| -1 für x<0 |
Die Folgerung, daß dieses Integral mit Sicherheit nicht größer als 0 ist, weil eben
eine unendlich große Fläche abgezogen wird, erkennt man hier eindeutig als falsch.
Der Trick an der Aufgabenstellung ist die Indexierung der Kugeln. Allein schon aus
der Tatsache, daß Ansatz 2 bei Entfernung dieser Indexierung nicht mehr haltbar ist,
läßt bereits einen Fehler vermuten.
Es gibt auch einen einfachen Trick, mit dem man sich geschickt aus der Affaire ziehen
kann. Man beschriftet die Kugeln nicht, sondern sie bekommen "Aufkleber". Nun kann
ich nach jedem Hinzufügen von Kugeln, den Aufkleber mit der niedrigesten Nummer und
den Aufkleber einer beliebigen soeben hinzugefügten Kugel vertauschen. Damit ändert
sich am Experiment ja offenbar nichts. Allerdings kann ich von 9 der hineingelegten
Kugeln behaupten, daß sie niemals wieder herausgenommen werden. Denn sobald eine von
ihnen die niedrigste Nummer hat, bekommt sie sofort eine neue höhere Nummer.
Arne
Arne Binder
> [...]
>
> Bei unendlichen Mengen ist es halt so, dass man durchaus auch unendlich
> viele rausnehmen kann und trotzdem noch unendlich viele drin bleiben
> koennen.
Ich weiß nicht, ob du bei Arne Heizmann mit dieser Ansicht sehr viel Erfolg
haben wirst. Ich habe schon vergeblich versucht, verschiedene "Unendliche"
einzuführen (-;
Arne
Arne 'Timwi' Heizmann
Carsten Peters wrote:
>
> Ich bin dabei doch eher Stefans Ansicht, [...]
> Den Widerspruch, den du oben angesprochen hast, sehe ich nicht.
Ich finde es doch immer wieder faszinierend, wie manche Leute etwas
beweisen, indem sie etwas "nicht sehen". Ohne auch nur das geringste
Gegenargument, phänomenal :-)
MYWY Becker
Arne Binder wrote:
>
> Hi,
>
> sicher haben mich schon ein paar Leute in dieser Diskussion vermisst ;-)
Arne Binder. Unendlichkeit. *Schluck*.
;)
[...]
> Meiner Meinung nach ist Ansatz 2 falsch. Begründung:
>
> Zur Begründung möchte ich das Problem erst einmal auf die Integralrechnung übertragen.
> Ich betrachte dazu das uneigentliche Integral von -oo bis +oo der Funktion
>
> | 9 für x>=0 |
> f(x) = | |
> | -1 für x<0 |
>
> Die Folgerung, daß dieses Integral mit Sicherheit nicht größer als 0 ist, weil eben
> eine unendlich große Fläche abgezogen wird, erkennt man hier eindeutig als falsch.
[...]
Das Argument (dein Ansatz 2), dass am Ende null Kugeln in der Box sind,
basiert doch nicht darauf, dass unendlich von unendlich abgezogen wird
(was auch immer "unendlich" sein soll). Es basiert viel mehr darauf,
dass sich beweisen laesst, dass *jede* Kugel zu einem Zeitpunkt zwischen
0 und 1 Minute herausgenommen wurde, sich also nicht in der Box
befindet.
Ich will hiermit nicht sagen, dass Ansatz 2 korrekt ist, aber ich
wiederhol hier nochmal die formale Argumentationskette, die zu der
Aussage "Anzahl=0" fuehrt. Wenn alle Zwischenschritte richtig sind,
muesste auch das Ergebnis richtig sein. Wenn du mit dem Ergebnis nicht
uebereinstimmst, muesstest du mindestens einen Zwischenschritt als
falsch bezeichnen koennen. Das ist meine Herausforderung an dich.
(1) Angenommen, es befindet sich zum Zeitpunkt t=1 mindestens eine Kugel
in der Box.
(2) Lemma: Fuer jede Kugel existiert eine natuerliche Zahl n, so dass n
die Aufschrift der Kugel ist.
(3) Aus (1) und Instantiierung von (2) folgt: es befindet sich zum
Zeitpunkt t=1 mindestens eine Kugel in der Box, und fuer diese Kugel
existiert eine natuerliche Zahl n, so dass n die Aufschrift der Kugel
ist.
(4) Lemma: Fuer jede Kugel mit der Aufschrift n gilt: es existiert ein
Zeitpunkt t1 mit 0<=t<1, zu dem die Kugel in die Box hineingetan wurde,
und ein Zeitpunkt t2 mit t1<=t2<1, zu dem die Kugel wieder
herausgenommen wurde.
(5) Aus (3) und (4) folgt: es befindet sich zum Zeitpunkt t=1 mindestens
eine Kugel in der Box, die zu einem Zeitpunkt t2 mit 0<=t<1 aus der Box
herausgenommen wurde.
(6) Aus (5) folgt: es befindet sich zum Zeitpunkt t=1 mind. eine Kugel
in der Box, die sich ausserhalb der Box befindet.
WIDERSPRUCH.
Also ist (1) falsch, also ist ~(1) richtig. Also befindet sich zum
Zeitpunkt t=1 keine Kugel in der Box.
Mo
Juergen Reinfeldt
Du betrachtest die Anzahl der Kugeln.
Das betrifft aber unmittelbar nur f2A und nicht f2M.
Über f2A sind wir uns ja einig.
Du meinst mit dem untigen Widerspruch, der IMHO
aber keiner ist, die Konvergenz gegen die leere Menge
widerlegen zu können. Siehe dazu weiter unten.
Ich betrachte einfach die durchnummerierten Kugeln.
Man braucht für jede beliebig ausgewählte Nummer nur
lange genug zu warten, und sie ist dann für ewig aus
der Box, kommt mit anderen Worten in allen späteren
Folgengliedern, die ja Mengen sind, nicht mehr vor.
Man kann für jede einzelne natürliche Zahl n eine Folge
von Wahrheitswerten definieren, wobei "wahr" heißen soll:
Die Kugel n ist in der Box.
Jede dieser Folgen konvergiert offensichtlich gegen den
Wahrheitswert "falsch". (Wir sind immer noch bei Exp. 2.)
Ich meine, wenn alle diese Folgen konvergieren, muß man
sagen, daß f2M konvergiert, und zwar entsprechend den
Wahrheitswerten, also gegen { }.
>>
>> >
>> >Ist das ein Widerspruch zu f2A -> oo ?
>
>Ja natürlich. f2A ist die Mächtigkeit von f2M. Die Mächtigkeit der
>leeren Menge ist 0 und nicht unendlich. Da spielen wir nicht mal in der
>selben Liga :-)
Dieser Unterschied ist mir natürlich auch aufgefallen :-).
>>
>> >Nur, wenn man behauptet, daß die Bedeutung "Anzahl" auch beim
>> >Grenzübergang erhalten bleibt. Dem ist also wohl nicht so.
>
>???
>Die Bedeutung Anzahl bleibt auch beim Bilden des Grenzwert erhalten.
>Warum sollte sie das denn nicht?
Tja, eigentlich kann man nicht so argumentieren, daß ich den Beweis
antreten müßte. Es ist erstmal eine unbewiesene Behauptung, daß
die Bedeutung Anzahl (besser: Mächtigkeit) erhalten bleiben muß.
Wenn f2M gegen { } konvergiert, ist sie durch Gegenbeispiel widerlegt.
Beim Grenzübergang kann man mitunter Verblüffendes erleben.
Beispiel:
Gegebn eine Folge von Funktionen, für jedes i aus N sei
f_i eine Funktion und es soll gelten:
f_i(x)=x^i für 0<=x<=1
für i -> oo konvergiert die Folge gegen
f_oo mit f_oo(x)=1 für x=1
f_oo(x)=0 sonst.
Die f_i sind alle stetig, f_oo aber nicht.
Die Eigenschaft Stetigkeit bleibt also beim Grnzübergang
nicht erhalten.
Rest gesnippt
Tschüs Jürgen
Stefan Tillich
Juergen Reinfeldt schrieb:
> Stefan Tillich wrote in <3AB0F6B7...@sbox.tu-graz.ac.at>:
>
> >
> >
> >Juergen Reinfeldt schrieb:
>
[snip]
>
> >> >Bei f2M fliegt jede Kugel irgendwann heraus und kehrt nie wieder
> >> >zurück. Also wohl Konvergenz gegen { }.
> >
> >Das siehst du falsch. Sagen wir, wir ordnen die Menge aufsteigend. Das
> >Herausfliegen einer Kugel hat das Hereinnehmen von 9 neuen Kugeln
> >ZWINGEND und IMMER zur Folge. Eine Konvergenz gegen die leere Menge ist
> >falsch.
>
> Du betrachtest die Anzahl der Kugeln.
> Das betrifft aber unmittelbar nur f2A und nicht f2M.
> Über f2A sind wir uns ja einig.
Stimmt, da das die einzige sichere Aussage ist, die ich noch über diese
Folge von Mengen treffen kann. Nichts mathematisches, aber vielleicht
veranschaulicht folgendes die Situation:
Aussehen der Mengen in der Box nach 1,2 bzw. 3 Zügen:
1. Zug
{ 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
2. Zug
{ 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}
3. Zug
{ 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23,
24, 25, 26, 27, 28, 29, 30}
usw.
Wo erkennst du da einer Konvergenz gegen { } ?
>
> Du meinst mit dem untigen Widerspruch, der IMHO
> aber keiner ist, die Konvergenz gegen die leere Menge
> widerlegen zu können. Siehe dazu weiter unten.
Das ist ein Widerspruch, denn die leere Menge hat 0 Elemente. Wenn du in
einem anderen als dem uns allen bekannten mathematischen System operierst,
wo diese Aussage nicht erfüllt ist, so sags bitte vorher :-)
>
> Ich betrachte einfach die durchnummerierten Kugeln.
> Man braucht für jede beliebig ausgewählte Nummer
Das stimmt, aber eine solche Betrachtung ist beim Grenzwert sinnlos, da du
Äpfel mit Birnen vergleichst. Siehe auch Posting von Thomas Popp zum Thema
ausgewählte Kugeln.
> nur
> lange genug zu warten, und sie ist dann für ewig aus
> der Box, kommt mit anderen Worten in allen späteren
> Folgengliedern, die ja Mengen sind, nicht mehr vor.
Willst du wirklich eine Konvergenz der Mengenfolge beweisen, so mußt du
gleichzeitig auch die Obergrenze der Mengen im Auge behalten und nicht nur
die untere Grenze. Das ist dein Fehler.
>
> Man kann für jede einzelne natürliche Zahl n eine Folge
> von Wahrheitswerten definieren, wobei "wahr" heißen soll:
> Die Kugel n ist in der Box.
>
> Jede dieser Folgen konvergiert offensichtlich gegen den
> Wahrheitswert "falsch". (Wir sind immer noch bei Exp. 2.)
Leider konvergieren sie nicht mit dem selben Zeitpunkt nach falsch. Daher
ist eine getrennte Betrachtung dieser (zugegeben sehr originellen "binären"
Folgen) unzulässig.
>
> Ich meine, wenn alle diese Folgen konvergieren, muß man
> sagen, daß f2M konvergiert, und zwar entsprechend den
> Wahrheitswerten, also gegen { }.
Unzülässiger Schluß, s.o.
>
> >>
> >> >
> >> >Ist das ein Widerspruch zu f2A -> oo ?
> >
> >Ja natürlich. f2A ist die Mächtigkeit von f2M. Die Mächtigkeit der
> >leeren Menge ist 0 und nicht unendlich. Da spielen wir nicht mal in der
> >selben Liga :-)
Sorry mal an alle Mathematiker. Ich meinte natürlich nicht die Mächtigkeit
von f2M sondern die Anzahl der Elemente von f2M. Ist aber glauch ich auch so
rübergekommen.
>
> Dieser Unterschied ist mir natürlich auch aufgefallen :-).
Und du kannst damit leben, ohne den Widerspruch zu entkräften oder eine
deine Annahmen für f2A oder f2M zu verwerfen? Sorry, aber so funktionierts
leider nicht in der Mathematik.
>
> >>
> >> >Nur, wenn man behauptet, daß die Bedeutung "Anzahl" auch beim
> >> >Grenzübergang erhalten bleibt. Dem ist also wohl nicht so.
> >
> >???
> >Die Bedeutung Anzahl bleibt auch beim Bilden des Grenzwert erhalten.
> >Warum sollte sie das denn nicht?
>
> Tja, eigentlich kann man nicht so argumentieren, daß ich den Beweis
> antreten müßte. Es ist erstmal eine unbewiesene Behauptung, daß
> die Bedeutung Anzahl (besser: Mächtigkeit) erhalten bleiben muß.
Die mathematische Bedeutung der Anzahl der Elemente einer Menge ist wie die
Mächtigkeit (ist nicht dasselbe wie die Anzahl der Elemente, siehe oben)
einer Menge invariabel. Nur weil ich die Anzahl nicht auf einen konkreten
Wert festlegen kann, heißt nicht, daß das Konzept der Anzahl nicht mehr
gilt.
>
> Wenn f2M gegen { } konvergiert, ist sie durch Gegenbeispiel widerlegt.
Tut sie auch nicht.
>
> Beim Grenzübergang kann man mitunter Verblüffendes erleben.
>
> Beispiel:
> Gegebn eine Folge von Funktionen, für jedes i aus N sei
> f_i eine Funktion und es soll gelten:
> f_i(x)=x^i für 0<=x<=1
>
> für i -> oo konvergiert die Folge gegen
> f_oo mit f_oo(x)=1 für x=1
> f_oo(x)=0 sonst.
>
> Die f_i sind alle stetig, f_oo aber nicht.
>
> Die Eigenschaft Stetigkeit bleibt also beim Grnzübergang
> nicht erhalten.
Cooles Beispiel. Das werd ich mir sicher merken.
>
>
> Rest gesnippt
>
> Tschüs Jürgen
Vielleicht noch was zum Thema unendlich weniger unendlich ist 0:
Um mal den Begriff der Mächtigkeit mal richtig zu verwenden :-)
1) Mengen unterschiedlicher Mächtigkeit:
Menge R der reellen Zahlen. (überabzählbar)
Menge N der natürlichen Zahlen. (abzählbar)
Beide haben unendlich viele Elemente.
R ohne N hat unendlich viele Elemente.
2) Mengen gleicher Mächtigkeit:
Menge N der natürlichen Zahlen. (abzählbar)
Menge N2 der geraden natürlichen Zahlen (abzählbar)
Beide haben unendlich viele Elemente.
N ohne N2 hat unendlich viele Elemente.
MYWY Becker
MYWY Becker wrote:
>
> Wir haben einen Sack voll mit unendlich vielen Kugeln, die
> durchnumeriert sind mit 1,2,3...
> Wir fuehren jetzt drei Experimente durch:
[...]
Die Antworten waren teilweise sehr interessant/amuesant, aber die
Antwort, die ich hoeren wollte, ist noch nicht gefallen.
Mo
Arne 'Timwi' Heizmann
Herbert Kremser wrote:
> > ...
> > Wir wissen doch, dass jede Kugel vor dem Hereinlegen eine endliche
> > Ordnungsnummer erhalten hat, und die hat sie behalten.
>
Das wird in Mos Originalposting gesagt:
Juergen Reinfeldt
Btr. Exp 2
>
>
>Juergen Reinfeldt schrieb:
>
>> Stefan Tillich wrote in <3AB0F6B7...@sbox.tu-graz.ac.at>:
>>
>> >
>> >
>> >Juergen Reinfeldt schrieb:
>>
>> Du betrachtest die Anzahl der Kugeln.
>> Das betrifft aber unmittelbar nur f2A und nicht f2M.
>> Über f2A sind wir uns ja einig.
>
>Stimmt, da das die einzige sichere Aussage ist, die ich noch über diese
>Folge von Mengen treffen kann. Nichts mathematisches, aber vielleicht
>veranschaulicht folgendes die Situation:
>
>Aussehen der Mengen in der Box nach 1,2 bzw. 3 Zügen:
>1. Zug
>{ 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
>2. Zug
>{ 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}
>3. Zug
>{ 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22,
>23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30}
>usw.
>
>Wo erkennst du da einer Konvergenz gegen { } ?
>
Da erkenne ich sie natürlich nicht, du erwartest doch hoffentlich
nicht, daß man die Konvergenz immer an wenigen Anfangsgliedern erkennen
kann? Mit "erkennen" meine ich - und wohl auch Du (?) - hier sowieso
lediglich drauf kommen.
>>
>> Du meinst mit dem untigen Widerspruch, der IMHO
>> aber keiner ist, die Konvergenz gegen die leere Menge
>> widerlegen zu können. Siehe dazu weiter unten.
>
>Das ist ein Widerspruch, denn die leere Menge hat 0 Elemente. Wenn du in
>einem anderen als dem uns allen bekannten mathematischen System
>operierst, wo diese Aussage nicht erfüllt ist, so sags bitte vorher :-)
Ja klar, 0=oo, das sind doch zwei kleine Nullen, und die sind zusammen,
wie man leicht sieht, so groß wie die eine große. ;-) SCNR
>>
>> Ich betrachte einfach die durchnummerierten Kugeln.
>> Man braucht für jede beliebig ausgewählte Nummer
>
>Das stimmt, aber eine solche Betrachtung ist beim Grenzwert sinnlos, da
>du Äpfel mit Birnen vergleichst. Siehe auch Posting von Thomas Popp zum
>Thema ausgewählte Kugeln.
>
Ich betrachte die nummerierten Kugeln _vor_ dem Grenzübergang einzeln.
>> nur
>> lange genug zu warten, und sie ist dann für ewig aus
>> der Box, kommt mit anderen Worten in allen späteren
>> Folgengliedern, die ja Mengen sind, nicht mehr vor.
>
>Willst du wirklich eine Konvergenz der Mengenfolge beweisen, so mußt du
>gleichzeitig auch die Obergrenze der Mengen im Auge behalten und nicht
>nur die untere Grenze. Das ist dein Fehler.
>
Nö, für die Konvergenz der Mengen ist IMHO nur Zugehörigkeit bzw.
Nichtzugehörigkeit der Elemente der Grundmenge zu den Mengen der
Folgeglieder relevant, dabei ist es gleichgültig, ob die Elemente
Zahlen sind oder z.B. Kochrezepte.
>>
>> Man kann für jede einzelne natürliche Zahl n eine Folge
>> von Wahrheitswerten definieren, wobei "wahr" heißen soll:
>> Die Kugel n ist in der Box.
>>
>> Jede dieser Folgen konvergiert offensichtlich gegen den
>> Wahrheitswert "falsch". (Wir sind immer noch bei Exp. 2.)
>
>Leider konvergieren sie nicht mit dem selben Zeitpunkt nach falsch.
>Daher ist eine getrennte Betrachtung dieser (zugegeben sehr originellen
>"binären" Folgen) unzulässig.
>
Meinst du eine _gleichmäßige_ Konvergenz?
Die liegt in der Tat nicht vor.
Hab ich aber auch nie behauptet.
>>
>> Ich meine, wenn alle diese Folgen konvergieren, muß man
>> sagen, daß f2M konvergiert, und zwar entsprechend den
>> Wahrheitswerten, also gegen { }.
>
>Unzülässiger Schluß, s.o.
>
>>
>> >>
>> >> >
>> >> >Ist das ein Widerspruch zu f2A -> oo ?
>> >
>> >Ja natürlich. f2A ist die Mächtigkeit von f2M. Die Mächtigkeit der
>> >leeren Menge ist 0 und nicht unendlich. Da spielen wir nicht mal in
>> >der selben Liga :-)
>
>Sorry mal an alle Mathematiker. Ich meinte natürlich nicht die
>Mächtigkeit von f2M sondern die Anzahl der Elemente von f2M. Ist aber
>glauch ich auch so rübergekommen.
>
Null Problemo. Und hier versteht wohl auch niemand den anderen
absichtlich miß.
>>
>> Dieser Unterschied ist mir natürlich auch aufgefallen :-).
>
>Und du kannst damit leben, ohne den Widerspruch zu entkräften oder eine
>deine Annahmen für f2A oder f2M zu verwerfen? Sorry, aber so
>funktionierts leider nicht in der Mathematik.
>
Das muß ich zurückgeben:
Glaubst du, daß alle veblüffenden Unterschiede Widersprüche sind?
Sorry, aber so funktionierts leider nicht in der Mathematik.
Vgl. FAQ, Wo ist die Mark SCNR.
Ich erklärs dir noch eimal an einem Beispiel:
Gegeben sei eine Folge von offenen Intervallen (Teilmengen von R):
]0;1/n[ ,die definiert sind.
Da 1/n gegen 0 strebt, ist der Grenz"wert" (oder sagen wir die Grenzmenge)
der Folge die leere Menge.
Alle Folgenglieder haben die Mächtigkeit von R
(obwohl sie echte Teilmengen von R sind, da hast du aber
glaub ich kein Problem).
Also hat die Folge der Mächtigkeiten auch den Grenzwert
"Mächtigkeit von R".
Der Grenzwert der Folge der Mächtigkeiten ist also ungleich
der Mächtigkeit des Grenzwerts der ursprünglichen Folge.
Jetzt klar?
Tschüs Jürgen
Juergen Reinfeldt
>
>
>Juergen Reinfeldt schrieb:
>
>> Thomas Popp wrote in <3AB0F888...@sbox.tu-graz.ac.at>:
[...]
>>
>> >In der Box liegen daher alle "noch nicht ausgedachten/untersuchten"
>> >natürlichen Zahlen, unendlich größer als die größte bisher
>> >untersuchte Zahl.
>>
>> Das ist nach dem üblichem Zahlenverständnis der Mathematiker
>> Quatsch, aber das ist Dir wohl durchaus klar. (?)
>>
>
>Hier kommt ja eher das Unendlichkeitsverständnis der Mathematiker zum
>tragen.
>(natürlich wieder sehr blumig formuliert, wie du schon Eingangs bemerkt
>hast ;-)
>
Das hört sich bei dir aber ungefähr an wie:
Es gibt Zahlen, mit denen wir rechnen können, die zu groß dazu
sind, sind was ganz anderes.
Wenn man das durchformuliert, kann das wohl auch Mathmatik sein,
aber "das Unendlichkeitsverständnis der Mathematiker" ist es
bestimmt nicht.
Tschüs Jürgen
Arne Binder
> [...]
> Das Argument (dein Ansatz 2), dass am Ende null Kugeln in der Box sind,
> basiert doch nicht darauf, dass unendlich von unendlich abgezogen wird
> (was auch immer "unendlich" sein soll). Es basiert viel mehr darauf,
> dass sich beweisen laesst, dass *jede* Kugel zu einem Zeitpunkt zwischen
> 0 und 1 Minute herausgenommen wurde, sich also nicht in der Box
> befindet.
Beweise das bitte für die Kugeln, die zum Zeitpunkt t=1 in die Box
hineingetan wurden. Dann beweise mir das für die Kugeln, die davor
in die Box getan wurden. Und dann beweise mir das für die Kugeln,
die wiederum davor in die Box gelegt wurden. Und so weiter ad inf...
Arne
Jörg Günther
Was willst du denn hören??
ein neugieriger Jörg
Jens Voss
>
> Jens Voss wrote in <3AB081BA...@poet.de>:
>
> >
> >Wo ist das Problem?
> >Bei Experiment 1 sind am Schluss unendlich viele Kugeln in der Box,
> >bei Experiment 2 und 3 offensichtlich keine.
>
> Es ist auch "offensichtlich", daß sich bei den Experimenten 2 und 3
> immer, also doch wohl auch "am Schluß" genauso viele Kugeln in der
> Box befinden wie bei Exp. 1.
Nö, denn so etwas wie "unendlich minus unendlich" lässt sich nicht
eindeutig so definieren, dass es mit den anderen Rechenregeln für
reelle Zahlen (oder meinetwegen auch nur für natürliche Zahlen)
verträglich ist.
Den Beweis dafür liefert z.B. dieses Experiment.
>
> Bei 3 werden nur Kugeln in die Box getan und keine herausgenommen.
> Wieso sollten dann irgendwann keine mehr drin sein?
Es werden wohl welche herausgenommen, nämlich beim
Vorgang des Umbenennens. Rest s.o.
Gruß,
Jens
--
---------------------------------------------------------
Jens Voss, POET Software, Kattjahren 4 - 8, 22359 Hamburg
---------------------------------------------------------
The opinions expressed above are mine, not my employer's.
---------------------------------------------------------
Der gute Christ soll sich hüten vor den Mathematikern und
all denen, die leere Voraussagen zu machen pflegen, schon
gar dann, wenn diese Vorhersagen zutreffen. Es besteht
nämlich die Gefahr, daß die Mathematiker mit dem Teufel
im Bunde den Geist trüben und in die Bande der Hölle ver-
stricken. Augustinus
---------------------------------------------------------
Juergen Reinfeldt
>
>Ich erklärs dir noch eimal an einem Beispiel:
>
>Gegeben sei eine Folge von offenen Intervallen (Teilmengen von R):
>
>]0;1/n[ ,die definiert sind.
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
Das hab ich beim editieren lediglich vergessen zu löschen
(oder umzustellen).
Tschüs Jürgen
Juergen Reinfeldt
S
p
o
i
l
e
r
#
#
#
#
#
#
#
#
#
#
#
#
#
#
#
#
#
#
#
#
#
#
#
#
>[...] Denn die Ansätze können logischerweise nicht beide
>korrekt sein.
Sei Dir da mal nicht so sicher!
Liest denn niemand außer Stefan Tillich meine Lösung?
<98q76r$umj$1...@news.kdt.de>
Tschüs Jürgen
Juergen Reinfeldt
>Juergen Reinfeldt wrote:
>>
>> Jens Voss wrote in <3AB081BA...@poet.de>:
>>
>> >
>> >Wo ist das Problem?
Das wollte ich erklären, lies den Artikel bitte in diesem Sinne!
>> >Bei Experiment 1 sind am Schluss unendlich viele Kugeln in der Box,
>> >bei Experiment 2 und 3 offensichtlich keine.
>>
>> Es ist auch "offensichtlich", daß sich bei den Experimenten 2 und 3
Ich hab das bewußt in Anführungszeichen gesetzt.
So offensichtlich ist hier wenig, das muß man IMHO
alles differenzierter betrachten.
Siehe meine Lösung, <98qadq$v57$1...@news.kdt.de>
>> immer, also doch wohl auch "am Schluß" genauso viele Kugeln in der
>> Box befinden wie bei Exp. 1.
>
>Nö, denn so etwas wie "unendlich minus unendlich" lässt sich nicht
Wie kommst du darauf, dass ich so gedacht habe?
>eindeutig so definieren, dass es mit den anderen Rechenregeln für
>reelle Zahlen (oder meinetwegen auch nur für natürliche Zahlen)
>verträglich ist.
Mir fällt im Moment nichts ein, was mir klarer wäre als dies.
>Den Beweis dafür liefert z.B. dieses Experiment.
>
>>
>> Bei 3 werden nur Kugeln in die Box getan und keine herausgenommen.
>> Wieso sollten dann irgendwann keine mehr drin sein?
>
>Es werden wohl welche herausgenommen, nämlich beim
>Vorgang des Umbenennens. Rest s.o.
Sie werden umnummeriert. Du hast Dir wahrscheinlich bildlich
vorgestellt, daß sie dazu herausgenommen werden.
Detailerklärungen auch zu Exp. 3 in meinem oben schon angegebenen
Lösungsartikel
Tschüs Jürgen
Arne Binder
> Arne Binder wrote:
> [...]
> > Meiner Meinung nach ist Ansatz 2 falsch. Begründung:
> >
> > Zur Begründung möchte ich das Problem erst einmal auf die Integralrechnung übertragen.
> > Ich betrachte dazu das uneigentliche Integral von -oo bis +oo der Funktion
> >
> > | 9 für x>=0 |
> > f(x) = | |
> > | -1 für x<0 |
> >
> > Die Folgerung, daß dieses Integral mit Sicherheit nicht größer als 0 ist, weil eben
> > eine unendlich große Fläche abgezogen wird, erkennt man hier eindeutig als falsch.
> [...]
> Das Argument (dein Ansatz 2), dass am Ende null Kugeln in der Box sind,
> basiert doch nicht darauf, dass unendlich von unendlich abgezogen wird
> (was auch immer "unendlich" sein soll). Es basiert viel mehr darauf,
> dass sich beweisen laesst, dass *jede* Kugel zu einem Zeitpunkt zwischen
> 0 und 1 Minute herausgenommen wurde, sich also nicht in der Box
> befindet.
Diese Behauptung, daß "jede" Kugel wieder herausgenommen wurde, ist falsch.
Denn jeder Entnahme einer Kugel geht ein Hineinlegen von 10 Kugeln voraus.
Daher kann man niemals jede Kugel entnommen haben. Das ist doch logisch
korrekt, oder?
> Ich will hiermit nicht sagen, dass Ansatz 2 korrekt ist, aber ich
> wiederhol hier nochmal die formale Argumentationskette, die zu der
> Aussage "Anzahl=0" fuehrt. Wenn alle Zwischenschritte richtig sind,
> muesste auch das Ergebnis richtig sein. Wenn du mit dem Ergebnis nicht
> uebereinstimmst, muesstest du mindestens einen Zwischenschritt als
> falsch bezeichnen koennen. Das ist meine Herausforderung an dich.
Ich versuch's mal. Genauso müßtest du allerdings auch in Ansatz 1 einen
Fehler finden können. Denn die Ansätze können logischerweise nicht beide
korrekt sein. Dein Rätsel besteht wahrscheinlich darin, den Fehler bei
Ansatz 2 zu finden ;-)
> (1) Angenommen, es befindet sich zum Zeitpunkt t=1 mindestens eine Kugel
> in der Box.
> (2) Lemma: Fuer jede Kugel existiert eine natuerliche Zahl n, so dass n
> die Aufschrift der Kugel ist.
> (3) Aus (1) und Instantiierung von (2) folgt: es befindet sich zum
> Zeitpunkt t=1 mindestens eine Kugel in der Box, und fuer diese Kugel
> existiert eine natuerliche Zahl n, so dass n die Aufschrift der Kugel
> ist.
> (4) Lemma: Fuer jede Kugel mit der Aufschrift n gilt: es existiert ein
> Zeitpunkt t1 mit 0<=t<1, zu dem die Kugel in die Box hineingetan wurde,
> und ein Zeitpunkt t2 mit t1<=t2<1, zu dem die Kugel wieder
> herausgenommen wurde.
> (5) Aus (3) und (4) folgt: es befindet sich zum Zeitpunkt t=1 mindestens
> eine Kugel in der Box, die zu einem Zeitpunkt t2 mit 0<=t<1 aus der Box
> herausgenommen wurde.
> (6) Aus (5) folgt: es befindet sich zum Zeitpunkt t=1 mind. eine Kugel
> in der Box, die sich ausserhalb der Box befindet.
> WIDERSPRUCH.
> Also ist (1) falsch, also ist ~(1) richtig. Also befindet sich zum
> Zeitpunkt t=1 keine Kugel in der Box.
Ich vermute, daß es von entscheidender Wichtigkeit ist, zu jedem Zeitpunkt
die gesamte Veränderung des Experimentes zu betrachten. Die alleinige
Betrachtung des Ereignisses "Kugel n wird entnommen" halte ich für nicht
zulässig, da die Ereignisse "Kugel n wird entnommen" und "andere Kugeln
werden hinzugelegt" absolut gleichzeitig stattfinden.
Dies wird jedoch in (4) bei der Betrachtung von t2 offenbar vernachlässigt.
Zunächst führe ich mal noch die Experimente 4 und 5 durch:
EXPERIMENT 4:
Zum Zeitpunkt 0 tun wir die erste Kugel Nr 1 in eine leere Box.
Nach einer halben Minute tun wir die naechste Kugel Nr 2 in die Box
und nehmen die Nr 1 wieder heraus.
Nach einer viertel Minute tun wir die naechste Kugel Nr 3 in die Box
und nehmen die Nr 2 wieder heraus.
Und so weiter ad inf... Wieviele (und welche) Kugeln befinden sich nach
einer Minute in der Box (mal abgesehen davon, dass man den Vorgang in
der Realitaet nicht unendlich oft wiederholen kann)?
EXPERIMENT 5:
Zum Zeitpunkt 0 tun wir die erste Kugel Nr 1 in eine leere Box.
Nach einer halben Minute tun wir die naechste Kugel Nr 2 in die Box
und nehmen die Nr 2 wieder heraus.
Nach einer viertel Minute tun wir die naechste Kugel Nr 3 in die Box
und nehmen die Nr 3 wieder heraus.
Und so weiter ad inf... Wieviele (und welche) Kugeln befinden sich nach
einer Minute in der Box (mal abgesehen davon, dass man den Vorgang in
der Realitaet nicht unendlich oft wiederholen kann)?
Hier stellt sich wohl die Frage, ob das Ergebnis 0 oder 1 ist. Nach obiger
Beweisführung sollten sich zum Zeitpunkt t=1 bei Experiment 4 0 Kugeln und
bei Experiment 5 eine Kugel (Nr 1) in der Box befinden.
Das Problem besteht in dem rekursiven Charakter der Experimente:
Jedes Hineinlegen führt zu einer Entnahme, aber auch umgekehrt! Da die Anzahl
der Rekursionen jedoch unbeschränkt ist, erscheint mir die Betrachtung zu
genau definierten Zeitpunkten als einzig sinnvolle Methode, etwas über das
Ergebnis des Experimentes sagen zu können.
In Experiment 4 befindet sich beispielsweise zu jedem Zeitpunkt 0<=t<1 eine
Kugel in der Box, deren Aufschrift jedoch allein von der Wahl von t abhängt.
Zum Zeitpunkt t=1 ist deren Aufschrift nicht definiert, jedoch befindet sich
eine Kugel in der Box, weil sich niemals 0 Kugeln in der Box befinden.
Betrachtet man eine bestimmte Kugel n, dann kann man zwar sagen, daß diese
Kugel am Ende nicht (mehr) in der Box ist, darf diese Aussage jedoch nicht
verallgemeinern, da die Zeitpunkte von Hineinlegen und Entnahme nicht
identisch sind und das Vorhandensein der Kugel n in der Box deshalb von t
abhängig ist.
Nur genau dann wenn die Zeitpunkte von Hinzulegen und Entnahme identisch sind
(Experimente 1 und 5) oder bestimmte Kugeln nicht wieder entfernt werden
(Experimente 1,3 und 5) , darf man von der Betrachtung einer Kugel n auf das
Vorhanden- oder Nichtvorhandensein dieser oder überhaupt einer Kugel zu Ende
des Experimetes schließen.
Gleiches gilt natürlich auch für anschließend durchgeführte Indexverschiebungen
(Experiment 3)!
Ansonsten ist dies unzulässig und man muß eine Gesamtbetrachtung des Experimentes
zu bestimmten Zeitpunkten durchführen (Experimente 2 und 4). Im Allgemeinen sind
die Indizees der Kugeln dann auch nicht definiert (oder "unendlich").
Arne
Thomas Popp
Juergen Reinfeldt schrieb:
> Thomas Popp wrote in <3AB0F888...@sbox.tu-graz.ac.at>:
>
> >
> >
> >MYWY Becker schrieb:
> >
> >>
> >> EXPERIMENT 1, 2 und 3
> >>
> >
> >Zu der Diskussion um Exp. 2 zum Thema "kann ich nun eine Kugel aus der
> >Box nehmen (nach Ablauf der einen Minute) und diese betrachten" hätte
> >ich folgendes beizusteuern:
> >
> >Ein "Untersuchen" einer Kugel IN der Box ist auf keinen Fall möglich,
> >denn dazu muss ich mir diese besagte Kugel "heraussuchen", sie mir also
> >(weil es ja ein Gedankenexperiment ist) vorstellen bzw. ausdenken.
> >Im selben Moment, wo ich die Kugel aber präzisiere (=herausnehmen oder.
> >ausdenken), liegt sie aber sicher außerhalb der Box und die Kugeln in
> >der Box entwischen wieder in die geheimnisvolle Unendlichkeit.
>
> Ich verstehe das als bewußt blumig gehaltenen Problemhinweis,
> bei dem man nicht jedes Wort auf die Goldwaage legen sollte;
> in diesem Sinne oK.
>
blumig oder nicht, ich denk mal, daß ist der Kern des Problems. Die math.
korrekte Formulierung ist aber glaub ich genau das, was MYWY hören will.
Damit dürfte sich dann auch der von ihm gesehene Widerspruch auflösen.
Nur: trivial scheint mir die math. Formulierung eher nicht zu sein ...
>
> >In der Box liegen daher alle "noch nicht ausgedachten/untersuchten"
> >natürlichen Zahlen, unendlich größer als die größte bisher untersuchte
> >Zahl.
>
> Das ist nach dem üblichem Zahlenverständnis der Mathematiker
> Quatsch, aber das ist Dir wohl durchaus klar. (?)
>
Hier kommt ja eher das Unendlichkeitsverständnis der Mathematiker zum
tragen.
(natürlich wieder sehr blumig formuliert, wie du schon Eingangs bemerkt hast
;-)
Tom
Arne Binder
> Arne Binder wrote:
> > Diese Behauptung, daß "jede" Kugel wieder herausgenommen wurde, ist falsch.
> > Denn jeder Entnahme einer Kugel geht ein Hineinlegen von 10 Kugeln voraus.
> > Daher kann man niemals jede Kugel entnommen haben. Das ist doch logisch
> > korrekt, oder?
>
> Zeitpunkt t<1 wieder herausgenommen. Das ist wahr.
Nö, mindestens die 10 Kugeln, die zum Zeitpunkt t=1 hineingelegt wurden, die
werden sicher nicht wieder herausgenommen.
(Mal davon abgesehen, daß die Indizes dieser Kugeln nicht definiert sind)
Arne
Rainer Rosenthal
MYWY Becker <myw...@cam.ac.uk> wrote in message
news:3AAFB4EA...@cam.ac.uk...
| Wir haben einen Sack voll mit unendlich vielen Kugeln, die
| durchnumeriert sind mit 1,2,3...
| Wir fuehren jetzt drei Experimente durch:
|
| Zum Zeitpunkt 0 tun wir die ersten zehn Kugeln (Nr 1..10) in eine leere
| Box und nehmen die Kugel Nr 10 wieder heraus.
| Nach einer halben Minute tun wir die naechsten zehn Kugeln in die Box
| und nehmen die Nr 20 wieder heraus.
| Nach einer viertel Minute tun wir die naechsten zehn Kugeln in die Box
| und nehmen die Nr 30 wieder heraus.
| Und so weiter ad inf... Wieviele (und welche) Kugeln befinden sich nach
| einer Minute in der Box (mal abgesehen davon, dass man den Vorgang in
| der Realitaet nicht unendlich oft wiederholen kann)?
|
| Zum Zeitpunkt 0 tun wir die ersten zehn Kugeln in eine leere Box und
| nehmen die Kugel Nr 1 wieder heraus.
| Nach einer halben Minute tun wir die naechsten zehn Kugeln in die Box
| und nehmen die Nr 2 wieder heraus.
| und nehmen die Nr 3 wieder heraus.
| Und so weiter ad inf... Wieviele (und welche) Kugeln befinden sich nach
| einer Minute in der Box (mal abgesehen davon, dass man den Vorgang in
| der Realitaet nicht unendlich oft wiederholen kann)?
|
| Zum Zeitpunkt 0 tun wir die Kugeln Nr 1..9 in eine leere Box und haengen
| an die "1" eine Null. Aus der Nr "1" wird also eine Nr "10".
| Nach einer halben Minute tun wir die Kugeln Nr 11..19 in die Box und
| haengen an die "2" eine Null.
| Nach einer viertel Minute tun wir die Kugeln Nr 21..29 in die Box und
| machen aus der "3" eine "30".
| Bei jedem Schritt wird also die kleinste Kugelnummer in der Box mit 10
| multipliziert.
| Und so weiter ad inf...
| Wieviele (und welche) Kugeln befinden sich nach einer Minute in der Box
| (mal abgesehen davon, dass man den Vorgang in der Realitaet nicht
| unendlich oft wiederholen kann)?
|
Hallo MYWY Becker,
da hast Du ja wieder einen Volltreffer gelandet. Bis ich durch
alle bisherigen Meinungen durch war, ist alleine schon eine
halbe Stunde vergangen. Das Ding hat das Zeug zum Monty-Hall.
Weil meine folgenden Ausführungen wieder mal länglicher sind als
zumutbar, vorab das Ergebnis:
Experiment 1: Unendlich viele Kugeln. Und zwar alle die, deren
Nummer nicht durch 10 teilbar ist.
Experiment 2: Keine Kugel. Denn die Kugel mit Nummer K ist ab
Schritt K+1 nicht mehr in der Box.
Experiment 3: Unendlich viele Kugeln. Jede mit Nummer K in die
Box gelegte Kugel ist "zum Schluss" noch da. Über ihre Nummer
kann ich "leider" nix sagen. Der Beschriftungsprozess hat den
realitätsfernen Vorgang nicht unbeschadet überstanden.
Kurz: Bloss weil es zu jedem Zeitpunkt eine Beschriftung gibt,
heisst
das nicht, dass es "zum Schluss" eine geben muss. Man darf
aber ebenso "nicht die Kugel mit der Zahl ausschütten" wollen, denn
das ist ebenso unklug wie "das Kind mit dem Bade auszuschütten".
Will sagen: Aus der Nicht-Beschriftung darf nicht auf
Nicht-Vorhanden-
sein geschlossen werden.
***** und hier noch die länglichen Selbstgespräch-artigen Ausführungen
***** für Hartgesottene:
Meine Spontan-Meinung war: oo / 0 / 0 nach dem Motto:
P1: "Zum Schluss" kann keine durch 10 teilbare Zahl drin sein,
denn die fliegen alle sofort wieder raus. Aber die anderen
bleiben unangetastet drin. Also: Rest = oo
P2: "Zum Schluss" kann keine Zahl mehr drin sein, denn jede davon
fliegt beim soundsovielten Schritt raus. Also Rest = 0
P3: "Zum Schluss" kann keine Zahl mehr drin sein, denn jede davon
kriegt irgendwann mal 'ne Null hinten dran und - weg ist sie.
Also: Äääähhh Rest = ....zöger... zumindest scheinen allle Zahlen
weg zu sein. Aber Kugeln hat's noch jede Menge.
Hmm... Das Problem P1 war ja wohl lediglich als Appetit-Anreger
gebracht worden. Das gravierende Problem liegt bei P2 und P3, die
SCHEINBAR gleich sind.
Der wesentliche Unterschied - und da liegt wohl das von Dir vermisste
Stichwort - ist darin zu sehen, dass bei P3 "alles voller Kugeln" ist,
dass man aber keine Zahlen sehen kann !
Denn bei P2 fliegt zusammen mit der Zahl auch die Kugel hinaus.
"Zum Schluss" sind bei P2 also nicht nur alle Zahlen herausgeflogen
sondern auch alle Kugeln.
Aber bei P3 bleiben die Kugeln drin - nur die Zahlen fliegen raus.
Man hat also unendlich viele Kugeln in der Box. Aber sie haben keine
Beschriftung !
Es ist ähnlich dem "voll coolen" Grenzübergangs-Beispiel:
Zu jedem Zeitpunkt t hat man eine Beschriftung der Kugeln in der Box.
Aber diese Eigenschaft bleibt beim Grenzübergang nicht bestehen.
"Zum Schluss" gibt es keine Beschriftung.
Das kann ich aber noch präzisieren: So wie bei P2 gefragt werden
kann: "Wo ist Kugel 4711 ?" und geantwortet werden muss "Draussen",
(mit der Schlussfolgerung: Box ist leer), so kann man auch bei P3 die
passende Frage stellen.
Bei P3 lautet diese Frage: "Welche Beschriftung trägt die Kugel, die
als Nummer 4711 in die Box getan wurde ?". Und die Antwort lautet:
"Äh, ja also erst mal wurde sie in 47110 umgenannt und dann irgendwann
später hatte sie die Aufschrift 471100 usw., aber jetzt, tja da muss ich
passen."
Gruss,
Rainer
Bertram Felgenhauer
> "Ortwin Gasper" <o.ga...@focus.ping.de> schrieb im Newsbeitrag news:7x-i4...@gasper.focus.ping.de...
>> Was sagt Deine Definition des Grenzübergangs? Liegt bei ihr Kugel 1 in der
>> Box, nicht in der Box oder ist das Ergebnis nicht definiert?
> Nach meiner Definition ist es unter bestimmten Bedingungen nicht zulässig, von
> der Betrachtung einer bestimmten Kugel auf den Ausgang des Experimentes (die
> Menge der Kugeln in der Box zum Zeitpunkt t=1) zu schließen.
> Genaueres steht in den anderen Postings. Das Ergebnis ist eine unendliche Menge
> Kugeln in der Box, deren Indizes jedoch nicht definiert sind.
Das bedeutet dann aber, dass du schon das 5. Peano'sche Axiom nicht
akzeptierst [1].
Frage: Wenn du mit einem Topf voller Kugeln startest, die mit
1, 2, 3, ... (alle natuerlichen Zahlen) beschriftet sind, und
zum Zeitpunkt 1-0.5^n die Kugel mit der Nummer n rausnimmst,
wieviele hast du dann zum Zeitpunkt 1?
Bertram
[1] es laesst sich mittels vollstaendiger Induktion beweisen, dass
a) keine mit natuerlichen Zahlen beschrifteten Kugeln mehr im
Topf sind.
b) nur mit natuerlichen Zahlen beschriftete Kugeln in den Topf
gelegt wurden.
Da bei Experiment 2 Kugeln nie umbeschriftet werden und sie daher
an Hand der Beschriftung identifiziert werden koennen, ist der
Topf zum Schluss leer.
Bei Experiment 3 kommt es wohl darauf an, auf welche Art und
Weise das 'Umbeschriften' vor sich geht.
--
`.oo'
,. (`-'
'^\`-' ) Living on Earth may be expensive, but it includes
c-L'- an annual free trip around the Sun.
MYWY Becker
Arne Binder wrote:
>
> "MYWY Becker" <myw...@cam.ac.uk> schrieb im Newsbeitrag news:3AB2AE0A...@cam.ac.uk...
> > Arne Binder wrote:
> > > Diese Behauptung, daß "jede" Kugel wieder herausgenommen wurde, ist falsch.
> > > Denn jeder Entnahme einer Kugel geht ein Hineinlegen von 10 Kugeln voraus.
> > > Daher kann man niemals jede Kugel entnommen haben. Das ist doch logisch
> > > korrekt, oder?
> >
> > Nein, das ist nicht korrekt. Jede Kugel wird tatsaechlich zu einem
> > Zeitpunkt t<1 wieder herausgenommen. Das ist wahr.
>
> Nö, mindestens die 10 Kugeln, die zum Zeitpunkt t=1 hineingelegt wurden, die
> werden sicher nicht wieder herausgenommen.
Zum Zeitpunkt t=1 werden keine Kugeln hineingelegt.
Juergen Reinfeldt
Freu, da hat mich ja jemand verstanden!
Danke für die anschauliche Darstellung, vor der
ich mich gescheut habe.
Und was Du weggelassen hast, kann als nicht gefragt
angesehen werden; die Alltagssprache ist aber für
diesbezüglich Klarheit nicht gemacht.
Tschüs Jürgen
Rainer Rosenthal
Juergen Reinfeldt <JR-...@wtal.de> wrote in message
news:98vqpd$odr$1...@news.kdt.de...
Hallo Juergen,
sagen wir mal so: Da habe ich eine Erklärung gebracht, die
mit dem übereinstimmt, was Du Dir vorstellst.
Das heisst aber nicht, dass ich Deine Lösung studiert und
unter allen anderen Zuschriften als die Zutreffendste angesehen
und hier mit anderen Worten wiedergegeben hätte.
Jetzt im Nachhinein habe ich mir Deine diversen Zuschriften
nochmal einzeln angeschaut und da finde ich in der Tat auch
den wesentlichen Punkt angesprochen, dass in Experiment 3
die einfache Identifizierung Kugel = Nummer nicht funktioniert.
Auch der Grundgedanke mit dem Grenzwert (nicht alles bleibt ...)
ist dort zu finden. Schön, schön. Deswegen bleibt es trotzdem
so, dass ich eine eigene Lösung präsentiert habe und gespannt
bin, ob Ursprungsposter MYWY Becker den von ihm heute morgen
noch vermissten Punkt jetzt angesprochen gefunden hat.
So sehr ich Deinen Stolz auf Deine Lösung nachvollziehen kann:
Aber wo steht sie denn in kurzer und präziser Form ?
Das folgende habe ich am 15.3. um 10:30 im Thread gefunden,
wo Du folgendes schreibst:
> Es ist auch "offensichtlich", daß sich bei den Experimenten 2 und 3
> immer, also doch wohl auch "am Schluß" genauso viele Kugeln in der
> Box befinden wie bei Exp. 1.
Und das ist falsch, weil bei Experiment 2 "am Schluss" eben KEINE
Kugel mehr in der Box ist.
Und "genauso viel" ist bei 1 und 3 nur insofern richtig, als in beiden
Fällen unendlich viele Kugeln drin sind.
Allerdings fehlen bei 1 die mit 10-fachen Zahlen nummerierten Kugeln,
bei 3 sind ALLE Kugeln in der Box.
Von Klarheit und Präzision habe ich eine sehr klare Vorstellung.
Ich bemühe mich um klare Darstellung.
Formeln sind auch schön - sie sind aber nicht automatisch Garanten
für klare Darstellung, weil gewisse Vereinbarungen vorausgesetzt
werden, die über das speziell benötigte hinausgehen und damit alle
die abschrecken, die "den Formelkram" nicht mögen oder "anders
gelernt haben".
NIx gegen Deine f3M-Konstruktionen, aber der AHA-Effekt hat sich
bei mir eingestellt, als ich das Grundproblem erkannte, dass ich bei
Experiment 3 "am Schluss"
1. keine Zahlen
und 2. alle Kugeln
vorfinde. Mit der Schlussfolgerung, dass es keine Nummerierung
mehr gibt.
Gruss,
Rainer
Jörg Günther
[...]
> Das folgende habe ich am 15.3. um 10:30 im Thread gefunden,
> wo Du folgendes schreibst:
> > Es ist auch "offensichtlich", daß sich bei den Experimenten 2 und 3
> > immer, also doch wohl auch "am Schluß" genauso viele Kugeln in der
> > Box befinden wie bei Exp. 1.
>
> Und das ist falsch, weil bei Experiment 2 "am Schluss" eben KEINE
> Kugel mehr in der Box ist.
> Und "genauso viel" ist bei 1 und 3 nur insofern richtig, als in beiden
> Fällen unendlich viele Kugeln drin sind.
> Allerdings fehlen bei 1 die mit 10-fachen Zahlen nummerierten Kugeln,
> bei 3 sind ALLE Kugeln in der Box.
Hallo Rainer,
du meinst also in der Box wären nach Experiment 1 und 3
unterschiedliche Kugeln?
Wie du schreibst, sind in nach Experiment 3 die Nummern als
Unterscheidungskriterium nicht mehr anwendbar (deine Erklärung
leuchtet mir auch ein). In Experiment 1 werden je zehn Kugeln in die
Box getan und gleichzeitig die mit der durch zehn teilbaren
Indexnummer herausgenommen (Kugeln mit Nummern ((n-1)+a) für a=1 bis
10 rein und Kugel-Nr. ((n-1)+10) wieder raus => Kugeln mit Nummern
((n-1)+a für a=1 bis 9 werden in Box getan (n=Schritt/Zeitakt) ).
In Experiment 3 kann man zwar die Kugeln nach(!) dem Experiment nicht
anhand der Nummer bestimmen, aber es werden jeweils die Kugeln mit den
Nummern (die beim Reintun noch bekannt/bestimmbar sind) ((n-1)+a) (für
a=1 bis 9) in die Box getan. Offensichtlich verändert sich hier der
Inhalt der Box bei jedem Zeitschritt genauso wie bei 1. Die Nummern
sind bei Exp. 3 nicht mehr bestimmbar, die Kugeln in der Box sind aber
die selben.
Nach der Aufgabenstellung verändern sich ja nur die Nummern (bei Exp.
3), und zwar nach dem Hereintun. Die Kugeln bleiben aber dieselben.
Gruss, Jörg
MYWY Becker
unbefriedigend sein wird. Tatsaechlich gibt es zu dem Problem (das nicht
von mir stammt, sondern schon recht alt ist) keine eindeutige Loesung,
und die Philosophie ist sich bis heute nicht einig darueber, was sie
ueber solche sog. "Supertasks" glauben sollen.
Meine Meinung ist die, dass allein die Aufgabenstellung schon
unfairerweise keinen Sinn macht:
MYWY Becker wrote:
> (mal abgesehen davon, dass man den Vorgang in
> der Realitaet nicht unendlich oft wiederholen kann)?
Meiner Meinung nach laesst sich der Vorgang auch in der Theorie nicht
vollziehen. Wie einige Philosophen bin ich der Ansicht, dass man mit
Hilfe der Standardmodelle der Logik und der Mathematik keine Aussagen
treffen kann ueber den Zustand der Box zum Zeitpunkt t=1. Es gab (nicht
sehr ueberzeugende) Versuche, die Modelle zu erweitern, um eine
konsistente Loesung konstruieren zu koennen, so dass sich bei Experiment
2 dann entweder Anzahl=0 oder Anzahl=oo ergibt, ohne dass es zu
Inkonsistenzen fuehrt. (Mal abgesehen davon, finde ich die Antwort
Anzahl=0 noch am einleuchtendsten.)
Ein Fehler, der haeufig gemacht wird, ist, den Begriff des Grenzwertes
zu woertlich mit dem Konzept von Unendlichkeit zu verknuepfen. Beispiel:
Man nehme sich die Zahl 0. Nach einer halben Minute addieren wir 1/2 zu
der Zahl. Nach einer viertel Minute addieren wir 1/4 zu der Zahl, usw
usw. Was haben wir nach 1 Minute? Die intuitive Antwort ist natuerlich
1, weil SUM(1/2^i) (fuer i=1 bis oo) 1 ist. Tatsaechlich aber hat die
Aufgabe mit Grenzwert wenig zu tun, weil es strenggenommen unsinnig ist,
unendlich oft eine Zahl zu addieren. Addition ist fuer eine unendliche
Anzahl von Summanden undefiniert, und es wuerden da auch nicht mehr die
selben notwendigen Eigenschaften wie Assoziativitaet oder
Kommutativitaet zutreffen.
Wenn wir also SUM(1/2^i) (fuer i=1 bis oo) schreiben, meinen wir
strenggenommen nicht eine Summe mit unendlich vielen Summanden, sondern
wir meinen, dass der Grenzwert fuer N->oo von (SUM(1/2^i) fuer (i=1 bis
N)) gleich 1 ist. Wenn man sich jetzt an die formale Definition vom
Grenzwert erinnert, sieht man, dass das nichts mit einer tatsaechlichen
"unendlichen Summe" zu tun hat.
Zum Zeitpunkt t=1 aber haben wir wirklich eine unendliche Summe (in dem
letzten Beispiel) bzw. eine andere Operation mit unendlich vielen
Operanden. Solche Operationen sind im Allg. nicht definiert und koennen
wie in den drei Experimenten zu Inkonsistenzen fuehren.
Mo
Stefan Tillich
MYWY Becker schrieb:
> Hier meine Loesung zu dem Problem, die moeglicherweise fuer viele sehr
> unbefriedigend sein wird. Tatsaechlich gibt es zu dem Problem (das nicht
> von mir stammt, sondern schon recht alt ist) keine eindeutige Loesung,
> und die Philosophie ist sich bis heute nicht einig darueber, was sie
> ueber solche sog. "Supertasks" glauben sollen.
Jetzt werden wir wohl nie zu einem Konsens kommen.
Bin gespannt, ob das das Ende dieses recht beeindruckenden Thread ist.
Steve
Arne Binder
Dann eben die Kugeln, die _unmittelbar zuvor_ hineingelegt wurden.
Arne
MYWY Becker
Ich verstehe, zum Zeitpunkt t=1-epsilon?
;)
Mo
Juergen Reinfeldt
Hinweis: dieser Artikel wurde vor dem Lesen von Mo's
Lösung geschrieben.
>
>Juergen Reinfeldt <JR-...@wtal.de> wrote in message
>news:98vqpd$odr$1...@news.kdt.de...
>| Rainer Rosenthal wrote in <98vf4a$3olkf$1...@ID-54909.news.dfncis.de>:
>|
>| Freu, da hat mich ja jemand verstanden!
>|
>| Danke für die anschauliche Darstellung, vor der
>| ich mich gescheut habe.
>|
>| Und was Du weggelassen hast, kann als nicht gefragt
>| angesehen werden; die Alltagssprache ist aber für
>| diesbezüglich Klarheit nicht gemacht.
>|
>| Tschüs Jürgen
>|
>
>Hallo Juergen,
>
>sagen wir mal so: Da habe ich eine Erklärung gebracht, die
>mit dem übereinstimmt, was Du Dir vorstellst.
>Das heisst aber nicht, dass ich Deine Lösung studiert und
>unter allen anderen Zuschriften als die Zutreffendste angesehen
>und hier mit anderen Worten wiedergegeben hätte.
>
Seufz, ich wollte Dir nicht zu nahe treten.
Mein "freu" war durchaus erst gemeint.
>Jetzt im Nachhinein habe ich mir Deine diversen Zuschriften
>nochmal einzeln angeschaut und da finde ich in der Tat auch
>den wesentlichen Punkt angesprochen, dass in Experiment 3
>die einfache Identifizierung Kugel = Nummer nicht funktioniert.
>
>Auch der Grundgedanke mit dem Grenzwert (nicht alles bleibt ...)
>ist dort zu finden. Schön, schön. Deswegen bleibt es trotzdem
>so, dass ich eine eigene Lösung präsentiert habe und gespannt
>bin, ob Ursprungsposter MYWY Becker den von ihm heute morgen
>noch vermissten Punkt jetzt angesprochen gefunden hat.
Ja, da bin ich auch drauf gespannt.
Du hast selbst geschrieben, daß Du alle Zuschriften durchgelesen
hast. Also auch die mit Spoiler gekennzeichneten.
Die liest man aber nicht, wenn man eine eigene Lösung sucht;
die Spoiler sind extra dazu da, daß man das nicht versehentlich
tut, und so um die Freude des Suchens nach einer Lösung
gebracht wird.
Ich fand gut, das du es so klar geschrieben hast, dass
du alles gelesen hast.
>
>So sehr ich Deinen Stolz auf Deine Lösung nachvollziehen kann:
>Aber wo steht sie denn in kurzer und präziser Form ?
>
<98q76r$umj$1...@news.kdt.de> mit <98qadq$v57$1...@news.kdt.de>
Erstere ist zum Großteil in dem zweiten zitiert, da fehlt
quasi die Einleitung, in der 2. ist Exp. 3 ergänzt.
Wenn du mich jetzt zu einer Selbsteinschätzung dieser Lösung
aufforderst würde ich sagen:
kurz: ja,
präzise: da kannst du bestimmt was finden, was du nicht präzise
findest.
Herleitung: sehr knapp
Kennzeichnung, welche Resultate ich als die geforderten
Antworten auf Mo´s Fragen sehe + Anschaulichkeit: fehlen
(Ich weiss auch noch immer nicht genau, was Mo hören will)
Zusammenfassung in allgemeinverständlichen Worten: fehlt
Da bist du eingesprungen. Ich will dabei nicht behaupten,
die einzige Quelle gewesen zu sein. Das habe ich auch nicht
behauptet.
>Das folgende habe ich am 15.3. um 10:30 im Thread gefunden,
>wo Du folgendes schreibst:
>> Es ist auch "offensichtlich", daß sich bei den Experimenten 2 und 3
Das war kein Teil der Lösung, ich hab schon erläutert, wie
ich dieses bewußt in Anführungszeichen gesetzte "offensichtlich"
gemeint habe, nämlich als Hinweis an jemanden, der
überhaupt keine Probleme gesehen hat. Das schöne an diesem
Rätsel sind ja gerade die Scheinwidersprüche!
vgl. <98sqcl$arp$1...@news.kdt.de>
Da steht:
>> >Wo ist das Problem?
Das wollte ich erklären, lies den Artikel bitte in diesem Sinne!
Inhaltlich richtige Kritik an einem Beitrag, der aber lediglich
auf paradoxes hinweisen wollte um jemandem eine Zugang zum
Rätsel zu liefern, gesnippt.
>
>Von Klarheit und Präzision habe ich eine sehr klare Vorstellung.
>Ich bemühe mich um klare Darstellung.
>Formeln sind auch schön - sie sind aber nicht automatisch Garanten
>für klare Darstellung, weil gewisse Vereinbarungen vorausgesetzt
>werden, die über das speziell benötigte hinausgehen und damit alle
>die abschrecken, die "den Formelkram" nicht mögen oder "anders
>gelernt haben".
Deine Darstellung habe ich nicht kritisiert.
>NIx gegen Deine f3M-Konstruktionen, aber der AHA-Effekt hat sich
>bei mir eingestellt, als ich das Grundproblem erkannte, dass ich bei
>Experiment 3 "am Schluss"
> 1. keine Zahlen
>und 2. alle Kugeln
>vorfinde. Mit der Schlussfolgerung, dass es keine Nummerierung
>mehr gibt.
>
vgl.
f3B=f2B Also Konvergenz gegen { }.
f2B=f2M war vorher dem Sinn nach (braucht nicht extra untersucht
zu werden) gesagt und ist nun wirklich offensichtlich,
Konvergenz von f2M gegen { } war auch knapp im Lösungsartikel
begründet, später auf Nachfrage etwas ausführlicher.
Du schriebst in deinem von mir gelobtem Artikel in diesem
Zusammenhang:
Man hat also unendlich viele Kugeln in der Box. Aber sie haben keine
Beschriftung !
Es ist ähnlich dem "voll coolen" Grenzübergangs-Beispiel:
Die in deinem von mir gelobtem Artikel lediglich durch das Wort "cool"
referenzierte Stelle mit der Konvergenz von stetigen Funktionen
gegen eine unstetige als Beispiel für den Verlust von Eigenschaften
steht im übrigen (auch zur Erläuterung dieser Möglichkeit)
auch in einem meiner Artikel, die auf meine Lösung folgen und auf
Nachfrage Zweifel ausräumen sollten.
Auf weiterhin gute Zusammenarbeit
Jürgen
Rainer Rosenthal
Jörg Günther <jo...@web.de> wrote in message
news:3AB3B9F7...@web.de...
|
| du meinst also in der Box wären nach Experiment 1 und 3
| unterschiedliche Kugeln?
|
Hallo Jörg,
na ja, wenn ich bei Experiment 1 die Kugeln sammle, die ich
NICHT in die Box tue, dann habe ich "zum Schluss" den Aus-
gangs-Sack leergemacht und alle Kugeln daraus in die Box
und in den Restbehälter verteilt.
Im Experiment 3 sind "zum Schluss" alle Kugeln in der Box, der
Restbehälter kriegt nichts ab, weil ja nur umnummeriert wird und
nichts herausgenommen wird.
| Wie du schreibst, sind in nach Experiment 3 die Nummern als
| Unterscheidungskriterium nicht mehr anwendbar (deine Erklärung
| leuchtet mir auch ein). In Experiment 1 werden je zehn Kugeln in die
| Box getan und gleichzeitig die mit der durch zehn teilbaren
| Indexnummer herausgenommen (Kugeln mit Nummern ((n-1)+a) für a=1 bis
| 10 rein und Kugel-Nr. ((n-1)+10) wieder raus => Kugeln mit Nummern
| ((n-1)+a für a=1 bis 9 werden in Box getan (n=Schritt/Zeitakt) ).
|
Kleine Korrektur: ((n-1)*10+a) muss es heissen.
| In Experiment 3 kann man zwar die Kugeln nach(!) dem Experiment nicht
| anhand der Nummer bestimmen, aber es werden jeweils die Kugeln mit den
| Nummern (die beim Reintun noch bekannt/bestimmbar sind) ((n-1)+a) (für
| a=1 bis 9) in die Box getan. Offensichtlich verändert sich hier der
| Inhalt der Box bei jedem Zeitschritt genauso wie bei 1.
Nö. "Offensichtlich" ist eine tückische Vokabel. Besonders wenn sie direkt
neben einem falschen Ausdruck steht (s.o).
| Die Nummern
| sind bei Exp. 3 nicht mehr bestimmbar, die Kugeln in der Box sind aber
| die selben.
|
Wie gesagt: bei 3 fliegt keine raus, bei 1 ja.
| Nach der Aufgabenstellung verändern sich ja nur die Nummern (bei Exp.
| 3), und zwar nach dem Hereintun. Die Kugeln bleiben aber dieselben.
|
Stimmt.
| Gruss, Jörg
Gruss zurück,
Rainer
Rainer Rosenthal
Stefan Tillich <stef...@sbox.tu-graz.ac.at> wrote in message
news:3AB3C581...@sbox.tu-graz.ac.at...
Nein !
Rainer
-
Aber I-Aah sagte vor sich hin: "Diese Schreiberei, Bleistifte und
was nicht alles ! Ganz überschätzt, wenn man mich fragt. Dummes
Zeug, hat gar keinen Wert."
Aus A. A. Milne, Pu der Bär
Jörg Günther
> | unterschiedliche Kugeln?
> |
> | Unterscheidungskriterium nicht mehr anwendbar (deine Erklärung
> | leuchtet mir auch ein). In Experiment 1 werden je zehn Kugeln in die
> | Box getan und gleichzeitig die mit der durch zehn teilbaren
> | Indexnummer herausgenommen (Kugeln mit Nummern ((n-1)+a) für a=1 bis
> | 10 rein und Kugel-Nr. ((n-1)+10) wieder raus => Kugeln mit Nummern
> | ((n-1)+a für a=1 bis 9 werden in Box getan (n=Schritt/Zeitakt) ).
> |
>
> Kleine Korrektur: ((n-1)*10+a) muss es heissen.
Stimmt. Danke fürs Richtigstellen.
>
> | In Experiment 3 kann man zwar die Kugeln nach(!) dem Experiment nicht
> | anhand der Nummer bestimmen, aber es werden jeweils die Kugeln mit den
> | Nummern (die beim Reintun noch bekannt/bestimmbar sind) ((n-1)+a) (für
> | a=1 bis 9) in die Box getan. Offensichtlich verändert sich hier der
> | Inhalt der Box bei jedem Zeitschritt genauso wie bei 1.
>
> Nö. "Offensichtlich" ist eine tückische Vokabel. Besonders wenn sie direkt
> neben einem falschen Ausdruck steht (s.o).
>
> | Die Nummern
> | sind bei Exp. 3 nicht mehr bestimmbar, die Kugeln in der Box sind aber
> | die selben.
>
> Wie gesagt: bei 3 fliegt keine raus, bei 1 ja.
Bei 1 fliegen aber die mit Indexnummern teilbar durch 10 raus(da
reinlegen von ((n-1)*10+a) und rausnehmen von ((n-1)*10+a) in einem
Schritt stattfinden. Diese werden bei 3 gar nicht mit hineingelegt
(bleiben im Sack).
> | Nach der Aufgabenstellung verändern sich ja nur die Nummern (bei Exp.
> | 3), und zwar nach dem Hereintun. Die Kugeln bleiben aber dieselben.
> |
>
> Stimmt.
Ist das eine Zustimmung das der Inhalt der Boxen gleich ist oder nur
dazu das die Kugeln die selben bleiben?
Juergen Reinfeldt
>Hier meine Loesung zu dem Problem, die moeglicherweise fuer viele sehr
>unbefriedigend sein wird. Tatsaechlich gibt es zu dem Problem (das nicht
Für mich eigentlich nicht.
>von mir stammt, sondern schon recht alt ist) keine eindeutige Loesung,
>und die Philosophie ist sich bis heute nicht einig darueber, was sie
>ueber solche sog. "Supertasks" glauben sollen.
>
>Meine Meinung ist die, dass allein die Aufgabenstellung schon
>unfairerweise keinen Sinn macht:
>MYWY Becker wrote:
>> (mal abgesehen davon, dass man den Vorgang in
>> der Realitaet nicht unendlich oft wiederholen kann)?
>
>Meiner Meinung nach laesst sich der Vorgang auch in der Theorie nicht
>vollziehen. Wie einige Philosophen bin ich der Ansicht, dass man mit
Zur Strafe ;-) mußt Du ein Paar Quellen nennen!
>Hilfe der Standardmodelle der Logik und der Mathematik keine Aussagen
>treffen kann ueber den Zustand der Box zum Zeitpunkt t=1. Es gab (nicht
>sehr ueberzeugende) Versuche, die Modelle zu erweitern, um eine
>konsistente Loesung konstruieren zu koennen, so dass sich bei Experiment
>2 dann entweder Anzahl=0 oder Anzahl=oo ergibt, ohne dass es zu
>Inkonsistenzen fuehrt. (Mal abgesehen davon, finde ich die Antwort
>Anzahl=0 noch am einleuchtendsten.)
>
Wie ordnest Du in diesem Zusammenhang meine Lösung ein,
die ja besagt, daß es kein Widerspruch ist, nach dem
Grenzübergang verblüffende Unterschiede zu haben?
Ich weiß gar nicht, ob das, was ich geschrieben habe,
als Beschreibung der Box zu t=0 einzuordnen ist.
>Ein Fehler, der haeufig gemacht wird, ist, den Begriff des Grenzwertes
>zu woertlich mit dem Konzept von Unendlichkeit zu verknuepfen. Beispiel:
>Man nehme sich die Zahl 0. Nach einer halben Minute addieren wir 1/2 zu
>der Zahl. Nach einer viertel Minute addieren wir 1/4 zu der Zahl, usw
>usw. Was haben wir nach 1 Minute? Die intuitive Antwort ist natuerlich
>1, weil SUM(1/2^i) (fuer i=1 bis oo) 1 ist. Tatsaechlich aber hat die
>Aufgabe mit Grenzwert wenig zu tun, weil es strenggenommen unsinnig ist,
Hm, damit zu tun doch wohl schon.
>unendlich oft eine Zahl zu addieren. Addition ist fuer eine unendliche
>Anzahl von Summanden undefiniert, und es wuerden da auch nicht mehr die
>selben notwendigen Eigenschaften wie Assoziativitaet oder
>Kommutativitaet zutreffen.
Lehnst Du Grenzübergänge grundsätzlich ab oder nur den Glauben
daran, daß danach alles normal ist?
>Wenn wir also SUM(1/2^i) (fuer i=1 bis oo) schreiben, meinen wir
>strenggenommen nicht eine Summe mit unendlich vielen Summanden, sondern
>wir meinen, dass der Grenzwert fuer N->oo von (SUM(1/2^i) fuer (i=1 bis
>N)) gleich 1 ist. Wenn man sich jetzt an die formale Definition vom
>Grenzwert erinnert, sieht man, dass das nichts mit einer tatsaechlichen
>"unendlichen Summe" zu tun hat.
Sollte klar sein; da aber die Schwierigkeiten hier nicht im
_Finden_ der Grenzwerte, sondern in der Einordnung der
Inkonsistenzen (Ich habs Unterschiede bzw. verblüffende Unterschiede
genannt) lagen, wurde das noch dazu in einer rec.-Gruppe)
nicht ausgeschrieben.
>Zum Zeitpunkt t=1 aber haben wir wirklich eine unendliche Summe (in dem
Hm, ich hab das eher als blumige Umschreibung für
"nach dem Grenzübergang" begriffen, die offen läßt, ob
wir uns in einem "normalen Zustand" befinden.
>letzten Beispiel) bzw. eine andere Operation mit unendlich vielen
>Operanden. Solche Operationen sind im Allg. nicht definiert und koennen
>wie in den drei Experimenten zu Inkonsistenzen fuehren.
Inkonsistenzen sind aber keine Widersprüche, einverstanden?
>Mo
Tschüs Jürgen
Rainer Rosenthal
|
| Bei 1 fliegen aber die mit Indexnummern teilbar durch 10 raus(da
| reinlegen von ((n-1)*10+a) und rausnehmen von ((n-1)*10+a) in einem
| Schritt stattfinden. Diese werden bei 3 gar nicht mit hineingelegt
| (bleiben im Sack).
|
Hallo Jörg,
AUA ! Da habe ich mal wieder zu huschig drüber weggelesen !
Stimmt. Die Aufgabenstellung ist wirklich prima durchdacht -
wie eine geschickt kombinierte Schachaufgabe mit "Verführungen".
| > | Nach der Aufgabenstellung verändern sich ja nur die Nummern (bei Exp.
| > | 3), und zwar nach dem Hereintun. Die Kugeln bleiben aber dieselben.
| > |
| >
| > Stimmt.
|
| Ist das eine Zustimmung das der Inhalt der Boxen gleich ist oder nur
| dazu das die Kugeln die selben bleiben?
| >
Erübrigt sich wohl durch mein AUA.
Gruss,
Rainer
MYWY Becker
Juergen Reinfeldt wrote:
>
> >Meiner Meinung nach laesst sich der Vorgang auch in der Theorie nicht
> >vollziehen. Wie einige Philosophen bin ich der Ansicht, dass man mit
>
> Zur Strafe ;-) mußt Du ein Paar Quellen nennen!
Aus dem Stanford Encyclopedia of Philosophy:
http://plato.stanford.edu/entries/spacetime-supertasks/
Und hier sind die drei Experimente beschrieben:
http://einstein.et.tudelft.nl/~arlet/puzzles/sol.cgi/logic/supertasks
[...]
> Wie ordnest Du in diesem Zusammenhang meine Lösung ein,
> die ja besagt, daß es kein Widerspruch ist, nach dem
> Grenzübergang verblüffende Unterschiede zu haben?
Wenn ich dich richtig verstanden habe und wenn ich's richtig erinnere,
hast du z.B. gesagt, dass bei Experiment 2 die Anzahl gegen oo
konvergiert, die Folge der Mengen (f2M) aber gegen {}. Deine Loesung war
einfach, dass sich die Bedeutung von "Anzahl" sich mit dem Uebergang
veraendert. Meiner Meinung nach kann man gar nicht davon reden, was
"nach dem Grenzuebergang" ist. Und zwar noch nicht einmal in dem
"eindeutigen" Fall von Experiment 1. Wir koennen sagen, wogegen die
Folgen konvergieren, aber danach ist nicht gefragt.
> >Ein Fehler, der haeufig gemacht wird, ist, den Begriff des Grenzwertes
> >zu woertlich mit dem Konzept von Unendlichkeit zu verknuepfen. Beispiel:
> >Man nehme sich die Zahl 0. Nach einer halben Minute addieren wir 1/2 zu
> >der Zahl. Nach einer viertel Minute addieren wir 1/4 zu der Zahl, usw
> >usw. Was haben wir nach 1 Minute? Die intuitive Antwort ist natuerlich
> >1, weil SUM(1/2^i) (fuer i=1 bis oo) 1 ist. Tatsaechlich aber hat die
> >Aufgabe mit Grenzwert wenig zu tun, weil es strenggenommen unsinnig ist,
>
> Hm, damit zu tun doch wohl schon.
Nein, und zwar in dem Sinne, dass nicht danach gefragt ist, was
passiert, wenn t gegen 1 geht. Es geht um den genauen Zeitpunkt t=1. Und
das ist es, was die Aufgabe unsinnig macht.
> Lehnst Du Grenzübergänge grundsätzlich ab oder nur den Glauben
> daran, daß danach alles normal ist?
Ich weiss nicht genau, was du unter Grenzuebergang formal verstehst. Ich
lehne die Grenzwertbildung nicht ab. Meinst du das damit?
> Inkonsistenzen sind aber keine Widersprüche, einverstanden?
Ich meine nicht wirklich, dass man korrekte Loesungen finden kann, die
zu Inkonsistenzen, d.h. Widerspruechen, fuehren. (Dies wuerde ja die
Inkonsitenz des gesamten math. Systems implizieren.) Vielmehr laesst
sich die Aufgabe wahrscheinlich gar nicht erst formalisieren, und in dem
Sinne lassen sich auch keine Beweise darueber aufstellen.
Mo
MYWY Becker
Juergen Reinfeldt wrote:
> Wie ordnest Du in diesem Zusammenhang meine Lösung ein,
> die ja besagt, daß es kein Widerspruch ist, nach dem
> Grenzübergang verblüffende Unterschiede zu haben?
Also noch mal deutlicher: ja, es ist kein Widerspruch, weil dieser
"Grenzuebergang" nicht existiert. Die "verblueffenden Unterschiede"
nach dem Grenzuebergang sind eigentlich auch keine Unterschiede *nach*
dem Grenzuebergang sondern Zustaende, die durch die Grenzwertbildung
t->1 (und nicht t=1) zustandekommen.
Mo
Rainer Rosenthal
|
|
| Aus dem Stanford Encyclopedia of Philosophy:
| http://plato.stanford.edu/entries/spacetime-supertasks/
| Und hier sind die drei Experimente beschrieben:
| http://einstein.et.tudelft.nl/~arlet/puzzles/sol.cgi/logic/supertasks
|
Hallo MYWY Becker,
danke für die schönen Links. Im zweiten fand ich diesen Nachsatz:
I am interested in the origin of the puzzle. As far as I know in this form
the puzzle occurs for the first time in Littlewood's "Mathematical
Miscellanea", which is an amusing little booklet from the 1950s
(it may be even older). Littlewood does not discuss the puzzle.
DOES ANYONE KNOW OF EARLIER REFERENCES TO THIS
PUZZLE? The puzzle also occurs in S. Ross's "A first course in
probability", New York and London, 1988, without critical comment.
Hat auf jeden Fall Spass gemacht, guter Denk-"Sport".
Gruss,
Rainer
Juergen Reinfeldt
>
>
>Juergen Reinfeldt wrote:
>>
>> >Meiner Meinung nach laesst sich der Vorgang auch in der Theorie nicht
>> >vollziehen. Wie einige Philosophen bin ich der Ansicht, dass man mit
>>
>> Zur Strafe ;-) mußt Du ein Paar Quellen nennen!
>
>Aus dem Stanford Encyclopedia of Philosophy:
>http://plato.stanford.edu/entries/spacetime-supertasks/
>Und hier sind die drei Experimente beschrieben:
>http://einstein.et.tudelft.nl/~arlet/puzzles/sol.cgi/logic/supertasks
>
>[...]
>> Wie ordnest Du in diesem Zusammenhang meine Lösung ein,
>> die ja besagt, daß es kein Widerspruch ist, nach dem
>> Grenzübergang verblüffende Unterschiede zu haben?
>
>Wenn ich dich richtig verstanden habe und wenn ich's richtig erinnere,
>hast du z.B. gesagt, dass bei Experiment 2 die Anzahl gegen oo
>konvergiert, die Folge der Mengen (f2M) aber gegen {}. Deine Loesung war
Ja.
>einfach, dass sich die Bedeutung von "Anzahl" sich mit dem Uebergang
Ich meinte, daß der Grenzwert der Anzahl-Folge nicht mehr die Bedeutung
Anzahl hat. (Anzahl und Mächtigkeit wurden dabei von mit nicht sauber
unterschieden, da lag aber wohl nicht das Problem.)
>veraendert. Meiner Meinung nach kann man gar nicht davon reden, was
>"nach dem Grenzuebergang" ist. Und zwar noch nicht einmal in dem
>"eindeutigen" Fall von Experiment 1. Wir koennen sagen, wogegen die
Das klärt deine Position. Meine Meinung ist, dass wir darüber
reden können, aber nicht innerhalb des "danach" Schlüsse ziehen
können.
>Folgen konvergieren, aber danach ist nicht gefragt.
Naja, es ist ja wohl auch Teil der Frage, wonach gefragt ist.
>> >Ein Fehler, der haeufig gemacht wird, ist, den Begriff des
>> >Grenzwertes zu woertlich mit dem Konzept von Unendlichkeit zu
>> >verknuepfen. Beispiel: Man nehme sich die Zahl 0. Nach einer halben
>> >Minute addieren wir 1/2 zu der Zahl. Nach einer viertel Minute
>> >addieren wir 1/4 zu der Zahl, usw usw. Was haben wir nach 1 Minute?
>> >Die intuitive Antwort ist natuerlich 1, weil SUM(1/2^i) (fuer i=1 bis
>> >oo) 1 ist. Tatsaechlich aber hat die Aufgabe mit Grenzwert wenig zu
>> >tun, weil es strenggenommen unsinnig ist,
>>
>> Hm, damit zu tun doch wohl schon.
>
>Nein, und zwar in dem Sinne, dass nicht danach gefragt ist, was
>passiert, wenn t gegen 1 geht. Es geht um den genauen Zeitpunkt t=1. Und
>das ist es, was die Aufgabe unsinnig macht.
Den genauen Zeitpunkt t=1 gibt es natürlich laut Aufgabenstellung überhaupt
noch nicht; es ist aber eine andere Frage, ob er durch Grenzwertbildung
konstruiert werden kann.
Kann man das nicht tun und danach fragen, wie inkonsistent die Situation
zu t=1 dann ist?
>> Lehnst Du Grenzübergänge grundsätzlich ab oder nur den Glauben
>> daran, daß danach alles normal ist?
>
>Ich weiss nicht genau, was du unter Grenzuebergang formal verstehst. Ich
>lehne die Grenzwertbildung nicht ab. Meinst du das damit?
Kommt darauf an, wie eng du den Wortteil Wert definierst.
>> Inkonsistenzen sind aber keine Widersprüche, einverstanden?
>
>Ich meine nicht wirklich, dass man korrekte Loesungen finden kann, die
>zu Inkonsistenzen, d.h. Widerspruechen, fuehren. (Dies wuerde ja die
Wenn Du das gleichsetzt, ersetzte in der Frage "Inkonsistenzen"
durch Unterschiede, die angenommen, sie träten auf, ohne daß zuvor
Grenzwertbildungen stattgefunden hätten, als Widersprüche anzusehen
wären.
>Inkonsitenz des gesamten math. Systems implizieren.) Vielmehr laesst
>sich die Aufgabe wahrscheinlich gar nicht erst formalisieren, und in dem
>Sinne lassen sich auch keine Beweise darueber aufstellen.
>
>Mo
>
Tschüs Jürgen
Arne Binder
Wenn du es so willst, ja ;-)
Überleg mal:
Du betrachtest den Zustand t=1. Du behauptest, daß zu diesem Zeitpunkt keine Kugel
in die Box gelegt wurde (folglich auch keine entnommen wurde). Für alle Zeitpunkte
t>=1 gilt also, daß nichts passiert. Vorher passierte jedoch etwas. Daraus folgt,
daß irgend etwas _zuletzt_ passiert sein muß. Und genau dieses Ereignis meine ich.
Arne
MYWY Becker
Arne Binder wrote:
> Überleg mal:
> Du betrachtest den Zustand t=1. Du behauptest, daß zu diesem Zeitpunkt keine Kugel
> in die Box gelegt wurde (folglich auch keine entnommen wurde). Für alle Zeitpunkte
> t>=1 gilt also, daß nichts passiert. Vorher passierte jedoch etwas. Daraus folgt,
> daß irgend etwas _zuletzt_ passiert sein muß. Und genau dieses Ereignis meine ich.
Du bist echt witzig ;)
Mo
Arne Binder
> Arne Binder <Arne....@blue-com.de> wrote:
> > "Ortwin Gasper" <o.ga...@focus.ping.de> schrieb im Newsbeitrag news:7x-i4...@gasper.focus.ping.de...
> >> Was sagt Deine Definition des Grenzübergangs? Liegt bei ihr Kugel 1 in der
> >> Box, nicht in der Box oder ist das Ergebnis nicht definiert?
>
> > Nach meiner Definition ist es unter bestimmten Bedingungen nicht zulässig, von
> > der Betrachtung einer bestimmten Kugel auf den Ausgang des Experimentes (die
> > Menge der Kugeln in der Box zum Zeitpunkt t=1) zu schließen.
>
> > Genaueres steht in den anderen Postings. Das Ergebnis ist eine unendliche Menge
> > Kugeln in der Box, deren Indizes jedoch nicht definiert sind.
>
> Das bedeutet dann aber, dass du schon das 5. Peano'sche Axiom nicht
> akzeptierst [1].
Ich habe ja nicht gesagt, daß die Beschriftungen der Kugeln in der Box keine
natürlichen Zahlen sind. Es sind schon natürliche Zahlen, nur haben diese die
Eigenschaft, daß sie zum Zeitpunkt t=1 nicht entnommen wurden.
Mit "nicht definiert" meine ich, daß ich sie weder hinschreiben noch näher
beschreiben kann.
Aufgrund der Konstruktion des Experimentes müssen diese Zahlen jedoch existieren.
Wenn sich die Zahl der in der Box befindlichen Kugeln stetig vergrößert, dann
kann sie niemals 0 werden. Aus dieser einfachen Überlegung kann ich bereits die
Lösung "0 Kugeln" verwerfen. Einwände?
> Frage: Wenn du mit einem Topf voller Kugeln startest, die mit
> 1, 2, 3, ... (alle natuerlichen Zahlen) beschriftet sind, und
> zum Zeitpunkt 1-0.5^n die Kugel mit der Nummer n rausnimmst,
> wieviele hast du dann zum Zeitpunkt 1?
Wenn du das so formulierst, dann bleiben 0 Kugeln übrig.
Ich denke, daß das Problem vor allem bei der Definition der Mengen liegt. Tatsache
ist jedenfalls, daß genau 1/10 der ursprünglich vorhandenen Kugeln am Ende außerhalb
der Box liegt und 9/10 dieser Menge in der Box.
Diese Mengen sind allerdings unbeschränkt. Ich glaube jedoch nicht, daß man diese dann
willkürlich gleichsetzen oder nullsetzen darf ;-)
Arne
MYWY Becker
Arne Binder wrote:
>
> "Bertram Felgenhauer" <b...@irz601.inf.tu-dresden.de> schrieb im Newsbeitrag news:98veuh$p13$1...@kastor.inf.tu-dresden.de...
> > Arne Binder <Arne....@blue-com.de> wrote:
> > > "Ortwin Gasper" <o.ga...@focus.ping.de> schrieb im Newsbeitrag news:7x-i4...@gasper.focus.ping.de...
> > >> Was sagt Deine Definition des Grenzübergangs? Liegt bei ihr Kugel 1 in der
> > >> Box, nicht in der Box oder ist das Ergebnis nicht definiert?
> >
> > > Nach meiner Definition ist es unter bestimmten Bedingungen nicht zulässig, von
> > > der Betrachtung einer bestimmten Kugel auf den Ausgang des Experimentes (die
> > > Menge der Kugeln in der Box zum Zeitpunkt t=1) zu schließen.
> >
> > > Genaueres steht in den anderen Postings. Das Ergebnis ist eine unendliche Menge
> > > Kugeln in der Box, deren Indizes jedoch nicht definiert sind.
> >
> > Das bedeutet dann aber, dass du schon das 5. Peano'sche Axiom nicht
> > akzeptierst [1].
>
> Ich habe ja nicht gesagt, daß die Beschriftungen der Kugeln in der Box keine
> natürlichen Zahlen sind. Es sind schon natürliche Zahlen, nur haben diese die
> Eigenschaft, daß sie zum Zeitpunkt t=1 nicht entnommen wurden.
> Mit "nicht definiert" meine ich, daß ich sie weder hinschreiben noch näher
> beschreiben kann.
Ah, du meinst die natuerliche Zahl 1/epsilon, die groesser als jede
andere natuerliche Zahl ist und daher nie entnommen wird.
Mo
Juergen Reinfeldt
Ok, das hat sich jetzt mit meinem letzten Posten überkreuzt.
Aber von Zuständen, die zustandekommen, sprichst du also doch,
oder ist dir das so unterlaufen?
Ja, mit dieser Sprechweise kann ich mich anfreunden, oder besser
gesagt, ich habe die andere Sprechweise (mit t=1) eher als
eine gesehen, bei der man intuitiv eher den Fehler macht,
Schlußweisen ungeprüft weiterzuverwenden.
Ohne die Aufgabe habe ich so nie gesprochen. Innerhalb
glaub ich auch kaum, außer evtl. die Formulierung "am Schluß"
(immer in Anführungszeichen), bei der immer ein Smiley über
mein Gesicht huschte.
Momentan sehe ich aber dies eher als Frage der Sprechweise an.
Aber nur dann, wenn wir _ausschließlich_ durch Grenzübergang
"dorthin" kommen.
Von daher ist es schon aus Vorsicht besser, t=1 so nicht zu
verwenden.
Tschüs Jürgen
Arne Binder
>
> Ah, du meinst die natuerliche Zahl 1/epsilon, die groesser als jede
> andere natuerliche Zahl ist und daher nie entnommen wird.
Ich glaube nicht, daß das so einfach ist. Denn dann könnte sie ja gar
nicht erst in die Box hineingekommen sein. Was sagst du aber zu meiner
Mengenbetrachtung?
Arne
Rainer Rosenthal
|
| Ohne die Aufgabe habe ich so nie gesprochen. Innerhalb
| glaub ich auch kaum, außer evtl. die Formulierung "am Schluß"
| (immer in Anführungszeichen), bei der immer ein Smiley über
| mein Gesicht huschte.
|
| Momentan sehe ich aber dies eher als Frage der Sprechweise an.
| Aber nur dann, wenn wir _ausschließlich_ durch Grenzübergang
| "dorthin" kommen.
|
Hallo Jürgen und MYWY,
in diesem Zusammenhang möchte ich auf einen Begriff
hinweisen, der bei Konvergenzbetrachtung von Reihen
eine wichtige Rolle spielt: Absolute Konvergenz.
Es ist ja bekannt und mit einfachen Mitteln beweisbar,
dass das unendliche Aufaddieren der Kehrwerte der
natürlichen Zahlen langsam aber immerhin jede noch so
grosse Zahl übersteigt, d.h. die sog. Harmonische Reihe
mit der n-ten Teilsumme
H(n) = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/n
divergiert.
Die Verwendung von abwechselnden Vorzeichen macht
daraus die Reihe 1 -1/2 + 1/3 - 1/4 + - ... die KONVERGIERT.
Und zwar offenbar gegen einen Wert zwischen 1 und 1/2.
Ich habe im Moment die Formelsammlung nicht parat und kann
den Namen der Ziel-Zahl nicht sagen.
Das Interessante und mit unserer Fragestellung verwandte ist,
dass man durch Umordnung ( im Sinne einer "Supertask", d.h.
nur vorgestellt) auch andere Werte als Ziel-Zahl erreichen kann.
Grund ist eben der, dass diese Reihe nicht "absolut konvergiert",
d.h. dass die Reihe der Absolutwerte divergiert.
Schönen Dank nochmal für die netten Links zur "Supertask".
Gruss,
Rainer
-
P.S. Was wollte uns dieses Posting mitteilen ?
Dass man noch lange nicht gleich ins phantasievoll philosophisch
Unverbindliche abtauchen muss, wenn man sich mit solchen
Grenzbetrachtungen befasst. Dass es nämlich dazu schon feste
Begriffsbildungen gibt (absolute Konvergenz), die man nutzen
kann, um sich länger "über das selbe" zu unterhalten.
Juergen Reinfeldt
Rainer Rosenthal wrote in <991t6g$40mbk$1...@ID-54909.news.dfncis.de>:
...
>
>Die Verwendung von abwechselnden Vorzeichen macht
>daraus die Reihe 1 -1/2 + 1/3 - 1/4 + - ... die KONVERGIERT.
>Und zwar offenbar gegen einen Wert zwischen 1 und 1/2.
>Ich habe im Moment die Formelsammlung nicht parat und kann
>den Namen der Ziel-Zahl nicht sagen.
ln 2
>
>Das Interessante und mit unserer Fragestellung verwandte ist,
>dass man durch Umordnung ( im Sinne einer "Supertask", d.h.
>nur vorgestellt) auch andere Werte als Ziel-Zahl erreichen kann.
Den Zusatz in ( ) verstehe ich so nicht. Es ist ja offensichtlich
möglich, sie so umzuordnen, daß sie divergiert.
Ich vermute, du meinst, man kann sie durch Selbstbezug
so anordnen, daß sie gegen einen anderen Grenzwert konvergiert. (?)
Wenn ich es richtig verstanden habe, geht es bei den Supertasks
aber um das Durchführen "bis zum Schluß", was ist das
Kennzeichen, das im Sinne eines Supertasks umgeordnet wird?
"nur vorgestellt" verstehe ich in diesem Zusammenhang nicht.
In die gelinkten Seiten habe ich aber auch nur reingeschnuppert.
>Grund ist eben der, dass diese Reihe nicht "absolut konvergiert",
>d.h. dass die Reihe der Absolutwerte divergiert.
>
>Schönen Dank nochmal für die netten Links zur "Supertask".
>
Dem schließe ich mich an.
>Gruss,
>Rainer
>-
>P.S. Was wollte uns dieses Posting mitteilen ?
>Dass man noch lange nicht gleich ins phantasievoll philosophisch
Die Abwertung der Philosophie teile ich nicht.
>Unverbindliche abtauchen muss, wenn man sich mit solchen
>Grenzbetrachtungen befasst. Dass es nämlich dazu schon feste
Was verstehst Du unter "solchen Grenzbetrachtungen"?
>Begriffsbildungen gibt (absolute Konvergenz), die man nutzen
>kann, um sich länger "über das selbe" zu unterhalten.
Mo sagt ja, das Ursprungsproblem hat eher nichts mit
Grenzwertbildung zu tun.
Wenn die Zeichen der Mathematik an einen konkreten Bezug
in der Realität gebunden werden, ist es nicht mehr reine Mathematik.
Wir unterhalten uns also überspitzt gesagt über nichts.
Wie die Unterschiedlichkeit der Ergebnisse einzuordnen ist,
ist IMHO schon diskussionswürdig, ebenso ob man überhaupt
von zustandegekommenen Zuständen ausgehen kann, über
die man reden kann/sollte.
Ich frage mich übrigens, ob das Rätsel schon in der FAQ steht.
ROT13 Jb vfg qvr Znex
Tschüs Jürgen
Arne Binder
Ich würde ja gerne mitlachen. Habe ich einen (Denk-)Fehler gemacht?
Wenn das Experiment tatsächlich unendlich oft wiederholt würde (also kein Ereignis am
_Ende_ stattfand), dann erübrigt sich doch die Frage, wie das Experiment zum Zeitpunkt
t=1 aussieht, da dieser Zustand ja niemals erreicht wird.
Irgendwie hat dieses Rätsel eine gewisse Ähnlichkeit mit dem Klassiker "Achill und die
Schildkröte" ;-)
Arne
Arne Binder
> Die Verwendung von abwechselnden Vorzeichen macht
> daraus die Reihe 1 -1/2 + 1/3 - 1/4 + - ... die KONVERGIERT.
> Und zwar offenbar gegen einen Wert zwischen 1 und 1/2.
Das ist schon so, allerdings muß dazu die Reihe eine MONOTONE NULLFOLGE
sein! Und deshalb hilft uns das bei unserem Experiment überhaupt nichts.
Bei Experiment 1&2 divergieren beide Teilfolgen.
> Das Interessante und mit unserer Fragestellung verwandte ist,
> dass man durch Umordnung ( im Sinne einer "Supertask", d.h.
> nur vorgestellt) auch andere Werte als Ziel-Zahl erreichen kann.
> Grund ist eben der, dass diese Reihe nicht "absolut konvergiert",
> d.h. dass die Reihe der Absolutwerte divergiert.
Die Reihe divergiert absolut. Betrachte das Experiment einfach als die
Differenz zweier divergenter unendlicher Reihen. Die Reihe "Summe der
Kugeln in der Box" minus der Reihe "Summe der Kugeln außerhalb der Box".
Die Annahme, daß allein durch den Beweis, daß die Summe der Kugeln, die
nicht in der Box sind, unendlich ist, die Summe der Kugeln in der Box
gleich 0 sein muß, halte ich für einen Fehler.
Wie genau man damit umgehen muß, weiß ich nicht. Irgendwie muß man jedoch
die Tatsache, daß immer mehr Kugeln in der Box sind, als außerhalb, beim
Endergebnis berücksichtigen. Die Lösung 0 erfüllt diese Bedingung sicher
nicht und ist daher falsch. Ich habe beriets versucht, den "Beweis" für
die 0-Lösung zu widerlegen, darauf aber noch keine Antwort bekommen.
<news:98subh$3bk50$1...@ID-57425.news.dfncis.de>
Das Einfachste wäre es, für alle Mengen eine Funktion zu entwickeln und
diese dann mit Grenzwertbetrachtung zu untersuchen. Die Frage nach dem
wahren Wert ist IMO nicht beantwortbar.
n=ld(1/(1-t))
Hineingelegt: si(n)=n*10
Herausgenommen: sd(n)=n
-----------------------------
In der Box: zi(n)=n*9
Arne
Arne Binder
> > Ich habe ja nicht gesagt, daß die Beschriftungen der Kugeln in der Box keine
> > natürlichen Zahlen sind. Es sind schon natürliche Zahlen, nur haben diese
> > die Eigenschaft, daß sie zum Zeitpunkt t=1 nicht entnommen wurden.
> > Mit "nicht definiert" meine ich, daß ich sie weder hinschreiben noch näher
> > beschreiben kann.
>
> sind, kannst Du eine beliebige auswählen. Wenn Du diese herausnimmst, hat
> diese immer noch die gleiche Nummer wie zu Anfang des Experiments. Diese
> sei n. Nun wurde aber nach Experiment die Kugel n beim n. Schritt entfernt
> und nie wieder hineingelegt => Widerspruch.
Per Definition wurden diese doch gar nicht herausgenommen! Also ist die
Behauptung "Nun wurde aber nach Experiment die Kugel n beim n. Schritt
entfernt" falsch.
> > Aufgrund der Konstruktion des Experimentes müssen diese Zahlen jedoch
> > existieren. Wenn sich die Zahl der in der Box befindlichen Kugeln stetig
> > vergrößert, dann kann sie niemals 0 werden. Aus dieser einfachen Überlegung
> > kann ich bereits die Lösung "0 Kugeln" verwerfen. Einwände?
>
> Ja:
> Betrachte folgende Prozesse:
> 1. Zu den Zeiten 1-2^k wird die Box geleert und Kugel k+1 hineingelegt.
> => Zu jedem Zeitpunkt ist genau eine Kugel in der Box.
> Welche Kugel ist für t=1 in der Box?
> 2. Zu den Zeiten 1-2^(2*k) wird Kugel 2, falls in der Box vorhanden,
> entfernt und Kugel 1 hineingelegt, zu den Zeiten 1-2^(2k+1) wird Kugel
> 1 entfernt und Kugel 2 hineingelegt.
> => Zu jedem Zeitpunkt ist genau eine Kugel in der Box.
> Welche Kugel ist für t=1 in der Box?
> Nach Deiner Argumentation müßte nun in den Fällen 1+2 in jeder Box zum
> Zeitpunkt 1 genau eine Kugel liegen, nach meiner liegt in Fall 1 keine
> Kugel in der Box und in Fall 2 ist das Ergebnis nicht definiert.
Wie begründest du, daß in Fall 1 keine Kugel mehr in der Box liegt, wenn
nach jedem abgeschlossenen Schritt eine hineingelegt wird?
> >> Frage: Wenn du mit einem Topf voller Kugeln startest, die mit
> >> 1, 2, 3, ... (alle natuerlichen Zahlen) beschriftet sind, und
> >> zum Zeitpunkt 1-0.5^n die Kugel mit der Nummer n rausnimmst,
> >> wieviele hast du dann zum Zeitpunkt 1?
>
> > Wenn du das so formulierst, dann bleiben 0 Kugeln übrig.
>
> Wieso? Die Zahl der Kugeln in der Box ist für t < 1 stets gleich (die
> Kugelmengen gleichmächtig) unendlich. Wie kommst Du jetzt darauf, daß der
> Grenzprozeß plötzlich 0 Kugeln übrigläßt :-)
Die Zahl der Kugeln für t<1 ist NICHT konstant! Wie kommst du denn darauf?
Arne
Juergen Reinfeldt
[...]
>außerhalb, beim Endergebnis berücksichtigen. Die Lösung 0 erfüllt diese
>Bedingung sicher nicht und ist daher falsch. Ich habe beriets versucht,
>den "Beweis" für die 0-Lösung zu widerlegen, darauf aber noch keine
>Antwort bekommen.
><news:98subh$3bk50$1...@ID-57425.news.dfncis.de>
>
IMHO hast du nicht versucht, in dem Beweisgang einen Fehler zu
finden, sondern vom Ergebnis her argumentiert.
Das ist etwas anderes.
Ein Vorgehen nach dieser Methode ist bei der Analyse von
Paradoxien nicht angebracht.
Im übrigen frage ich mich, welche ähh "Lösungen" du dir angesehen
hast.
Tschüs Jürgen
Arne 'Timwi' Heizmann
MYWY Becker wrote:
>
> Arne Binder wrote:
>
> > Da bin ich mir ausnahmsweise sogar mal 100%-ig sicher! Es gibt keine Aussage,
> > die nicht entweder wahr oder falsch ist.
>
> Na, und da bist du dir 100%ig sicher? Hmm...
> Arne Binder ;)
Ich nehme mal an, er ist sich (100-Binderepsilon)% sicher, und das ist
ja 100%, denn mehr als hundert würde ergeben, dass Binderepsilon eine
reelle Zahl sei. Wahrscheinlich ist das Binderepsilon sooo klein, dass
wenn man es durch zwei teilt, dann wird es negativ.
SCNR :)
Kurt Stege
Reinfeldt) wrote:
>Welche Folgen sind nun zu untersuchen?
>
>Für jedes Experiment E=1,2,3 gibt es je zwei Folgen:
>
>Die Folge fEM der Mengen der Kugeln in der Box.
>Die Folge fEA der Anzahlen der Kugeln in der Box.
>
>Die fEA konvergieren alle gegen oo.
Ja, ich denke mal das stimmt, ist aber, wie Du später
auch selbst noch rausstellst, für die Aufgabenstellung
irrelevant. Zumindest, wenn man ein "konvergiert gegen
undendlich" versteht als "divergiert". Unendlich ist
sicherlich nicht der Grenzwert. Wenn Du es so gemeint
haben solltest, ist es falsch.
Denn ich wähle mir mal epsilon = 42. Es gibt für dieses
epsilon kein n, so daß fEA(n) > unendlich - 42 ist.
Das wäre aber nach gängiger Defininition eines Grenzwertes
erforderlich.
(Hinweis: Eine Folge von natürlichen Zahlen konvergiert
nur dann, wenn sie (irgendwann) konstant wird.)
>f1M konvergiert auch, wir können genau sagen, welche Kugeln
>in die Box kommen ohne (sogar sofort) herausgenommen zu werden,
>es sind die ohne Endziffer 0.
Das ist meiner Meinung nach Quatsch, zumindest ohne eine Handvoll
mir noch fehlender Definitionen.
f1M ist eine Folge von Mengen, nicht von Zahlen. Bevor Du hier
von einem Grenzwert oder von Konvergenz sprichst, mußt Du einen
Abstandsbegriff, die Substraktion, einführen, der für zwei Mengen
eine (positive reelle ?) Zahl liefert.
Ohne eine brauchbare Definition von Konvergenz bei Mengen bricht
Deine Argumentation in sich zusammen.
Die einzige brauchbare Kovergenz, die mir einfällt, entspricht
denen der natürlichen Zahlen: Eine Folge von Mengen konvergiert
nur dann, wenn die Folge konstant wird. Ein Abstandsbegriff,
der zu dieser Art Konvergenz führt, definiert einen Abstand 0
für identische Mengen und einen Abstand 1 (oder Anzahl unter-
schiedlicher Elemente) für verschiedene Mengen.
Aber damit sind wir vielleicht sogar endlich an der Lösung
der Aufgabe dran, die der Aufgabensteller hören wollte:
Die Aufgabe ist nicht ohne weiteres entscheidbar, weil
die Kugeln in der Box zum Zeitpunkt 1 keine _Menge_ mehr
bilden!
Gruß,
Kurt.
Kurt Stege
Ich bin schon auf Deine "Auflösung" gespannt. Im Prinzip stimme
ich auch dieser Argumentation "Ansatz 2" zu. Aber nachdem ich
Jürgens Ansatz über "Grenzwertmengen" gelesen habe, kommen mir
Zweifel, die ich hier mal formulieren möchte.
On Fri, 16 Mar 2001 01:07:44 +0000, in de.rec.denksport, MYWY Becker
<myw...@cam.ac.uk> wrote:
>Ich will hiermit nicht sagen, dass Ansatz 2 korrekt ist, aber ich
>wiederhol hier nochmal die formale Argumentationskette, die zu der
>Aussage "Anzahl=0" fuehrt. Wenn alle Zwischenschritte richtig sind,
>muesste auch das Ergebnis richtig sein. Wenn du mit dem Ergebnis nicht
>uebereinstimmst, muesstest du mindestens einen Zwischenschritt als
>falsch bezeichnen koennen. Das ist meine Herausforderung an dich.
Sei M die Menge aller Kugeln, die sich bei t=1 in der Box befinden.
>(1) Angenommen, es befindet sich zum Zeitpunkt t=1 mindestens eine Kugel
>in der Box.
D.h. M ist nicht leer.
>(2) Lemma: Fuer jede Kugel existiert eine natuerliche Zahl n, so dass n
>die Aufschrift der Kugel ist.
>(3) Aus (1) und Instantiierung von (2) folgt: es befindet sich zum
>Zeitpunkt t=1 mindestens eine Kugel in der Box, und fuer diese Kugel
>existiert eine natuerliche Zahl n, so dass n die Aufschrift der Kugel
>ist.
D.h. es existiert ein n mit n Element von M.
>(4) Lemma: Fuer jede Kugel mit der Aufschrift n gilt: es existiert ein
>Zeitpunkt t1 mit 0<=t<1, zu dem die Kugel in die Box hineingetan wurde,
>und ein Zeitpunkt t2 mit t1<=t2<1, zu dem die Kugel wieder
>herausgenommen wurde.
>(5) Aus (3) und (4) folgt: es befindet sich zum Zeitpunkt t=1 mindestens
>eine Kugel in der Box, die zu einem Zeitpunkt t2 mit 0<=t<1 aus der Box
>herausgenommen wurde.
>(6) Aus (5) folgt: es befindet sich zum Zeitpunkt t=1 mind. eine Kugel
>in der Box, die sich ausserhalb der Box befindet.
>WIDERSPRUCH.
>Also ist (1) falsch, also ist ~(1) richtig. Also befindet sich zum
>Zeitpunkt t=1 keine Kugel in der Box.
In dieser Argumentation fehlt noch Schritt 0:
(0) M ist tatsächlich eine Menge.
Wenn M nämlich keine Menge ist, sondern "irgendetwas anderes" oder
gar nicht exisitert, ist damit auch (3) noch nicht gegeben, und
der Widerspruch noch nicht aufgezeigt.
Also, auch wenn es ein bisschen blöde klingen mag; Fragen kostet
ja nichts:
Warum ist "der Haufen" aller Kugeln, die sich zum Zeitpunkt t=1 in
der Box befinden, eine Menge?
Gruß,
Kurt.
Arne Binder
> Arne Binder wrote in <992945$3vl0r$1...@ID-57425.news.dfncis.de>:
>
> [...]
> >außerhalb, beim Endergebnis berücksichtigen. Die Lösung 0 erfüllt diese
> >Bedingung sicher nicht und ist daher falsch. Ich habe beriets versucht,
> >den "Beweis" für die 0-Lösung zu widerlegen, darauf aber noch keine
> >Antwort bekommen.
> ><news:98subh$3bk50$1...@ID-57425.news.dfncis.de>
> >
>
> IMHO hast du nicht versucht, in dem Beweisgang einen Fehler zu
> finden, sondern vom Ergebnis her argumentiert.
> Das ist etwas anderes.
Nein, ich habe direkt behauptet, daß Schritt(4) unzulässig ist, weil
dabei nur auf einen Teil (das Entfernen der Kugeln) eingegangen wird.
Das erneute Hinzulegen wird dabei außer Acht gelassen. Ich vermute,
daß das falsch ist. Was meinst du?
> Im übrigen frage ich mich, welche ähh "Lösungen" du dir angesehen
> hast.
Eigentlich habe ich überall nur mal kurz reingesehen. Um mich in die
teilweise doch etwas komplizierten mathematischen Argumentationen
hineinzudenken, fehlt mir leider momentan die Zeit. Vielleicht könnte
mal jemand eine Zusammenfassung aller "Lösungen" in "verständlicher"
Form machen?
Ich habe mich jedenfalls bemüht, es verständlich auszudrücken. Ob es
mir gelungen ist, weiß ich nicht...
Arne
Arne Binder
>
> Ich nehme mal an, er ist sich (100-Binderepsilon)% sicher, und das ist
> ja 100%, denn mehr als hundert würde ergeben, dass Binderepsilon eine
> reelle Zahl sei. Wahrscheinlich ist das Binderepsilon sooo klein, dass
> wenn man es durch zwei teilt, dann wird es negativ.
Freut mich, daß meine Binderzahlen bereits so intensiv Verwendung finden,
und das sogar im völlig fremden Gebiet der Prozentrechnung.
Ich wäre jedoch noch für die Einführung des Heizmannalphas. Das ist die
einzige Zahl, die bei Division durch positive Zahlen einen Vorzeichenwechsel
zur Folge hat. Mein Binderepsilon schafft das wahrscheinlich nicht.
SCNR ;)
Juergen Reinfeldt
>"Juergen Reinfeldt" <JR-...@wtal.de> schrieb im Newsbeitrag
>news:992bvj$4bd$1...@news.kdt.de...
>> Arne Binder wrote in <992945$3vl0r$1...@ID-57425.news.dfncis.de>:
>>
>> [...]
>> >außerhalb, beim Endergebnis berücksichtigen. Die Lösung 0 erfüllt
>> >diese Bedingung sicher nicht und ist daher falsch. Ich habe beriets
>> >versucht, den "Beweis" für die 0-Lösung zu widerlegen, darauf aber
>> >noch keine Antwort bekommen.
>> ><news:98subh$3bk50$1...@ID-57425.news.dfncis.de>
>> >
>>
>> IMHO hast du nicht versucht, in dem Beweisgang einen Fehler zu
>> finden, sondern vom Ergebnis her argumentiert.
klarer: vom Zwischenergebnis
>> Das ist etwas anderes.
>
>Nein, ich habe direkt behauptet, daß Schritt(4) unzulässig ist, weil
>dabei nur auf einen Teil (das Entfernen der Kugeln) eingegangen wird.
Es ist kein Fehler, bei einem Beweis etwas nicht zu benutzen.
>Das erneute Hinzulegen wird dabei außer Acht gelassen. Ich vermute,
>daß das falsch ist. Was meinst du?
Es irritiert dich, das ist verständlich.
Exp 2
Jede Kugel wird entfernt.
Richtig?
Danach bleibt sie bei allen Schritten draußen.
Richtig?
>> Im übrigen frage ich mich, welche ähh "Lösungen" du dir angesehen
>> hast.
>
>Eigentlich habe ich überall nur mal kurz reingesehen. Um mich in die
Das hatte ich schon vermutet.
Dass du dann verwirrt bist, ist nicht erstaunlich.
Es ist ja eh etwas verwirrend.
Ändere deine Strategie.
>teilweise doch etwas komplizierten mathematischen Argumentationen
>hineinzudenken, fehlt mir leider momentan die Zeit. Vielleicht könnte
>mal jemand eine Zusammenfassung aller "Lösungen" in "verständlicher"
>Form machen?
Ich nicht.
>Ich habe mich jedenfalls bemüht, es verständlich auszudrücken. Ob es
>mir gelungen ist, weiß ich nicht...
>
Ich hab mir natürlich nicht alle deine Beiträge sorgfältig
durchgelesen.
Mir drängt sich der Eindruck auf, du läufst häufig irgendwie
in die falsche Richtung.
>Arne
>
HTH Jürgen
Arne 'Timwi' Heizmann
Arne Binder wrote:
>
> "MYWY Becker" <myw...@cam.ac.uk> schrieb im Newsbeitrag news:3AB3F38C...@cam.ac.uk...
> >
> > Ah, du meinst die natuerliche Zahl 1/epsilon, die groesser als jede
> > andere natuerliche Zahl ist und daher nie entnommen wird.
>
> Ich glaube nicht, daß das so einfach ist.
Wieso nicht? Hypernatürliche Zahlen. Ist doch ganz klar :)
Juergen Reinfeldt
>On 15 Mar 2001 10:57:31 GMT, in de.rec.denksport, JR-...@wtal.de (Juergen
>Reinfeldt) wrote:
>
>>Welche Folgen sind nun zu untersuchen?
>>
>>Für jedes Experiment E=1,2,3 gibt es je zwei Folgen:
>>
>>Die Folge fEM der Mengen der Kugeln in der Box.
>>Die Folge fEA der Anzahlen der Kugeln in der Box.
>>
>>Die fEA konvergieren alle gegen oo.
>
>Ja, ich denke mal das stimmt, ist aber, wie Du später
>auch selbst noch rausstellst, für die Aufgabenstellung
>irrelevant. Zumindest, wenn man ein "konvergiert gegen
>undendlich" versteht als "divergiert". Unendlich ist
>sicherlich nicht der Grenzwert. Wenn Du es so gemeint
>haben solltest, ist es falsch.
>
Das ist eine andere Sprechweise für
bestimmte Divergenz gegen +oo
Divergenz wäre aber auch bei
z.B. 0;1;0;2;0;3;...
gegeben. Das ist zu unterscheiden.
>Denn ich wähle mir mal epsilon = 42. Es gibt für dieses
>epsilon kein n, so daß fEA(n) > unendlich - 42 ist.
solche Differenzen zu bilden ist unsinnig, da oo keine
Zahl ist.
>Das wäre aber nach gängiger Defininition eines Grenzwertes
>erforderlich.
>
Bei der bestimmten Divergenz gegen +oo wird
gefordert, daß zu jedem Wert K ein Folgenglied n_0
gefunden werden kann, sodaß für
alle n>=n_0 die Folgenglieder größer als K sind.
>(Hinweis: Eine Folge von natürlichen Zahlen konvergiert
>nur dann, wenn sie (irgendwann) konstant wird.)
>
>>f1M konvergiert auch, wir können genau sagen, welche Kugeln
>>in die Box kommen ohne (sogar sofort) herausgenommen zu werden,
>>es sind die ohne Endziffer 0.
>
>Das ist meiner Meinung nach Quatsch, zumindest ohne eine Handvoll
>mir noch fehlender Definitionen.
>
Ok, etwas freihändig, aber bestimmt kein Quatsch.
>f1M ist eine Folge von Mengen, nicht von Zahlen. Bevor Du hier
>von einem Grenzwert oder von Konvergenz sprichst, mußt Du einen
>Abstandsbegriff, die Substraktion, einführen, der für zwei Mengen
>eine (positive reelle ?) Zahl liefert.
Wer wird denn so phantasielos sein...
nimm einfach Wahrheitswerte, denen kannst du
ja Zahlenwerte zuordnen.
Weiter unten im thread hab ich auch sowas geschrieben,
aber ob es deinen formalen Anfordeungen genügt, weiß
ich nicht, wahrscheinlich nicht.
Ich kann aber auch nicht sagen, ob das einer gängigen
Definition entspricht.
>
>Ohne eine brauchbare Definition von Konvergenz bei Mengen bricht
>Deine Argumentation in sich zusammen.
>Die einzige brauchbare Kovergenz, die mir einfällt, entspricht
>denen der natürlichen Zahlen: Eine Folge von Mengen konvergiert
>nur dann, wenn die Folge konstant wird. Ein Abstandsbegriff,
>der zu dieser Art Konvergenz führt, definiert einen Abstand 0
>für identische Mengen und einen Abstand 1 (oder Anzahl unter-
>schiedlicher Elemente) für verschiedene Mengen.
>
Naja, das wär der Supertriviale Fall.
Definier das so, wenn du damit weiterkommst.
>Aber damit sind wir vielleicht sogar endlich an der Lösung
>der Aufgabe dran, die der Aufgabensteller hören wollte:
Er hat ja seine "Lösung" inzwischen gepostet.
>Die Aufgabe ist nicht ohne weiteres entscheidbar, weil
>die Kugeln in der Box zum Zeitpunkt 1
Der ist sowieso problematisch.
>keine _Menge_ mehr
Interessanter Gedanke.
Dennoch: Ist nicht offensichtlich, dass jede Kugel irgendwann
rausfliegt und nie mehr zurückkehrt?
Dann muß die Menge doch leer sein.
>bilden!
>
>Gruß,
> Kurt.
>
Tschüs Jürgen
Juergen Reinfeldt
>On 15 Mar 2001 10:57:31 GMT, in de.rec.denksport, JR-...@wtal.de (Juergen
>Reinfeldt) wrote:
>
>>Welche Folgen sind nun zu untersuchen?
>>
>>Für jedes Experiment E=1,2,3 gibt es je zwei Folgen:
>>
>>Die Folge fEM der Mengen der Kugeln in der Box.
>>Die Folge fEA der Anzahlen der Kugeln in der Box.
>>
>>Die fEA konvergieren alle gegen oo.
>
>Ja, ich denke mal das stimmt, ist aber, wie Du später
>auch selbst noch rausstellst, für die Aufgabenstellung
>irrelevant. Zumindest, wenn man ein "konvergiert gegen
>undendlich" versteht als "divergiert". Unendlich ist
>sicherlich nicht der Grenzwert. Wenn Du es so gemeint
>haben solltest, ist es falsch.
>
Das ist eine andere Sprechweise für
bestimmte Divergenz gegen +oo
Divergenz wäre aber auch bei
z.B. 0;1;0;2;0;3;...
gegeben. Das ist zu unterscheiden.
>Denn ich wähle mir mal epsilon = 42. Es gibt für dieses
>epsilon kein n, so daß fEA(n) > unendlich - 42 ist.
solche Differenzen zu bilden ist unsinnig, da oo keine
Zahl ist.
>Das wäre aber nach gängiger Defininition eines Grenzwertes
>erforderlich.
>
Bei der bestimmten Divergenz gegen +oo wird
gefordert, daß zu jedem Wert K ein Folgenglied n_0
gefunden werden kann, sodaß für
alle n>=n_0 die Folgenglieder größer als K sind.
>(Hinweis: Eine Folge von natürlichen Zahlen konvergiert
>nur dann, wenn sie (irgendwann) konstant wird.)
>
>>f1M konvergiert auch, wir können genau sagen, welche Kugeln
>>in die Box kommen ohne (sogar sofort) herausgenommen zu werden,
>>es sind die ohne Endziffer 0.
>
>Das ist meiner Meinung nach Quatsch, zumindest ohne eine Handvoll
>mir noch fehlender Definitionen.
>
Ok, etwas freihändig, aber bestimmt kein Quatsch.
>f1M ist eine Folge von Mengen, nicht von Zahlen. Bevor Du hier
>von einem Grenzwert oder von Konvergenz sprichst, mußt Du einen
>Abstandsbegriff, die Substraktion, einführen, der für zwei Mengen
>eine (positive reelle ?) Zahl liefert.
Wer wird denn so phantasielos sein...
nimm einfach Wahrheitswerte, denen kannst du
ja Zahlenwerte zuordnen.
(Und dann wie bei Folgen von Funktionen.)
Weiter unten im thread hab ich auch sowas geschrieben,
aber ob es deinen formalen Anfordeungen genügt, weiß
ich nicht, wahrscheinlich nicht.
Ich kann aber auch nicht sagen, ob das einer gängigen
Definition entspricht.
>
>Ohne eine brauchbare Definition von Konvergenz bei Mengen bricht
>Deine Argumentation in sich zusammen.
>Die einzige brauchbare Kovergenz, die mir einfällt, entspricht
>denen der natürlichen Zahlen: Eine Folge von Mengen konvergiert
>nur dann, wenn die Folge konstant wird. Ein Abstandsbegriff,
>der zu dieser Art Konvergenz führt, definiert einen Abstand 0
>für identische Mengen und einen Abstand 1 (oder Anzahl unter-
>schiedlicher Elemente) für verschiedene Mengen.
>
Naja, das wär der Supertriviale Fall.
Definier das so, wenn du damit weiterkommst.
>Aber damit sind wir vielleicht sogar endlich an der Lösung
>der Aufgabe dran, die der Aufgabensteller hören wollte:
Er hat ja seine "Lösung" inzwischen gepostet.
>Die Aufgabe ist nicht ohne weiteres entscheidbar, weil
>die Kugeln in der Box zum Zeitpunkt 1
Der ist sowieso problematisch.
MYWY Becker
Arne Binder wrote:
> Die Annahme, daß allein durch den Beweis, daß die Summe der Kugeln, die
> nicht in der Box sind, unendlich ist, die Summe der Kugeln in der Box
> gleich 0 sein muß, halte ich für einen Fehler.
Das hat glaube ich auch noch keiner behauptet.
Der Grund, weshalb die Loesung 0 die plausiblere ist, ist doch ein
anderer.
Mo
MYWY Becker
Arne Binder wrote:
>
> "Ortwin Gasper" <o.ga...@focus.ping.de> schrieb im Newsbeitrag news:7y7lP...@gasper.focus.ping.de...
> > > Ich habe ja nicht gesagt, daß die Beschriftungen der Kugeln in der Box keine
> > > natürlichen Zahlen sind. Es sind schon natürliche Zahlen, nur haben diese
> > > die Eigenschaft, daß sie zum Zeitpunkt t=1 nicht entnommen wurden.
> > > Mit "nicht definiert" meine ich, daß ich sie weder hinschreiben noch näher
> > > beschreiben kann.
> >
> > Ich gehe mal davon aus, daß Du Prozeß 2 meinst. Wenn Kugeln in der Box
> > sind, kannst Du eine beliebige auswählen. Wenn Du diese herausnimmst, hat
> > diese immer noch die gleiche Nummer wie zu Anfang des Experiments. Diese
> > sei n. Nun wurde aber nach Experiment die Kugel n beim n. Schritt entfernt
> > und nie wieder hineingelegt => Widerspruch.
>
> Per Definition wurden diese doch gar nicht herausgenommen! Also ist die
> Behauptung "Nun wurde aber nach Experiment die Kugel n beim n. Schritt
> entfernt" falsch.
Arne, *jede* Kugel, die jemals in der Box war, wurde auch wieder
herausgenommen, und zwar beim n. Schritt.
Mo
MYWY Becker
Das Binderepsilon *ist* eine reelle Zahl, naemlich die kleinste noch
positive reelle Zahl. Und natuerlich wird sie negativ, wenn man sie
durch 2 teilt. Und sie wird imaginaer, wenn man sie durch 1 teilt.
Mo
MYWY Becker
Kurt Stege wrote:
[...]
> In dieser Argumentation fehlt noch Schritt 0:
>
> (0) M ist tatsächlich eine Menge.
>
> Wenn M nämlich keine Menge ist, sondern "irgendetwas anderes" oder
> gar nicht exisitert, ist damit auch (3) noch nicht gegeben, und
> der Widerspruch noch nicht aufgezeigt.
>
> Also, auch wenn es ein bisschen blöde klingen mag; Fragen kostet
> ja nichts:
>
> Warum ist "der Haufen" aller Kugeln, die sich zum Zeitpunkt t=1 in
> der Box befinden, eine Menge?
Genau. Der "Haufen" aller Kugeln ist fuer t=1 gar nicht definiert, also
auch keine Menge.
Mo
MYWY Becker
Arne Binder wrote:
[...]
> Nein, ich habe direkt behauptet, daß Schritt(4) unzulässig ist, weil
> dabei nur auf einen Teil (das Entfernen der Kugeln) eingegangen wird.
> Das erneute Hinzulegen wird dabei außer Acht gelassen. Ich vermute,
> daß das falsch ist. Was meinst du?
Nein, Schritt(4) war nicht falsch. Fakt ist, dass *jede* Kugel zu einem
Zeitpunkt t<1 in die Box getan und spaeter wieder herausgenommen wurde.
Und zwar wirklich jede, nicht nur ein Teil der Kugeln.
> Eigentlich habe ich überall nur mal kurz reingesehen. Um mich in die
> teilweise doch etwas komplizierten mathematischen Argumentationen
> hineinzudenken, fehlt mir leider momentan die Zeit. Vielleicht könnte
> mal jemand eine Zusammenfassung aller "Lösungen" in "verständlicher"
> Form machen?
Der Inhalt der Box ist zum Zeitpunkt t=1 undefiniert.
Mo
Rainer Rosenthal
Kurt Stege <kurt-...@online.de> wrote in message
news:c379btkh9avp6j0nh...@4ax.com...
|
| Denn ich wähle mir mal epsilon = 42. Es gibt für dieses
| epsilon kein n, so daß fEA(n) > unendlich - 42 ist.
| Das wäre aber nach gängiger Defininition eines Grenzwertes
| erforderlich.
|
| (Hinweis: Eine Folge von natürlichen Zahlen konvergiert
| nur dann, wenn sie (irgendwann) konstant wird.)
|
Hallo Kurt,
das ist nicht gut argumentiert. Denn zur Konvergenzbetrachtung
musst Du schon sagen, welchen (topologischen) Raum Du
betrachtest.
Und die Epsilon-Technik funktioniert nur in metrischen Räumen,
also in solchen, bei denen eine Abstandsfunktion d definiert
ist, die je zwei Punkten eine positive reelle Zahl zuordnet und
die nur Null ergibt, wenn beide Punkte zusammenfallen. Weiter-
hin muss sie noch die sog. Dreiecksungleichung erfüllen.
Wenn Du den Raum betrachtest, der aus den natürlichen Zahlen
und "unendlich" gebildet wird, dann hast Du es NICHT mit einem
metrischen Raum zu tun.
Trotzdem gibt es eine sinnvolle Definition für "Umgebungen", die
mit Intervallen arbeitet: Ein (offenes) Intervall um x bildet man,
indem man eine Zahl z < x nimmt und alle Zahlen betrachtet, die
zwischen z und x liegen, x eingeschlossen (z nicht !). Bei von
"unendlich" verschiedenen x gehören zum Intervall noch die Zahlen
grösser als x dazu bis zu x + (x-z) - 1.
In diesem um "unendlich" erweiterten Raum der natürlichen Zahlen
ist alles als "Umgebung von x " definiert, was ein Intervall um x
enthält. Das gibt eine schöne Topologie, in der Folgen genauso
gegen "unendlich" konvergieren, wie man sich das anschaulich
wünscht: Eine Folge von Punkten dieses Raumes konvergiert
genau dann gegen x, wenn
in jeder Umgebung von x fast alle Folgenelemente liegen.
Dabei hat "fast alle" die klare Definition: "alle bis auf endlich viele".
Damit gilt Dein "Hinweis" NUR für Konvergenz gegen eine von
"unendlich" VERSCHIEDENE Zahl x, weil die einelementige Menge
{ x } selbst das durch z = x-1 bestimmte Intervall ist und folglich
Umgebung von x ist und folglich fast alle Folgenelemente enthält.
Das heisst aber im Klartext, dass nur endlich viele Folgenglieder
nicht in { x } liegen, und das heisst, dass nur endlich viele Folgen-
glieder von x verschieden sind. Und das heisst tatsächlich, dass
die Folge "(irgendwann) konstant wird".
Für den Grenzwert "unendlich" ist weder der "Hinweis" hilfreich noch
die Epsilon-Argumentation korrekt. Für diesen Grenzwert muss man
nur zeigen: Welche Umgebung von "unendlich" ich auch wähle, es
gibt nur endlich viele Folgenglieder, die nicht in dieser Umgebung liegen.
Und das klingt dann ganz ähnlich wie bei der Epsilon-Argumentation:
Zu jedem K zeige, dass es nur endlich viele Folgenglieder
gibt, die nicht im durch K bestimmten "Intervall um 'unendlich' " liegen.
Zu jedem K zeige, dass es nur endlich viele Folgenglieder kleiner
oder gleich K gibt.
Zu jedem K beweise die Existenz eines N derart, dass die Folgen-
glieder mit Index > N den Wert > K haben.
Ja, sind wir denn hier in der Mathegruppe oder was ?
Sorry - nein. Aber wenn wir hier so schöne Paradoxa zerpflücken, dann
ist es doch sicher ok, wenn man die Errungenschaften der Logik
nutzt und klare Begriffe solange verwendet, wie es möglich ist.
Danach kann man ja immer noch wunderschön weiterphantasieren.
Gruss,
Rainer
Rainer Rosenthal
Arne Binder <Arne....@blue-com.de> wrote in message
news:992945$3vl0r$1...@ID-57425.news.dfncis.de...
| Die Annahme, daß allein durch den Beweis, daß die Summe der Kugeln, die
| nicht in der Box sind, unendlich ist, die Summe der Kugeln in der Box
| gleich 0 sein muß, halte ich für einen Fehler.
| Wie genau man damit umgehen muß, weiß ich nicht. Irgendwie muß man jedoch
| die Tatsache, daß immer mehr Kugeln in der Box sind, als außerhalb, beim
| Endergebnis berücksichtigen. Die Lösung 0 erfüllt diese Bedingung sicher
| nicht und ist daher falsch. Ich habe beriets versucht, den "Beweis" für
| die 0-Lösung zu widerlegen, darauf aber noch keine Antwort bekommen.
| <news:98subh$3bk50$1...@ID-57425.news.dfncis.de>
|
Hallo Arne,
so gerne ich mich in die Gedanken anderer hineinversetze,
es kostet doch sehr viel Zeit und Mühe. Und mir fehlt an
Deiner interessanten Übertragung in die Welt der Integral-
Rechnung, also in ein im vorliegenden Fall nicht vorhandenes
Kontinuum die für Beweise so wichtige Vereinfachung.
Das Gelände der reellen Zahlen ist mit weitaus mehr logischen
Fallen gespickt als die Folge der natürlichen Zahlen.
Und das von mir und anderen gebrachte Argument für Anzahl 0
bei Experiment 2 ist ja nun wirklich wunderbar einfach:
Jede hineingelegte Kugel hat eine bestimmte Nummer.
Ist diese Nummer K, dann ist die Kugel nach dem
(K+1)-ten Schritt nicht mehr in der Box.
"Zum Schluss" kann keine Kugel in der Box sein, denn
sonst hätte sie eine Nummer K und dann ... s.o.
Gruss,
Rainer
Robin Koch
V
--
Schönen Tag noch!
Robin Koch (robi...@t-online.de)
[Mathematiker haben ein neues Epsilon entdeckt!
Es ist soo klein, daß es negativ wird wenn man es durch 2 teilt!]
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http://www.thur.de/fan-mjh
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Juergen Reinfeldt
[...]
>Ja, sind wir denn hier in der Mathegruppe oder was ?
>Sorry - nein. Aber wenn wir hier so schöne Paradoxa zerpflücken, dann
>ist es doch sicher ok, wenn man die Errungenschaften der Logik
>nutzt und klare Begriffe solange verwendet, wie es möglich ist.
>Danach kann man ja immer noch wunderschön weiterphantasieren.
>
>Gruss,
>Rainer
>
Tja, ich glaub, ich sollte wohl auch mal
schreiben, was ich unter Mengenkonvergenz verstehe.
Das gibt es zwar bestimmt schon, aber ich hab leider nur die
von mir ausgedachte Definition.
Gegeben sei eine Menge D, die Grundmenge.
Sei M Teilmenge von D
dann sei w(M) die Funktion, die jedem Element d von D
1 zuordnet für d Element von M
0 sonst.
Sei M_n eine Folge von Teilmengen von D
Sei f_n=w(M_n) für alle n Element von N
Dann konvergiert M_n (gleichmäßig) genau dann,
wenn f_n (gleichmäßig) konvergiert.
Tschüs Jürgen
Arne Binder
>
> Arne, *jede* Kugel, die jemals in der Box war, wurde auch wieder
> herausgenommen, und zwar beim n. Schritt.
Nein, das ist nicht so, weil eben bei diesem n. Schritt wieder mindestens eine
neue Kugel hinzukommt. Der Vorgang "Kugel entnehmen und neue Kugeln hinzufügen"
ist genau ein abgeschlossener Vorgang, der es unmöglich macht, jemals alle Kugeln
herauszunehmen. Wieso ist das so schwer zu verstehen?
Arne
Arne Binder
>
> Dennoch: Ist nicht offensichtlich, dass jede Kugel irgendwann
> rausfliegt und nie mehr zurückkehrt?
> Dann muß die Menge doch leer sein.
Falsch. Es ist offensichtlich, daß sich die Menge bei jedem Schritt
um 9 Elemente vergrößert. Die Folgerung eine leeren Menge am Ende
ist Unsinn. Betrachte immer den _gesamten_ Schritt!
Arne
Rainer Rosenthal
Juergen Reinfeldt <JR-...@wtal.de> wrote in message
news:992qel$6es$1...@news.kdt.de...
|
| Tja, ich glaub, ich sollte wohl auch mal
| schreiben, was ich unter Mengenkonvergenz verstehe.
|
| Das gibt es zwar bestimmt schon, aber ich hab leider nur die
| von mir ausgedachte Definition.
|
| Gegeben sei eine Menge D, die Grundmenge.
|
| Sei M Teilmenge von D
| dann sei w(M) die Funktion, die jedem Element d von D
| 1 zuordnet für d Element von M
| 0 sonst.
|
Hallo Juergen,
dies w(M) ist die "charakteristische Funktion" der Menge M.
(Ach ja, danke für Deine Angabe ln(2) = 1 - 1/2 + 1/3 ...)
| Sei M_n eine Folge von Teilmengen von D
| Sei f_n=w(M_n) für alle n Element von N
|
| Dann konvergiert M_n (gleichmäßig) genau dann,
| wenn f_n (gleichmäßig) konvergiert.
Mit dem "gleichmässig" habe ich Schwierigkeiten. Denn
was bedeutet das und was hat es mit unserem Problem
zu tun ?
Vorschlag: Ausgliedern nach de.sci.mathematik mit
angepasster Formulierung. Wenn dort was Handfestes
herauskommt, können wir das Ergebnis ja hier wieder präsen-
tieren (falls es dann noch irgendwen interessiert :-)
Gruss,
Rainer
Arne Binder
>
>
> Arne Binder wrote:
> [...]
> > Nein, ich habe direkt behauptet, daß Schritt(4) unzulässig ist, weil
> > dabei nur auf einen Teil (das Entfernen der Kugeln) eingegangen wird.
> > Das erneute Hinzulegen wird dabei außer Acht gelassen. Ich vermute,
> > daß das falsch ist. Was meinst du?
> Nein, Schritt(4) war nicht falsch. Fakt ist, dass *jede* Kugel zu einem
> Zeitpunkt t<1 in die Box getan und spaeter wieder herausgenommen wurde.
> Und zwar wirklich jede, nicht nur ein Teil der Kugeln.
Wie kann man bitte jede Kugel entnehmen, wenn durch jede Entnahme mindestens
eine neue hinzukommt? Das ist doch völlig unlogisch, was du da sagst. Allein
die Art des Experimentes macht es unmöglich, *jede* Kugel zu entfernen. Daran
ändert auch die Tatsache, daß es ein "Supertask" ist, nichts.
Es kann immer nur genau 1/10 der Kugeln, die in der Box sind, draußen liegen.
Oder formulieren wir es mal anders. Angenommen es wurden n Kugeln aus der Box
herausgenommen, dann liegen 9*n Kugeln in der Box und es wurden 10*n Kugeln
aus dem Sack genommen. Ist der Sack nun unendlich groß, kann auch dieses n
unendlich groß werden. Es ist jedoch immer kleiner als die Zahl der Kugeln,
die der Sack am Anfang enthalten hat.
> > Eigentlich habe ich überall nur mal kurz reingesehen. Um mich in die
> > teilweise doch etwas komplizierten mathematischen Argumentationen
> > hineinzudenken, fehlt mir leider momentan die Zeit. Vielleicht könnte
> > mal jemand eine Zusammenfassung aller "Lösungen" in "verständlicher"
> > Form machen?
> Der Inhalt der Box ist zum Zeitpunkt t=1 undefiniert.
Sehe ich auch so, aber bestimmt ungleich 0.
Arne
Arne Binder
"Jede Kugel" heißt doch unendlich viele, wenn der Sack eben per Definition
unendlich viele enthält.
Arne