Polynum mit 2023

Rainer ausdemSpring

unread,

Jan 25, 2023, 9:55:36 AM1/25/23

to

Finde alle Polynome P über den reellen Zahlen, so daß für jedes reelle x gilt:

(x-2023)P(x+119) = xP(x)

Rainer

Alfred Flaßhaar

unread,

Jan 29, 2023, 12:38:52 AM1/29/23

to

Am 25.01.2023 um 15:55 schrieb Rainer ausdemSpring:
> Finde alle Polynome P über den reellen Zahlen, so daß für jedes reelle x gilt:
>
> (x-2023)P(x+119) = xP(x)
>

Angenommen, es gibt ein Polynom, das die Voraussetzung erfüllt. Dann ist
es auf der ganzen reellen Achse definiert und hat bekanntlich höchstens
soviel (endlich viele) verschiedene Nullstellen, wie sein Grad angibt.
Sei nun x=0. Dann ist P(0+119) = P(119) = 0 und x_1 = 119 eine
Polynomnullstelle. Dies wird auf der rechten Seite der vorgegebenen
Funktionalgleichung eingesetzt. Es ist dann 119*P(119) = 0. Daher ist
der Faktor auf der linken Seite P(119+119) = P(2*119) = 0. Also ist auch
x_2 = 2*119 eine weitere Polynomnullstelle. Nun wird das Verfahren mit
x_2 wiederholt usw. Das liefert für jede natürliche Zahl n eine
Nullstelle x_n und damit abzählbar viele. Das widerspricht aber der
Voraussetzung. Es gibt also kein _Polynom_, das die Funktionalgleichung
erfüllt.

Sonntagsgruß, Alfred

Diedrich Ehlerding

unread,

Jan 29, 2023, 5:17:39 AM1/29/23

to

Alfred Flaßhaar meinte:

> der Faktor auf der linken Seite P(119+119) = P(2*119) = 0. Also ist
> auch x_2 = 2*119 eine weitere Polynomnullstelle. Nun wird das
> Verfahren mit x_2 wiederholt usw. Das liefert für jede natürliche Zahl
> n eine Nullstelle x_n und damit abzählbar viele.

Hm ... da ist, glaube ich, noch ein kleiner Fehler in der
Argumentation. 2023=17*119. Da ist dann x-2023 ein möglicher Faktor 0,
es muss also nicht zwingend P(17*119) eine Nullstelle sein. Allerdings
kann man dann mit x_17=2023 genauso weiterargumentieren.
--
gpg-Key (DSA 1024) D36AD663E6DB91A4
fingerprint = 2983 4D54 E00B 8483 B5B8 C7D1 D36A D663 E6DB 91A4
HTML-Mail wird ungeleſen entſorgt.

Rainer ausdemSpring

unread,

Jan 29, 2023, 7:26:33 AM1/29/23

to

Alfred Flaßhaar schrieb am Sonntag, 29. Januar 2023 um 06:38:52 UTC+1:
> Am 25.01.2023 um 15:55 schrieb Rainer ausdemSpring:
> > Finde alle Polynome P über den reellen Zahlen, so daß für jedes reelle x gilt:
> >
> > (x-2023)P(x+119) = xP(x)
> >
> Angenommen, es gibt ein Polynom, das die Voraussetzung erfüllt. Dann ist
> es auf der ganzen reellen Achse definiert und hat bekanntlich höchstens
> soviel (endlich viele) verschiedene Nullstellen, wie sein Grad angibt.
> Sei nun x=0. Dann ist P(0+119) = P(119) = 0 und x_1 = 119 eine
> Polynomnullstelle. Dies wird auf der rechten Seite der vorgegebenen
> Funktionalgleichung eingesetzt. Es ist dann 119*P(119) = 0. Daher ist
> der Faktor auf der linken Seite P(119+119) = P(2*119) = 0. Also ist auch
> x_2 = 2*119 eine weitere Polynomnullstelle. Nun wird das Verfahren mit
> x_2 wiederholt usw.

das usw. scheitert irgendwann.

Rainer

Alfred Flaßhaar

unread,

Jan 29, 2023, 9:56:45 AM1/29/23

to

Am 29.01.2023 um 13:26 schrieb Rainer ausdemSpring:
> Alfred Flaßhaar schrieb am Sonntag, 29. Januar 2023 um 06:38:52 UTC+1:
>> Am 25.01.2023 um 15:55 schrieb Rainer ausdemSpring:
>>> Finde alle Polynome P über den reellen Zahlen, so daß für jedes reelle x gilt:
>>>
>>> (x-2023)P(x+119) = xP(x)
>>>
>> Angenommen, es gibt ein Polynom, das die Voraussetzung erfüllt. Dann ist
>> es auf der ganzen reellen Achse definiert und hat bekanntlich höchstens
>> soviel (endlich viele) verschiedene Nullstellen, wie sein Grad angibt.
>> Sei nun x=0. Dann ist P(0+119) = P(119) = 0 und x_1 = 119 eine
>> Polynomnullstelle. Dies wird auf der rechten Seite der vorgegebenen
>> Funktionalgleichung eingesetzt. Es ist dann 119*P(119) = 0. Daher ist
>> der Faktor auf der linken Seite P(119+119) = P(2*119) = 0. Also ist auch
>> x_2 = 2*119 eine weitere Polynomnullstelle. Nun wird das Verfahren mit
>> x_2 wiederholt usw.
>
> das usw. scheitert irgendwann.
>

... in einem der möglichen Fälle. Da habe ich heute früh während der
Rasur nicht aufgepaßt und eine Variante übersehen.