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[Matx]#664: Zahlenfolge mit 2011
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GJ Woeginger
May 10, 2012, 11:18:35 AM5/10/12
to
Wir betrachten die durch
x(1) = 1
x(2) = 2011
x(n+2) = 4022*x(n+1) - x(n)
festgelegte Zahlenfolge.
Beweise:
2012*( 1+x(2012) ) ist eine Quadratzahl.
___________________________________________________________
Gerhard J. Woeginger http://www.win.tue.nl/~gwoegi/
x(1) = 1
x(2) = 2011
x(n+2) = 4022*x(n+1) - x(n)
festgelegte Zahlenfolge.
Beweise:
2012*( 1+x(2012) ) ist eine Quadratzahl.
___________________________________________________________
Gerhard J. Woeginger http://www.win.tue.nl/~gwoegi/
Klaus-R. Loeffler
May 12, 2012, 5:26:38 AM5/12/12
to
GJ Woeginger <gwo...@figipc78.tu-graz.ac.at> wrote:
> Wir betrachten die durch
>
> x(1) = 1
>
> x(2) = 2011
>
> x(n+2) = 4022*x(n+1) - x(n)
>
> festgelegte Zahlenfolge.
>
>
> Beweise:
> 2012*( 1+x(2012) ) ist eine Quadratzahl.
>
>
> ___________________________________________________________
Kein Spoiler, da keine Loesung gegeben wird, sondern nur die Behauptung
> Wir betrachten die durch
>
> x(1) = 1
>
> x(2) = 2011
>
> x(n+2) = 4022*x(n+1) - x(n)
>
> festgelegte Zahlenfolge.
>
>
> Beweise:
> 2012*( 1+x(2012) ) ist eine Quadratzahl.
>
>
> ___________________________________________________________
einer Verallgemeinerung - gewissermassen um der Aufgabe zum Muttertag
eine Mutter zu spendieren.
Definiert man zu einer reellen Zahl p und mit der Rekursion
f(n+2)=2p*f(n+1) - f(n) die Folgen x und g mit den Anfangswerten 1 und
p bzw. 1 und 2p-1, dann gilt die Identitaet
x(2n) = (p+1)*(g(n))^2 - 1.
Ist also p eine natuerliche Zahl, dann ist (x(2n)+1) * (p+1) fuer jeden
Index n eine Quadratzahl. Mit p = 2011, n = 1006 ist damit auch
(x(2012)+1)*2012 eine Quadratzahl.
Klaus-R.
Ralf Beyer
May 12, 2012, 10:13:44 AM5/12/12
to
Klaus-R. Loeffler schrieb:
Dann hänge ich einen möglichen Beweis dafür hinten dran:
S
p
o
i
l
e
r
S
p
o
i
l
e
r
S
p
o
i
l
e
r
S
p
o
i
l
e
r
Die gegebene Rekursionformel und die Startwerte für x(n) sind identisch
mit denen der Tschebyscheff-Polynome T_n(p), nämlich
T_0(p) = 1
T_1(p) = p
T_{n+1}(p) = 2p T_n(p) - T_{n-1}(p)
wenn man p = 2011 und x(n+1) = T_n(p) setzt. Andererseits lassen sich die
Tschebyscheff-Polynome durch T_n(p) = cosh(n * arcosh(p)) = cosh(nz)
für p >= 1 darstellen mit z = arcosh(p). Siehe dazu
http://de.wikipedia.org/wiki/Tschebyschow-Polynom
Einsetzen und Umformen durch Anwendung der Additionstheoreme für die
cosh-Funktion ergibt:
(1+p)(1 + x(2n))
= (1+p)(1 + T_{2n-1}(p))
= (1 + cosh(z))(1 + cosh((2n-1)z)))
= 4 * (cosh(z/2))^2 * (cosh((2n-1)z/2))^2
= (cosh(nz) + cosh((n-1)z))^2
= (T_n(p) + T_{n-1}(p))^2
= (x(n+1) + x(n))^2
Damit ist 2012 * (1 + x(2012)) = (x(1007) + x(1006))^2. Dies ist mit
Deinem Ergebnis identisch, wenn man (1+p) * g(n) = x(n+1) + x(n)
setzt.
VG Ralf
S
p
o
i
l
e
r
S
p
o
i
l
e
r
S
p
o
i
l
e
r
S
p
o
i
l
e
r
Die gegebene Rekursionformel und die Startwerte für x(n) sind identisch
mit denen der Tschebyscheff-Polynome T_n(p), nämlich
T_0(p) = 1
T_1(p) = p
T_{n+1}(p) = 2p T_n(p) - T_{n-1}(p)
wenn man p = 2011 und x(n+1) = T_n(p) setzt. Andererseits lassen sich die
Tschebyscheff-Polynome durch T_n(p) = cosh(n * arcosh(p)) = cosh(nz)
für p >= 1 darstellen mit z = arcosh(p). Siehe dazu
http://de.wikipedia.org/wiki/Tschebyschow-Polynom
Einsetzen und Umformen durch Anwendung der Additionstheoreme für die
cosh-Funktion ergibt:
(1+p)(1 + x(2n))
= (1+p)(1 + T_{2n-1}(p))
= (1 + cosh(z))(1 + cosh((2n-1)z)))
= 4 * (cosh(z/2))^2 * (cosh((2n-1)z/2))^2
= (cosh(nz) + cosh((n-1)z))^2
= (T_n(p) + T_{n-1}(p))^2
= (x(n+1) + x(n))^2
Damit ist 2012 * (1 + x(2012)) = (x(1007) + x(1006))^2. Dies ist mit
Deinem Ergebnis identisch, wenn man (1+p) * g(n) = x(n+1) + x(n)
setzt.
VG Ralf
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