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Stereographische-Projektion
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neu...@tuhh.de
Oct 31, 2022, 7:30:08 AM10/31/22
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Man kann Zahlen auf der Zahlengraden auf die 1-Sphäre „S“ abbilden:
x --> ( 2x/(x²+1), x²-1/(x²+1) )
z.B.: 1 --> (1,0), 2 --> (4/5, 3/5), 3 --> (6/10, 8/10) usw.
Und, man erhält pythagoreische Tripel 1²+0²=1², 4²+3²=5², 6²+8²=10² …
Auch für rationale Zahlen p/q gibt es eine rationale Abbildung auf S:
p/q--> ( 2pq/(p²+q²), (p²-q²)/(p²+q²) )
z.B.: ½ --> (4/5,3/5), 3/2 --> (12/13,5/13), usw.
Und wieder findet man pythagoreische Tripel 4²+3²=5², 12²+5²=13², …
Aber die Abbildung ist wohl nicht bijektiv, denn z.B. 2 und ½ haben das gleiche Bild.
a) Und, betrachtet man mal die Kettenbruchentwicklung von sqrt(2); 1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70, …
Ist diese Abbildung bezgl. reeller Zahlen eigentlich stetig?
b) Mann kann auch die Ebene auf die 2-Sphäre „S²“ abbilden:
Analog findet man (x,y) --> ( 2x/(x²+y²+1), 2y/(x²+y²+1), (x²+y²-1)/(x²+y²+1) )
Und auch hier findet man (1,0) --> ( 1, 0, 0) und 2²+0+0=2²
Oder (1,1) --> (2/3,2/3,1/3) und 4+4+1=3²
Oder (1,2) --> (2/6,4/6,4/6) und 4+16+16=6²
…
Gibt es eine Abbildung (p/q,r/s) --> ( x,, y, z ) € S² d.h. x²+y²+z²=1
Viel Spaß Siggi N.
x --> ( 2x/(x²+1), x²-1/(x²+1) )
z.B.: 1 --> (1,0), 2 --> (4/5, 3/5), 3 --> (6/10, 8/10) usw.
Und, man erhält pythagoreische Tripel 1²+0²=1², 4²+3²=5², 6²+8²=10² …
Auch für rationale Zahlen p/q gibt es eine rationale Abbildung auf S:
p/q--> ( 2pq/(p²+q²), (p²-q²)/(p²+q²) )
z.B.: ½ --> (4/5,3/5), 3/2 --> (12/13,5/13), usw.
Und wieder findet man pythagoreische Tripel 4²+3²=5², 12²+5²=13², …
Aber die Abbildung ist wohl nicht bijektiv, denn z.B. 2 und ½ haben das gleiche Bild.
a) Und, betrachtet man mal die Kettenbruchentwicklung von sqrt(2); 1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70, …
Ist diese Abbildung bezgl. reeller Zahlen eigentlich stetig?
b) Mann kann auch die Ebene auf die 2-Sphäre „S²“ abbilden:
Analog findet man (x,y) --> ( 2x/(x²+y²+1), 2y/(x²+y²+1), (x²+y²-1)/(x²+y²+1) )
Und auch hier findet man (1,0) --> ( 1, 0, 0) und 2²+0+0=2²
Oder (1,1) --> (2/3,2/3,1/3) und 4+4+1=3²
Oder (1,2) --> (2/6,4/6,4/6) und 4+16+16=6²
…
Gibt es eine Abbildung (p/q,r/s) --> ( x,, y, z ) € S² d.h. x²+y²+z²=1
Viel Spaß Siggi N.
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