Moin - to whom it concerns.
Ich habe mal in der Folge der Summe der natürlichen Zahlen nach Quadraten gesucht.
Erstaunlich finde ich, daß offenbar _genau_ die Paare (1,1), (6,8), (35,49), (204, 288), ... also 1, 6²= 36= 8*9/2, 35²= 1225= 49*50/2, 204²= 41616= 288*289/2, ...
_die_ Quadrate innerhalb besagter Folge beinhalten.
Also 1, 6, 35, 204, ... und dafür gilt a(n+1)= 6*a(n) -a(n-1) und a(1)=1, a(0)=0
Wg. p²-6p+1=0 und (p-3)²= 8 oder p= 3+/-2sqrt(2) und damit a(n)= u(3+2sqrt(2))^n +v(3-2sqrt(2))^n
weil a(0)=0 v=-u und a(1)=1, u= sqrt(2)/8 also
a(n)= sqrt(2)((3+2sqrt(2))^n -(3-2sqrt(2))^n)/8
Wenn man so ein Quadrat q² in der Summe der nat. Zahlen 1 bis n findet, gehört immer die gewünschte Aufteilung dazu, denn:
Sei n so daß n(n+1)/2= q², dann ist (q-1)q/2 die Summe bis vor q und [n(n+1)/2-q]/2= (q²-q)/2 zerlegt q²= n(n+1)/2= (q-1)q/2 +q +(q-1)q/2 wie gewünscht!
(Und (q²+1)/2 ist auch ein Quadrat!)
Außerdem gilt n(n+1)= 2q²= 2r²s² und n=2r² oder n=s² bzw. n+1=r² oder n+1=2s².
D.h. mit n so, daß n(n+1)=q² muß auch immer ein Nachbarsumme das doppelte eines Quadrates sein!
Sei q so, daß n(n+1)=2q², also n= 1, 8, 49, 288, 1681, 9800, 57121, ...
Dann sind Quadrate: 1 und (1+1)/2=1², 2*2²: 8+1=3², 49=7² und (49+1)/2=5², 2*12²: 288+1=17², 1681=41² und (1681+1)/2=29², 2*70²: 9800+1=99², ... "verbunden",
Das gibt abschließend noch Anlaß zu
1 2 5 12 29 70 ... X_n+1= 2X_n + X_n-1
1 3 7 17 41 99 ... Y_n+1= 2Y_n + Y_n-1 , wobei X_n/Y_n (mit besten Näherungen) gegen sqrt(2)/2 konvergiert
und 2(X_2n-1)² -1= (Y_2n-1)² und 2(X_2n)² +1= (Y_2n)², n=1, 2, 3, ... sog. Pellesche Gleichungen sind!
Das soll's auch sein!
VG Siggi N