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Was mit der Summe von natürlichen Zahlen: "Alfred zum Zweiten!"

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neu...@tuhh.de

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Aug 12, 2022, 12:04:46 PM8/12/22
to
Von Alfred stammt die Frage:

Sei M={1, 2, ..., n} die Folge natürlicher Zahlen von 1 bis n. Man
bestimme alle n, für die es ein m aus M gibt, daß die Summe von 1 bis
m-1 gleich der Summe von m+1 bis n ist.
...
Freundliche Grüße, Alfred Flaßhaar

Man findet schnell, das 2m²= n²+n gelten muß,
gleich mit der Frage für welche n aus IN n(n+1)/2 eine Quadratzahl ist!?

Ich habe da einen Ansatz (gesehen), aber ich möchte den Lösungsweg für alle offen lassen!

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Betrachte folgendes
- die Paare ( c(i), d(i) ) = (6,8), (35,49), (204,288), ... = (m,n) sind Lösungen!

a( i ) = 1 > 2 > 5 > 12 > ...
i=0,1... ^ _ v^ _ v _ v^
b( i ) = 1 _ 3 _ 7 _ 17 _ ...

c( i ) = 1 _ 6 _35 _ 204 _ ... = a(i)*b(i)
d( i ) = 1_2*2²_7²_ 2*12²_... = b(0)², 2*a(1)², b(2)², 2*a(3)², b(4)², 2* ...

Wenn man den Pfeilen folgt findet man:
1>1>2 und 1>2>3, 3>2>5, 2>5>7, 7>5>12, 5>12>17, 17>12>29 ... oder:

a(i+1)= a(i)+b(i) mit a(0)= b(0)= 1 und
b(i+1)= a(i+1)+a(i)

(Oder auch a(i+1)=2a(i)+a(i-1) und b(i+1)=2b(i)+b(i-1)
mit a(0)=b(0)=1 und a(-1)= b(-1)= 0)

Wenn man die Differenzengleichungen löst, bekommt man auch eine explizite Form für c(i):
c(n)= [(1 +sqrt(2))^2(n+1) -(1 -sqrt(2))^2(n+1)] / (4*sqrt(2))
Weil n²+n= 2*m(m-1)/2 +m sein soll, ergibt sich d(n)= (sqrt(8*c(n)² +1) -1)/2

Als ich die Folge (6,8), (35,49), (204,288) analysierte
"sah" ich diese Herleitung!
Insbesondere ergibt sich, daß 8*c(n)² +1 immer ein Quadrat ist!?

neu...@tuhh.de

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Aug 12, 2022, 12:18:04 PM8/12/22
to
Danke Alfred für diese Aufgabe! Und,
ich vergaß: Schönes Wochendende
- speziell für alle Leidenden die aus diesen Posts ihre Freude schöpfen!

Gruß Siggi N

neu...@tuhh.de

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Aug 23, 2022, 1:57:55 PM8/23/22
to
Hallo Alfred.

Also, ich hatte nicht erkannt, daß eine Pellesche Gleichung 8*c(n)² +1= q² (und d(n)= (q-1)/2) Dreh- und Angelpunkt der Aufgabe ist!
Und sich die Lösungen über die Kettenbruchentwicklung von sqrt(8) ergeben - s. z.B. Wikipedia.
Das diese Lösungen dann zu den Lösungen der originären Aufgabe führen, hast Du ja dann auch noch gezeigt.
Soviel Detailarbeit hatte ich nicht erwartet, habe aber gern dazugelernt.

Aber der Ingenieur in mir, freut sich ja schon, wenn er aus den paar Zahlen eine Gesetzmäßigkeit erraten kann. ;-)
Die Lösung der Differenzengleichung war dann schon ein Highlight
- und die Pellesche Gleichung habe ich wenigstens implizit erwähnt. ;-)

Ich hätte die Quadrate gesucht, n und (n+1) müssen q² und 2p² sein und dann eben die Folgen erraten.
Aber ich wußte gar nicht mit einem Beweis anzufangen. :-(

Gruß Siggi N.

neu...@tuhh.de

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Aug 26, 2022, 11:51:40 AM8/26/22
to
Moin - to whom it concerns.

Ich habe mal in der Folge der Summe der natürlichen Zahlen nach Quadraten gesucht.
Erstaunlich finde ich, daß offenbar _genau_ die Paare (1,1), (6,8), (35,49), (204, 288), ... also 1, 6²= 36= 8*9/2, 35²= 1225= 49*50/2, 204²= 41616= 288*289/2, ...
_die_ Quadrate innerhalb besagter Folge beinhalten.

Also 1, 6, 35, 204, ... und dafür gilt a(n+1)= 6*a(n) -a(n-1) und a(1)=1, a(0)=0
Wg. p²-6p+1=0 und (p-3)²= 8 oder p= 3+/-2sqrt(2) und damit a(n)= u(3+2sqrt(2))^n +v(3-2sqrt(2))^n
weil a(0)=0 v=-u und a(1)=1, u= sqrt(2)/8 also
a(n)= sqrt(2)((3+2sqrt(2))^n -(3-2sqrt(2))^n)/8

Wenn man so ein Quadrat q² in der Summe der nat. Zahlen 1 bis n findet, gehört immer die gewünschte Aufteilung dazu, denn:
Sei n so daß n(n+1)/2= q², dann ist (q-1)q/2 die Summe bis vor q und [n(n+1)/2-q]/2= (q²-q)/2 zerlegt q²= n(n+1)/2= (q-1)q/2 +q +(q-1)q/2 wie gewünscht!
(Und (q²+1)/2 ist auch ein Quadrat!)
Außerdem gilt n(n+1)= 2q²= 2r²s² und n=2r² oder n=s² bzw. n+1=r² oder n+1=2s².
D.h. mit n so, daß n(n+1)=q² muß auch immer ein Nachbarsumme das doppelte eines Quadrates sein!
Sei q so, daß n(n+1)=2q², also n= 1, 8, 49, 288, 1681, 9800, 57121, ...
Dann sind Quadrate: 1 und (1+1)/2=1², 2*2²: 8+1=3², 49=7² und (49+1)/2=5², 2*12²: 288+1=17², 1681=41² und (1681+1)/2=29², 2*70²: 9800+1=99², ... "verbunden",
Das gibt abschließend noch Anlaß zu
1 2 5 12 29 70 ... X_n+1= 2X_n + X_n-1
1 3 7 17 41 99 ... Y_n+1= 2Y_n + Y_n-1 , wobei X_n/Y_n (mit besten Näherungen) gegen sqrt(2)/2 konvergiert
und 2(X_2n-1)² -1= (Y_2n-1)² und 2(X_2n)² +1= (Y_2n)², n=1, 2, 3, ... sog. Pellesche Gleichungen sind!

Das soll's auch sein!
VG Siggi N

neu...@tuhh.de

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Sep 6, 2022, 4:01:35 AM9/6/22
to
neu...@tuhh.de schrieb am Freitag, 12. August 2022 um 18:04:46 UTC+2:
Wenn nicht gut, dann mindestens interessant!

https://youtu.be/V2BybLCmUzs

Gruß Siggi N.
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