Flächenverhältnis gesucht

[Alfred Flaßhaar]

Falls während der dunklen Jahreszeit Langeweile aufkommt, könnte
folgende Aufgabe insbesondere für Denksportler aus dem Bereich der
Städte Meiningen und Saalfeld (Erklärung dazu erfolgt nach Lösung ;-) )
für Erholung sorgen:

In der euklidischen Ebene seien eine stetig differenzierbare Kurve und
auf ihr die Punkte A und B gegeben. Zusammen mit der Sehne AB und den
Tangenten in A und B entsteht ein Flächensegment F1, das von der Sehne
AB und dem von A und B begrenzten Kurvenstück eingeschlossen wird und es
entsteht aus der Sehne AB und den Tangenten in A und B ein Dreieck F2
mit den Eckpunkten A, B und dem Tangentenschnittpunkt C.

Man berechne das Flächenverhältnis F1/F2, wenn lim AB ---> 0 strebt.

Wochenendgruß, Alfred Flaßhaar

[neu...@tuhh.de]

Moin Alfred, moin alle!
Ich habe versucht F1/F2 formelmäßig auszuwerten, find' da aber wohl den Trick nicht.
Aber ich bin sicher, es kommt Null heraus, denn die Tangenten schmiegen sich stärker an die Kurve als die Sehne es tut!
Nur, irgendwie spielt die Krümmung da mit rein - also f''. Aber "die Sehne liegt immer Konkav" zum Kurvenverlauf!

Es scheint ja sonst keine Antwort zu kommen, sag doch demnächst mal was dazu.

Gruß Siggi N.

[Alfred Flaßhaar]

Am 15.11.2023 um 15:25 schrieb neu...@tuhh.de:
> Alfred Flaßhaar schrieb am Samstag, 28. Oktober 2023 um 10:38:40 UTC+2:

(...)

> Ich habe versucht F1/F2 formelmäßig auszuwerten, find' da aber wohl den Trick nicht.
> Aber ich bin sicher, es kommt Null heraus, denn die Tangenten schmiegen sich stärker an die Kurve als die Sehne es tut!
> Nur, irgendwie spielt die Krümmung da mit rein - also f''. Aber "die Sehne liegt immer Konkav" zum Kurvenverlauf!
>
> Es scheint ja sonst keine Antwort zu kommen, sag doch demnächst mal was dazu.
>

Diese Aufgabe fand ich in vereinfachter Form für den Spezialfall "Kreis"
in der Schülerzeitschrift "Alpha", Heft 2 aus 1993. Den Ursprung dazu
fand ich dann in:

Archiv der Mathematik und Physik, Herausgeber Johann August Grunert, 31.
Teil von 1858, S. 449-453, "Über einen merkwürdigen allgemeinen Satz
von den Curven", Autor: Andreas Völler

Der Satz wird darin "zu Fuß" durch Berechnung etwas ungenau formuliert
und holperig bewiesen (Voraussetzungen werden im Beweis gut versteckt).
Das Beweisprinzip ist recht einfach und sollte sich aber für Fans von
CAS schnell erledigen. Für beliebige stetig differenzierbare Kurven, die
in den Punkten A und B nichtentartete Krümmungskreise besitzen, ergibt
sich überraschenderweise _nicht_ Null als Flächenverhältnis. Dein
Verdacht mit der zweiten Ableitung liegt also richtig. Interessant ist
an diesem Satz, daß er für beliebige Kurven, deren zweite Ableitungen in
A und B nicht verschwinden, gilt. Zur Veranschaulichung genügt es, den
Beweis für konvexe (nach oben gekrümmte) Kurvenbögen zu führen.

Viele Grüße, Alfred