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Dreieck und Sechseck

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Michael Klemm

unread,
May 19, 2012, 10:12:14 AM5/19/12
to
Zeige oder widerlege:
Der Inhalt eines zentralsymmetrischen Sechsecks
ist doppelt so gro� wie der Inhalt des von
jeder zweiten Ecke erzeugten Dreiecks.

Gru�
Michael


Michael Klemm

unread,
May 19, 2012, 1:05:05 PM5/19/12
to
> Zeige oder widerlege:
> Der Inhalt eines zentralsymmetrischen Sechsecks
> ist doppelt so groß wie der Inhalt des von
> jeder zweiten Ecke erzeugten Dreiecks.
>
> Gruß
> Michael



(1) Area(ABCDEF) = 2·Area(ACE)
http://www.cut-the-knot.org/triangle/MidpointsInHexagon2.shtml

Gruß
Michael


skipper...@gmx.de

unread,
May 19, 2012, 5:54:38 PM5/19/12
to
Am 19.05.2012 19:05, schrieb Michael Klemm:
>> Zeige oder widerlege:
>> Der Inhalt eines zentralsymmetrischen Sechsecks
>> ist doppelt so groￜ wie der Inhalt des von
>> jeder zweiten Ecke erzeugten Dreiecks.
>>
>> Gruￜ
>> Michael
>
>
>
> (1) Area(ABCDEF) = 2ï¿œArea(ACE)
> http://www.cut-the-knot.org/triangle/MidpointsInHexagon2.shtml
>
> Gruￜ
> Michael
>
>
Zeichne ein beliebiges zentralsymmetrischen Sechseck.
Zeichne dahinein das von jeder zweiten Ecke erzeugte Dreieck.
Klappe die ï¿œberstehenden Flï¿œchen entlang der Dreieckseiten nach innen.
Sie fï¿œllen das Dreieck.
Folglich haben sie dessen Flï¿œche.
qed.
Gruￜ
Michael

skipper...@gmx.de

unread,
May 19, 2012, 10:38:30 PM5/19/12
to
Am 19.05.2012 19:05, schrieb Michael Klemm:
Und noch eine Lösung:
Begreife das Sechseck als 3D-Ansicht eines Würfels. Dann halbieren die
Seiten des Dreiecks die drei sichtbaren Würfelseiten als deren Diagonale.

Gruß
Michael



Michael Klemm

unread,
May 20, 2012, 2:49:17 AM5/20/12
to
<skipper...@gmx.de> wrote

> Am 19.05.2012 19:05, schrieb Michael Klemm:
>> Zeige oder widerlege:
>> Der Inhalt eines zentralsymmetrischen Sechsecks
>> ist doppelt so gro� wie der Inhalt des von
>> jeder zweiten Ecke erzeugten Dreiecks.
>>
>> (1) Area(ABCDEF) = 2�Area(ACE)
>> http://www.cut-the-knot.org/triangle/MidpointsInHexagon2.shtml
>>
> Zeichne ein beliebiges zentralsymmetrischen Sechseck.
> Zeichne dahinein das von jeder zweiten Ecke erzeugte Dreieck.
> Klappe die �berstehenden Fl�chen entlang der Dreieckseiten nach innen.
> Sie f�llen das Dreieck.
> Folglich haben sie dessen Fl�che.
> qed.

Danke. "Nach innen klappen" = Um die Mitten der Dreieckseiten mit Winkel pi
drehen.
Das scheint allerdings bei konkaven Sechsecken wie
A = (1,0), B = (0,2), C = (-2,1), A+D = B+E = C+F = (0,0)
nur mit einer Zusatz�berlegung zu gehen.

Dann gibt auch noch die sich �berschlagenden Sechsecke,
die sich aus einem Parallelogramm und zwei angeh�ngten punktsymmetrischen
Dreiecken bestehen. Ich denke da an einen Beweis mit 2x2-Determinanten,
bei dem man automatisch die richtigen Vorzeichen f�r die einzelnen
Fl�cheninhalte erh�lt.

Gru�
MK




skipper...@gmx.de

unread,
May 20, 2012, 11:27:24 AM5/20/12
to
Am 20.05.2012 08:49, schrieb Michael Klemm:
> <skipper...@gmx.de> wrote
>
>> Am 19.05.2012 19:05, schrieb Michael Klemm:
>>> Zeige oder widerlege:
>>> Der Inhalt eines zentralsymmetrischen Sechsecks
>>> ist doppelt so groￜ wie der Inhalt des von
>>> jeder zweiten Ecke erzeugten Dreiecks.
>>>
>>> (1) Area(ABCDEF) = 2ï¿œArea(ACE)
>>> http://www.cut-the-knot.org/triangle/MidpointsInHexagon2.shtml
>>>
>> Zeichne ein beliebiges zentralsymmetrischen Sechseck.
>> Zeichne dahinein das von jeder zweiten Ecke erzeugte Dreieck.
>> Klappe die ï¿œberstehenden Flï¿œchen entlang der Dreieckseiten nach innen.
>> Sie fï¿œllen das Dreieck.
>> Folglich haben sie dessen Flï¿œche.
>> qed.
>
> Danke. "Nach innen klappen" = Um die Mitten der Dreieckseiten mit Winkel pi
> drehen.
> Das scheint allerdings bei konkaven Sechsecken wie
> A = (1,0), B = (0,2), C = (-2,1), A+D = B+E = C+F = (0,0)
> nur mit einer Zusatzï¿œberlegung zu gehen.
>
>
>

Du hast ja recht - auch derlei Gebilde sind nach Deiner 0-Summe-Def
zentralsymmetrisch.
Und ja, Drehen ist besser als Umklappen, ich sah das erst, als ich
zeichnete und mit der Zeichnung spielte, irgendwann gg 6 h heute morgen.
Trotzdem halte ich meinen Lï¿œsungsansatz fï¿œr den einfacheren und fï¿œr
ebenso univerell: schau mal bitte auf meine zweite Antwort, die ergab
sich aus meiner ersten Zeichnung.


>
> Dann gibt auch noch die sich ï¿œberschlagenden Sechsecke,
> die sich aus einem Parallelogramm und zwei angehï¿œngten
> punktsymmetrischen Dreiecken bestehen. Ich denke da an
> einen Beweis mit 2x2-Determinanten, bei dem man automatisch
> die richtigen Vorzeichen fï¿œr die einzelnen Flï¿œcheninhalte
> erhï¿œlt.
>

Natï¿œrlich ist der Wï¿œrfel ein Idealfall eines aus parallelen Kanten
erstellten Kï¿œrpers, aber alle anderen dieser Gruppe lassen sich daraus
herstellen durch durch Stauchen und Dehnen nach einer oder mehreren
Richtungen - und ihre rï¿œumliche Darstellung ist immer das zugehï¿œrige
Sechseck. Und in jedem kann ich eine Ecke abschneiden, indem ich die sie
bildenden Seiten durch deren Diagonale halbiere. Das gilt genau so
lange, wie die Zentralsymmetrie gewahrt bleibt, oder - anders
ausgedrï¿œckt - solange a) die Parallelitï¿œt und b) das Lï¿œngenverhï¿œltnis
paralleler Strecken gewahrt bleibt.

IMHO ist das anschaulicher als mit 2x2 Determinanten und daher leichter
zu verstehen - doch das mag sehr subjektiv sein und an meiner Vorliebe
fï¿œr Spielereien mit Vektorgraphiken liegen...

Gruￜ,
SM



Michael Klemm

unread,
May 20, 2012, 2:32:57 PM5/20/12
to
skipper...@gmx.de> wrote in message
news:jpb2gu$9fh$1...@news.albasani.net...

> Am 20.05.2012 08:49, schrieb Michael Klemm:
....
> Trotzdem halte ich meinen L�sungsansatz f�r den einfacheren und f�r ebenso
> univerell: schau mal bitte auf meine zweite Antwort, die ergab sich aus
> meiner ersten Zeichnung.

Ja, das habe ich gesehen. Diese Darstellung ist nat�rlich
anschaulich sehr sch�n.

> > Dann gibt auch noch die sich �berschlagenden Sechsecke,
> > die sich aus einem Parallelogramm und zwei angeh�ngten
> > punktsymmetrischen Dreiecken bestehen. Ich denke da an
> > einen Beweis mit 2x2-Determinanten, bei dem man automatisch
> > die richtigen Vorzeichen f�r die einzelnen Fl�cheninhalte
> > erh�lt.
> >
>
> Nat�rlich ist der W�rfel ein Idealfall eines aus parallelen Kanten
> erstellten K�rpers, aber alle anderen dieser Gruppe lassen sich daraus
> herstellen durch durch Stauchen und Dehnen nach einer oder mehreren
> Richtungen - und ihre r�umliche Darstellung ist immer das zugeh�rige
> Sechseck. Und in jedem kann ich eine Ecke abschneiden, indem ich die sie
> bildenden Seiten durch deren Diagonale halbiere. Das gilt genau so lange,
> wie die Zentralsymmetrie gewahrt bleibt, oder - anders ausgedr�ckt -
> solange a) die Parallelit�t und b) das L�ngenverh�ltnis paralleler
> Strecken gewahrt bleibt.

Ja, wichtig sind auch beim Determinantenansatz
nur die Koefizienten a, c, e in der
linearen Abh�ngigkeit aA + cC + eE = 0 der Eckpunkte
A, C, E des Dreiecks, das f�r ein nichtkonvexes Sechseck
nicht von diesem umschlossen wird.

> IMHO ist das anschaulicher als mit 2x2 Determinanten und daher leichter zu
> verstehen - doch das mag sehr subjektiv sein und an meiner Vorliebe f�r
> Spielereien mit Vektorgraphiken liegen...

In
http://jones.math.unibas.ch/~walser/Stud_Arbeiten/Parkette/Beermann_G_Parkette.pdf
Abschnitt 2.2.4.2 werden Parkettierungen der Ebene mit konvexen oder
konkaven
punktsymmetrischen Sechsecken behandelt. Die sich �berschlagenden
punktsymmetrischen Sechsecke fehlen dagegen. Dar�ber habe ich etwas
nachgedacht und bin dabei auf die Frage nach dem
vorzeichenbehafteten Fl�cheninhalt des Dreiecks ACE gesto�en.
Falls das in Frage kommende Gitter die gesamte Ebene als Vektorraum erzeugt,
kann a + c + e = 1 gesetzt werden. Setzt man dann den Inhalt
einer Elementarzelle des Gitters gleich 1, so ist der Inhalt des
Sechsecks ebenfals gleich 1 und der Inhalt des Dreiecks ACE gleich 1/2.

Gru�
MK


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