Folgenglieder gesucht

[Alfred Flaßhaar]

Gesucht sind die betraglich kleinsten Folgenglieder der Folgen a_k und
b_k (geschweifte Klammern kann ich nicht). Die Startelemente sind

a_0 = 712 und b_0 = 1027.

Es gilt die Rekursion

a_k * b_(k+1) - b_k * a_(k+1) = 1

Mir ist nur die brutale numerische Keule als Lösungsweg eingefallen, der
sich durch Programmierung realisieren ließe (per Indexerhöhung
schrittweise Lösung lin. diophantischer Gleichungen und Neuansatz
errechneter Startwerte zur wiederholten Lösung neuer Gleichung).
Vielleicht hat jemand aus der Runde eine listige Idee? In jedem Fall bin
ich an einigen Zahlen interessiert, da meine Programmierkenntnisse sehr
beschränkt sind.

Diese Aufgabe stammt aus einem fernen Forum und führte zu wenig
zielführenden Bemerkungen.

Freundliche Grüße, Alfred Flaßhaar

[Klaus-R. Loeffler]

Ohne mathematische Substanz und leider ohne Idee, aber weil du nach einigen Zahlen gefragt hast: Als Folge der ersten 6 Paare (a_n,b_n) ergibt sich:
(712,1027) (165, 238) (113, 163) (61, 88) (9, 13) (2, 3)
Danach folgen die Paare (1,i) mit i = 2,3,4,5,... .
Grüße, Klaus-R.

[Alfred Flaßhaar]

Am 28.09.2022 um 15:18 schrieb Klaus-R. Loeffler:
> Alfred Flaßhaar schrieb am Dienstag, 27. September 2022 um 17:53:48 UTC+2:

(...)

>
> Ohne mathematische Substanz und leider ohne Idee, aber weil du nach einigen Zahlen gefragt hast: Als Folge der ersten 6 Paare (a_n,b_n) ergibt sich:
> (712,1027) (165, 238) (113, 163) (61, 88) (9, 13) (2, 3)
> Danach folgen die Paare (1,i) mit i = 2,3,4,5,... .

Vielen Dank. Vermutlich hast Du die Rekursion schrittweise als
diophantische Gleichung mit zwei Unbekannten gelöst, beginnend mit
(712,1027) jede Lösung als Startwerte für die Lösung der im Index
jeweils um 1 erhöhten Rekursionsgleichung eingesetzt. Dann ist in den
beiden Lösungszahlen ein Parameter enthalten. Welchen Parameter hast Du
für jeden Iterationsschritt gewählt?

Viele Grüße, Alfred

[Klaus-R. Loeffler]

Ich habe völlig phantasielos in einer Suchschleife ausgehend von (a,b) = (712,1027) in jedem Schritt zur Lösung (a,b) die Lösung (x,y) mit a*y – b*x = 1 mit kleinstem y gesucht und dies dann mit (a,b) := (x,y) wiederholt.
Eine Berechnung, die jeweils die Lösung (x,y) mit minimalem x als Ausgangswert für den nächsten Schritt wählt, liefert die gleiche Folge von Lösungen.

Freundlicher Gruß, Klaus-R.

[neu...@tuhh.de]

Alfred Flaßhaar schrieb am Dienstag, 27. September 2022 um 17:53:48 UTC+2:

Moin Alfred, Klaus-R. Aussagen kann ich nur bestätigen und hab' nichts hinzufügen,
außer die Fragen, woher denn die Aufgabenstellung kommt?
Und, der freie Parameter pro Lösungsschritt hat ja durchaus Einfluß auf die "Größe" der Folgenglieder
- was (ist er konstant?) "steuert" er ggf.?

Magst Du ein bißchen mehr verraten!?

Viele Grüße Siggi N.

[Alfred Flaßhaar]

Am 30.09.2022 um 12:28 schrieb neu...@tuhh.de:
> Alfred Flaßhaar schrieb am Dienstag, 27. September 2022 um 17:53:48 UTC+2:

(...)

>
> Magst Du ein bißchen mehr verraten!?
>

Als langjähriger Maathcad-Nutzer besuche ich gelegentlich ein PTC-Forum.
Dort wurde seltsamerweise in der Abteilung "Hausaufgaben" diese
Rekursionsaufgabe gestellt. Mich hat sie interessiert, weil sie
nichtlinear ist und da ich im Gegensatz zu linearen Rekursionen davon
nur wenig Ahnung habe, bin ich dort etwas eingestiegen. Das Forum konnte
aber außer alter Schulweisheit nichts bieten. Nun bin ich auf der Suche
nach geeigneter Literatur und Übung. Mir schwebt etwas in der Art vor,
wie analog gegliedert z. B. in Lehrbücher über gewöhnliche DGL gewisse
nichtlineare Rekursionstypen kapitelweise behandelt werden. Kein
Interesse habe ich an Weiterungen in Richtung Fraktale oder computernahe
Algorithmentheorie. Aber die Frage nach Konvergenz und Divergenz finde
ich spannend. Vermutlich muß ich in Richtung Differenzenrechnung suchen
(evtl. "Gelfond").

Viele Grüße, Alfred

[neu...@tuhh.de]

Hallo Alfred,
danke für die zusätzlichen Informationen.

Ich habe noch ein wenig gespielt und den Parameter „k“ in mein Programm eingebaut.
Für k=0 ergeben sich die bekannten Zahlen und die Folge konvergiert (wird stationär).
Für k<0 scheint mein Algorithmus fehlerhaft – ich find‘ auf der Schnelle nichts!?
Für k=1, 2, 3 … laufen die Folgenglieder offenbar gegen unendlich , je größer k um so schneller.

Für k=1 ergibt sich:
712 1027 = (a(0),b(0))
1265 877 = (a(1),b(1))
1589 2292
3557 2466
4055 5849
9406 6521
10576 15255
24661 17097
27673 39916
64577 44770
72443 104493

Und es gilt: a(i+2)= a(i) +k*b(i+1) und b(i+2)= b(i) +k*a(i+1) für i=0,1,2,3, …
(Man kann dann ja noch Einsetzen …).

Auf jeden Fall brachte mich das dazu nochmal die originäre Folge (k=0) anzusehen:
712 1027= (a(0),b(0))
238 165= (a(1),b(1))
52 75
13 9
7 10
3 2
1 1
Und 712= 165*4 +52= (3*52+9) +52= …

Alfred, ich weiß nicht, ob Dir das weiter hilft?

VG SiggiN.

Pythen:
a= 712
b= 1027
c=1
k=0
print(k,a,b)
for i in range(0,10):
for j in range(0,a):
if j*-b%a == c:
y= (j+k*a)
x= (1+(b*y))//a
break
print(k,x,y)
a=x
b=y