42 - Die Antwort auf alle Fragen

[Alfred Flaßhaar]

Man zeige, daß der Term n^7 - n für alle natürlichen Zahlen n durch 42
teilbar ist.

Freundliche Wochenendgrüße, Alfred Flaßhaar

[neu...@tuhh.de]

LG SiggiN.
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n^7-n= n(n^6-1)= n(n³-1)(n³+1). Und
n bzw n^6-1 sind alternativ gerade bzw. ungerade und
n^6 mod 7= 0,1,1,1,1,1,1... für n=0,1,2,... und
bei n, n³-1, n³+1 mod 3 ist immer eine 0 dabei.
Zusammen folgt die Behauptung!

[Rainer Rosenthal]

Am 24.09.2022 um 15:39 schrieb Alfred Flaßhaar:
> Man zeige, daß der Term n^7 - n für alle natürlichen Zahlen n durch 42
> teilbar ist.
>

Hallo Alfred, auch Dir einen schönen Sonntag!
Schnell noch, bevor selbiger beginnt, was ich hier auf dem Zettel habe.

n^7 - n
= n * (n^6 - 1)
= n * ((n^3)^2 - 1)
= n * (n^3 + 1) * (n^3 - 1)

Das ist genau dann durch 42 = 2*3*7 teilbar, wenn es durch die drei
Primzahlen 2, 3 und 7 teilbar ist.

Zu zeigen ist, dass mindestens ein Faktor von n * (n^3 + 1) * (n^3 - 1)
Rest 0 hat bei Division durch die genannten Primzahlen p = 2, 3, 7.
Denn dann hat das Produkt den Rest 0 und somit auch n^7 - n. Hat aber
n^7 - n den Rest 0 modulo jeder dieser Primzahlen, dann auch modulo
2*3*7 = 42, ist also durch 42 teilbar.

Beginnen wir mit der schwierigsten Primzahl p = 7:
Modulo p sind die Reste n = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 zu betrachten, aber
diese kann ich auch schreiben als n = 0, 1, 2, 3, -3, -2, -1, so dass im
Wesentlichen nur die Reste 0, 1, 2, 3 zu betrachten sind. Es ist ja
n = -(-n)
n^3+1 = -((-n)^3-1)
n^3-1 = -((-n)^3+1).

Für Rest n = 0 ist trivialerweise n * (n^3 + 1) * (n^3 - 1) = 0
Wegen 1^3 - 1 = 0 ist das Produkt auch 0 modulo p (sogar für alle p).
Nun zu Rest n = 2:
2^3 - 1 = 8 - 1 = 7 = 0 (modulo 7), daher auch Produkt gleich 0 mod 7.
Nun zu Rest n = 3:
3^3 + 1 = 27 + 1 = 28 = 4*7 = 0 mod 7.
Es folgt: n * (n^3 + 1) * (n^3 - 1) = 0 mod 7 für alle n.

Es folgt die nicht so schwierige Primzahl p = 3:
Hier sind die Reste n = 0, 1, 2 zu betrachten oder n = 0, 1, -1.
Wie bei p = 7 gezeigt, ist das Produkt stets 0 mod p.
Es folgt: n * (n^3 + 1) * (n^3 - 1) = 0 mod 3 für alle n.

Die Primzahl p = 2 ist damit sofort auch erledigt, und es folgt:
n * (n^3 + 1) * (n^3 - 1) = 0 mod 2 für alle n.

Q.E.D.

Lieben Gruß,
Rainer

P.S. Habe noch was anderes erledigen müssen, darum ist es bereits
Sonntag geworden.