Fünfeck und Quadrat
Alfred Flaßhaar
ein fl�chengleiches Quadrat umzuwandeln?
Freundliche Gr��e, Alfred Fla�haar
Wolfgang Kirschenhofer
> Ist es möglich, mit Hilfe von Zirkel und Lineal ein regelmäßiges Fünfeck
> in ein flächengleiches Quadrat umzuwandeln?
>
> Freundliche Grüße, Alfred Flaßhaar
Hallo!
War zumindest in meiner Schulzeit Unterrichtsstoff:
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Man kann jedes beliebige Vieleck in endlich vielen Schritten mit der
Methode des sogenannten "Eckenabschneidens" mit Zirkel und Lineal in ein
flächengleiches Dreieck umwandeln und dieses anschließend in ein
flächengleiches Rechteck und dieses schließlich z.B. mit Hilfe des
Höhensatzes in ein flächengleiches Quadrat.
In jedem Schritt des Abschneidens wird die Eckenzahl des Vielecks um 1
vermindert, wobei man dabei die Tatsache benützt, daß Dreiecke
flächengleich sind, wenn sie in Basis und der dazugehörigen Höhe
übereinstimmen.
Mit freundlichen Grüßen,
Wolfgang Kirschenhofer
Jutta Gut
"Wolfgang Kirschenhofer" <w.kirsc...@kstp.at> schrieb
>
> War zumindest in meiner Schulzeit Unterrichtsstoff:
(In meiner auch.)
Vielleicht ist ja die Umkehrung interessanter: Wie verwandelt man ein
Quadrat mit Zirkel und Lineal in ein fl�chengleiches regelm��iges F�nfeck?
Das sollte nicht allzu schwer sein, weil man ja phi = (sqrt(5)+1)/2 mit
Zirkel und Lineal konstruieren kann, aber die Details muss ich mir erst
�berlegen.
LiebeGr��e
Jutta
Jutta Gut
"Jutta Gut" <gut.jutt...@chello.at> schrieb
Ok, das ist auch nicht schwer: Man verwandelt ein beliebiges regelm��iges
F�nfeck in ein Quadrat und streckt es dann so, dass man das gegebene Quadrat
erh�lt. Das F�nfeck mus man dann nur noch mit dem gleichen Faktor strecken.
Dabei ist mir etwas Nettes aufgefallen: Im ersten Schritt der von Wolfgang
beschriebenen Methode (man verschiebt den Eckpunkt C des F�nfecks parallel
zu BD und E parallel zu AD auf die Verl�ngerung der Seite AB) erh�lt man ein
gleichschenkeliges Dreieck, dessen Winkel an der Spitze 72� betr�gt. Es ist
also �hnlich zu einem der 5 Teildreiecke des F�nfecks (Z.B. ABM) und
sqrt(5)-mal so gro�. Vielleicht kann man ja diese Tatsache auch zu einer
sch�nen Konstruktion ausn�tzen.
Liebe Gr��e
Jutta
Wolfgang Kirschenhofer
>
> "Jutta Gut" <gut.jutt...@chello.at> schrieb
>>
>> "Wolfgang Kirschenhofer" <w.kirsc...@kstp.at> schrieb
>>>> Ist es möglich, mit Hilfe von Zirkel und Lineal ein regelmäßiges
>>>> Fünfeck
>>>> in ein flächengleiches Quadrat umzuwandeln?
>>>>
>>>> Freundliche Grüße, Alfred Flaßhaar
>>>
>>>
>>> War zumindest in meiner Schulzeit Unterrichtsstoff:
>>
>> (In meiner auch.)
>> Vielleicht ist ja die Umkehrung interessanter: Wie verwandelt man ein
>> Fünfeck? Das sollte nicht allzu schwer sein, weil man ja phi =
>> (sqrt(5)+1)/2 mit Zirkel und Lineal konstruieren kann, aber die
>
> Ok, das ist auch nicht schwer: Man verwandelt ein beliebiges
> gegebene Quadrat erhält. Das Fünfeck mus man dann nur noch mit dem
> gleichen Faktor strecken.
>
> Dabei ist mir etwas Nettes aufgefallen: Im ersten Schritt der von
> Wolfgang beschriebenen Methode (man verschiebt den Eckpunkt C des
> Seite AB) erhält man ein gleichschenkeliges Dreieck, dessen Winkel an
> der Spitze 72° beträgt. Es ist also ähnlich zu einem der 5 Teildreiecke
> des Fünfecks (Z.B. ABM) und sqrt(5)-mal so groß. Vielleicht kann man ja
> diese Tatsache auch zu einer schönen Konstruktion ausnützen.
>
> Liebe Grüße
> Jutta
Hallo Jutta!
Zunächst vielen Dank für deine weiterführenden Überlegungen und
Anregungen. Für das mathematisch interessante regelmäßige Fünfeck
sind gesonderte Überlegungen immer wertvoll.
Alfred hat so etwas sicher auch im Hinterkopf gehabt.
Ich möchte aber jetzt noch etwas nachholen:
Für regelmäßige n-Ecke ist natürlich die Umwandlung in ein
flächengleiches Quadrat besonders einfach, weil man ja nur
ein gleichschenkliges Teildreieck zunächst in ein Rechteck
umwandeln muß, dieses dann n-mal zusammensetzt und dann das
Gesamtrechteck in ein Quadrat umwandelt.
Liebe Grüße,
Wolfgang
Philippe 92
>>>> Am 30.05.2010 13:32, schrieb Alfred Flaï¿œhaar:
>>>>> Ist es mￜglich, mit Hilfe von Zirkel und Lineal ein regelmￜￜiges
>>>>> Fï¿œnfeck in ein flï¿œchengleiches Quadrat umzuwandeln?
>>>
>>> ...
>
> Fￜr regelmￜￜige n-Ecke ist natￜrlich die Umwandlung in ein
> flï¿œchengleiches Quadrat besonders einfach, weil man ja nur
> ein gleichschenkliges Teildreieck zunï¿œchst in ein Rechteck
> umwandeln muￜ, dieses dann n-mal zusammensetzt und dann das
> Gesamtrechteck in ein Quadrat umwandelt.
>
Hallo alle,
Es gibt fￜr regelmￜￜige n-Ecke auch andere Konstruktionen,
bei Zerlegung des n-Eck in n gleiche Stï¿œcke (Dreiecke), und
Wiederholung dieser Stï¿œcke.
Hier ist ein Beispiel "Quadrierung" des 11-Eck :
<http://cjoint.com/?gbvrZAza3m>
Das "elementar" Dreieck OAB ist 11 Mahl kopiert, zu das
Trapez OACD, durch AC = 6*AB (ein Parallelogram wenn n ist gerade),
deren Flï¿œcheninahlt ist MN*AH.
Das ï¿œquivallente Quadrat ist dann konstruirt mit Hilfe der
"Hohensatz" aus AE^2 = AP*AK = MN*AH
AP = MN, und so ist P der Mittelpunkt der letzte Seite B4C.
Dann ist es nicht gebraucht alle Punkte zu konstruiren.
(D, M, N und Zwischendreiecke sind nutzlos)
Wenn n ist gerade, P ist direkt die letze Ecke C.
Diese Konstruktion ist mit Zirkel und Lineal mï¿œglich, obwohl
das 11-Eck selbst ist nicht.
Zurï¿œck zu Fï¿œnfeck.
Ein reiches Gebiet ist "Dissection" (Zerschneiden)
Das Fï¿œnfeck kann (mit Zirkel und Lineal) zerschneidet sein im 6
Stï¿œcke, die ein Quadrat machen. (siehe Frederickson, oder meine
Webseite <http://mathafou.free.fr/pbg_en/pb110.html> uzw.)
Und es gibt auch ein "gelenkte" Zerschneidung im 7 Stï¿œcke (alle Stï¿œcke
bleiben gelenkt wï¿œhrend der ï¿œnderung)
<http://www.flickr.com/photos/fdecomite/2904478002/in/photostream>
und nachbare Bilder.
Diese Zerschneidung ist auch mit Zirkel und Lineal konstruirbar.
Herzliche Grï¿œsse.
--
Philippe C., mail : chephip, with domain free.fr
site : http://mathafou.free.fr/ (mathematical recreations)
Alfred Flaßhaar
> Wolfgang Kirschenhofer schrieb :
>>>>> Am 30.05.2010 13:32, schrieb Alfred Flaï¿œhaar:
(...)
> Und es gibt auch ein "gelenkte" Zerschneidung im 7 Stï¿œcke (alle Stï¿œcke
> bleiben gelenkt wï¿œhrend der ï¿œnderung)
> <http://www.flickr.com/photos/fdecomite/2904478002/in/photostream>
> und nachbare Bilder.
Das ist faszinierend, vielen Dank. Gibt es Modelle dieser dekorativen Art
(resp. art) irgendwo zu "erwerben"? Aus gesundheitlichen Grï¿œnden fehlt mir
nun leider das Geschick zum Nachbau. Mathematische und physikalische Modelle
und auch puzzles haben mich schon seit der Kindheit sehr beeindruckt. Und
ich werde bei Conway, Rubik, ... immer wieder schwach.
Viele Grￜￜe, Alfred
Wolfgang Kirschenhofer
> Wolfgang Kirschenhofer schrieb :
>>>>>> Ist es möglich, mit Hilfe von Zirkel und Lineal ein regelmäßiges
>>>>>> Fünfeck in ein flächengleiches Quadrat umzuwandeln?
>>>>
>>
>> Für regelmäßige n-Ecke ist natürlich die Umwandlung in ein
>> flächengleiches Quadrat besonders einfach, weil man ja nur
>> ein gleichschenkliges Teildreieck zunächst in ein Rechteck
>> Gesamtrechteck in ein Quadrat umwandelt.
>>
>
> Hallo alle,
>
> bei Zerlegung des n-Eck in n gleiche Stücke (Dreiecke), und
> Wiederholung dieser Stücke.
>
> Hier ist ein Beispiel "Quadrierung" des 11-Eck :
> <http://cjoint.com/?gbvrZAza3m>
>
> Das "elementar" Dreieck OAB ist 11 Mahl kopiert, zu das
> Trapez OACD, durch AC = 6*AB (ein Parallelogram wenn n ist gerade),
> Das äquivallente Quadrat ist dann konstruirt mit Hilfe der
> "Hohensatz" aus AE^2 = AP*AK = MN*AH
> AP = MN, und so ist P der Mittelpunkt der letzte Seite B4C.
> Dann ist es nicht gebraucht alle Punkte zu konstruiren.
> (D, M, N und Zwischendreiecke sind nutzlos)
> Wenn n ist gerade, P ist direkt die letze Ecke C.
> das 11-Eck selbst ist nicht.
>
> Ein reiches Gebiet ist "Dissection" (Zerschneiden)
> Stücke, die ein Quadrat machen. (siehe Frederickson, oder meine
> Webseite<http://mathafou.free.fr/pbg_en/pb110.html> uzw.)
>
> Und es gibt auch ein "gelenkte" Zerschneidung im 7 Stücke (alle Stücke
> bleiben gelenkt während der Änderung)
> <http://www.flickr.com/photos/fdecomite/2904478002/in/photostream>
> und nachbare Bilder.
> Diese Zerschneidung ist auch mit Zirkel und Lineal konstruirbar.
>
>
Hallo Philippe!
Vielen Dank für deine interessanten Ergänzungen
und Verweise auf die obigen Webpages.
Herzliche Grüße,
Wolfgang Kirschenhofer
Philippe 92
> Philippe 92 wrote:
>> Wolfgang Kirschenhofer schrieb :
>>>>>> Am 30.05.2010 13:32, schrieb Alfred Flaï¿œhaar:
>
> (...)
>
>
> Das ist faszinierend, vielen Dank. Gibt es Modelle dieser dekorativen Art
> (resp. art) irgendwo zu "erwerben"?
Hallo Alfred,
Ich weiss nicht ob es gibt solche Modelle zu erwerben.
Die ich schon wirkilch gesehen habe, sind bei Schulern im Klasse
gemacht (die einfachere und berï¿œhmte Dreieck zu Quadrat bei Dudeney).
Auch habe ich Bildern gesehen, eines wirkliche Tisch aus
Oktogon <-> Quadrat bei ein gewissene "Lalanne" gebaut.
(suche dem Web mit : hinged octagon Lalanne)
Die zitierte Bildern aus Flickr sind nicht wirklich aber kï¿œnstliche
Bildern (durch Povray oder so).
Das kann einfach gesehen weil ein wirkliche Gegenstand musste
einige "Hï¿œhlen" an der Ecke haben, um die gezeigte Gelenke zu fassen.
(und die Oktogon<->Quadrat auf Flickr hat zwei Gelenke auf dem
selbe Punkt, was ist unmï¿œglich mit solche Gelenke)
Eine mï¿œglichkeit solche Modelle wirklich zu bauen ist durch
verschiedene Gelenke als diese im Flickr gezeigt, zum Beispiel
einfach durch geklebte Banden.
Einfacher zu wirklich machen sind "twisted hinged dissections".
Siehe entsprechende Buch/Webseite bei Frederickson.
Dann sind die Gelenke senkrecht mit der Seiten, anstatt an einer
Ecke wie mit ï¿œbliche "swinged hinged dissections".
Natï¿œrlich, alles ist einfacher mit virtual Modellen...
(zwei Gelenke/Punkte genau auf der selbe Stelle zu setzen)
> ... Rubik ...
Ich habe eine wunderbare gelenkte Gegenstand (durch Nylon Faden
gelenkt) der benutzt "variable piano hinged".
Es ist aus 8 Quadrate gebaut, deren zwei Seiten Ringstï¿œcke zeigen.
Der Spiel ist diese Ringstï¿œcke als vollstï¿œndige Ringe zu bringen...
(Bei E. Rubik - 1986) ... Diabolik ...
Ich bin sicher dass ich nicht mehr schaffen kann, genau als der
Rubikskube. Diese "Aufgaben" brauchen konstante ï¿œbung... (oder
zurï¿œck zu Dokumentation)
Ich habe auch Modellen von "piano hinged" aus Bucher, auf Pappe zu
schneiden und kleben : "M.C. Escher kaleidocyles".
Es gibt auch zu erwerben (habe ich schon gesehen im Geshï¿œfte)
gelenkte Reihe von Kuben oder Tetraedern in der "kaleidocycle" art.
Viele Grï¿œsse.