info
Google Groups no longer supports new Usenet posts or subscriptions. Historical content remains viewable.
Dismiss
a^4 + b^3 = c^2
79 views
Skip to first unread message
Wolfgang Rave
Sep 28, 2022, 12:30:43 PM9/28/22
to
Hier hab ich was richtig Hübsches für euch.
Gesucht _alle_ Tripel (a,b,c) mit a^4 + b^3 = c^2.
Ein paar ganz einfache Fälle erledigen wir vorweg:
(1,0,1) und (0,1,1) ist trivial.
(0,n^2,n^3) is schon etwas besser, aber nicht viel.
(1,2,3) ist hübsch (Catalan), aber singulär.
(6,9,45) = 3(2,3,15) = (6,3^2,5*3^2) riecht sehr verdächtig.
Woher stammen (5,6,29) und/oder (7,15,76)?
Gibt es "Lösungsfamilien" oder (Teil)Parametrisierungen?
Bin grad nur am Rumspielen und hab selber noch keinen Durchblick.
Any hints will be gratefully acknowledged!
Euer Wolfgang.
Gesucht _alle_ Tripel (a,b,c) mit a^4 + b^3 = c^2.
Ein paar ganz einfache Fälle erledigen wir vorweg:
(1,0,1) und (0,1,1) ist trivial.
(0,n^2,n^3) is schon etwas besser, aber nicht viel.
(1,2,3) ist hübsch (Catalan), aber singulär.
(6,9,45) = 3(2,3,15) = (6,3^2,5*3^2) riecht sehr verdächtig.
Woher stammen (5,6,29) und/oder (7,15,76)?
Gibt es "Lösungsfamilien" oder (Teil)Parametrisierungen?
Bin grad nur am Rumspielen und hab selber noch keinen Durchblick.
Any hints will be gratefully acknowledged!
Euer Wolfgang.
Wolfgang Rave
Sep 28, 2022, 1:08:48 PM9/28/22
to
Wolfgang Rave schrieb am Mittwoch, 28. September 2022 um 18:30:43 UTC+2:
> Hier hab ich was richtig Hübsches für euch.
> Gesucht _alle_ Tripel (a,b,c) mit a^4 + b^3 = c^2.
>
Bin einen halben Schritt weiter.
> Hier hab ich was richtig Hübsches für euch.
> Gesucht _alle_ Tripel (a,b,c) mit a^4 + b^3 = c^2.
>
Weitere Tripel (9,27,162) und (8,32,192), die riechen ähnlich verdächtig wie (6,9,45),
und hinter dem steckt Pythagoras: (2*3)^4 + (3^2)^3 = 16*3^4 + 9*3^4 = 25*3^4, voilá.
Mal sehn, was wir noch so alles rausklamüsern.
Wolfgang.
Wolfgang Rave
Sep 28, 2022, 2:27:46 PM9/28/22
to
Wolfgang Rave schrieb am Mittwoch, 28. September 2022 um 19:08:48 UTC+2:
> Wolfgang Rave schrieb am Mittwoch, 28. September 2022 um 18:30:43 UTC+2:
> > Hier hab ich was richtig Hübsches für euch.
> > Gesucht _alle_ Tripel (a,b,c) mit a^4 + b^3 = c^2.
Der nächste halbe Schritt:
> Wolfgang Rave schrieb am Mittwoch, 28. September 2022 um 18:30:43 UTC+2:
> > Hier hab ich was richtig Hübsches für euch.
> > Gesucht _alle_ Tripel (a,b,c) mit a^4 + b^3 = c^2.
b^3 = c^2 - a^4 = (c-a^2)(c+a^2).
Damit haben wir aus nem additiven ein multiplikatives Problem gemacht.
Jetzt gibts 2 Möglichkeiten:
1) c+a^2 = b^2 UND c-a^2=b.
ODER
2) c+a^2 = m^3, c-a^2 = n^3.
In beiden Fällen sind valide Tripel immer noch sehr selten.
Der systematische große Wurf ist das auch noch nicht, aber immerhin ein Ansatz.
Mühsam ernährt sich das Eichhörnchen ...
Wolfgang.
Wolfgang Rave
Sep 28, 2022, 3:57:08 PM9/28/22
to
Wolfgang Rave schrieb am Mittwoch, 28. September 2022 um 20:27:46 UTC+2:
> Wolfgang Rave schrieb am Mittwoch, 28. September 2022 um 19:08:48 UTC+2:
> > Wolfgang Rave schrieb am Mittwoch, 28. September 2022 um 18:30:43 UTC+2:
> > > Hier hab ich was richtig Hübsches für euch.
> > > Gesucht _alle_ Tripel (a,b,c) mit a^4 + b^3 = c^2.
(7,15,76) und (17,42,397).
> Wolfgang Rave schrieb am Mittwoch, 28. September 2022 um 19:08:48 UTC+2:
> > Wolfgang Rave schrieb am Mittwoch, 28. September 2022 um 18:30:43 UTC+2:
> > > Hier hab ich was richtig Hübsches für euch.
> > > Gesucht _alle_ Tripel (a,b,c) mit a^4 + b^3 = c^2.
Aber mit dem systematischen Ansatz steck ich fest. Anybody else any ideas?
Wolfgang.
Wolfgang Rave
Sep 29, 2022, 1:58:56 PM9/29/22
to
Wolfgang Rave schrieb am Mittwoch, 28. September 2022 um 21:57:08 UTC+2:
(9,54,405): 3^8 + 24*3^8 = 25*3^8, Pythagoras (1,24,25).
(6,72,612): 6^4 + 2^5*3^2*6^4 = 17^2*6^4, weil 1+9*32=289=17^2
Interessant ist a+c^2 = 243 = 3^5 und a-c^2 = 81 = 3^4 -> (9, 27, 162),
nur die 3er-Potenzen verteilen sich etwas eigenwillig auf die beiden Faktoren. Humm ...
Aber das alles ist immer noch weit weg von einer Parametrisierung oder Komplett-Lösung ...
Hat denn keiner ne Idee?
Wolfgang.
(9,54,405): 3^8 + 24*3^8 = 25*3^8, Pythagoras (1,24,25).
(6,72,612): 6^4 + 2^5*3^2*6^4 = 17^2*6^4, weil 1+9*32=289=17^2
Interessant ist a+c^2 = 243 = 3^5 und a-c^2 = 81 = 3^4 -> (9, 27, 162),
nur die 3er-Potenzen verteilen sich etwas eigenwillig auf die beiden Faktoren. Humm ...
Aber das alles ist immer noch weit weg von einer Parametrisierung oder Komplett-Lösung ...
Hat denn keiner ne Idee?
Wolfgang.
Wolfgang Rave
Sep 30, 2022, 2:09:52 AM9/30/22
to
Wolfgang Rave schrieb am Donnerstag, 29. September 2022 um 19:58:56 UTC+2:
> Wolfgang Rave schrieb am Mittwoch, 28. September 2022 um 21:57:08 UTC+2:
>
> (9,54,405): 3^8 + 24*3^8 = 25*3^8, Pythagoras (1,24,25).
> (6,72,612): 6^4 + 2^5*3^2*6^4 = 17^2*6^4, weil 1+9*32=289=17^2
Korrektur:
> Wolfgang Rave schrieb am Mittwoch, 28. September 2022 um 21:57:08 UTC+2:
>
> (9,54,405): 3^8 + 24*3^8 = 25*3^8, Pythagoras (1,24,25).
> (6,72,612): 6^4 + 2^5*3^2*6^4 = 17^2*6^4, weil 1+9*32=289=17^2
(9,54,405)=3^2(1,6,45): 3^8 + 24*3^8 = 25*3^8, 1+4*6 = 5^2 (nicht Pythagoras).
Und noch nen Neuen:
(5,75,650)=5(1,15,130): 5^4 + 3^3*5^2*5^4 = 2^2*13^2*5^4, 1+25*27 = 26^2.
Etliche Tripel haben einen gemeinsamen Faktor, aber nicht alle. Bloß, wie setzt
man das alles in eine brauchbare Parametrisierung um?
Wolfgang.
Alfred Flaßhaar
Sep 30, 2022, 4:33:32 AM9/30/22
to
Am 30.09.2022 um 08:09 schrieb Wolfgang Rave:
> Wolfgang Rave schrieb am Donnerstag, 29. September 2022 um 19:58:56 UTC+2:
>> Wolfgang Rave schrieb am Mittwoch, 28. September 2022 um 21:57:08 UTC+2:
>>
(...)
> Wolfgang Rave schrieb am Donnerstag, 29. September 2022 um 19:58:56 UTC+2:
>> Wolfgang Rave schrieb am Mittwoch, 28. September 2022 um 21:57:08 UTC+2:
>>
> Und noch nen Neuen:
> (5,75,650)=5(1,15,130): 5^4 + 3^3*5^2*5^4 = 2^2*13^2*5^4, 1+25*27 = 26^2.
>
> Etliche Tripel haben einen gemeinsamen Faktor, aber nicht alle. Bloß, wie setzt
> man das alles in eine brauchbare Parametrisierung um?
>
Hallo Wolfgang,
> (5,75,650)=5(1,15,130): 5^4 + 3^3*5^2*5^4 = 2^2*13^2*5^4, 1+25*27 = 26^2.
>
> Etliche Tripel haben einen gemeinsamen Faktor, aber nicht alle. Bloß, wie setzt
> man das alles in eine brauchbare Parametrisierung um?
>
zu Deiner Fragestellung habe ich Literatur gewälzt, insbesondere
"Dickson, Teil 2, Diophantine Analysis". Hinweise auf Lösungsverfahren
habe ich nicht gefunden. Und wenn im Dickson dazu nichts drinsteht, dann
ist es wie mit gewöhnlichen Differentialgleichungen und Kamke (spaßig
geflügeltes Wort aus der Studentenzeit folgt) "Was bei Kamke nicht
drinsteht, ist nicht lösbar." Es ist also unwahrscheinlich, daß es ein
Lösungsverfahren zum Auffinden Deiner Zahlentripel gibt. Da hilft dann
nur die numerische Keule. Wenn ich neuere Programmierkenntnisse hätte,
dann würde ich es mit dem Ansatz u*x^2 + v*y^2 = w*z^2 versuchen und
dann filtern mit u = x^2, v = y und W = 1. Vielleicht erkennt man dann
im Zahlenmaterial eine Regelmäßigkeit. Jedenfalls gibt Dickson ab S. 404
dazu Auskunft.
Gruß, Alfred
Wolfgang Rave
Sep 30, 2022, 6:19:36 AM9/30/22
to
Alfred Flaßhaar schrieb am Freitag, 30. September 2022 um 10:33:32 UTC+2:
> Hallo Wolfgang,
>
> zu Deiner Fragestellung habe ich Literatur gewälzt, insbesondere
> "Dickson, Teil 2, Diophantine Analysis". Hinweise auf Lösungsverfahren
> habe ich nicht gefunden. ... Wenn ich neuere Programmierkenntnisse hätte,
> Hallo Wolfgang,
>
> zu Deiner Fragestellung habe ich Literatur gewälzt, insbesondere
> "Dickson, Teil 2, Diophantine Analysis". Hinweise auf Lösungsverfahren
> dann würde ich es mit dem Ansatz u*x^2 + v*y^2 = w*z^2 versuchen und
> dann filtern mit u = x^2, v = y und W = 1. Vielleicht erkennt man dann
> im Zahlenmaterial eine Regelmäßigkeit. Jedenfalls gibt Dickson ab S. 404
> dazu Auskunft.
>
> Gruß, Alfred
Ok, danke für den Tip, ich tests mal an.
> dann filtern mit u = x^2, v = y und W = 1. Vielleicht erkennt man dann
> im Zahlenmaterial eine Regelmäßigkeit. Jedenfalls gibt Dickson ab S. 404
> dazu Auskunft.
>
> Gruß, Alfred
Bin derweil einen Schritt weiter:
c-a^2 = n^3 and c+a^2 = m^3 bedingt
c = (n^3 + m^3)/2 und a^2 = (m^3 - n^3)/2.
Damit ist m>n und n,m müssen gleiche Parität haben. Das ergibt:
m n a c b
5 3 7 76 15
16 14 26 3420 224
20 12 56 4864 240
28 14 98 12348 392
39 13 169 30758 507
45 27 189 55404 1215
56 14 294 89180 784
57 55 97 175784 3135
64 56 208 218880 3584
66 12 378 144612 792
(vermutlich sieht die Tabelle furchtbar aus, aber ich weiß nicht, wie ich das hier formatieren soll/kann).
Ich hab bis m<100 gesucht, und erwartungsgemäß fehlen hier etliche Tripel von oben. Die
Parametrisierung deckt bei weitem nicht alle möglichen Fälle ab, aber immerhin.
Wolfgang.
Wolfgang Rave
Sep 30, 2022, 11:37:07 AM9/30/22
to
Wolfgang Rave schrieb am Freitag, 30. September 2022 um 12:19:36 UTC+2:
hi all,
neue Tripel:
112 56 784 790272 6272
114 76 722 960260 8664
125 75 875 1187500 9375
133 19 1083 1179748 2527
144 126 702 2493180 18144
156 52 1352 1968512 8112
130 52 1014 1168804 6760
142 46 1176 1480312 6532
148 94 1098 2036188 13912
Sorry für das Format ...
Dazu (a,b,c) = (15,100,1025).
Kann irgendwer von euch hier ein Muster/System/Struktur erkennen?
Ich nicht. Je mehr Daten ich krieg, desto verwirrter bin ich. Strange.
Wolfgang.
hi all,
neue Tripel:
m n a c b
109 13 804 648613 1417
112 56 784 790272 6272
114 76 722 960260 8664
125 75 875 1187500 9375
133 19 1083 1179748 2527
144 126 702 2493180 18144
156 52 1352 1968512 8112
130 52 1014 1168804 6760
142 46 1176 1480312 6532
148 94 1098 2036188 13912
Sorry für das Format ...
Dazu (a,b,c) = (15,100,1025).
Kann irgendwer von euch hier ein Muster/System/Struktur erkennen?
Ich nicht. Je mehr Daten ich krieg, desto verwirrter bin ich. Strange.
Wolfgang.
Wolfgang Rave
Oct 1, 2022, 8:05:12 AM10/1/22
to
Wolfgang Rave schrieb am Freitag, 30. September 2022 um 17:37:07 UTC+2:
hi all,
habe nen Tip zu ner Website gekriegt, wo (fast) alles drinsteht:
https://www.alpertron.com.ar/SUMPOWER.HTM
Und eine neue Liste mit Lösungstripeln:
a b c
1 2 3
5 6 29
5 75 650
6 9 45
6 72 612
7 15 76
8 32 192
9 27 162
9 54 405
9 360 6831
14 1617 65023
15 100 1025
17 42 397
26 224 3420
27 162 2187
33 27 1098
35 50 1275
36 144 2160
36 432 9072
36 945 29079
40 96 1856
40 1200 41600
44 80 2064
48 144 2880
48 1152 39168
56 240 4864
57 270 5499
60 756 21096
64 512 12288
72 432 10368
72 864 25920
75 250 6875
90 225 8775
98 392 12348
100 500 15000
100 2000 90000
117 810 26811
117 1690 70811
120 900 30600
120 1600 65600
121 1452 57233
125 1250 46875
135 486 21141
136 672 25408
147 882 33957
147 1372 55223
147 1764 77175
162 729 32805
169 507 30758
175 750 36875
189 1215 55404
204 289 41905
225 891 57186
225 900 57375
225 1350 70875
230 1800 92900
264 432 70272
280 800 81600
294 784 89180
Die Tabelle is zwar nicht sehr schön, aber gehaltvoll.
euer Wolfgang.
hi all,
habe nen Tip zu ner Website gekriegt, wo (fast) alles drinsteht:
https://www.alpertron.com.ar/SUMPOWER.HTM
Und eine neue Liste mit Lösungstripeln:
a b c
1 2 3
5 6 29
5 75 650
6 9 45
6 72 612
7 15 76
8 32 192
9 27 162
9 54 405
9 360 6831
14 1617 65023
15 100 1025
17 42 397
26 224 3420
27 162 2187
33 27 1098
35 50 1275
36 144 2160
36 432 9072
36 945 29079
40 96 1856
40 1200 41600
44 80 2064
48 144 2880
48 1152 39168
56 240 4864
57 270 5499
60 756 21096
64 512 12288
72 432 10368
72 864 25920
75 250 6875
90 225 8775
98 392 12348
100 500 15000
100 2000 90000
117 810 26811
117 1690 70811
120 900 30600
120 1600 65600
121 1452 57233
125 1250 46875
135 486 21141
136 672 25408
147 882 33957
147 1372 55223
147 1764 77175
162 729 32805
169 507 30758
175 750 36875
189 1215 55404
204 289 41905
225 891 57186
225 900 57375
225 1350 70875
230 1800 92900
264 432 70272
280 800 81600
294 784 89180
Die Tabelle is zwar nicht sehr schön, aber gehaltvoll.
euer Wolfgang.
guenter
Oct 10, 2022, 12:49:49 PM10/10/22
to
Hallo Wolfgang
Wolfgang Rave schrieb am Freitag, 30. September 2022 um 12:19:36 UTC+2:
> ...
Ich denke, du solltest die Tabelle so formatieren, dass sie zum Beispiel bei Einstellung einer Festbreitenschrift, richtig aussieht. Dann kann sich jeder das wieder anschauen, indem er selbst eine Festbreitenschrift einstellt.
Ich kann bei meinem Browser, mit dem ich da lese, keine Festbreitenschrift einstellen. Aber ich erstelle eine Tabelle z.B. im notepad.exe-Editor, wo ich die Festbreitenschrift CourierNew eingestellt habe ond kopiere die so erstellte Tabelle in den Browser. Umgekehrt kann ich so eine Tabelle wieder vom Browser ins notepad.exe kopieren und sehe die Tabelle richtig formatiert.
mfg günter
Wolfgang Rave schrieb am Freitag, 30. September 2022 um 12:19:36 UTC+2:
> ...
> (vermutlich sieht die Tabelle furchtbar aus, aber ich weiß nicht, wie ich das hier formatieren soll/kann).
> ...
Ich denke, du solltest die Tabelle so formatieren, dass sie zum Beispiel bei Einstellung einer Festbreitenschrift, richtig aussieht. Dann kann sich jeder das wieder anschauen, indem er selbst eine Festbreitenschrift einstellt.
Ich kann bei meinem Browser, mit dem ich da lese, keine Festbreitenschrift einstellen. Aber ich erstelle eine Tabelle z.B. im notepad.exe-Editor, wo ich die Festbreitenschrift CourierNew eingestellt habe ond kopiere die so erstellte Tabelle in den Browser. Umgekehrt kann ich so eine Tabelle wieder vom Browser ins notepad.exe kopieren und sehe die Tabelle richtig formatiert.
mfg günter
0 new messages