[Matx]#672: Sechzig Grad

[GJ Woeginger]

Gibt es drei Punkte A,B,C mit ganzzahligen Koordinaten
in der Ebene, sodass der Winkel <ABC 60 Grad betraegt?


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Gerhard J. Woeginger http://www.win.tue.nl/~gwoegi/

[Jens Voß]

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Betrachte die Gausssche Zahlenebene.

Sei oBdA B = 0 und seien A = p + iq, C = r + is,
wobei oBdA p und q in |N sind.

Setze w := sqrt(3).

Es ist A = a(C * (1 + iw)) für ein a in |R, d.h.

p + iq = a(r - sw) + ai(s + rw), also

p = ar - asw und
q = as + arw

Daraus folgt nun

q - pw = as + arw - arw + 3as = 4as
qw + p = asw + 3ar + ar - asw = 4ar

und damit ist

(*) 4a = q/s - p/s w = p/r + q/r w

Da 1 und w linear unabhängig über |Q sind,

folgt q/s = p/r und p/s = q/r, also
qr = ps und pr = qs; insgesamt also

q^2r = qps = p^2r, gemäß Wahl von p und q
folgt p = q, und damit r = s.

Aus (*) folgt nun 4ar/p = 1 - w = 1 + w,
was unmöglich ist.

Somit gibt es die gesuchte Konfiguration nicht.
(Schade eigentlich)

Schönen Gruß,
Jens

[Philippe 92]

Jens Voￜ a ￜcrit :

> On 23 Mai, 18:48, gwo...@figipc78.tu-graz.ac.at (GJ Woeginger) wrote:
>> Gibt es drei Punkte A,B,C mit ganzzahligen Koordinaten
>> in der Ebene, sodass der Winkel <ABC 60 Grad betraegt?
>>
>> ___________________________________________________________

>> Gerhard J. Woeginger ￜ ￜ ￜhttp://www.win.tue.nl/~gwoegi/

> Es ist A = a(C * (1 + iw)) fï¿œr ein a in |R, d.h.

>
> p + iq = a(r - sw) + ai(s + rw), also
>
> p = ar - asw und
> q = as + arw
>
> Daraus folgt nun
>
> q - pw = as + arw - arw + 3as = 4as
> qw + p = asw + 3ar + ar - asw = 4ar
>
> und damit ist
>
> (*) 4a = q/s - p/s w = p/r + q/r w
>

> Da 1 und w linear unabhï¿œngig ï¿œber |Q sind,

>
> folgt q/s = p/r und p/s = q/r, also
> qr = ps und pr = qs; insgesamt also
>

> q^2r = qps = p^2r, gemￜￜ Wahl von p und q

> folgt p = q, und damit r = s.
>
> Aus (*) folgt nun 4ar/p = 1 - w = 1 + w,

> was unmï¿œglich ist.

>
> Somit gibt es die gesuchte Konfiguration nicht.
> (Schade eigentlich)
>

> Schￜnen Gruￜ,
> Jens

einfacher :
tan(a-b) = (tan(a) - tan(b)) / (1 + tan(a)(tan(b))
kann nicht irrational (=1/sqrt(3)) sein wenn tan(a) und tan(b) sind
rational (delta y / delta x)

Grï¿œsse.

--
Philippe C. mail chephip ￜ free.fr
site divertissement mathï¿œmatiques http://mathafou.free.fr