> Eine Prinzessin schwimmt in der Mitte eines kreisförmigen Sees. Am Ufer
> läuft eine Hexe, die x mal so schnell laufen kann wie die Prinzessin schwimmen.
> Die Prinzessin muss nun schwimmend das Ufer erreichen, bevor die Hexe
> diese Stelle erreicht. Da die Prinzessin etwas schneller laufen kann
> als die Hexe, entkommt sie dann.
>
> Welches ist das höchste x, für das die Prinzessin noch eine sichere Fluchtstrategie hat?
Wir haben ja jetzt schon ein Weilchen diskutiert.
Jetzt hat es mich gejuckt, mit Papier und Bleistift nachzurechnen.
So bin ich bis zur Formel
(Pi + arccos(1/x))/x = sqrt(1-1/x^2) (*)
gelangt und habe mit Maple-Unterstützung die Zahl x = 4.60334
herausbekommen. Das ist schon beachtlich mehr, als wenn die
Prinzessin vom Fluchtkreis (Radius 1/x, wenn See-Radius gleich 1 ist)
geradeaus zum Ufer schwimmt. Da ist x = 4.14159, wie ich gleich
zeigen möchte.
Hier ist meine Skizze dazu.
P ist der Punkt der Prinzessin auf dem Fluchtkreis, H der Punkt
am Ufer, an dem die Hexe gleich losrennen wird. Der Mittelpunkt M
des Sees ist zwischen P und H.
Wenn die Prinzessin von P aus auf der Linie HM gerade zum Ufer
schwimmt, landet sie beim Punkt U(0) und braucht dafür die Zeit
1 - 1/x (wenn ihre Geschwindigkeit 1 ist, die der Hexe also x).
Die Hexe hat einen Halbkreis zu laufen von H zu U(0), wofür sie
die Zeit Pi/x braucht. Zur gleichen Zeit ankommen bedeutet
1 - 1/x = Pi/x, d.h. x = Pi + 1 = 4.14159.
Lustig und hilfreich für die Prinzessin ist es, von P aus nicht
geradeaus auf U(0) zuzuschwimmen, sondern im Winkel alpha dazu.
Dann kommt sie am Ufer bei U(alpha) an, und die Hexe hat zusätzlich
zum Weg Pi auch noch den Winkel beta weiter zu laufen von U(0) zu
U(alpha), wobei beta etwas kleiner ist als alpha. Die Abhängigkeit
von beta von alpha und x ist verflixt kompliziert, und die habe ich
nicht wirklich durchgerechnet.
Ich habe mir stattdessen gleich den Fall alpha = Pi/2 durchgerechnet,
wo cos(beta) = 1/x ist. Damit ist der Hexenweg klar, und sie benötigt
die Zeit Pi + arccos(1/x))/x bis zum Punkt U(Pi/2).
Der Prinzessinnenweg P zu U(Pi/2) ist nach Pythagoras sqrt(1-1/x^2).
Das ist auch die benötigte Zeit, weil sie mit Geschwindigkeit 1
schwimmt. Damit landen wir bei Gleichung (*) mit dem sensationellen
Wert x = 4.60334.
Gruß,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
P.S. Vor Jahren hatte ich irgendwas Pfiffiges gefunden, indem ich mir
den Winkel angeschaut hatte, unter dem die Prinzessin das Ufer erreicht.
Ich konnte diesen Gedanken aber nicht mehr rekonstruieren. Vielleicht
kommt er wieder, und dann werde ich noch berichten :-)