[Math]#142: Differenz von Kubikzahlen
Gerhard Woeginger
Beweise oder widerlege:
Falls das Quadrat einer natuerlichen Zahl n als
Differenz der Kuben von zwei unmittelbar aufeinander
folgenden natuerlichen Zahlen geschrieben werden kann,
dann kann man n als Summe von zwei aufeinander
folgenden Quadratzahlen schreiben.
Bsp: n=13.
Dann ist 13^2= 8^3-7^3 und 13= 2^2+3^2.
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Gerhard J. Woeginger http://wwwhome.cs.utwente.nl/~woegingergj/
Ralf Beyer
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> Beweise oder widerlege:
> Falls das Quadrat einer natuerlichen Zahl n als
> Differenz der Kuben von zwei unmittelbar aufeinander
> folgenden natuerlichen Zahlen geschrieben werden kann,
> dann kann man n als Summe von zwei aufeinander
> folgenden Quadratzahlen schreiben.
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> Bsp: n=13.
> Dann ist 13^2= 8^3-7^3 und 13= 2^2+3^2.
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s
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Es soll gezeigt (oder widerlegt) werden: Für alle Paare
p und n von natürlichen Zahlen mit (p+1)^3 - p^3 = n^2
hat n die Form n = k^2 + (k+1)^2 mit einer ebenfalls
natürlichen Zahl k.
Teil I:
Zunächst müssen also die ganzzahligen Lösungen (p,n) von
(p+1)^3 - p^3 = 3p^2 + 3p + 1 = n^2 bestimmt werden. Nach
p umgeformt ergibt dies: p = -1/2 +- 1/2 sqrt((4n^2-1)/3).
Für ganzzahlige Werte von p muß der Ausdruck unter der
Wurzel ein Quadrat einer ganzen Zahl y sein.
Es gilt also 4 n^2 - 3 y^2 = 1. Mit n = x/2 und p = (y-1)/2
erhält man die Pell'sche Gleichung x^2 - D y^2 = 1 für D=3.
Deren Fundamentallösung (x_1,y_1) ist (2,1). Alle weiteren
Lösungen mit natürlichen Zahlen (x_i,y_i) ergeben sich aus
der Beziehung x_i + y_i sqrt(3) = (x_1 + y_1 sqrt(3))^i =
(2 + sqrt(3))^i.
Dies führt auf die Rekursion x_{i+1} = 2 x_i + 3 y_i,
y_{i+1} = x_i + 2 y_i (*) und daher auf die unendliche
Folge(n) (i = 0,1,2,3,...)
x_i = 1, 2, 7, 26, 97, 362, 1351, 5042, ...
y_i = 0, 1, 4, 15, 56, 209, 780, 2911, ...
Für das eigentliche Problem sind hiervon aber nur die
ungeraden Folgeglieder zu verwerten, da nur dann p und n
ganzzahlig sind. Die entsprechende(n) Folge(n) für die
Paare p und n:
n_i = x_{2i-1}/2 = 1, 13, 181, 2521, 35113, 489061, ...
p_i = (y_{2i-1}-1)/2 = 0, 7, 104, 1455, 20272, 282359, ...
Teil II:
Es muß gezeigt (oder widerlegt) werden, daß alle Lösungen
n_i aus Teil I die Form n_i = k_i^2 + (k_i + 1)^2 =
(q_i^2 + 1) / 2 mit ganzzahligem k_i bzw. q_i = 2 k_i + 1
besitzen. x_{2i-1} müßte hierzu die Form x_{2i-1} = q_i^2 + 1
mit einem ungeraden q_i besitzen. Für i = 1,2,3,4 erhält
man aus der x_i-Folge die Werte q_i = 1, 5, 19, 71, ...
welche alle die verlangte Form besitzen.
Um zu zeigen, daß dies für alle i zutrifft, wird aus (*)
eine Rekursion für die x_i bzw. y_i erzeugt. Durch Einsetzen
findet man x_{i+1} = 4 x_i - x_{i-1} (**). Diese Formel gilt
auch für die y_i.
Mit x_0 = 1, x_1 = 2, ... findet man x_{2i-1} = 0 mod 2 und
x_{2i} = 1 mod 2. Diese Voraussetzung ist schonmal erfüllt.
Um das mit dem Quadrat zu zeigen, ist es sinnvoll, die x_i
durch Tschebyscheff-Polynome darzustellen: x_i = T_i(2), wobei
T_i(z) = cosh(i * arcosh(z)) das Tschebyscheff-Polynom i-ter
Ordnung ist. Hierdurch erhält man zwei weitere nützliche
Beziehungen:
cosh(2it) = 2 cosh^2(it) - 1 => x_{2i} = 2 x_i^2 - 1 (***)
cosh(it) cosh((i-1)t) = 1/2 [cosh((2i-1)t) + cosh(t) ] =>
x_i * x_{i-1} = 1/2 (x_{2i-1} + x_1) = 1/2 (x_{2i-1} + 2) (****)
Abschließend erhält man:
x_{2i-1} - 1 = 2 x_{2i-1} - x_{2i-1} - 1 = (**), (****)
2/4 (x_{2i} + x_{2i-2}) - 2 x_i x_{i-1} + 2 - 1 = (***)
1/2 (2 x_i^2 - 1 + 2 x_{i-1}^2 - 1) - 2 x_i x_{i-1} + 1 =
x_i^2 - 2 x_i x_{i-1} + x_{i-1}^2 = (x_i - x_{i-1})^2
Also hat x_{2i-1} die verlangte Form für alle i mit einem
ungeraden q_i = x_i - x_{i-1}, womit die ursprüngliche
Behauptung bewiesen ist.
Gruß Ralf