Selbstbeschreibende Zahlen
Lydia
Beispiel: 10254 hat die Länge 5 und enthält auch die Ziffer 5.
Arne 'Timwi' Heizmann
> Wieviele Zahlen gibt es, die ihre Länge als Ziffer enthalten?
> Beispiel: 10254 hat die Länge 5 und enthält auch die Ziffer 5.
Ist das nicht trivial?
Das ist die Anzahl 9stelliger Zahlen, die die 9 enthalten, plus die
Anzahl 8stelliger Zahlen, die die 8 enthalten, etc.etc. bis hin zur 1.
Das lässt sich trivialerweise ausrechnen und aufaddieren.
Timwi
Lydia
Hast recht, ist wirklich zu trivial für Denksport...
Klaus "Perry" Pago
"Arne 'Timwi' Heizmann" <ti...@gmx.net> schrieb im Newsbeitrag
news:4aatqaF...@individual.net...
plus die 9-stelligen ohne führende 9 aber mit einer 9 in der übrigen
Stellenzahl und gleiches bei den anderen Ziffern - vielleicht doch nicht so
trivial - eher etwas für schnelle Zählmaschinen
Gruß
Klaus
Arne 'Timwi' Heizmann
> "Arne 'Timwi' Heizmann" <ti...@gmx.net> schrieb im Newsbeitrag
> news:4aatqaF...@individual.net...
>
>>Lydia wrote:
>>
>>>Wieviele Zahlen gibt es, die ihre Länge als Ziffer enthalten?
>>>Beispiel: 10254 hat die Länge 5 und enthält auch die Ziffer 5.
>>
>>Ist das nicht trivial?
>>
>>Das ist die Anzahl 9stelliger Zahlen, die die 9 enthalten, plus die Anzahl
>>8stelliger Zahlen, die die 8 enthalten, etc.etc. bis hin zur 1. Das lässt
>>sich trivialerweise ausrechnen und aufaddieren.
>
> Stellenzahl
Die sind in Obigem schon enthalten.
Klaus "Perry" Pago
"Arne 'Timwi' Heizmann" <ti...@gmx.net> schrieb im Newsbeitrag
news:4aavg0F...@individual.net...
Lydia
1 Mrd. minus (9 hoch 9) = 612579511.
Arne 'Timwi' Heizmann
> Da es wohl keiner mehr ausrechnet, hier die (elegante) Lösung:
> 1 Mrd. minus (9 hoch 9) = 612579511.
Vielleicht hätten sich mehr Leute daran versucht, wenn du uns am Anfang
verraten hättest, dass es so eine elegante Lösung gibt, also eine
Lösung, die eleganter ist, als jede der 9 Einzelfälle durchzurechnen und
dann aufzuaddieren. Ohne diese Information erschien das Rätsel eher
langweilig und routinemäßig.
Lydia
Stimmt, werd ich das nächste mal beherzigen :-)
Gruß
Lydia
David Seppi
> Da es wohl keiner mehr ausrechnet, hier die (elegante) Lösung:
> 1 Mrd. minus (9 hoch 9) = 612579511.
Wie erklärt sich diese Lösung?
Lydia
> 1 Mrd. minus (9 hoch 9) = 612579511.
> Wie erklärt sich diese Lösung?
Schritt 1:
Es gibt 1 Mrd. Kandidaten (9-stellig, hier mit führ. Nullen):
[000000000 ... 999999999]
Schritt 2:
Wir bestimmen die Anzahl derer, die ihre Länge NICHT enthalten:
An jeder Position können dann nur noch 9 verschiedene Ziffern stehen:
Nämlich die 10 Möglichen [0...9] abzüglich der Längenziffer.
So kommen wir auf eine Anzahl von 387420489 (= 9 hoch 9), die NICHT
ihre Länge enthalten.
Schritt 3:
Also besteht der Rest, nämlich 612579511 Kandidaten (1 Mrd. minus
387420489) aus Zahlen, die ihre Länge enthalten.
Gruß
Lydia
David Seppi
> Schritt 1:
> Es gibt 1 Mrd. Kandidaten (9-stellig, hier mit führ. Nullen):
> [000000000 ... 999999999]
Ahja, richtig, ich hab übersehen, daß ich die führenden Nuller
konsequent mitnehmen muß.
Danke!
Johannes Brand
Ich habe die Aufgabe etwas anders gelöst, nämlich ohne führende Nullen, komme aber auch auf das gleiche Ergebnis:
Es gibt 9 einstellige Zahlen,
8 von diesen Zahlen sind nicht die "1".
Es gibt 90 zweistellige Zahlen,
8*9 von diesen Zahlen enthalten nicht die "2".
Es gibt 900 dreistellige Zahlen,
8*9*9 von diesen Zahlen enthalten nicht die "3".
...
Insgesamt:
Es gibt 999.999.999 = 9+90+900+...+900.000.000 = 10⁹ - 1 höchstens neunstellige Zahlen,
ausschließen müssen wir 8 + 8*9 + 8*9*9 + ... 8*9*9*9*9*9*9*9*9 = N Zahlen.
Mit der Formel für (endliche) Partialsummen der geom. Reihe gilt:
N = 8 * (1-9⁹)/(1-9) = 9⁹ - 1.
Dann ist aber die gesuchte Anzahl (10⁹ - 1) - (9⁹ - 1) = 10⁹ - 9⁹.
Ich hoffe, dieser Weg ist auch noch "elegant" und gleichzeitig nachvollziehbar.
Liebe Grüße aus Aachen
Johannes
Rainer Rosenthal
> Guten Morgen, diese Aufgabe ...
Welche Aufgabe?