Transformaciones Lineales Ejemplos Pdf Download
Roseanne Devon
En entradas pasadas ya platicamos de espacios vectoriales y de subespacios. Tambin desarrollamos teora de dimensin para espacios vectoriales de dimensin finita. Para ello, hablamos de conjuntos generadores, de independientes y de bases. Esto nos ayuda a entender a los espacios vectoriales uno por uno. Lo que queremos entender ahora es cmo interactan los espacios vectoriales entre s. Para ello, hablaremos de transformaciones lineales entre espacios vectoriales.
Ya platicamos un poco de transformaciones lineales cuando estudiamos $F^n$ a detalle. En esa parte del curso, vimos cmo cualquier matriz en $M_m,n(F)$ se poda ver como una transformacin lineal de $F^n$ a $F^m$ y viceversa. Retomaremos varias de estas ideas, pues son fundamentales para esta unidad y las siguientes.
Recuerda que $F_n[x]$ es el espacio vectorial de polinomios con coeficientes en $F$ y grado a lo ms $n$. Recuerda tambin que hemos visto muchos tipos de espacios vectoriales, los $F^n$, los de polinomios, los de matrices, etc. Entre cualesquiera de ellos se pueden tener transformaciones lineales. La nica condicin es que sean espacios vectoriales sobre el mismo campo $F$.
Ejemplo 7. La funcin $T:C[0,1]\to \mathbbR$ que manda a la funcin $f$ al real $$T(f):=\int_0^1 f(x)\, dx$$ es una transformacin lineal. En efecto, para dos funciones $f$ y $g$ continuas en el $[0,1]$ y un real $c$ se tiene por definicin de suma de funciones, de multiplicacin por escalar y de propiedades de la integral que \beginalign*\int_0^1 (f+g)(x)\, dx&=\int_0^1 f(x)+g(x)\, dx\\&=\int_0^1 f(x) \, dx+\int_0^1 g(x)\, dx\endalign* y que \beginalign*\int_0^1 (cf)(x)\, dx &= \int_0^1 cf(x)\, dx \\&=c \int_0^1 f(x)\, dx.\endalign*
La definicin de transformacin lineal pide dos cosas por separado: abrir sumar y sacar escalares. Es bueno tenerlas por separado para referirnos a ellas individualmente. Sin embargo, la siguiente proposicin nos ayuda a probar de manera ms prctica que $T$ es una transformacin lineal.
El haber enunciado estas proposiciones nos puede ayudar para decir, de golpe, que algunas funciones no son transformaciones lineales: si una funcin falla en tener alguna de las propiedades anteriores, entonces no es transformacin lineal.
Hola. Soy Leonardo Martnez. Soy Profesor de Tiempo Completo en la Facultad de Ciencias de la UNAM. Hice un doctorado en Matemticas en la UNAM, un postdoc en Israel y uno en Francia. Adems, me gusta colaborar con proyectos de difusin de las matemticas como la Olimpiada Mexicana de Matemticas.
Hola r. Veo que intentaste usar LaTeX en los comentarios. Desafortunadamente, ah no se puede, as que te recomiendo, o bien escribir con matemticas de texto, por ejemplo, =, o bien escribir lo que quieras poner en LaTeX en una TeX-card, que puedes crear ac:
en el primer problema despus de dar la definicin de imagen aparece que
T(rA+B)=(cA+B)C habamos tomado a r como real y entiendo que lo que se aplica es la primera proposicin que se dio en las Propiedades basicas entonces no sera
T(rA+B)=(rA+B)C y as con las otras igualdades poner r en vez de c ? o en si eso da igual ?
En efecto, aqu tambin haba un error de dedo. Tiene que ser r en todos lados, como comentas. La razn por la cual no se usa c es que queremos usar esa letra para una de las entradas de la matriz. Gracias por la atenta lectura de las notas.
Hola, que tal. He intentado llegar a la solucin del ltimo ejemplo para la imagen, hice una matriz con renglones 1,1,e; 1,1,f;1,1g; y al momento de hacer reduccin gaussiana todo se anula entonces no veo como es que se llega al resultado e=f=g. Me podra explicar en qu estoy mal?
Hola Lorna. Recuerda que si quieres usar reduccin gaussiana para encontrar la imagen, debes estar trabajando en uno de los espacios F^n. En el problema se est trabajando en un espacio de matrices. Si quisieras usar reduccin gaussiana, primero tendras que pensar a la matriz como un elemento en F^n. Creo que esto puede responder tu duda, pero si no, cuntame un poco ms a detalle qu estas haciendo. Recuerda que en Moodle puedes usar LaTeX, lo cual te podra ayudar a explicar tu procedimiento.
Como demuestro el siguiente teorema
El conjunto A de todas las transformaciones lineales de un espacio vectorial en si mismo forma un anillo con respecto a la adicin y multiplicacin anteriormente definidas.
Hemos hallado de manera intuitiva la matriz estndar de la transformacin lineal. Notemos que la transformacin va de \(\mathbbR^3\) a \(\mathbbR^2\) y que el orden de la matriz asociada a la transformacin lineal es \(2 \times 3\).
Hemos visto ejemplos de cmo surge a partir del producto de matrices, la matriz estndar de una transformacin lineal de \(\mathbbR^n\) a \(\mathbbR^m\). En lo que sigue intentaremos generalizar para cualquier espacio vectorial de dimensin finita, el concepto de matriz asociada a una transformacin lineal. Aun en el caso de TL en \(\mathbbR^n\), veremos que no siempre la matriz estndar es la ms conveniente.
Qu significa una simetra respecto de la recta \(y = 3x\)? Recordemos que el transformado de un vector que est sobre la recta es el mismo vector, y el transformado de un vector perpendicular a la recta es su opuesto.
Hola. Gracias a esta pgina y a las clases que tuve de lgebra, todo lo que esta escrito lo tengo entendido bien claro. El problema es que en ningn lado, ni en mis clases ni ac, hay ejemplos y ejercicios de transformaciones lineales que vayan de (por ejemplo) de R2 -> M2x2.
Si el espacio de llegada es un espacio de matrices, como haces una matriz de la transformacin lineal?
Cuando la TL va de Rn -> Rm, o de Rn -> Pm es fcil, porque son vectores, no importa como sean, ni de que base vengan, te las arreglas para ponerlos como columnas y listo. Pero, cmo se hace cuando el espacio de llegada no es ni R, ni C, ni P(x), sino que en cambio es un espacio de matrices?
Si me podran ayudar con eso dando simplemente un ejemplo, les agradecera mucho. Saludos ?
Es un placer encontrarte, espero que sigas gozando de una excelente salud y tengas buen nimo por aprender cosas nuevas de este curso, por ello te invito a la sexta clase titulada Transformaciones lineales del curso lgebra Lineal.
Cuando observamos a los objetos desde un punto de vista distinto podemos apreciar mejor algunas caractersticas que antes pasamos inadvertidas. Esta es justo la intencin de las transformaciones lineales, que podamos apreciar caractersticas de los sistemas de ecuaciones lineales que difcilmente captamos directamente de las ecuaciones algebraicas.
En esta clase digital representaremos a los sistemas de ecuaciones lineales como transformaciones lineales que tienen propiedades distintivas como el ncleo, nulidad, imagen y rango. Adems, veremos que cualquier transformacin lineal puede estar representada como una matriz de transformacin. Mas an, frecuentemente necesitamos aplicar dos o ms transformaciones lineales a un mismo vector, y por consiguiente se incrementa la cantidad de clculos. En estos casos, es probable que podamos aplicar operaciones con transformaciones lineales con la finalidad de reducir la cantidad de trabajo.
Transformacin
En lgebra lineal las transformaciones son funciones que toman un vector v del espacio vectorial V y lo convierten en otro vector w que pertenece a un espacio vectorial distinto W, es decir.
Una transformacin lineal puede tener una infinidad de efectos distintos sobre un vector. Entre los efectos ms comunes que producen las transformaciones lineales sobre los vectores tenemos las expansiones, contracciones, reflexiones, proyecciones y rotaciones, aunque son frecuentes las transformaciones lineales que implican una combinacin de los efectos anteriores. En el siguiente enlace encontrars material interactivo que muestra la interpretacin grfica de Algunas transformaciones lineales en el plano (Fuente: GeoGebra, Autor: Jos Luis Dvila).
En la siguiente ecuacin mostramos una transformacin lineal de reflexin respecto al eje y.
En este caso, la transformacin grficamente funciona como un espejo que refleja a los vectores teniendo como eje de simetra al eje y. Adems, las transformaciones lineales no necesariamente toman y generan vectores de la misma dimensin como en la ecuacin anterior; sino que pueden tomar un vector de cualquier dimensin y transformarlo en un vector con dimensin distinta.
Podemos interpretar a un sistema de ecuaciones lineales con representacin matricial (Ax=b) como una funcin que toma un vector x de productos y lo convierte en un vector b de materias primas requeridas para generar dichos productos. Al resolver la ecuacin matricial para x estaramos determinando la cantidad de productos generados a travs un proceso empleando una cierta cantidad de materia prima b. Lo anterior es una interpretacin del uso prctico que pueden tener las transformaciones.
Cuando una transformacin cumple con las Ecs. 3 y 4 decimos que es una transformacin lineal. Si una transformacin no cumple con uno o ambos requisitos de linealidad entonces es una transformacin no-lineal. En esta UDA nos concentraremos en propiedades, operaciones y aplicaciones de las transformaciones lineales.
El ncleo de una transformacin lineal Nu(T) est formado por todos aquellos vectores v que pertenecen al espacio vectorial V y que al ser transformados dan como resultado el vector cero. Es decir,
La imagen de una transformacin lineal im(T) est dada por el conjunto de vectores w que pertenecen al espacio transformado W y son obtenidos al aplicar la transformacin T a vectores v que pertenecen al espacio V. La imagen tambin se puede expresar de manera equivalente como:
Al principio de esta clase digital mencionamos que las transformaciones son funciones que toman un vector perteneciente a un espacio vectorial y lo convierten en otro vector que pertenece a un espacio vectorial distinto; pero no especificamos qu tipo de funcin porque an no era indispensable. En concreto, las transformaciones lineales (T) son matrices (AT) que al multiplicarlas por un vector dan como resultado otro vector. Es decir,
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